çapraz çarpma

Ortak bölenler yöntemi

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

En az yaygın çoklu yöntemin nasıl devasa kazanımlar sağladığını tahmin etmek için, aynı örnekleri çapraz çapraz yöntemini kullanarak hesaplamayı deneyin.

Kesirlerin ortak paydası

Hesap makinesi olmadan tabii. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Ayrıca bakınız:

Başlangıçta, yayın yapmak için yöntemler eklemek istedim. ortak payda"Kesirler toplama ve çıkarma" paragrafında. Ancak o kadar çok bilgi vardı ki ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta ortak paydalar sadece sayısal kesirler için değil), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki elimizde iki kesir var. farklı paydalar... Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Kesirin temel özelliği kurtarmaya gelir, ki bu hatırlarsa kulağa şöyle gelir:

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa kesir değişmez.

Böylece, faktörler doğru seçilirse, kesirlerin paydaları eşit olur - bu sürece denir. Ve gerekli sayılar, paydaları "tesviye" olarak adlandırılır.

Neden kesirleri ortak bir paydada toplamanız gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka bir yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya dönüştürmek bu görevi çok daha kolaylaştırır;
3. Paylar ve yüzdeler için sorunları çözme. Yüzdeler, aslında, kesirler içeren yaygın ifadelerdir.

Çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyen sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda verimlilik için sadece üçünü ele alacağız.

çapraz çarpma

En basit ve güvenilir yol paydaları düzleştirmesi garanti edilir. Devam edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinci kesri de birinci kesrin paydasıyla çarpın. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

Komşu kesirlerin paydalarını ek faktörler olarak düşünün. Alırız:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri öğrenmeye yeni başlıyorsanız, bu özel yöntemle çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı güvence altına alırsınız ve sonucu almanız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı, çok saymak zorunda olmanızdır, çünkü paydalar "önceden" çarpılır ve sonuç olarak çok büyük sayılar elde edilebilir. Güvenilirlik için ödenmesi gereken bedel budur.

Ortak bölenler yöntemi

Bu teknik, hesaplamaları büyük ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Devam etmeden önce (yani, çapraz yöntem), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Böyle bir bölme sonucunda elde edilen sayı, paydası daha düşük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - bu tasarruftur. Aynı zamanda, hata olasılığı keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

84: 21 = 4 olduğuna dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine tam bölünebildiği için ortak çarpanlar yöntemini uyguluyoruz. Sahibiz:

İkinci kesirin hiçbir zaman hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında, hesaplama miktarını yarıya indirdik!

Bu arada, bu örnekteki kesirleri bir sebepten dolayı aldım. Merak ediyorsanız, çapraz olarak saymayı deneyin. İndirimden sonra cevaplar aynı olacak ama çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin gücüdür, ancak tekrar ediyorum, ancak paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde uygulanabilir. Yeterince nadir olan.

En Az Ortak Çoklu Yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde, esasen paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğü, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Örneğin, 8 ve 12 paydaları için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı, 8 · 12 = 96 ürününden çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya onların (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM (a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulabilirseniz, toplam hesaplama miktarı minimum olacaktır. Örneklere bir göz atın:

En küçük ortak payda nasıl bulunur

İfadelerin değerlerini bulun:

234 = 117 · 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2. ve 3. çarpanlar asaldır (1 dışında ortak bölenleri yoktur) ve çarpan 117 ortaktır. Bu nedenle, LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Benzer şekilde, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 nispeten asaldır ve faktör 5 ortaktır. Bu nedenle, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getiriyoruz:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları bulduktan sonra, hemen en küçük ortak kata ulaştık, ki bu genel anlamda önemsiz bir problemdir;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, kesirlerin her biri için hangi faktörlerin "eksik" olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin, 234 3 = 702, bu nedenle ilk kesir için ek faktör 3'tür.

Gerçek örneklerde böyle karmaşık kesirler olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşurlar ve yukarıdaki görevler sınır değildir!

Tek sorun, bu çok NOC'yi nasıl bulacağınızdır. Bazen her şey birkaç saniyede, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Burada buna dokunmayacağız.

