Konuyu incelerken sayısal, literal ve değişken ifadeler kavramına dikkat edilmelidir. ifade değeri... Bu yazımızda, sayısal bir ifadenin değeri nedir ve değişkenlerin seçilen değerleri için alfabetik bir ifadenin değeri ve değişkenli bir ifadenin değeri nedir sorusuna cevap vereceğiz. İşte bu tanımları netleştirmek için bazı örnekler.

Sayfa gezintisi.

Sayısal bir ifadenin değeri nedir?

Sayısal ifadelerle tanışma, neredeyse okuldaki ilk matematik derslerinden başlar. Hemen hemen "sayısal bir ifadenin değeri" kavramı tanıtıldı. Aritmetik işaretlerle (+, -, ·, :)) birbirine bağlanan sayılardan oluşan ifadeleri ifade eder. Uygun bir tanım yapalım.

Tanım.

Sayısal ifade değeri Orijinaldeki tüm eylemleri gerçekleştirdikten sonra elde edilen sayıdır. sayısal ifade.

Örneğin, 1 + 2 sayısal ifadesini düşünün. Tamamladıktan sonra 3 sayısını alıyoruz, 1 + 2 sayısal ifadesinin değeridir.

Genellikle "sayısal bir ifadenin değeri" ifadesinde "sayısal" kelimesi atlanır ve sadece "ifadenin anlamı" derler, çünkü hangi ifadenin anlamının söz konusu olduğu hala açıktır.

Bir ifadenin anlamının yukarıdaki tanımı, aşağıdakilerden daha fazla sayısal ifadeler için geçerlidir: karmaşık tür, hangi lisede okumaktadır. Burada, değerleri belirtilmeyen sayısal ifadelerle karşılaşabileceğinizi belirtmek gerekir. Bunun nedeni, bazı ifadelerde kaydedilen eylemleri gerçekleştirmenin imkansız olmasıdır. Örneğin, bu nedenle 3: (2−2) ifadesinin değerini belirtemeyiz. Bunun gibi sayısal ifadelere denir. anlamsız ifadeler.

Çoğu zaman, pratikte, faiz, değeri kadar sayısal bir ifade değildir. Yani, görev bu ifadenin anlamını belirlemektir. Bu durumda genellikle ifadenin değerini bulmanız gerektiğini söylerler. Belirtilen makalede sayısal ifadelerin değerini bulma süreci detaylı olarak incelenmiştir. çeşit çeşit, ve birçok örnek düşünüldü ayrıntılı açıklamalarçözümler.

Değişkenli ifade ve değişkenli ifadenin anlamı

Sayısal ifadelere ek olarak, gerçek ifadeler incelenir, yani kaydında sayılarla birlikte bir veya daha fazla harf bulunan ifadeler. Alfabetik bir ifadedeki harfler farklı sayıları temsil edebilir ve harfler bu sayılarla değiştirilirse alfabetik ifade sayısal hale gelir.

Tanım.

Gerçek bir ifadede harflerin yerini alan sayılara ne ad verilir? bu harflerin anlamları, ve bu durumda elde edilen sayısal ifadenin değerine denir Harflerin değerleri verilen literal ifadenin değeri.

Yani, literal ifadeler için, sadece literal ifadenin anlamından değil, aynı zamanda harflerin verilen (verilen, belirtilen, vb.) anlamları ile literal ifadenin anlamından da söz edilir.

Bir örnek verelim. 2 a + b harfini alın. a ve b harflerinin değerleri verilsin, örneğin a = 1 ve b = 6. Orijinal ifadedeki harfleri değerleriyle değiştirerek, 2 1 + 6 biçiminde sayısal bir ifade elde ederiz, değeri 8'dir. Böylece, 8 sayısı, a = 1 ve b = 6 harflerinin verilen değerleri için 2 a + b değişmez ifadesinin değeridir. Harflerin başka anlamları verilmiş olsaydı, o zaman harflerin bu anlamları için literal ifadenin anlamını alırdık. Örneğin, a = 5 ve b = 1 için 2 5 + 1 = 11 değerine sahibiz.

