Çoğu durumda, veriler belirli bir nokta etrafında toplanır. Merkez nokta. Bu nedenle herhangi bir veri setini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan art arda üç sayısal özelliği göz önünde bulundurun: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Ortalama

Aritmetik ortalama (genellikle sadece ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesinin sonucudur. Bir sayı örneği için X 1, X 2, ..., Xn, örnek ortalama (sembolü ile gösterilir) ) eşittir \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, veya

örnek ortalama nerede, n- örnek boyut, xBence – i. elemanörnekler.

Notu veya biçiminde indirin, örnekler biçiminde

15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin aritmetik ortalamasını hesaplamayı düşünün. yüksek seviye riski (Şekil 1).

Pirinç. 1. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi

Örnek ortalama şu şekilde hesaplanır:

Bu iyi gelirözellikle banka veya kredi birliği mudilerinin aynı zaman diliminde aldıkları %3-4'lük getiri ile karşılaştırıldığında. Geri dönüş değerlerini sıralarsanız, sekiz fonun ortalamanın üstünde ve yedi - altında getirisi olduğunu görmek kolaydır. Aritmetik ortalama bir denge noktası görevi görür, böylece düşük gelirli fonlar yüksek gelirli fonları dengeler. Numunenin tüm unsurları ortalamanın hesaplanmasına dahil edilir. Dağılım ortalamasının diğer tahmin edicilerinin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.

Aritmetik ortalama ne zaman hesaplanır? Aritmetik ortalama, örneğin tüm elemanlarına bağlı olduğundan, uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri kümesini tanımlarken medyanı veya aritmetik ortalamayı ve medyanı belirtmek gerekir. Örneğin, RS Gelişen Büyüme fonunun getirisi örneklemden çıkarılırsa, 14 fonun getirisinin örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşmektedir.

Medyan

Medyan, sıralı bir sayı dizisinin orta değeridir. Dizi tekrar eden sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı medyandan daha az ve yarısından fazla olacaktır. Örnek uç değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine medyanı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.

Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır. n:

• Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-inci eleman.
• Örnek çift sayıda eleman içeriyorsa, medyan örneğin ortadaki iki elemanı arasındadır ve bu iki eleman üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.

15 çok yüksek riskli yatırım fonu örneğinin ortancasını hesaplamak için önce ham verileri sıralamamız gerekir (Şekil 2). O zaman medyan, örneğin orta elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in sahip olduğu özel fonksiyon=MEDIAN(), sırasız dizilerle de çalışır.

Pirinç. 2. Medyan 15 fon

Bu nedenle, medyan 6.5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların yarısının 6,5'i geçmediği, diğer yarısının ise bunu yaptığı anlamına geliyor. 6.5 medyanının 6.08 medyanından biraz daha büyük olduğuna dikkat edin.

RS Gelişen Büyüme fonunun kârlılığını örneklemden çıkarırsak, kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşecek, yani aritmetik ortalama kadar önemli değil (Şekil 3).

Pirinç. 3. Medyan 14 fon

Moda

Terim ilk olarak 1894'te Pearson tarafından tanıtıldı. Moda, örneklemde en sık görülen sayıdır (en moda). Moda, örneğin, sürücülerin trafiği durdurmak için bir trafik sinyaline verdiği tipik tepkiyi iyi tanımlar. Klasik örnek moda kullanımı - üretilen ayakkabı partisinin boyutunun veya duvar kağıdının renginin seçimi. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bunun çok modlu veya çok modlu olduğu söylenir (iki veya daha fazla "tepe" vardır). Çok modlu dağıtımın sağladığı önemli bilgi incelenen değişkenin doğası hakkında. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk, birbirinden farklı birçok görüşün olduğu anlamına gelebilir. Çok modluluk aynı zamanda örneğin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından oluşturulabileceğinin bir göstergesidir. Aritmetik ortalamanın aksine, aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirileri gibi sürekli olarak dağıtılan rastgele değişkenler için, mod bazen hiç mevcut değildir (veya mantıklı değildir). Bu göstergeler çeşitli değerler alabildiğinden, tekrar eden değerler son derece nadirdir.

çeyrekler

Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini tanımlarken verilerin dağılımını değerlendirmek için en yaygın olarak kullanılan ölçülerdir. Medyan sıralı diziyi yarıya bölerken (dizi elemanlarının %50'si medyandan küçük ve %50 daha büyüktür), çeyrekler sıralı veri setini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q 1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.

Üçüncü çeyrek Q 3, aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Elementlerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i fazladır.

2007'den önceki Excel sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(dizi, parça) işlevi kullanıldı. Excel 2010'dan itibaren iki işlev geçerlidir:

• =QUARTILE.ON(dizi, kısım)
• =QUARTILE.HRC(dizi, kısım)

Bu iki fonksiyon biraz çeşitli anlamlar(Şek. 4). Örneğin, 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisine ilişkin verileri içeren bir örneklem için çeyrekler hesaplanırken, QUARTILE.INC ve QUARTILE.EXC için sırasıyla Q 1 = 1.8 veya -0.7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi şuna karşılık gelir: modern fonksiyonÇEYREK AÇIK Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisi sırasız bırakılabilir.

Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplayın

Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri değerleri içeren rastgele değişken. Frekansa dayalı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.

geometrik ortalama

Aritmetik ortalamadan farklı olarak geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içinde ne kadar değiştiğini ölçer. Geometrik ortalama köktür nüründen inci derece n değerler (Excel'de = CUGEOM işlevi kullanılır):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Benzer bir parametre - getiri oranının geometrik ortalaması - aşağıdaki formülle belirlenir:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

nerede Ri- getiri oranı Bence-inci zaman dilimi.

Örneğin, ilk yatırımın 100.000 ABD Doları olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000 ABD Dolarına düşer ve ikinci yılın sonunda orijinal 100.000 ABD Dolarına geri döner. fonların başlangıç ​​ve son miktarları birbirine eşit olduğu için yıllık periyot 0'a eşittir. Ancak, yıllık getiri oranlarının aritmetik ortalaması = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 veya %25'tir, çünkü ilk yıldaki getiri oranı R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5 , ve ikinci R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, iki yıllık getiri oranının geometrik ortalaması: G = [(1–0.5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Bu nedenle, geometrik ortalama, iki yıl boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha kesin olarak, değişiklik yok) aritmetik ortalamadan daha doğru bir şekilde yansıtır.

İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından daha küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkincisi, özellikleri göz önünde bulundurarak sağ üçgen, ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Dik açılı bir üçgenin hipotenüse indirilmiş yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüs üzerindeki izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmanın geometrik bir yolunu verir: Bu iki parçanın toplamı üzerinde bir çap olarak bir daire oluşturmanız gerekir, ardından yükseklik, bağlantı noktalarından kesişme noktasına geri yüklenir. daire, istenen değeri verecektir:

Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)

Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği, varyasyon verilerin dağılma derecesini karakterize eder. İki farklı numune hem ortalama değerlerde hem de varyasyonlarda farklılık gösterebilir. Ancak, Şek. 6 ve 7'de gösterildiği gibi, iki numune aynı varyasyona ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyona sahip olabilir. Şekil 2'deki poligon B'ye karşılık gelen veriler. 7, poligon A'nın oluşturulduğu verilerden çok daha az değişiklik gösterir.

Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı dağılıma sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Veri varyasyonunun beş tahmini vardır:

• açıklık,
• çeyrekler arası aralık,
• dağılım,
• standart sapma,
• varyasyon katsayısı.

dürbün

Aralık, örneğin en büyük ve en küçük öğeleri arasındaki farktır:

Kaydır = XMax-XMin.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örneklem aralığı, sıralı bir dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): aralık = 18.5 - (-6.1) = 24,6. Yani çok yüksek riskli fonlar için en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getiri arasındaki fark %24,6'dır.

Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin toplam yayılımının çok basit bir tahmini olmasına rağmen, zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında tam olarak nasıl dağıldığını hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 1'de iyi görülmektedir. 8, aynı aralığa sahip örnekleri gösterir. B ölçeği, örnek en az bir uç değer içeriyorsa, örnek aralığının verilerin yayılmasının çok yanlış bir tahmini olduğunu gösterir.

Pirinç. 8. Aynı aralıkta üç örneğin karşılaştırılması; üçgen, terazinin desteğini sembolize eder ve konumu, numunenin ortalama değerine karşılık gelir.

Çeyrekler arası aralık

Çeyrekler arası veya ortalama aralık, örneğin üçüncü ve ilk çeyreği arasındaki farktır:

Çeyrekler arası aralık \u003d Q 3 - Q 1

Bu değer, elementlerin %50'sinin yayılmasını tahmin etmeyi ve ekstrem elementlerin etkisini hesaba katmamayı mümkün kılar. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örnek için çeyrekler arası aralık, Şekil 2'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.HRC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 - (-0,7) = 10,5. 9.8 ile -0.7 arasındaki aralığa genellikle orta yarı denir.

Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya Q 3'ten büyük olacak herhangi bir değeri hesaba katmaz. . Toplam nicel özellikler Aykırı değerlerden etkilenmeyen ortanca, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi , sağlam ölçüler olarak adlandırılır.

Aralık ve çeyrekler arası aralık, sırasıyla örneğin toplam ve ortalama dağılımının bir tahminini sağlarken, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu eksiklikten arınmış Bu göstergeler, verilerin ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini değerlendirmenize izin verir. örnek varyans her bir numune elemanı ve numune ortalaması arasındaki kare farklarından hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. X 1 , X 2 , ... X n'lik bir örnek için örnek varyansı (S 2 sembolü ile gösterilir, aşağıdaki formülle verilir:

V Genel davaÖrnek varyansı, örnek öğeleri ile örnek ortalaması arasındaki kare farklarının toplamının, örnek boyutu eksi bire eşit bir değere bölümüdür:

nerede - aritmetik ortalama, n- örnek boyut, X ben - Bence-inci örnek eleman x. Hesaplama için 2007 sürümünden önceki Excel'de örnek varyans=VAR() işlevi kullanıldı, 2010 sürümünden beri =VAR.B() işlevi kullanılıyor.

Veri dağılımının en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmini, standart sapma. Bu gösterge S sembolü ile gösterilir ve şuna eşittir: kare kökörnek varyansından:

2007 sürümünden önceki Excel'de, standart sapmayı hesaplamak için =STDEV() işlevi, 2010 sürümünden itibaren =STDEV.B() işlevi kullanılır. Bu fonksiyonları hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.

