Tanım. Moda M 0 kesikli rastgele değişken, en olası değeri olarak adlandırılır. Sürekli bir rastgele değişken için mod, dağılım yoğunluğunun maksimum olduğu rastgele değişkenin değeridir.

Kesikli bir rastgele değişken için dağılım çokgeni veya sürekli bir rastgele değişken için dağılım eğrisi iki veya daha fazla maksimuma sahipse, böyle bir dağılıma denir. çift ​​modlu veya çok modlu.

Bir dağılımın minimumu var ama maksimumu yoksa buna denir. anti-modal.

Tanım. Medyan Bir rasgele değişken X'in MD'sine, rasgele değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerini elde etmenin eşit derecede olası olduğu göreceli değeri denir.

Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin sınırladığı alanın yarıya bölündüğü noktanın apsisidir.

Dağılım tek modluysa, mod ve medyanın matematiksel beklentiyle çakıştığını unutmayın.

Tanım. Başlangıç ​​noktası Emir k X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, X miktarının matematiksel beklentisi olarak adlandırılır. k .

Ayrık bir rastgele değişken için:.

.

Birinci mertebenin ilk momenti matematiksel beklentiye eşittir.

Tanım. Merkez nokta Emir k rastgele değişken X, değerin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişken için: .

Sürekli bir rastgele değişken için: .

Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır ve ikinci dereceden merkezi moment varyansa eşittir. Üçüncü mertebenin merkezi momenti, dağılımın asimetrisini karakterize eder.

Tanım. Üçüncü dereceden merkezi momentin üçüncü dereceden standart sapmaya oranına denir. asimetri katsayısı.

Tanım. Dağılımın sivriliğini ve düzlüğünü karakterize etmek için Basıklık.

Dikkate alınan miktarlara ek olarak, sözde mutlak momentler de kullanılır:

Mutlak başlangıç ​​noktası:.

Mutlak Merkez Noktası: .

Çeyreklik belirli bir olasılık düzeyine karşılık gelen r, dağıtım fonksiyonunun şuna eşit bir değer aldığı bir değer olarak adlandırılır. r, yani nerede r- belirli bir olasılık seviyesi.

Diğer bir deyişle çeyreklik rastgele bir değişkenin bir değeri var ki

olasılık r yüzde olarak verilir, karşılık gelen niceliğe bir isim verir, örneğin buna %40 nicelik denir.

20. Bağımsız deneylerde bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi ve varyansı.

Tanım. matematiksel beklenti olası değerleri bir aralığa ait olan sürekli bir rastgele değişken X'e belirli bir integral denir

Tüm sayısal eksende bir rastgele değişkenin olası değerleri dikkate alınırsa, matematiksel beklenti aşağıdaki formülle bulunur:

Bu durumda, elbette, uygunsuz integralin yakınsadığı varsayılır.

matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ürünlerinin karşılık gelen olasılıklarla toplamıdır:

m(NS) =NS 1 r 1 +NS 2 r 2 + … +NS NS r NS . (7.1)

Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz ise, o zaman
elde edilen seri mutlak yakınsaksa.

Açıklama 1. Matematiksel beklenti bazen denir ağırlıklı ortalama, çünkü çok sayıda deney için rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir.

Açıklama 2. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin rastgele bir değişkenin mümkün olan en küçük değerinden daha az ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar.

Açıklama 3. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi tesadüf yok(devamlı. Devamında, aynı şeyin sürekli rastgele değişkenler için de geçerli olduğunu göreceğiz.

Matematiksel beklenti özellikleri.

Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir:

m(İLE BİRLİKTE) =İLE BİRLİKTE.(7.2)

Kanıt. Düşünen İLE BİRLİKTE sadece bir değer alan ayrık bir rastgele değişken olarak İLE BİRLİKTE olasılıkla r= 1, o zaman m(İLE BİRLİKTE) =İLE BİRLİKTE 1 = İLE BİRLİKTE.

Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir:

m(NS) =SANTİMETRE(NS). (7.3)

Kanıt. Eğer rastgele bir değişken NS bir dağıtım serisi tarafından verilen

daha sonra dağıtım serisi NSşuna benziyor:

Sonra m(NS) =müşteri 1 r 1 +müşteri 2 r 2 + … +müşteri NS r NS =İLE BİRLİKTE(NS 1 r 1 +NS 2 r 2 + … +NS NS r NS) =SANTİMETRE(NS).

matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken denir

(7.13)

Açıklama 1. Sürekli bir rasgele değişken için varyansın genel tanımı, ayrık bir değişkenle (def. 7.5) aynıdır ve bunu hesaplama formülü şu şekildedir:

(7.14)

Standart sapma (7.12) formülü ile hesaplanır.

Açıklama 2. Sürekli bir rastgele değişkenin tüm olası değerleri aralığın ötesine geçmiyorsa [ a, B], daha sonra (7.13) ve (7.14) formüllerindeki integraller bu sınırlar içinde hesaplanır.

Teorem. Bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısının varyansı, bir denemede bir olayın olma ve olmama olasılığı ile deneme sayısının çarpımına eşittir:

Kanıt. Bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı olsun. Her denemede olayın oluşumlarının toplamına eşittir:. Testler bağımsız olduğundan, rastgele değişkenler - bu nedenle bağımsızdır.

Yukarıda gösterildiği gibi ve.

sonra, süre .

Bu durumda, daha önce de belirtildiği gibi, standart sapma.

58. Asimetri ve basıklık katsayıları.

Dağıtım merkezi anları

Varyasyonun doğasının daha fazla araştırılması için, özniteliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamasından farklı derecelerde sapmalarının ortalama değerleri kullanılır. Bu göstergeler denir odak noktaları sapmaların yükselme derecesine veya sadece momentlere karşılık gelen düzenin dağılımları.

Dağıtım formu göstergeleri

dağılım asimetrisi

Pearson üssü, dağılım serisinin orta kısmındaki asimetri derecesine ve özelliğin uç değerlerine göre üçüncü dereceden momente dayanan asimetri indeksine bağlıdır.

Asimetrinin önemliliğinin değerlendirilmesi

Asimetrinin önemini değerlendirmek için asimetri katsayısının ortalama kare hatası hesaplanır.

eğer tutum 2'den büyük bir değere sahipse, bu asimetrinin önemli bir doğasını gösterir

Dağıtım basıklığı

basıklık göstergesi
ampirik dağılımın tepesinin yukarı veya aşağı ("soğukluk") normal dağılım eğrisinin tepesinden sapmasını temsil eder, AMA! Dağılım grafiği, özelliğin varyasyonunun gücüne bağlı olarak keyfi olarak dik görünebilir: varyasyon ne kadar zayıfsa, belirli bir ölçekte dağılım eğrisi o kadar dik olur. Apsis ve ordinat eksenleri boyunca ölçekleri değiştirerek, herhangi bir dağıtımın yapay olarak "dik" ve "düz" yapılabileceği gerçeğinden bahsetmiyorum bile. Basıklık dağılımının nelerden oluştuğunu göstermek ve doğru yorumlamak için aynı varyasyon gücüne (aynı σ değerine) ve farklı basıklık indekslerine sahip serileri karşılaştırmak gerekir. Basıklığı asimetri ile karıştırmamak için, karşılaştırılan tüm satırlar simetrik olmalıdır. Bu karşılaştırma Şekil 2'de gösterilmektedir.

Normal dağılımın basıklığı 3 olduğu için basıklık indeksi formül ile hesaplanır.

Basıklığın önemliliğinin değerlendirilmesi

Basıklığın önemini değerlendirmek için, ortalama karekök hatasının göstergesi hesaplanır.

eğer tutum 3'ten fazla bir değere sahipse, bu, fazlalığın önemli bir niteliğini gösterir

asimetri katsayısı dağıtım serisinin merkeze göre "çarpıklığını" gösterir:

üçüncü derecenin merkezi momenti nerede;

- standart sapmanın küpü.

Bu hesaplama yöntemi için: dağılımda sağ yönlü (pozitif asimetri) varsa, dağılımda sol yönlü (negatif asimetri) varsa

Merkezi momente ek olarak, asimetri mod veya medyan kullanılarak hesaplanabilir:

veya, (6.69)

Bu hesaplama yöntemi için: dağılımda sağ yönlü (pozitif asimetri) varsa, dağılımda sol yönlü (negatif asimetri) varsa (Şekil 4).

