Basit bir aritmetik ortalama, belirli bir özelliğin toplam hacminin aşağıdakilerden hangisi olduğunu belirlemede ortalama bir terimdir. agrega veriler, verilen popülasyondaki tüm birimler arasında eşit olarak dağıtılır. Dolayısıyla, çalışan başına ortalama yıllık çıktı, tüm çıktı hacmi kuruluşun tüm çalışanları arasında eşit olarak dağıtılırsa, her bir çalışana düşecek olan çıktı miktarıdır. Aritmetik ortalama basit değer aşağıdaki formülle hesaplanır:

basit aritmetik ortalama- Bir özelliğin bireysel değerlerinin toplamının, toplamdaki özellik sayısına oranına eşit

örnek 1. 6 işçiden oluşan bir ekip ayda 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 bin ruble alıyor.

Ortalama ücreti bulun Çözüm: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 bin ruble.

ağırlıklı aritmetik ortalama

Veri kümesinin hacmi büyükse ve bir dağılım serisini temsil ediyorsa, ağırlıklı aritmetik ortalama hesaplanır. Ağırlıklı ortalama üretim birimi fiyatı şu şekilde belirlenir: toplam üretim maliyeti (miktarının ürünlerinin toplamının bir üretim biriminin fiyatına oranı), toplam üretim miktarına bölünür.

Bunu aşağıdaki formül şeklinde gösteriyoruz:

ağırlıklı aritmetik ortalama- orana (bir özelliğin değerinin çarpımlarının belirli bir özelliğin tekrarlanma sıklığına toplamı) ile (tüm özelliklerin frekanslarının toplamına) eşittir.Çalışılan popülasyonun varyantları olduğunda kullanılır. eşit olmayan sayıda meydana gelir.

Örnek 2. Bir atölye çalışanının ortalama aylık ücretini bulun

Ortalama ücretler bölünerek elde edilebilir toplam tutar için ücretler toplam sayısı işçiler:

Cevap: 3.35 bin ruble.

Aralık serileri için aritmetik ortalama

Bir aralık varyasyon serisi için aritmetik ortalamayı hesaplarken, önce her bir aralığın ortalamasını, üst ve alt sınırların yarım toplamı olarak belirleyin ve ardından - tüm serinin ortalamasını belirleyin. Açık aralıklar durumunda, alt veya üst aralığın değeri, onlara bitişik aralıkların boyutuna göre belirlenir.

Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşıktır.

Örnek 3... Akşam öğrencilerinin ortalama yaşını belirleyin.

Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşıktır. Yaklaşımlarının derecesi, aralık içindeki nüfus birimlerinin gerçek dağılımının tekdüze yaklaşma derecesine bağlıdır.

Ortalamalar hesaplanırken sadece mutlak değerler değil, bağıl değerler de (frekans) ağırlık olarak kullanılabilir.

içindeki her insan modern dünya Kış için kredi çekmeyi veya sebze stoklamayı planlarken, periyodik olarak "ortalama değer" gibi bir kavramla karşılaşır. Ne olduğunu, hangi türleri ve sınıfları olduğunu ve neden istatistik ve diğer disiplinlerde kullanıldığını öğrenelim.

Ortalama - bu nedir?

Benzer bir ad (SV), herhangi bir nicel değişken özelliği tarafından belirlenen bir dizi homojen fenomenin genelleştirilmiş bir özelliğidir.

Ancak bu kadar muğlak tanımlardan uzak insanlar bu kavramı ortalama bir miktar olarak anlarlar. Örneğin bir banka çalışanı kredi çekmeden önce mutlaka soracaktır. potansiyel müşteri yıl için ortalama gelir, yani bir kişinin kazandığı toplam para miktarı hakkında veri sağlar. Tüm yıl için kazançlar toplanarak ve ay sayısına bölünerek hesaplanır. Böylece banka, müşterisinin borcunu zamanında ödeyip ödeyemeyeceğini belirleyebilecektir.

Neden kullanılır?

Kural olarak, kitlesel nitelikteki belirli sosyal fenomenlerin özet bir tanımını vermek için ortalamalar yaygın olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte kredi durumunda olduğu gibi daha küçük ölçekli hesaplamalar için de kullanılabilirler.

Bununla birlikte, çoğu zaman, ortalamalar hala küresel amaçlar için kullanılmaktadır. Bunlardan bir örnek, vatandaşların bir takvim ayı boyunca tükettiği elektrik miktarının hesaplanmasıdır. Elde edilen verilere dayanarak, gelecekte, devletten yararlanan nüfus kategorileri için maksimum normlar belirlenir.

Ayrıca, ortalama değerler yardımıyla, belirli garanti hizmet ömrü Ev aletleri, arabalar, binalar vb. Bu şekilde toplanan verilere dayanarak, bir zamanlar modern çalışma ve dinlenme standartları geliştirildi.

Aslında, büyük bir doğaya sahip modern yaşamın herhangi bir fenomeni, şu ya da bu şekilde, söz konusu kavramla zorunlu olarak ilişkilidir.

Uygulamalar

Bu fenomen, hemen hemen tüm kesin bilimlerde, özellikle deneysel niteliktekilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Tıpta, mühendislikte, yemek pişirmede, ekonomide, politikada ve daha pek çok alanda ortalama bulmak çok önemlidir.