Lisede, cebir çalışırken, gerçek ifadelerdeki harflerin alınmasına izin verilir. Farklı anlamlar, bu tür harflere değişkenler ve değişmez ifadelere değişkenli ifadeler denir. Bu ifadeler için, değişkenlerin seçilen değerleri için değişkenli bir ifadenin değeri kavramı tanıtılır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Değişkenlerin seçilen değerleri ile değişkenli bir ifadenin değeri orijinal ifadede değişkenlerin seçilen değerlerinin değiştirilmesinden sonra elde edilen sayısal bir ifadenin değeridir.

Bu tanımı bir örnekle açıklayalım. 3 x y + y biçiminde x ve y değişkenlerine sahip bir ifade düşünün. x = 2 ve y = 4 alın, değişkenlerin bu değerlerini orijinal ifadede değiştirin, 3 · 2 · 4 + 4 sayısal ifadesini elde ederiz. Bu ifadenin değerini hesaplayalım: 3 · 2 · 4 + 4 = 24 + 4 = 28. Bulunan 28 değeri, x = 2 ve y = 4 değişkenlerinin seçilen değerleri için 3 x y + y değişkenleriyle orijinal ifadenin değeridir.

Değişkenlerin diğer değerlerini seçerseniz, örneğin, x = 5 ve y = 0, o zaman değişkenlerin bu seçilen değerleri, 3 · 5 · 0 + değişkenli ifadenin değerine karşılık gelir. 0 = 0.

Bazen değişkenlerin seçilen farklı değerleri için ifadenin eşit değerlerinin elde edilebileceği not edilebilir. Örneğin x = 9 ve y = 1 için 3 x y + y ifadesinin değeri 28'dir (çünkü 3 9 1 + 1 = 27 + 1 = 28) ve yukarıda aynı değerin değişkenlerle ifade olduğunu göstermiştik. x = 2 ve y = 4 için vardır.

Değişkenlerin değerleri karşılık gelenlerden seçilebilir. geçerli değer aralıkları... Aksi takdirde, bu değişkenlerin değerlerinin orijinal ifadeyle değiştirilmesi, mantıklı olmayan sayısal bir ifade ile sonuçlanacaktır. Örneğin, x = 0'ı seçerseniz ve 1 / x ifadesinde bu değeri yerine koyarsanız, sıfıra bölme tanımlanmadığı için mantıklı olmayan 1/0 sayısal ifadesi elde edersiniz.

Sadece değerleri, içerdikleri değişkenlerin değerlerine bağlı olmayan değişkenlere sahip ifadeler olduğunu eklemek kalır. Örneğin, 2 + x - x biçiminde x değişkenli bir ifadenin değeri, bu değişkenin değerine bağlı değildir, x değişkeninin kabul edilebilir değerleri aralığından seçilen herhangi bir değeri için 2'ye eşittir. , bu durumda tüm gerçek sayıların kümesidir.

Bibliyografya.

• Matematik: ders kitabı. 5 cl için Genel Eğitim. kurumlar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, Silindi. - E.: Mnemosina, 2007 .-- 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders çalışma. 7 cl için Genel Eğitim. kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E.: Eğitim, 2008 .-- 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders çalışma. 8 cl için Genel Eğitim. kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E.: Eğitim, 2008 .-- 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Sayısal ve Cebirsel İfadeler. İfadeleri dönüştürme.

Matematikte İfade Nedir? Neden ifade dönüşümlerine ihtiyacınız var?

Soru, dedikleri gibi, ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok temiz değil? Açıklamama izin ver.

Diyelim ki önünüzde kötü bir örnek var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte güçlüsünüz ve hiçbir şeyden korkmuyorsunuz! Hemen cevap verebilir misiniz?

