Merhaba kedicikler! Geçen sefer köklerin ne olduğunu detaylı olarak inceledik (hatırlamıyorsanız okumanızı tavsiye ederim). Bu dersin ana sonucu: Köklerin bilmeniz gereken tek bir evrensel tanımı vardır. Gerisi saçmalık ve zaman kaybı.

Bugün daha ileri gidiyoruz. Kökleri çarpmayı öğreneceğiz, çarpma ile ilgili bazı problemleri çalışacağız (eğer bu problemler çözülmezse, sınavda ölümcül olabilirler) ve düzgün bir şekilde çalışacağız. O zaman patlamış mısır stoklayın, rahatınıza bakın - ve başlayalım. :)

Henüz sigara içmedin, değil mi?

Ders oldukça büyük çıktı, bu yüzden onu iki bölüme ayırdım:

1. İlk olarak, çarpma kurallarına bakacağız. Başlık ima ediyor gibi görünüyor: bu, iki kök olduğunda, aralarında bir “çarpma” işareti var - ve onunla bir şeyler yapmak istiyoruz.
2. Sonra tersini inceleyeceğiz: Bir tane büyük kök var ve onu iki kökün bir ürünü olarak daha basit bir şekilde sunmak için sabırsızlandık. Hangi korkuyla gerekli olduğu ayrı bir sorudur. Sadece algoritmayı analiz edeceğiz.

Doğrudan Bölüm 2'ye geçmek için sabırsızlananlar için bekliyoruz. Sırayla diğerleriyle başlayalım.

Temel çarpma kuralı

En basit - klasik kareköklerle başlayalım. $\sqrt(a)$ ve $\sqrt(b)$ ile gösterilenler. Onlar için her şey genellikle açıktır:

çarpma kuralı. Bir karekök ile diğerini çarpmak için, onların radikal ifadelerini çarpmanız ve sonucu ortak radikalin altına yazmanız yeterlidir:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Sağdaki veya soldaki sayılara herhangi bir ek kısıtlama getirilmez: çarpan kökleri varsa, çarpım da vardır.

Örnekler Aynı anda sayılarla dört örnek düşünün:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(hizalama)\]

Görüldüğü gibi bu kuralın asıl anlamı mantıksız ifadeleri sadeleştirmektir. Ve eğer ilk örnekte, 25 ve 4'ün köklerini herhangi bir yeni kural olmadan çıkarmış olsaydık, o zaman kalay başlar: $\sqrt(32)$ ve $\sqrt(2)$ kendi başlarına sayılmaz, ancak çarpımları tam bir kare olduğu için kökü bir rasyonel sayıya eşittir.

Ayrı olarak, son satırı not etmek istiyorum. Orada, her iki radikal ifade de kesirdir. Ürün sayesinde birçok faktör birbirini götürür ve tüm ifade yeterli bir sayıya dönüşür.

Elbette her şey her zaman bu kadar güzel olmayacak. Bazen köklerin altında tam bir saçmalık olacaktır - bununla ne yapılacağı ve çarpmadan sonra nasıl dönüştürüleceği açık değildir. Biraz sonra, irrasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çalışmaya başladığınızda, genel olarak her türlü değişken ve fonksiyon olacaktır. Ve çoğu zaman, problemlerin derleyicileri sadece bazı sözleşme şartlarını veya faktörlerini bulacağınıza güveniyorlar, bundan sonra görev büyük ölçüde basitleşecek.

Ayrıca tam olarak iki kökü çoğaltmak gerekli değildir. Aynı anda üç, dört - evet hatta on ile çarpabilirsiniz! Bu kuralı değiştirmeyecektir. Bir göz at:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(hizalama)\]

Ve yeniden küçük bir not ikinci örneğe göre. Gördüğünüz gibi, üçüncü çarpanda, kökün altında bir ondalık kesir var - hesaplamalar sürecinde, onu normal olanla değiştiriyoruz, ardından her şey kolayca azaltılıyor. Bu nedenle: Herhangi bir irrasyonel ifadede (yani en az bir radikal simge içeren) ondalık kesirlerden kurtulmanızı şiddetle tavsiye ederim. Bu, gelecekte size çok zaman ve sinir kazandıracak.

Ama lirik bir ara sözdü. Şimdi daha fazla düşünün Genel dava- kök üs olduğunda Rasgele sayı$n$ ve sadece "klasik" ikisi değil.