Ne örnek varyansı ne de örnek standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, örneğin tüm elemanlarının eşit olmasıdır. Bu tamamen inanılmaz vaka aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.

Sayısal veriler doğası gereği uçucudur. Herhangi bir değişken bir küme alabilir farklı değerler. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve kayıp oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özetleyici olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin dağılımını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.

Varyans ve standart sapma, verilerin ortalama etrafındaki yayılımını tahmin etmemize, başka bir deyişle, örneğin kaç elemanının ortalamadan daha az olduğunu ve kaçının daha büyük olduğunu belirlememize izin verir. Dağılımın bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Bununla birlikte, değeri bir ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, varyansın doğal bir tahmini, olağan ölçüm birimlerinde ifade edilen standart sapmadır - gelir yüzdesi, dolar veya inç.

Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki dalgalanma miktarını tahmin etmenizi sağlar. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma içindedir. Bu nedenle, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri yığınının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük bölümünün karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklı olmadığı anlamına gelir (yani, aşağıdaki aralıkta dalgalanır). - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında bu aralık, beş yıllık ortalama %53,3'lük (15 üzerinden 8'i) fon getirisini içermektedir.

Pirinç. 9. Standart sapma

Farkların karesini alma sürecinde, ortalamadan daha uzak olan öğelerin, daha yakın olanlardan daha fazla ağırlık kazandığını unutmayın. Bu özellik, ortalamanın bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için en sık kullanılmasının ana nedenidir. aritmetik değer.

varyasyon katsayısı

Önceki dağılım tahminlerinden farklı olarak, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal veri birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV sembolleri ile gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Varyasyon katsayısı, aritmetik ortalamaya bölünen ve %100 ile çarpılan standart sapmaya eşittir:

nerede S- standart örnek sapması, - örnek ortalama.

Varyasyon katsayısı, öğeleri farklı ölçüm birimlerinde ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yükseltmeyi planlıyor. Paketleri yüklerken, dikkate alınması gereken iki tür kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound olarak) ve hacmi (fit küp olarak). 200 torbalık bir numunede, ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapması 3,9 pound, ortalama paket hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık dağılımı ve hacmi nasıl karşılaştırılır?

Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğu için yöneticinin bu değerlerin göreli dağılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık varyasyon katsayısı CV W = 3.9 / 26.0 * %100 = %15 ve hacim varyasyon katsayısı CV V = 2.2 / 8.8 * %100 = %25'tir. Bu nedenle, paket hacimlerinin göreli dağılımı, ağırlıklarının göreli dağılımından çok daha büyüktür.

dağıtım formu

Numunenin üçüncü önemli özelliği dağılım şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. Bu iki ölçü aynıysa, değişkenin simetrik olarak dağıldığı söylenir. Bir değişkenin ortalama değeri medyandan büyükse, dağılımı pozitif bir çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse, değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık oluşur. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık oluşur. Bir değişken, her iki yönde de uç değerler almıyorsa, değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini yok edecek şekilde simetrik olarak dağıtılır.

Pirinç. 10. Üç tür dağıtım

A ölçeğinde gösterilen veriler negatif bir çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, alışılmadık derecede küçük değerlerin neden olduğu uzun bir kuyruk ve sola çarpıklığı göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırır ve medyandan daha küçük olur. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılır. Dağılımın sol ve sağ yarısı onların ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler, ortalama ve medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif bir çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruk ve sağa eğriliği göstermektedir. Bu çok büyük değerler ortalamayı sağa kaydırır ve medyandan daha büyük olur.

Excel'de, eklenti kullanılarak açıklayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüden geçmek Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam. Pencerede Tanımlayıcı istatistikler belirttiğinizden emin olun giriş aralığı(Şek. 11). Orijinal verilerle aynı sayfada tanımlayıcı istatistikleri görmek istiyorsanız, radyo düğmesini seçin. çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesini yerleştirmek istediğiniz hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Veri göndermek istiyorsanız yeni yaprak veya içinde yeni kitap sadece uygun radyo düğmesini seçin. yanındaki kutucuğu işaretleyin Nihai istatistikler. İsteğe bağlı olarak da seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,k'inci en küçük vek'inci en büyük.

Mevduat varsa Veri alanında analiz simgeyi görmüyorsun Veri analizi, önce eklentiyi yüklemelisiniz Analiz paketi(bkz: örneğin).

Pirinç. 11. Eklenti kullanılarak hesaplanan, çok yüksek riskli fonların beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin tanımlayıcı istatistikleri Veri analizi Excel programları

Excel, yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( Aralık), minimum, maksimum ve örnek boyutu ( Kontrol). Ek olarak, Excel bizim için bazı yeni istatistikler hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. standart hataörnek boyutunun kareköküne bölünen standart sapmaya eşittir. asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve numunenin elemanları ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına karşı ortalama etrafında veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek ile dördüncü güce yükseltilmiş ortalama arasındaki farklara bağlıdır.

Genel nüfus için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, dağılımı ve şekli, numuneye dayalı özelliklerdir. Ancak, veri kümesi tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa, parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler, popülasyonun ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını içerir.

Beklenen değer genel nüfusun tüm değerlerinin toplamının genel nüfusun hacmine bölünmesine eşittir:

nerede µ - beklenen değer, xBence- Bence-th değişken gözlemi x, n- genel nüfusun hacmi. Excel'de matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlev kullanılır: =ORTALAMA().

