çeşitli eylemler Kesirlerle, örneğin kesirlerin eklenmesini gerçekleştirebilirsiniz. Kesirlerin eklenmesi birkaç türe ayrılabilir. Her kesir toplama türünün kendi kuralları ve eylem algoritması vardır. Her bir ekleme türüne daha yakından bakalım.

Aynı paydalara sahip kesirler ekleme.

Örneğin, ortak paydalı kesirlerin nasıl ekleneceğini görelim.

Yürüyüşçüler A noktasından E noktasına yürüyüşe çıktılar. İlk gün A noktasından B noktasına veya \(\frac(1)(5)\) tüm yolu yürüdüler. İkinci gün B noktasından D noktasına veya tüm yolu \(\frac(2)(5)\)'e gittiler. Yolculuğun başlangıcından D noktasına kadar ne kadar yol kat ettiler?

A noktasından D noktasına olan mesafeyi bulmak için, \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) kesirlerini toplayın.

ile kesirler ekleme aynı paydalar bu kesirlerin paylarını toplamanız gerekiyor ve payda aynı kalacak.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

V gerçek biçim Aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı şöyle görünecektir:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Cevap: Turistler \(\frac(3)(5)\) boyunca seyahat ettiler.

Farklı paydalara sahip kesirler ekleme.

Bir örnek düşünün:

İki kesir \(\frac(3)(4)\) ve \(\frac(2)(7)\) ekleyin.

Farklı paydalara sahip kesirler eklemek için önce bulmalısınız. ve ardından aynı paydalara sahip kesirler eklemek için kuralı kullanın.

Payda 4 ve 7 için ortak payda 28'dir. İlk kesir \(\frac(3)(4)\) 7 ile çarpılmalıdır. İkinci kesir \(\frac(2)(7)\) olmalıdır. 4 ile çarpılır.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(kırmızı) (7) + 2 \times \color(kırmızı) (4))(4 \ çarpı \renk(kırmızı) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Kelimenin tam anlamıyla, aşağıdaki formülü elde ederiz:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Karışık sayıların veya karışık kesirlerin eklenmesi.

Toplama, toplama yasasına göre gerçekleşir.

Karışık kesirler için, tamsayı kısımlarını tamsayı kısımlarına ve kesirli kısımları kesirli kısımlara ekleyin.

kesirli kısımlar ise karışık sayılar paydaları aynıysa payları toplarsanız payda aynı kalır.

Karışık sayılar \(3\frac(6)(11)\) ve \(1\frac(3)(11)\) ekleyin.

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(mavi) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( mavi) (\frac(6)(11)) + \color(mavi) (\frac(3)(11))) = \color(kırmızı)(4) + (\color(mavi) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(kırmızı)(4) + \color(mavi) (\frac(9)(11)) = \color(kırmızı)(4) \color(mavi) (\frac (9)(11))\)

Karışık sayıların kesirli kısımlarının farklı paydaları varsa, o zaman buluruz ortak payda.

\(7\frac(1)(8)\) ve \(2\frac(1)(6)\) karışık sayıları ekleyelim.

Payda farklıdır, bu nedenle ortak bir payda bulmanız gerekir, bu 24'e eşittir. İlk kesri \(7\frac(1)(8)\) ek bir 3 faktörü ile ve ikinci kesri \( 2\frac(1)(6)\) üzerinde 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(kırmızı) (3))(8 \times \color(kırmızı) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(kırmızı) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

İlgili sorular:
Kesirler nasıl eklenir?
Cevap: İlk önce ifadenin hangi türe ait olduğuna karar vermelisiniz: kesirler aynı paydalara, farklı paydalara veya karışık kesirlere sahiptir. İfadenin türüne bağlı olarak çözüm algoritmasına geçiyoruz.

Paydaları farklı olan kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Ortak bir payda bulmanız ve ardından aynı paydalarla kesirleri toplama kuralına uymanız gerekir.

Karışık kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Tamsayılı kısımlara tamsayı kısımları ve kesirli kısımlara kesirli kısımlar ekleyin.

Örnek 1:
İkisinin toplamı uygun bir kesir verebilir mi? Yanlış fraksiyon mu? Örnekler ver.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

\(\frac(5)(7)\) kesri uygun bir kesirdir, iki uygun kesrin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3) toplamının sonucudur. (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Kesir \(\frac(58)(45)\) uygunsuz bir kesirdir, uygun kesirlerin toplamının sonucudur \(\frac(2)(5)\) ve \(\frac(8) (9)\).

