Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) temel dönüşümleri aşağıdaki eylemler anlamına gelir:

1. İki satırın (sütunların) yeniden konumlandırılması.
2. Bir satırın (sütun) tüm öğelerinin bir sayı ile çarpımı $ a \ neq 0 $.
3. Bir satırın (sütun) tüm öğelerinin, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğeleriyle toplamı, bir gerçek sayı ile çarpılır.

$ A $ matrisinin satırlarına veya sütunlarına bazı temel dönüşümler uygularsak, yeni bir $ B $ matrisi elde ederiz. Bu durumda $\Rang (A) =\Rang (B) $, yani. temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez.

$ \ A $ çaldı = \ B $ çaldıysa, $ A $ ve $ B $ matrisleri denir eş değer... $ A $ matrisinin $ B $ matrisine eşdeğer olması şu şekilde yazılır: $ A \ sim B $.

Aşağıdaki gösterim sıklıkla kullanılır: $ A \ sağ ok B $, bu, $ B $ matrisinin bazı temel dönüşümler kullanılarak $ A $ matrisinden elde edildiği anlamına gelir.

Gauss yöntemini kullanarak sıralamayı bulurken hem satırlar hem de sütunlar ile çalışabilirsiniz. Dizelerle çalışmak daha uygundur, bu nedenle bu sayfadaki örneklerde dönüşümler matris dizelerinde gerçekleştirilir.

Yer değiştirmenin matrisin sırasını değiştirmediğine dikkat edin, yani. $ \ çaldı (A) = \ çaldı (A ^ T) $. Bazı durumlarda, bu özelliğin kullanımı uygundur (bkz. örnek # 3), çünkü gerekirse satır sütunları yapmak kolaydır ve bunun tersi de geçerlidir.

Algoritmanın kısa açıklaması

Birkaç terim sunalım. sıfır çizgisi- tüm öğeleri sıfıra eşit olan bir dize. sıfır olmayan dize- en az bir elemanı sıfır olmayan bir dize. lider eleman sıfır olmayan bir dize, ilk (soldan sağa doğru sayma) sıfır olmayan öğesi olarak adlandırılır. Örneğin, $ (0; 0; 5; -9; 0) $ satırında, önde gelen eleman üçüncü eleman olacaktır (5'e eşittir).

Herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0'dır, bu yüzden sıfırdan farklı matrisleri ele alacağız. Matris dönüşümlerinin nihai amacı, onu kademeli hale getirmektir. Basamaklı bir matrisin rankı, sıfırdan farklı satırların sayısına eşittir.

Bir matrisin sırasını bulmak için düşünülen yöntem birkaç adımdan oluşur. İlk adım ilk satırı kullanır, ikinci adım ikinciyi kullanır ve bu böyle devam eder. Mevcut adımda kullandığımız satırın altında sadece sıfır satır kaldığında veya hiç satır olmadığında, elde edilen matris basamaklı olacağından algoritma durur.

Şimdi algoritmanın her adımında gerçekleştirilen diziler üzerinden bu dönüşümlere dönelim. Bu adımda kullanmamız gereken mevcut satırın altında sıfır olmayan satırlar olduğunu ve $ k $'ın mevcut satırın önde gelen öğesinin sayısı olduğunu ve $ k _ (\ min) $'ın bunların en küçüğü olduğunu varsayalım. geçerli satırın altında kalan bu satırların önde gelen elemanlarının sayıları ...

• $ k \ lt (k _ (\ min)) $ ise, algoritmanın bir sonraki adımına geçin, yani. sonraki satırı kullanmak için
• $ k = k _ (\ min) $ ise, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Sıfır satır görünürse, bunları matrisin altına aktarırız. Ardından algoritmanın bir sonraki adımına geçiyoruz.
• $ k \ gt (k _ (\ dak)) $ ise, mevcut satırı aşağıdaki satırlardan biriyle değiştiririz, pivot numarası $ k _ (\ dak) $ olur. Bundan sonra, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Böyle bir satır yoksa, algoritmanın bir sonraki adımına geçin. Sıfır satır görünürse, bunları matrisin altına aktarırız.

Pivot elemanların tam olarak nasıl sıfırlandığını pratikte ele alacağız. $ r $ harfleri ("satır" kelimesinden gelen) satırları gösterecektir: $ r_1 $ ilk satırdır, $ r_2 $ ikinci satırdır, vb. $ c $ harfleri ("sütun" kelimesinden gelen) sütunları belirtir: $ c_1 $ - ilk sütun, $ c_2 $ - ikinci sütun vb.

Bu sayfadaki örneklerde, geçerli satırın pivot numarasını belirtmek için $ k $ kullanacağım ve mevcut satırın altındaki satırların en küçük pivot sayısını belirtmek için $ k _ (\ min) $ kullanılacaktır.

Örnek 1

$ A = \ left (\ startup (dizi) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & matrisinin rankını bulun -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (dizi) \ sağ) $.

