İlk seviye

Geometrik ilerleme. Kapsamlı rehberörneklerle (2019)

sayı dizisi

O halde oturalım ve bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar olabilir (bizim durumumuzda, onlar). Ne kadar sayı yazarsak yazalım, hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani sonuncuya kadar, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

sayı dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir dizi sayıdır.

Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Başka bir deyişle, dizide üç saniyelik sayı yoktur. İkinci sayı (-inci sayı gibi) her zaman birdir.

Numaralı sayı, dizinin inci üyesi olarak adlandırılır.

Genellikle tüm diziye bir harf deriz (örneğin,) ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indekse sahip aynı harftir:.

Bizim durumumuzda:

En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta, ikinci tür hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.

Neden geometrik bir ilerlemeye ve onun başlangıç ​​tarihine ihtiyacımız var?

Eski zamanlarda bile, İtalyan matematikçi Leonardo of Pisa (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarını çözmekle meşguldü. Keşiş, malları en az hangi ağırlıklarla tartmanın mümkün olduğunu belirleme görevi ile karşı karşıya kaldı. Fibonacci yazılarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların geometrik bir ilerlemeyle yüzleşmek zorunda kaldıkları ilk durumlardan biridir, muhtemelen zaten duymuşsunuzdur ve en azından Genel kavram... Konuyu tam olarak anladıktan sonra, böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün?

Şu anda, yaşam pratiğinde, geometrik ilerleme Bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutar üzerinden faiz tahsil edildiğinde kendini gösterir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasında vadeli mevduata para koyarsanız, bir yıl içinde mevduat orijinal miktardan daha fazla artacaktır, yani. yeni miktar, depozito ile çarpımına eşit olacaktır. Başka bir yılda, bu miktar artacaktır, yani. o anda elde edilen miktar tekrar çarpılır ve bu böyle devam eder. Benzer bir durum sözde hesaplama problemlerinde açıklanmaktadır. bileşik faiz- yüzde, önceki faiz dikkate alınarak hesaptaki tutardan her seferinde alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.

Geometrik ilerlemenin kullanıldığı daha birçok basit durum vardır. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi bir kişiyi enfekte etti, sırayla başka bir kişiyi enfekte etti ve böylece ikinci enfeksiyon dalgası bir kişidir ve sırayla başka birine bulaştı ... vb. .

Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik bir ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Anlayalım.

Geometrik ilerleme.

Diyelim ki sayısal bir dizimiz var:

Kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adını hemen cevaplayacaksınız - aritmetik ilerlemeüyelerinin farkıyla. Buna ne dersin:

Bir öncekini bir sonraki sayıdan çıkarırsanız, her seferinde yeni bir fark elde edildiğini (vs.), ancak dizinin kesinlikle var olduğunu ve fark edilmesinin kolay olduğunu göreceksiniz - sonraki her sayı bir öncekinden kat daha büyüktür. bir!

Bu tür bir sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve ile gösterilir.

Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfır olmayan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit, aynı sayı ile çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Birinci terimin () eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki hiçbiri yok ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm .. hadi, o zaman çıkıyor:

Bunun artık herhangi bir ilerleme olmadığını kabul edin.

Anladığınız gibi, sıfırdan başka bir sayı ise aynı sonuçları alacağız ve. Bu durumlarda, tüm sayı serisi ya tamamen sıfırlar ya da bir sayı ve diğer tüm sıfırlar olacağından, basitçe bir ilerleme olmayacaktır.

Şimdi geometrik ilerlemenin paydası, yani Fr hakkında daha ayrıntılı konuşalım.

Tekrar edelim: bir sayıdır, sonraki her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.

Sizce ne olabilir? Doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).

Diyelim ki olumlu bir tane var. Bizim durumumuzda da olsun. İkinci terim ve nedir? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:

Her şey doğru. Buna göre, eğer ilerlemenin sonraki tüm üyeleri aynı işarete sahipse - onlar pozitif.

Ya olumsuz olursa? Örneğin, bir. İkinci terim ve nedir?

Bu tamamen farklı bir hikaye.

Bu ilerlemenin süresini saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Sahibim. Böylece, eğer öyleyse, geometrik ilerlemenin üyelerinin işaretleri değişir. Yani, üyelerinde değişen işaretlerle bir ilerleme görüyorsanız, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.

Şimdi biraz pratik yapalım: hangi sayı dizilerinin geometrik, hangilerinin aritmetik olduğunu belirlemeye çalışın:

Anlaşıldı? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

• Geometrik ilerleme - 3, 6.
• Aritmetik ilerleme - 2, 4.
• Ne aritmetik ne de geometrik ilerlemeler - 1, 5, 7.

