İ. Harflerle birlikte sayılar, aritmetik işlemlerin işaretleri ve parantezlerin de kullanılabildiği ifadelere cebirsel ifadeler denir.

Cebirsel ifadelere örnekler:

2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); 2 - 2ab;

Cebirsel ifadedeki bir harf bazı farklı sayılarla değiştirilebildiğinden, harfe değişken denir ve cebirsel ifadenin kendisine değişkenli bir ifade denir.

II. Bir cebirsel ifadede harfler (değişkenler) değerleriyle değiştirilirse ve belirtilen eylemler gerçekleştirilirse, ortaya çıkan sayıya cebirsel ifadenin değeri denir.

Örnekler Bir ifadenin değerini bulun:

1) a = -2 için a + 2b -c; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y=-5; z = 6.

Karar.

1) a = -2 için a + 2b -c; b = 10; c = -3,5. Değişkenler yerine değerlerini değiştiririz. Alırız:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y=-5; z = 6. Belirtilen değerleri yerine koyuyoruz. Unutmayın ki modül negatif sayı karşıt sayıya eşittir ve modül pozitif sayı bu sayıya eşittir. Alırız:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Cebirsel ifadenin anlam ifade ettiği bir harfin (değişkenin) değerlerine, harfin (değişkenin) geçerli değerleri denir.

Örnekler Değişkenin hangi değerlerinde ifade anlamlı değil?

Karar. Sıfıra bölmenin imkansız olduğunu biliyoruz, bu nedenle kesrin paydasını sıfıra çeviren harfin (değişkenin) değeri ile bu ifadelerin her biri bir anlam ifade etmeyecektir!

Örnek 1)'de, bu a = 0 değeridir. Gerçekten de, a yerine 0'ı değiştirirsek, 6 sayısının 0'a bölünmesi gerekir, ancak bu yapılamaz. Cevap: 1) ifadesi a = 0 olduğunda bir anlam ifade etmez.

Örnek 2)'de x = 4'te payda x - 4 = 0, bu nedenle bu değer x = 4 ve alınamaz. Cevap: ifade 2) x = 4 için bir anlam ifade etmiyor.

Örnek 3)'te payda, x = -2 için x + 2 = 0'dır. Cevap: 3) ifadesi x = -2'de bir anlam ifade etmiyor.

Örnek 4)'te payda 5 -|x| = 0 |x| = 5. Ve |5| = 5 ve |-5| \u003d 5, o zaman x \u003d 5 ve x \u003d -5 alamazsınız. Cevap: ifade 4) x = -5 ve x = 5 için bir anlam ifade etmez.
IV. Değişkenlerin herhangi bir kabul edilebilir değeri için, bu ifadelerin karşılık gelen değerleri eşitse, iki ifade aynı şekilde eşit olarak adlandırılır.

Örnek: 5 (a - b) ve 5a - 5b aynıdır, çünkü 5 (a - b) = 5a - 5b eşitliği a ve b'nin herhangi bir değeri için doğru olacaktır. Eşitlik 5 (a - b) = 5a - 5b bir özdeşliktir.

Kimlik içerdiği değişkenlerin tüm kabul edilebilir değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Sizin zaten bildiğiniz kimlik örnekleri, örneğin toplama ve çarpma özellikleri, dağıtım özelliğidir.

Bir ifadenin, kendisine eşit olarak başka bir ifadeyle değiştirilmesine, özdeş bir dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri, sayılar üzerindeki işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

Örnekler

a)çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Karar. Çarpmanın dağılma özelliğini (yasasını) hatırlayın:

(a+b) c=a c+b c(toplamaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, her terimi bu sayı ile çarpabilir ve sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çıkarmaya göre çarpmanın dağıtım yasası: İki sayının farkını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, bu sayının indirgenmiş ve ayrı ayrı çarpılması ve ikincisini ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) Toplama işleminin değişmeli ve birleştirici özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Karar. Ekleme yasalarını (özelliklerini) uygularız:

a+b=b+a(yer değiştirme: toplam, terimlerin yeniden düzenlenmesinden değişmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(ilişkili: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için, ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

içinde)çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 yıl · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Karar.Çarpma yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:

bir b=b bir(yer değiştirme: faktörlerin permütasyonu ürünü değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleştirici: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, birinci sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 yıl · (-1) = 7y.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Bir cebirsel ifade indirgenebilir bir kesir olarak verilirse, kesir indirgeme kuralı kullanılarak basitleştirilebilir, yani. ona eşit olarak daha basit bir ifadeyle değiştirin.