Ayrıca bakınız:

Kesirlerin ortak paydası

Başlangıçta, Kesirleri Toplama ve Çıkarma paragrafına ortak payda yöntemlerini dahil etmek istedim. Ancak o kadar çok bilgi vardı ki ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta ortak paydalar sadece sayısal kesirler için değil), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Kesirin temel özelliği kurtarmaya gelir, ki bu hatırlarsa kulağa şöyle gelir:

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa kesir değişmez.

Böylece, faktörler doğru seçilirse, kesirlerin paydaları eşit olur - bu sürece denir. Ve gerekli sayılar, paydaları "tesviye" olarak adlandırılır.

Neden kesirleri ortak bir paydada toplamanız gerekiyor?

Ortak payda, kavram ve tanım.

İşte sadece birkaç neden:

1. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka bir yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya dönüştürmek bu görevi çok daha kolaylaştırır;
3. Paylar ve yüzdeler için sorunları çözme. Yüzdeler, aslında, kesirler içeren yaygın ifadelerdir.

Çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyen sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda verimlilik için sadece üçünü ele alacağız.

çapraz çarpma

Paydaları hizalamanın garantili en basit ve en güvenilir yolu. Devam edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinci kesri de birinci kesrin paydasıyla çarpın. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, orijinal paydaların ürününe eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

Komşu kesirlerin paydalarını ek faktörler olarak düşünün. Alırız:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri öğrenmeye yeni başlıyorsanız, bu özel yöntemle çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı güvence altına alırsınız ve sonucu almanız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı, çok saymak zorunda olmanızdır, çünkü paydalar "önceden" çarpılır ve sonuç olarak çok büyük sayılar elde edilebilir. Güvenilirlik için ödenmesi gereken bedel budur.

Ortak bölenler yöntemi

Bu teknik, hesaplamaları büyük ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Devam etmeden önce (yani, çapraz yöntem), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Böyle bir bölme sonucunda elde edilen sayı, paydası daha düşük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - bu tasarruftur. Aynı zamanda, hata olasılığı keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

84: 21 = 4 olduğuna dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine tam bölünebildiği için ortak çarpanlar yöntemini uyguluyoruz. Sahibiz:

İkinci kesirin hiçbir zaman hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında, hesaplama miktarını yarıya indirdik!

Bu arada, bu örnekteki kesirleri bir sebepten dolayı aldım. Merak ediyorsanız, çapraz olarak saymayı deneyin. İndirimden sonra cevaplar aynı olacak ama çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin gücüdür, ancak tekrar ediyorum, ancak paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde uygulanabilir. Yeterince nadir olan.

En Az Ortak Çoklu Yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde, esasen paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğü, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Örneğin, 8 ve 12 paydaları için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı, 8 · 12 = 96 ürününden çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya onların (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM (a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulabilirseniz, toplam hesaplama miktarı minimum olacaktır. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

234 = 117 · 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2. ve 3. çarpanlar asaldır (1 dışında ortak bölenleri yoktur) ve çarpan 117 ortaktır. Bu nedenle, LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Benzer şekilde, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 nispeten asaldır ve faktör 5 ortaktır. Bu nedenle, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getiriyoruz:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları bulduktan sonra, hemen en küçük ortak kata ulaştık, ki bu genel anlamda önemsiz bir problemdir;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, kesirlerin her biri için hangi faktörlerin "eksik" olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin, 234 3 = 702, bu nedenle ilk kesir için ek faktör 3'tür.

En az yaygın çoklu yöntemin nasıl devasa kazanımlar sağladığını tahmin etmek için, aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Hesap makinesi olmadan tabii. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde böyle karmaşık kesirler olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşurlar ve yukarıdaki görevler sınır değildir!

Tek sorun, bu çok NOC'yi nasıl bulacağınızdır. Bazen her şey birkaç saniyede, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Burada buna dokunmayacağız.

Ayrıca bakınız:

Kesirlerin ortak paydası

Başlangıçta, Kesirleri Toplama ve Çıkarma paragrafına ortak payda yöntemlerini dahil etmek istedim. Ancak o kadar çok bilgi vardı ki ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta ortak paydalar sadece sayısal kesirler için değil), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Kesirin temel özelliği kurtarmaya gelir, ki bu hatırlarsa kulağa şöyle gelir:

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa kesir değişmez.