Bu tür genellemelerden elde edilen verilere dayalı olarak tedavi edici ilaçlar, eğitim programları geliştirilmekte ve minimum yaşam maliyeti ve maaşlar, eğitim programları oluşturun, mobilya, giysi ve ayakkabı, hijyen malzemeleri ve çok daha fazlasını üretin.

Matematikte bu terime "ortalama değer" denir ve kararları uygulamak için kullanılır. çeşitli örnekler ve görevler. Bunların en basiti, düzenli kesirlerle toplama ve çıkarmadır. Sonuçta, bildiğiniz gibi, çözmek için benzer örnekler her iki fraksiyonu da getirmek gerekir ortak payda.

Ayrıca, kesin bilimlerin kraliçesinde, "ortalama değer" terimi rastgele değişken". Çoğu kişi buna daha çok olasılık teorisinde düşünülen "matematiksel beklenti" olarak aşinadır. İstatistiksel hesaplamalar yapılırken de benzer bir olgunun uygulandığına dikkat edilmelidir.

İstatistiklerde ortalama değer

Bununla birlikte, çoğu zaman çalışılan kavram istatistikte kullanılır. Bildiğiniz gibi, bu bilimin kendisi hesaplama ve analizde uzmanlaşmıştır. nicel özellikler kitlesel sosyal fenomenler. Bu nedenle, istatistiklerdeki ortalama değer, ana görevlerini - bilgi toplama ve analizi - gerçekleştirmek için özel bir yöntem olarak kullanılır.

Bu istatistiksel yöntemin özü, söz konusu özelliğin bireysel benzersiz değerlerini belirli bir dengeli ortalama ile değiştirmektir.

Ünlü yemek şakası buna bir örnektir. Bu nedenle, Salı günleri öğle yemeği için belirli bir fabrikada, patronları genellikle etli güveç ve sıradan işçiler - haşlanmış lahana yer. Bu verilere dayanarak, tesis personelinin salı günleri ortalama olarak lahana ruloları yediği sonucuna varabiliriz.

Rağmen verilen örnek biraz abartılı, ancak, ortalama bir değer arama yönteminin ana dezavantajını gösterir - nesnelerin veya kişilerin bireysel özelliklerini seviyelendirme.

Ortalama değerler, yalnızca toplanan bilgileri analiz etmek için değil, aynı zamanda daha ileri eylemleri planlamak ve tahmin etmek için de kullanılır.

Ayrıca elde edilen sonuçları da değerlendirir (örneğin, ilkbahar-yaz sezonu için buğday yetiştirme ve hasat planının uygulanması).

Doğru nasıl hesaplanır

SV'nin türüne bağlı olarak, hesaplanması için farklı formüller olmasına rağmen, genel istatistik teorisinde, kural olarak, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için yalnızca bir yöntem kullanılır. Bunu yapmak için önce tüm fenomenlerin değerlerini bir araya getirmeli ve ardından ortaya çıkan toplamı sayılarına bölmelisiniz.

Bu tür hesaplamaları yaparken, ortalama değerin her zaman popülasyonun bireysel birimi ile aynı boyuta (veya birimlere) sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.

Doğru hesaplama için koşullar

Yukarıda ele alınan formül çok basit ve evrenseldir, bu nedenle hata yapmak neredeyse imkansızdır. Ancak, her zaman iki yönü dikkate almaya değer, aksi takdirde elde edilen veriler gerçek durumu yansıtmaz.

Sınıflar CB

Temel sorulara cevap bulduktan sonra: "Ortalama değer nedir?", "Nerede kullanılır?" ve "Bunu nasıl hesaplayabilirsiniz?", hangi sınıfların ve CB türlerinin bulunduğunu bulmaya değer.

Her şeyden önce, bu fenomen 2 sınıfa ayrılmıştır. Bunlar yapısal ve güç yasası ortalamalarıdır.

Güç yasası SV türleri

Yukarıdaki sınıfların her biri sırayla türlere ayrılmıştır. Derece sınıfı dört kişiliktir.

• Aritmetik ortalama, en yaygın CB türüdür. Veri toplamında dikkate alınan özelliğin toplam hacminin, verilen toplamın tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtıldığını belirleyen ortalama terimdir.

  Bu tür alt türlere ayrılmıştır: basit ve ağırlıklı aritmetik SV.

• Harmonik ortalama, dikkate alınan özelliğin karşılıklılığından hesaplanan aritmetik ortalamanın karşılığıdır.

  Niteliğin ve ürünün bireysel değerlerinin bilindiği ancak frekans verilerinin bilinmediği durumlarda kullanılır.

• Geometrik ortalama, çoğunlukla ekonomik olayların büyüme oranlarının analizinde kullanılır. Çalışmanın değişmeden kalmasını sağlar. bireysel değerler miktar değil, belirli bir değer.

  Ayrıca basit ve dengeli olabilir.

• Kök ortalama kare değeri, üretim ritmini karakterize eden varyasyon katsayısı gibi göstergelerin bireysel göstergelerinin hesaplanmasında kullanılır.

  Ayrıca boruların, tekerleklerin ortalama çaplarını, bir karenin ortalama kenarlarını ve benzeri şekilleri hesaplar.

  Diğer tüm ortalama SV türleri gibi, kök ortalama kare basit ve ağırlıklıdır.