Keyfi bir gösterge durumu

Böylece karekökleri bulduk. Ve küplerle ne yapmalı? Veya genel olarak $n$'ın keyfi derecedeki kökleriyle mi? Evet, her şey aynı. Kural aynı kalır:

$n$ düzeyindeki iki kökü çarpmak için, kök ifadelerini çarpmak yeterlidir, ardından sonuç bir kök altında yazılır.

Genel olarak, karmaşık bir şey yok. Hesaplamaların hacmi daha fazla olmadıkça. Birkaç örneğe bakalım:

Örnekler Ürünleri hesaplayın:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(hizalama)\]

Ve yine ikinci ifadeye dikkat edin. çarpıyoruz küp kökleri, kurtulmak ondalık kesir ve sonuç olarak paydadaki 625 ve 25 sayılarının çarpımını elde ederiz. Büyük sayı- Şahsen, neye eşit olduğunu hemen düşünmüyorum.

Bu nedenle, pay ve paydadaki tam küpü seçtik ve sonra $n$th derecesinin kökünün temel özelliklerinden birini (veya isterseniz tanımı) kullandık:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\sol| bir\doğru|. \\ \end(hizalama)\]

Bu tür "dolandırıcılıklar" sınavda size çok zaman kazandırabilir veya kontrol işi Hatırla:

Radikal ifadedeki sayıları çarpmak için acele etmeyin. İlk olarak, kontrol edin: ya orada herhangi bir ifadenin tam derecesi “şifreliyse”?

Bu açıklamanın tüm açıklığıyla birlikte, hazırlıksız öğrencilerin çoğunun tam olarak dereceleri görmediğini itiraf etmeliyim. Bunun yerine, önündeki her şeyi çarpıyorlar ve sonra merak ediyorlar: neden bu kadar acımasız sayılar aldılar? :)

Ancak, şimdi inceleyeceğimiz şeyle karşılaştırıldığında tüm bunlar çocuk oyuncağı.

Farklı üslü köklerin çarpımı

Şimdi kökleri aynı üslerle çarpabiliriz. Peki ya puanlar farklıysa? Diyelim ki, sıradan bir $\sqrt(2)$ değerini $\sqrt(23)$ gibi bir saçmalık ile nasıl çarparsınız? Bunu yapmak bile mümkün mü?

Evet tabiki yapabilirsin. Her şey bu formüle göre yapılır:

Kök çarpma kuralı. $\sqrt[n](a)$ ile $\sqrt[p](b)$'ı çarpmak için aşağıdaki dönüşümü yapmanız yeterlidir:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ancak, bu formül yalnızca şu durumlarda çalışır: radikal ifadeler negatif değildir. Bu, biraz sonra geri döneceğimiz çok önemli bir açıklamadır.

Şimdilik bir iki örneğe bakalım:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(hizalama)\]

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok. Şimdi negatif olmama şartının nereden geldiğini ve bunu ihlal edersek ne olacağını anlayalım. :)

Radikal ifadeler neden olumsuz olmak zorunda?

tabii ki gibi olabilirsin okul öğretmenleri ve akıllıca ders kitabından alıntı yapın:

Negatif olmama şartı, çift ve tek derecelerin köklerinin farklı tanımlarıyla ilişkilidir (sırasıyla, tanım alanları da farklıdır).

Peki, daha netleşti mi? Şahsen, 8. sınıfta bu saçmalığı okuduğumda kendim için şöyle bir şey anladım: “Olumsuz olmama şartı *#&^@(*#@^#)~% ile ilişkilidir” - kısacası ben o zaman bir bok anlamadım :)

Bu yüzden şimdi her şeyi normal bir şekilde açıklayacağım.