Örnekler Kesir azaltma kullanarak basitleştirin.

Karar. Bir kesri azaltmak, payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya (ifadeye) bölmek demektir. Kesir 10) azaltılacaktır 3b; kesir 11) azaltmak a ve kesir 12) azaltmak 7n. Alırız:

Cebirsel ifadeler formülleri formüle etmek için kullanılır.

Formül, iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi ifade eden bir eşitlik olarak yazılmış cebirsel bir ifadedir.Örnek: bildiğiniz yol formülü s=vt(s kat edilen mesafedir, v hızdır, t zamandır). Bildiğiniz diğer formülleri hatırlayın.

Sayfa 1 / 1 1

İfade, en geniş matematiksel terimdir. Özünde, bu bilimde her şey onlardan oluşur ve tüm işlemler de onlar üzerinde yapılır. Başka bir soru, belirli türe bağlı olarak kesinlikle çeşitli metodlar ve hileler. Yani trigonometri, kesirler veya logaritmalarla çalışmak üç farklı eylemler. Anlamlı olmayan bir ifade iki türden biri olabilir: sayısal veya cebirsel. Ancak bu kavramın ne anlama geldiği, örneğinin neye benzediği ve diğer noktalar daha fazla tartışılacaktır.

sayısal ifadeler

Bir ifade sayılardan, parantezlerden, artılardan ve eksilerden ve diğer aritmetik işlem işaretlerinden oluşuyorsa, güvenle sayısal olarak adlandırılabilir. Bu oldukça mantıklı: sadece ilk adlandırılmış bileşenine bir kez daha bakmanız gerekiyor.

Her şey sayısal bir ifade olabilir: Ana şey, harf içermemesidir. Ve bu durumda "herhangi bir şey" ile her şey anlaşılır: basit, tek başına, tek başına, sayıdan, bunların büyük bir listesine ve nihai sonucun daha sonra hesaplanmasını gerektiren aritmetik işlem işaretlerine kadar. Kesir aynı zamanda sayısal ifade, herhangi bir a, b, c, d, vb. içermiyorsa, çünkü o zaman bu biraz sonra tartışılacak olan tamamen farklı bir türdür.

Anlamsız bir ifadenin koşulları

Görev "hesapla" kelimesiyle başladığında dönüşümden bahsedebiliriz. Mesele şu ki, bu eylem her zaman tavsiye edilmez: Anlamsız bir ifade ön plana çıkarsa, o kadar da gerekli değildir. Örnekler sonsuz derecede şaşırtıcı: bazen, bizi geride bıraktığını anlamak için, parantezleri uzun ve sıkıcı bir süre açıp sayma-sayma-saymamız gerekiyor ...

Hatırlanması gereken en önemli şey, nihai sonucu matematikte yasaklanmış bir eyleme indirgenen bir ifadenin mantıklı olmadığıdır. Tamamen dürüst olmak gerekirse, o zaman dönüşümün kendisi anlamsız hale gelir, ancak öğrenmek için önce onu gerçekleştirmeniz gerekir. Paradoks böyledir!

En ünlü, ancak daha az önemli olmayan yasak matematiksel eylem sıfıra bölümüdür.

Bu nedenle, örneğin, mantıklı olmayan bir ifade:

(17+11):(5+4-10+1).

Basit hesaplamalar yardımıyla ikinci parantez bir basamağa indirgersek, o zaman sıfır olacaktır.

Aynı ilkeye göre, bu ifadeye "fahri unvan" verilir:

(5-18):(19-4-20+5).

cebirsel ifadeler

Yasak harfleri eklerseniz, bu aynı sayısal ifadedir. Sonra tam teşekküllü bir cebir olur. Ayrıca her boyutta ve şekilde gelir. Cebirsel ifade, öncekini de içeren daha geniş bir kavramdır. Ancak onunla değil, sayısal olanla konuşmaya başlamak mantıklıydı, böylece daha net ve anlaşılması daha kolay olurdu. Sonuçta, cebirsel bir ifade mantıklı mı - soru o kadar karmaşık değil, ancak daha fazla açıklaması var.

Nedenmiş?

