a / b aritmetik kesrinin paydası, kesri oluşturan birim kesirlerin boyutlarını gösteren b sayısıdır. Cebirsel kesir A / B'nin paydası cebirsel ifade B. Kesirlerle aritmetik işlemler yapabilmek için, kesirlerin en küçük ortak paydaya indirgenmeleri gerekir.

İhtiyacın olacak

• En düşük ortak paydayı bulurken cebirsel kesirler ile çalışmak için polinomları çarpanlara ayırma yöntemlerini bilmeniz gerekir.

Talimatlar

n, m, s, t'nin tamsayı olduğu iki aritmetik kesrin n / m ve s / t'nin en düşük ortak paydasına indirgemeyi düşünün. Bu iki kesrin, m ve t ile bölünebilen herhangi bir paydaya indirgenebileceği açıktır. Ama onları en alt ortak paydaya getirmeye çalışıyorlar. Bu kesirlerin paydaları m ve t'nin en küçük ortak katına eşittir. Sayıların en küçük katı (LCM), verilen tüm sayılara aynı anda bölünebilen en küçük sayıdır. Onlar. bizim durumumuzda m ve t sayılarının en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor. LCM (m, t) olarak gösterilir. Daha sonra kesirler karşılık gelenlerle çarpılır: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Üç kesrin en küçük ortak paydasını bulalım: 4/5, 7/8, 11/14. İlk olarak, 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7 paydalarını genişletelim. Ardından, LCM'yi (5, 8, 14) hesaplıyoruz, açılımlardan en az birinde yer alan tüm sayıların çarpılması. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2 ^ 3 * 7 = 280. Faktör birkaç sayının açılımında ortaya çıkarsa (payda 8 ve 14'ün açılımında faktör 2), o zaman faktörü aldığımızı unutmayın. büyük ölçüde (bizim durumumuzda 2 ^ 3).

Yani toplam alınır. 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20'dir. Burada kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için karşılık gelen paydalarla çarpmamız gereken sayıları alıyoruz. 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 elde ederiz.

Cebirsel kesirler, aritmetik kesirler ile analoji ile en düşük ortak paydaya indirgenir. Açıklık için sorunu bir örnekle düşünün. İki kesir (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) ve (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1) verilsin. Her iki paydayı da çarpanlarına ayırın. İlk kesrin paydasının tam kare olduğuna dikkat edin: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1) ^ 2. İçin

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;

36 sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ile tam bölünür.

Bir sayının tam bölünebildiği sayılara (12 için 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. bölenler... Doğal sayı böleni a verilen bir sayıyı bölen doğal sayıdır a kalan olmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir bileşik .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Verilen iki sayının ortak böleni a ve B- verilen her iki sayının da kalansız bölünebildiği sayıdır. a ve B.

Ortak çokluçoklu sayılar, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin, 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da ortak katlarıdır. Tüm j toplam katları arasında her zaman en küçüğü vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (LCM).

LCM her zaman için belirlendiği sayıların en büyüğünden büyük olması gereken doğal bir sayıdır.

En Küçük Ortak Kat (LCM). Özellikler.

Değiştirilebilirlik:

ilişkilendirme:

Özellikle, eğer ve asal sayılar ise, o zaman:

İki tamsayının en küçük ortak katı m ve n diğer tüm ortak katların böleni m ve n... Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM için katlar kümesiyle çakışır ( m, n).

için asimptotikler, bazı teorik sayılarla ifade edilebilir.

Yani, Chebyshev işlevi... Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g (n).

Asal sayıların dağılım yasasından çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

LCM ( bir, b) birkaç yolla hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, LCM ile ilişkisini kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının da asal çarpanlarına kanonik olarak ayrıştırılmasının bilinmesine izin verin:

nerede p 1, ..., pk- çeşitli asal sayılar, a d 1, ..., d k ve e 1, ..., e k- negatif olmayan tam sayılar (dekompozisyonda karşılık gelen asal sayı yoksa sıfır olabilirler).

