Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız. derecesi... Burada, doğal bir üsle başlayıp irrasyonel bir üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alırken, bir sayının derecesinin tanımlarını vereceğiz. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfa gezintisi.

Doğal üslü derece, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının derecesinin tanımının a için verildiğini söylüyoruz, buna diyeceğiz. temel derece, ve n diyeceğimiz üs... Ayrıca, doğal üslü derecenin ürün aracılığıyla belirlendiğini de not ediyoruz, bu nedenle aşağıdaki materyali anlamak için sayıların çarpımı hakkında bir fikriniz olması gerekir.

Tanım.

Doğal üs n ile a sayısının gücü değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürününe eşit olan a n biçiminin bir ifadesidir, yani.
Özellikle, üs 1 olan bir a sayısının kuvveti, a sayısının kendisidir, yani a 1 = a.

Derece okuma kuralları hakkında hemen söylenmelidir. Bir a n kaydını okumanın evrensel yolu şudur: "a üzeri n'nin kuvveti". Bazı durumlarda, aşağıdaki seçenekler de kabul edilebilir: "a üzeri n'inci kuvvet" ve "a sayısının n'inci kuvveti". Örneğin, "sekiz üzeri on ikinin kuvveti" veya "sekizin on ikinci kuvveti" veya "sekizin on ikinci kuvveti" olan 8 12'nin kuvvetini alalım.

Bir sayının ikinci derecesinin yanı sıra bir sayının üçüncü derecesinin kendi adları vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesi ileörneğin, 7 2 "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küp sayılarıörneğin 5 3 "beşin küpü" veya "5 sayısının küpü" olarak okunabilir.

liderlik etme zamanı doğal değerlere sahip derece örnekleri... 5 7 ile başlayalım, burada 5 üssün tabanı ve 7 üssüdür. Başka bir örnek verelim: 4.32 tabandır ve 9 doğal sayısı üs (4.32) 9'dur.

Son örnekte, 4.32 derecenin tabanının parantez içinde yazıldığına dikkat edin: karışıklığı önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm derece tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak, doğal göstergelerle aşağıdaki dereceleri veriyoruz , tabanları doğal sayılar olmadığı için parantez içinde yazılırlar. Pekala, bu andaki tam netlik için, (−2) 3 ve −2 3 formunun girişleri arasındaki farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, 3'ün doğal üssü olan −2'nin kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (- (2 3) şeklinde yazılabilir) 2 3 kuvvetinin sayısına, değerine karşılık gelir. .

Bir a sayısının derecesi için, a ^ n formunun n üssü olan bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca, n çok değerli bir doğal sayıysa, üs parantez içinde alınır. Örneğin, 4 ^ 9, 4 9'un kuvveti için başka bir gösterimdir. Ve burada "^" sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Aşağıda, a n formunun derecesi için esas olarak gösterimi kullanacağız.

Görevlerden biri, doğal bir üslü bir kuvvete yükseltmenin tersi, derecenin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üsten bir derecenin tabanını bulma problemidir. Bu görev yol açar.

set olduğu bilinmektedir rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirli sayılardan oluşur ve her biri kesirli sayı olumlu veya olumsuz olarak sunulabilir ortak kesir... Bir önceki paragrafta tanımladığımız bir tamsayı üslü derece, bu nedenle, derecenin tanımını ile tamamlamak için rasyonel gösterge, m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu kesirli üslü m / n ile bir a sayısının kuvvetine bir anlam vermek gerekir. Haydi Yapalım şunu.

Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Dereceden dereceye özelliğinin geçerli olabilmesi için eşitlik ... Elde edilen eşitliği ve onu belirleme şeklimizi hesaba katarsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması şartıyla kabul etmek mantıklıdır.

Bir tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri için bunu doğrulamak kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılır).

Yukarıdaki akıl yürütme, aşağıdakileri yapmamızı sağlar. çıktı: verilen m, n ve a için ifade anlamlıysa, o zaman m / n kesirli üslü a sayısının kuvvetine a'nın n'inci köküne m kuvveti denir.