Pirinç. 4. Asimetrik dağılımlar

Dağılımın "dikliğini" gösteren değere denir. Basıklık:

Dağıtımda varsa sivrilik - dağıtımda varsa basıklık pozitiftir pürüzsüzlük - basıklık negatiftir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Dağıtım Fazlalıkları

Örnek 5.İlçe çiftliklerindeki koyun sayılarına ilişkin veriler bulunmaktadır (Tablo 9).

1. Hane başına düşen ortalama koyun sayısı.

3. Medyan.

4. Varyasyon göstergeleri

Varyans;

· standart sapma;

· varyasyon katsayısı.

5. Asimetri ve basıklık göstergeleri.

Çözüm.

1. Toplamdaki seçeneklerin değeri, ortalama değeri hesaplamak için belirli bir sıklıkta birkaç kez tekrarlandığından, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanırız:

2. Bu satır ayrıdır, bu nedenle mod en yüksek frekansa sahip seçenek olacaktır -.

3. Bu seri çifttir, bu durumda ayrık serinin medyanı aşağıdaki formülle bulunur:

Yani anket yapılan nüfustaki hanelerin yarısında 4,75 bin başa kadar koyun sayısı vardır. ve bu sayının yarısından fazlası.

4. Varyasyon göstergelerini hesaplamak için, sapmaları, bu sapmaların karelerini hesaplayacağımız tablo 10'u oluşturacağız, hesaplama hem basit hem de ağırlıklı hesaplama formülleri kullanılarak gerçekleştirilebilir (örnekte basit bir bir):

Tablo 10

Varyansı hesaplayalım:

Standart sapmayı hesaplayalım:

Varyasyon katsayısını hesaplayalım:

5. Asimetri ve basıklık göstergelerini hesaplamak için, hesapladığımız tablo 11'i oluşturuyoruz,

Tablo 11

Dağılımın asimetrisi şuna eşittir:

Yani, formüle göre hesaplama ile onaylandığı için sol taraflı asimetri gözlenir:

Bu durumda, bu formül için de sol taraflı asimetriyi gösteren

Dağılımın basıklığı şuna eşittir:

Bizim olgumuzda basıklık negatif yani basıklık izleniyor.

Örnek 6... Çiftlik için işçilerin ücretlerine ilişkin veriler sunulmaktadır (tablo 12)

Çözüm.

Bir aralık varyasyon serisi için mod şu formülle hesaplanır:

nerede mod aralığı - bizim durumumuzda 3600-3800 olan en yüksek frekanslı aralık

Modal aralığın minimum sınırı (3600);

Modal aralığın değeri (200);

Modal aralıktan önceki aralığın frekansı (25);

Bir sonraki mod aralığının frekansı (29);

Modal aralık frekansı (68).

Tablo 12

Bir aralık varyasyon serisi için medyan şu formülle hesaplanır:

nerede ortanca aralık bu, kümülatif (birikmiş) frekansı, frekansların toplamının yarısına eşit veya daha büyük olan bir aralıktır, örneğimizde 3600-3800'dür.

Medyan aralığın minimum sınırı (3600);

Medyan aralığın değeri (200);

Serinin frekanslarının toplamı (154);

Birikmiş frekansların toplamı, medyandan (57) önceki tüm aralıklar;

Medyan aralığın frekansıdır (68).

Örnek 7. Bir bölgedeki üç çiftlik için, üretimin sermaye yoğunluğu hakkında bilgi var (1 ruble mamul ürün başına sabit varlık maliyeti sayısı): I - 1.29 ruble, II - 1.32 ruble, III - 1.27 ruble. Ortalama sermaye yoğunluğunu hesaplamak gerekir.

Çözüm... Sermaye yoğunluğu, sermaye devrinin ters göstergesi olduğundan, basit harmonik ortalama formülünü kullanıyoruz.

Örnek 8. Bir bölgedeki üç çiftlik için brüt tahıl hasadı ve ortalama verimle ilgili veriler bulunmaktadır (Tablo 13).

Çözüm... Ortalama verimin aritmetik ortalama ile hesaplanması imkansızdır, çünkü ekilen alanların sayısı hakkında bilgi yoktur, bu nedenle harmonik ağırlıklı ortalama için formülü kullanıyoruz:

Örnek 9. Bireysel parsellerde ortalama patates verimi ve tepecik sayısı hakkında veriler vardır (Tablo 14)

Tablo 14

Verileri gruplayalım (Tablo 15):

Tablo 15

Arsaların "ayıklama sayısına" göre gruplandırılması

1. Örneklemin toplam varyansını hesaplayalım (Tablo 16).

