Ondalık kesir- Çeşitlilik kesirler paydasında "yuvarlak" bir sayı olan : 10, 100, 1000, vb., örneğin, kesir 5/10, 0,5'lik bir ondalık gösterime sahiptir. Bu prensibe dayalı olarak, kesir içinde sunulabilir biçim ondalık kesirler.

Talimat

Diyelim ki hayal etmemiz gerekiyor biçim ondalık kesir 18/25.
Öncelikle paydada "yuvarlak" sayılardan birinin göründüğünden emin olmanız gerekir: 100, 1000, vb. Bunu yapmak için paydayı 4 ile çarpmanız gerekir. Ancak 4 ile hem payı hem de paydayı çarpmanız gerekecektir.

Pay ve paydanın çarpılması kesirler 18/25 çarpı 4, 72/100 eder. Bu kaydediliyor kesir ondalık olarak biçim yani: 0.72.

Matematikte kesir, bir birimin bölündüğü bir veya daha fazla parçaya eşit rasyonel bir sayıdır. Bu durumda, kesrin kaydı iki sayının bir göstergesini içermelidir: bunlardan biri, bu kesri oluştururken birimin tam olarak kaç hisseye bölündüğünü ve diğeri - bu hisselerin kaçının kesirli bir sayı içerdiğini gösterir. Bu iki sayı birbirinden bir çubukla ayrılmış pay ve payda olarak yazılırsa bu kayıt biçimine "adi" kesir denir. Ancak, kesirleri yazmak için "ondalık" adı verilen başka bir biçim daha vardır.

Paydanın payın üzerinde bulunduğu ve aralarında bir ayırma çizgisinin de bulunduğu üç katlı sayı yazma şekli her zaman uygun değildir. Özellikle bu rahatsızlık, kişisel bilgisayarların toplu olarak dağıtılmasıyla kendini göstermeye başladı. Kesirlerin ondalık gösterimi bu dezavantajdan yoksundur - içindeki payın belirtilmesi gerekli değildir, çünkü tanım gereği her zaman ona negatif bir güce eşittir. Bu nedenle, bir satırda kesirli bir sayı yazılabilir, ancak çoğu durumda uzunluğu karşılık gelen sıradan kesrin uzunluğundan çok daha büyük olacaktır.

Sayıları ondalık biçimde yazmanın bir başka avantajı, karşılaştırmanın çok daha kolay olmasıdır. Bu tür iki sayının her basamağının paydası aynı olduğundan, karşılık gelen basamakların sadece iki basamağını karşılaştırmak yeterlidir, sıradan kesirleri karşılaştırırken, her birinin hem payı hem de paydası dikkate alınmalıdır. Bu avantaj sadece insanlar için değil, bilgisayarlar için de önemlidir - sayıları ondalık biçimde karşılaştırmak programlamak için yeterince kolaydır.

Ondalık biçimde sayılarla kağıt üzerinde veya zihninizde hesaplamalar yapmanızı sağlayan toplama, çarpma ve diğer matematiksel işlemler için asırlık kurallar vardır. Bu, bu formatın sıradan kesirlere göre başka bir avantajıdır. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte, hesap makinesi bile saatin içindeyken, giderek daha az fark edilir hale geliyor.

Kesirli sayıları kaydetmek için ondalık biçimin açıklanan avantajları, asıl amacının işi matematiksel niceliklerle basitleştirmek olduğunu göstermektedir. Bu biçimin dezavantajları da vardır - örneğin, ondalık kesre periyodik kesirler yazmak için, ayrıca parantez içinde bir sayı eklemeniz gerekir ve ondalık biçimdeki irrasyonel sayıların her zaman yaklaşık bir değeri vardır. Bununla birlikte, insanların ve teknolojilerinin mevcut gelişme düzeyinde, kesirleri kaydetmek için normal formattan çok daha uygundur.

Bir ondalık kesir, paydasının 10'un doğal bir kuvveti olduğu bir kesirdir. Örneğin, bir kesirdir. Bu kesir şu biçimde yazılabilir: payın sayılarını bir satıra yazın ve bir ile ayırın. paydada sıfır olduğu kadar sağda virgül, yani:

Böyle bir kayıtta, ondalık noktanın solundaki sayılar tamsayı kısmını, ondalık noktanın sağındaki sayılar bu ondalık kesrin kesirli kısmını oluşturur.

p/q pozitif bir rasyonel sayı olsun. Aritmetikten, bir sayıyı ondalık kesir olarak temsil etmenize izin veren bölme işlemi iyi bilinmektedir. Bölme işleminin özü, ilk önce q'nun p'nin içerdiği en büyük tam sayının ne olduğunu bulmaktır; p, q'nun katıysa, bölme işleminin bittiği yer burasıdır. Aksi takdirde, bir kalan görünür. Daha sonra, bu kalan içinde kaç tane onda q bulunduğunu bulurlar ve bu adımda süreç sona erebilir veya yeni bir kalan görünecektir. İkinci durumda, kaç yüzdede q içerdiğini bulun, vb.

Payda q'nun 2 veya 5'ten başka asal böleni yoksa, sonlu sayıda adımdan sonra kalan sıfır olacak, bölme işlemi sona erecek ve verilen adi kesir son ondalık kesre dönüşecektir. Aslında, bu durumda, her zaman öyle bir tamsayı seçebilirsiniz ki, verilen kesrin payını ve paydasını onunla çarptıktan sonra, ona eşit bir kesir elde edersiniz, burada payda on'un doğal bir kuvveti olacaktır. Bu, örneğin, bir kesirdir

aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Ancak, bu dönüşümleri yapmadan, payı paydaya bölerek okuyucu aynı sonucu alacaktır:

İndirgenemez bir kesrin paydasının 2 veya 5 dışında en az bir asal böleni varsa, o zaman q'ya bölme işlemi asla bitmez (sonraki kalanların hiçbiri sıfıra dönmez).

Böldükten sonra buluruz

Bu örnekte elde edilen sonucu yazmak için, periyodik olarak yinelenen 0 ve 6 sayıları parantez içine alınır ve şöyle yazılır:

Bu örnekte ve diğer benzer durumlarda, bölme işlemi nihai bir ondalık sonuçla sonuçlanmaz. Ondalık kesir kavramını genelleştirerek, yine de 965/132 bölümünün sonsuz bir periyodik kesir tarafından temsil edildiğini söylemek mümkündür.Tekrar eden 06 sayılarına bu kesrin periyodu denir ve örneklerimizde eşit sayıları eşittir. dönemin uzunluğu.

