Her doğal sayı ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR , sonra verildiğini söylüyorlar sayı dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .

Dolayısıyla, sayısal bir dizi, doğal bir argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı A 1 isminde dizinin ilk üyesi , sayı A 2 — dizinin ikinci üyesi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n. üye diziler ve doğal sayı N — onun numarası .

İki komşu üyeden BİR Ve BİR +1 üye dizileri BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).

Bir dizi belirtmek için, herhangi bir sayıya sahip bir dizi üyesi bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Genellikle sıra ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir sıra üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.

Örneğin,

Pozitif tek sayıların dizisi formülle verilebilir.

BİR= 2N- 1,

ve dönüşümlü sıralama 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir yinelenen formül, yani, dizinin herhangi bir üyesini, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer bir 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

bir 1 = 1,

bir 2 = 1,

3 = bir 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,

4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son Ve sonsuz .

sıra denir nihai eğer sonlu sayıda üyeye sahipse. sıra denir sonsuz eğer sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

son.

Asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

sıra denir artan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden büyükse.

sıra denir azalan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . artan bir dizidir;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . azalan bir dizidir. ◄

Artan sayı ile elemanları azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .

Özellikle monoton diziler, artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayının eklendiği bir dizi çağrılır.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .

herhangi bir doğal sayı için ise aritmetik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

BİR +1 = BİR + D,

Nerede D - bir numara.

Böylece, belirli bir grubun bir sonraki ve bir önceki üyeleri arasındaki fark aritmetik ilerleme her zaman sabit:

bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.

Sayı D isminde aritmetik ilerlemenin farkı.

Bir aritmetik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer A 1 = 3, D = 4 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

bir 1 =3,

bir 2 = bir 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N

BİR = bir 1 + (N- 1)D.

Örneğin,

aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

bir 1 =1, D = 3,

30 = bir 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = bir 1 + (N- 2)D,

BİR= bir 1 + (N- 1)D,

BİR +1 = A 1 + nd,

o zaman belli ki

ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

BİR = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

◄

Dikkat N -bir aritmetik dizinin inci üyesi yalnızca aracılığıyla bulunamaz A 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k

BİR = bir k + (N- k)D.

Örneğin,

İçin A 5 yazılabilir

5 = bir 1 + 4D,

5 = bir 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

BİR = bir nk + kd,

BİR = bir n+k - kd,

o zaman belli ki

aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik dizinin ondan eşit uzaklıkta bulunan üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

2 + 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,

Birinci N aritmetik dizinin üyeleri, uç terimlerin toplamının yarısının terim sayısına göre çarpımına eşittir:

Bundan, özellikle, terimleri toplamanın gerekli olup olmadığı sonucu çıkar.

bir k, bir k +1 , . . . , BİR,

o zaman önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Bir aritmetik ilerleme verilirse, o zaman miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. burada:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
• Eğer D = 0 , dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

geometrik ilerleme her terimi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - bir numara.

Böylece, bu geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Bir geometrik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o N -th terimi aşağıdaki formülle bulunabilir:

bn = B 1 · q n -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

bn = b 1 · q n -1 ,

bn +1 = B 1 · q n,

o zaman belli ki

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Tersi de doğru olduğundan, aşağıdaki iddia geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ki bu da gerekli iddiayı kanıtlıyor. ◄

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim b k , bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = b k · q n - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q 3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = b k · q n - k,

bn = bn - k · qk,

o zaman belli ki

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak bir geometrik dizinin herhangi bir üyesinin karesi, bu dizinin ondan eşit uzaklıktaki elemanlarının çarpımına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bm· bn= b k· b l,

M+ N= k+ ben.

Örneğin,

katlanarak

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydalı bir geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

sn= not 1

Terimleri toplamamız gerekirse,

b k, b k +1 , . . . , bn,

sonra formül kullanılır:

Örneğin,

katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, nicelikler B 1 , bn, Q, N Ve sn iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terim ile geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluk özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artar:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir ilerleme azalmaktadır:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme işaret dönüşümlüdür: tek sayılı terimleri ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimleri zıt işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürün N geometrik bir ilerlemenin terimleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

P n= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz bir geometrik ilerleme olarak adlandırılır 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir payda ile dizi işaret dönüşümlüdür. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı birincinin toplamının geldiği sayıyı söyle N sayısında sınırsız artış ile ilerleme koşulları N . Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneği ele alalım.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O

b bir 1 , b bir 2 , b bir 3 , . . . b d .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . — farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir Q , O

a b 1 günlüğü, a b 2 günlüğü, a b 3 günlüğü, . . . — farkla aritmetik ilerleme oturum açQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

matematik nedirinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol eder.

Sovyet matematikçi, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Aritmetik ilerlemeler için görevlerin yanı sıra, matematik giriş sınavlarında geometrik dizi kavramıyla ilgili görevler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik bir dizinin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.

Bu makale, geometrik bir ilerlemenin ana özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Ayrıca tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler sunar., matematikte giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.

Geometrik ilerlemenin ana özelliklerini önceden not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilişkilidir.

Tanım. Sayı dizisi, ikinciden başlayarak her bir sayısı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayı ile çarpılıyorsa, geometrik dizi olarak adlandırılır. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir

, (1)

Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğidir: ilerlemenin her bir üyesi, komşu üyelerinin geometrik ortalamasıyla çakışır ve .

Not, söz konusu diziye "geometrik" denmesinin nedeni tam da bu özelliğidir.

Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde özetlenmiştir:

, (3)

Toplamı hesaplamak için Birinci geometrik bir ilerlemenin üyeleriformül geçerlidir

tayin edersek

Nerede . olduğundan, formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.

durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz azalmaktadır. Toplamı hesaplamak içinsonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm üyeleri için formül kullanılır

. (7)

Örneğin , formül (7) kullanılarak gösterilebilir, Ne

Nerede . Bu eşitlikler, , (birinci eşitlik) ve , (ikinci eşitlik) olmak üzere formül (7)'den elde edilir.

teorem. eğer , o zaman

Kanıt. eğer , o zaman ,

Teorem kanıtlanmıştır.

"Geometrik ilerleme" konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya geçelim.

örnek 1 Verilen: , ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5) uygulanırsa, o zaman

Cevap: .

Örnek 2 ve . Bulmak .

Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve denklem sistemini elde ederiz.

(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, ardından veya . Bundan şu gelir . İki durumu ele alalım.

1. Eğer , o zaman sistemin ilk denkleminden (9) elimizdeki.

2. Eğer , öyleyse .

Örnek 3 ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (2)'den, veya . O zamandan beri veya .

Koşula göre. Bununla birlikte . Çünkü ve, o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .

Denklemin tek uygun kökü olduğu için . Bu durumda, sistemin ilk denklemi ima eder.

Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 4 Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. O zamandan beri .

Çünkü, o zaman veya

Formül (2)'ye göre, elimizde . Bu bağlamda, eşitlikten (10) elde ederiz veya .

Ancak, şarta göre, bu nedenle.

Örnek 5 Bilindiği gibi . Bulmak .

Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var.

O zamandan beri veya . Çünkü, o zaman.

Cevap: .

Örnek 6 Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5) dikkate alındığında, elde ederiz

O zamandan beri . , ve , o zamandan beri .

Örnek 7 ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (1) 'e göre yazabiliriz

Bu nedenle, elimizde veya var. Bilindiği gibi ve , bu nedenle ve .

Cevap: .

Örnek 8 Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin paydasını bulun, eğer

Ve .

Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin durumundan denklem sistemini elde ederiz.

Sistemin birinci denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra alırız

Veya .

Cevap: .

Örnek 9, , dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.

Çözüm. ve . Geometrik bir ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .

Kontrol edelim: eğer, sonra , ve ; eğer , o zaman , ve .

İlk durumda elimizde ve , ve ikinci - ve .

Cevap: , .

Örnek 10denklemi çözün

, (11)

Nerede ve .

Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamıdır ve burada ve , sağlanan: ve .

Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda, denklem (11) şu şekli alır: veya . uygun kök ikinci dereceden denklem dır-dir

Cevap: .

Örnek 11. P pozitif sayılar dizisiaritmetik ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .

Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (bir aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, ardından veya . Bu, geometrik ilerlemenin. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz .

O zamandan beri ve , o zaman . Bu durumda, ifade veya şeklini alır. koşula göre, yani denklemdenalırız tek karar dikkate alınan sorun, yani .

Cevap: .

Örnek 12. Toplamı hesapla

. (12)

Çözüm. Eşitliğin (12) her iki tarafını da 5 ile çarp ve şunu elde et:

Ortaya çıkan ifadeden (12) çıkarırsak, O

veya .

Hesaplamak için, değerleri formül (7) ile değiştiririz ve elde ederiz. O zamandan beri .

Cevap: .

Burada verilen problem çözme örnekleri, adayların giriş sınavlarına hazırlanmalarında faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemleri hakkında daha derin bir çalışma için, geometrik bir ilerleme ile ilişkili, kullanılabilir çalışma kılavuzlarıönerilen literatür listesinden.

1. Teknik üniversitelere başvuran adaylar için matematik görevlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medynsky M.M. Tam kurs temel matematik görevlerde ve alıştırmalarda. 2. Kitap: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Düzenleme, 2015. - 208 s.

Sormak istediğiniz bir şey var mı?

Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

zaten içinde Antik Mısır sadece aritmetiği değil, aynı zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyordu. Burada örneğin Rhind papirüsünden bir görev var: “Yedi yüzün yedi kedisi vardır; her kedi yedi fare yer, her fare yedi başak mısır yer, her başak yedi ölçek arpa yetiştirebilir. Bu dizideki sayılar ve toplamları ne kadar büyük?

Pirinç. 1. Eski Mısır geometrik ilerleme problemi

Bu görev, diğer zamanlarda diğer halklar arasında farklı varyasyonlarla birçok kez tekrarlandı. Örneğin, XIII.Yüzyılda yazılı olarak. Pisa'lı Leonardo'nun (Fibonacci) "Abaküs Kitabı", her biri 7 torbaya sahip 7 katır taşıyan 7 yaşlı kadının Roma'ya giderken (belli ki hacılar) göründüğü bir soruna sahiptir. 7 ekmeği vardır, her birinde 7 bıçak vardır ve her biri 7 kılıftadır. Problem kaç tane öğe olduğunu soruyor.

Geometrik dizinin ilk n üyesinin toplamı S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Bu formül, örneğin şu şekilde kanıtlanabilir: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

b 1 q n sayısını S n'ye ekleyelim ve şunu elde edelim:

Dolayısıyla S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ve gerekli formülü elde ederiz.

Zaten 6. yüzyıla kadar uzanan Antik Babil'in kil tabletlerinden birinde. M.Ö e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 toplamını içerir. Doğru, diğer bazı durumlarda olduğu gibi, bu gerçeğin Babilliler tarafından nerede bilindiğini bilmiyoruz. .