Böylece, faktörler doğru seçilirse, kesirlerin paydaları eşit olur - bu sürece denir. Ve gerekli sayılar, paydaları "tesviye" olarak adlandırılır.

Neden kesirleri ortak bir paydada toplamanız gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka bir yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya dönüştürmek bu görevi çok daha kolaylaştırır;
3. Paylar ve yüzdeler için sorunları çözme. Yüzdeler, aslında, kesirler içeren yaygın ifadelerdir.

Çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyen sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda verimlilik için sadece üçünü ele alacağız.

çapraz çarpma

Paydaları hizalamanın garantili en basit ve en güvenilir yolu. Devam edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinci kesri de birinci kesrin paydasıyla çarpın. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır.

Bir göz at:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

Komşu kesirlerin paydalarını ek faktörler olarak düşünün. Alırız:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri öğrenmeye yeni başlıyorsanız, bu özel yöntemle çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı güvence altına alırsınız ve sonucu almanız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı, çok saymak zorunda olmanızdır, çünkü paydalar "önceden" çarpılır ve sonuç olarak çok büyük sayılar elde edilebilir. Güvenilirlik için ödenmesi gereken bedel budur.

Ortak bölenler yöntemi

Bu teknik, hesaplamaları büyük ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Devam etmeden önce (yani, çapraz yöntem), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Böyle bir bölme sonucunda elde edilen sayı, paydası daha düşük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - bu tasarruftur. Aynı zamanda, hata olasılığı keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

84: 21 = 4 olduğuna dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine tam bölünebildiği için ortak çarpanlar yöntemini uyguluyoruz. Sahibiz:

İkinci kesirin hiçbir zaman hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında, hesaplama miktarını yarıya indirdik!

Bu arada, bu örnekteki kesirleri bir sebepten dolayı aldım. Merak ediyorsanız, çapraz olarak saymayı deneyin. İndirimden sonra cevaplar aynı olacak ama çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin gücüdür, ancak tekrar ediyorum, ancak paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde uygulanabilir. Yeterince nadir olan.

En Az Ortak Çoklu Yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde, esasen paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğü, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Örneğin, 8 ve 12 paydaları için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı, 8 · 12 = 96 ürününden çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya onların (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM (a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulabilirseniz, toplam hesaplama miktarı minimum olacaktır. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

234 = 117 · 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2. ve 3. çarpanlar asaldır (1 dışında ortak bölenleri yoktur) ve çarpan 117 ortaktır. Bu nedenle, LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Benzer şekilde, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 nispeten asaldır ve faktör 5 ortaktır. Bu nedenle, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getiriyoruz:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları bulduktan sonra, hemen en küçük ortak kata ulaştık, ki bu genel anlamda önemsiz bir problemdir;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, kesirlerin her biri için hangi faktörlerin "eksik" olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin, 234 3 = 702, bu nedenle ilk kesir için ek faktör 3'tür.

En az yaygın çoklu yöntemin nasıl devasa kazanımlar sağladığını tahmin etmek için, aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Hesap makinesi olmadan tabii. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde böyle karmaşık kesirler olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşurlar ve yukarıdaki görevler sınır değildir!

Tek sorun, bu çok NOC'yi nasıl bulacağınızdır. Bazen her şey birkaç saniyede, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Burada buna dokunmayacağız.

Ayrıca bakınız:

Kesirlerin ortak paydası

Başlangıçta, Kesirleri Toplama ve Çıkarma paragrafına ortak payda yöntemlerini dahil etmek istedim. Ancak o kadar çok bilgi vardı ki ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta ortak paydalar sadece sayısal kesirler için değil), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Kesirin temel özelliği kurtarmaya gelir, ki bu hatırlarsa kulağa şöyle gelir:

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa kesir değişmez.

Böylece, faktörler doğru seçilirse, kesirlerin paydaları eşit olur - bu sürece denir. Ve gerekli sayılar, paydaları "tesviye" olarak adlandırılır.