Bu ifade bizi dereceyi kesirli bir üsle belirlemeye çok yaklaştırıyor. Geriye sadece m, n ve a ifadesinin hangi anlam ifade ettiğini açıklamak kalıyor. m, n ve a üzerindeki kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, a'yı pozitif m için a≥0 ve negatif m için a> 0 kabul ederek kısıtlamaktır (m≤0 için 0 m derecesi tanımlanmamıştır). Ardından, kesirli bir üs için aşağıdaki tanımı elde ederiz.

Tanım.

Kesirli bir üs m / n ile pozitif bir sayı a'nın gücü m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu , a sayısının m'nin kuvvetine, yani n'nci köküne denir.

Göstergenin pozitif olması şartıyla, sıfırın kesirli gücü de belirlenir.

Tanım.

Pozitif kesirli üs m / n ile sıfırın gücü m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde, yani kesirli sıfır sayısının derecesi negatif gösterge mantıklı değil.

Kesirli bir üslü böyle bir derece tanımıyla, bir nüans olduğu belirtilmelidir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları attık. Örneğin, yazmak mantıklı veya, ve yukarıda verilen tanım bizi, derecelerin, formun kesirli bir üssü ile söylemeye zorlar. mantıklı değil, çünkü taban negatif olmamalıdır.

Bir kesirli üs m / n ile üssü belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün tek ve çift üslerini ayrı ayrı ele almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: göstergesi olan a sayısının derecesi, göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının gücü olarak kabul edilir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani, m / n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir doğal sayı k için, derece önceden değiştirilir.

n ve pozitif m için bile, ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir), negatif m için, a sayısı hala sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölme olacaktır) ). Ve tek n ve pozitif m için, a sayısı herhangi biri olabilir (tek bir derecenin kökü herhangi bir gerçek sayı için tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölme olmaz) .

Yukarıdaki akıl yürütme bizi kesirli bir üslü derecenin böyle bir tanımına götürür.

Tanım.

m / n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İptal edilebilir herhangi bir kesir için, üs ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üslü bir sayının gücü m / n



İndirgenebilir kesirli üslü bir derecenin neden daha önce indirgenemez üslü bir derece ile değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe şöyle tanımlasaydık ve m / n kesrinin indirgenemezliği hakkında bir çekince koymasaydık, aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğundan eşitlik geçerli olmalıdır. , ancak , a .

BÖLÜM II. BÖLÜM 6
SAYI SIRALARI

İrrasyonel üslü bir derece kavramı

a pozitif bir sayı ve a irrasyonel olsun.
a * ifadesine ne anlam verilmelidir?
Sunumu daha açıklayıcı hale getirmek için özel bir
örnek. Yani a - 2 ve a = 1 koyuyoruz. 624121121112. ... ... ...
Burada, ama - sonsuz ondalık buna dayalı
yasa: a görüntüsü için dördüncü ondalık basamaktan başlayarak
sadece 1 ve 2 rakamları kullanılır ve rakam sayısı 1'dir,
2 numaradan önce arka arkaya kaydedilen, her zaman artar
bir. a kesri periyodik değildir, aksi halde basamak sayısı 1'dir,
onun görüntüsünde arka arkaya kaydedilen sınırlı olacaktır.
Bu nedenle, a bir irrasyonel sayıdır.
Peki, ifadeye ne anlam verilmeli?
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... r
Bu soruyu cevaplamak için değer dizileri oluşturuyoruz.
ve (0.1) * doğruluğunda bir eksiklik ve fazlalıkla. alırız
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
2 sayısının karşılık gelen güç dizilerini oluşturalım:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21.6 Ш; ... (4)
Dizi (3), dizi arttıkça artar
(1) (Teorem 2 § 6).
Dizi (4) azalıyor çünkü dizi azalıyor
(2).
Dizinin (3) her bir üyesi dizinin her bir üyesinden daha küçüktür
(4) ve dolayısıyla (3) dizisi sınırlıdır
yukarıdan ve (4) dizisi aşağıdan sınırlandırılmıştır.
Monoton sınırlı dizi teoremine dayanarak
(3) ve (4) dizilerinin her birinin bir limiti vardır. Eğer

384 İrrasyonel üslü bir derece kavramı . .