Daha sonra LCM ( a,B) şu formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle, LCM ayrıştırması, sayı açılımlarından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. bir, b, ve bu faktörün iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katının hesaplanması, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı dizisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal çarpanlara ayırmak;

- en büyük açılımı istenen ürünün çarpanlarına aktarın (verilenlerin en büyük sayısının çarpanlarının çarpımı) ve daha sonra ilk sayıda olmayan veya görünmeyen diğer sayıların açılımından çarpanları ekleyin daha az kez;

- asal faktörlerin ortaya çıkan ürünü, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya genişlemede aynı çarpanlara sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının (2, 2, 7) asal çarpanları 3'ün (21 sayısı) çarpanları ile tamamlanırsa, ortaya çıkan ürün (84) olacaktır. en küçük sayı 21 ve 28 ile tam bölünür.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları 25 sayısının 5 katı ile tamamlanmıştır, elde edilen 150 çarpımı en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünür. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300 ...).

2,3,11,37 sayıları basittir, dolayısıyla LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural... Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları kendi aralarında çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) her sayıyı asal faktörlerinin ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tüm asal faktörlerin güçlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin tüm asal bölenlerini (faktörlerini) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en yüksek derecesini seçin;

5) bu dereceleri çarpın.

Örnek... Sayıların LCM'sini bulun: 168, 180 ve 3024.

Çözüm... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tüm asal faktörlerin en büyük güçlerini yazıp çarpıyoruz:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

Toplama ve çıkarma gibi cebirsel kesirlerle yapılan çoğu işlem, bu kesirlerin önceden indirgenmesini gerektirir. aynı paydalar... Bu tür paydalar ayrıca sıklıkla “ ortak payda". Bu konuda, "cebirsel kesirlerin ortak paydası" ve "cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası (LCF)" kavramlarının tanımını ele alacağız, ortak paydayı nokta nokta bulma algoritmasını ele alacağız ve konuyla ilgili birkaç problemi çözeceğiz. .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel kesirlerin ortak paydası

Sıradan kesirler hakkında konuşursak, ortak payda, orijinal kesirlerin paydalarından herhangi biri tarafından bölünebilen bir sayıdır. İçin ortak kesirler 1 2 ve 5 9 36, 2 ve 9'a kalansız bölünebildiği için ortak payda olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydası da benzer şekilde tanımlanır, sayılar yerine sadece polinomlar kullanılır, çünkü bunlar bir cebirsel kesrin pay ve paydalarında bulunanlardır.

tanım 1

Cebirsel kesrin ortak paydası Kesirlerden herhangi birinin paydasıyla bölünebilen bir polinomdur.

Aşağıda tartışılacak olan cebirsel kesirlerin özellikleriyle bağlantılı olarak, genellikle standart bir polinom şeklinde değil, bir ürün şeklinde sunulan ortak paydalarla ilgileneceğiz.

örnek 1

Bir ürün olarak yazılan polinom 3 x 2 (x + 1), standart formun bir polinomuna karşılık gelir 3x3 + 3x2... Bu polinom, 2 x, - 3 x y x 2 ve y + 3 x + 1 cebirsel kesirlerinin ortak paydası olabilir, çünkü buna bölünebilir. x, üzerinde x 2 ve üzerinde x + 1... Polinomların bölünebilirliği hakkında bilgi, kaynağımızın ilgili başlığındadır.

En Küçük Ortak Payda (LCN)

Verilen cebirsel kesirler için ortak paydaların sayısı sonsuz olabilir.

Örnek 2

Örnek olarak 1 2 x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini alın. Onların ortak paydası 2 x (x 2 + 3) sevmek - 2 adet (x 2 + 3) sevmek x (x 2 + 3) sevmek 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4) sevmek - 31x5 (x 2 + 3) 3, vesaire.

Problemleri çözerken tüm paydalar kümesi içinde en basit şekline sahip olan ortak paydayı kullanarak işinizi kolaylaştırabilirsiniz. Bu payda genellikle en düşük ortak payda olarak adlandırılır.

tanım 2

Cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası Cebirsel kesirlerin en basit biçimine sahip olan ortak paydasıdır.