Değişmez bir ifade veya değişkenleri olan bir ifade eşanlamlıdır. İlk terimi açıklamak kolaydır: Ne de olsa, sonuçta harfler içerir! İkincisi de yüzyılın gizemi değil: harfler yerine farklı sayılar, bunun sonucunda ifadenin değeri değişecektir. Bu durumda harflerin değişken olduğunu tahmin etmek kolaydır. Analojiyle, sayılar sabitlerdir.

Ve burada ana temaya dönüyoruz: anlamsız mı?

Mantıklı olmayan cebirsel ifade örnekleri

Cebirsel bir ifadenin anlamsızlığının koşulu, sayısal bir ifadeyle aynıdır, yalnızca bir istisna veya daha kesin olmak gerekirse, bir ekleme. Nihai sonucu çevirirken ve hesaplarken, değişkenler dikkate alınmalıdır, bu nedenle soru "hangi ifade anlamlı değil?" değil, "bu ifade değişkenin hangi değeri için anlamlı olmayacaktır?" şeklinde sorulur. ve "İfadeyi anlamsız kılan değişken için bir değer var mı?"

Örneğin, (18-3):(a+11-9).

a -2 olduğunda yukarıdaki ifade bir anlam ifade etmez.

Ancak (a + 3): (12-4-8) hakkında, bunun herhangi bir a için anlamlı olmayan bir ifade olduğunu güvenle söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, (b - 11):(12+1) ifadesinin yerine b'yi ne koyarsanız koyun, yine de anlamlı olacaktır.

"Mantıklı olmayan bir ifade" konulu tipik görevler

7. sınıf, diğerlerinin yanı sıra bu konuyu matematikte inceler ve bununla ilgili görevler genellikle hem ilgili dersten hemen sonra hem de modüllerde ve sınavlarda “hile” sorusu olarak bulunur.

Bu nedenle, bunları çözmek için tipik görevleri ve yöntemleri düşünmeye değer.

örnek 1

İfade anlamlı mı:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Tüm hesaplamayı parantez içinde yapmak ve ifadeyi forma getirmek gerekir:

Sonuç içerir, bu nedenle ifade anlamsızdır.

Örnek 2

Hangi ifadeler mantıklı değil?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

hesaplamalı nihai değer ifadelerin her biri için.

Cevap 1; 2.

Örnek 3

Aşağıdaki ifadeler için geçerli değer aralığını bulun:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Kabul edilebilir değerler aralığı (ODZ), yerine hangisini koyduğunuzda tüm bu sayılardır. değişken ifade mantıklı olacak.

Yani, görev şöyle görünür: sıfıra bölünme olmayacak değerleri bulun.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), veya b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), veya b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Örnek 4

Aşağıdaki ifade hangi değerlerde anlam ifade etmeyecektir?

y -3 olduğunda ikinci parantez sıfırdır.

Cevap: y=-3

Örnek 4

İfadelerden hangisi yalnızca x = -14 için anlamlı değildir?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ve 3, çünkü ilk durumda, x = -14 yerine yerine koyarsak, ikinci parantez -28'e eşit olur ve sıfır olmaz, çünkü mantıklı olmayan bir ifadenin tanımında göründüğü gibi.

Örnek 5

Düşünün ve mantıklı olmayan bir ifade yazın.

18/(2-46+17-33+45+15).

İki değişkenli cebirsel ifadeler

Anlamsız tüm ifadelerin özü aynı olmasına rağmen, karmaşıklıklarının farklı seviyeleri vardır. Yani sayısal örneklerin basit olduğunu söyleyebiliriz çünkü cebirsel örneklerden daha kolaydır. Çözümün zorlukları, ikincideki değişken sayısı ile eklenir. Ancak aynı görünmemelidirler: Ana şey, çözümün genel ilkesini hatırlamak ve örneğin tipik bir soruna benzer olup olmadığına veya bilinmeyen bazı eklemelere sahip olup olmadığına bakılmaksızın onu uygulamaktır.

Örneğin, böyle bir görevin nasıl çözüleceği sorusu ortaya çıkabilir.

İfade için geçersiz olan bir çift sayı bulun ve yazın:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Cevap seçenekleri:

Ama aslında, sadece korkutucu ve hantal görünüyor, çünkü aslında uzun zamandır bilinenleri içeriyor: sayıların ve küplerin karesini alma, bölme, çarpma, çıkarma ve toplama gibi bazı aritmetik işlemler. Kolaylık sağlamak için, bu arada, sorunu kesirli bir forma indirebiliriz.