Bir kesrin periyodikliği olgusunun nedenini anlamak için, örneğin 7'ye bölme işlemini analiz edelim. : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sonraki adımlardan her birinde, kalan yine bu altı değerden birine sahip olacaktır. Bu nedenle, en geç yedinci adımda, daha önce ortaya çıkan kalan değerlerden biriyle kaçınılmaz olarak tanışacağız.Bu noktadan itibaren, bölme işlemi periyodik hale gelecektir. Periyodik olarak hem kalanların değerleri hem de bölüm sayıları tekrarlanacaktır. Bu akıl yürütme, diğer herhangi bir bölen durumunda geçerlidir.

Böylece, herhangi bir sıradan kesir, sonlu veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir ile temsil edilir. Tersine, herhangi bir periyodik ondalık kesrin sıradan bir kesir olarak temsil edilebilmesi dikkat çekicidir. Şimdi bu işlemin nasıl yapıldığını gösterelim. Bu durumda, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı için formül kullanılır (paragraf 92).

şu şekilde anlaşılabilir:

burada sağ tarafın üyeleri, ikinciden başlayarak, payda ve birinci üye ile sonsuz bir geometrik ilerleme oluşturur.

Formül (92.2) kullanılarak:

Açıktır ki, aynı süreç, herhangi bir verili sonsuz periyodik fraksiyonun sıradan bir fraksiyon (ve gösterilebileceği gibi, tam olarak verilen sonsuz periyodik fraksiyonun aşağıdaki süreçte elde edildiği fraksiyon) şeklinde temsil edilmesine izin verecektir. bölüm). Ancak burada bir istisna var. Bir kesir düşünün

ve ona sıradan bir kesre dönüştürme işlemini uygulayın:

Son ondalık kesir ile temsil edilen 1/2 sayısına geldik.

Belirli bir sonsuz kesrin periyodu (9) biçiminde olduğu zaman benzer bir sonuç elde edilecektir. Bu nedenle, örneğin, gibi sayı çiftlerini tanımlarız.

Bazen formun kayıtlarına izin vermek de yararlıdır.

biçimsel olarak sonlu ondalık kesirleri bir nokta (0) ile sonsuz olarak temsil eder.

Sıradan bir kesrin ondalık bir periyodik kesre dönüştürülmesi hakkında söylenen her şey ve bunun tersi pozitif rasyonel sayılara uygulandı. Negatif bir sayı olması durumunda, iki şey yapabilirsiniz.

1) Verilen bir negatif sayının karşısında pozitif bir sayı alın, onu ondalık kesire çevirin ve önüne bir eksi işareti koyun. Örneğin, - 5/3 için

2) Bu negatif rasyonel sayıyı, tamsayı kısmının (negatif) ve kesirli kısmının (negatif olmayan) toplamı olarak sunun ve sonra sayının yalnızca bu kesirli kısmını ondalık kesre dönüştürün. Örneğin:

Negatif tamsayı kısımlarının toplamı ve sonlu veya sonsuz bir ondalık kesir olarak temsil edilen sayıları yazmak için aşağıdaki atama benimsenmiştir (negatif bir sayı yazmanın yapay bir şekli):

Burada eksi işareti, tüm kesrin önüne değil, tamsayı bölümünün üzerine, yalnızca tamsayı bölümünün negatif ve virgülden sonraki kesirli bölümün pozitif olduğunu vurgulamak için yerleştirilir.

Böyle bir gösterim, pozitif ve negatif ondalık kesirlerin gösteriminde tek biçimlilik yaratır ve gelecekte ondalık logaritma teorisinde kullanılacaktır (bölüm 28). Okuyucuya, örneklerde bir kayıttan diğerine geçişi kontrol etmesi için alıştırma yapmasını öneriyoruz:

Şimdi, nihai sonucu formüle etmek zaten mümkündür: herhangi bir rasyonel sayı, sonsuz bir ondalık periyodik kesir ile temsil edilebilir ve bunun tersine, bu tür herhangi bir kesir, bir rasyonel sayıyı tanımlar. Sonlu ondalık kesir ayrıca sonsuz bir ondalık kesir biçiminde iki yazı biçimine izin verir: noktalı (0) ve noktalı (9).

Zaten ilkokulda öğrenciler kesirlerle karşı karşıyadır. Ve sonra her konuda görünürler. Bu sayılarla eylemleri unutmak imkansızdır. Bu nedenle, adi ve ondalık kesirler hakkında tüm bilgileri bilmeniz gerekir. Bu kavramlar basittir, asıl şey her şeyi sırayla anlamaktır.

Kesirler neden gereklidir?

Çevremizdeki dünya bütün nesnelerden oluşur. Bu nedenle, hisselere gerek yoktur. Ancak günlük yaşam, insanları sürekli olarak nesnelerin ve şeylerin parçalarıyla çalışmaya zorlar.

Örneğin, çikolata birkaç dilimden oluşur. Karosunun on iki dikdörtgenden oluştuğu durumu düşünün. İkiye bölersen 6 parça elde edersin. İyice üçe bölünecektir. Ancak beşli, bir sürü çikolata dilimi veremeyecek.

Bu arada, bu dilimler zaten kesirlerdir. Ve onların daha fazla bölünmesi, daha karmaşık sayıların ortaya çıkmasına neden olur.

"Kesir" nedir?

Bu, birin parçalarından oluşan bir sayıdır. Dıştan, yatay veya eğik çizgi ile ayrılmış iki sayı gibi görünüyor. Bu özelliğe kesirli denir. Üstte (solda) yazılan sayıya pay denir. Alttaki (sağdaki) paydadır.

Aslında, kesirli çubuk bir bölme işaretidir. Yani, pay bölen olarak adlandırılabilir ve payda bölen olarak adlandırılabilir.

Kesirler nelerdir?