Bu arada, "en düşük ortak payda" terimi genel olarak kabul edilmez, bu nedenle kendimizi "ortak payda" terimiyle sınırlamak daha iyidir. Ve bu yüzden.

Daha önce, dikkatinizi "en çok payda" ifadesine odaklamıştık. basit tür". Bu ifadenin ana anlamı şudur: Cebirsel kesirler probleminde verilerin diğer herhangi bir ortak paydası, en basit formun paydası ile kalansız bölünmelidir. Bu durumda kesirlerin ortak paydası olan çarpımda çeşitli sayısal katsayılar kullanabilirsiniz.

Örnek 3

1 2 x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini alın. 2 x (x 2 + 3) biçiminde ortak bir payda ile çalışmanın bizim için en kolay olacağını zaten öğrendik. Ayrıca bu iki kesrin ortak paydası şu şekilde olabilir: x (x 2 + 3) hangi bir sayısal faktör içermez. Soru, bu iki ortak paydadan hangisinin kesirlerin en küçük ortak paydasıdır. Kesin bir cevap yoktur, bu nedenle sadece ortak bir paydadan bahsetmek ve çalışmanın en uygun olacağı seçeneği işe almak daha doğrudur. Böylece, ortak paydaları şu şekilde kullanabiliriz: x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) veya - 15 x 5 (x 2 + 3) 3 daha fazlasına sahip olan karmaşık görünüm ama onlarla başa çıkmak daha zor olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydasını bulma: bir eylem algoritması

Ortak bir payda bulmamız gereken birkaç cebirsel kesirimiz olduğunu varsayalım. Bu sorunu çözmek için aşağıdaki eylem algoritmasını kullanabiliriz. İlk olarak, orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Ardından, art arda dahil ettiğimiz bir eser oluşturuyoruz:

• güçlerle birlikte birinci kesrin paydasından gelen tüm faktörler;
• ikinci fraksiyonun paydasında bulunan, ancak yazılı eserde olmayan veya dereceleri yeterli olmayan tüm faktörler;
• üçüncü kesrin paydasındaki tüm eksik faktörler, vb.

Ortaya çıkan ürün, cebirsel kesirlerin ortak paydası olacaktır.

Çarpımın çarpanları olarak problem ifadesinde verilen kesirlerin tüm paydalarını alabiliriz. Ancak sonuçta elde ettiğimiz çarpan anlam olarak NOZ'dan uzak olacak ve kullanımı mantıksız olacaktır.

Örnek 4

1 x 2 y, 5 x + 1 ve y - 3 x 5 y kesirlerinin ortak paydasını bulun.

Çözüm

Bu durumda, orijinal kesirlerin paydalarını ayırmamız gerekmez. Bu nedenle bir çalışma derleyerek algoritmayı uygulamaya başlayacağız.

Birinci kesrin paydasından çarpanı alırız x 2 yıl, ikinci kesrin paydasından faktör x + 1... işi alırız x 2 y (x + 1).

Üçüncü kesrin paydası bize bir çarpan verebilir x 5 yıl, ancak, daha önce derlediğimiz çalışmada, zaten faktörler var x 2 ve y... Bu nedenle, daha fazlasını ekliyoruz x 5 - 2 = x 3... işi alırız x 2 y (x + 1) x 3 hangi forma indirgenebilir x 5 y (x + 1)... Bu bizim cebirsel kesirlerin NOZ'u olacak.

Cevap: x 5 y (x + 1).

Şimdi cebirsel kesirlerin paydalarının tamsayılı sayısal faktörlere sahip olduğu problemlerin örneklerini ele alacağız. Bu gibi durumlarda, daha önce tamsayı sayısal faktörlerini asal faktörlere ayrıştırmış olan algoritmaya göre hareket ederiz.

Örnek 5

1 12 x ve 1 90 x 2 kesirlerinin ortak paydasını bulun.