2.6 Asimetri ve basıklık

Matematiksel istatistikte, rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğunun geometrik biçimini bulmak için, üçüncü ve dördüncü derecelerin merkezi momentleriyle ilişkili iki sayısal özellik kullanılır.

Tanım 2.22 Örnek çarpıklık katsayısıx 1 , x 2 , …, x nüçüncü dereceden merkezi örnekleme momentinin standart sapmanın küpüne oranına eşit bir sayıdır S:

beri ve , daha sonra asimetri katsayısı aşağıdaki formülle merkezi momentler cinsinden ifade edilir:

Bu, asimetri katsayısını ilk momentler cinsinden ifade eden bir formül verir:

pratik hesaplamaları kolaylaştırır.

Karşılık gelen teorik karakteristik, teorik noktaların yardımıyla tanıtılır.

Tanım 2.23 Rastgele bir değişkenin asimetri katsayısıxnumarayı aradıüçüncü dereceden merkezi momentin oranına eşitstandart sapma küpüne:

Bir rastgele değişken X, matematiksel beklenti μ'ye göre simetrik bir dağılıma sahipse, teorik çarpıklık katsayısı 0'dır, ancak olasılık dağılımı asimetrik ise çarpıklık katsayısı sıfır değildir. Çarpıklık katsayısının pozitif bir değeri, rastgele değişkenin değerlerinin çoğunun matematiksel beklentinin sağında bulunduğunu, yani olasılık yoğunluk eğrisinin sağ kolunun soldan daha uzun olduğunu gösterir. Çarpıklık katsayısının negatif bir değeri, eğrinin daha uzun kısmının solda bulunduğunu gösterir. Bu ifade aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şekil 2.1 - Pozitif ve negatif asimetri

dağılımlar

Örnek 2.29Örnek 2.28'deki stresli durumlar çalışmasına göre örnek asimetri katsayısını bulalım.

Merkezi örnekleme anlarının önceden hesaplanmış değerlerini kullanarak, elde ederiz.

.

Yuvarlatılmış = 0.07. Çarpıklık katsayısının bulunan sıfır olmayan değeri, dağılımın ortalamaya göre çarpıklığını gösterir. Pozitif bir değer, olasılık yoğunluk eğrisinin daha uzun dalının sağda olduğunu gösterir.

Rastgele bir değişkenin değerlerinin modal değeri etrafında dağılımının özellikleri X modları aşağıdaki sabit ile karakterize edilir.

Tanım 2.24 basıklık örneklemesix 1 , x 2 , …, x nnumarayı aradı , eşit

,

nerede- dördüncü derecenin seçici merkezi momenti,

S 4 - standardın dördüncü derecesisapmalarS.

Teorik basıklık kavramı, seçici basıklığa benzer.

Tanım 2.25 Rastgele bir değişkenin basıklığı ilexnumarayı aradı e, eşit

,

nerede– dördüncü derecenin teorik merkez noktası,

–dördüncü derece standart sapma.

kurtosisin anlamı e maksimum nokta etrafındaki dağılım yoğunluğu eğrisinin tepesinin göreli dikliğini karakterize eder. Basıklık pozitif bir sayıysa, karşılık gelen dağılım eğrisi daha keskin bir tepeye sahiptir. Negatif basıklığa sahip dağılım daha düzgün ve düz bir tepeye sahiptir. Aşağıdaki şekil olası durumları göstermektedir.

Şekil 2.2 - Basıklığın pozitif, sıfır ve negatif değerlerine sahip dağılımlar

Asimetri, SKOS işlevi tarafından hesaplanır. Argümanı, veri içeren hücrelerin aralığıdır, örneğin, veriler A1 ile A100 arasındaki hücre aralığındaysa = RMS (A1: A100).

Basıklık, argümanı sayısal veri olan ve kural olarak hücre aralığı şeklinde belirtilen AŞIRI işlevi tarafından hesaplanır, örneğin: = AŞIRI (A1: A100).