Ortaya çıkan kesrin payı mutlu değil: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Bu bir gerçektir. Ancak mutluluğun başka bir nedeni daha var: Görevi çözmek için ona dokunmanıza bile gerek yok! Daha önce tartışılan tanıma göre, sıfıra bölmek imkansızdır ve tam olarak neyin bölüneceği tamamen önemsizdir. Bu nedenle, bu ifadeyi değiştirmeden bırakıyoruz ve bu seçeneklerdeki sayı çiftlerini paydada değiştiriyoruz. Zaten üçüncü nokta, küçük bir parantez sıfıra çevirerek mükemmel bir şekilde uyuyor. Ancak durdurmak için kötü bir tavsiye var, çünkü başka bir şey ortaya çıkabilir. Ve gerçekten: beşinci nokta da iyi uyuyor ve duruma uyuyor.

Cevabı yazıyoruz: 3 ve 5.

En sonunda

Gördüğünüz gibi, bu konu çok ilginç ve özellikle karmaşık değil. Bunu anlamak zor olmayacak. Ama yine de, birkaç örnek üzerinde çalışmaktan asla zarar gelmez!

İfade, en geniş matematiksel terimdir. Özünde, bu bilimde her şey onlardan oluşur ve tüm işlemler de onlar üzerinde yapılır. Bir başka soru da, belirli türlere bağlı olarak tamamen farklı yöntem ve tekniklerin kullanılmasıdır. Dolayısıyla trigonometri, kesirler veya logaritmalarla çalışmak üç farklı eylemdir. Anlamlı olmayan bir ifade iki türden biri olabilir: sayısal veya cebirsel. Ancak bu kavramın ne anlama geldiği, örneğinin neye benzediği ve diğer noktalar daha fazla tartışılacaktır.

sayısal ifadeler

Bir ifade sayılardan, parantezlerden, artılardan ve eksilerden ve diğer aritmetik işlem işaretlerinden oluşuyorsa, güvenle sayısal olarak adlandırılabilir. Bu oldukça mantıklı: sadece ilk adlandırılmış bileşenine bir kez daha bakmanız gerekiyor.

Her şey sayısal bir ifade olabilir: Ana şey, harf içermemesidir. Ve bu durumda "herhangi bir şey" ile her şey anlaşılır: basit, tek başına, tek başına, sayıdan, bunların büyük bir listesine ve nihai sonucun daha sonra hesaplanmasını gerektiren aritmetik işlem işaretlerine kadar. Herhangi bir a, b, c, d, vb. içermiyorsa, bir kesir de sayısal bir ifadedir, çünkü o zaman tamamen farklı bir türdür ve biraz sonra tartışılacaktır.

Anlamsız bir ifadenin koşulları

Görev "hesapla" kelimesiyle başladığında dönüşümden bahsedebiliriz. Mesele şu ki, bu eylem her zaman tavsiye edilmez: Anlamsız bir ifade ön plana çıkarsa, o kadar da gerekli değildir. Örnekler sonsuz derecede şaşırtıcı: bazen, bizi geride bıraktığını anlamak için, parantezleri uzun ve sıkıcı bir süre açıp sayma-sayma-saymamız gerekiyor ...

Hatırlanması gereken en önemli şey, nihai sonucu matematikte yasaklanmış bir eyleme indirgenen bir ifadenin mantıklı olmadığıdır. Tamamen dürüst olmak gerekirse, o zaman dönüşümün kendisi anlamsız hale gelir, ancak öğrenmek için önce onu gerçekleştirmeniz gerekir. Paradoks böyledir!

En ünlü, ancak daha az önemli olmayan yasak matematiksel işlem, sıfıra bölme işlemidir.

Bu nedenle, örneğin, mantıklı olmayan bir ifade:

(17+11):(5+4-10+1).

Basit hesaplamalar yardımıyla ikinci parantez bir basamağa indirgersek, o zaman sıfır olacaktır.

Aynı ilkeye göre, bu ifadeye "fahri unvan" verilir:

(5-18):(19-4-20+5).

cebirsel ifadeler

Yasak harfleri eklerseniz, bu aynı sayısal ifadedir. Sonra tam teşekküllü bir cebir olur. Ayrıca her boyutta ve şekilde gelir. Cebirsel ifade, öncekini de içeren daha geniş bir kavramdır. Ancak onunla değil, sayısal olanla konuşmaya başlamak mantıklıydı, böylece daha net ve anlaşılması daha kolay olurdu. Sonuçta, cebirsel bir ifade mantıklı mı - soru o kadar karmaşık değil, ancak daha fazla açıklaması var.