Yapısal miktar türleri

Ortalama SV'ye ek olarak, yapısal türler genellikle istatistikte kullanılır. Değişen özniteliğin değerlerinin göreli özelliklerini hesaplamak için daha uygundurlar ve iç yapı dağıtım serisi.

Böyle iki tip var.

Ortalama(matematik ve istatistikte) bir sayı kümesi, sayılarına bölünen tüm sayıların toplamıdır. Merkezi eğilimin en yaygın ölçülerinden biridir.

Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalama ile birlikte) önerildi.

Aritmetik ortalamanın özel durumları, ortalama (genel popülasyonun) ve örnek ortalamadır (örnekler).

Tanıtım

Veri setini belirtiyoruz x = (x 1 , x 2 , …, x n), sonra örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), “ olarak telaffuz edilir x bir çizgi ile ").

Yunan harfi μ, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ, olasılıklı ortalama veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. eğer küme x bir kümedir rastgele sayılar olasılıklı bir ortalama μ ile, daha sonra herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ = E ( x ben) bu örneğin matematiksel beklentisidir.

Pratikte, μ ve x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır, çünkü popülasyonun tamamından ziyade örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, örnek rastgele sunulursa (olasılık teorisi açısından), x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ama μ değil) örnek üzerinde bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir. (ortalamanın olasılık dağılımı).

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:

X ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ toplam _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)))

Eğer x rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti x bir miktarın tekrarlanan ölçümlerinde değerlerin aritmetik ortalaması olarak kabul edilebilir x... Bu, büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, örnek ortalama, bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılır.

Temel cebirde ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. n+ 1 sayı ortalamanın üzerinde n sayılar, yalnızca yeni sayı eski ortalamadan büyükse ve yalnızca yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmezse daha az olur. Daha fazla n, yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçükse.

Güç ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı ortalamalar (örneğin, ağırlıklı aritmetik ortalama, ağırlıklı geometrik ortalama, ağırlıklı harmonik ortalama) dahil olmak üzere birkaç başka "ortalama" değeri olduğunu unutmayın.

Örnekleri

• Üç sayı için onları ekleyin ve 3'e bölün:

• Dört sayıyı toplayın ve 4'e bölün:

Veya daha basitçe 5 + 5 = 10, 10: 2. 2 sayı eklediğimiz için yani kaç sayı topladığımızı o kadar çok sayıya böldük.

Sürekli rastgele değişken

Sürekli olarak dağıtılmış bir miktar f (x) (\ displaystyle f (x)) için, segment [a; b] (\ displaystyle) belirli integral cinsinden tanımlanır:

F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x)dx)

Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Aritmetik ortalama genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılmasına rağmen, bu kavram sağlam istatistikler için geçerli değildir; bu, aritmetik ortalamanın aşağıdakilere tabi olduğu anlamına gelir. güçlü etki"Büyük sapmalar". Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için, aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden elde edilen ortalama değerlerin (örneğin, medyan) merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir.

Klasik bir örnek, ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın geliri bu sayıya yakın olacak şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpıtır (aksine, medyan gelir böyle bir şeye "direnir".) bir önyargı). Ancak, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modsal gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez). Bununla birlikte, "ortalama" ve "insanların çoğunluğu" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu gibi yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Medine, Washington'daki tüm sakinlerin yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan “ortalama” net gelir raporu, şaşırtıcı bir şekilde sonuç verecektir. Büyük sayı Bill Gates yüzünden. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.

Bileşik faiz

eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak, aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay, finanstaki yatırım getirisini hesaplarken ortaya çıkar.

Örneğin, hisse senetleri ilk yıl %10 düşerken ikinci yıl %30 arttıysa bu iki yıldaki “ortalama” artışı aritmetik ortalama (-10% + %30) olarak hesaplamak yanlış olur. / 2 = %10; bu durumda doğru ortalama değer, yıllık büyümenin yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 olduğu kümülatif yıllık büyüme oranı ile verilir.

Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç ​​noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha az bir sayıdan: hisse senedi başlangıçta 30 dolardı ve %10 düştüyse, ikinci yılın başında 27 dolardır. Hisse %30 yükselirse, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerinde. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10 ama stok 2 yılda sadece 5,1 dolar olduğu için ortalama %8,2'lik bir artış 35.1 dolarlık nihai sonucu veriyor:

[30$ (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30$ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1$]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak, gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36,3$].

2. Yıl sonundaki bileşik: %90 * %130 = toplam %17'lik bir artış için %117 ve %117'lik bir CAGR ≈ %108,2 (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ yaklaşık %108,2 \% ) yani yıllık ortalama %8,2 büyüme.

Talimatlar

Döngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (örneğin faz veya açı) aritmetik ortalamasını hesaplarken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1 ° ve 359 ° ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 ° olur. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.

• İlk olarak, açısal standartlar yalnızca 0 ° ila 360 ° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Böylece, aynı sayı çifti (1 ° ve -1 °) veya (1 ° ve 719 °) olarak yazılabilir. Her çiftin ortalaması farklı olacaktır: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
• İkinci olarak, bu durumda, sayılar 0 ° 'den diğer herhangi bir değerden daha az saptığından (0 ° en az varyansa sahiptir) 0 ° (360 °'ye eşdeğer) geometrik olarak daha iyi ortalama olacaktır. Karşılaştırmak:
  • 1 ° sayısı 0 ° 'den yalnızca 1 ° sapar;
  • 1 ° sayısı, hesaplanan 180 ° ortalamasından 179 ° sapar.

Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamadan sayısal aralığın ortasına doğru yapay olarak kaydırılacaktır. Bu nedenle, ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani en az varyansa sahip sayı ( Merkez noktası). Ayrıca, çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1 ° ile 359 ° arasındaki modüler mesafe 358 ° değil 2 °'dir (359 ° ile 360 ​​° arasındaki bir daire üzerinde == 0 ° - bir derece, 0 ° ile 1 ° arasında - ayrıca toplamda 1 ° - 2 °).

4.3. Ortalama değerler. Ortalamaların özü ve önemi

Ortalama istatistikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyonun birimi başına değişken bir özelliğin değerini yansıtan, belirli yer ve zaman koşullarında bir fenomenin tipik seviyesini karakterize eden genelleştirici bir gösterge denir. Ekonomik uygulamada, ortalamalar olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Örneğin, bir anonim şirketin (JSC) çalışanlarının gelirinin genelleştirici bir göstergesi, fon oranı ile belirlenen bir işçinin ortalama geliridir. ücretler ve AO'daki işçi sayısına incelenen dönem için (yıl, çeyrek, ay) sosyal ödemeler.

Ortalamanın hesaplanması yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama incelenen popülasyonun tüm birimleri için tipik (tipik) olan ortak olanı yansıtır, aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını göz ardı eder. Her fenomende ve gelişiminde bir kombinasyon vardır. kazalar ve gereklilik. Ortalamaları hesaplarken, büyük sayılar yasasının etkisi nedeniyle, şanslar iptal edilir, dengelenir, bu nedenle, fenomenin önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda niteliğin nicel değerlerinden soyutlanabilir. Bireysel değerlerin rastgeleliğinden, dalgalanmalardan ve ortalamaların bilimsel değerinden şu şekilde soyutlama yeteneği. genelleme agregaların özellikleri.

Genellemeye ihtiyaç duyulduğunda, bu tür özelliklerin hesaplanması, özelliğin birçok farklı bireysel değerinin değiştirilmesine yol açar. ortalama bireysel fenomenlerde görünmeyen kitlesel sosyal fenomenlerde var olan kalıpları tanımlamayı mümkün kılan, fenomenlerin bütünlüğünü karakterize eden bir gösterge.

Ortalama, incelenen fenomenin karakteristik, tipik, gerçek seviyesini yansıtır, bu seviyeleri ve bunların zaman ve mekandaki değişimlerini karakterize eder.

Ortalama, gerçekleştiği koşullardaki sürecin düzenliliklerinin özet bir özelliğidir.

4.4. Ortalama türleri ve nasıl hesaplanacağı

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ekonomik içeriği ve ilk veriler tarafından belirlenir. Her durumda, ortalama değerlerden biri uygulanır: aritmetik, garmonik, geometrik, ikinci dereceden, kübik vesaire. Listelenen ortalamalar sınıfa aittir Güç yasası orta.

Kuvvet yasası ortalamalarına ek olarak, istatistiksel uygulamada mod ve medyan olarak kabul edilen yapısal ortalamalar kullanılır.

Güç ortalamaları üzerinde daha ayrıntılı duralım.

Aritmetik ortalama

En yaygın ortam türü, ortalama aritmetik. Tüm popülasyon için değişken bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin özelliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal fenomenler, değişen özniteliğin hacimlerinin toplamı (toplaması) ile karakterize edilir, bu, aritmetik ortalamanın uygulama alanını belirler ve yaygınlığını genel bir gösterge olarak açıklar, örneğin: toplam ücret fonu toplamıdır. tüm işçilerin ücretleri, brüt hasat, tüm ekim alanından üretilen ürünlerin toplamıdır.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için, tüm nitelik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir.

Aritmetik ortalama formda uygulanır basit ortalama ve ağırlıklı ortalama. Başlangıç, tanımlayıcı form basit ortalamadır.

basit aritmetik ortalama ortalama özniteliğin bireysel değerlerinin, bu değerlerin toplam sayısına bölünmesiyle elde edilen basit toplamına eşittir (özelliğin gruplanmamış bireysel değerlerinin olduğu durumlarda kullanılır):

nerede
- değişkenin bireysel değerleri (seçenekler); m - popülasyondaki birim sayısı.

Ayrıca, formüllerde toplama limitleri belirtilmeyecektir. Örneğin, 15 işçinin her birinin kaç parça yaptığını biliyorsanız, bir işçinin (çilingir) ortalama çıktısını bulmanız gerekir, yani. özelliğin bir takım bireysel değerleri verilmiştir, parçalar:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Basit aritmetik ortalama formül (4.1) ile hesaplanır, 1 parça:

Farklı sayıda tekrarlanan veya dedikleri gibi farklı ağırlıklara sahip seçeneklerin ortasına denir. ağırlıklı. Ağırlıklar, popülasyonun farklı gruplarındaki birimlerin sayılarıdır (aynı seçenekler bir grupta birleştirilir).

ağırlıklı aritmetik ortalama- gruplandırılmış değerlerin ortalaması, - aşağıdaki formülle hesaplanır:

, (4.2)

nerede
- ağırlık (aynı işaretlerin tekrarlanma sıklığı);

- özelliklerin büyüklüklerinin ürünlerinin frekanslarına göre toplamı;

- popülasyondaki toplam birim sayısı.