Matematikte sadece iki tür vardır: adi ve ondalık kesirler. Okul çocukları, ilköğretim sınıflarında ilklerle tanışır ve onlara basitçe “kesirler” adını verir. İkincisi 5. sınıfta öğreniyor. İşte o zaman bu isimler ortaya çıkıyor.

Ortak kesirler, bir çubukla ayrılmış iki sayı olarak yazılanların hepsidir. Örneğin, 4/7. Ondalık, kesirli kısmın konumsal bir gösterime sahip olduğu ve tam sayıdan virgülle ayrıldığı bir sayıdır. Örneğin, 4.7. Öğrencilerin, verilen iki örneğin tamamen farklı sayılar olduğu konusunda net olmaları gerekir.

Her basit kesir ondalık olarak yazılabilir. Bu ifade hemen hemen her zaman tersi için de geçerlidir. Sıradan bir kesir olarak ondalık kesir yazmanıza izin veren kurallar vardır.

Bu tür kesirlerin hangi alt türleri vardır?

Çalışıldıkları için kronolojik sırayla başlamak daha iyidir. Ortak kesirler önce gelir. Bunlar arasında 5 alt tür ayırt edilebilir.

Doğru. Payı her zaman paydadan küçüktür.

Yanlış. Pay, paydadan büyük veya ona eşittir.

İndirgenebilir / indirgenemez. Doğru veya yanlış olabilir. Bir diğer önemli nokta ise pay ve paydanın ortak çarpanları olup olmadığıdır. Varsa, kesrin her iki parçasını da bölmeleri, yani azaltmaları gerekir.

Karışık. Her zamanki doğru (yanlış) kesirli kısmına bir tamsayı atanır. Ve her zaman solda durur.

Kompozit. Birbirine bölünmüş iki kesirden oluşur. Yani, aynı anda üç kesirli özelliğe sahiptir.

Ondalık sayıların yalnızca iki alt türü vardır:

nihai, yani, kesirli kısmın sınırlı olduğu (bir sonu vardır);

sonsuz - ondalık noktadan sonraki basamakları bitmeyen bir sayı (sonsuz olarak yazılabilirler).

Ondalık sıradan nasıl dönüştürülür?

Bu sonlu bir sayıysa, kurala dayalı bir ilişkilendirme uygulanır - duyduğum gibi, yazarım. Yani, doğru okumanız ve yazmanız gerekir, ancak virgül olmadan, ancak kesirli bir satırla.

Gerekli payda hakkında bir ipucu olarak, her zaman bir ve birkaç sıfır olduğunu unutmayın. İkincisi, söz konusu sayının kesirli kısmındaki rakamlar kadar yazılmalıdır.

Tüm bölümleri eksikse, yani sıfıra eşitse, ondalık kesirler sıradan olanlara nasıl dönüştürülür? Örneğin, 0,9 veya 0,05. Belirtilen kuralı uyguladıktan sonra, sıfır tamsayı yazmanız gerektiği ortaya çıkıyor. Ama belirtilmemiş. Geriye sadece kesirli kısımları yazmak kalıyor. İlk sayı için payda, ikinci - 100 için 10 olacaktır. Yani, belirtilen örneklerde cevap olarak sayılar olacaktır: 9/10, 5/100. Ayrıca, ikincisi 5'e indirilebilir. Bu nedenle sonuç 1/20 olarak yazılmalıdır.

Tamsayı kısmı sıfırdan farklıysa, ondalık sayıdan sıradan bir kesir nasıl yapılır? Örneğin, 5.23 veya 13.00108. Her iki örnek de tamsayı kısmını okur ve değerini yazar. İlk durumda, bu 5, ikincide 13'tür. O zaman kesirli kısma geçmeniz gerekir. Onlarla aynı işlemi yapmak gerekir. İlk sayı 23/100, ikinci sayı 108/100000. İkinci değerin tekrar düşürülmesi gerekir. Cevap karışık kesirler: 5 23/100 ve 13 27/25000.

Sonsuz bir ondalık sayı ortak bir kesire nasıl dönüştürülür?

Periyodik değilse, böyle bir işlem yapılamaz. Bu gerçek, her ondalık kesrin her zaman ya son ya da periyodik hale dönüştürülmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Böyle bir kesir ile yapılmasına izin verilen tek şey onu yuvarlamaktır. Ama o zaman ondalık sayı yaklaşık olarak bu sonsuzluğa eşit olacaktır. Zaten sıradan birine dönüştürülebilir. Ancak tersi işlem: ondalık sayıya dönüştürme - asla ilk değeri vermez. Yani sonsuz periyodik olmayan kesirler sıradan kesirlere dönüştürülmez. Bu hatırlanmalıdır.

Sıradan şeklinde sonsuz bir periyodik kesir nasıl yazılır?

Bu sayılarda, tekrarlanan ondalık noktadan sonra her zaman bir veya daha fazla basamak görünür. Bunlara dönem denir. Örneğin, 0.3(3). Burada "3" döneminde. Sıradan kesirlere dönüştürülebildiklerinden rasyonel olarak sınıflandırılırlar.

Periyodik kesirlerle karşılaşanlar, bunların saf veya karışık olabileceğini bilirler. İlk durumda, nokta virgülden hemen başlar. İkincisinde, kesirli kısım herhangi bir sayı ile başlar ve ardından tekrar başlar.

Sıradan bir kesir biçiminde sonsuz bir ondalık sayı yazmanız gereken kural, bu iki sayı türü için farklı olacaktır. Saf periyodik kesirleri sıradan kesirler olarak yazmak oldukça kolaydır. Son olanlarda olduğu gibi, dönüştürülmeleri gerekir: periyodu paya yazın ve 9 sayısı payda olacak, periyottaki rakamlar kadar tekrar edecek.

Örneğin, 0,(5). Sayının tamsayı kısmı yoktur, bu nedenle hemen kesirli kısma geçmeniz gerekir. Payda 5, paydada 9 yazın yani cevap 5/9 kesri olacaktır.

Karışık bir kesir olan ortak bir ondalık kesrin nasıl yazılacağına dair bir kural.

Dönemin uzunluğuna bakın. Yani 9'un bir paydası olacak.

Paydayı yazın: önce dokuzlar, sonra sıfırlar.