§2.3. Analiz aracı Tanımlayıcı istatistikler

V Excel Analiz aracını kullanarak numunenin tüm nokta özelliklerini bir kerede hesaplamak mümkündür Tanımlayıcı istatistikler hangisinde bulunur Analiz paketi.

Tanımlayıcı istatistikler veri kümesi için bir temel istatistik tablosu oluşturur. Bu tablo şu özellikleri içerecektir: ortalama, standart hata, varyans, standart sapma, mod, medyan, aralık varyasyon aralığı, maksimum ve minimum değerler, çarpıklık, basıklık, popülasyon büyüklüğü, tüm popülasyon öğelerinin toplamı, güven aralığı (güvenilirlik düzeyi) ). Alet Tanımlayıcı istatistiklerİstatistiksel özellikleri ayrı ayrı hesaplamak için her bir işlevi çağırma ihtiyacını ortadan kaldırarak istatistiksel analizi büyük ölçüde basitleştirir.

aramak için Tanımlayıcı istatistikler, takip eder:

1) menüde Hizmet takım seç Veri analizi;

2) listede Analiz araçları iletişim kutusu Veri analizi bir araç seç Tanımlayıcı istatistikler ve bas TAMAM.

Pencerede Tanımlayıcı istatistikler gerekli:

· grup içinde Giriş verileri tarlada Giriş aralığı veri içeren hücre aralığını belirtin;

Giriş aralığındaki ilk satır bir sütun başlığı içeriyorsa, ilk satırdaki Etiketler alanı kutuyu kontrol et;

· grup içinde Çıkış seçenekleri anahtarı etkinleştirin (kutuyu işaretleyin) Özet istatistikler tam bir özellik listesine ihtiyacınız varsa;

Anahtarı etkinleştir Güvenilirlik seviyesi ve güven aralığını hesaplamak gerekiyorsa güvenilirliği % olarak belirtin (varsayılan olarak güvenilirlik %95'tir). Tıklamak TAMAM.

Sonuç olarak, yukarıdaki istatistiksel özelliklerin hesaplanan değerleriyle bir tablo görünecektir. Hemen, bu tablonun seçimini temizlemeden komutu çalıştırın. Biçim® Kolon® Otomatik Sığdırma Genişliği.

İletişim kutusu görünümü Tanımlayıcı istatistikler:

pratik görevler

2.1. Standart fonksiyonları kullanarak temel nokta istatistiklerinin hesaplanması Excel

Aynı voltmetre devredeki voltajı 25 kez ölçtü. Deneyler sonucunda volt cinsinden aşağıdaki voltaj değerleri elde edilmiştir:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Ortalamayı, örneklenmiş ve düzeltilmiş varyansı, standart sapmayı, aralığı, modu, medyanı bulun. Çarpıklık ve basıklık hesaplayarak normal dağılımdan sapmayı kontrol edin.

Bu görevi tamamlamak için aşağıdaki adımları tamamlayın.

1. Deney sonuçlarınızı A sütununa yazın.

2. B1 hücresine "Ortalama" yazın, B2 - "Seçilen fark", B3 - "Standart sapma", B4 - "Düzeltilmiş fark", B5 - "Düzeltilmiş standart sapma", B6 - "Maksimum" , B7 - “Minimum”, B8 - “Varyasyon Aralığı”, B9 - “Moda”, B10 - “Medyan”, B11 - “Asimetri”, B12 - “Aşırı”.

3. Bu sütunun genişliğini Otomatik Sığdır Genişlik.

4. C1 hücresini seçin ve formül çubuğunda "=" işareti olan düğmeye tıklayın. Kullanarak İşlev Sihirbazları kategoride istatistiksel ORTALAMA işlevini bulun, ardından veri hücrelerinin aralığını vurgulayın ve TAMAM.

5. C2 hücresini seçin ve formül çubuğundaki = işaretine tıklayın. Kullanarak İşlev Sihirbazları kategoride istatistiksel VARP işlevini bulun, ardından veri hücrelerinin aralığını vurgulayın ve TAMAM.

6. Geri kalan özellikleri hesaplamak için aynısını kendiniz için yapın.

7. C8 hücresindeki varyasyon aralığını hesaplamak için şu formülü girin: = C6-C7.

8. Tablonuzun önüne, ilgili sütunların başlıklarının yazıldığı bir satır ekleyin: "Özelliklerin adı" ve "Sayısal değerler".