Neden kesirleri ortak bir paydada toplamanız gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka bir yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya dönüştürmek bu görevi çok daha kolaylaştırır;
3. Paylar ve yüzdeler için sorunları çözme. Yüzdeler, aslında, kesirler içeren yaygın ifadelerdir.

Çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyen sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda verimlilik için sadece üçünü ele alacağız.

çapraz çarpma

Paydaları hizalamanın garantili en basit ve en güvenilir yolu. Devam edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinci kesri de birinci kesrin paydasıyla çarpın. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, orijinal paydaların ürününe eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

Komşu kesirlerin paydalarını ek faktörler olarak düşünün. Alırız:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri öğrenmeye yeni başlıyorsanız, bu özel yöntemle çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı güvence altına alırsınız ve sonucu almanız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı, çok saymak zorunda olmanızdır, çünkü paydalar "önceden" çarpılır ve sonuç olarak çok büyük sayılar elde edilebilir.

Kesirlerin ortak paydası

Güvenilirlik için ödenmesi gereken bedel budur.

Ortak bölenler yöntemi

Bu teknik, hesaplamaları büyük ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Devam etmeden önce (yani, çapraz yöntem), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Böyle bir bölme sonucunda elde edilen sayı, paydası daha düşük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - bu tasarruftur. Aynı zamanda, hata olasılığı keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

84: 21 = 4 olduğuna dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine tam bölünebildiği için ortak çarpanlar yöntemini uyguluyoruz. Sahibiz:

İkinci kesirin hiçbir zaman hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında, hesaplama miktarını yarıya indirdik!

Bu arada, bu örnekteki kesirleri bir sebepten dolayı aldım. Merak ediyorsanız, çapraz olarak saymayı deneyin. İndirimden sonra cevaplar aynı olacak ama çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin gücüdür, ancak tekrar ediyorum, ancak paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde uygulanabilir. Yeterince nadir olan.

En Az Ortak Çoklu Yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde, esasen paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğü, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Örneğin, 8 ve 12 paydaları için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı, 8 · 12 = 96 ürününden çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya onların (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM (a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulabilirseniz, toplam hesaplama miktarı minimum olacaktır. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadelerin değerlerini bulun:

234 = 117 · 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2. ve 3. çarpanlar asaldır (1 dışında ortak bölenleri yoktur) ve çarpan 117 ortaktır. Bu nedenle, LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Benzer şekilde, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 nispeten asaldır ve faktör 5 ortaktır. Bu nedenle, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getiriyoruz:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları bulduktan sonra, hemen en küçük ortak kata ulaştık, ki bu genel anlamda önemsiz bir problemdir;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, kesirlerin her biri için hangi faktörlerin "eksik" olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin, 234 3 = 702, bu nedenle ilk kesir için ek faktör 3'tür.

En az yaygın çoklu yöntemin nasıl devasa kazanımlar sağladığını tahmin etmek için, aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Hesap makinesi olmadan tabii. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde böyle karmaşık kesirler olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşurlar ve yukarıdaki görevler sınır değildir!

Tek sorun, bu çok NOC'yi nasıl bulacağınızdır. Bazen her şey birkaç saniyede, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Burada buna dokunmayacağız.

Kesirli örnekleri çözmek için en küçük ortak paydayı bulabilmeniz gerekir. Aşağıda ayrıntılı bir talimat bulunmaktadır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - kavram

En Küçük Ortak Payda (LCN) basit kelimelerle Tüm kesirlerin paydalarına bölünebilen en küçük sayıdır bu örnek... Başka bir deyişle, En Küçük Ortak Çoklu (LCM) olarak adlandırılır. NOZ, yalnızca kesirlerin paydaları farklıysa kullanılır.

En küçük ortak payda nasıl bulunur - örnekler

NOZ bulma örneklerini ele alalım.

3/5 + 2/15 hesaplayın.