Nüfus değişimi genel popülasyonun elemanları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. nüfusun büyüklüğüne bölünen beklenti:

nerede σ2 genel popülasyonun varyansıdır. 2007 sürümünden önceki Excel, 2010 sürümünden başlayarak popülasyon varyansını hesaplamak için =VAR() işlevini kullanır =VAR.G().

Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:

2007 sürümünden önceki Excel, 2010 sürümü =STDEV.Y() ile başlayarak popülasyon standart sapmasını hesaplamak için =STDEV() kullanır. Popülasyon varyansı ve standart sapma formüllerinin, örnek varyansı ve standart sapma formüllerinden farklı olduğuna dikkat edin. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 ve S kesrin paydası n - 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 ve σ - genel nüfusun hacmi n.

temel kural

Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklıklı veri kümelerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani aşağıda), negatif çarpıklıklı kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani yukarıda) bulunur. Simetrik veriler aynı ortalamaya ve medyana sahiptir ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım belirgin bir çarpıklığa sahip değilse ve veriler belirli bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için bir genel kural kullanılabilir, bu da şöyle der: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, yaklaşık %68 gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentinin bir standart sapması içindedir, Gözlemlerin yaklaşık %95'i beklenen değerin iki standart sapması içindedir ve gözlemlerin %99,7'si beklenen değerin üç standart sapması içindedir.

Böylece, matematiksel beklenti etrafındaki ortalama dalgalanmanın bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kuraldan, çan şeklindeki dağılımlar için yirmide yalnızca bir değerin matematiksel beklentiden ikiden fazla standart sapma ile farklı olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, aralığın dışındaki değerler µ ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ek olarak, 1000 gözlemden sadece üçü, matematiksel beklentiden üçten fazla standart sapma ile farklılık gösterir. Böylece aralığın dışındaki değerler µ ± 3σ neredeyse her zaman aykırı değerlerdir. Çok çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Biename-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.

Yüz yıldan fazla bir süre önce, matematikçiler Bienamay ve Chebyshev bağımsız olarak keşfettiler. faydalı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekli ne olursa olsun, uzaklığı geçmeyen gözlemlerin yüzdesinin olduğunu buldular. k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ 2)*%100.

örneğin, eğer k= 2, Biename-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 - (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta olması gerektiğini belirtir. µ ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir. k birini aşan. Biename-Chebyshev kuralı çok genel bir yapıya sahiptir ve her türlü dağıtım için geçerlidir. Matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığı minimum gözlem sayısını gösterir. Bununla birlikte, dağılım çan şeklindeyse, temel kural, ortalama etrafındaki veri konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.

Frekans tabanlı bir dağılım için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Orijinal veriler mevcut değilse, frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, standart sapma, çeyrekler gibi dağılımın nicel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplayabilirsiniz.

Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak sunulursa, her sınıf içindeki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık bir değeri hesaplanabilir:

nerede - örnek ortalama, n- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J-inci sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.

Frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için ayrıca her sınıf içindeki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılır.

Serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun ortalama kişi başına nakit gelir dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyrek hesaplamasını ele alalım (Şekil 12).

Pirinç. 12. Rusya nüfusunun ortalama kişi başına düşen payı nakit gelir aylık ortalama, ruble

Aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

burada Q1 ilk çeyreğin değeridir, xQ1 ilk çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk çeyreğin %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i aralığın değeridir; Σf, tüm örneğin frekanslarının toplamıdır; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır; fQ1, alt çeyreği içeren aralığın frekansıdır. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiğinden farklıdır.

Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek, kümülatif frekansı %26.4 olan 7000.1 - 10.000 aralığındadır. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralığın birikmiş frekansı %13.4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13.0'dır. Böylece: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 \u003d 9677 ruble.

Tanımlayıcı istatistiklerle ilişkili tuzaklar

Bu notta, ortalamasını, dağılımını ve dağılımını tahmin eden çeşitli istatistikleri kullanarak bir veri kümesini nasıl tanımlayacağımıza baktık. Bir sonraki adım, verileri analiz etmek ve yorumlamaktır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına dönüyoruz. Araştırmacıyı bekleyen iki hata vardır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun performansının analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen objektif sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6.1 ile 18.5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6.08'dir. Veri analizinin nesnelliği sağlanır doğru seçim dağılımın toplam nicel göstergeleri. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler değerlendirildi ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlayan doğru istatistikler nasıl seçilir? Veri dağılımı biraz çarpıksa, medyan aritmetik ortalama üzerinden mi seçilmeli? Hangi gösterge verilerin yayılmasını daha doğru bir şekilde karakterize ediyor: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpıklığı gösterilmeli mi?

Öte yandan, veri yorumlama öznel bir süreçtir. Farklı insanlar aynı sonuçları yorumlayarak farklı sonuçlara varır. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Riski çok yüksek olan 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisini iyi gören biri, aldığı gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların çok düşük getirisi olduğunu düşünebilir. Bu nedenle, öznellik dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.