Bir dizi kültürde, özellikle Hindistan'da geometrik bir ilerlemenin hızlı büyümesi, defalarca evrenin uçsuz bucaksızlığının açık bir sembolü olarak kullanılır. Satrancın ortaya çıkışıyla ilgili meşhur efsanede hükümdar, mucidine bir ödül seçme fırsatı verir ve satrancın ilk hücresine yerleştirildiğinde elde edilecek kadar çok buğday tanesi ister. satranç tahtası, ikincide iki, üçüncüde dört, dördüncüde sekiz vb., sayı her ikiye katlandığında. efendi düşündü ki Konuşuyoruz, en fazla, yaklaşık birkaç çanta, ama yanlış hesapladı. Mucidin satranç tahtasının 64 karesinin tamamı için 20 basamaklı bir sayı olarak ifade edilen (2 64 - 1) tane almış olması gerektiğini görmek kolaydır; Dünyanın tüm yüzeyi ekilse bile gerekli sayıda tahılın toplanması en az 8 yıl sürerdi. Bu efsane bazen satranç oyununda gizlenen neredeyse sınırsız olasılıklara bir gönderme olarak yorumlanır.

Bu sayının gerçekten 20 haneli olduğu gerçeğini görmek kolaydır:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (daha doğru bir hesaplama 1,84 10 19 verir). Ama acaba bu sayının hangi rakamla bittiğini bulabilir misiniz?

Payda mutlak değerde 1'den büyükse geometrik bir dizi artan, birden küçükse azalan bir dizidir. İkinci durumda, q n sayısı, yeterince büyük n için keyfi olarak küçük olabilir. Artan bir üstel beklenmedik şekilde hızlı artarken, azalan bir üstel aynı hızla azalır.

n ne kadar büyükse, q n sayısı sıfırdan o kadar zayıftır ve S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) geometrik ilerlemesinin n üyesinin toplamı S \u003d b 1 sayısına o kadar yakındır / (1 - k) . (Öyleyse, örneğin F. Viet). S sayısı, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı olarak adlandırılır. Bununla birlikte, yüzyıllar boyunca, sonsuz terim sayısına sahip TÜM geometrik ilerlemenin toplamının anlamının ne olduğu sorusu matematikçiler için yeterince açık değildi.

Azalan bir geometrik ilerleme, örneğin Zeno'nun çıkmazları "Isırma" ve "Aşil ve kaplumbağa" da görülebilir. İlk durumda, tüm yolun (1 uzunluğunu varsayın) sonsuz sayıda parçanın 1/2, 1/4, 1/8, vs. toplamı olduğu açıkça gösterilmiştir. sonlu toplam sonsuz geometrik ilerleme hakkındaki fikirlerin bakış açısı. Ve yine de - bu nasıl olabilir?

Aşil ile ilgili açmazda durum biraz daha karmaşıktır çünkü burada ilerlemenin paydası 1/2'ye değil, başka bir sayıya eşittir. Örneğin Aşil v hızında koşsun, kaplumbağa u hızında hareket etsin ve aralarındaki ilk mesafe l olsun. Aşil bu mesafeyi l / v süresinde koşacak, kaplumbağa bu süre boyunca lu / v mesafesini kat edecektir. Aşil bu segmentten geçtiğinde, onunla kaplumbağa arasındaki mesafe l (u / v) 2 vb. terim l ve payda u / v. Bu toplam - Aşil'in sonunda kaplumbağa ile buluşma noktasına koşacağı segment - eşittir l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ama yine de, bu sonucun nasıl yorumlanacağı ve neden bir anlam ifade ettiği, uzun zamandırçok net değildi.

Arşimet tarafından bir parabol parçasının alanını belirlerken geometrik bir ilerlemenin toplamı kullanıldı. Parabolün verilen parçası AB kirişi tarafından sınırlandırılsın ve parabolün D noktasındaki teğet AB'ye paralel olsun. C, AB'nin orta noktası, E, AC'nin orta noktası, F, CB'nin orta noktası olsun. A , E , F , B noktalarından DC'ye paralel çizgiler çizin; D noktasında çizilen teğet bu doğrular K , L , M , N noktalarında kesişsin. AD ve DB segmentlerini de çizelim. EL doğrusu AD doğrusu ile G noktasında ve parabol H noktasında kesişsin; FM doğrusu, DB doğrusu ile Q noktasında ve parabol ile R noktasında kesişir. Konik bölümlerin genel teorisine göre DC, bir parabolün (yani eksenine paralel bir parçanın) çapıdır; o ve D noktasındaki teğet, parabol denkleminin y2 \u003d 2px olarak yazıldığı x ve y koordinat eksenleri olarak hizmet edebilir (x, D'den belirli bir çapın herhangi bir noktasına olan mesafedir, y, a'nın uzunluğudur) bu çap noktasından parabolün kendisindeki bir noktaya kadar belirli bir teğete paralel segment).