Öncelikle yukarıdaki çarpma formülünün nereden geldiğini bulalım. Bunu yapmak için, size kökün önemli bir özelliğini hatırlatmama izin verin:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Başka bir deyişle, radikal ifadeyi güvenle herhangi birine yükseltebiliriz. doğal derece$k$ - bu durumda, kök indeksin aynı derecede çarpılması gerekecektir. Bu nedenle, herhangi bir kökü ortak bir göstergeye kolayca indirgeyebiliriz, ardından çarparız. Çarpma formülünün geldiği yer burasıdır:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ancak tüm bu formüllerin uygulanmasını ciddi şekilde sınırlayan bir sorun var. Bu sayıyı göz önünde bulundurun:

Az önce verilen formüle göre herhangi bir derece ekleyebiliriz. $k=2$ eklemeyi deneyelim:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\sol(-5 \sağ))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Eksiyi tam olarak çıkardık çünkü kare eksiyi yakıyor (diğer çift dereceler gibi). Şimdi ters dönüşümü yapalım: Üs ve derecedeki ikisini "indirge". Sonuçta, herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola okunabilir:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(hizalama)\]

Ama sonra çılgınca bir şey olur:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Bunun nedeni $\sqrt(-5) \lt 0$ ve $\sqrt(5) \gt 0$ olamaz. Bu, eşit kuvvetler ve negatif sayılar için formülümüzün artık çalışmadığı anlamına gelir. Bundan sonra iki seçeneğimiz var:

1. Matematiğin aptal bir bilim olduğunu söylemek için duvara karşı savaşmak, “bazı kuralları var ama bu doğru değil”;
2. Formülün %100 çalışır hale geleceği ek kısıtlamalar getirin.

İlk seçenekte, “çalışmayan” durumları sürekli olarak yakalamamız gerekecek - bu zor, uzun ve genellikle fu. Bu nedenle matematikçiler ikinci seçeneği tercih ettiler. :)

Ama endişelenme! Uygulamada, bu kısıtlama hesaplamaları hiçbir şekilde etkilemez, çünkü açıklanan tüm problemler sadece tek bir derecenin kökleri ile ilgilidir ve eksiler bunlardan çıkarılabilir.

Bu nedenle, genel olarak kökleri olan tüm eylemler için geçerli olan başka bir kural formüle ediyoruz:

Kökleri çarpmadan önce, radikal ifadelerin negatif olmadığından emin olun.

Örnek. $\sqrt(-5)$ sayısında, kök işaretinin altındaki eksiyi çıkarabilirsiniz - o zaman her şey yoluna girecek:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(hizalama)\]

Farkı Hisset? Kökün altına bir eksi bırakırsanız, radikal ifadenin karesi alındığında kaybolacak ve saçmalık başlayacak. Ve önce bir eksi çıkarırsanız, yüzünüz mavi olana kadar bir kareyi yükseltebilir / kaldırabilirsiniz - sayı negatif kalacaktır. :)

Böylece en doğru ve en güvenilir yol köklerin çarpılması aşağıdaki gibidir:

1. Radikallerin altındaki tüm eksileri kaldırın. Eksiler yalnızca tek çokluğun köklerindedir - kökün önüne yerleştirilebilir ve gerekirse azaltılabilir (örneğin, bu eksilerden iki tane varsa).
2. Bugünkü derste yukarıda tartışılan kurallara göre çarpma yapın. Köklerin indeksleri aynıysa, basitçe kök ifadeleri çarpın. Ve eğer farklılarsa, şeytani formülü \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) kullanırız. ^(n) ))\].
3. 3. Sonuçtan ve iyi notlardan keyif alıyoruz. :)

Peki? Pratik yapalım mı?

Örnek 1. İfadeyi sadeleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \sağ)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(hizaya)\]

Bu en basit seçenektir: köklerin göstergeleri aynı ve tektir, sorun sadece ikinci çarpanın eksisindedir. Bu eksi nafig'e katlanırız, bundan sonra her şey kolayca düşünülür.

Örnek 2. İfadeyi sadeleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\sol(((2)^(5)) \sağ))^(3))\cdot ((\sol(((2)^(2)) \sağ))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( hizala)\]

Burada, çıktının irrasyonel bir sayı olduğu gerçeğiyle birçoğunun kafası karışacaktır. Evet, oluyor: kökten tamamen kurtulamadık, ama en azından ifadeyi önemli ölçüde basitleştirdik.

Örnek 3. İfadeyi sadeleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \sağ))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

İşte buna dikkatinizi çekmek isterim. Burada iki nokta var:

1. Kökün altında belirli bir sayı veya derece değil, $a$ değişkeni bulunur. İlk bakışta, bu biraz sıra dışı, ancak gerçekte, matematik problemlerini çözerken çoğu zaman değişkenlerle uğraşmak zorunda kalacaksınız.
2. Sonunda, radikal ifadede kök üssü ve dereceyi “indirmeyi” başardık. Bu oldukça sık olur. Ve bu, ana formülü kullanmazsanız hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmenin mümkün olduğu anlamına gelir.