Son ilerlememize dönelim ve terimini aritmetikte olduğu gibi bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi, onu bulmanın iki yolu var.

Her terimi art arda ile çarpıyoruz.

Böylece, açıklanan geometrik ilerlemenin inci üyesi eşittir.

Tahmin edebileceğiniz gibi, şimdi geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formül çıkaracaksınız. Yoksa adım adım inci üyeyi nasıl bulacağınızı açıklayarak zaten kendiniz için çıkardınız mı? Eğer öyleyse, akıl yürütmenizin doğruluğunu kontrol edin.

Bunu, belirli bir ilerlemenin inci üyesini bulma örneğiyle gösterelim:

Başka bir deyişle:

Belirli bir geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini kendi başınıza bulun.

Olmuş? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerlemenin her bir önceki terimiyle art arda çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tam olarak aynı sayıyı elde ettiğinize dikkat edin.
Bu formülü "personalize etmeye" çalışalım - onu genel bir forma getireceğiz ve şunu elde edeceğiz:

Türetilmiş formül, hem pozitif hem de negatif tüm değerler için doğrudur. Aşağıdaki koşullarla geometrik ilerlemenin üyelerini hesaplayarak kendiniz kontrol edin: a.

saydın mı? Elde edilen sonuçları karşılaştıralım:

Bir üye ile aynı şekilde ilerlemenin bir üyesini bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış sayma olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulmuşsak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha kolay ne olabilir.

Sonsuz azalan bir geometrik ilerleme.

Son zamanlarda, hem daha fazla hem de daha fazla olabileceği gerçeğinden bahsettik. Sıfırdan daha az Bununla birlikte, geometrik ilerleme olarak adlandırılan özel anlamlar vardır. sonsuz azalan.

Neden böyle bir isim düşünüyorsunuz?
İlk olarak, üyelerden oluşan bazı geometrik dizileri yazalım.
Diyelim ki, a, sonra:

Sonraki her terimin bir öncekinden tek çarpandan daha az olduğunu görüyoruz, peki herhangi bir sayı olacak mı? Hemen hayır cevabını vereceksiniz. Bu yüzden sonsuz azalan - azalır, azalır ve asla sıfır olmaz.

Görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla, bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:

Grafiklere bağımlılık oluşturmamız gelenekseldir, bu nedenle:

İfadenin özü değişmedi: ilk girişte, geometrik ilerleme üyesinin değerinin sıra sayısına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girişte, geometrik ilerleme teriminin değerini basitçe şu şekilde aldık ve sıra numarası nasıl değil, nasıl olarak belirlendi. Yapılması gereken tek şey bir grafik oluşturmak.
Bakalım ne alacaksın. İşte aldığım grafik:

Görmek? Fonksiyon azalır, sıfıra yönelir, ancak asla onu geçmez, bu nedenle sonsuz azalıyor. Noktalarımızı grafik üzerinde ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:

İlk terimi de eşitse, geometrik ilerleme grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz et, önceki grafiğimizden ne farkı var?

Becerebildin mi? İşte aldığım grafik:

Artık geometrik ilerleme temasının temellerini tamamen anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve ayrıca sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu biliyorsunuz, ana özelliğine geçelim.

Geometrik ilerlemenin özelliği.

Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin özelliklerini hatırlıyor musunuz? Evet, evet, belirli bir ilerlemenin üyelerinin önceki ve sonraki değerleri olduğunda, belirli bir ilerleme sayısının değeri nasıl bulunur. Hatırladı? Bu:

Şimdi, bir geometrik dizilimin üyeleri için tam olarak aynı soruyla karşı karşıyayız. Benzer bir formül elde etmek için çizime ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay ve unutursanız, kendi başınıza ortaya çıkarabilirsiniz.

Bildiğimiz ve bildiğimiz bir basit geometrik ilerlemeyi daha ele alalım. Nasıl bulunur? Aritmetik bir ilerleme ile bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında, geometrikte de karmaşık bir şey yoktur - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterlidir.

Soruyorsun ve şimdi bununla ne yapmalıyız? Çok basit. İlk olarak, bu formülleri şekilde göstereceğiz ve bir değere ulaşmak için onlarla çeşitli manipülasyonlar yapmaya çalışacağız.