Payı belirlemek için iki sayının farkını yazmanız gerekir. Ondalık noktadan sonraki tüm rakamlar nokta ile birlikte azaltılacaktır. Çıkarılabilir - noktasızdır.

Örneğin, 0,5(8) - periyodik ondalık kesri ortak bir kesir olarak yazın. Noktadan önceki kesirli kısım bir basamaktır. Yani sıfır bir olacak. Ayrıca periyotta sadece bir rakam var - 8. Yani, sadece bir dokuz var. Yani paydaya 90 yazmanız gerekiyor.

58'den pay belirlemek için 5 çıkarmanız gerekir. 53 çıkıyor. Örneğin, cevap olarak 53/90 yazmanız gerekecek.

Ortak kesirler ondalık sayılara nasıl dönüştürülür?

En basit seçenek, paydası 10, 100 vb. olan bir sayıdır. Daha sonra payda basitçe atılır ve kesirli ve tamsayı kısımları arasına bir virgül konur.

Paydanın kolayca 10, 100 vb.'ye dönüştüğü durumlar vardır. Örneğin, 5, 20, 25 sayıları. Bunları sırasıyla 2, 5 ve 4 ile çarpmak yeterlidir. Sadece paydayı değil, payı da aynı sayı ile çarpmak gerekir.

Diğer tüm durumlar için basit bir kural işe yarayacaktır: payı paydaya bölün. Bu durumda, iki yanıt alabilirsiniz: son veya periyodik bir ondalık kesir.

Ortak kesirli işlemler

Toplama ve çıkarma

Öğrenciler onları diğerlerinden daha erken tanır. Ve ilk başta kesirlerin paydaları aynı, sonra farklı. Genel kurallar böyle bir plana indirgenebilir.

Paydaların en küçük ortak katını bulun.

Tüm adi kesirlere ek çarpanlar yazın.

Payları ve paydaları, onlar için tanımlanan faktörlerle çarpın.

Kesirlerin paylarını ekleyin (çıkarın) ve ortak paydayı değiştirmeden bırakın.

Eksinin payı, çıkarılandan küçükse, o zaman karışık bir sayıya mı yoksa uygun bir kesre mi sahip olduğumuzu bulmanız gerekir.

İlk durumda, tamsayı kısmı bir tane almalıdır. Bir kesrin payına bir payda ekleyin. Ve sonra çıkarma işlemini yapın.

İkincisinde - daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıya çıkarma kuralını uygulamak gerekir. Yani, çıkarmanın modülünden eksinin modülünü çıkarın ve yanıt olarak “-” işaretini koyun.

Toplama (çıkarma) sonucuna dikkatlice bakın. Yanlış bir kesir alırsanız, o zaman bütün kısmı seçmesi gerekir. Yani, payı paydaya bölün.

Çarpma ve bölme

Uygulanmaları için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekmez. Bu, harekete geçmeyi kolaylaştırır. Ama yine de kurallara uymak zorundalar.

Adi kesirleri çarparken pay ve paydalardaki sayıları dikkate almak gerekir. Herhangi bir pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa, bunlar azaltılabilir.

Sayıları çarpın.

Paydaları çarpın.

Eğer indirgenebilir bir kesir elde edersek, tekrar basitleştirilmesi gerekir.

Bölerken, önce bölmeyi çarpma ile, böleni (ikinci kesir) karşılıklı olarak değiştirmelisiniz (pay ve paydayı değiştirin).

Ardından çarpma işlemindeki gibi devam edin (1. adımdan başlayarak).

Bir tamsayı ile çarpmanız (bölmeniz) gereken görevlerde, ikincisinin uygun olmayan bir kesir olarak yazılması gerekir. Yani paydası 1'dir. Ardından yukarıda açıklandığı gibi ilerleyin.



Ondalık sayılarla işlemler

Toplama ve çıkarma

Elbette, bir ondalık basamağı her zaman ortak bir kesire çevirebilirsiniz. Ve daha önce açıklanan plana göre hareket edin. Ancak bazen bu çeviri olmadan hareket etmek daha uygundur. O zaman toplama ve çıkarma kuralları tamamen aynı olacaktır.

Sayının kesirli kısmındaki, yani ondalık noktadan sonraki basamak sayısını eşitleyin. İçinde eksik olan sıfır sayısını atayın.

Kesirleri virgül virgülün altına gelecek şekilde yazın.

Doğal sayılar gibi ekleyin (çıkarın).

Virgülü kaldırın.

Çarpma ve bölme

Burada sıfır eklemenize gerek olmaması önemlidir. Kesirler örnekte verildiği gibi bırakılmalıdır. Ve sonra plana göre gidin.

Çarpma için virgüllere dikkat etmeden kesirleri alt alta yazmanız gerekir.

Doğal sayılar gibi çarpın.

Cevabın sağ ucundan her iki faktörün kesirli kısımlarında olduğu kadar basamak sayarak cevaba bir virgül koyun.

Bölmek için önce böleni dönüştürmeniz gerekir: onu doğal bir sayı yapın. Yani, bölenin kesirli kısmında kaç basamak olduğuna bağlı olarak onu 10, 100 vb. ile çarpın.

Temettüyi aynı sayı ile çarpın.

Ondalık bir sayıyı doğal bir sayıya bölün.

Tüm parçanın bölünmesi sona erdiğinde cevaba virgül koyun.



Bir örnekte her iki tür kesir varsa ne olur?

Evet, matematikte genellikle sıradan ve ondalık kesirlerde işlem yapmanız gereken örnekler vardır. Bu sorunlara iki olası çözüm vardır. Rakamları objektif olarak tartmanız ve en iyisini seçmeniz gerekir.

İlk yol: sıradan ondalık sayıları temsil edin

Bölme veya dönüştürme sırasında son kesirler elde edilirse uygundur. En az bir sayı periyodik bir bölüm veriyorsa, bu teknik yasaktır. Bu nedenle sıradan kesirlerle çalışmaktan hoşlanmasanız bile onları saymak zorunda kalacaksınız.

İkinci yol: ondalık kesirleri sıradan olarak yazın

Bu teknik, ondalık noktadan sonraki kısımda 1-2 basamak varsa uygundur. Daha fazlası varsa, çok büyük bir sıradan kesir ortaya çıkabilir ve ondalık girişler, görevi daha hızlı ve daha kolay hesaplamanıza olanak tanır. Bu nedenle, görevi ayık bir şekilde değerlendirmek ve en basit çözüm yöntemini seçmek her zaman gereklidir.