Parabol denklemi sayesinde, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ve DK = 2DL olduğundan, KA = 4LH . KA = 2LG olduğundan, LH = HG. Parabolün ADB segmentinin alanı, ΔADB üçgeninin alanına ve AHD ve DRB segmentlerinin alanlarına eşittir. Buna karşılık, AHD segmentinin alanı benzer şekilde AHD üçgeninin alanına ve kalan AH ve HD segmentlerine eşittir, bunların her biri aynı işlemi gerçekleştirebilir - bir üçgene (Δ) bölün ve kalan iki bölüm (), vb.:

ΔAHD üçgeninin alanı, ΔALD üçgeninin alanının yarısına eşittir (ortak bir AD tabanına sahiptirler ve yükseklikler 2 kat farklıdır), bu da alanın yarısına eşittir ​​ΔAKD üçgeni ve dolayısıyla ΔACD üçgeninin alanının yarısı. Böylece, ΔAHD üçgeninin alanı, ΔACD üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Aynı şekilde, ΔDRB üçgeninin alanı, ΔDFB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Böylece, birlikte alınan ∆AHD ve ∆DRB üçgenlerinin alanları, ∆ADB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Bu işlemin AH , HD , DR ve RB segmentlerine uygulandığı şekliyle tekrarlanması, alanları birlikte alındığında ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin alanından 4 kat daha az olacak olan üçgenleri de seçecektir. birlikte ve dolayısıyla ΔADB üçgeninin alanından 16 kat daha az. Ve benzeri:

Böylece Arşimet, "düz bir çizgi ile bir parabol arasında bulunan her parçanın, onunla aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgenin üçte dördü olduğunu" kanıtladı.

Geometrik dizi, aritmetik ile birlikte incelenen önemli bir sayı dizisidir. okul kursu 9. sınıfta cebir. Bu yazıda, bir geometrik dizinin paydasını ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğini ele alacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Başlamak için, bu sayı dizisinin tanımını veriyoruz. Geometrik ilerleme bir dizidir rasyonel sayılar, ilk öğesini payda adı verilen sabit bir sayı ile sırayla çarparak oluşturulur.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir dizidir çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsak 6 elde ederiz. 6'yı 2 ile çarparsak 12, vb.

Ele alınan dizinin üyeleri genellikle i'nin dizideki eleman sayısını gösteren bir tam sayı olduğu ai sembolü ile gösterilir.

Bir ilerlemenin yukarıdaki tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: eğer n = 1 ise, o zaman b1-1 = 1 ve a1 = a1 elde ederiz. n = 2 ise, o zaman an = b * a1 ve yine söz konusu sayı dizisinin tanımına geliyoruz. Benzer muhakeme şu şekilde devam ettirilebilir: büyük değerler N.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, tüm sayı dizisinin hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayılar dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... a1 öğesi negatifse, tüm dizi yalnızca modulo artacak, ancak sayıların işaretini dikkate alarak azalacaktır.
• b = 1. Özdeş rasyonel sayılardan oluşan sıradan bir dizi olduğundan, genellikle böyle bir duruma ilerleme denmez. Örneğin, -4, -4, -4.

toplam için formül

İncelemeye geçmeden önce özel görevler Söz konusu ilerleme türünün paydası kullanılarak, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerleme üyelerinin özyinelemeli bir dizisini düşünürseniz, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca, yukarıdaki formülde, toplamı bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın. Rasgele sayıüyeler.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama vardı. Şimdi, Sn'nin formülünü bilerek, onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i geçmeyen herhangi bir sayı büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfıra eğilimli olduğundan, yani -1 ise b∞ => 0

Paydanın değerinden bağımsız olarak fark (1 - b) her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik dizi S∞ toplamının işareti, ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi, edinilen bilgiyi belirli sayılara nasıl uygulayacağımızı göstereceğimiz birkaç sorunu ele alacağız.

Görev numarası 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen öğelerinin hesaplanması

Bir geometrik dizi verildiğinde, dizinin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri ne olacak ve ilk yedi öğesinin toplamı nedir?

Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Bu nedenle, n numaralı elemanı hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. eleman için şuna sahibiz: a7 = b6 * a1, bilinen verileri değiştirerek şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. üye için de yapıyoruz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için bilinen formülü kullanıyoruz ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirliyoruz. Elimizde: Ö7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Görev numarası 2. İlerlemenin isteğe bağlı öğelerinin toplamını belirleme

-2, bn-1 * 4 üstel ilerlemesinin paydası olsun, burada n bir tamsayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamını belirlemek gerekir.

Ortaya konan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 ile çözebilirsin çeşitli metodlar. Bütünlük uğruna, ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikri basit: ilk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Küçük toplamı hesaplayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede sadece 4 terimin özetlendiğine dikkat edin, çünkü 5. terim zaten problemin durumuna göre hesaplanması gereken toplama dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimleri arasındaki toplam için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekiyle tamamen aynı şekilde hareket ediyoruz, sadece önce toplamın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Görev numarası 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik dizinin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayılar dizisi olduğunu bilin.

Problemin durumuna göre çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değil. Tabii ki, sonsuz azalan bir ilerlemenin toplamı için. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b). Paydayı ifade ettiğimiz yerden: b = 1 - a1 / S∞. Bilinen değerleri değiştirmek ve gerekli sayıyı almak için kalır: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 veya -0.333 (3). Bu tür bir dizi için, b modülünün 1'in ötesine geçmemesi gerektiğini hatırlarsak, bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Gördüğünüz gibi, |-1 / 3|

Görev numarası 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı dizisinin 2 elemanı verilsin, örneğin, 5'i 30'a ve 10'u 60'a eşittir. Geometrik bir ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek, tüm seriyi bu verilerden geri yüklemek gerekir.

Problemi çözmek için, önce bilinen her üye için karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1 var. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye böleriz, şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan, problemin koşulundan bilinen üyelerin oranının beşinci derece kökünü alarak paydayı belirliyoruz, b = 1.148698. Ortaya çıkan sayıyı bilinen bir öğenin ifadelerinden birine koyarız, şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece bn dizisinin paydasının ne olduğunu ve bn-1 * 17.2304966 = an geometrik dizisinin paydasını bulduk, burada b = 1.148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayısal dizinin pratikte bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik bir ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

En ünlü 3 örnek aşağıda listelenmiştir:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Satranç tahtasının her hücresine buğday taneleri yerleştirilirse, 1 tane 1. hücreye, 2 - 2. hücreye, 3 - 3. hücreye vb. pano!
• "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine yeniden düzenlemek için 2n - 1 işlem yapmak gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısından n katlanarak artar.