Zorunda olacaksın karar ver bu örnek. Sırayla, adım adım, bu örnek basitleştirmek... Elbette belli kurallara göre. Onlar. Yapmak ifade dönüştürme... Bu dönüşümlerde ne kadar başarılıysanız, matematikte o kadar güçlüsünüz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız, matematikte yapamazsınız. Hiçbir şey...

Böyle rahatsız edici bir gelecekten (veya şimdiki zamandan ...) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)

İlk önce, öğrenelim matematikte bir ifade nedir... Ne sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.

Matematikte İfade Nedir?

Matematikte İfadeçok geniş bir kavramdır. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir matematiksel ifadeler topluluğudur. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. - hepsi şunlardan oluşur: matematiksel ifadeler.

3 + 2 matematiksel bir ifadedir. s 2 - gün 2 aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Ve büyük bir kesir ve hatta bir sayı - bunların hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şu şekildedir:

5x + 2 = 12

eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.

V Genel görünüm Terim " matematiksel ifade"Çoğu zaman mırıldanmamak için kullanılır. Örneğin, size sıradan bir kesrin ne olduğunu soracaklar? Ve nasıl cevap verilir?!

İlk cevap: "Bu ... hmmm... böyle bir şey ... hangi ... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istersin? "

İkinci cevap: " Ortak kesir- bu (neşeyle ve neşeyle!) matematiksel ifade bir pay ve paydadan oluşan! "

İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici olacak, değil mi?)

Bu amaçla, deyimi " matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru hem sağlam. Ama pratik uygulama iyi bilgili olmalısın matematikte belirli ifade türleri .

Spesifik tip başka bir konudur. o çok başka bir konu! Her tür matematiksel ifadenin benimçözerken kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadeler için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncüsü. Vesaire. Bir yerde bu kurallar çakışıyor, bir yerde keskin bir şekilde farklılar. Ancak bu korkunç sözlerden korkmayın. İlgili bölümlerde logaritma, trigonometri ve diğer gizemli şeylerde ustalaşacağız.

Burada iki temel matematiksel ifade türünde ustalaşacağız (veya - herkes olarak tekrar edeceğiz ...). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.

Sayısal ifadeler.

Ne sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. Adın kendisi, bunun sayılar içeren bir ifade olduğunu ima ediyor. Bu böyle. Sayılar, parantezler ve aritmetik işaretlerden oluşan matematiksel bir ifadeye sayısal ifade denir.

7-3 sayısal bir ifadedir.

(8 + 3.2) 5.4 aynı zamanda sayısal bir ifadedir.

Ve bu canavar:

ayrıca sayısal bir ifade, evet ...

Sıradan bir sayı, bir kesir, x ve diğer harfler olmadan herhangi bir hesaplama örneği - bunların hepsi sayısal ifadelerdir.

Ana özellik sayısal ifadeler - içinde harf yok... Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematik simgeleri (gerekirse). Çok basit, değil mi?

Ve sayısal ifadelerle ne yapabilirsiniz? Sayısal ifadeler genellikle okunabilir. Bunu yapmak için, parantez açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimlerin yerlerini değiştirmeniz gerekir - yani. Yapmak ifade dönüşümleri... Ama daha fazlası aşağıda.

Burada sayısal bir ifade ile böyle komik bir durumla ilgileneceğiz. yapacak bir şey yok. Eh, hiçbir şey! Bu hoş operasyon - Hiçbirşey yapmamak)- ifade olduğunda yürütülür mantıklı değil.

Sayısal bir ifade ne zaman anlamsızdır?

Önümüzde bir tür anlamsız konuşma görürsek, çok açık.

o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Bununla ne yapılacağı belli olmadığı için. Bir tür saçmalık. Artı işaretlerinin sayısını saymadıkça ...

Ancak dışarıdan oldukça iyi ifadeler var. Örneğin bu:

(2 + 3): (16 - 2 8)

Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Basit bir nedenle, ikinci parantez içinde - eğer sayarsanız - sıfır çıkıyor. Ve sıfıra bölemezsiniz! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Bu nedenle, bu ifadeyle de herhangi bir şey yapmanız gerekmez. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfade mantıklı değil!"