şimdi, (4) ve (3) dizilerinin farkının yakınsadığı ortaya çıkıyor.
sıfıra, o zaman bundan bu dizilerin her ikisinin de,
ortak bir sınırı vardır.
(3) ve (4) dizilerinin ilk terimlerinin farkı
21-7 - 21 '* = 2 |, (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
İkinci terimlerin farkı
21'63 - 21.62 = 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n'inci terimlerin farkı
0,0000. ..0 1
2>. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Teorem 3 § 6'ya göre
10 ″ / 2 = 1.
Bu nedenle, (3) ve (4) dizilerinin ortak bir limiti vardır. Bu
limit, daha büyük olan tek gerçek sayıdır.
dizinin tüm üyelerinden (3) ve dizinin tüm üyelerinden daha az
(4) ve 2 * 'nin tam değeri olarak düşünülmesi tavsiye edilir.
Söylenenlerden, genellikle kabul edilmesinin tavsiye edildiği sonucu çıkar.
aşağıdaki tanım:
Tanım. a> 1 ise, a'nın derecesi irrasyoneldir
a üssü böyle bir gerçek sayıdır,
hangi, üsleri olan bu sayının tüm güçlerinden daha büyüktür
rasyonel yaklaşımlar a eksikliği olan ve tüm derecelerden daha az
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayının
AŞIRI.
Eğer bir<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
tüm güçlerden daha büyük olan gerçek bir sayı denir
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayının a
üsleri bu sayının tüm güçlerinden fazla ve daha az olan
- rasyonel yaklaşımlar ve dezavantajlı.
a- 1 ise, irrasyonel üslü a ile derecesi
1'dir.
Limit kavramını kullanarak, bu tanım formüle edilebilir.
Yani:
İrrasyonel üslü pozitif bir sayının gücü
a, dizinin yöneldiği sınırdır
dizisinin olması şartıyla bu sayının rasyonel kuvvetleri
bu derecelerin üsleri a'ya eğilimlidir, yani.
aa = lim aH
B - *
13 D, K. Fatshcheev, I.S. Sominsky

Rasyonel göstergeli derece, özellikleri.

ifade bir n n≤0 için a = 0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanmıştır. Bu derecelerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tamsayıları için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

A m * bir n = bir m + n; bir m: bir n = bir m-n (a ≠ 0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = bir n * bn; (b ≠ 0); 1 = bir; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Ayrıca aşağıdaki özelliği de not ediyoruz:

m> n ise, a> 1 için a m> a n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu alt bölümde, bir sayının kuvveti kavramını 2 gibi ifadelere anlam vererek genelleştiriyoruz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 Bu durumda, rasyonel üslü dereceler, tam üslü derecelerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. Daha sonra, özellikle, sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalıdır m ... Gerçekten, eğer mülk

(bir p) q = bir pq

yürütülür, ardından

Son eşitlik, (n'inci kökün tanımına göre) sayınına sayısının n'inci kökü olmalıdır m.

Tanım.

Rasyonel üssü r = olan bir a> 0 sayısının derecesi, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır (n> 1), sayıdır

Yani tanım gereği

(1)

0 sayısının gücü yalnızca pozitif göstergeler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r> 0 için r = 0.

İrrasyonel göstergeli bir derece.

İrrasyonel sayıolarak temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üslü dereceler var. Bu derecelerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limiti denir gerekçeli ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiğinin birkaç noktasını çizelim x 2 değerini bir hesap makinesiyle önceden hesaplama x segmentte [–2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve sonra 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) Zihinsel olarak aynı yapıları 1/16, 1/32'lik bir adımla sürdürmek , vb., sonuçta ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilen, zaten tüm sayı doğrusunda tanımlanmış ve artan ve değerler alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş Büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu fonksiyonun da benzer özelliklere sahip olduğundan emin olunabilir (fark, fonksiyonun R) azalır.