Çözüm (İş Akışı):

• Kesirlerin paydalarına bakarız, farklı olduklarından emin oluruz ve ifadeler mümkün olduğunca azaltılır.
• Bulduk en küçük sayı, hem 5 hem de 15 ile bölünebilen. Bu sayı 15 olacaktır. Böylece 3/5 + 2/15 =? / 15 olur.
• Payda çözüldü. Numaratörde ne olacak? Ek bir çarpan bunu anlamamıza yardımcı olacaktır. Ek faktör, NOZ'un belirli bir kesrin paydasına bölünmesiyle elde edilen sayıdır. 3/5 için, 15/5 = 3 olduğundan, ek faktör 3'tür. İkinci kesir için, 15/15 = 1 olduğundan, ek faktör 1'dir.
• Ek faktörü bulduktan sonra, kesirlerin payları ile çarpar ve elde edilen değerleri ekleriz. 3/5 + 2/15 = (3 * 3 + 2 * 1) / 15 = (9 + 2) / 15 = 11/15.

Cevap: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Örnekte 2 değil, 3 veya daha fazla kesir toplanır veya çıkarılırsa, NOZ verilen kesir kadar aranmalıdır.

Hesapla: 1/2 - 5/12 + 3/6

Çözüm (eylem sırası):

• En küçük ortak paydayı bulun. 2, 12 ve 6 ile bölünebilen en küçük sayı 12'dir.
• Şunları elde ederiz: 1/2 - 5/12 + 3/6 =? / 12.
• Ek faktörler arıyoruz. 1/2 - 6 için; 5/12 - 1 için; 3/6 - 2 için.
• Paylarla çarparız ve karşılık gelen işaretleri atarız: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Cevap: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

LCM nasıl bulunur (en küçük ortak kat)

İki tamsayının en küçük ortak katı, verilen her iki sayıya eşit olarak bölünebilen tüm tam sayıların en küçüğüdür.

Yöntem 1... LCM'yi, verilen sayıların her biri için, 1, 2, 3, 4 vb. ile çarpılarak elde edilen tüm sayıları artan düzende yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için
6 sayısını sırayla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Alırız: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırayla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Aldığımız: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi, 6 ve 9 sayıları için LCM 18 olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bir tamsayı dizisiyle çarpılması kolay olduğunda uygundur. Ancak, iki basamaklı veya üç basamaklı sayılar için LCM'yi bulmanızın yanı sıra orijinal sayıların üç veya daha fazla olduğu zamanlar vardır.

Yöntem 2... Orijinal sayıları genişleterek LCM'yi bulabilirsiniz. asal faktörler.
Genişletmeden sonra, elde edilen asal faktör dizilerinden aynı sayıların üzerini çizmek gerekir. İlk sayının kalan sayıları ikincinin çarpanı, ikincinin kalan sayıları ise birincinin çarpanı olacaktır.

Örnek 75 ve 60 numara için.
75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların katları arka arkaya yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlara ayırıyoruz:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi, her iki satırda da 3 ve 5 faktörleri bulunur. Zihinsel olarak onları "aşıyoruz".
Bu sayıların her birinin ayrıştırılmasında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını genişletirken 5 sayısı, 60 sayısını genişletirken 2*2 sayısını elde ederiz.
Bu nedenle, 75 ve 60 sayıları için LCM'yi belirlemek için, 75'in (bu 5) ayrıştırılmasından kalan sayıları 60 ile ve 60 sayısının ayrıştırılmasından kalan sayıları (bu 2 * 2'dir) çarpmamız gerekir. ) 75 ile çarpın. Yani anlama kolaylığı için "çapraz" çarpıyoruz diyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayıları için LCM'yi bu şekilde bulduk. Bu, 300 sayısıdır.

Örnek... 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
Bu durumda, eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacaktır. Ama önce, her zaman olduğu gibi, tüm sayıları asal çarpanlarına ayırıyoruz.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçeriz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı dizilerinden en az biri aynı, henüz üstü çizilmemiş faktörü içeriyorsa, bunları çaprazlayarak sırayla faktörlerini gözden geçiririz.