Bu yazıda, nasıl olduğunu analiz edeceğiz ortak kesirleri ondalık sayılara çevirme ve ayrıca ters işlemi düşünün - ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi. Burada kesirleri ters çevirme kurallarını açıklayacağız ve tipik örneklere ayrıntılı çözümler vereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Ortak kesirleri ondalık sayılara dönüştürme

İşlem yapacağımız sırayı belirtelim. ortak kesirleri ondalık sayılara çevirme.

İlk olarak, paydaları 10, 100, 1000, ... olan sıradan kesirlerin ondalık kesirler olarak nasıl temsil edileceğine bakacağız. Bunun nedeni, ondalık kesirlerin esasen paydaları 10, 100, .... olan sıradan kesirlerin kompakt bir şekli olmasıdır.

Bundan sonra, daha ileri gideceğiz ve herhangi bir sıradan kesrin (yalnızca paydaları 10, 100, ... ile değil) ondalık kesir olarak nasıl yazılabileceğini göstereceğiz. Sıradan kesirlerin bu dönüşümü ile hem sonlu ondalık kesirler hem de sonsuz periyodik ondalık kesirler elde edilir.

Şimdi sırayla her şey hakkında.

Paydaları 10, 100, ... olan sıradan kesirleri ondalık kesirlere dönüştürme

Bazı düzenli kesirler, ondalık sayılara dönüştürülmeden önce "ön hazırlık" gerektirir. Bu, paydaki basamak sayısı paydadaki sıfır sayısından az olan sıradan kesirler için geçerlidir. Örneğin, 2/100 ortak kesrinin önce ondalık kesre dönüştürülmesi için hazırlanması gerekir, ancak 9/10 kesrinin hazırlanmasına gerek yoktur.

Ondalık kesirlere dönüştürmek için doğru sıradan kesirlerin "ön hazırlığı", payda sola çok sayıda sıfır eklemekten ibarettir, böylece oradaki toplam basamak sayısı, paydadaki sıfırların sayısına eşit olur. Örneğin, sıfırlar eklendikten sonra bir kesir gibi görünecektir.

Doğru sıradan kesri hazırladıktan sonra, onu ondalık kesre dönüştürmeye başlayabilirsiniz.

hadi verelim Paydası 10 veya 100 veya 1.000 olan uygun bir ortak kesri ondalık kesre dönüştürmek için kural. Üç adımdan oluşur:

• 0 yazın;
• ondan sonra bir ondalık nokta koyun;
• paydaki sayıyı yazın (eğer eklediysek eklenen sıfırlarla birlikte).

Örnekleri çözerken bu kuralın uygulamasını düşünün.

Örnek.

Uygun kesri 37/100'ü ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

Payda, girişinde iki sıfır bulunan 100 sayısını içerir. Pay 37 sayısını içerir, kaydında iki basamak vardır, bu nedenle bu kesrin ondalık kesre dönüştürülmesi için hazırlanmasına gerek yoktur.

Şimdi 0 yazıyoruz, bir ondalık nokta koyuyoruz ve ondalık kesir 0.37'yi alırken paydan 37 sayısını yazıyoruz.

Cevap:

0,37 .

Düzenli sıradan kesirleri 10, 100, ... payları ile ondalık kesirlere çevirme becerilerini pekiştirmek için başka bir örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Örnek.

107/10.000.000 uygun kesri ondalık sayı olarak yazın.

Çözüm.

Paydaki basamak sayısı 3 ve paydadaki sıfır sayısı 7'dir, bu nedenle bu sıradan kesrin ondalık sayıya dönüştürülmesi için hazırlanması gerekir. Payda sola 7-3=4 sıfır eklemeliyiz ki oradaki toplam basamak sayısı paydadaki sıfır sayısına eşit olsun. alırız.

İstenen ondalık kesri oluşturmak için kalır. Bunu yapmak için önce 0 yazıyoruz, ikinci olarak virgül koyuyoruz, üçüncü olarak paydan gelen sayıyı sıfırlarla birlikte yazıyoruz 0000107 , sonuç olarak 0.0000107 bir ondalık kesirimiz var.

Cevap:

0,0000107 .

Uygun olmayan ortak kesirler, ondalık kesirlere dönüştürülürken hazırlık gerektirmez. Aşağıdakilere uyulmalıdır paydaları 10, 100, ... olan uygunsuz ortak kesirleri ondalık kesirlere dönüştürmek için kurallar:

• paydan gelen sayıyı yazın;
• orijinal kesrin paydasında sıfır olduğu kadar sağdaki basamak sayısı kadar ondalık nokta ile ayırırız.

Bir örnek çözerken bu kuralın uygulamasını inceleyelim.

Örnek.

Uygun olmayan ortak kesri 56 888 038 009/100 000 ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

İlk olarak, 56888038009 payından gelen sayıyı yazıyoruz ve ikincisi, orijinal kesrin paydasında 5 sıfır olduğu için sağdaki 5 basamağı ondalık nokta ile ayırıyoruz. Sonuç olarak, 568 880.38009 ondalık kesirimiz var.

Cevap:

568 880,38009 .

Karışık bir sayıyı, kesirli kısmın paydası 10 veya 100 veya 1.000, ... olan bir ondalık kesre dönüştürmek için, karışık sayıyı uygunsuz bir sıradan kesre dönüştürebilirsiniz, bundan sonra elde edilen kesir ondalık kesire dönüştürülebilir. Ancak aşağıdakileri de kullanabilirsiniz kesirli kısım 10 veya 100 veya 1.000'in paydası olan karışık sayıları ondalık kesirlere dönüştürme kuralı:

• gerekirse, payda sola gerekli sayıda sıfır ekleyerek orijinal karışık sayının kesirli kısmının “ön hazırlığını” yaparız;
• orijinal karışık sayının tamsayı kısmını yazın;
• bir ondalık nokta koyun;
• paydan gelen sayıyı eklenen sıfırlarla birlikte yazıyoruz.