Cevap: Her iki sorunun cevabı da evet.

Örnek #2:
Kesirleri ekleyin: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(kırmızı) (3))(3 \times \color(kırmızı) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Örnek #3:
yazmak karışık kesir bir doğal sayı ve uygun bir kesrin toplamı olarak: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Örnek 4:
Toplamı hesaplayın: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(on üç) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frak(10)(15) = 10\frak(2)(3)\)

Görev 1:
Akşam yemeğinde pastadan \(\frac(8)(11)\) yediler ve akşam yemeğinde \(\frac(3)(11)\) yediler. Sizce pasta tamamen yenmiş mi yememiş mi?

Çözüm:
Kesirin paydası 11'dir, pastanın kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Öğle yemeğinde 11'den 8 parça kek yedik. Akşam yemeğinde 11'den 3'er adet yedik. 8 + 3 = 11'i ekleyelim, 11'den birer kek yedik yani bütün keki.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Cevap: Bütün pastayı yediler.

Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması konusunun incelenmesi şurada bulunur: okul konusu"Cebir"; sekizinci sınıfta ve bazen çocukların anlaşılmasını zorlaştırıyor. Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Kesirleri çıkarma prosedürü, çalışma prensibini tamamen kopyaladığı için toplamaya benzer.

İlk önce, en çok hesaplıyoruz küçük sayı, hem bir hem de diğer paydanın katıdır.

İkinci olarak, her kesrin payını ve paydasını belirli bir sayı ile çarparız, bu da paydayı verilen minimum ortak paydaya getirmemizi sağlar.

Üçüncüsü, çıkarma işleminin kendisi, sonuç olarak payda çoğaltıldığında ve ikinci kesrin payı birinciden çıkarıldığında gerçekleşir.

Örnek: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 tam sayı 1/6

İlk önce onları aynı paydaya getirmeniz ve sonra çıkarmanız gerekir. Örneğin, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Veya daha sert, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Kesirlerin nasıl ortak bir paydaya indirgendiğini açıklamanız gerekiyor mu?

Toplama veya çıkarma gibi işlemler sıradan kesirler farklı paydalarla basit bir kural geçerlidir - bu kesirlerin paydaları bir sayıya indirgenir ve eylemin kendisi paydaki sayılarla gerçekleştirilir. Yani, kesirler ortak bir payda alır ve tek bir payda gibi görünür. için ortak bir payda bulmak keyfi kesirler genellikle kesirlerin her birini diğer kesrin paydasıyla basitçe çarpmaya gelir. Ancak daha basit durumlarda, kesirlerin paydalarını aynı sayıya getirecek faktörleri hemen bulabilirsiniz.

Kesir çıkarma örneği: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Birçok yetişkin çoktan unuttu paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır, ancak bu eylem temel matematiğe aittir.

Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarmak için, bunları ortak bir paydaya getirmeniz, yani paydaların en küçük ortak katını bulmanız, ardından payları en küçük ortak kat ve paydanın oranına eşit ek faktörlerle çarpmanız gerekir.

Kesirlerin işaretleri korunur. Kesirlerin paydaları aynı olduktan sonra, kesirleri çıkarabilir ve mümkünse kesri azaltabilirsiniz.

Elena, tekrar etmeye karar verdin okul kursu matematik?)))

Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için, önce aynı paydaya indirgenmeleri, sonra çıkarılmaları gerekir. En basit seçenek: Birinci kesrin pay ve paydasını ikinci kesrin paydası ile çarpın ve ikinci kesrin pay ve paydasını birinci kesrin paydası ile çarpın. Aynı paydalara sahip iki kesir alın. Şimdi ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarıyoruz ve paydaları aynı.

Örneğin, beşte üç çıkarma iki yedide yirmi bir otuz beşte on otuz beşte eşittir ve bu on bir otuz beşte eşittir.

Paydalar büyük sayılarsa, onların en küçük ortak katını bulabilirsiniz, yani. hem bir hem de diğer payda tarafından bölünebilen bir sayı. Ve her iki kesri de ortak bir paydaya getirin (en küçük ortak kat)

Farklı paydalarla kesirler nasıl çıkarılır, görev çok basittir - kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve sonra çıkarmayı payda yapıyoruz.