İlk adım

İlk adımda, ilk satırla çalışıyoruz. Verilen matrisin ilk satırında, önde gelen eleman ilktir, yani. ilk satırın pivot sayısı $ k = 1 $. İlk satırın altındaki satırlara bakalım. Bu satırların başındaki elemanlar 4, 1, 1 ve 1 olarak numaralandırılmıştır. Bu sayıların en küçüğü $ k _ (\ min) = 1 $'dır. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Başka bir deyişle, üçüncü, dördüncü ve beşinci satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerekir.

Prensipte, yukarıdaki öğeleri sıfırlamaya başlayabilirsiniz, ancak sıfıra gerçekleştirilen dönüşümler için, kullanılan dizenin önde gelen öğesinin bir olması uygundur. Bu gerekli değildir, ancak hesaplamaları çok basit hale getirir. İlk satırın önde gelen öğesi olarak -2 sayısına sahibiz. "Uygunsuz" sayıyı bir (veya sayı (-1)) ile değiştirmek için birkaç seçenek vardır. Örneğin, ilk satırı 2 ile çarpabilir ve ardından beşinci satırı ilk satırdan çıkarabilirsiniz. Veya sadece birinci ve üçüncü sütunları değiştirebilirsiniz. # 1 ve # 3 sütunlarını yeniden düzenledikten sonra, verilen $ A $ matrisine eşdeğer yeni bir matris elde ederiz:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (dizi) \ sağ) \ taşma (c_1 \ solsağ ok (c_3)) (\ sim) \ sol (\ start (dizi) (cccc) \ kalın kırmızı (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (dizi) \ sağ) $$

İlk satırın önde gelen öğesi birdir. İlk satırın pivot numarası değişmedi: $ k = 1 $. İlk satırın altındaki satırların önde gelen elemanlarının sayıları aşağıdaki gibidir: 4, 1, 2, 1. En küçük sayı $ k _ (\ min) = 1 $'dır. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Bu, üçüncü ve beşinci satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerektiği anlamına gelir. Bu öğeler mavi ve yeşil renkle vurgulanır.

Gerekli elemanları sıfırlamak için matrisin satırları ile işlemler yapacağız. Bu işlemleri ayrı ayrı yazacağım:

$$ \ start (hizalı) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) ( \ kalın (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ bitiş (hizalanmış) $$

$ r_3 + 5r_1 $ kaydı, ilk satırın karşılık gelen öğelerinin beşle çarpılarak üçüncü satırın öğelerine eklendiği anlamına gelir. Sonuç, yeni bir matriste üçüncü satırın yerine yazılır. Böyle bir operasyonun sözlü performansında zorluklar ortaya çıkarsa, bu işlem ayrı ayrı gerçekleştirilebilir:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

$ r_5-r_1 $ eylemi benzerdir. Dize dönüşümlerinin bir sonucu olarak aşağıdaki matrisi elde ederiz:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (dizi) \ sim \ left (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ son (dizi) \ sağ) $$

Bu noktada ilk adım tamamlanmış sayılabilir. İlk satırın altında sıfır olmayan satırlar olduğu için çalışmaya devam etmeniz gerekiyor. Tek uyarı: Ortaya çıkan matrisin üçüncü satırında, tüm elemanlar tamamen 2'ye bölünür. Sayıları azaltmak ve hesaplamalarımızı basitleştirmek için, üçüncü satırın elemanlarını $ \ frac (1) (2) $ ile çarparız. ve ardından ikinci adıma geçin:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

İkinci adım

İkinci adımda ikinci hat ile çalışıyoruz. Matrisin ikinci satırında, önde gelen dördüncü öğedir, yani. ikinci satırın pivot sayısı $ k = 4 $. İkinci satırın altındaki satırlara bakalım. Bu satırların başındaki elemanlar 2, 2 ve 2 olarak numaralandırılmıştır. Bu sayıların en küçüğü $ k _ (\ min) = 2 $'dır. $ k \ gt (k _ (\ dak)) $ olduğundan, mevcut ikinci satırı, pivot numarası $ k _ (\ dak) $ olan satırlardan biriyle değiştirmeniz gerekir. Başka bir deyişle, ikinci satırı üçüncü, dördüncü veya beşinci ile değiştirmeniz gerekir. Beşinci satırı seçeceğim (bu, kesirlerin ortaya çıkmasını önleyecektir), yani. beşinci ve ikinci satırları değiştirin:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (dizi) \ sağ) \ taşma (r_2 \ solsağ ok (r_5)) (\ sim) \ sol (\ start (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (dizi) \ sağ) $$

İkinci satıra tekrar bakalım. Şimdi önde gelen eleman ikinci elemandır (kırmızı ile vurgulanmıştır), yani. $k = 2 $. Temel satırların (yani 2, 2 ve 4 sayılarından) en küçüğü, $ k _ (\ min) = 2 $ olacaktır. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Bu, üçüncü ve dördüncü satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerektiği anlamına gelir. Bu öğeler mavi ve yeşil renkle vurgulanır.