Yukarıda ele alınan örneği kullanarak aritmetik ağırlıklı ortalamayı hesaplama tekniğini göstereceğiz. Bunu yapmak için, ilk verileri gruplayacağız ve tabloya yerleştireceğiz. 4.1.

Tablo 4.1

Parça üretimi için işçi dağılımı

(4.2) formülüne göre, aritmetik ağırlıklı ortalama, adet .:

Bazı durumlarda, ağırlıklar sunulmayabilir mutlak değerler, ancak göreceli (bir birimin yüzdesi veya kesirleri olarak). Ardından aritmetik ağırlıklı ortalama formülü şöyle görünecektir:

nerede
- özel, yani tüm frekansların toplamında her frekansın payı

Frekanslar kesirlerle (katsayılar) hesaplanırsa, o zaman
= 1 ve aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şudur:

Grup ortalamalarından ağırlıklı aritmetik ortalamanın hesaplanması formüle göre gerçekleştirilir:

,

nerede F- her gruptaki birim sayısı.

Grup ortalamalarının aritmetik ortalamasının hesaplanmasının sonuçları tabloda sunulmaktadır. 4.2.

Tablo 4.2

Ortalama hizmet süresine göre çalışanların dağılımı

Bu örnekte, seçenekler, bireysel çalışanların hizmet süresine ilişkin bireysel veriler değil, her bir atölye için ortalamadır. Terazi F dükkanlardaki işçi sayısıdır. Dolayısıyla, işletme genelinde çalışanların ortalama iş deneyimi, yıllar olacaktır:

.

Dağılım serilerinde aritmetik ortalamanın hesaplanması

Ortalaması alınan özelliğin değerleri, aralıklar ("den - to") şeklinde belirtilirse, yani. aralık dağılım serisi, daha sonra aritmetik ortalama hesaplanırken, bu aralıkların orta noktaları, gruplardaki özniteliklerin değerleri olarak alınır ve bunun sonucunda ayrı bir dizi oluşur. Aşağıdaki örneği inceleyin (Tablo 4.3).

Aralık değerlerini ortalama değerleriyle değiştirerek aralık serisinden ayrık olana geçiyoruz / (basit ortalama

Tablo 4.3

JSC çalışanlarının aylık ücret düzeyine göre dağılımı

açık aralıkların (ilk ve son) değerleri, onlara bitişik aralıklara (ikinci ve sondan bir önceki) koşullu olarak eşittir.

Ortalamanın böyle bir hesaplanmasıyla, öznitelik birimlerinin grup içindeki dağılımının tekdüzeliği hakkında bir varsayım yapıldığından, bazı yanlışlıklara izin verilir. Ancak, aralık ne kadar darsa ve aralıktaki birim ne kadar fazlaysa, hata o kadar küçüktür.

Aralıkların orta noktaları bulunduktan sonra, hesaplamalar ayrık seridekiyle aynı şekilde yapılır - seçenekler frekanslarla (ağırlıklar) çarpılır ve çarpımların toplamı frekansların (ağırlıkların) toplamına bölünür. , bin ruble:

.

Yani, AO çalışanları için ortalama ücret seviyesi 729 ruble. her ay.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması genellikle zaman alıcı ve emek yoğundur. Bununla birlikte, bazı durumlarda, ortalamayı hesaplama prosedürü, özellikleri kullanılarak basitleştirilebilir ve kolaylaştırılabilir. Aritmetik ortalamanın bazı temel özelliklerini (kanıtsız) sunalım.

Mülk 1. Bir özelliğin tüm bireysel değerleri (örn. tüm seçenekler) azaltın veya artırın benkez, ardından ortalama yeni özellik buna göre azalacak veya artacaktır. benbir Zamanlar.

Mülkiyet 2. Ortalaması alınan özelliğin tüm varyantları azalırsaA sayısı kadar dikin veya artırın, ardından aritmetik ortalama karşılık geliraslında aynı A sayısı kadar azalacak veya artacaktır.

Mülk 3. Tüm ortalama seçeneklerin ağırlıkları azaltılırsa veya artış NS kez, aritmetik ortalama değişmeyecektir.

Mutlak göstergeler yerine, ortalamanın ağırlıkları olarak kullanabilirsiniz. belirli ağırlıklar toplamda (hisseler veya yüzdeler). Bu, ortalamanın hesaplanmasını kolaylaştırır.

Ortalamanın hesaplanmasını basitleştirmek için, değişkenlerin ve frekansların değerlerini azaltma yolunu izlerler. En büyük sadeleştirme şu şekilde sağlanır: A aralığın değeri (eşit aralıklı satırlar için) olduğundan, en yüksek frekansa sahip merkezi değişkenlerden birinin değeri seçilir. A miktarına orijin denir, bu nedenle bu ortalamayı hesaplama yöntemine "koşullu sıfırdan sayma yöntemi" veya "Anların yolu."

Diyelim ki tüm seçenekler NSönce aynı A sayısı kadar azaltılmış, sonra azaltılmış ben bir Zamanlar. Yeni seçeneklerin dağılımının yeni bir varyasyon serisini alıyoruz .

Sonra yeni seçenekler ifade edilecektir:

,

ve yeni aritmetik ortalamaları , -ilk sipariş anı-formül:

.