Nedenmiş?

Değişmez bir ifade veya değişkenleri olan bir ifade eşanlamlıdır. İlk terimi açıklamak kolaydır: Ne de olsa, sonuçta harfler içerir! İkincisi de yüzyılın gizemi değil: Harflerin yerine farklı sayılar konabilir, bunun sonucunda ifadenin anlamı değişecektir. Bu durumda harflerin değişken olduğunu tahmin etmek kolaydır. Analojiyle, sayılar sabitlerdir.

Ve burada ana konuya dönüyoruz: Anlamsız bir ifade nedir?

Mantıklı olmayan cebirsel ifade örnekleri

Cebirsel bir ifadenin anlamsızlığının koşulu, sayısal bir ifadeyle aynıdır, yalnızca bir istisna veya daha kesin olmak gerekirse, bir ekleme. Nihai sonucu çevirirken ve hesaplarken, değişkenler dikkate alınmalıdır, bu nedenle soru "hangi ifade anlamlı değil?" değil, "bu ifade değişkenin hangi değeri için anlamlı olmayacaktır?" şeklinde sorulur. ve "İfadeyi anlamsız kılan değişken için bir değer var mı?"

Örneğin, (18-3):(a+11-9).

a -2 olduğunda yukarıdaki ifade bir anlam ifade etmez.

Ancak (a + 3): (12-4-8) hakkında, bunun herhangi bir a için anlamlı olmayan bir ifade olduğunu güvenle söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, (b - 11):(12+1) ifadesinin yerine b'yi ne koyarsanız koyun, yine de anlamlı olacaktır.

"Mantıklı olmayan bir ifade" konulu tipik görevler

7. sınıf, diğerlerinin yanı sıra bu konuyu matematikte inceler ve bununla ilgili görevler genellikle hem ilgili dersten hemen sonra hem de modüllerde ve sınavlarda “hile” sorusu olarak bulunur.

Bu nedenle, bunları çözmek için tipik görevleri ve yöntemleri düşünmeye değer.

örnek 1

İfade anlamlı mı:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Tüm hesaplamayı parantez içinde yapmak ve ifadeyi forma getirmek gerekir:

Nihai sonuç sıfıra bölme içerir, bu nedenle ifade anlamsızdır.

Örnek 2

Hangi ifadeler mantıklı değil?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

İfadelerin her biri için son değeri hesaplamanız gerekir.

Cevap 1; 2.

Örnek 3

Aşağıdaki ifadeler için geçerli değer aralığını bulun:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Kabul edilebilir değerler aralığı (ODZ), değişkenler yerine hangisini değiştirirken ifadenin anlamlı olacağı tüm bu sayılardır.

Yani, görev şöyle görünür: sıfıra bölünme olmayacak değerleri bulun.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), veya b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), veya b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Örnek 4

Aşağıdaki ifade hangi değerlerde anlam ifade etmeyecektir?

y -3 olduğunda ikinci parantez sıfırdır.

Cevap: y=-3

Örnek 4

İfadelerden hangisi yalnızca x = -14 için anlamlı değildir?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ve 3, çünkü ilk durumda, x = -14 yerine yerine koyarsak, ikinci parantez -28'e eşit olur ve sıfır olmaz, çünkü mantıklı olmayan bir ifadenin tanımında göründüğü gibi.

Örnek 5

Düşünün ve mantıklı olmayan bir ifade yazın.

18/(2-46+17-33+45+15).

İki değişkenli cebirsel ifadeler

Anlamsız tüm ifadelerin özü aynı olmasına rağmen, karmaşıklıklarının farklı seviyeleri vardır. Yani sayısal örneklerin basit olduğunu söyleyebiliriz çünkü cebirsel örneklerden daha kolaydır. Çözümün zorlukları, ikincideki değişken sayısı ile eklenir. Ancak görünüşlerinde de kafa karıştırıcı olmamalıdırlar: Ana şey, çözümün genel ilkesini hatırlamak ve örneğin tipik bir soruna benzer olup olmadığına veya bilinmeyen bazı eklemelere sahip olup olmadığına bakılmaksızın onu uygulamaktır.