Önceki adımda, 1'in sütun permütasyonu kullanılarak geçerli satırın önde gelen öğesi yapıldığına dikkat edin. Bu, kesirlerle çalışmaktan kaçınmak için yapıldı. Burada da ikinci satırın ekseninin yerine bir tane koyabilirsiniz: örneğin, ikinci ve dördüncü sütunları değiştirerek. Ancak, bunu yapmayacağız, çünkü kesirler zaten ortaya çıkmayacak. Dizeli eylemler şu şekilde olacaktır:

$$ \ start (hizalanmış) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ kalın (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ bitiş (hizalanmış) $$

Belirtilen işlemleri gerçekleştirerek aşağıdaki matrise ulaşırız:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (dizi ) \ sağ) $$

İkinci adım şimdi tamamlandı. İkinci satırın altında sıfır olmayan satırlar olduğu için üçüncü adıma geçiyoruz.

Üçüncü adım

Üçüncü adımda üçüncü hat ile çalışıyoruz. Matrisin üçüncü satırında, önde gelen eleman dördüncü, yani. üçüncü satırın pivot numarası $ k = 4 $. Üçüncü satırın altındaki satırlara bakalım. Bu satırlarda önde gelen kalemler 4 ve 4 olarak numaralandırılmış olup, en küçüğü $ k _ (\ min) = 4 $'dır. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Bu, dördüncü ve beşinci satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerektiği anlamına gelir. Bu amaçla gerçekleştirilen dönüşümler, daha önce gerçekleştirilenlere tamamen benzer:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $$

Üçüncü satırın altında sadece sıfır satır var. Bu, dönüşümün tamamlandığı anlamına gelir. Matrisi kademeli bir forma getirdik. İndirgenmiş matris sıfır olmayan üç satır içerdiğinden, sırası 3'tür. Sonuç olarak, orijinal matrisin sırası da üçtür, yani, $ \ çaldı A = 3 $. Açıklama olmadan tam çözüm:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (dizi) \ sağ) \ taşma (c_1 \ solsağ ok (c_3)) (\ sim) \ sol (\ start (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ bitiş (dizi) \ sim $$ $$ \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ son (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (dizi) \ sağ) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ sol (\ başla (dizi) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim $$ $$ \ sim \ sol (\ başlangıç (dizi) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (dizi) \ sim \ left (\ start (dizi) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $$

Cevap: $ \ çaldı A = 3 $.

Örnek 2

$ A = \ left (\ startup (dizi) (cccc)) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 matrisinin rankını bulun & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (dizi) \ sağ) $.

Bu matris sıfır değildir, yani sıralaması sıfırdan büyüktür. Algoritmanın ilk adımına geçelim.

İlk adım

İlk adımda, ilk satırla çalışıyoruz. Verilen matrisin ilk satırında, önde gelen eleman ilktir, yani. ilk satırın pivot numarası $ k = 1 $. İlk satırın altındaki satırlara bakalım. Bu satırlardaki önde gelen elemanlar 1 olarak numaralandırılmıştır, yani. Temeldeki satırların en küçük pivot sayısı $ k _ (\ min) = 1 $'dır. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlamak gerekir. Başka bir deyişle, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerekir.

Hesaplamaların rahatlığı için, ilk satırın önde gelen öğesini bir hale getireceğiz. Önceki örnekte bunun için sütunları değiştirdik, ancak bu eylem bu matrisle çalışmayacak - bu matriste bire eşit eleman yok. Bir yardımcı eylem gerçekleştirelim: $ r_1-5r_2 $. O zaman ilk satırın pivotu 1 olacaktır.

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) r_1-5r_2 \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

İlk satırın önde gelen öğesi birdir. Altta yatan satırların önde gelen öğelerini sıfırlayalım:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (dizi) \ sağ) $$

İlk adım bitti. İlk satırın altında sıfır olmayan satırlar olduğu için çalışmaya devam etmeniz gerekiyor.

İkinci adım

İkinci adımda ikinci hat ile çalışıyoruz. Matrisin ikinci satırında, önde gelen eleman ikinci, yani. ikinci satırın pivot sayısı $ k = 2 $. Aşağıdaki satırlardaki önde gelen elemanlar aynı sayı 2'ye sahiptir, bu nedenle $ k _ (\ min) = 2 $. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, pivot numarası $ k _ (\ min) $ olan temel satırların pivot öğelerini sıfırlarız. Bu, üçüncü ve dördüncü satırların önde gelen öğelerini sıfırlamanız gerektiği anlamına gelir.

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (dizi) \ sağ) $$

Boş bir satır belirdi. Bunu matrisin en altına bırakalım:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (dizi) \ sağ) \ taşan (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $$

İkinci adım şimdi tamamlandı. Halihazırda bir basamaklı matrisimiz olduğuna dikkat edin. Ancak, algoritmamızı resmi olarak bitirebiliriz. İkinci satırın altında sıfır olmayan satırlar olduğu için üçüncü adıma geçip üçüncü satırla çalışmalısınız ancak üçüncü satırın altında sıfırdan farklı satırlar yok. Bu nedenle, dönüşüm tamamlandı.