Aşama 1 . Sayıların tüm satırlarında 2*2 oluştuğunu görüyoruz. Onları çaprazlayın.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalır, ancak 24 sayısının asal çarpanlarında bulunur. 3 sayısını her iki satırdan da çizin, 16 sayısı için herhangi bir işlem yapılmadığı varsayılır.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi, 12 sayısını genişletirken, tüm sayıları "çizdik". Bu, NOC'nin bulunmasının tamamlandığı anlamına gelir. Sadece değerini hesaplamak için kalır.
12 sayısı için, 16 sayısının kalan çarpanlarını alıyoruz (artan sırada en yakın)
12 * 2 * 2 = 48
Bu, NOC'dir

Gördüğünüz gibi, bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu, ancak üç veya daha fazla sayı için bulmanız gerektiğinde, bu yöntem daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak, LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

Bu makaledeki materyal şunları açıklar: en küçük ortak payda nasıl bulunur ve kesirler ortak paydaya nasıl getirilir... İlk olarak, kesirlerin ortak paydasının ve en küçük ortak paydanın tanımları verilmiş ve ayrıca kesirlerin ortak paydasının nasıl bulunacağı gösterilmiştir. Aşağıda, kesirleri ortak bir paydaya indirgemek için bir kural verilmiştir ve bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekler ele alınmıştır. Sonuç olarak, üç veya daha fazla kesrin ortak paydaya getirilmesine ilişkin örnekler incelenmiştir.

Sayfa gezintisi.

Kesirlerin ortak payda indirgenmesine ne denir?

Şimdi kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesinin ne olduğunu söyleyebiliriz. Kesirlerin ortak paydası Bu kesirlerin pay ve paydalarının, aynı paydalara sahip kesirler olduğu gibi ek faktörlerle çarpılmasıdır.

Ortak payda, tanım, örnekler

Şimdi kesirlerin ortak paydasını tanımlamanın zamanı geldi.

Başka bir deyişle, bir adi kesir kümesinin ortak paydası, bu kesirlerin tüm paydalarına bölünebilen herhangi bir doğal sayıdır.

Yukarıdaki tanımdan, belirli bir kesir kümesinin sonsuz sayıda ortak paydaya sahip olduğu sonucu çıkar, çünkü orijinal kesir kümesinin tüm paydalarının sonsuz sayıda ortak katları vardır.

Kesirlerin ortak paydasını belirlemek, verilen kesirlerin ortak paydalarını bulmanızı sağlar. Örneğin, 1/4 ve 5/6 kesirler verilsin, paydaları sırasıyla 4 ve 6'dır. 4 ve 6'nın pozitif ortak katları 12, 24, 36, 48, ... Bu sayılardan herhangi biri 1/4 ve 5/6'nın ortak paydasıdır.

Malzemeyi pekiştirmek için aşağıdaki örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

2/3, 23/6 ve 7/12 kesirleri ortak payda 150'ye indirgenebilir mi?

Çözüm.

Sorulan soruyu cevaplamak için 150 sayısının 3, 6 ve 12 paydalarının ortak katı olup olmadığını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, 150'nin bu sayıların her biri tarafından eşit olarak bölünebilir olup olmadığını kontrol edin (gerekirse, doğal sayıları bölmek için kurallar ve örnekler ile doğal sayıları kalanla bölmek için kurallar ve örneklere bakın): 150: 3 = 50, 150: 6 = 25, 150: 12 = 12 (dinlenme 6).

Yani, 150, 12'ye tam bölünemez, yani 150, 3, 6 ve 12'nin ortak katı değildir. Bu nedenle, 150 sayısı orijinal kesirlerin ortak paydası olamaz.

Cevap:

Yasaktır.

En küçük ortak payda, nasıl bulunur?

Bu kesirlerin ortak paydaları olan sayılar kümesinde en küçük ortak payda olarak adlandırılan en küçük doğal sayı vardır. Bu kesirlerin en küçük ortak paydasının tanımını formüle edelim.

Tanım.

En küçük ortak payda Bu kesirlerin tüm ortak paydalarının en küçük sayısıdır.

En küçüğünü nasıl bulacağınızı bulmak için kalır ortak bölen.

Belirli bir sayı kümesinin en küçük pozitif ortak paydası olduğundan, bu kesirlerin paydalarının LCM'si bu kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.

Böylece, kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak, bu kesirlerin paydalarına indirgenir. Örnek çözüme bir göz atalım.

Örnek.