İlk önce azaltılmış orijinal seçeneklerin ortalamasına eşittir. A, ve sonra ben bir Zamanlar.

Gerçek ortalamayı elde etmek için birinci dereceden bir momente ihtiyaç vardır. m 1 , çarpmak ben ve Ekle A:

.

Bu method bir dizi varyasyondan aritmetik ortalamanın hesaplanmasına denir. "Anların yolu." Bu yöntem eşit aralıklarla sıralar halinde uygulanır.

Moment yöntemiyle aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 4.4.

Tablo 4.4

2000 yılında bölgedeki küçük işletmelerin sabit kıymet değerine (OPF) göre dağılımı

İlk siparişin anını bulun

.

O halde, A = 19 alarak ve bunu bilerek ben= 2, hesapla NS, bin ruble.:

Ortalama türleri ve hesaplama yöntemleri

İstatistiksel işleme aşamasında, çözüm için uygun bir ortalamanın seçilmesi gereken çeşitli araştırma görevleri belirlenebilir. Bu durumda, aşağıdaki kurala göre hareket etmek gerekir: Ortalamanın payını ve paydasını temsil eden değerler mantıksal olarak ilişkili olmalıdır.

• güç ortalamaları;
• yapısal ortalamalar.

Aşağıdaki sözleşmeleri tanıtalım:

Ortalaması hesaplanan değerler;

Ortalama, yukarıdaki satır tek tek değerlerin ortalamasının alındığını gösterir;

Frekans (bir özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlanabilirliği).

Genel güç ortalaması formülünden çeşitli ortalamalar elde edilir:

(5.1)

k = 1 için - aritmetik ortalama; k = -1 - ortalama harmonik; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - kök ortalama kare.

Ortalama değerler basit ve ağırlıklıdır. ağırlıklı ortalamalarözelliğin değerleri için bazı seçeneklerin farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her seçeneğin bu sayı ile çarpılması gerektiğini dikkate alan değerleri çağırırlar. Başka bir deyişle, "ağırlıklar", popülasyonun farklı gruplardaki birimlerinin sayılarıdır, yani. her seçenek frekansına göre "ağırlıklandırılmıştır". Frekans f denir istatistiksel ağırlık veya ortalama ağırlık.

Aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Ortalama terimi almak istediğiniz gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, alındığında bir özelliğin toplam hacminin değişmeden kaldığı bir özelliğin böyle bir ortalama değeridir.

Aritmetik ortalama formülü ( basit) formu var

burada n nüfus büyüklüğüdür.

Örneğin, bir işletmenin çalışanlarının ortalama ücreti, aritmetik ortalama olarak hesaplanır:

Buradaki belirleyici göstergeler, her bir çalışanın ücreti ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalamayı hesaplarken, toplam ücret miktarı aynı kaldı, ancak sanki tüm işçiler arasında eşit olarak dağıtıldı. Örneğin, 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirkette çalışanların ortalama maaşını hesaplamanız gerekir:

Ortalama değerler hesaplanırken, ortalaması alınan özniteliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, bu nedenle gruplandırılmış verilere göre ortalama değer hesaplanır. Bu durumda gelir kullanma hakkında ağırlıklı aritmetik ortalama formu olan

(5.3)

O halde bazı anonim şirketlerin borsa işlemlerindeki ortalama hisse fiyatını hesaplamamız gerekiyor. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştiği biliniyor, satılan hisse sayısı satış oranından şu şekilde dağıtıldı:

1 - 800 ac. - 1010 ruble.

2 - 650 ac. - 990 ruble.

3-700 ac. - 1015 ruble.

4 - 550 ac. - 900 ruble.

5 - 850 ac. - 1150 ruble.

Ortalama hisse fiyatını belirlemek için ilk oran, toplam işlem tutarının (OSS) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır.

İstatistiklerde ortalama değerler yaygındır. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Ortalama genellemelerden biridir. Ortalamanın özünün doğru bir şekilde anlaşılması, ortalamanın tek ve rastgele aracılığıyla genel ve gerekli olanı tanımlamayı, ekonomik yasaların eğilimini ortaya çıkarmayı mümkün kıldığı bir piyasa ekonomisi koşullarında özel önemini belirler. gelişim.

ortalama değer eylemlerin ifade edildiği genelleştirilmiş göstergelerdir. Genel Şartlar, çalışılan fenomenin kalıpları.

İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş bir kütle gözleminin (sürekli ve seçici) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücretleri hesaplar ve sonucu tüm nüfusa genişletirseniz, ortalama, heterojen bir nüfus üzerinden hesaplandığı için hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını kaybeder.

Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özniteliğin değerindeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur.

Örneğin, bir satış elemanının ortalama çıktısı birçok nedene bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.

Ortalama çıktı, tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.

Ortalama değer, incelenen özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, bu nedenle bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Her ortalama değer, herhangi bir kriter için çalışılan popülasyonu karakterize eder. Bir dizi temel özellik için incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, genel olarak, fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

Çeşitli ortalamalar vardır:

aritmetik ortalama;

geometrik ortalama;

ortalama harmonik;

Kök kare ortalama;

ortalama kronolojik.

İstatistiklerde en sık kullanılan bazı ortalama türlerini ele alalım.

Aritmetik ortalama

Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamına, bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.