Bu kesirlerin yanında tamsayılar olduğunda birçok kişi zorlukla karşılaşıyor, bu yüzden aşağıdaki örnekle bunun nasıl yapıldığını göstermek istedim:

tamsayı kısmı ve farklı paydaları olan kesirlerin çıkarılması

ilk önce tüm parçaları 8-5 = 3 çıkarırız (üçlü ilk kesire yakın kalır);

kesirleri ortak bir paydaya 6 getiriyoruz (ilk kesrin payı ikinciden büyükse, çıkarırız ve tamsayı kısmına yakın yazarız, bizim durumumuzda devam ederiz);

tamsayı kısmı 3'ü 2 ve 1'e ayırırız;

1 kesir 6/6 olarak yazılır;

6/6+3/6-4/6 ortak payda 6 altına yazıp paydaki işlemleri yapıyoruz;

bulunan sonucu yazın 2 5/6.

Aynı paydaya sahip olmaları durumunda kesirlerin çıkarıldığını hatırlamak önemlidir. Bu nedenle, farkta farklı paydalara sahip kesirlerimiz olduğunda, bunların basit bir ortak paydaya getirilmesi gerekir, ki bunu yapmak zor değildir. Sadece her kesrin payını çarpanlarına ayırmamız ve sıfır olmaması gereken en küçük ortak katı hesaplamamız gerekiyor. Payları, elde edilen ek çarpanlarla çarpmayı da unutmayın, ancak kolaylık olması için işte bir örnek:



Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak istiyorsanız, önce bu iki kesrin ortak paydasını bulmanız gerekir. Ve sonra ikinciyi birinci kesrin payından çıkarın. Yeni bir değere sahip yeni bir kesir ortaya çıkıyor.

3. sınıf matematik dersinden hatırladığım kadarıyla paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için önce ortak paydayı hesaplayıp ona getirmeniz gerekiyor sonra paylar birbirinden basitçe çıkarılıyor ve payda o ortak kalıyor.

Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için önce bu kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmamız gerekir.

Bir örneğe bakalım:



Büyük sayı 25'i küçük 20'ye bölün. Bölünemez. Böylece payda 25'i, elde edilen toplamın 20'ye bölünebileceği bir sayı ile çarpıyoruz. Bu sayı 4, 25x4 \u003d 100 olacaktır. 100:20=5. Böylece en düşük ortak paydayı bulduk - 100.

Şimdi her kesir için ek bir faktör bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yeni paydayı eski paydaya böleriz.

9 ile 4 = 36'yı çarpın. 7 ile 5 = 35'i çarpın.

Ortak bir paydaya sahip olarak, örnekte gösterildiği gibi çıkarırız ve sonucu alırız.

Aynı paydalara sahip kesirler ekleme

Kesirlerin eklenmesi iki türdür:

1. Aynı paydalara sahip kesirler ekleme
2. Farklı paydalara sahip kesirler ekleme

Aynı paydalara sahip kesirler ekleyerek başlayalım. Burada her şey basit. Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını eklemeniz ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin, kesirleri ekleyelim ve . Payları ekleriz ve paydayı değiştirmeden bırakırız:

Dört parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:

Örnek 2 Kesirleri ekleyin ve .

Cevap uygunsuz bir kesirdir. Görevin sonu gelirse, uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygun olmayan bir kesirden kurtulmak için içindeki tüm parçayı seçmeniz gerekir. bizim durumumuzda Bütün parça kolayca göze çarpıyor - ikiye bölünmüş iki bire eşittir:

İki parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz, bir bütün pizza elde edersiniz:

Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .

Yine, payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:

Örnek 4 Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek, öncekilerle tamamen aynı şekilde çözülmüştür. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:

Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz ve daha fazla pizza eklerseniz, 1 bütün pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.

Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirler eklemek zor değil. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını eklemeniz ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;

Farklı paydalara sahip kesirler ekleme

Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl ekleneceğini öğreneceğiz. Kesirleri eklerken, bu kesirlerin paydaları aynı olmalıdır. Ama her zaman aynı değiller.

Örneğin, paydaları aynı olduğu için kesirler eklenebilir.

Ancak kesirler aynı anda toplanamaz, çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Bugün bunlardan sadece birini ele alacağız, çünkü yöntemlerin geri kalanı yeni başlayanlar için karmaşık görünebilir.