3/10 ve 277/28 kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları 10 ve 28'dir. İstenen en küçük ortak payda, 10 ve 28 sayılarının LCM'si olarak bulunur. Bizim durumumuzda kolay: 10 = 2 5 ve 28 = 2 2 7 olduğundan, LCM (15, 28) = 2 2 5 7 = 140.

Cevap:

140 .

Kesirler ortak paydaya nasıl getirilir? Kural, örnekler, çözümler

Genellikle ortak kesirler en düşük ortak paydaya götürür. Şimdi kesirlerin en küçük ortak paydaya nasıl getirileceğini açıklayan bir kural yazacağız.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgeme kuralıüç adımdan oluşur:

• İlk olarak, kesirlerin en küçük ortak paydası bulunur.
• İkinci olarak, en küçük ortak paydayı her bir kesrin paydasına bölerek her kesir için ek bir faktör hesaplanır.
• Üçüncüsü, her kesrin payı ve paydası, ek çarpanı ile çarpılır.

Belirtilen kuralı aşağıdaki örneğin çözümüne uygulayalım.

Örnek.

5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydaya getirin.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için algoritmanın tüm adımlarını gerçekleştirelim.

İlk olarak, 14 ve 18'in en küçük ortak katı olan en küçük ortak paydayı bulun. 14 = 2 7 ve 18 = 2 3 3 olduğundan, LCM (14, 18) = 2 3 3 7 = 126.

Şimdi 5/14 ve 7/18 kesirlerinin payda 126'ya indirgeneceği ek faktörleri hesaplıyoruz. 5/14 kesri için ek faktör 126: 14 = 9 ve 7/18 kesir için ek faktör 126: 18 = 7'dir.

5/14 ve 7/18 kesirlerinin paylarını ve paydalarını sırasıyla 9 ve 7'lik ek faktörlerle çarpmaya devam ediyor. biz var ve .

Böylece, 5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydaya getirmek tamamlandı. Sonuç, 45/126 ve 49/126 kesirleridir.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için önce "çoklu" teriminin anlamına karar vermelisiniz.

A'nın katı, A'ya bölünebilen doğal bir sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katları 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katı vardır.

Ortak çoklu doğal sayılar- kalansız bölünebilen sayılar.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), tüm bu sayılara eşit olarak bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LCM'yi bulmanın birkaç yolu vardır.

Küçük sayılar için, bu sayıların tüm katlarını aralarında ortak olana kadar bir satıra yazmak uygundur. Katlar girişte büyük K harfi ile belirtilir.

Örneğin, 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6'nın en küçük ortak katının 24 olduğunu görebilirsiniz. Bu giriş şu şekilde yapılır:

LCM (4, 6) = 24

Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman LCM'yi hesaplamak için başka bir yöntem kullanmak daha iyidir.

Görevi tamamlamak için önerilen sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

İlk önce, bir satırdaki sayıların en büyüğünün açılımını ve altına - gerisini yazmanız gerekir.

Her sayının açılımında farklı sayıda faktör olabilir.

Örneğin, 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

Daha küçük bir sayının açılımında, ilk en büyük sayının açılımında olmayan faktörleri vurgulamalı ve sonra eklemelisiniz. Sunulan örnekte bir iki eksik.

Artık 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabilirsiniz.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Bu nedenle, daha büyük bir sayının asal çarpanları ile ikinci sayının daha büyük bir sayının açılımında yer almayan çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için, önceki durumda olduğu gibi hepsinin asal çarpanlara ayrılması gerekir.

Örnek olarak, 16, 24, 36'nın en küçük ortak katını bulun.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dolayısıyla, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılması, on altının çarpanlarına ayrılmasından sadece iki ikiyi içermiyordu (biri yirmi dörtün çarpanlarına ayrılmasında).

Bu nedenle, daha büyük sayının genişlemesine eklenmeleri gerekir.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En küçük ortak katı belirlemenin özel durumları vardır. Yani sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.

Örneğin, on iki ve yirmi dördün LCM'si yirmi dört olacaktır.

Karşılıklı olarak en küçük ortak katını bulmanız gerekiyorsa asal sayılar aynı bölenlere sahip olmayan, o zaman LCM'leri çarpımlarına eşit olacaktır.

Örneğin, LCM (10, 11) = 110.