Özelliğin bireysel değerlerine değişken denir ve x () ile gösterilir; popülasyondaki birim sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri ile gösterilir ... Bu nedenle, basit aritmetik ortalama:

Kesikli dağılım serisinin verilerine göre, özniteliğin (varyantların) aynı değerlerinin birkaç kez tekrarlandığı görülebilir. Yani, x seçeneği toplamda 2 kez ve seçenek x - 16 kez vb.

Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolü ile gösterilir.

Bir işçinin ortalama ücretini hesaplayalım ruble olarak:

Her işçi grubu için ücret faturası, seçeneklerin frekansa göre ürününe eşittir ve bu ürünlerin toplamı tüm işçilerin toplam ücret faturasını verir.

Buna göre, hesaplamalar genel bir biçimde sunulabilir:

Elde edilen formüle ağırlıklı aritmetik ortalama denir.

İşleme sonucunda elde edilen istatistiksel malzeme, yalnızca ayrık dağılım serileri şeklinde değil, aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralıklı varyasyon serileri şeklinde de sunulabilir.

Gruplandırılmış veriler için ortalamanın hesaplanması, aritmetik ağırlıklı ortalama formülüne göre yapılır:

İktisadi istatistik uygulamasında, bazen ortalamayı grup araçlarıyla veya nüfusun bireysel bölümleri aracılığıyla (özel araçlar) hesaplamak gerekir. Bu gibi durumlarda, toplam ortalamanın olağan ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplandığı temel alınarak grup veya kısmi ortalamalar seçenekler (x) olarak alınır.

Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .

Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:

1. x özniteliğinin her bir değerinin frekanslarındaki n kez bir azalma veya artıştan, aritmetik ortalamanın değeri değişmeyecektir.

Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, ortalamanın değeri değişmez.

2. Özelliğin bireysel değerlerinin ortak faktörü, ortalama işaretinden çıkarılabilir:

3. İki veya daha fazla değerin toplamının (farkının) ortalaması, ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:

4. x = c ise, burada c bir sabittir, o zaman
.

5. X özniteliğinin değerlerinin x aritmetik ortalamasından sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:

Ortalama harmonik.

Aritmetik ortalama ile birlikte, istatistikler, özelliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığı olan harmonik ortalamayı kullanır. Aritmetik ortalama gibi, basit ve ağırlıklı olabilir.

Ortalama ile birlikte varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.

Moda - Bu, çalışılan popülasyonda en sık tekrarlanan bir özelliğin (seçenek) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip varyantın değeri olacaktır.

Eşit aralıklı aralıklı dağılım serisi için mod, aşağıdaki formülle belirlenir:

nerede
- modu içeren aralığın ilk değeri;

- mod aralığının değeri;

- mod aralığının sıklığı;

- moddan önceki aralığın sıklığı;

kipi izleyen aralığın frekansıdır.

Medyan - bu, varyasyon serisinin ortasında bulunan bir varyanttır. Dağılım serisi kesikliyse ve tek sayıda üyeye sahipse, medyan sıralı satırın ortasında yer alan seçenek olacaktır (sıralı bir satır, popülasyon birimlerinin artan veya azalan düzende düzenlenmesidir).

Ortalamanın hesaplanmasında kaybolur.

Ortalama anlam sayılar kümesi S sayılarının toplamının bu sayıların sayısına bölünmesine eşittir. Yani, ortaya çıkıyor ortalama anlam eşittir: 19/4 = 4.75.

Not

Yalnızca iki sayının geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, mühendislik hesaplayıcısına ihtiyacınız yoktur: ikinci derecenin kökünü çıkarın ( Kare kök) en yaygın hesap makinesini kullanarak herhangi bir sayıdan.

faydalı tavsiye

Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, incelenen gösterge setindeki bireysel değerler arasındaki büyük sapmalardan ve dalgalanmalardan çok fazla etkilenmez.

Kaynaklar:

• Geometrik ortalama çevrimiçi hesaplayıcı
• ortalama geometrik formül

Ortalama değer, bir sayı kümesinin özelliklerinden biridir. Bu sayı kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerle tanımlanan aralığın dışında olamayacak bir sayıyı temsil eder. Ortalama aritmetik, en yaygın kullanılan ortalama türüdür.

Talimatlar

Aritmetik ortalamayı elde etmek için kümedeki tüm sayıları toplayın ve terim sayısına bölün. Hesaplamanın özel koşullarına bağlı olarak, sayıların her birini kümedeki değer sayısına bölmek ve sonucu toplamak bazen daha kolaydır.

Örneğin, aritmetik ortalamayı kafanızda hesaplamak mümkün değilse, Windows'ta bulunanı kullanın. Program başlatma iletişim kutusunu kullanarak açabilirsiniz. Bunu yapmak için "kısayol tuşlarına" WIN + R basın veya "Başlat" düğmesine tıklayın ve ana menüde "Çalıştır" komutunu seçin. Ardından giriş alanına calc yazın ve Enter'a basın veya Tamam düğmesini tıklayın. Aynısı ana menüden de yapılabilir - açın, "Tüm programlar" bölümüne ve "Standart" bölümüne gidin ve "Hesap Makinesi" satırını seçin.

Setteki tüm sayıları, her birinin ardından (sonuncusu hariç) Artı tuşuna basarak veya hesap makinesi arayüzünde ilgili düğmeye tıklayarak sırayla girin. Sayıları hem klavyeden hem de arayüzdeki ilgili düğmelere tıklayarak da girebilirsiniz.