Çözüm

Kesirlerin paydalarındaki sayıları asal çarpanlara genişleterek 1 2 2 · 3 · x ve 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 elde ederiz. Artık ortak bir payda oluşturmaya geçebiliriz. Bunu yapmak için, birinci kesrin paydasından ürünü alırız. 2 2 3x ve faktörleri 3, 5 ekleyin ve x ikinci kesrin paydasından. alırız 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2... Bu bizim ortak paydamız.

Cevap: 180x2.

İncelenen iki örneğin sonuçlarına yakından bakarsanız, kesirlerin ortak paydalarının, paydaların açılımlarında bulunan tüm faktörleri içerdiğini ve birkaç paydada belirli bir faktör varsa, o zaman onunla alınır. mevcut en büyük üs. Paydalarda tamsayı katsayıları varsa, ortak paydada bu sayısal katsayıların en küçük ortak katına eşit bir sayısal faktör vardır.

Örnek 6

Her iki cebirsel kesrin 1 12 x ve 1 90 x 2 paydalarının bir çarpanı vardır x... İkinci durumda, x faktörünün karesi alınır. Ortak bir payda derlemek için bu faktörü en geniş ölçüde ele almamız gerekiyor, yani. x 2... Değişkenli başka çarpan yoktur. Orijinal kesirlerin tamsayı sayısal katsayıları 12 ve 90 , ve en küçük ortak katları 180 ... İstenen ortak paydanın forma sahip olduğu ortaya çıktı. 180x2.

Şimdi cebirsel kesirlerin ortak faktörünü bulmak için başka bir algoritma yazabiliriz. Bunun için biz:

• tüm kesirlerin paydalarını faktörlere ayırırız;
• tüm alfabetik faktörlerin çarpımını oluşturun (birkaç açılımda bir faktör varsa, en yüksek üslü seçeneği alıyoruz);
• elde edilen ürüne sayısal genişleme katsayılarının LCM'sini ekleyin.

Yukarıdaki algoritmalar eşdeğerdir, bu nedenle problem çözmede herhangi biri kullanılabilir. Detaylara dikkat etmek önemlidir.

Kesirlerin paydalarındaki ortak faktörlerin sayısal katsayıların arkasında fark edilemeyebileceği zamanlar vardır. Burada öncelikle paydadaki faktörlerin her birinde parantez dışındaki değişkenlerin en yüksek güçlerindeki sayısal katsayıların çıkarılması tavsiye edilir.

Örnek 7

3 5 - x ve 5 - x · y 2 2 · x - 10 kesirlerinin ortak paydası nedir?

Çözüm

İlk durumda, eksi parantezden çıkarılmalıdır. 3 - x - 5 elde ederiz. Paydadaki eksiden kurtulmak için pay ve paydayı - 1 ile çarpın: - 3 x - 5.

İkinci durumda, parantezden iki tane koyduk. Bu, 5 - x · y 2 2 · x - 5 fraksiyonunu elde etmemizi sağlar.

Açıkçası, bu cebirsel kesirlerin ortak paydası - 3 x - 5 ve 5 - x y 2 2 x - 5 2 (x - 5).

Cevap:2 (x - 5).

Problem ifadesindeki kesir verilerinin kesirli katsayıları olabilir. Bu durumlarda önce pay ve paydayı bir sayı ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulmanız gerekir.

Örnek 8

basitleştirin cebirsel kesirler 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, ardından ortak paydalarını belirleyin.

Çözüm

İlk durumda pay ve paydayı 14, ikinci durumda 3 ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulalım. Alırız:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 = - 6 2 x 2 + 4 = - 6 2 x 2 + 2.

Dönüşümlerden sonra, ortak paydanın olduğu ortaya çıkıyor. 2 (x 2 + 2).

Cevap: 2 (x 2 + 2).

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Kat, belirli bir sayıya eşit olarak bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM, iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanabilen bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

adımlar

Bir dizi çoklu

Verilen sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem en iyi, her biri 10'dan küçük iki sayı verildiğinde kullanılır. Sayılar büyükse, farklı bir yöntem kullanın.

• Örneğin, 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

1. Kat, belirli bir sayıya eşit olarak bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda birden çok sayı bulunabilir.