Etik konular

Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyolar, televizyonlar ve internet aracılığıyla yayılan bilgilere eleştirel yaklaşmak gerekir. Zamanla, yalnızca sonuçlar hakkında değil, aynı zamanda araştırmanın amaçları, konusu ve nesnelliği hakkında da şüpheci olmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz politikacı Benjamin Disraeli en iyisini söyledi: "Üç çeşit yalan vardır: yalanlar, lanet olası yalanlar ve istatistikler."

Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçlar seçilirken etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca rapor veya yazılı rapor hazırlanırken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Kötü ve dürüst olmayan sunumlar arasında ayrım yapın. Bunu yapmak için, konuşmacının niyetlerinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı cehaletten ve bazen de kasıtlı olarak önemli bilgileri atlar (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçları gizlemek de sahtekârlık olur.

Yöneticiler için Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmaktadır. - E.: Williams, 2004. - s. 178–209

QUARTILE işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle hizalanmak için korundu

En çok eq. Pratikte, basit ve ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanabilen aritmetik ortalamanın kullanılması gerekir.

Aritmetik ortalama (CA)-n en yaygın ortam türüdür. Tüm popülasyon için değişken bir özniteliğin hacminin, kendi birimlerinin özniteliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal fenomenler, değişen özniteliğin hacimlerinin toplamı (toplaması) ile karakterize edilir, bu SA'nın kapsamını belirler ve yaygınlığını genelleştirici bir gösterge olarak açıklar, örneğin: genel maaş fonu tüm çalışanların maaşlarının toplamıdır.

SA'yı hesaplamak için, tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir. SA 2 şekilde kullanılır.

İlk önce basit aritmetik ortalamayı düşünün.

1-CA basit (ilk, tanımlayıcı form), ortalama özelliğin bireysel değerlerinin bu değerlerin toplam sayısına bölünmesiyle elde edilen basit toplamına eşittir (özelliğin gruplanmamış indeks değerleri olduğunda kullanılır):

Yapılan hesaplamalar aşağıdaki formülle özetlenebilir:

(1)

nerede - değişken özniteliğin ortalama değeri, yani basit aritmetik ortalama;

toplama, yani bireysel özelliklerin eklenmesi anlamına gelir;

x- değişken olarak adlandırılan değişken bir özelliğin bireysel değerleri;

n - nüfus birimlerinin sayısı

Örnek 1, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiği biliniyorsa, bir işçinin (çilingir) ortalama çıktısının bulunması gerekir, yani. bir dizi ind verildi. özellik değerleri, adet: 21; yirmi; yirmi; on dokuz; 21; on dokuz; on sekiz; 22; on dokuz; yirmi; 21; yirmi; on sekiz; on dokuz; yirmi.

SA basit formül (1), adet ile hesaplanır:

Örnek2. Bir ticaret şirketinin parçası olan 20 mağaza için koşullu verilere dayanarak SA hesaplayalım (Tablo 1). tablo 1

"Vesna" ticaret şirketinin mağazalarının ticaret alanına göre dağılımı, sq. m

Ortalama mağaza alanını hesaplamak için ( ) tüm mağazaların alanlarını toplamak ve sonucu mağaza sayısına bölmek gerekir:

Dolayısıyla, bu ticari işletme grubu için ortalama mağaza alanı 71 m2'dir.

Bu nedenle, SA'nın basit olduğunu belirlemek için, belirli bir özelliğin tüm değerlerinin toplamını bu özelliğe sahip birim sayısına bölmek gerekir.

2

nerede F 1 , F 2 , … ,F n – ağırlık (aynı özelliklerin tekrarlanma sıklığı);

özelliklerin büyüklüklerinin ve frekanslarının çarpımlarının toplamıdır;

toplam nüfus birimi sayısıdır.

Neresi x- seçenekler;

F- frekans (ağırlık).

SA ağırlıklı, varyantların çarpımlarının toplamının ve bunlara karşılık gelen frekansların tüm frekansların toplamına bölünmesinin bölümüdür. frekanslar ( F) SA formülünde görünen genellikle denir terazi, bunun sonucunda ağırlıklar dikkate alınarak hesaplanan SA'ya ağırlıklı SA denir.

Yukarıda ele alınan örnek 1'i kullanarak ağırlıklı SA hesaplama tekniğini göstereceğiz.Bunu yapmak için ilk verileri gruplandırıyoruz ve Tablo'ya yerleştiriyoruz.

Gruplanan verilerin ortalaması şu şekilde belirlenir: önce seçenekler frekanslarla çarpılır, ardından ürünler toplanır ve elde edilen toplam frekansların toplamına bölünür.

Formül (2)'ye göre, ağırlıklı SA, adettir:

P

Vesna mağazalarının perakende alanına göre dağılımı, metrekare m

Böylece sonuç aynıdır. Ancak, bu zaten aritmetik ağırlıklı ortalama olacaktır.

Önceki örnekte, mutlak frekansların (mağaza sayısı) bilinmesi koşuluyla aritmetik ortalamayı hesaplamıştık. Bununla birlikte, bazı durumlarda mutlak frekanslar yoktur, ancak göreceli frekanslar bilinir veya genel olarak adlandırıldığı gibi, oranı gösteren frekanslar veya tüm popülasyondaki frekansların oranı.

SA ağırlıklı kullanım hesaplanırken frekanslar frekans büyük, çok basamaklı sayılarla ifade edildiğinde hesaplamaları basitleştirmenizi sağlar. Hesaplama aynı şekilde yapılır ancak ortalama değer 100 katına çıkarıldığı için sonucun 100'e bölünmesi gerekir.