Bize verilen sayılardan soyutlayacağız, sadece bir formülle ifade etmeye odaklanacağız. Vurgulanan değeri bulmamız gerekiyor Portakal komşularını tanımak. Onlarla yapmaya çalışalım çeşitli eylemler, bunun sonucunda elde edebiliriz.

İlave.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi bu ifadeden hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçenek deneyeceğiz - çıkarma.

Çıkarma.

Gördüğünüz gibi buradan da ifade edemiyoruz, bu yüzden bu ifadeleri birbiri ile çarpmaya çalışacağız.

Çarpma işlemi.

Şimdi, bulunması gerekenlerle karşılaştırıldığında bize verilen geometrik ilerlemenin üyelerini çarparak, elimizde ne olduğuna dikkatlice bakın:

Bil bakalım neden bahsediyorum? Bu doğru, bulmamız gereken Kare kök istenen sayıya bitişik olarak birbiriyle çarpılan geometrik ilerleme sayılarından:

Peki. Geometrik bir ilerlemenin özelliğini kendiniz çıkardınız. Bu formülü yazmaya çalışın Genel görünüm... Olmuş?

için koşulu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin, eğer kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olur? Bu doğru, formül şöyle göründüğü için tam bir saçmalık:

Buna göre, bu sınırlamayı unutmayın.

Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım

Doğru cevap - ! Hesaplarken ikinci olası değeri unutmadıysanız, o zaman harika bir adamsınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve unuttuysanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve neden her ikisini de yazmanız gerektiğine dikkat edin. cevapta kökler.

Her iki geometrik ilerlememizi çizelim - biri anlamlı, diğeri anlamlı ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:

Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için, verilen tüm üyeleri arasında aynı olup olmadığını görmek gerekir? Birinci ve ikinci durumlar için q hesaplayın.

Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü istenen terimin işareti pozitif veya negatif olmasına bağlıdır! Ve onun ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi ile yazmamız gerekiyor.

Artık ana noktalara hakim olduğunuza ve geometrik bir ilerleme, bulma, bilme ve bilme özelliğinin formülünü türettiğinize göre.

Alınan cevapları doğru olanlarla karşılaştırın:

Ne dersiniz, ya bize istenen sayıya bitişik olan geometrik ilerlemenin üyelerinin değerleri değil, ondan eşit uzaklıkta verilseydi. Örneğin, bulmamız gerekiyor ve verildi ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Bu olasılığı aynı şekilde onaylamaya veya reddetmeye çalışın, formülü ilk türetirken yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu yazın.
Ne yaptın?

Şimdi tekrar yakından bakın.
ve buna uygun olarak:

Bundan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin gerekli terimleriyle değil, aynı zamanda eşit uzaklıkta aranan üyelerden.

Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:

Yani, ilk durumda bunu söylediysek, şimdi daha küçük herhangi bir doğal sayıya eşit olabileceğini söylüyoruz. Ana şey, verilen her iki sayı için de aynı olmaktır.

üzerinde pratik yap özel örnekler, sadece son derece dikkatli olun!

1. ,. Bulmak.
2. ,. Bulmak.
3. ,. Bulmak.

Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalama fark etmişsinizdir.

Sonuçları karşılaştırıyoruz.

İlk iki durumda, yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri alırız:

Üçüncü durumda, bize verilen sayıların sıra sayılarını dikkatlice incelediğimizde, aradığımız sayıya eşit uzaklıkta olmadıklarını anlıyoruz: önceki sayıdır, ancak konumundan kaldırılmıştır, bu nedenle mümkün değildir. formülü uygulamak için.

Nasıl çözeceksin? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her bir sayının nelerden oluştuğunu ve gerekli sayının nelerden oluştuğunu sizinle birlikte yazalım.

Yani, biz var ve. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? bölmeyi teklif ediyorum. Alırız:

Verilerimizi aşağıdaki formülle değiştiriyoruz:

Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için almamız gereken kübik kökçıkan sayıdan.

Ve şimdi elimizdekilere bir kez daha bakıyoruz. Elimizde var, ama bulmamız gerekiyor ve o da şuna eşit:

Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde değiştirin:

Cevabımız: .

Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeye çalışın:
Verilen:,
Bulmak:

Ne kadar aldın? Sahibim - .

Gördüğünüz gibi, aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla-. Geri kalanını istediğiniz zaman zorluk çekmeden kendi başınıza çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, sadece bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazın ve yukarıdaki formüle göre sayılarının her birinin neye eşit olduğunu yazın.

Geometrik bir ilerlemenin üyelerinin toplamı.