Örneğin, şunu yapabilirsiniz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \sağ))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(hizalama)\]

Aslında, tüm dönüşümler sadece ikinci radikal ile gerçekleştirildi. Ve tüm ara adımları ayrıntılı olarak boyamazsanız, sonunda hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.

Aslında yukarıda $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ örneğini çözerken benzer bir görevle karşılaşmıştık. Şimdi çok daha kolay yazılabilir:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \sağ))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\sol(75 \sağ))^(2))) =\sqrt(75). \end(hizaya)\]

Köklerin çarpımını bulduk. Şimdi ters işlemi düşünelim: Kökün altında bir iş varken ne yapmalı?

Bir sayının karekökünü çıkarmak, bu matematiksel olguyla yapılabilecek tek işlem değildir. Normal sayılar gibi, karekökler de toplanabilir ve çıkarılabilir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Karekök toplama ve çıkarma kuralları

Karekök ekleme, çıkarma gibi işlemler ancak kök ifadesi aynı ise mümkündür.

örnek 1

İfadeleri ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz 2 3 ve 6 3, ama değil 5 6 ve 9 4 . Eğer ifadeyi sadeleştirip aynı kök sayısına sahip köklere getirmek mümkün ise sadeleştirin ve ardından toplama veya çıkarma yapın.

Kök Eylemler: Temel Bilgiler

6 50 - 2 8 + 5 12

Eylem algoritması:

1. Kök ifadesini basitleştirin. Bunu yapmak için, kök ifadesini, biri kare sayı (tüm karekökün çıkarıldığı sayı, örneğin 25 veya 9) olan 2 faktöre ayırmak gerekir.
2. O zaman kare sayının kökünü almanız gerekir. ve elde edilen değeri kök işaretinden önce yazın. Lütfen ikinci faktörün kök işaretinin altına girildiğini unutmayın.
3. Sadeleştirme işleminden sonra köklerin aynı kökten ifadelerle altını çizmek gerekir - sadece bunlar eklenip çıkarılabilir.
4. Köklü ifadeleri aynı olan kökler için kök işaretinden önce gelen çarpanları toplamak veya çıkarmak gerekir. Kök ifade değişmeden kalır. Kök sayıları eklemeyin veya çıkarmayın!

1. ipucu

Çok sayıda aynı kökten ifadeye sahip bir örneğiniz varsa, hesaplama işlemini kolaylaştırmak için bu tür ifadelerin altını tek, çift ve üçlü çizgilerle çizin.

Örnek 3

Bu örneği deneyelim:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Önce 50'yi 25 ve 2 çarpanlarına ayırmanız, ardından 25'in yani 5'in kökünü almanız ve kökün altından 5'i çıkarmanız gerekir. Bundan sonra, 5 ile 6'yı (kökteki çarpan) çarpmanız ve 30 2 elde etmeniz gerekir.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . İlk olarak, 8'i 2 faktöre ayırmanız gerekir: 4 ve 2. Ardından, 4'ten 2'ye eşit olan kökü çıkarın ve kökün altından 2'yi çıkarın. Bundan sonra, 2 ile 2'yi (kökteki faktör) çarpmanız ve 4 2 elde etmeniz gerekir.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Öncelikle 12'yi 2 faktöre ayırmanız gerekiyor: 4 ve 3. Ardından 4 olan 2'den kökü çıkartın ve kökün altından çıkarın. Bundan sonra, 2 ile 5'i (kökteki faktör) çarpmanız ve 10 3 elde etmeniz gerekir.

Basitleştirme sonucu: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Sonuç olarak, içinde kaç tane özdeş radikal ifadenin yer aldığını gördük. bu örnek. Şimdi diğer örneklerle pratik yapalım.