Ardından aritmetik ağırlıklı ortalama formülü şöyle görünecektir:

nerede D- Sıklık, yani tüm frekansların toplam toplamında her frekansın payı.

Örneğimizde ilk olarak 2 tanımlıdır. spesifik yer çekimi"Vesna" firmasının toplam mağaza sayısında gruplara göre mağazalar. Böylece, birinci grup için özgül ağırlık %10'a karşılık gelir.
. Aşağıdaki verileri alıyoruz Tablo 3

ile çalışırken sayısal ifadeler bazen ortalama değerlerini hesaplamaya ihtiyaç vardır. aritmetik ortalama denir. Microsoft'tan bir elektronik tablo düzenleyicisi olan Excel'de, manuel olarak hesaplamak değil, özel araçlar kullanmak mümkündür. Bu makalede, aritmetik ortalamayı bulmanızı ve görüntülemenizi sağlayan yöntemler sunulacaktır.

Yöntem 1: standart

Öncelikle, bunun için standart bir araç kullanmayı içeren Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl hesaplanacağı yöntemini analiz edelim. Yöntem en basit ve kullanımı en uygun olanıdır, ancak bazı dezavantajları da vardır. Ama onlar hakkında daha sonra, ama şimdi göreve geçelim.

1. Hesaplanacak sayısal değerleri içeren sütun veya satırdaki hücreleri seçin.
2. "Ev" sekmesine gidin.
3. "Düzenleme" kategorisindeki araç çubuğunda, "Otomatik Toplam" düğmesini tıklayın, ancak bir açılır listenin görünmesi için yanındaki oku tıklamanız gerekir.
4. İçinde "Ortalama" maddesine tıklamanız gerekir.

Bunu yaptığınız anda, seçilen değerlerin aritmetik ortalamasının hesaplanmasının sonucu, yanındaki hücrede görünecektir. Bir satır seçtiyseniz, konumu veri bloğuna bağlı olacaktır, o zaman sütun aşağıdaysa sonuç seçimin sağında olacaktır.

Ancak daha önce de belirtildiği gibi, bu yöntemin dezavantajları vardır. Bu nedenle, bir dizi hücreden veya içinde bulunan hücrelerden değeri hesaplayamazsınız. farklı yerler. Örneğin, tablonuzda yanlarında sayısal değerler bulunan iki sütun varsa, bunları seçip yukarıdaki adımları uygulayarak her sütun için ayrı ayrı sonuç alırsınız.

Yöntem 2: İşlev Sihirbazını Kullanma

Excel'de aritmetik ortalamayı bulmanın birçok yolu vardır ve onların yardımıyla önceki yöntemin ima ettiği sınırlamaları atlamanın mümkün olması doğaldır. Şimdi Fonksiyon Sihirbazını kullanarak hesaplama yapmaktan bahsedeceğiz. İşte yapmanız gerekenler.

1. Farenin sol tuşuna tıklayarak hesaplama sonucunu görmek istediğiniz hücreyi seçin.
2. Formül çubuğunun solunda bulunan "İşlev Ekle" düğmesine tıklayarak veya Shift+F3 kısayol tuşlarını kullanarak İşlev Sihirbazı penceresini açın.
3. Görünen pencerede, listede "ORTALAMA" satırını bulun, seçin ve "Tamam" düğmesini tıklayın.
4. Fonksiyon argümanlarını girmek için yeni bir pencere açılacaktır. İçinde iki alan göreceksiniz: "Sayı1" ve "Sayı2".
5. İlk alana, hesaplama için sayısal değerlerin bulunduğu hücrelerin adreslerini girin. Bu, manuel olarak veya Özel alet. İkinci durumda, giriş alanının sağ tarafında bulunan düğmeye tıklayın. Sihirbaz penceresi kapanacak ve hesaplama için hücreleri fare ile seçmeniz gerekecektir.
6. Veri içeren başka bir hücre aralığı, sayfada başka bir yerde bulunuyorsa, bunu "Sayı2" alanında belirtin.
7. Tüm gerekli olanları girene kadar veri girişini yapın.
8. Tamam düğmesini tıklayın.

Giriş tamamlandıktan sonra Sihirbaz penceresi kapanacak ve hesaplamanın sonucu en başta seçtiğiniz hücrede görünecektir. Artık Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl hesaplanacağının ikinci yolunu biliyorsunuz. Ama son değil, o yüzden devam ediyoruz.

Yöntem 3: Formül Çubuğundan

Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl hesaplanacağı bu yöntem, öncekinden çok farklı değil, ancak bazı durumlarda daha uygun görünebilir, bu yüzden sıralamaya değer. Çoğunlukla, Bu taraftan sadece teklifler Alternatif seçenekİşlev Sihirbazını çağırma.

Listenin tüm eylemleri tamamlanır tamamlanmaz, argümanları girmeniz gereken İşlev Sihirbazı penceresi önünüzde görünecektir. Bunu önceki yöntemden nasıl yapacağınızı zaten biliyorsunuz, sonraki tüm eylemler farklı değil.

Yöntem 4: bir işlevi manuel olarak girme

Dilerseniz Excel'de aritmetik ortalama formülünü biliyorsanız İşlev Sihirbazı ile etkileşime girmekten kurtulabilirsiniz. Bazı durumlarda, manuel olarak girmek, hesaplama sürecini birçok kez hızlandıracaktır.