Bu arada, aldığımız matris yamuk. Trapez matris, kademeli matrisin özel bir halidir.

Bu matris sıfır olmayan üç satır içerdiğinden, rankı 3'tür. Sonuç olarak, orijinal matrisin rankı da üçtür, yani, $ \ çaldı (A) = 3 $. Açıklama olmadan tam çözüm:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) r_1-5r_2 \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (dizi) \ sim $$ $$ \ left (\ start (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (dizi) \ sim \ left (\ start (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (dizi) \ sağ) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim ) \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

Cevap: $ \ çaldı A = 3 $.

Örnek No. 3

$ A = \ left (\ startup (dizi) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 matrisinin rankını bulun \\ 2 & 3 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $.

Bazen çözme sürecinde matrisi transpoze etmek uygundur. Aktarılan matrisin sırası, orijinal matrisin sırasına eşit olduğundan, böyle bir işlem oldukça kabul edilebilir. Bu örnek tam da böyle bir durumu ele alacaktır. Dönüşümler sırasında, iki özdeş dize $ (0; \; 1; \; - 2) $ (birinci ve dördüncü) görünecektir. Prensip olarak $ r_4-r_1 $ eylemini gerçekleştirebilirsiniz, ardından dördüncü satır sıfırlanacaktır, ancak bu sadece çözümü bir kayıt uzatacaktır, bu nedenle dördüncü satırı sıfırlamayacağız.

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ fantom (0) \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (dizi) \ sağ) \ sim $$ $$ \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ end (dizi) \ sağ) \ taşan (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ sol (\ başla ( dizi) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ başlangıç (dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ r_3 + 2r_1 \ bitiş (dizi) \ sim $$ $$ \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (dizi) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $$

Dönüştürülen matrisin sırası 2'dir, bu nedenle orijinal matrisin sırası $ \ rang (A) = 2 $'dır. Prensipte, matrisi değiştirmeden sırayı bulmak mümkündü: ilk satırı ikinci, üçüncü veya beşinci ile değiştirin ve olağan dönüşümlere satırlarla devam edin. Bir matrisi kademeli bir forma indirgeme yöntemi, çözüm sürecindeki varyasyonlara izin verir.

Cevap: $ \ çaldı A = 2 $.

Örnek No. 4

$ A = \ left (\ startup (dizi) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & matrisinin rankını bulun 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ end (dizi) \ sağ) $.

Bu matris boş değil, yani. onun rütbesi sıfırdan büyük. Algoritmanın ilk adımına geçelim.

İlk adım

İlk adımda, ilk satırla çalışıyoruz. Verilen matrisin ilk satırında, önde gelen eleman ikinci, yani. ilk satırın pivot sayısı $ k = 2 $. İlk satırın altındaki satırları düşünün. Bu satırlardaki önde gelen elemanlar 3 olarak numaralandırılmıştır, yani. Temeldeki satırların en küçük pivot sayısı $ k _ (\ min) = 3 $'dır. $ k \ lt (k _ (\ min)) $ olduğundan algoritmanın bir sonraki adımına geçiyoruz.

İkinci adım

İkinci adımda ikinci hat ile çalışıyoruz. İkinci satırda, önde gelen eleman üçüncüdür, yani. ikinci satırın pivot sayısı $ k = 3 $. İkinci satırın altında, pivot sayısı 3 olan yalnızca üçüncü bir satır vardır, yani $ k _ (\ min) = 3 $. $ k = k _ (\ min) $ olduğundan, üçüncü satırın önde gelen öğesini sıfırlarız:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (dizi ) \ sağ) \ başlangıç ​​(dizi) (l) \ hayalet (0) \\ \ hayalet (0) \\ r_3-2r_2 \ bitiş (dizi) \ sim \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (dizi) \ sağ) $$

Basamaklı bir matris alındı. Dönüştürülen matrisin sırası ve dolayısıyla orijinal matrisin sırası 3'tür.

Cevap: $ \ çaldı A = 3 $.

Örnek No. 5

$ A = \ left (\ startup (dizi) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 matrisinin rankını bulun & -5. \ Bitiş (dizi) \ sağ) $.

Bazen bir matrisi yalnızca bir satır veya sütun permütasyonu kullanarak basamaklı bir matrise dönüştürmek mümkündür. Bu, elbette, çok nadiren olur, ancak başarılı bir yeniden düzenleme, çözümü önemli ölçüde basitleştirebilir.

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (dizi) ) \ sağ) \ taşan (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (dizi) \ sağ) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cccc ) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (dizi) \ sağ) $$

Matris kademeli, $ \ rang (A) = 3 $'a düşürüldü.

Cevap: $ \ çaldı A = 3 $.