Bu gözlemler, 2 sayılarını bu şekilde tanımlayabileceğinizi gösteriyor.α ve her irrasyonel α için, y = 2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y = 2 fonksiyonu x artar ve fonksiyontam sayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl olduğunu genel hatlarıyla açıklayalım. α a> 1 için irrasyonel α için. y = a fonksiyonunu elde etmek istiyoruz x artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri sağlamalıdır a 1<а α <а r 1 .

Değerlerin seçilmesi r 1 ve r2 x'e yaklaşıldığında, a'nın karşılık gelen değerlerinin r 1 ve r 2 az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan sadece bir y sayısının olduğu kanıtlanabilir. 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az bir r 2 tüm rasyonel r için 2 ... Bu sayı y tanım gereği a'dır α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesini kullanmak x, x n ve x` n noktalarında, burada x n ve x` n - bir sayının ondalık yaklaşımlarıyakın x olduğunu bulacağız n ve x` n k , fark ne kadar azsa 2 x n ve 2 x` n.

O zamandan beri

ve bu nedenle

Benzer şekilde, aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalık ile oranlara ulaşırız

;

;

;

;

.

Anlam Hesap makinesinde hesaplanan aşağıdaki gibidir:

.

bir numara α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 herhangi bir α ve 0 içinα> 0 için α = 0.

Üstel fonksiyon.

NS a > 0, a = 1, fonksiyon tanımlandı y = bir x sabitten başka. Bu özellik denir üstel fonksiyon temel ilea.

y= bir x NS a> 1:

Taban 0 ile üstel fonksiyon grafikleri< a < 1 и a> 1 şekilde gösterilmiştir.

Temel özellikler üstel fonksiyon y= bir x 0'da< a < 1:

• Fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur.
• İşlev aralığı - yayılma (0; + ) .
• Fonksiyon tam sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artıyor, yani x 1 < x 2, o zaman bir x 1 > bir x 2 .
• NS x= 0, fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer x> 0, sonra 0< a < 1 ve eğer x < 0, то bir x > 1.
İLE Genel Özellikler 0 için üstel fonksiyon< a < 1, так и при a> 1 şunları içerir:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, hepsi için x 1 ve x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax herkes için x.
• na x= a

Rasyonel göstergeli derece, özellikleri.

ifade bir n n≤0 için a = 0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanmıştır. Bu derecelerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tamsayıları için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

A m * bir n = bir m + n; bir m: bir n = bir m-n (a ≠ 0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = bir n * bn; (b ≠ 0); 1 = bir; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Ayrıca aşağıdaki özelliği de not ediyoruz:

m> n ise, a> 1 için a m> a n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu alt bölümde, bir sayının kuvveti kavramını 2 gibi ifadelere anlam vererek genelleştiriyoruz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 Bu durumda, rasyonel üslü dereceler, tam üslü derecelerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. Daha sonra, özellikle, sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalıdır m ... Gerçekten, eğer mülk

(bir p) q = bir pq

yürütülür, ardından

Son eşitlik, (n'inci kökün tanımına göre) sayınına sayısının n'inci kökü olmalıdır m.

Tanım.

Rasyonel üssü r = olan bir a> 0 sayısının derecesi, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır (n> 1), sayıdır

Yani tanım gereği

(1)

0 sayısının gücü yalnızca pozitif göstergeler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r> 0 için r = 0.

İrrasyonel göstergeli bir derece.

İrrasyonel sayıolarak temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üslü dereceler var. Bu derecelerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limiti denir gerekçeli ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiğinin birkaç noktasını çizelim x 2 değerini bir hesap makinesiyle önceden hesaplama x segmentte [–2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve sonra 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) Zihinsel olarak aynı yapıları 1/16, 1/32'lik bir adımla sürdürmek , vb., sonuçta ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilen, zaten tüm sayı doğrusunda tanımlanmış ve artan ve değerler alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Fonksiyon grafiğinin yeterince çok sayıda noktasını oluşturmuş olmak, bu fonksiyonun da benzer özelliklere sahip olduğundan emin olunabilir (fark, fonksiyonun R) azalır.