Şimdi, belirli bir aralıkta bir geometrik ilerlemenin elemanlarının toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamıza izin veren formülleri düşünün:

Sonlu bir geometrik ilerlemenin üyelerinin toplamı formülünü elde etmek için, daha yüksek denklemin tüm kısımlarını ile çarparız. Alırız:

Dikkatlice bakın: son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, ortak üyeler, örneğin, ilk ve son üye hariç, vb. 2. denklemden 1.'yi çıkarmaya çalışalım. Ne yaptın?

Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:

İfadeyi gruplayın. Şunları almalısınız:

Yapılması gereken tek şey ifade etmek:

Buna göre, bu durumda.

Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarar? Geometrik bir ilerleme hayal edin. Neye benziyor? Doğru bir şekilde, sırasıyla bir dizi özdeş sayı, formül şöyle görünecektir:

Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemede birçok efsane var. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Seth efsanesidir.

Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında, onun zekasından ve olası pozisyonlarının çeşitliliğinden memnun kaldı. Onun deneklerinden biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu kişisel olarak ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve en maharetli arzusunu bile yerine getireceğine söz vererek ondan istediğini istemesini emretti.

Seta düşünmek için süre istedi ve ertesi gün Seta krala göründüğünde, isteğindeki benzersiz alçakgönüllülükle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının birinci hücresi için, ikinci buğday tanesi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için bir buğday tanesi vermesini istedi.

Kral sinirlendi ve hizmetçinin talebinin kraliyet cömertliğine layık olmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetçinin tahtadaki tüm hücreler için tahıllarını alacağına söz verdi.

Ve şimdi soru şu: Geometrik bir ilerlemenin üyelerinin toplamı için formülü kullanarak, Seta'nın kaç tane tahıl alması gerektiğini hesaplayın?

Mantık yürütmeye başlayalım. Duruma göre Seta satranç tahtasının birinci karesi için, ikincisi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vb. bir buğday tanesi istediğine göre, problemde bunu görüyoruz. gelir geometrik bir ilerleme hakkında. Bu durumda eşit olan nedir?
Doğru.

Satranç tahtasının toplam hücreleri. Sırasıyla, . Tüm verilere sahibiz, sadece onu formüle koymak ve hesaplamak için kalır.

Belirli bir sayının en azından yaklaşık olarak "ölçeklerini" temsil etmek için derecenin özelliklerini kullanarak dönüşüm yaparız:

Tabii dilerseniz bir hesap makinesi alıp sonunda hangi sayıyı alacağınızı hesaplayabilirsiniz ama değilse de benim sözüme güvenmeniz gerekecek: ifadenin nihai değeri şu olacak.
Yani:

kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.

Fuh) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, o zaman tahılın tamamını içermesi için ahırın ne kadar büyük olması gerektiğini tahmin edin.
Ahır yüksekliği m ve genişliği m olduğunda, uzunluğunun km kadar uzaması gerekir, yani. Dünya'dan Güneş'e olan mesafenin iki katı.

Çar matematikte güçlü olsaydı, bilim adamının taneleri kendisinin saymasını önerebilirdi, çünkü bir milyon taneyi saymak için en az bir gün yorulmadan saymaya ihtiyacı olacaktı ve kentilyonlarca saymanın gerekli olduğu düşünülürse, taneler olurdu. hayatı boyunca sayılmalıdır.

Şimdi bir geometrik ilerlemenin elemanlarının toplamı için basit bir problem çözelim.
5 A sınıfı bir öğrenci olan Vasya, grip oldu, ancak okula gitmeye devam ediyor. Her gün Vasya iki kişiye bulaşır, bu da sırayla iki kişiye daha bulaşır, vb. Sınıfta insanlar var. Bütün sınıf gripten kaç gün hastalanacak?

Yani geometrik ilerlemenin ilk üyesi Vasya, yani bir kişidir. geometrik ilerlemenin inci üyesi, bunlar gelişinin ilk gününde enfekte ettiği iki kişi. toplam tutar ilerleme üye sayısı 5A öğrenci sayısına eşittir. Buna göre, bir ilerlemeden bahsediyoruz:

Verilerimizi bir geometrik ilerlemenin üyelerinin toplamı için formüle koyalım:

Günler içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musun? Öğrencilerin "enfeksiyonunu" kendiniz tasvir etmeye çalışın. Olmuş? Benim için nasıl göründüğüne bakın:

Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta bir kişi varsa, öğrencilerin grip olmasının kaç gün süreceğini kendiniz hesaplayın.

Hangi değeri aldın? Herkesin bir gün sonra hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.