Örnek 4

• Basitleştirin (45) . 45'i çarpanlarına ayırıyoruz: (45) = (9 × 5) ;
• Kökün altından 3 çıkarırız (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Faktörleri köklere ekliyoruz: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Örnek 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Basitleştirme 6 40 . 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) çarpanlarına ayırıyoruz;
• 2'yi kökün altından alıyoruz (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Kökün önündeki çarpanları çarpıyoruz: 12 10;
• İfadeyi basitleştirilmiş bir biçimde yazıyoruz: 12 10 - 3 10 + 5;
• İlk iki terim aynı kök sayılara sahip olduğu için bunları çıkartabiliriz: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Örnek 6

Görüldüğü gibi radikal sayıları sadeleştirmek mümkün değil, bu yüzden örnekte aynı radikal sayılara sahip üyeler arıyoruz, matematiksel işlemler yapıyoruz (toplama, çıkarma vb.) ve sonucu yazıyoruz:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Tavsiye:

• Eklemeden veya çıkarmadan önce, radikal ifadeleri (mümkünse) basitleştirmek zorunludur.
• Farklı kök ifadeleri ile köklerin eklenmesi ve çıkarılması kesinlikle yasaktır.
• Bir tamsayı veya karekök ekleme veya çıkarma yapmayın: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Kesirlerle işlem yaparken her paydaya bölünebilen bir sayı bulmanız ve ardından kesirleri toplamanız gerekir. ortak payda, sonra payları ekleyin ve paydaları değiştirmeden bırakın.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı usulüne uygun olarak, dava ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen kamuya açık talepler veya talepler temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Bir sayının kökünü bir hesap makinesi kullanarak çıkarmak en kolayıdır. Ancak, bir hesap makineniz yoksa, karekök hesaplama algoritmasını bilmeniz gerekir. Gerçek şu ki, bir karedeki bir sayı kökün altına oturur. Örneğin 4'ün karesi 16'dır. Yani 16'nın karekökü dörde eşit olacaktır. Ayrıca 5'in karesi 25'tir. Bu nedenle 25'in kökü 5 olacaktır.

Sayı küçükse, sözlü olarak kolayca çıkarılabilir, örneğin, 25'in kökü 5 ve 144-12'nin kökü olacaktır. Hesap makinesinde de hesap yapabilirsiniz, özel bir kök simgesi vardır, bir numarayı sürmeniz ve simgeye tıklamanız gerekir.

Karekök tablosu da yardımcı olacaktır:

Daha karmaşık ama çok etkili olan başka yollar da var:

Herhangi bir sayının kökü, özellikle bugün her telefonda bulunduğundan, bir hesap makinesi kullanılarak çıkarılabilir.

Bir sayıyı kendisiyle çarparak, verilen bir sayının nasıl olabileceğini kabaca anlamaya çalışabilirsiniz.



Özellikle özel bir tablo varsa, bir sayının karekökünü hesaplamak zor değildir. Cebir derslerinden iyi bilinen bir tablo. Böyle bir işleme, "a" sayısının karekökünü çıkarmak, başka bir deyişle denklemi çözmek denir. Akıllı telefonlardaki hemen hemen tüm hesap makinelerinin karekök işlevi vardır.



Bilinen bir sayının karekökünü çıkarmanın sonucu, ikinci güce (kare) yükseltildiğinde bildiğimiz aynı sayıyı verecek olan başka bir sayı olacaktır. Kısa ve anlaşılır görünen yerleşim tanımlarından birini düşünün:







İşte konuyla ilgili bir video:

Bir sayının karekökünü hesaplamanın birkaç yolu vardır.

En popüler yol, özel bir kök tablo kullanmaktır (aşağıya bakın).

Ayrıca her hesap makinesinde kökü bulabileceğiniz bir işlev vardır.

Veya özel bir formül kullanarak.



Bir sayının karekökünü çıkarmanın birkaç yolu vardır. Bunlardan biri, bir hesap makinesi kullanarak en hızlı olanıdır.

Ancak hesap makinesi yoksa, manuel olarak yapabilirsiniz.

Sonuç doğru olacaktır.

İlke, bir sütuna bölmekle neredeyse aynıdır:



















Bir sayının karekökünün değerini bulmak için hesap makinesi olmadan deneyelim, örneğin 190969.







Böylece, her şey son derece basittir. Hesaplamalarda asıl şey belirli kurallara uymaktır. Basit kurallar ve mantıklı düşünün.