Bir geometrik dizinin n'inci üyesi için formül çok basit bir şeydir. Hem anlam olarak hem de genel olarak. Ancak n'inci üyenin formülü için çok ilkelden oldukça ciddi olanlara kadar her türden sorun vardır. Ve tanışma sürecinde ikisini de kesinlikle dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani, başlangıç ​​için, aslında formülN

İşte burada:

bn = B 1 · q n -1

Formül olarak formül, doğaüstü bir şey değil. için benzer formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme gibi basittir.

Bu formül, SAYISINA GÖRE geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini bulmanızı sağlar " N".

Gördüğünüz gibi, anlam, aritmetik bir ilerleme ile tam bir benzetmedir. n sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de hesaplayabiliriz. Ne istiyoruz. Sırayla "q" ile pek çok kez çarpmamak. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle çalışmanın bu düzeyinde, formülde yer alan tüm niceliklerin sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak her birini deşifre etmeyi görevim olarak görüyorum. Her ihtimale karşı.

O zaman hadi gidelim:

B 1 – Birinci geometrik bir ilerlemenin üyesi;

Q – ;

N- üye numarası;

bn – inci (Ninci) geometrik bir ilerlemenin üyesi.

Bu formül, herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar - BN, B 1 , Q Ve N. Ve bu dört temel figürün etrafında, ilerlemedeki tüm görevler döner.

"Peki nasıl gösteriliyor?"- Meraklı bir soru duyuyorum ... İlköğretim! Bakmak!

neye eşittir ikinci ilerleme üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:

b2 = b1q

Ve üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarparız tekrarQ.

Bunun gibi:

B3 \u003d b2q

Şimdi, ikinci terimin de b 1 q'ya eşit olduğunu hatırlayın ve bu ifadeyi eşitliğimizin yerine koyun:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Biz:

B 3 = b 1 q 2

Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim, q ile çarpılan ilk terime eşittir ikinci derece. anladın mı Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q üzerinde:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 q 3

Ve yine Rusçaya tercüme ediyoruz: dördüncü terim, q ile çarpılan ilk terime eşittir üçüncü derece.

Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladın mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, eşit çarpanların sayısı q (yani, paydanın gücü) her zaman olacaktır. istenen üyenin sayısından bir eksikN.

Bu nedenle, formülümüz seçenekler olmadan şöyle olacaktır:

b n =B 1 · q n -1

Bu kadar.)

Pekala, hadi problemleri çözelim, olur mu?)

Problemleri bir formül üzerinde çözmeNgeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.

Her zamanki gibi formülü doğrudan uygulayarak başlayalım. İşte tipik bir sorun:

Üstel olarak biliniyor ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Tabii ki, bu sorun herhangi bir formül olmadan çözülebilir. Tıpkı geometrik bir ilerleme gibi. Ama n'inci terimin formülü ile ısınmamız gerekiyor değil mi? İşte ayrılıyoruz.

Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk terim biliniyor. Bu 512.

B 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinmektedir: Q = -1/2.

Sadece n teriminin sayısının neye eşit olduğunu bulmak için kalır. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Bu nedenle genel formülde n yerine on yerine koyarız.

Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi, ilerlemenin onuncu terimi eksi oldu. Şaşılacak bir şey yok: ilerlemenin paydası -1/2, yani olumsuz sayı. Ve bu bize ilerlememizin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu söylüyor, evet.)

Burada her şey basit. Ve işte benzer bir problem, ancak hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Geometrik ilerlemede şunu biliyoruz:

B 1 = 3

Dizinin on üçüncü terimini bulun.

Her şey aynı, sadece bu sefer ilerlemenin paydası - mantıksız. ikinin kökü. Önemli değil. Formül evrensel bir şeydir, herhangi bir sayı ile başa çıkabilir.

Doğrudan şu formüle göre çalışıyoruz:

Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ama ... bazılarının takılacağı yer burası. Bundan sonra kök ile ne yapmalı? On ikinci güce bir kök nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl ... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmedi! Nasıl yükseltilir? Evet, derecelerin özelliklerini hatırlayın! Kökü değiştirelim kesirli derece ve - bir kuvveti bir kuvvete yükseltme formülü ile.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve her şey.)

n'inci terim formülünün doğrudan uygulanmasındaki ana zorluk nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışın! Yani, üs alma negatif sayılar, kesirler, kökler ve benzeri yapılar. Bu yüzden bu konuda sorun yaşayanlar, dereceleri ve özelliklerini tekrar etmeleri için acil bir istekte bulunsunlar! Aksi halde bu konuda yavaşlarsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün öğelerinden biri eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunların başarılı bir şekilde çözülmesi için, tarif tektir ve korkutması kolaydır - formülü yazNinci üye Genel görünüm! Durumun hemen yanındaki not defterinde. Ve sonra koşuldan bize neyin verildiğini ve neyin yeterli olmadığını anlıyoruz. Ve formülden ifade ediyoruz istenen değer. Tüm!

Örneğin, böyle zararsız bir sorun.

Paydası 3 olan bir geometrik dizinin beşinci terimi 567'dir. Bu dizinin ilk terimini bulunuz.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.

n'inci terimin formülünü yazıyoruz!

bn = B 1 · q n -1

Bize verilen nedir? İlk olarak, ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.