Gördüğünüz gibi, böyle bir görev ve ona çizim, her birinin yeni insanları “getirdiği” bir piramidi andırıyor. Ancak, er ya da geç, ikincisinin kimseyi çekemeyeceği bir an gelir. Bizim durumumuzda, sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatacaktır. Bu nedenle, eğer bir kişi başka iki katılımcıyı getirmeniz durumunda paranın verildiği bir finansal piramidin içinde yer aldıysa, o kişi (veya Genel dava) kimseyi yönlendirmezdi, bu nedenle, bu finansal aldatmacaya yatırdıkları her şeyi kaybederdi.

Yukarıda söylenen her şey azalan veya artan bir geometrik ilerlemeye atıfta bulunur, ancak hatırladığınız gibi, özel bir türümüz var - sonsuz azalan bir geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Ve neden bu tür bir ilerlemenin belirli özellikleri var? Gelin birlikte çözelim.

Öyleyse, önce, örneğimizden sonsuzca azalan geometrik ilerlemenin bu şekline tekrar bakalım:

Şimdi biraz daha önce elde edilen geometrik ilerlemenin toplamı için formüle bakalım:
veya

Ne için çabalıyoruz? Bu doğru, grafik sıfıra eğilimli olduğunu gösteriyor. Yani, sırasıyla hemen hemen eşit olacaktır, ifadeyi hesaplarken neredeyse elde ederiz. Bu bağlamda, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı hesaplanırken, eşit olacağı için bu parantezin ihmal edilebileceğine inanıyoruz.

- formül, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.

ÖNEMLİ! Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü, yalnızca koşul açıkça toplamı bulmamız gerektiğini belirtiyorsa kullanırız. sonsuzÜye sayısı.

Belirli bir n sayısı belirtilirse, veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.

Şimdi pratik yapalım.

1. ve ile bir geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
2. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını ve ile bulun.

Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı. Sınavda karşılaşılan en yaygın üstel problemler bileşik faiz problemleridir. Onlar hakkında konuşacağız.

Bileşik faizi hesaplama görevleri.

Bileşik faiz formülünü muhtemelen duymuşsunuzdur. Ne demek istediğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini fark ettiğinizde hemen anlayacaksınız ve işte geometrik bir ilerleme.

Hepimiz bankaya gidiyoruz ve orada olduğunu biliyoruz. farklı koşullar mevduat üzerinde: bu terim ve ek hizmet ve iki ile yüzde Farklı yollar tahakkuk etmesi basit ve karmaşıktır.

İLE BİRLİKTE basit ilgi her şey az ya da çok açıktır: faiz, mevduat süresinin sonunda bir kez hesaplanır. Yani, bir yıl için 100 ruble koyduğumuzu söylersek, sadece yıl sonunda kredilendirilirler. Buna göre, mevduatın sonunda ruble alacağız.

Bileşik faiz- bu, içinde bulunduğu seçenek faizin kapitalizasyonu, yani mevduat tutarına eklenmeleri ve sonraki gelir hesaplaması başlangıçtan değil, mevduatın birikmiş miktarından. Büyük harf kullanımı sürekli değil, belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, çeyrek veya yıl kullanır.

Diyelim ki aynı rubleleri yıllık oranlarda koyduk, ancak mevduatın aylık büyük harf kullanımı ile. Ne elde ederiz?

Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, aşamalar halinde çözelim.

Bankaya ruble getirdik. Ayın sonunda, hesabımızda rublemiz artı faizinden oluşan bir tutar olmalıdır, yani:

Kabul ediyorum?

Braketin dışına koyabiliriz ve sonra şunu elde ederiz:

Katılıyorum, bu formül zaten başta yazdığımıza daha çok benziyor. Faizle başa çıkmak için kalır

Sorun bildiriminde yıllıktan bahsediliyor. Bildiğiniz gibi, çarpmıyoruz - faizi dönüştürüyoruz ondalık sayılar, yani:

Doğru? Şimdi soruyorsun, numara nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi hakkında YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK... Bildiğiniz gibi, sırasıyla bir ay içinde, banka bize aylık yıllık faizin bir kısmını ödeyecek:

Gerçekleştirilen? Şimdi, faiz günlük hesaplanıyor dersem formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Becerebildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:

Aferin! Görevimize dönelim: Biriken mevduat tutarına faiz uygulandığını dikkate alarak, ikinci ay için hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte aldıklarım:

Veya başka bir deyişle:

Sanırım zaten bir desen fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyenin neye eşit olacağını veya başka bir deyişle ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı? Kontrol etme!