Kümenin son değerini girdikten sonra eğik çizgi tuşuna basın veya hesap arayüzünde buna tıklayın ve dizideki sayı sayısını yazın. Ardından eşittir işaretine basın, hesap makinesi aritmetik ortalamayı hesaplayacak ve gösterecektir.

Aynı amaç için Microsoft Excel elektronik tablo düzenleyicisini kullanabilirsiniz. Bu durumda, düzenleyiciyi başlatın ve bitişik hücrelere sayı dizisinin tüm değerlerini girin. Her sayıyı girdikten sonra Enter'a veya aşağı veya sağ ok tuşuna basarsanız, düzenleyicinin kendisi giriş odağını bitişik hücreye taşır.

Yalnızca aritmetik ortalamayı görmekten memnun değilseniz, son girilen sayının yanındaki hücreye tıklayın. Açılır menüyü "Ana Sayfa" sekmesindeki Yunanca sigma (Σ) komutu "Düzenle" ile genişletin. " satırını seçin Ortalama"Ve editör, ortalamayı hesaplamak için gerekli formülü ekleyecektir. aritmetik değer vurgulanan hücreye girin. Enter tuşuna basın ve değer hesaplanacaktır.

Aritmetik ortalama, matematik ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilimin ölçülerinden biridir. Birkaç değerin aritmetik ortalamasını bulmak çok kolaydır, ancak her görevin doğru hesaplamaları gerçekleştirmek için bilinmesi gereken kendi nüansları vardır.

aritmetik ne demek

Aritmetik ortalama nasıl bulunur

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

1. Standart yöntemle toplam aritmetik ortalamanın bulunması;
2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma.
3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması.

Eylemlerin her birine verilen yanıtlar virgülle ayrılarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

ile çalışırken doğal kesirler dizideki sayıların sayısıyla çarpılan ortak bir paydaya indirgenmeleri gerekir. Cevabın payı, orijinal kesirli elemanların verilen paylarının toplamı olacaktır.

• Mühendislik hesap makinesi.

Talimatlar

unutmayın ki Genel dava ortalama geometrik sayılar bu sayıların çarpılması ve sayıların sayısına karşılık gelen kuvvetin kökünün çıkarılmasıyla bulunur. Örneğin, beş sayının geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, çarpımdan gücün kökünü çıkarmanız gerekecektir.

İki sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı kullanın. Çarpımlarını bulun ve ardından sayıları iki olduğundan, kökün gücüne karşılık gelen karekökü çıkarın. Örneğin, 16 ve 4'ün geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını 16 4 = 64'ü bulun. Ortaya çıkan sayıdan, √64 = 8'in karekökünü çıkarın. Bu olacak gerekli değer... Bu iki sayının aritmetik ortalamasının 10'dan büyük ve 10'a eşit olduğuna dikkat edin. Kök tamamen çıkarılmamışsa, sonucu istenen sıraya yuvarlayın.

İkiden fazla sayının geometrik ortalamasını bulmak için de temel kuralı kullanın. Bunu yapmak için, geometrik ortalamasını bulmanız gereken tüm sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan üründen, sayıların sayısına eşit olan gücün kökünü çıkarın. Örneğin, 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını bulun. 2 4 64 = 512. Üç sayının geometrik ortalamasının sonucunu bulmanız gerektiğinden, üründen üçüncü derecenin kökünü çıkarın. Bunu sözlü olarak yapmak zordur, bu nedenle bir mühendislik hesap makinesi kullanın. Bunu yapmak için "x ^ y" düğmesi vardır. 512 numarasını çevirin, "x ^ y" düğmesine basın, ardından 3 sayısını çevirin ve 1/3 değerini bulmak için "1 / x" düğmesine basın, "=" düğmesine basın. 512'yi üçüncü kuvvetin köküne tekabül eden 1/3 kuvvetine yükseltmenin sonucunu elde ederiz. 512 ^ 1/3 = 8 olsun. Bu, 2.4 ve 64'ün geometrik ortalamasıdır.

Bir mühendislik hesaplayıcısı kullanarak geometrik ortalamayı farklı bir şekilde bulabilirsiniz. Klavyenizdeki günlük düğmesini bulun. Bundan sonra, sayıların her birinin logaritmasını alın, toplamlarını bulun ve sayı sayısına bölün. Ortaya çıkan sayıdan antilogaritmayı alın. Bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır. Örneğin, aynı sayıların 2, 4 ve 64 geometrik ortalamasını bulmak için hesap makinesinde bir dizi işlem yapın. 2 numarayı çevirin, ardından günlük düğmesine basın, "+" düğmesine basın, 4 numarayı çevirin ve günlük ve "+" düğmesine tekrar basın, 64'ü çevirin, günlük ve "="'e basın. Sonuç, 2, 4 ve 64 sayılarının ondalık logaritmalarının toplamına eşit bir sayı olacaktır. Elde edilen sayıyı 3'e bölün, çünkü bu geometrik ortalamanın arandığı sayıların sayısıdır. Sonuçtan, büyük/küçük harf düğmesini değiştirerek antilogaritmayı alın ve aynı günlük anahtarını kullanın. Sonuç 8 sayısı olacaktır, bu istenen geometrik ortalamadır.