Bunun için bir kareler tablosuna ihtiyacınız var



Örneğin, 100 = 10'un kökü, 20'nin kökü = 400'ün 43 = 1849

Artık akıllı telefonlardakiler de dahil olmak üzere neredeyse tüm hesap makineleri bir sayının karekökünü hesaplayabiliyor. AMA bir hesap makineniz yoksa, sayının kökünü birkaç basit yolla bulabilirsiniz:

Ayrışma asal faktörler



Kök sayısını şu faktörlere ayırın: kare sayılar. Kök numarasına bağlı olarak, yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, tüm karekökün alınabileceği sayılardır. Çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir sayının çarpanları. Örneğin, 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğu için 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, çünkü 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7'dir. Kare çarpanları çarpanlardır. kare sayılardır. İlk önce, kök sayıyı kare faktörlere ayırmaya çalışın.

Örneğin, 400'ün karekökünü (manuel olarak) hesaplayın. Önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır ve 25 ile bölünebilen bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölmek size 16'yı verir, bu da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına, yani 25 x 16 = 400'e bölünebilir.

400 = (25 x 16) şeklinde yazın.



Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin kareköklerinin çarpımına eşittir, yani (a x b) = a x b. Bu kuralı kullanarak, her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.

Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.



Köklü sayı ikiye ayrılmazsa kare çarpan(ki çoğu zaman olur), tam cevabı bir tamsayı olarak bulamayacaksınız. Ancak, kök sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (tüm karekökün alınamayacağı bir sayı) ayırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. O zaman kare faktörünün karekökünü alacaksın ve sıradan faktörün kökünü alacaksın.

Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana ayrılamaz, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi aşağıdaki gibi çözün:



Artık kökün değerini (yaklaşık bir değer bulun), kök sayısına en yakın (sayı çizgisinin her iki tarafında) karekök değerleriyle karşılaştırarak değerlendirebilirsiniz. Kökün değerini, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.

Örneğimize geri dönelim. Kök sayısı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (1 \u003d 1) ve 4 (4 \u003d 2) sayıları olacaktır. Böylece 3'ün değeri 1 ile 2 arasındadır. 3'ün değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: 3 = 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13'ü elde edersiniz.

Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin, 35'i düşünün. Kök sayısı 35'tir. Buna en yakın kare sayılar 25 (25 = 5) ve 36 (36 = 6)'dır. Böylece 35 değeri 5 ile 6 arasındadır. 35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), 35'in 6'dan biraz daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. bize cevap 5.92 - haklıydık.



Başka bir yol, kök sayısını asal faktörlere ayırmaktır. Bir sayının sadece 1'e ve kendisine bölünebilen asal çarpanları. Asal çarpanları arka arkaya yazın ve aynı çarpan çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kökün işaretinden çıkarılabilir.

Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Kök sayısını asal faktörlere ayırırız: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, 45 \u003d (3 x 3 x 5). Kök işaretinden 3 çıkarılabilir: 45 = 35. Şimdi 5'i tahmin edebiliriz.

Başka bir örnek düşünün: 88.

= (2x4x11)

= (2x2x2x11). Üç çarpan 2'niz var; birkaç tane al ve onları kökün işaretinden çıkar.

2(2 x 11) = 22 x 11. Şimdi 2 ve 11'i değerlendirebilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.

Bu eğitim videosu da yardımcı olabilir:

Bir sayının kökünü çıkarmak için hesap makinesi kullanmalısınız veya uygun bir hesap yoksa bu siteye giderek sorunu kullanarak çözmenizi tavsiye ederim. cevrimici hesap makinesi, bu da saniyeler içinde doğru değeri verecektir.

Kök toplama ve çıkarma- lisede matematik (cebir) dersi alanlar için en yaygın "engellerden" biri. Ancak, bunları doğru bir şekilde nasıl toplayıp çıkaracağınızı öğrenmek çok önemlidir, çünkü "matematik" disiplininde temel Birleşik Devlet Sınavı programında köklerin toplamı veya farkı için örnekler yer almaktadır.

Bu tür örneklerin çözümünde ustalaşmak için iki şeye ihtiyacınız var - kuralları anlamak ve pratik yapmak. Bir veya iki düzine tipik örneği çözen öğrenci, bu beceriyi otomatizme getirecek ve sınavda korkacak hiçbir şeyi kalmayacak. Aritmetik işlemlere toplama ile başlamanız önerilir, çünkü bunları eklemek, çıkarmaktan biraz daha kolaydır.