Örneğin, böyle bir görevin nasıl çözüleceği sorusu ortaya çıkabilir.

İfade için geçersiz olan bir çift sayı bulun ve yazın:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Cevap seçenekleri:

Ama aslında, sadece korkutucu ve hantal görünüyor, çünkü aslında uzun zamandır bilinenleri içeriyor: sayıların ve küplerin karesini alma, bölme, çarpma, çıkarma ve toplama gibi bazı aritmetik işlemler. Kolaylık sağlamak için, bu arada, sorunu kesirli bir forma indirebiliriz.

Ortaya çıkan kesrin payı mutlu değil: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Bu bir gerçektir. Ancak mutluluğun başka bir nedeni daha var: Görevi çözmek için ona dokunmanıza bile gerek yok! Daha önce tartışılan tanıma göre, sıfıra bölmek imkansızdır ve tam olarak neyin bölüneceği tamamen önemsizdir. Bu nedenle, bu ifadeyi değiştirmeden bırakıyoruz ve bu seçeneklerdeki sayı çiftlerini paydada değiştiriyoruz. Zaten üçüncü nokta, küçük bir parantez sıfıra çevirerek mükemmel bir şekilde uyuyor. Ancak durdurmak için kötü bir tavsiye var, çünkü başka bir şey ortaya çıkabilir. Ve gerçekten: beşinci nokta da iyi uyuyor ve duruma uyuyor.

Cevabı yazıyoruz: 3 ve 5.

En sonunda

Gördüğünüz gibi, bu konu çok ilginç ve özellikle karmaşık değil. Bunu anlamak zor olmayacak. Ama yine de, birkaç örnek üzerinde çalışmaktan asla zarar gelmez!

Sayısal, gerçek ifadeler ve değişkenli ifadeler konusunu incelerken kavramına dikkat etmek gerekir. ifade değeri. Bu yazımızda, sayısal bir ifadenin değeri nedir ve bir literal ifadenin değeri nedir ve değişkenlerin seçilen değerleri ile değişkenleri olan bir ifadenin değeri nedir sorusuna cevap vereceğiz. Bu tanımları netleştirmek için örnekler veriyoruz.

Sayfa gezintisi.

Sayısal bir ifadenin değeri nedir?

Sayısal ifadelerle tanışma, neredeyse okuldaki ilk matematik derslerinden başlar. Hemen hemen "sayısal bir ifadenin değeri" kavramı tanıtıldı. Aritmetik işaretlerle (+, -, ·, :), sayılardan oluşan ifadelere atıfta bulunur. Uygun bir tanım verelim.

Tanım.

Sayısal bir ifadenin değeri- bu, orijinal sayısal ifadedeki tüm eylemleri gerçekleştirdikten sonra elde edilen sayıdır.

Örneğin, 1+2 sayısal ifadesini düşünün. Çalıştırdıktan sonra 3 sayısını alıyoruz, bu 1+2 sayısal ifadesinin değeridir.

Genellikle "sayısal bir ifadenin değeri" ifadesinde "sayısal" kelimesi atlanır ve hangi ifadenin kastedildiği hala açık olduğu için sadece "ifadenin değeri" derler.

Bir ifadenin anlamının yukarıdaki tanımı, lisede incelenen daha karmaşık bir formun sayısal ifadeleri için de geçerlidir. Burada, değerleri belirlenemeyen sayısal ifadelerle karşılaşılabileceğine dikkat edilmelidir. Bunun nedeni, bazı ifadelerde kaydedilen eylemleri gerçekleştirmenin imkansız olmasıdır. Örneğin, bu nedenle 3:(2−2) ifadesinin değerini belirtemeyiz. Bu tür sayısal ifadelere denir. anlamsız ifadeler.

Çoğu zaman uygulamada, değeri kadar ilgi çeken sayısal ifade değildir. Yani, bu ifadenin değerini belirlemekten oluşan görev ortaya çıkar. Bu durumda genellikle ifadenin değerini bulmanız gerektiğini söylerler. Bu makalede, çeşitli türlerdeki sayısal ifadelerin değerini bulma süreci ayrıntılı olarak analiz edilmekte ve çözümlerin ayrıntılı açıklamaları ile birçok örnek ele alınmaktadır.