Ayrıca bize verilen beşinci dönem: B 5 = 567 .

Tüm? HAYIR! Ayrıca bize n sayısı verildi! Bu bir beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsınızdır. B 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu, beşinci üyenin kendisi (567) ve onun numarasıdır (5). Bununla ilgili benzer bir derste bundan zaten bahsetmiştim, ancak burada hatırlatmanın gereksiz olmadığını düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:

567 = B 1 3 5-1

Aritmetiği ele alıyoruz, sadeleştiriyoruz ve bir basit elde ediyoruz Doğrusal Denklem:

81 B 1 = 567

Çözüyoruz ve alıyoruz:

B 1 = 7

Gördüğünüz gibi ilk üyeyi bulmakta herhangi bir sorun yok. Ama paydayı ararken Q ve sayılar N sürprizler olabilir. Ve bunlara (sürprizlere) de hazırlıklı olmalısınız, evet.)

Örneğin, böyle bir sorun:

Paydası pozitif olan bir geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

Bu kez bize birinci ve beşinci üyeler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.

formülü yazıyoruzNinci üye!

bn = B 1 · q n -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

B 5 = 162

B 1 = 2

N = 5

Yeterli değer yok Q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyuyoruz.

Biz:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Dördüncü dereceden basit bir denklem. Ama şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen neşe içinde (dördüncü dereceden) kökü çıkarır ve cevabı alır. Q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

Q = 3

Ancak genel olarak, bu bitmemiş bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Mesele şu ki, cevap Q = -3 şuna da uyar: (-3) 4 de 81 olur!

Bunun nedeni, güç denkleminin x n = A her zaman vardır iki zıt kök de eşitN . Artı ve eksi:

İkisi de uygun.

Örneğin, çözme (örn. ikinci derece)

x2 = 9

Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da aynı. Ve diğerleriyle eşit derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Ayrıntılar - hakkında konuda

Bu yüzden doğru çözümşöyle olacak:

Q 4 = 81

Q= ±3

Tamam, işaretleri bulduk. Hangisi doğru - artı mı eksi mi? Peki, sorunun durumunu aramak için tekrar okuyoruz Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir, ancak bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Bizim durumumuzda doğrudan bir ilerleme verildiği belirtilmektedir. pozitif payda.

Yani cevap açık:

Q = 3

Burada her şey basit. Sorun ifadesi şöyle olsaydı ne olurdu sizce:

Bir geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

Fark ne? Evet! durumda Hiç bir şey paydadan söz edilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!

Q = 3 Ve Q = -3

Evet evet! Ve artı ve eksi ile.) Matematiksel olarak, bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme bu göreve uygun. Ve her biri için - kendi paydası. Eğlenmek için pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.

Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

3; 6; 12; 24; …

Bu dizide 768 hangi sayıdır?

İlk adım aynıdır: formülü yazNinci üye!

bn = B 1 · q n -1

Ve şimdi, her zamanki gibi, bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hm... uymuyor! İlk üye nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!

Nerede, nerede ... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpikleri çırpmak mı? Bu kez ilerleme bize doğrudan formda verilir. diziler.İlk terimi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Peki payda? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii anlarsan.

İşte düşünüyoruz. Doğrudan bir geometrik ilerlemenin anlamına göre: üyelerinden herhangi birini (ilki hariç) alır ve bir öncekine böleriz.

En azından şöyle:

Q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bazı üyelerini de biliyoruz. Bazı n sayısı altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama görevimiz tam olarak onu bulmak.) Bu yüzden arıyoruz. Formülde ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. farkedilmeden.)

Burada değiştiriyoruz:

768 = 3 2N -1

Temel olanları yapıyoruz - her iki parçayı da üçe bölüyoruz ve denklemi olağan biçimde yeniden yazıyoruz: solda bilinmeyen, sağda bilinen.

Biz:

2 N -1 = 256

İşte ilginç bir denklem. "n" bulmamız gerekiyor. Olağandışı olan nedir? Evet, tartışmıyorum. Aslında, en basiti. Böyle denir çünkü bilinmeyen (içinde bu durum bu numara N) duruyor gösterge derece.

Geometrik bir ilerlemeyle tanışma aşamasında (bu dokuzuncu sınıf), üstel denklemlerin çözülmesi öğretilmiyor, evet ... Bu bir lise konusu. Ama korkunç bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmeseniz bile, hadi bizimkini bulmaya çalışalım. N basit mantık ve sağduyu tarafından yönlendirilir.

tartışmaya başlıyoruz. Solda bir ikili var belli bir dereceye kadar. Henüz bu derecenin tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak öte yandan, bu derecenin 256'ya eşit olduğunu kesin olarak biliyoruz! Yani ikilinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırladın mı? Evet! İÇİNDE sekizinci derece!

256 = 2 8

Sorunun derecelerini hatırlamadıysanız veya tanımadıysanız, o zaman sorun değil: sırayla ikisini kareye, kübe, dördüncü güce, beşinciye vb. Seçim, aslında, ama bu seviyede, epey zorlu.

Öyle ya da böyle, şunları elde edeceğiz:

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? İlkokuldan bıktınız mı? Kabul etmek. Ve ben de Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha karmaşık görevler.

Ve şimdi bulmacaları daha ani bir şekilde çözüyoruz. Tam olarak süper havalı değil, ama cevaba ulaşmak için üzerinde biraz çalışmanız gerekiyor.

Örneğin, bunun gibi.

Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik dizinin ikinci terimini bulun.