Bu yöntemin özü, her iki kesrin paydalarının ilkinin (LCM) aranması gerçeğinde yatmaktadır. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk ek faktör elde edilir. Aynı şeyi ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek çarpanlarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz.

örnek 1. kesirler ekleyin ve

Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.

LCM (2 ve 3) = 6

Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi birinci kesrin paydasına böleriz ve ilk ek faktörü alırız. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.

Ortaya çıkan sayı 2, ilk ek faktördür. İlk kısma yazıyoruz. Bunu yapmak için, kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çizeriz ve bulunan ek faktörü onun üzerine yazarız:

Aynı şeyi ikinci fraksiyonla da yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz ve ikinci ek faktörü alırız. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.

Ortaya çıkan sayı 3, ikinci ek faktördür. İkinci kısma yazıyoruz. Yine ikinci fraksiyonun üzerine küçük bir eğik çizgi çizer ve bulunan ek çarpanı onun üstüne yazarız:

Şimdi hepimiz eklemek için hazırız. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Geldiğimiz noktaya yakından bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar tamamlayalım:

Böylece örnek sona erer. Eklemek için çıkıyor.

Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir bütün pizza ve altıda bir pizza elde edersiniz:

Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi de bir resim kullanılarak gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya getirerek ve kesirlerini elde ederiz. Bu iki kesir aynı pizza dilimleri ile temsil edilecektir. Tek fark, bu sefer eşit paylara (aynı paydaya indirgenmiş) bölünmeleri olacaktır.

İlk çizim bir kesri (altıda dört parça) ve ikinci resim bir kesri (altıda üç parça) göstermektedir. Bu parçaları bir araya getirerek elde ederiz (altıda yedi parça). Bu kesir yanlıştır, bu yüzden tamsayı kısmını burada vurguladık. Sonuç (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza).

Bu örneği çok ayrıntılı olarak çizdiğimizi unutmayın. V Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı bir şekilde yazmak geleneksel değildir. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulabilmeniz ve ayrıca paylarınız ve paydalarınız tarafından bulunan ek faktörleri hızla çarpabilmeniz gerekir. Okuldayken, bu örneği aşağıdaki gibi yazmamız gerekir:

Ama ayrıca var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında ayrıntılı notlar alınmazsa, o zaman bu tür sorular “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden birdenbire tamamen farklı kesirlere dönüşüyor? «.

Farklı paydalara sahip kesirler eklemeyi kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:

1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir çarpan alın;
3. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek çarpanlarıyla çarpın;
4. Paydaları aynı olan kesirler ekleyin;
5. Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bütün kısmını seçin;

Örnek 2 Bir ifadenin değerini bulun .

Yukarıdaki talimatları kullanalım.

Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun

Her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır.

Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir çarpan alın

LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek çarpanı 6 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:

Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e böleriz, 4 elde ederiz. İkinci ek çarpanı 4 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine yazarız:

Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek çarpanı elde ederiz 3'ü üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:

Adım 3. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek çarpanlarınızla çarpın

Payları ve paydaları ek çarpanlarımızla çarpıyoruz:

Adım 4. Aynı paydalara sahip kesirler ekleyin

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı (ortak) olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Bu kesirleri eklemek için kalır. Ekle:

Ekleme bir satıra sığmadı, bu yüzden kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Matematikte buna izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) koymak gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.

Adım 5. Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıktıysa, içindeki tüm kısmı seçin

Cevabımız uygunsuz bir kesirdir. Parçanın tamamını ayırmamız gerekiyor. Vurgularız:

bir cevap aldım

Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması

İki tür kesir çıkarma vardır:

1. Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması

İlk önce, paydaları aynı olan kesirlerin nasıl çıkarılacağını öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden diğerini çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örneğin, ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmak ve paydayı değiştirmeden bırakmak gerekir. Bunu yapalım:

Dört parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:

Örnek 2 ifadesinin değerini bulunuz.

Yine, birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:

Örnek 3 Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek, öncekilerle tamamen aynı şekilde çözülmüştür. İlk kesrin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:

Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirleri çıkarmada karmaşık bir şey yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Bir kesirden diğerini çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
2. Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıktıysa, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.

Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması

Örneğin, bu kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesir bir kesirden çıkarılabilir. Ancak bir kesir bir kesirden çıkarılamaz çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.

Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibe göre bulunur. Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk fraksiyonun üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde, LCM ikinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ikinci fraksiyonun üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.

Kesirler daha sonra ek faktörleriyle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz.

örnek 1 Bir ifadenin değerini bulun:

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.

İlk olarak, her iki kesrin paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 4'tür. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.

LCM (3 ve 4) = 12

Şimdi kesirlere dönelim ve

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, LCM'yi ilk kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üzerine dördü yazıyoruz:

Aynı şeyi ikinci fraksiyonla da yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci fraksiyonun paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci fraksiyonun üzerine bir üçlü yazıyoruz:

Şimdi hepimiz çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar tamamlayalım:

bir cevap aldım

Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Pizzadan pizza keserseniz, pizza alırsınız.

Bu, çözümün ayrıntılı sürümüdür. Okulda olduğumuz için bu örneği daha kısa yoldan çözmemiz gerekecekti. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:

Kesirlerin ve ortak bir paydanın indirgenmesi de bir resim kullanılarak gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya getirerek ve kesirlerini elde ederiz. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer aynı kesirlere bölünecekler (aynı paydaya indirgenecek):

İlk çizim bir kesri (on iki parçadan sekiz parça) ve ikinci resim bir kesri (on iki parçadan üç parça) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça keserek on iki parçadan beş parça elde ederiz. Kesir bu beş parçayı tanımlar.

Örnek 2 Bir ifadenin değerini bulun

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden önce onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.

Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun.

Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için, LCM'yi her kesrin paydasına böleriz.

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölersek ilk ek faktörü 3 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:

Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci fraksiyonun paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölersek ikinci ek 10 faktörünü elde ederiz. İkinci fraksiyonun üzerine yazarız:

Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e böleriz, üçüncü ek faktörü 6 alırız. Üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:

Artık her şey çıkarma işlemi için hazırdır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı (ortak) olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.

Örneğin devamı bir satıra sığmayacağı için devamı bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:

Cevap doğru bir kesir çıktı ve her şey bize uyuyor gibi görünüyor, ama çok hantal ve çirkin. Bunu kolaylaştırmalıyız. Ne yapılabilir? Bu oranı azaltabilirsiniz.

Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarına (gcd) bölmeniz gerekir.

Böylece, 20 ve 30 sayılarının GCD'sini buluyoruz:

Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan GCD'ye, yani 10'a bölüyoruz.

bir cevap aldım

Bir kesri bir sayı ile çarpma

Bir kesri bir sayı ile çarpmak için, verilen kesrin payını bu sayı ile çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

örnek 1. Kesri 1 sayısı ile çarpın.

Kesirin payını 1 sayısı ile çarpın

Giriş yarım 1 kez almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 kez pizza alırsanız, pizza alırsınız.

Çarpma yasalarından, çarpan ve çarpan yer değiştirirse, ürünün değişmeyeceğini biliyoruz. İfade olarak yazılırsa, ürün yine de eşit olacaktır. Yine, bir tamsayı ile bir kesri çarpma kuralı işe yarar:

Bu giriş, birimin yarısını almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 bütün pizza varsa ve yarısını alırsak, o zaman pizzamız olur:

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Kesrin payını 4 ile çarpın

Cevap uygunsuz bir kesirdir. Bir kısmını ele alalım:

Bu ifade 4 kez iki çeyrek almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin, 4 kez pizza alırsanız, iki bütün pizza alırsınız.

Çarpanı ve çarpanı yer yer değiştirirsek, ifadeyi elde ederiz. Ayrıca 2'ye eşit olacaktır. Bu ifade, dört bütün pizzadan iki pizza almak olarak anlaşılabilir:

kesirlerin çarpımı

Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevap yanlış bir kesir ise, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.

örnek 1 ifadesinin değerini bulunuz.