Tüm nüansları anlamak için formülün sözdizimine bakmanız gerekir, şöyle görünür:

ORTALAMA(hücre_adresi(sayı), hücre_adresi(sayı))

Sözdiziminden, işlev argümanlarında, sayılacak sayıların bulunduğu hücre aralığının adresini veya doğrudan hesaplanacak sayıların belirtilmesinin gerekli olduğu sonucuna varılır. Uygulamada, bu yöntemin kullanımı aşağıdaki gibidir:

ORTALAMA(C4:D6;C8:D9)

Yöntem 5: koşula göre hesaplama

• hesaplamanın yapılacağı hücreyi seçin;
• "işlev ekle" düğmesini tıklayın;
• görünen sihirbaz penceresinde, listede "ne zaman" satırını seçin;
• Tamam'ı tıklayın.

Bundan sonra, fonksiyon argümanlarını girmek için bir pencere açılacaktır. Daha önce gösterilene çok benzer, ancak şimdi ortaya çıktı ek alan- "Şart". İçinde koşulun girilmesi gerekir. Bu nedenle, "> 1500" girildiğinde, yalnızca belirtilenden daha büyük olan değerler dikkate alınacaktır.

Ortalama kavramı altında aritmetik sayılarönceden belirlenmiş bir dizi sayı için ortalama değerin basit bir hesaplama dizisinin sonucu kastedilmektedir. Bu değerin şu anda birçok endüstride uzmanlar tarafından yaygın olarak kullanıldığına dikkat edilmelidir. Örneğin, ekonomistler veya istatistik endüstrisi çalışanları tarafından bu tür bir değere sahip olması gereken durumlarda hesaplamalar yapılırken formüller bilinir. Ek olarak, bu gösterge, yukarıdakilerle ilgili bir dizi başka endüstride aktif olarak kullanılmaktadır.

Bu değeri hesaplamanın özelliklerinden biri de işlemin basit olmasıdır. Hesaplamalar yapın herkes yapabilir. Bunun için özel bir eğitime ihtiyacınız yok. Çoğu zaman bilgisayar teknolojisini kullanmaya gerek yoktur.

Aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağı sorusuna cevap olarak, birkaç durumu düşünün.

en çok basit seçenek Belirli bir miktarın hesaplanması, iki sayı için hesaplanmasıdır. Bu durumda hesaplama prosedürü çok basittir:

1. Öncelikle seçilen sayıların eklenmesi işleminin yapılması gerekmektedir. Bu genellikle, dedikleri gibi, elektronik ekipman kullanmadan manuel olarak yapılabilir.
2. Ekleme yapılıp sonucu alındıktan sonra bölmek gerekir. Bu işlem, eklenen iki sayının toplamını ikiye bölmeyi içerir - eklenen sayıların sayısı. Gerekli değeri elde etmenizi sağlayacak olan bu eylemdir.

formül

Böylece, iki durumda gerekli değeri hesaplama formülü şöyle görünecektir:

(A+B)/2

Bu formül aşağıdaki gösterimi kullanır:

A ve B, bir değer bulmanız gereken önceden seçilmiş sayılardır.

Üç için bir değer bulma

Üç sayının seçildiği bir durumda bu değerin hesaplanması, önceki seçenekten çok farklı olmayacaktır:

1. Bunu yapmak için, hesaplamada gereken sayıları seçin ve elde etmek için ekleyin. toplam tutar.
2. Bu üç toplamı bulunduktan sonra bölme işleminin tekrar yapılması gerekir. Bu durumda, ortaya çıkan miktar, seçilen sayıların sayısına karşılık gelen üçe bölünmelidir.

formül

Böylece, aritmetik üçü hesaplarken gereken formül şöyle görünecektir:

(A+B+C)/3

Bu formülde aşağıdaki gösterim kabul edilmiştir:

A, B ve C, aritmetik ortalamayı bulmak için gerekli olacak sayılardır.

Dördün aritmetik ortalamasını hesaplama

Önceki seçeneklerle analojiyle zaten görüldüğü gibi, dörde eşit bir miktar için bu değerin hesaplanması aşağıdaki sırada olacaktır:

1. Aritmetik ortalamasının hesaplanacağı dört basamak seçilir. Daha sonra, bu prosedürün toplanması ve nihai sonucunun bulunması gerçekleştirilir.
2. Şimdi, nihai sonucu elde etmek için, elde edilen dördün toplamını almalı ve dörde bölmelisiniz. Alınan veriler gerekli değer olacaktır.

formül

Dört için aritmetik ortalamayı bulmak için yukarıda açıklanan eylem dizisinden aşağıdaki formülü elde edebilirsiniz:

(A+B+C+E)/4

Bu formülde değişkenler var sonraki değer:

A, B, C ve E, aritmetik ortalamanın değerini bulmanız gerekenlerdir.

Bu formülü kullanarak, belirli sayıda sayı için gerekli değeri hesaplamak her zaman mümkün olacaktır.

Beşin aritmetik ortalamasını hesaplama

Bu işlemi gerçekleştirmek, belirli bir eylem algoritması gerektirecektir.