Böyle bir cevap vermek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde böyle bir yanlış isimlendirme ... Eh, bu konuda yapabileceğiniz hiçbir şey yok.

Matematikte çok fazla yasaklanmış işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölüm. Köklerde ve logaritmalarda ortaya çıkan ek yasaklar ilgili başlıklarda tartışılmaktadır.

Yani, ne olduğu hakkında bir fikir sayısal ifade- NS. konsept sayısal ifade mantıklı değil- gerçekleştirilen. Daha ileri gidelim.

Cebirsel ifadeler.

Sayısal bir ifadede harfler görünüyorsa, bu ifade ... olur. İfade ... Evet! O olur cebirsel ifade... Örneğin:

5a2; 3x-2y; 3 (z-2); 3.4 m / n; x 2 + 4x-4; (a + b) 2; ...

Bu tür ifadelere de denir. mektup ifadeleri. Veya değişkenli ifadeler. Onlar pratik olarak aynı şeydir. İfade 5a + c, örneğin - hem gerçek hem de cebirsel ve değişkenleri olan bir ifade.

konsept cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. Bilişim Teknoloji içerir ve tüm sayısal ifadeler. Onlar. sayısal bir ifade aynı zamanda sadece harf içermeyen bir cebirsel ifadedir. Her ringa balığı balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)

Neden alfabetik- açık. Eh, harfler olduğu için ... İfade değişken ifade ayrıca çok şaşırtıcı değil. Rakamların harflerin altında gizli olduğunu anlarsanız. Herhangi bir sayı harflerin altına gizlenebilir ... Ve 5, ve -18 ve her neyse. Yani, mektup olabilir yer değiştirmeküzerinde farklı sayılar... Bu nedenle harflere denir. değişkenler.

ifadede y + 5, Örneğin, NS - değişken... Ya da sadece " değişken", "büyüklük" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Ya da sadece - devamlı.

Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve düzenlemeleri kullanmanız gerektiği anlamına gelir cebir... Eğer aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- aynı anda tüm sayılarla. Açıklama için basit bir örnek.

Aritmetik olarak şunu yazabiliriz.

Ancak böyle bir eşitliği cebirsel ifadelerle yazarsak:

a + b = b + bir

hemen karar vereceğiz herşey sorular. İçin tüm sayılar felç. Sonsuz sayıda şey için. Çünkü harflerin altında a ve B ima edilen herşey sayılar. Ve sadece sayılar değil, hatta diğer matematiksel ifadeler. Cebir böyle çalışır.

Cebirsel bir ifade ne zaman anlamsız olur?

Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Orada sıfıra bölemezsiniz. Ve harflerle neye bölündüğümüzü nasıl bulabilirsin?!

Örnek olarak değişkenlerle bu ifadeyi alalım:

2: (a - 5)

Mantıklı geliyor? Kim bilir? a- herhangi bir numara ...

Herhangi bir şey ... Ama bir anlamı var a bu ifade nerede kesinlikle mantıklı değil! Ve bu sayı nedir? Evet! 5 oldu! değişken ise a(diyelim - "ikame") 5 rakamı ile değiştirin, parantez içinde sıfır çıkacaktır. Hangi bölünemez. Yani bizim ifademiz çıkıyor mantıklı değil, Eğer bir = 5... Ama başka anlamlarla a mantıklı geliyor? Diğer sayıları değiştirebilir miyim?

Tabii ki. Sadece bu gibi durumlarda, ifadenin

2: (a - 5)

herhangi bir değer için mantıklı a, a = 5 hariç .

Tüm sayılar kümesi Yapabilmek verilen bir ifadede ikame denir geçerli değerler aralığı bu ifade.

Gördüğünüz gibi, zor bir şey yok. Değişkenli bir ifadeye bakarız, ancak şunu buluruz: değişkenin hangi değerinde yasak bir işlem elde edilir (sıfıra bölme)?