   • Örneğin, 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. İlk sayının katları olan bir dizi sayı yazın.İki sayı dizisini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

   • Örneğin, 8'in katı olan sayılar: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Katların her iki satırında da görünen en küçük sayıyı bulun. Bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. toplam sayısı... Katların her iki satırında da görünen en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

   • Örneğin, 5 ve 8'in katlarından oluşan bir seride görünen en küçük sayı 40'tır. Bu nedenle 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

   asal çarpanlara ayırma

   1. Verilen sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem en iyi, her biri 10'dan büyük iki sayı verildiğinde kullanılır. Verilen sayılar daha küçükse, farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin, 20 ve 84'ün en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, bu nedenle bu yöntemi kullanabilirsiniz.

   2. İlk sayıyı çarpanlarına ayırın. Yani, verilen sayıyı elde ettiğinizi çarparken bu tür asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra, bunları eşitlikler olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ çarpı 10 = 20) ve 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kez (\ mathbf (5)) = 10)... Böylece, asal faktörler 20 sayıları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın:.

   3. İkinci sayıyı çarpanlarına ayırın. Bunu ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız gibi yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kere 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ çarpı 6 = 42) ve 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ kez (\ mathbf (2)) = 6)... Böylece, 84'ün asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2'dir. Bunları bir ifade olarak yazın:.

   4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız. Bu faktörleri bir çarpma işlemi olarak yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (asal çarpanlara ayırmayı tanımlayan ifadeler) üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle yazın 2 × (\ displaystyle 2 \ kez) ve her iki ifadede de 2'yi işaretleyin.
      • Her iki sayı için de ortak olan, 2'nin başka bir çarpanıdır, bu yüzden yazın 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ kere 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

   5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar, her iki ifadede de üstü çizilmeyen, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ kere 2 \ kere 5) her iki 2'nin de (2) üzeri çizilir çünkü bunlar ortak çarpanlardır. 5 faktörünün üzeri çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ kez 2 \ kez 5)
      • ifadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ kere 7 \ kere 3 \ kere 2) her iki 2'nin de üzeri çizilmiştir (2). 7 ve 3 çarpanlarının üzeri çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ kere 2 \ kere 5 \ kere 7 \ kere 3).

   6. En küçük ortak katını hesaplayın. Bunu yapmak için, kaydedilen çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ kez 2 \ kez 5 \ kez 7 \ kez 3 = 420)... Yani 20 ve 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

   Ortak Bölenleri Bulma

   1. Izgarayı bir tic-tac-toe oyunu gibi çizin. Böyle bir ızgara, diğer iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu, üç satır ve üç sütun oluşturur (ızgara # işaretine çok benzer). İlk sayıyı ilk satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin, 18 ve 30'un en küçük ortak katını bulun. Birinci satıra ve ikinci sütuna 18 yazın ve ilk satır ve üçüncü sütuna 30 yazın.

   2. Her iki sayının ortak böleni bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin, 18 ve 30 çift sayılardır, dolayısıyla ortak bölenleri 2'dir. Öyleyse ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

   3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü karşılık gelen sayının altına yazın. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) 18'in altına 9 yaz.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) 30'un altına 15 yaz.

   4. Her iki bölümün ortak böleni bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi takdirde, böleni ikinci satıra ve ilk sütuna yazın.

      • Örneğin, 9 ve 15 3'e bölünebilir, bu nedenle ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

   5. Her bölümü ikinci faktöre bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) bu yüzden 9'un altına 3 yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) 15'in altına 5 yaz.

   6. Gerekirse, ızgarayı ek hücrelerle destekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

   7. Kılavuzun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Ardından seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin, 2 ve 3 sayıları ilk sütunda ve 3 ve 5 sayıları son satırdadır, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ kere 3 \ kere 3 \ kere 5).

   8. Sayıların çarpımının sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ kere 3 \ kere 3 \ kere 5 = 90)... 18 ve 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

   Öklid Algoritması

   1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi hatırlayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur. Kalan, iki sayı bölündüğünde kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 bir temettü
        6 bölendir
        2 bölümdür
        3 kalandır.