Bu makale, matrisin rankı gibi bir kavramı ve gerekli ek kavramları tartışacaktır. Bir matrisin rankını bulmanın örneklerini ve kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca size matris minörünün ne olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu anlatacağız.

küçük matris

Bir matrisin rankının ne olduğunu anlamak için, matrisin minörü gibi bir kavramı anlamak gerekir.

tanım 1

Küçükk-inci sıra matrisi A matrisinin elemanlarının konumunu korurken, önceden seçilmiş k-satırlarında ve k-sütunlarında bulunan A matrisinin elemanlarından oluşan k x k dereceli bir kare matrisin determinantıdır.

Basitçe söylemek gerekirse, A matrisinde (pk) satırları ve (nk) sütunları silersek ve kalan elemanlardan, A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, ortaya çıkan matrisin determinantı A matrisinin k mertebesinde bir minör.

Örnekten, A matrisinin birinci mertebeden küçüklerinin, matrisin kendisinin elemanları olduğu takip edilir.

2. dereceden küçüklerin birkaç örneği vardır. İki satır ve iki sütun seçelim. Örneğin, 1. ve 2. satır, 3. ve 4. sütun.

Bu eleman seçimi ile ikinci dereceden minör - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 olacaktır.

A matrisinin bir başka ikinci dereceden minörü 0 0 1 1 = 0

A matrisinin ikinci dereceden küçüklerinin yapısını gösteren bir örnek verelim:

3. dereceden minör, A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matrisinin 3. dereceden minörünün nasıl elde edildiğine dair bir örnek:

Belirli bir matris için 3. dereceden daha yüksek minör yoktur, çünkü

k ≤ m ben n (p, n) = m ben n (3, 4) = 3

p × n dereceli bir A matrisi için k dereceli kaç tane minör vardır?

Küçüklerin sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C p k × C n k, burada e e C p k = p! k! (p - k)! ve C n k = n! k! (n - k)! - sırasıyla p'den k'ye, n'den k'ye kombinasyon sayısı.

A matrisinin minörlerinin ne olduğuna karar verdikten sonra, A matrisinin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Matris sıralaması: bulma yöntemleri

matris sıralaması - sıfırdan farklı matrisin en yüksek mertebesi.

Notasyon 1

Sıra (A), Rg (A), Rang (A).

Matrisin rankının ve matrisin minörünün tanımından, sıfır matrisinin rankının sıfır olduğu ve sıfır olmayan matrisin rankının sıfır olmadığı anlaşılır.

Tanıma göre bir matrisin sırasını bulma

Küçüklerin Sayımı - bir matrisin sırasını belirlemeye dayalı bir yöntem.

Küçükleri numaralandırarak eylemlerin algoritması :

A matrisinin sırasını bulmak gerekir. P× n... En az bir sıfır olmayan eleman varsa, matrisin sırası en az bire eşittir ( dan beri sıfıra eşit olmayan 1. dereceden küçük).

Bunu 2. dereceden küçüklerin bir listesi takip eder. Tüm 2. dereceden küçükler sıfıra eşitse, sıra bire eşittir. 2. mertebeden en az bir sıfır olmayan minör varsa, 3. mertebeden minörlerin bir numaralandırmasına gitmek gerekir ve bu durumda matrisin rankı en az ikiye eşit olacaktır.

Üçüncü mertebenin rankı ile benzer şekilde hareket edeceğiz: matrisin tüm minörleri sıfıra eşitse, o zaman rank ikiye eşit olacaktır. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür. Ve benzeri, benzetme yoluyla.

Örnek 2

Bir matrisin derecesini bulun:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matris sıfır olmadığı için sıralaması en az bire eşittir.

2. sıra minör - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sıfır değildir. Dolayısıyla, A matrisinin rankının en az iki olduğu sonucu çıkar.

3. sıradaki küçükler üzerinde yineleniriz: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 adet.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3. dereceden küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle matrisin sırası ikiye eşittir.

Cevap : Sıra (A) = 2.

Bordering minors yöntemiyle bir matrisin rankını bulma

Border Minors Yöntemi - daha az hesaplamalı çalışma ile sonuç almanızı sağlayan bir yöntem.

bakan minör - minör M ok (k + 1) - A matrisinin k mertebesindeki minör M'yi sınırlayan A matrisinin -inci mertebesi, eğer minör M ok'a karşılık gelen matris, aşağıdakine karşılık gelen matrisi "içerirse" küçük M.

Basitçe söylemek gerekirse, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M o k'ye karşılık gelen matristen elde edilir.

Örnek 3

Bir matrisin derecesini bulun:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Sıralamayı bulmak için 2. dereceden küçük М = 2 - 1 4 1 alıyoruz

Sınırdaki tüm küçükleri yazıyoruz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Küçükleri sınırlama yöntemini doğrulamak için, formülasyonu bir kanıt temeli gerektirmeyen bir teorem sunuyoruz.

teorem 1

Eğer p ile n mertebesine sahip A matrisinin k-inci mertebeden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, o zaman A matrisinin (k + 1) mertebesine sahip tüm minörleri sıfıra eşittir.

Eylemlerin algoritması :

Bir matrisin rankını bulmak için tüm minörler üzerinde yineleme yapmak gerekli değildir; borderline olanlara bakmak yeterlidir.

Sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası sıfırdır. Sıfıra eşit olmayan en az bir küçük varsa, o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız.

Hepsi sıfırsa, Sıra (A) ikidir. En az bir sıfırdan farklı sınırda çocuk varsa, o zaman sınırdaki çocukları dikkate almaya devam ederiz. Ve benzer şekilde.

Örnek 4

Kenarlıklı küçükler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulun

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Nasıl çözülür?

A matrisinin a 11 elemanı sıfıra eşit olmadığından, 1. dereceden bir minör alırız. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı küçük aramaya başlayalım:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Sıfır 2 0 4 1'e eşit olmayan bir sınırlayıcı 2. dereceden küçük bulduk.

Sınırdaki küçükleri yineleyelim - (4 - 2) × (5 - 2) = 6 parça var.

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Cevap : Sıra (A) = 2.

Gauss yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (temel dönüşümleri kullanarak)

Temel dönüşümlerin ne olduğunu hatırlayalım.

Temel dönüşümler:

• matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleyerek;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı bir rastgele sayı ile çarparak;

matrisin başka bir satırına (sütununa) karşılık gelen herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına ekleyerek, bunlar keyfi bir sayı k ile çarpılır.

tanım 5

Gauss yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma - matrislerin denkliği teorisine dayanan bir yöntem: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra (A) = Sıra (B).

Bu ifadenin geçerliliği, matrisin tanımından kaynaklanmaktadır:

• bir matrisin satır veya sütunlarının permütasyonu durumunda, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırları veya sütunları yeniden düzenlerken sıfıra eşit kalır;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan keyfi bir k sayısı ile çarpılması durumunda, ortaya çıkan matrisin determinantı, çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir k ile;

matrisin belirli bir satırının veya sütununun öğelerine eklenmesi durumunda, k sayısıyla çarpılan başka bir satır veya sütunun karşılık gelen öğelerinin determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü : Elementer dönüşümleri kullanarak sırası bulunacak matrisi yamuk bir matrise indirgeyin.

Ne için?

Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak oldukça kolaydır. En az bir sıfır olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında rank değişmediği için, bu matrisin rankı olacaktır.

Bu süreci örnekleyelim:

• Satır sayısı sütun sayısından büyük olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, Sıra (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, Sıra (A) = k

• Satır sayısı sütun sayısından az olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, Sıra (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• n'den n'ye kadar olan A kare matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Sıra (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, Sıra (A) = k, k< n

Örnek 5

Temel dönüşümleri kullanarak A matrisinin sırasını bulun:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Nasıl çözülür?

a 11 elemanı sıfır olmadığı için, A matrisinin ilk satırının elemanlarını 1 a 11 = 1 2 ile çarpmak gerekir:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2. sıranın elemanlarına, (-3) ile çarpılan 1. sıranın karşılık gelen elemanlarını ekleyin. 3. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını ekleyin, bunlar (-1) ile çarpılır:

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) öğesi sıfır değildir, bu nedenle A matrisinin 2. satırının öğelerini A (2) ile 1 a 22 (2) = - 2 3 ile çarparız:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Ortaya çıkan matrisin 3. satırının öğelerine, 3 2 ile çarpılan 2. satırın karşılık gelen öğelerini ekleyin;
• 4. sıranın elemanlarına - 2. sıranın elemanları, 9 2 ile çarpılır;
• 5. sıranın elemanlarına - 2. sıranın 3 ile çarpılmış elemanları.

Tüm satır öğeleri sıfırdır. Böylece, temel dönüşümlerin yardımıyla, matrisi, Ra n k (A (4)) = 2 olduğu görülen yamuk bir forma getirdik. Dolayısıyla, orijinal matrisin sıralamasının da ikiye eşit olduğu sonucu çıkar.

Yorum Yap

Temel dönüşümler yaparsanız, yaklaşık değerlere izin verilmez!

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Tanım. matrisin sıralamasına göre vektör olarak kabul edilen maksimum lineer bağımsız çizgi sayısıdır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 1. matrisin sıralamasına göre matrisin sıfırdan farklı bir minörünün maksimum mertebesidir.

Determinantları kullanarak derste minör kavramını zaten analiz ettik ve şimdi genelleştireceğiz. Matrise bazı satırlar ve bazı sütunlar alalım ve bu “bazıları” matrisin satır ve sütun sayısından daha az olmalı ve satırlar ve sütunlar için bu “bazıları” aynı sayı olmalıdır. Sonra bazı satırların ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha düşük sıralı bir matris olacak. Bahsedilen "bazı" (satır ve sütun sayısı) k ile gösteriliyorsa, bu matrisin determinantı k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( r+1) seçilen minörün içinde bulunduğu inci sıra r-th sırasına belirli bir minör için sınır denir.

En sık kullanılan iki tanesi matrisin rankını bulma... o sınırdaki küçükler yolu ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemiyle).