Bu, türün bir klasiğidir. İlerlemenin iki farklı üyesi biliniyor, ancak bir üye daha bulunması gerekiyor. Ayrıca, tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta kafa karıştıran şey, evet ...

İçinde olduğu gibi , bu tür sorunları çözmek için iki yöntem düşünüyoruz. İlk yol evrenseldir. Cebirsel. Tüm kaynak verilerle kusursuz çalışır. Böylece başlayacağımız yer orasıdır.)

Her terimi formüle göre boyarız Ninci üye!

Her şey aritmetik bir ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve sırayla ilk verilerimizi n'inci terimin formülüyle değiştiriyoruz. Her üye için - kendi.

Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Yemek yemek. Bir denklem tamamlandı.

Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

için toplamda iki denklem elde edilmiştir. aynı ilerleme .

Onlardan bir sistem kuruyoruz:

Müthiş görünümüne rağmen, sistem oldukça basittir. Çözmenin en bariz yolu olağan ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üst denklemden ve aşağıdakine yerine koyun:

Alt denklemle biraz uğraşmak (üsleri azaltmak ve -24'e bölmek) şunu verir:

Q 3 = -8

Bu arada, aynı denklem daha basit bir şekilde elde edilebilir! Ne? Şimdi size başka bir sır göstereceğim ama çok güzel, güçlü ve faydalı yol Bu tür sistemler için çözümler. Denklemlerinde oturdukları bu tür sistemler sadece çalışır. En azından birinde. isminde terim bölme yöntemi bir denklem diğerine.

Yani bir sistemimiz var:

Soldaki her iki denklemde - iş, ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyiye işaret.) Hadi alalım ve ... diyelim ki alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölmek?Çok basit. biz alırız Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölüşürüz onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üstte). Sağ taraf benzer: Sağ Taraf bir denklem bölüşürüz Açık Sağ Taraf bir diğer.

Tüm bölme işlemi şöyle görünür:

Şimdi, azaltılan her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu yöntemin nesi iyi? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli sadece çarpmalar sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok - azaltılacak bir şey yok, evet ...

Genel olarak, bu yöntem (sistemleri çözmenin önemsiz olmayan diğer birçok yolu gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha yakından bakacağım. Bir gün…

Ancak, sistemi nasıl çözerseniz çözün, her durumda, şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

Q 3 = -8

Sorun değil: kökü (kübik) çıkarıyoruz ve - bitti!

Çıkartırken buraya artı/eksi koymanın gerekli olmadığına lütfen dikkat edin. Tek (üçüncü) derece kökümüz var. Ve cevap aynı, evet.

Böylece, ilerlemenin paydası bulunur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (en üstteki denklemden diyelim) şunu elde ederiz:

Harika! İlk terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi dahil.)

İkinci üye için her şey oldukça basit:

B 2 = B 1 · Q= 3 (-2) = -6

Cevap: -6

Böylece, problemi çözmenin cebirsel yolunu çözdük. Zor? Çok değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yolu.İyi eski ve bize tanıdık .)

Problemi çizelim!

Evet! Kesinlikle. Yine sayı ekseninde ilerlememizi gösteriyoruz. Mutlaka bir cetvel tarafından değil, üyeler arasında eşit aralıklar sağlamak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), Ama sadece şematik olarak sıramızı çizelim.

Ben şöyle anladım:

Şimdi resme bakın ve düşünün. Kaç eşit faktör "q" paylaşır dördüncü Ve yedinciüyeler? Bu doğru, üç!

Bu nedenle, şunları yazmaya hakkımız var:

-24Q 3 = 192

Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:

Q 3 = -8

Q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Ve şimdi resme tekrar bakıyoruz: arasında bu tür kaç payda var? ikinci Ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu üyeler arasındaki ilişkiyi kaydetmek için paydayı yükselteceğiz. kare.

İşte yazıyoruz:

B 2 · Q 2 = -24 , Neresi B 2 = -24/ Q 2

Bulunan paydamızı b2 ifadesinde yerine koyuyoruz, sayıyoruz ve elde ediyoruz:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi, her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Hiç.)

İşte böyle basit ve görsel bir ışık yolu. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı var. Tahmin mi ettin? Evet! Sadece çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda, bir resim çizmek zaten zordur, evet ... O zaman sorunu bir sistem aracılığıyla analitik olarak çözeriz.) Ve sistemler evrensel bir şeydir. Herhangi bir numara ile anlaşma.

Başka bir epik:

Geometrik dizide ikinci terim birinciden 10, üçüncü terim ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.

Ne güzel? Hiç de bile! Hepsi aynı. Problemin durumunu tekrar saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi formüle göre boyarız Ninci üye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Problemin durumundan üyeler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

Koşulu okumak: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi, birincisinden 10 fazladır." Dur, bu değerli!

Öyleyse yazıyoruz:

B 2 = B 1 +10

Ve bu ifadeyi saf matematiğe çeviriyoruz:

B 3 = B 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştiriyoruz:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için pek çok farklı dizin vardır. İlk üye ve payda üzerinden ifadelerinin ikinci ve üçüncü üyeleri yerine koyalım! Boşuna mı yoksa ne, onları boyadık mı?

Biz:

Ama böyle bir sistem artık bir hediye değil, evet ... Bu nasıl çözülür? Ne yazık ki, karmaşık çözmek için evrensel gizli büyü doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar çetin bir ceviz kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, ve sistemin denklemlerinden biri şuna indirgenmez güzel manzara, örneğin değişkenlerden birini diğeri cinsinden kolayca ifade etmeye izin veriyor mu?