Karışık bir sayıyı ondalık kesir olarak göstermek için gerekli tüm adımları uygulayacağımız bir örnek düşünelim.

Örnek.

Karışık sayıyı ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

Kesirli kısmın paydasında 4 sıfır ve 2 basamaktan oluşan payda 17 sayısı vardır, bu nedenle payda sola iki sıfır eklememiz gerekir, böylece oradaki karakter sayısı eşit hale gelir. paydadaki sıfır sayısı. Bunu yaparak, pay 0017 olacaktır.

Şimdi orijinal sayının tamsayı kısmını, yani 23 sayısını yazıyoruz, bir ondalık nokta koyuyoruz, ardından istenen ondalık sayıyı alırken paydan gelen sayıyı eklenen sıfırlarla, yani 0017 ile birlikte yazıyoruz. kesir 23.0017.

Çözümün tamamını kısaca yazalım: .

Kuşkusuz, karışık sayıyı önce uygunsuz bir kesir olarak göstermek, sonra onu ondalık kesre dönüştürmek mümkündü. Bu yaklaşımla, çözüm şöyle görünür:

Cevap:

23,0017 .

Sıradan kesirleri sonlu ve sonsuz periyodik ondalık kesirlere dönüştürme

Yalnızca paydaları 10, 100, ... olan sıradan kesirler değil, diğer paydaları olan sıradan kesirler de ondalık kesre dönüştürülebilir. Şimdi bunun nasıl yapıldığını anlayacağız.

Bazı durumlarda, orijinal adi kesir, payda 10 veya 100 veya 1.000'den birine kolayca indirgenebilir (adi bir kesrin yeni bir paydaya indirgenmesine bakın), bundan sonra elde edilen kesir ondalık kesir olarak. Örneğin, 2/5 fraksiyonunun payda 10 olan bir fraksiyona indirgenebileceği açıktır, bunun için payı ve paydayı 2 ile çarpmanız gerekir, bu da 4/10'luk bir fraksiyon verecektir; önceki paragrafta tartışılan kurallar, kolayca ondalık kesre dönüştürülebilir 0, dört .

Diğer durumlarda, sıradan bir kesri şimdi ele alacağımız ondalık sayıya dönüştürmek için farklı bir yol kullanmanız gerekir.

Sıradan bir kesri ondalık kesre dönüştürmek için, kesrin payı paydaya bölünür, pay daha önce ona eşit bir ondalık kesir ile değiştirilir ve ondalık noktadan sonra herhangi bir sayıda sıfır bulunur (bunun hakkında bölümde konuştuk). eşit ve eşit olmayan ondalık kesirler). Bu durumda, bölme, bir doğal sayılar sütunuyla bölme ile aynı şekilde gerçekleştirilir ve temettü tamsayı kısmının bölünmesi sona erdiğinde bölüme bir ondalık nokta yerleştirilir. Bütün bunlar, aşağıda verilen örneklerin çözümlerinden netleşecektir.

Örnek.

Ortak kesri 621/4'ü ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

621 numaralı paydaki sayıyı, bir ondalık nokta ve ondan sonra birkaç sıfır ekleyerek ondalık kesir olarak temsil ediyoruz. Başlangıç ​​olarak 2 basamak 0 ekleyeceğiz, daha sonra gerekirse her zaman daha fazla sıfır ekleyebiliriz. Yani elimizde 621.00 var.

Şimdi 621.000 sayısını bir sütuna 4'e bölelim. İlk üç adım, bir doğal sayılar sütununa bölmekten farklı değil, onlardan sonra aşağıdaki resme geliyoruz:

Böylece temettüdeki ondalık basamağa ulaştık ve kalan sıfırdan farklı. Bu durumda, bölüme bir ondalık nokta koyarız ve virgülleri yok sayarak bir sütunla bölmeye devam ederiz:

Bu bölme tamamlandı ve sonuç olarak, orijinal sıradan kesire karşılık gelen 155.25 ondalık kesri elde ettik.

Cevap:

155,25 .

Malzemeyi pekiştirmek için başka bir örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

Ortak kesri 21/800'ü ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

Bu ortak kesri bir ondalık sayıya dönüştürmek için, 21.000'lik ondalık kesri 800'e bir sütuna bölelim. İlk adımdan sonra, bölüme bir ondalık nokta koymamız ve ardından bölmeye devam etmemiz gerekecek:

Son olarak, kalan 0'ı aldık, bunun üzerine 21/400 sıradan kesirinin ondalık kesire dönüştürülmesi tamamlandı ve 0.02625 ondalık kesire geldik.

Cevap:

0,02625 .

Payı sıradan bir kesrin paydasına böldüğümüzde asla 0'dan kalanını alamayız. Bu durumlarda bölünme istendiği kadar devam ettirilebilir. Ancak belirli bir adımdan başlayarak, kalanlar periyodik olarak tekrar etmeye başlarken, bölümdeki rakamlar da tekrar eder. Bu, orijinal ortak kesirin sonsuz bir periyodik ondalık sayıya dönüştüğü anlamına gelir. Bunu bir örnekle gösterelim.

Örnek.

19/44 ortak kesirini ondalık sayı olarak yazın.

Çözüm.

Sıradan bir kesri ondalık basamağa dönüştürmek için bir sütuna bölme yaparız:

Bölerken, 8 ve 36 kalanlarının tekrar etmeye başladığı, bölümde ise 1 ve 8 sayılarının tekrarlandığı açıktır. Böylece, orijinal sıradan kesir 19/44, periyodik bir ondalık kesre çevrilir 0.43181818…=0.43(18) .

Cevap:

0,43(18) .

Bu paragrafın sonunda, hangi adi kesirlerin son ondalık kesirlere dönüştürülebileceğini ve hangilerinin sadece periyodik kesirlere dönüştürülebileceğini bulacağız.

Önümüzde indirgenemez sıradan bir kesir olsun (eğer kesir indirgenebilir ise, o zaman önce kesrin indirgemesini yaparız) ve bunun hangi ondalık kesre dönüştürülebileceğini bulmamız gerekir - sonlu veya periyodik.