Bir cevap aldım. Bu fraksiyonun azaltılması arzu edilir. Kesir 2 azaltılabilir. Ardından nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:

Bu ifade yarım pizzadan pizza almak olarak anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? İlk önce bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:

Ve bu üç parçadan ikisini alın:

Pizza alacağız. Üç parçaya bölünmüş bir pizzanın nasıl göründüğünü hatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim ve aldığımız iki dilim aynı ölçülere sahip olacak:

Başka bir deyişle, Konuşuyoruz yaklaşık aynı boyutta pizza. Bu nedenle, ifadenin değeri

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarpın:

Cevap uygunsuz bir kesirdir. Bir kısmını ele alalım:

Örnek 3 Bir ifadenin değerini bulun

Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarpın:

Cevap doğru bir kesir çıktı, ancak azaltılırsa iyi olur. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını en büyük sayıya bölmeniz gerekir. ortak bölen(gcd) numaraları 105 ve 450.

Şimdi 105 ve 450 sayılarının EBOB'unu bulalım:

Şimdi bulduğumuz OBEB'e verdiğimiz cevabın pay ve paydasını yani 15'e bölelim.

Bir tamsayıyı kesir olarak temsil etmek

Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin, 5 sayısı olarak gösterilebilir. Bundan beş, anlamını değiştirmeyecektir, çünkü ifade “beş sayısının bire bölünmesi” anlamına gelir ve bu, bildiğiniz gibi, beşe eşittir:

ters sayılar

Şimdi tanışacağız ilginç konu Matematikte. Buna "ters sayılar" denir.

Tanım. sayıya geri döna ile çarpıldığında elde edilen sayıdır.a birim verir.

Bu tanımda bir değişken yerine yerine koyalım a 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:

sayıya geri dön 5 ile çarpıldığında elde edilen sayıdır. 5 birim verir.

5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulmak mümkün müdür? Yapabileceğin ortaya çıktı. Beşi bir kesir olarak gösterelim:

Sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Başka bir deyişle, kesri sadece ters çevrilmiş olarak kendisiyle çarpalım:

Bunun sonucu ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek, bir tane elde ederiz:

Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5 bir ile çarpıldığında bir elde edilir.

Karşılıklı, başka herhangi bir tamsayı için de bulunabilir.

Diğer kesirlerin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmek yeterlidir.

Bir kesrin bir sayıya bölünmesi

Diyelim ki yarım pizzamız var:

İkiye eşit olarak bölelim. Her biri kaç pizza alacak?

Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri bir pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülmektedir. Böylece herkes bir pizza alır.

Kesirlerin bölünmesi karşılıklılık kullanılarak yapılır. Karşılıklılar, bölmeyi çarpma ile değiştirmenize izin verir.

Bir kesri sayıya bölmek için bu kesri bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.

Bu kuralı kullanarak, pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.

Bu nedenle, kesri 2 sayısına bölmeniz gerekir. Burada temettü bir kesir ve bölen 2'dir.

Bir kesri 2 ile bölmek için bu kesri 2 bölenin tersi ile çarpmanız gerekir. 2 bölenin tersi bir kesirdir. yani çarpman lazım

Bu ders toplama ve çıkarma işlemlerini kapsayacaktır. cebirsel kesirler farklı paydalarla. Farklı paydalara sahip ortak kesirleri nasıl toplayıp çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bunu yapmak için, kesirler ortak bir paydaya indirgenmelidir. Cebirsel kesirlerin aynı kurallara uyduğu ortaya çıktı. Aynı zamanda, cebirsel kesirleri ortak bir paydaya nasıl indireceğimizi zaten biliyoruz. Farklı paydalarla kesirlerde toplama ve çıkarma yapmak 8. sınıf dersinin en önemli ve zor konularından biridir. nerede bu konuİleride okuyacağınız cebir dersinin pek çok konusunun içinde bulunacaktır. Dersin bir parçası olarak, farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını inceleyeceğiz ve ayrıca birkaç tipik örneği analiz edeceğiz.

Sıradan kesirler için en basit örneği düşünün.

örnek 1 Kesirler ekle: .

Çözüm:

Kesirleri ekleme kuralını unutmayın. Başlangıç ​​olarak, kesirler ortak bir paydaya indirgenmelidir. Adi kesirlerin ortak paydası en küçük ortak Kat(LCM) orijinal paydalar.

Tanım

En az doğal sayı, sayılarla aynı anda bölünebilen ve .

LCM'yi bulmak için paydaları genişletmek gerekir. asal faktörler ve ardından her iki paydanın açılımına dahil edilen tüm asal çarpanları seçin.

; . O zaman sayıların LCM'si iki 2 ve iki 3'ü içermelidir: .