Haydi tahmin edelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) Neden ilk denklemden denemiyorsunuz? bir şey yoluyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q ifade etmek bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 başından sonuna kadar Q.

Öyleyse, eski güzel denklemleri kullanarak bu prosedürü ilk denklemle yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Tüm! Burada ifade ettik gereksiz bize değişken (b 1) aracılığıyla gerekli(Q). Evet, alınan en basit ifade değil. Bir tür kesir ... Ama sistemimiz iyi bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapalım - biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (Mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi payda (q-1) ile çarpıyoruz ve tüm kesirleri azaltıyoruz:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz, soldaki her şeyi topluyoruz:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Sonucu çözeriz ve iki kök elde ederiz:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Son bir cevap var: Q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi, bir geometrik dizinin n'inci üyesinin formülüyle ilgili çoğu sorunu çözmenin yolu her zaman aynıdır: dikkatle problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tamamını çeviririz kullanışlı bilgi saf cebir içine.

Yani:

1) Problemde verilen her elemanı formüle göre ayrı ayrı yazarız.Ninci üye

2) Problemin durumundan üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya bir denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir cevap olması durumunda, (varsa) ek bilgi aramak için sorunun durumunu dikkatlice okuruz. Ayrıca, alınan yanıtı (varsa) ODZ'nin koşullarıyla da kontrol ederiz.

Ve şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hatalara yol açan ana problemleri listeliyoruz.

1. Temel aritmetik. Kesirler ve negatif sayılarla işlemler.

2. Bu üç noktadan en az biri sorunsa, bu konuda kaçınılmaz olarak yanılırsınız. Ne yazık ki... Bu yüzden tembel olmayın ve yukarıda belirtilenleri tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve yinelenen formüller.

Şimdi, durumun daha az bilinen bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet, evet, tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş Ve yinelenen n'inci üyenin formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerlemede çalıştık. Burada her şey benzer. Öz aynı.

Örneğin, OGE'den böyle bir sorun:

Geometrik ilerleme formül tarafından verilir bn = 3 2 N . Birinci ve dördüncü terimlerin toplamını bulun.

Bu sefer ilerleme bize her zamanki gibi değil. Bir tür formül. Ne olmuş? Bu formül ayrıca bir formülNinci üye! n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, hem de harflerle yazılabileceğini hepimiz biliyoruz. belirli ilerleme. İLE özel birinci terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında, aşağıdaki parametrelerle bir geometrik ilerleme için genel bir terim formülü verilmiştir:

B 1 = 6

Q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım B 1 Ve Q. Biz:

bn = B 1 · q n -1

bn= 6 2N -1

Çarpanlara ayırma ve güç özelliklerini kullanarak basitleştiririz ve şunu elde ederiz:

bn= 6 2N -1 = 3 2 2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

Gördüğünüz gibi, her şey adil. Ancak sizinle amacımız, belirli bir formülün türetildiğini göstermek değildir. Bu çok, lirik bir ara söz. Tamamen anlamak içindir.) Amacımız koşulda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk terimi sayıyoruz. Yerine geçmek N=1 genel formüle:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada, çok tembel değilim ve bir kez daha dikkatinizi ilk terimin hesaplanmasıyla ilgili tipik bir hataya çekeceğim. Formüle bakmayın bn= 3 2N, hemen ilk üyenin bir troyka olduğunu yazmak için acele edin! Bu büyük bir hata, evet...)

devam ediyoruz. Yerine geçmek N=4 ve dördüncü terimi düşünün:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Son olarak, gerekli miktarı hesaplıyoruz:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme, koşullar tarafından verilir:

B 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Dizinin dördüncü terimini bulun.

Burada ilerleme, yinelenen formülle verilir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır? - biz de biliyoruz.

İşte oynuyoruz. Adım adım.

1) iki saymak ardışık ilerlemenin üyesi.

İlk terim zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim, özyinelemeli formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii nasıl çalıştığını anlarsanız.)

Burada ikinci terimi ele alıyoruz ünlüye göre birinci:

B 2 = 3 B 1 = 3 (-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını dikkate alıyoruz

Ayrıca sorun yok. Düz, paylaş ikinciçük üzerinde Birinci.

Biz:

Q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazınNinci üyeyi olağan biçimde ve istenen üyeyi göz önünde bulundurun.

Yani ilk terimi, paydayı da biliyoruz. İşte yazıyoruz:

bn= -7 3N -1

B 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi, geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak, temelde aritmetik bir diziden farklı değildir. Sadece bu formüllerin genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Eh, geometrik ilerlemenin anlamının da anlaşılması gerekiyor, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendi başımıza karar verelim mi?)

Isınma için oldukça temel görevler:

1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde B 1 = 243 ve Q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.

2. Geometrik ilerlemenin ortak terimi aşağıdaki formülle verilir: bn = 5∙2 N +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı üyesinin numarasını bulun.

3. Geometrik ilerleme, koşullar tarafından verilir:

B 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Dizinin beşinci terimini bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

B 1 =2048; Q =-0,5

Bunun altıncı negatif terimi nedir?

Süper zor görünen nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamının anlaşılması kurtaracaktır. Tabii ki n'inci terimin formülü.

5. Geometrik dizinin üçüncü terimi -14 ve sekizinci terimi 112'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

6. Bir geometrik dizinin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerinin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulunuz.

Cevaplar (dağınık): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Sadece nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada, çok ilginç ve alışılmadık bir şey! Daha sonraki derslerde bununla ilgili daha fazla bilgi.)