Sıradan bir kesir, 10, 100, 1000, ... paydalarından birine indirgenebilirse, elde edilen kesrin önceki paragrafta tartışılan kurallara göre kolayca son bir ondalık kesire dönüştürülebileceği açıktır. Ancak paydalara 10, 100, 1.000 vb. tüm sıradan kesirler verilmez. Paydaları 10, 100, ... sayılarından en az biri olan bu tür paydalara yalnızca kesirler indirgenebilir ... Ve hangi sayılar 10, 100, ...'nin bölenleri olabilir? 10, 100, … sayıları bu soruyu cevaplamamıza izin verecek ve bunlar şu şekildedir: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . 10, 100, 1.000 vb.'nin bölenleri şu şekildedir: yalnızca asal çarpanlarına ayrıştırmaları yalnızca 2 ve (veya) 5 sayılarını içeren sayılar olabilir.

Şimdi sıradan kesirlerin ondalık kesirlere dönüştürülmesi hakkında genel bir sonuç çıkarabiliriz:

• paydanın asal faktörlere ayrıştırılmasında yalnızca 2 ve (veya) 5 sayıları mevcutsa, bu kesir son bir ondalık kesre dönüştürülebilir;
• paydanın açılımında iki ve beşe ek olarak başka asal sayılar da varsa, bu kesir sonsuz ondalık periyodik kesre çevrilir.

Örnek.

Sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmeden, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kesirlerinden hangilerinin son bir ondalık kesre dönüştürülebileceğini ve hangilerinin yalnızca periyodik bir kesre dönüştürülebileceğini söyleyin.

Çözüm.

47/20 kesirinin paydasının asal çarpanlara ayrılması 20=2 2 5 şeklindedir. Bu açılımda sadece ikiler ve beşler vardır, bu nedenle bu kesir payda 10, 100, 1000, ...'den birine indirgenebilir (bu örnekte, payda 100'e), bu nedenle, bir finale dönüştürülebilir. ondalık kesir.

7/12 fraksiyonunun paydasının asal çarpanlara ayrılması 12=2 2 3 şeklindedir. 2 ve 5'ten farklı basit bir 3 çarpanı içerdiğinden, bu kesir sonlu bir ondalık kesir olarak temsil edilemez, ancak periyodik bir ondalık kesre dönüştürülebilir.

kesir 21/56 - büzülebilir, indirgemeden sonra 3/8 şeklini alır. Paydanın asal faktörlere ayrıştırılması, 2'ye eşit üç faktör içerir, bu nedenle, 3/8 normal kesir ve dolayısıyla ona eşit 21/56 kesir, son bir ondalık kesre çevrilebilir.

Son olarak, 31/17 kesrinin paydasının genişlemesinin kendisi 17'dir, bu nedenle bu kesir sonlu bir ondalık kesre dönüştürülemez, ancak sonsuz periyodik bir kesre dönüştürülebilir.

Cevap:

47/20 ve 21/56 son ondalık basamağa dönüştürülebilirken, 7/12 ve 31/17 yalnızca periyodik ondalık basamağa dönüştürülebilir.

Ortak kesirler sonsuz tekrarlanmayan ondalık sayılara dönüşmez

Bir önceki paragrafın bilgisi şu soruyu gündeme getiriyor: “Bir kesrin payını paydaya bölerken sonsuz periyodik olmayan kesir elde edilebilir mi?”

Cevap: hayır. Sıradan bir kesir çevrilirken, ya sonlu bir ondalık kesir ya da sonsuz bir periyodik ondalık kesir elde edilebilir. Bunun neden böyle olduğunu açıklayalım.

Kalanla bölünebilirlik teoreminden, kalanın her zaman bölenden daha küçük olduğu açıktır, yani bir tamsayıyı bir q tamsayısına bölersek, o zaman 0, 1, 2, ... sayılarından yalnızca biri, q−1 kalan olabilir. Sütun, sıradan bir kesrin payının tamsayı kısmını payda q ile böldükten sonra, en fazla q adımdan sonra, aşağıdaki iki durumdan biri ortaya çıkacaktır:

• ya 0 kalanını alırız, bu bölmeyi bitirir ve son ondalık kesri alırız;
• veya daha önce ortaya çıkmış bir kalanı alacağız, bundan sonra kalanlar önceki örnekteki gibi tekrar etmeye başlayacak (çünkü eşit sayılar q'ya bölündüğünde, daha önce bahsedilen bölünebilirlik teoreminden çıkan eşit kalanlar elde edilir), bu nedenle sonsuz bir periyodik ondalık kesir elde edilecektir.

Başka bir seçenek olamaz, bu nedenle, sıradan bir kesri ondalık kesre dönüştürürken, periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesir elde edilemez.

Ayrıca, bu paragrafta verilen akıl yürütmeden, bir ondalık kesrin süresinin uzunluğunun her zaman karşılık gelen adi kesrin paydasının değerinden daha az olduğu sonucu çıkar.

Ondalık sayıları ortak kesirlere dönüştürme

Şimdi bir ondalık kesri sıradan bir kesre nasıl dönüştüreceğimizi bulalım. Son ondalık sayıları ortak kesirlere dönüştürerek başlayalım. Bundan sonra, sonsuz periyodik ondalık kesirleri ters çevirme yöntemini düşünün. Sonuç olarak, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin imkansızlığı hakkında diyelim.

Son ondalık sayıları ortak kesirlere dönüştürme

Son ondalık kesir olarak yazılan sıradan bir kesri elde etmek oldukça basittir. Son ondalık kesri sıradan bir kesre dönüştürme kuralıüç adımdan oluşur:

• ilk olarak, verilen ondalık kesri, daha önce ondalık noktayı ve varsa soldaki tüm sıfırları attıktan sonra paya yazın;
• ikinci olarak, paydaya bir tane yazın ve ona orijinal ondalık kesirdeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sıfır ekleyin;
• üçüncü olarak, gerekirse, ortaya çıkan fraksiyonu azaltın.

Örnekleri ele alalım.

Örnek.

Ondalık 3.025'i ortak bir kesire dönüştürün.

Çözüm.

Orijinal ondalık kesirdeki ondalık noktayı kaldırırsak, 3025 sayısını elde ederiz. Solda atacağımız sıfır yok. Yani, gerekli kesrin payında 3025 yazıyoruz.