Ortak paydayı bulduktan sonra, kesirlerin her biri için ek bir faktör bulmak gerekir (aslında, ortak paydayı karşılık gelen kesrin paydasına bölün).

Daha sonra her kesir, elde edilen ek faktör ile çarpılır. Önceki derslerde toplamayı ve çıkarmayı öğrendiğimiz paydaları aynı olan kesirler alıyoruz.

Alırız: .

Yanıt vermek:.

Şimdi farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin eklenmesini düşünün. Önce paydaları sayı olan kesirleri ele alalım.

Örnek 2 Kesirler ekle: .

Çözüm:

Çözüm algoritması kesinlikle önceki örneğe benzer. Bu kesirler için ortak bir payda ve bunların her biri için ek faktörler bulmak kolaydır.

.

Yanıt vermek:.

Öyleyse formüle edelim farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma algoritması:

1. Kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.

2. Kesirlerin her biri için ek çarpanlar bulun (ortak paydayı bu kesrin paydasına bölerek).

3. Payları uygun ek faktörlerle çarpın.

4. Aynı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını kullanarak kesirler ekleyin veya çıkarın.

Şimdi paydası şunları içeren kesirlere sahip bir örnek düşünün: gerçek ifadeler.

Örnek 3 Kesirler ekle: .

Çözüm:

Her iki paydadaki değişmez ifadeler aynı olduğundan, sayılar için ortak bir payda bulmalısınız. Son ortak payda şöyle görünecektir: . Yani bu örneğin çözümü:

Yanıt vermek:.

Örnek 4 Kesirleri çıkarın: .

Çözüm:

Ortak bir payda seçerken "hile yapamıyorsanız" (bunu çarpanlara ayıramaz veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanamazsınız), o zaman her iki kesrin paydalarının çarpımını ortak payda olarak almanız gerekir.

Yanıt vermek:.

Genel olarak karar verirken benzer örnekler, en zor iş ortak bir payda bulmaktır.

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 5 Basitleştirin: .

Çözüm:

Ortak bir payda bulurken, önce orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmaya çalışmalısınız (ortak paydayı basitleştirmek için).

Bu özel durumda:

O zaman ortak paydayı belirlemek kolaydır: .

Ek faktörleri belirliyoruz ve bu örneği çözüyoruz:

Yanıt vermek:.

Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını düzelteceğiz.

Örnek 6 Basitleştirin: .

Çözüm:

Yanıt vermek:.

Örnek 7 Basitleştirin: .

Çözüm:

.

Yanıt vermek:.

Şimdi, iki değil, üç kesrin eklendiği bir örnek düşünün (sonuçta, toplama ve çıkarma kuralları daha fazla kesirler aynı kalır).

Örnek 8 Basitleştirin: .

Farklı paydalara sahip kesirleri toplamanın kuralları çok basittir.

Adımlarda farklı paydalara sahip kesirler ekleme kurallarını göz önünde bulundurun:

1. Paydaların LCM'sini (en küçük ortak kat) bulun. Ortaya çıkan LCM, kesirlerin ortak paydası olacaktır;

2. Kesirleri ortak bir paydaya getirin;

3. Ortak bir paydaya indirgenmiş kesirler ekleyin.

Üzerinde basit örnek Farklı paydalara sahip kesirleri nasıl ekleyeceğinizi öğrenin.

Örnek

Farklı paydalara sahip kesirler eklemeye bir örnek.

Farklı paydalara sahip kesirler ekleyin:

Adım adım karar verelim.

1. Paydaların LCM'sini (en küçük ortak kat) bulun.

12 sayısı 6'ya tam bölünür.

Buradan 12'nin 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı olduğu sonucuna varıyoruz.

Cevap: 6 ve 12 sayılarının nok'u 12'dir:

LCM(6, 12) = 12

Ortaya çıkan NOC, 1/6 ve 5/12'lik iki kesrin ortak paydası olacaktır.

2. Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

Örneğimizde, yalnızca ilk kesrin ortak paydası 12'ye indirgenmesi gerekir, çünkü ikinci kesrin zaten paydası 12'dir.

12'nin ortak paydasını ilk kesrin paydasına bölün:

2'nin ek bir çarpanı vardır.

Birinci kesrin (1/6) payını ve paydasını ek bir 2 çarpanıyla çarpın.