Bunu açıklamanın en kolay yolu bir karekök örneğidir. Matematikte köklü bir "kare" terimi vardır. "Kare", belirli bir sayıyı bir kez kendisiyle çarpmak anlamına gelir.. Örneğin, 2'nin karesini alırsanız 4 elde edersiniz. 7'nin karesini alırsanız 49 elde edersiniz. 9'un karesi 81'dir. Yani 4'ün karekökü 2, 49'un karekökü 7 ve 81'in karesi 9'dur.

Kural olarak, bu konunun matematikte öğretilmesi kareköklerle başlar. Bir lise öğrencisinin bunu hemen belirleyebilmesi için çarpım tablosunu ezbere bilmesi gerekir. Bu tabloyu iyi bilmeyenler için ipuçlarını kullanmanız gerekir. Genellikle, bir sayıdan kare kök çıkarma işlemi, birçok okul matematik defterinin kapaklarında bir tablo şeklinde verilir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

• Meydan;
• kübik (veya sözde üçüncü derece);
• dördüncü derece;
• beşinci derece.

Toplama kuralları

Başarılı bir şekilde çözmek için tipik örnek, tüm kök sayıların olmadığı akılda tutulmalıdır. birbirleriyle istiflenebilir. Bunları bir araya getirebilmek için tek bir kalıba getirilmelidir. Bu mümkün değilse, sorunun çözümü yoktur. Bu tür problemler genellikle matematik ders kitaplarında öğrenciler için bir tür tuzak olarak bulunur.

Köklü ifadeler birbirinden farklı olduğunda atamalarda toplamaya izin verilmez. Bu, açıklayıcı bir örnekle gösterilebilir:

• öğrenci görevle karşı karşıyadır: 4 ve 9'un karekökünü toplamak;
• kuralı bilmeyen deneyimsiz bir öğrenci genellikle şöyle yazar: "4'ün kökü + 9'un kökü \u003d 13'ün kökü."
• Bu çözüm yolunun yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
• bir mikro hesap makinesi kullanarak, yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Şimdi çözümü kontrol etmek için kalır;
• 4=2 ve 9=3'ün kökü;
• İki ile üçün toplamı beştir. Bu nedenle, bu çözüm algoritması yanlış olarak kabul edilebilir.

Kökler aynı derecede fakat farklıysa sayısal ifadeler, parantez içinden çıkarılır ve parantez içine girilir iki köklü ifadenin toplamı. Bu nedenle, zaten bu miktardan çıkarılmıştır.

Toplama algoritması

Doğru karar verebilmek için en basit görev, gerekli:

1. Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
2. Matematikte var olan kuralların rehberliğinde birbirine değerler eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
3. Eklenemiyorlarsa, eklenebilecekleri şekilde dönüştürmeniz gerekir.
4. Gerekli tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra, ekleme yapmak ve bitmiş cevabı yazmak gerekir. Örneğin karmaşıklığına bağlı olarak, toplama işlemi zihinsel olarak veya bir hesap makinesi ile yapılabilir.

benzer kökler nelerdir

Bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, her şeyden önce, nasıl basitleştirilebileceğini düşünmek gerekir. Bunu yapmak için, benzerliğin ne olduğu hakkında temel bir bilgiye sahip olmanız gerekir.

Benzer olanları belirleme yeteneği, aynı tür toplama örneklerini hızlı bir şekilde çözmeye yardımcı olur ve bunları basitleştirilmiş bir forma getirir. Tipik bir ekleme örneğini basitleştirmek için yapmanız gerekenler:

1. Benzer olanları bulun ve bunları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
2. Mevcut örneği, aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna "gruplama" denir).
3. Daha sonra ifadeyi tekrar yazmalısınız, bu sefer benzerleri (aynı indikatör ve aynı kök figüre sahip olanlar) da birbirini takip edecek şekilde.

Bundan sonra, basitleştirilmiş bir örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, temel toplama kurallarını açıkça anlamanız ve ayrıca bir kökün ne olduğunu ve nasıl olduğunu bilmeniz gerekir.

Bazen bu tür görevler ilk bakışta çok karmaşık görünebilir, ancak genellikle benzerleri gruplandırarak kolayca çözülürler. En önemli şey alıştırma yapmaktır ve ardından öğrenci "fındık gibi görevleri tıklamaya" başlayacaktır. Kök toplama, matematiğin en önemli dallarından biridir, bu nedenle öğretmenlerin bunu çalışmak için yeterli zaman ayırması gerekir.

Video

Bu video kareköklü denklemleri anlamanıza yardımcı olacaktır.