Orijinal ondalık kesirde ondalık noktadan sonra 3 basamak olduğu için payda 1 sayısını yazıp sağa 3 sıfır ekliyoruz.

Böylece sıradan bir kesir 3 025/1 000 elde ettik. Bu kesir 25 ile azaltılabilir, .

Cevap:

.

Örnek.

Ondalık 0,0017'yi ortak kesire dönüştürün.

Çözüm.

Ondalık nokta olmadan, orijinal ondalık kesir 00017 gibi görünür, soldaki sıfırları atarak, istenen sıradan kesrin payı olan 17 sayısını elde ederiz.

Paydada dört sıfırlı bir birim yazıyoruz, çünkü orijinal ondalık kesirde ondalık noktadan sonra 4 basamak var.

Sonuç olarak, 17/10.000'lik sıradan bir kesirimiz var. Bu kesir indirgenemez ve ondalık kesrin sıradan bir kesire dönüştürülmesi tamamlanır.

Cevap:

.

Orijinal son ondalık kesrin tamsayı kısmı sıfırdan farklı olduğunda, sıradan kesri atlayarak hemen karışık bir sayıya dönüştürülebilir. hadi verelim son ondalık basamağı karışık sayıya dönüştürme kuralı:

• ondalık noktadan önceki sayı, istenen karışık sayının tamsayı kısmı olarak yazılmalıdır;
• kesirli kısmın payında, soldaki tüm sıfırları attıktan sonra orijinal ondalık kesrin kesirli kısmından elde edilen sayıyı yazmanız gerekir;
• kesirli kısmın paydasında, sağda, ondalık noktadan sonra orijinal ondalık kesir girişinde basamak sayısı kadar sıfır ekleyen 1 sayısını yazmanız gerekir;
• gerekirse, elde edilen karışık sayının kesirli kısmını azaltın.

Ondalık kesri karışık bir sayıya dönüştürmenin bir örneğini düşünün.

Örnek.

Ondalık 152.06005'i karışık bir sayı olarak ifade edin

m / n rasyonel sayısını ondalık kesir olarak yazmak için, payı paydaya bölmeniz gerekir. Bu durumda, bölüm sonlu veya sonsuz bir ondalık kesir olarak yazılır.

Verilen sayıyı ondalık olarak yazınız.

Çözüm. Her kesrin payını paydasına bölün: a) 6'yı 25'e böl; b) 2'ye 3'e bölün; içinde) 1'i 2'ye bölün ve ardından elde edilen kesri birliğe ekleyin - bu karışık sayının tamsayı kısmı.

Paydaları dışında asal bölen içermeyen indirgenemez adi kesirler 2 ve 5 , son ondalık kesir olarak yazılır.

AT örnek 1 ne zaman a) payda 25=5 5; ne zaman içinde) payda 2'dir, bu yüzden son ondalık sayıları 0.24 ve 1.5 aldık. Ne zaman b) payda 3'tür, bu nedenle sonuç son ondalık sayı olarak yazılamaz.

Bir sütuna bölmeden, böyle sıradan bir kesri, paydası 2 ve 5 dışında başka bölenler içermeyen bir ondalık kesre dönüştürmek mümkün müdür? Anlayalım! Hangi kesir ondalık olarak adlandırılır ve kesirli bir çizgi olmadan yazılır? Cevap: paydası 10 olan bir kesir; 100; 1000 vb. Ve bu sayıların her biri bir çarpımdır. eşit ikişer ve beşer sayısı. Aslında: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 vb.

Bu nedenle, indirgenemez bir adi kesrin paydasının "ikiler" ve "beşler"in bir ürünü olarak gösterilmesi ve ardından "ikiler" ve "beşler"in eşit olması için 2 ve (veya) 5 ile çarpılması gerekecektir. O zaman kesrin paydası 10 veya 100 veya 1000 vb.'ye eşit olacaktır. Kesrin değerinin değişmemesi için, kesrin payını, paydanın çarpıldığı aynı sayı ile çarpıyoruz.

Aşağıdaki kesirleri ondalık sayı olarak ifade edin:

Çözüm. Bu kesirlerin her biri indirgenemez. Her kesrin paydasını asal çarpanlarına ayıralım.

20=2 2 5. Sonuç: bir "beş" eksik.

8=2 2 2. Sonuç: Yeterli üç "beş" yok.

25=5 5. Sonuç: iki "iki" eksik.

Yorum. Pratikte, genellikle paydanın çarpanlara ayrılmasını kullanmazlar, sadece şu soruyu sorarlar: Payda ne kadar çarpılmalıdır, böylece sonuç sıfırlı bir birim olur (10 veya 100 veya 1000, vb.). Ve sonra pay aynı sayı ile çarpılır.

Yani, durumda a)(örnek 2) 20 sayısından 5 ile çarparak 100 elde edebilirsiniz, bu nedenle pay ve paydayı 5 ile çarpmanız gerekir.

Ne zaman b)(örnek 2) 8 sayısından 100 sayısı çalışmaz ama 125 ile çarpılarak 1000 sayısı elde edilir. Kesrin hem payı (3) hem de paydası (8) 125 ile çarpılır.

Ne zaman içinde)(örnek 2) 4 ile çarpıldığında 25 üzerinden 100 elde edersiniz. Bu, 8 payının da 4 ile çarpılması gerektiği anlamına gelir.

Bir veya daha fazla basamağın aynı sırada değişmez bir şekilde tekrarlandığı sonsuz ondalık kesire denir. periyodik ondalık kesir. Tekrar eden rakamlar kümesine bu kesrin periyodu denir. Kısa olması için, bir kesrin periyodu bir kez yazılır ve parantez içine alınır.

Ne zaman b)(örnek 1) tekrarlanan rakam bir ve 6'ya eşittir. Bu nedenle, sonucumuz 0.66... ​​​​şöyle yazılacaktır: 0,(6) . Okurlar: sıfır tamsayı, periyotta altı.

Virgül ile ilk nokta arasında bir veya daha fazla yinelenmeyen basamak varsa, böyle bir periyodik kesire karışık periyodik kesir denir.

paydası olan indirgenemez bir ortak kesir başkalarıyla birlikteçarpan çarpan içerir 2 veya 5 , olur karışık periyodik kesir.

Sayıyı ondalık sayı olarak yazın.