1. Her şeyden önce, aritmetik ortalamasının hesaplanacağı beş sayı seçmeniz gerekir. Bu seçimden sonra, önceki seçeneklerde olduğu gibi, bu sayıları toplamanız ve son tutarı almanız yeterlidir.
2. Ortaya çıkan miktarın, sayılarına beşe bölünmesi gerekecek ve bu, gerekli değeri elde etmenizi sağlayacaktır.

formül

Böylece, daha önce ele alınan seçeneklere benzer şekilde, aritmetik ortalamayı hesaplamak için aşağıdaki formülü elde ederiz:

(A+B+C+E+P)/5

Bu formülde, değişkenler aşağıdaki gösterime sahiptir:

A, B, C, E ve P, aritmetik ortalamasını almak istediğiniz sayılardır.

Evrensel Hesaplama Formülü

İnceleme yapmak Çeşitli seçenekler formüller aritmetik ortalamayı hesaplamak için, ortak bir örüntüye sahip olmalarına dikkat edebilirsiniz.

Bu nedenle aritmetik ortalamayı bulmak için genel formülü uygulamak daha pratik olacaktır. Sonuçta, hesaplamaların sayısının ve boyutunun çok büyük olabileceği durumlar vardır. Bu nedenle, evrensel bir formül kullanmak ve her seferinde görüntülememek daha akıllıca olacaktır. bireysel teknoloji Bu değeri hesaplamak için

Formülü belirlemede ana şey, aritmetik ortalamanın hesaplanması ilkesiÖ.

Bu ilke, yukarıdaki örneklerden de görüldüğü gibi şuna benzer:

1. Gerekli değeri elde etmek için belirtilen sayıların sayısı sayılır. Bu işlem hem manuel olarak az sayıda numara ile hem de bilgisayar teknolojisi yardımıyla gerçekleştirilebilir.
2. Seçilen sayılar toplanır. Sayılar iki, üç veya daha fazla basamaktan oluşabileceğinden, çoğu durumda bu işlem bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirilir.
3. Seçilen sayıların eklenmesiyle elde edilen miktar, sayılarına bölünmelidir. Bu değer, aritmetik ortalamanın hesaplanmasının ilk aşamasında belirlenir.

Böylece, bir dizi seçilmiş sayının aritmetik ortalamasını hesaplamak için genel formül şöyle görünecektir:

(А+В+…+N)/N

Bu formül içerir aşağıdaki değişkenler:

A ve B, aritmetik ortalamalarını hesaplamak için önceden seçilmiş sayılardır.

N, gerekli değeri hesaplamak için alınan sayıların sayısıdır.

Seçilen sayıları her seferinde bu formülde değiştirerek, aritmetik ortalamanın gerekli değerini her zaman alabiliriz.

Görüldüğü gibi, aritmetik ortalamayı bulma kolay bir işlemdir. Ancak hesaplamalara dikkat etmek ve elde edilen sonucu kontrol etmek gerekir. Bu yaklaşım, en basit durumlarda bile, daha sonraki hesaplamaları etkileyebilecek bir hata alma olasılığı olduğu gerçeğiyle açıklanmaktadır. Bu bağlamda, herhangi bir karmaşıklıkta hesaplamalar yapabilen bilgisayar teknolojisinin kullanılması tavsiye edilir.

Excel'de aritmetik ortalama. Excel elektronik tabloları, her türlü hesaplama için en uygun olanıdır. Excel okuduktan sonra kimya, fizik, matematik, geometri, biyoloji, istatistik, ekonomi ve diğer birçok alanda problem çözebileceksiniz. Bilgisayarlarımızda ne kadar güçlü bir araç olduğunu düşünmüyoruz bile, yani onu tam potansiyeliyle kullanmıyoruz. Birçok ebeveyn, bir bilgisayarın sadece pahalı bir oyuncak olduğunu düşünür. Ama boşuna! Tabii ki, çocuğun gerçekten üzerinde çalışabilmesi için, üzerinde nasıl çalışılacağını öğrenmeniz ve ardından çocuğa öğretmeniz gerekir. Pekala, bu başka bir konu, ama bugün sizinle Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağı hakkında konuşmak istiyorum.

Excel'de aritmetik ortalama nasıl bulunur

Excel'de hızlı hakkında zaten konuştuk ve bugün aritmetik ortalama hakkında konuşacağız.

Bir hücre seçin C12 ve yardımı ile İşlev Sihirbazları aritmetik ortalamayı hesaplamak için formülü yazın. Bunu yapmak için Standart araç çubuğunda düğmesine tıklayın - Bir Fonksiyon Eklemek −fx (yukarıdaki resimde kırmızı ok üsttedir). Bir iletişim kutusu açılacaktır Fonksiyon Yöneticisi .

• Alanda seçin Kategoriler — istatistiksel ;
• alanında fonksiyon seç: ORTALAMA ;
• Düğmeye bas tamam .

Açılacak sonraki pencere Argümanlar ve Fonksiyonlar .

alanında 1 numara girişi göreceksin S2:S11- programın kendisi, gerekli olduğu hücre aralığını belirledi aritmetik ortalamayı bulun.

Düğmeye bas tamam ve hücrede C12 puanların aritmetik ortalaması görünecektir.

Excel'de aritmetik ortalamayı hesaplamanın hiç de zor olmadığı ortaya çıktı. Ve her zaman formüllerden korkmuşumdur. Eh, o zamanlar ders çalışmıyorduk.