En büyük ortak böleni

tanım 2

Bir a doğal sayısı $ b $ doğal sayısına bölünebiliyorsa, o zaman $ b $, $ a $'ın böleni olarak adlandırılır ve $ a $, $ b $'ın katı olarak adlandırılır.

$ a $ ve $ b $ doğal sayılar olsun. $ c $ sayısına hem $ a $ hem de $ b $ için ortak bölen denir.

$ a $ ve $ b $ için ortak bölenlerin kümesi sonludur, çünkü bu bölenlerin hiçbiri $ a $'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $ a $ ve $ b $ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan bir en büyük olduğu anlamına gelir ve gösterim bunu belirtmek için kullanılır:

$ Gcd \ (a; b) \ veya \ D \ (a; b) $

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapmanız gerekenler:

1. 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

örnek 1

121 $ ve 132 $ sayılarının gcd'sini bulun.

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Bu sayıların ayrıştırılmasına dahil edilen sayıları seçin

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Örnek 2

63 $ ve 81 $ tek terimli GCD'yi bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için:

Sayıları asal çarpanlara ayırma

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Bu sayıların ayrıştırılmasında yer alan sayıları seçiyoruz.

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Sayıların bölenleri kümesini kullanarak iki sayının GCD'sini başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

48 $ ve 60 $ sayılarının GCD'sini bulun.

Çözüm:

$ 48 $: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ right \) $ sayısının bölenleri kümesini bulun

Şimdi $ 60 $: $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ sayısının bölenleri kümesini buluyoruz ) $

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - bu küme $ 48 $ sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir ve 60 dolar. içindeki en büyük eleman bu set 12 $ bir sayı olacak. Yani 48 dolar ile 60 doların en büyük ortak böleni 12 dolar olacaktır.

LCM'un tanımı

tanım 3

Doğal sayıların ortak katı$ a $ ve $ b $, hem $ a $ hem de $ b $'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Ortak katlar aslına kalansız bölünebilen sayılardır.Örneğin 25$ ve 50$ sayıları için ortak katlar 50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılır ve LCM $ (a; b) $ veya K $ (a; b) ile gösterilir.

İki sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Faktör numaraları
2. İlk sayının bir parçası olan faktörleri yazın ve onlara ikincinin parçası olan ve birinciye girmeyen faktörleri ekleyin.

Örnek 4

99 $ ve 77 $ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Faktör numaraları

$ 99 = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

İlkinde yer alan faktörleri yazınız.

onlara ikincinin parçası olan ve birinciye girmeyen faktörleri ekleyin

Adım 2'de bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

Sayı bölenlerinin listelerini derlemek genellikle çok zaman alır. Öklid'in algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Euclid'in algoritmasının dayandığı ifadeler:

$ a $ ve $ b $ doğal sayılarsa ve $ a \ vdots b $ ise, o zaman $ D (a; b) = b $

$ a $ ve $ b $, $ b olacak şekilde doğal sayılarsa

$ D (a; b) = D (a-b; b) $ kullanarak, biri diğerine bölünebilen bir sayı çiftine ulaşana kadar, ele alınan sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $ a $ ve $ b $ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

GCD ve LCM'nin Özellikleri

1. $ a $ ve $ b $'ın herhangi bir ortak katı K $ (a; b) $ ile bölünebilir
2. $ a \ vdots b $ ise, o zaman K $ (a; b) = a $

K $ (a; b) = k $ ve $ m $ bir doğal sayı ise, K $ (am; bm) = km $

$ d $, $ a $ ve $ b $ için ortak bir bölen ise, o zaman K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

$ a \ vdots c $ ve $ b \ vdots c $ ise, $ \ frac (ab) (c) $, $ a $ ve $ b $'ın ortak katıdır

$ a $ ve $ b $ doğal sayıları için eşitlik

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

$ a $ ve $ b $ sayılarının herhangi bir ortak böleni, $ D (a; b) $ sayısının bir bölenidir.