Sınırlı küçükler yöntemi için aşağıdaki teorem kullanılır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 2. Matrisin elemanlarından bir minör oluşturmak mümkünse r inci sıra, sıfıra eşit değil, o zaman matrisin sırası r.

Temel dönüşümler yönteminde aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümlerle, orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rankı tamamen sıfırlardan oluşan satırlar hariç, içindeki satır sayısıdır.

Bordering minors yöntemiyle bir matrisin rankını bulma

Sınırlı bir reşit olmayan, belirli bir reşit olanla ilgili olarak, daha yüksek dereceli bir reşit olmayandır, eğer daha yüksek dereceli bu reşit olmayan, belirli bir reşit olmayanı içeriyorsa.

Örneğin, verilen matris

küçük bir tane alalım

Aşağıdaki reşit olmayanlar sınırda olacaktır:

Bir matrisin sırasını bulmak için algoritma sonraki.

1. İkinci dereceden sıfır olmayan küçükleri bulun. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşit olacaktır ( r =1 ).

2. Sıfıra eşit olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden küçükleri sınırlayın. Üçüncü sıranın tüm sınırlayıcı küçükleri sıfıra eşitse, matrisin sırası ikiye eşittir ( r =2 ).

3. Üçüncü mertebeden sınırda bulunan küçüklerden en az biri sıfıra eşit değilse, sınırdaki küçükleri oluştururuz. Dördüncü sıranın tüm sınırlayıcı küçükleri sıfıra eşitse, matrisin sırası üçtür ( r =2 ).

4. Matrisin boyutu izin verdiği sürece devam edin.

Örnek 1. Bir matrisin sırasını bulun

.

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Çerçeveleyelim. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

,

,

Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası ikiye eşittir ( r =2 ).

Örnek 2. Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşit olduğu için bu matrisin rankı 1'dir (bunda, sonraki iki örnekteki bordering minör durumlarında olduğu gibi, sevgili öğrenciler kendilerini kontrol etmeye davet edilir, muhtemelen determinantları hesaplama kurallarını kullanarak) ve birinci dereceden küçükler arasında , yani matrisin öğeleri arasında sıfıra eşit değildir.

Örnek 3. Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci mertebesinin minörleri, bu matrisin üçüncü mertebesinin tüm minörleri sıfıra eşittir. Bu nedenle, bu matrisin rankı ikidir.

Örnek 4. Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin tek üçüncü dereceden minörü 3 olduğu için bu matrisin rankı 3'tür.

Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (Gauss yöntemi)

Halihazırda Örnek l'de, bir matrisin sırasını küçüklerin sınırlanması yöntemiyle belirleme probleminin çok sayıda belirleyicinin hesaplanmasını gerektirdiği görülebilir. Bununla birlikte, hesaplama miktarını minimumda tutmanın bir yolu vardır. Bu yöntem, temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Temel matris dönüşümleri aşağıdaki işlemler olarak anlaşılır:

1) matrisin herhangi bir satırını veya herhangi bir sütununu sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak;

2) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun elemanlarına, aynı sayı ile çarpılarak başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının eklenmesi;

3) matrisin iki satırını veya sütununu değiştirmek;

4) "sıfır" satırların, yani tüm öğeleri sıfıra eşit olanların kaldırılması;

5) biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel bir dönüşüm matrisin sırasını değiştirmez. Başka bir deyişle, matristen temel dönüşümler kullanırsak A matrix'e gitti B, sonra .

Satırlar (Sütunlar). Hiçbiri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilemiyorsa, birkaç satır (sütun) doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır. Satır sisteminin rankı her zaman sütun sisteminin rankına eşittir ve bu sayı matrisin rankı olarak adlandırılır.

Bir matrisin sırası, bu matrisin tüm olası sıfır olmayan küçüklerinin sıralarının en yükseğidir. Herhangi bir boyuttaki sıfır matrisinin rankı sıfırdır. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfırsa, sıra birdir ve bu böyle devam eder.

Matrisin sırası görüntünün boyutudur dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operatöradı (im) (A))) matrisin karşılık geldiği doğrusal operatör.

Genellikle matrisin rankı A (\ görüntü stili A) belirtilen çaldı ⁡ A (\ displaystyle \ operatöradı (zil) A), r ⁡ A (\ displaystyle \ operatöradı (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatöradı (rg) A) veya sıra ⁡ A (\ displaystyle \ operatöradı (sıra) A)... İkinci varyant İngilizce için tipiktir, ilk ikisi Almanca, Fransızca ve bir dizi başka dil içindir.

Üniversite YouTube'u

• 1 / 5

  Bir dikdörtgen matris olsun.

  Daha sonra, tanım gereği, matrisin rankı A (\ görüntü stili A) bir:

  Teorem (rütbe tanımının doğruluğu üzerine). Matrisin tüm küçükleri olsun A m × n (\ displaystyle A_ (m \ kere n)) Emir k (\ görüntü stili k) sıfıra eşit ( M k = 0 (\ görüntü stili M_ (k) = 0)). Sonra ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0) eğer varlarsa.