Değişmez ve değişken ifadelerin anlamı

Sayısal ifadelere ek olarak, gerçek ifadeleri, yani sayılarla birlikte bir veya daha fazla harfin bulunduğu ifadeleri incelerler. Değişmez ifadedeki harfler farklı sayıları temsil edebilir ve harfler bu sayılarla değiştirilirse, değişmez ifade sayısal hale gelir.

Tanım.

Gerçek bir ifadede harflerin yerini alan sayılara ne ad verilir? bu harflerin anlamları, ve elde edilen sayısal ifadenin değeri denir Harflerin değerleri verilen literal ifadenin değeri.

Bu nedenle, gerçek ifadeler için, sadece gerçek bir ifadenin anlamı hakkında değil, aynı zamanda harflerin verilen (verilen, belirtilen, vb.) Değerleri için gerçek bir ifadenin anlamı hakkında da konuşulur.

Bir örnek alalım. 2·a+b literal ifadesini alalım. a ve b harflerinin değerleri verilsin, örneğin a=1 ve b=6 . Orijinal ifadedeki harfleri değerleriyle değiştirerek, 2 1+6 biçiminde sayısal bir ifade elde ederiz, değeri 8'dir. Böylece 8 sayısı, a=1 ve b=6 harflerinin değerleri verilen 2·a+b literal ifadesinin değeridir. Başka harf değerleri verilmiş olsaydı, o harf değerleri için literal ifadenin değerini alırdık. Örneğin, a=5 ve b=1 ile 2 5+1=11 değerine sahibiz.

Lisede cebir çalışırken, değişmez ifadelerdeki harflerin farklı anlamlar almasına izin verilir, bu tür harflere değişken denir ve gerçek ifadelere değişkenli ifadeler denir. Bu ifadeler için, değişkenlerin seçilen değerleri için değişkenli bir ifadenin değeri kavramı tanıtılır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Değişkenlerin seçilen değerleri için değişkenli bir ifadenin değeri Değişkenlerin seçilen değerleri orijinal ifadeyle değiştirildikten sonra elde edilen sayısal bir ifadenin değeri denir.

Sesli tanımı bir örnekle açıklayalım. 3·x·y+y biçiminde x ve y değişkenlerine sahip bir ifade düşünün. x=2 ve y=4 alalım, bu değişken değerleri orijinal ifadenin yerine koyalım, sayısal ifadeyi elde ediyoruz 3 2 4+4 . Bu ifadenin değerini hesaplayalım: 3 2 4+4=24+4=28 . Bulunan 28 değeri, x=2 ve y=4 değişkenlerinin seçilen değerleri ile 3·x·y+y değişkenleri ile orijinal ifadenin değeridir.

Diğer değişken değerlerini seçerseniz, örneğin, x=5 ve y=0 , o zaman bu seçilen değişken değerleri, değişkenlerin 3 5 0+0=0 'a eşit olduğu ifadenin değerine karşılık gelir.

Değişkenlerin seçilen farklı değerleri için bazen ifadenin eşit değerlerinin elde edilebileceği not edilebilir. Örneğin, x=9 ve y=1 için, 3 x y+y ifadesinin değeri 28'dir (çünkü 3 9 1+1=27+1=28 ) ve yukarıda aynı değerin ile ifade olduğunu gösterdik. değişkenlerde x=2 ve y=4 vardır.

Değişken değerleri ilgili değerlerden seçilebilir kabul edilebilir değer aralıkları. Aksi takdirde, bu değişkenlerin değerlerinin orijinal ifadeyle değiştirilmesi, mantıklı olmayan sayısal bir ifade ile sonuçlanacaktır. Örneğin, x=0 öğesini seçerseniz ve bu değeri 1/x ifadesinin yerine koyarsanız, 1/0 sayısal ifadesini alırsınız; bu, sıfıra bölme tanımsız olduğundan bir anlam ifade etmez.

Sadece, değerleri kurucu değişkenlerinin değerlerine bağlı olmayan değişkenlere sahip ifadeler olduğunu eklemek kalır. Örneğin, 2+x−x biçiminde x değişkenli bir ifadenin değeri bu değişkenin değerine bağlı değildir, x değişkeninin geçerli değer aralığından seçilen herhangi bir değeri için 2'ye eşittir, ki bu durumda tüm gerçek sayıların kümesidir.

Bibliyografya.