Ve sonra ödev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?

mantıklı değil, Yasak anlamımız cevap olacaktır.

ifadesi bir değişkenin değeri nedir diye sorarsanız anlamı var(farkı hissedin!), cevap diğer tüm sayılar yasak olanlar hariç.

Neden ifadenin anlamına ihtiyacımız var? İşte orada, o değil ... Farkı ne?! Gerçek şu ki, bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, aralık veya işlev aralığı gibi katı kavramların temelidir. Onsuz, ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiç çözemezsiniz. Bunun gibi.

İfadeleri dönüştürme. Özdeş dönüşümler.

Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. "İfadenin anlamı yok" ifadesinin ne anlama geldiğini anladık. Şimdi ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifadelerin dönüşümü. Cevap son derece basit.) Bu, ifade içeren herhangi bir eylemdir. Ve hepsi bu. Bu dönüşümleri birinci sınıftan yaptın.

Soğuk sayı ifadesini 3 + 5 alalım. Nasıl dönüştürülebilir? Çok basit! Hesaplamak:

Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı yazabilirsiniz:

Burada hiçbir şey saymadık. Sadece ifadeyi yazdı farklı bir formda. Bu aynı zamanda ifadenin de dönüşümü olacaktır. Şu şekilde yazılabilir:

Ve bu da bir ifade dönüşümüdür. Bu tür dönüşümleri istediğiniz kadar yapabilirsiniz.

Herhangi ifade üzerine eylem, herhangi farklı bir biçimde yazmaya ifade dönüştürme denir. Ve hepsi bu. Her şey çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli bir kural. O kadar önemli ki güvenle çağrılabilir ana kural tüm matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. inceliyor muyuz?)

İfademizi rastgele değiştirdiğimizi varsayalım, şöyle:

Dönüştürmek? Tabii ki. İfadeyi farklı bir şekilde yazdık, burada yanlış olan ne?

Durum böyle değil.) Mesele şu ki, dönüşümler "her nasılsa" matematik hiç ilgilenmez.) Tüm matematik, içinde değişimlerin olduğu dönüşümler üzerine kuruludur. dış görünüş, ama ifadenin özü değişmez.Üç artı beş istediğiniz herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olması gerekir.

Dönüşümler, anlamsız ifadeler arandı birebir aynı.

Aynen öyle özdeş dönüşümler ve karmaşık bir örneği adım adım basit bir ifadeye dönüştürmemize izin verin. örneğin özü. Dönüşümler zincirinde bir hata yaparsak, özdeş DEĞİL bir dönüşüm yaparsak, o zaman zaten karar vereceğiz. bir diğeriörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer cevaplarla.)

Bu, herhangi bir görevi çözmek için ana kuraldır: dönüşümlerin kimliğinin gözetilmesi.

Netlik için 3+5 sayısal ifadesi ile örnek verdim. Cebirsel ifadelerde özdeş dönüşümler formül ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:

a (b + c) = ab + ac

Bu, herhangi bir örnekte ifade yerine yapabileceğimiz anlamına gelir. bir (b + c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab + ac... Ve tam tersi. o özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifadenin bir seçimini sunar. Ve hangisi yazılacak - somut örnek bağlı olmak.

Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri, bir kesrin temel özelliğidir. Bağlantıda daha fazla ayrıntı bulunabilir, ancak burada sadece kuralı hatırlatacağım: kesrin pay ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölünürse) kesir değişmez. Bu özellik için özdeş dönüşümlere bir örnek:

Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, bu zincir süresiz olarak devam ettirilebilir...) Çok önemli bir özellik. Her türlü canavar örneğini beyaz ve kabarık hale getirmenize izin veren budur.)

Özdeş dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ancak en önemlileri oldukça makul bir miktardır. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. İlköğretimden ileri düzeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. Bir sonraki derste.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama testi. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.