  İlgili tanımlar

  Özellikler

  • Teorem (temel minör hakkında):İzin vermek r = çaldı ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ operatöradı (zil) A, M_ (r))- matrisin küçük taban A (\ görüntü stili A), sonra:
  • Sonuçlar:
  • Teorem (temel dönüşümler altında sıra değişmezliği üzerine): Elementer dönüşümlerle birbirinden elde edilen matrisler için bir notasyon sunalım. O zaman aşağıdaki ifade doğrudur: Eğer A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), o zaman sıraları eşittir.
  • Kronecker - Capelli teoremi: Bir lineer cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır. Özellikle:
    • Sistemin ana değişkenlerinin sayısı sistemin rankına eşittir.
    • Sistemin rankı tüm değişkenlerinin sayısına eşitse, bir ortak sistem belirlenecektir (çözüm benzersizdir).
  • Sylvester eşitsizliği: Eğer A ve B boyut matrisleri mxn ve nx k, sonra
  çaldı ⁡ A B ≥ çaldı ⁡ A + çaldı ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatöradı (zil) AB \ geq \ operatöradı (zil) A + \ operatöradı (zil) B-n)

  Bu, aşağıdaki eşitsizliğin özel bir durumudur.

  • Frobenius eşitsizliği: AB, BC, ABC iyi tanımlanmışsa, o zaman
  çaldı ⁡ A B C ≥ çaldı ⁡ A B + çaldı ⁡ B C - çaldı ⁡ B (\ displaystyle \ operatöradı (zil çaldı) ABC \ geq \ operatöradı (zil çaldı) AB + \ operatöradı (zil çaldı) BC- \ operatöradı (zil çaldı) B)

  Bir matrisin lineer dönüşümü ve rankı

  İzin vermek A (\ görüntü stili A)- boyut matrisi m × n (\ displaystyle m \ kere n) sahanın üzerinde C (\ görüntü stili C)(veya R (\ görüntü stili R)). İzin vermek T (\ görüntü stili T)- karşılık gelen doğrusal dönüşüm A (\ görüntü stili A) standart olarak; demek oluyor T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). matris sıralaması A (\ görüntü stili A) dönüşümün değer aralığının boyutudur T (\ görüntü stili T).

  yöntemler

  Bir matrisin sırasını bulmak için birkaç yöntem vardır:

  • Temel dönüşüm yöntemi
  Matrisin rankı, matris satırları üzerinde temel dönüşümler kullanılarak basamaklı bir forma indirildikten sonra matristeki sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.
  • Border Minors Yöntemi
  Matrise izin ver A (\ görüntü stili A) sıfır olmayan minör bulundu k (\ görüntü stili k)-inci sıra M (\ görüntü stili M)... Tüm küçükleri düşünün (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-. sıra, (sınırlı) minör dahil M (\ görüntü stili M); hepsi sıfıra eşitse, matrisin rankı k (\ görüntü stili k)... Aksi takdirde, sınırdaki küçükler arasında sıfır olmayan bir tane bulunur ve tüm prosedür tekrarlanır.

  herhangi bir matris A Emir m × n koleksiyon olarak görülebilir m satır vektörleri veya n sütun vektörleri.

  Dereceye göre matrisler A Emir m × n maksimum lineer bağımsız sütun vektörleri veya satır vektörleri sayısıdır.

  Matrisin rankı ise A eşittir r, sonra yazılır:

  Bir matrisin rankını bulma

  İzin vermek A keyfi sıra matrisi m× n... Bir matrisin rankını bulmak için A Gauss eleme yöntemini ona uygulayın.

  Dışlamanın bir aşamasında pivot sıfıra eşitse, o zaman bu doğruyu pivotun sıfır olmadığı doğru ile değiştiririz. Böyle bir satır olmadığı ortaya çıkarsa, bir sonraki sütuna vb.

  Gauss'u ortadan kaldırmanın doğrudan hareketinden sonra, ana köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan bir matris elde ederiz. Ek olarak, sıfır çizgi vektörleri olabilir.

  Sıfır olmayan satır vektörlerinin sayısı matrisin sırası olacaktır. A.

  Tüm bunları basit örneklerle ele alalım.

  Örnek 1.

  İlk satırı 4 ile çarpıp ikinci satıra ekleyerek ve ilk satırı 2 ile çarparak ve üçüncü satıra ekleyerek:

  

  İkinci satır -1 ile çarpılır ve üçüncü satıra eklenir:

  

  Sıfır olmayan iki satırımız var ve bu nedenle matrisin sırası 2'dir.

  Örnek 2.

  Aşağıdaki matrisin rankını bulun:

  

  İlk satırı -2 ile çarpın ve ikinci satıra ekleyin. Benzer şekilde, ilk sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının öğelerini sıfırlarız:

  

  İkinci sütuna karşılık gelen satırları -1 ile çarparak ikinci sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının öğelerini sıfırlayalım.