• Matematik: çalışmalar. 5 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - E.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders kitabı 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.

sayısal ifade sayıların, aritmetik işaretlerin ve parantezlerin herhangi bir kaydıdır. Sayısal bir ifade de yalnızca bir sayıdan oluşabilir. Temel aritmetik işlemlerin "toplama", "çıkarma", "çarpma" ve "bölme" olduğunu hatırlayın. Bu eylemler "+", "-", "∙", ":" işaretlerine karşılık gelir.

Elbette sayısal bir ifade elde edebilmemiz için sayılardan ve aritmetik işaretlerden alınan notasyonun anlamlı olması gerekir. Bu nedenle, örneğin, böyle bir 5: + ∙ girişi sayısal bir ifade olarak adlandırılamaz, çünkü bu, mantıklı olmayan rastgele bir karakter kümesidir. Aksine, 5 + 8 ∙ 9 zaten gerçek bir sayısal ifadedir.

Sayısal bir ifadenin değeri.

Hemen diyelim ki, sayısal ifadede belirtilen eylemleri yaparsak, sonuç olarak bir sayı alacağız. Bu numara denir sayısal bir ifadenin değeri.

Örneğimizin eylemlerini gerçekleştirmenin sonucu olarak ne elde ettiğimizi hesaplamaya çalışalım. Aritmetik işlemleri yapma sırasına göre önce çarpma işlemini gerçekleştiriyoruz. 8 ile 9'u çarparız. 72 elde ederiz. Şimdi 72 ve 5'i toplarız. 77 elde ederiz.
Yani, 77 - anlam sayısal ifade 5 + 8 ∙ 9.

Sayısal eşitlik.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Burada önce "=" ("Eşit") işaretini kullandık. İki sayısal ifadenin "=" işaretiyle ayrıldığı böyle bir gösterime denir. sayısal eşitlik. Ayrıca eşitliğin sağ ve sol kısımlarının değerleri aynı ise o zaman eşitlik denir. sadık. 5 + 8 ∙ 9 = 77 doğru eşitliktir.
5 + 8 ∙ 9 = 100 yazarsak, bu zaten olacaktır. yanlış eşitlik, çünkü bu eşitliğin sol ve sağ taraflarının değerleri artık örtüşmüyor.

Sayısal bir ifadede parantez de kullanabileceğimize dikkat edilmelidir. Parantezler, eylemlerin gerçekleştirilme sırasını etkiler. Örneğin, parantez ekleyerek örneğimizi değiştiriyoruz: (5 + 8) ∙ 9. Şimdi önce 5 ve 8'i toplamamız gerekiyor. 13'ü elde ederiz. Sonra 13'ü 9 ile çarparız. 117 elde ederiz. Böylece, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – anlam sayısal ifade (5 + 8) ∙ 9.

Bir ifadeyi doğru okumak için, belirli bir sayısal ifadenin değerini hesaplamak için en son hangi işlemin gerçekleştirildiğini belirlemeniz gerekir. Yani, son eylem çıkarma ise, ifadeye "fark" denir. Buna göre, son eylem toplam - "toplam", bölme - "özel", çarpma - "ürün", üs - "derece" ise.

Örneğin, (1 + 5) (10-3) sayısal ifadesi şöyledir: "1 ve 5 sayıları toplamının ve 10 ile 3 sayıları arasındaki farkın çarpımı."

Sayısal ifade örnekleri.

İşte daha karmaşık bir sayısal ifade örneği:

\[\sol(\frac(1)(4)+3.75 \sağ):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Parantez içinde $\frac(1)(4)+3.75$ ifadesi var. Ondalık kesri 3.75'i sıradan bir kesre çevirelim.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Böyle, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ayrıca, kesrin payında \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] 1.25 + 3.47 + 4.75-1.47 ifadesine sahibiz. Bu ifadeyi basitleştirmek için, değişmeli toplama yasasını uygularız: "Toplam, terimlerin yerlerindeki bir değişiklikten değişmez." Yani 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

Kesrin paydasında, ifade $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

alırız $\left(\frac(1)(4)+3.75 \sağ):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Sayısal ifadeler ne zaman anlamlı olmaz?

Bir örnek daha düşünelim. Bir kesrin paydasında $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$$3\centerdot 3-9$ ifadesinin değeri 0'dır. Ve bildiğimiz gibi, sıfıra bölme imkansızdır. Bu nedenle, $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ kesrinin değeri yoktur. Anlamı olmayan sayısal ifadelere "anlamı yoktur" denir.

Sayısal bir ifadede sayılara ek olarak harfler kullanırsak,