Bu gözlemler, 2 sayılarını bu şekilde tanımlayabileceğinizi gösteriyor.α ve her irrasyonel α için, y = 2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y = 2 fonksiyonu x artar ve fonksiyontam sayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl olduğunu genel hatlarıyla açıklayalım. α a> 1 için irrasyonel α için. y = a fonksiyonunu elde etmek istiyoruz x artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri sağlamalıdır a 1<а α <а r 1 .

Değerlerin seçilmesi r 1 ve r2 x'e yaklaşıldığında, a'nın karşılık gelen değerlerinin r 1 ve r 2 az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan sadece bir y sayısının olduğu kanıtlanabilir. 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az bir r 2 tüm rasyonel r için 2 ... Bu sayı y tanım gereği a'dır α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesini kullanmak x, x n ve x` n noktalarında, burada x n ve x` n - bir sayının ondalık yaklaşımlarıyakın x olduğunu bulacağız n ve x` n k , fark ne kadar azsa 2 x n ve 2 x` n.

O zamandan beri

ve bu nedenle

Benzer şekilde, aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalık ile oranlara ulaşırız

;

;

;

;

.

Anlam Hesap makinesinde hesaplanan aşağıdaki gibidir:

.

bir numara α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 herhangi bir α ve 0 içinα> 0 için α = 0.

Üstel fonksiyon.

NS a > 0, a = 1, fonksiyon tanımlandı y = bir x sabitten başka. Bu özellik denir üstel fonksiyon temel ilea.

y= bir x NS a> 1:

Taban 0 ile üstel fonksiyon grafikleri< a < 1 и a> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri y= bir x 0'da< a < 1:

• Fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur.
• İşlev aralığı - yayılma (0; + ) .
• Fonksiyon tam sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artıyor, yani x 1 < x 2, o zaman bir x 1 > bir x 2 .
• NS x= 0, fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer x> 0, sonra 0< a < 1 ve eğer x < 0, то bir x > 1.
0 için üstel fonksiyonun genel özellikleri< a < 1, так и при a> 1 şunları içerir:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, hepsi için x 1 ve x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax herkes için x.
• na x= a

Bilgi patlaması Biyolojide - bir Petri kabındaki mikrobiyal koloniler Avustralya'da tavşanlar Zincirleme reaksiyonlar - kimyada Fizikte - radyoaktif bozunma, değişim atmosferik basınç irtifa değişikliği ile, vücut soğutma Fizikte - radyoaktif bozulma, irtifa değişikliği ile atmosferik basınçta bir değişiklik, vücut soğutması. Adrenalinin kana salınması ve yıkımı Her 10 yılda bir bilgi miktarının ikiye katlandığı da söylenmekte ve bilgi miktarının her 10 yılda bir ikiye katlandığını da iddia etmektedirler.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3,5

İfade 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 =, 5 = 1/2 3.5 = 1/2 7 = 1 / (8 2) = 2/ 16 2) =

3 = 1, ... 1; 1.7 1.73; 1.732, 1.73205; 1,;… dizi artıyor 2 1; 2 1.7; 2 1.73;2 1.732; 2 1.73205; 2 1,; ... dizi Sınırlı olarak artar ve bu nedenle bir sınıra yakınsar - 2 değeri 3

π 0 tanımlanabilir

10 10 18 y fonksiyonunun özellikleri = a x n \ n a> 10 10 10 10 10 title = "(! LANG: y fonksiyonunun özellikleri = a x n \ n a> 10 21

Bilgi miktarı her 10 yılda bir ikiye katlanır Öküz ekseninde - aritmetik ilerleme yasasına göre: 1,2,3,4…. Oy ekseninde - kanuna göre geometrik ilerleme: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Üstel fonksiyon grafiği, üs olarak adlandırılır (Latince üstelden - gösteriş yapmak için)