Gördüğünüz gibi, bir yıl boyunca bankaya basit bir faizle para yatırırsanız, o zaman ruble alacaksınız ve eğer karmaşık bir oranda ise - ruble. Avantaj küçüktür, ancak bu yalnızca th yıl boyunca olur, ancak daha uzun bir süre için büyük harf kullanımı çok daha karlı:

Bileşik faizli başka bir problem türünü ele alalım. Bulduklarından sonra, senin için basit olacak. Yani görev:

Zvezda şirketi 2000 yılında sermayesi dolar olarak sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından itibaren her yıl bir önceki yılın sermayesinden kar elde etmektedir. Kâr dolaşımdan çekilmemişse, Zvezda şirketi 2003 sonunda ne kadar kâr elde edecek?

2000 yılında "Zvezda" şirketinin sermayesi.
- 2001 yılında "Zvezda" şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında "Zvezda" şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında "Zvezda" şirketinin sermayesi.

Ya da kısaca yazabiliriz:

Bizim durumumuz için:

2000, 2001, 2002 ve 2003.

Sırasıyla:
ruble
Yüzde YILLIK olarak verildiğinden ve YILLIK olarak hesaplandığından, bu problemde ne göre ne de göre bölme işlemimiz olmadığına dikkat edin. Yani, bileşik faiz için bir problem okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde tahsil edildiğine dikkat edin ve ancak bundan sonra hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.

Antrenman yapmak.

1. olduğu biliniyorsa üstel terimi bulunuz ve
2. Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
3. MDM Capital, 2003 yılında dolar sermayesi ile sektöre yatırım yapmaya başlamıştır. 2004 yılından itibaren her yıl bir önceki yılın sermayesinden kar elde etmektedir. "MSK Nakit Akışları" şirketi 2005 yılında sektöre 10.000 $ tutarında yatırım yapmaya başlamış, 2006 yılında ise tutarında kar elde etmeye başlamıştır. Kar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar fazladır?

Yanıtlar:

1. Problem ifadesi, ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve belirli sayıda üyelerinin toplamının bulunması gerektiğinden, hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:
2. 
   MDM Sermayesi:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - %100, yani 2 kat artar.
   Sırasıyla:
   ruble
   MSK Nakit Akışları:

   2005, 2006, 2007.
   - artar, yani katlar.
   Sırasıyla:
   ruble
   ruble

Özetleyelim.

1) Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfır olmayan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit, aynı sayı ile çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

2) Geometrik bir ilerlemenin üyelerinin denklemi -.

3) ve dışında herhangi bir değer alabilir.

• eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm üyeleri aynı işarete sahipse - onlar pozitif;
• eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
• at - ilerlemeye sonsuz azalan denir.

4), geometrik bir ilerlemenin özelliğidir (bitişik terimler)

veya
, at (eşit mesafeli terimler)

bulurken unutma iki cevap olmalı.

Örneğin,

5) Geometrik ilerlemenin üyelerinin toplamı şu formülle hesaplanır:
veya

İlerleme sonsuz azalıyorsa, o zaman:
veya

ÖNEMLİ! Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü, yalnızca koşul açıkça sonsuz sayıda terimin toplamını bulmanın gerekli olduğunu belirtiyorsa kullanırız.

6) Bileşik faiz sorunları, fonların dolaşımdan çekilmemiş olması koşuluyla, geometrik dizilimin -th teriminin formülüne göre de hesaplanır:

GEOMETRİK İLERLEME. KISACA ANA HAKKINDA

Geometrik ilerleme() ilk terimi sıfır olmayan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit, aynı sayı ile çarpılan sayısal bir dizidir. Bu numara denir geometrik bir ilerlemenin paydası.

Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.

• Eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm üyeleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
• eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
• at - ilerlemeye sonsuz azalan denir.

Geometrik bir ilerlemenin elemanlarının denklemi - .

Geometrik bir ilerlemenin üyelerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül çok basittir. Hem anlam hem de genel görünüm olarak. Ancak n'inci terimin formülünde çok ilkelden oldukça ciddi olanlara kadar her türlü sorun var. Ve tanışma sürecinde kesinlikle ikisini de dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani, yeni başlayanlar için formüln

İşte orada:

bn = B 1 · qn -1

Formül olarak formül, doğaüstü bir şey değil. Benzer bir formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da basit, keçe çizme gibi.

Bu formül, NUMARASI İLE bir geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini bulmanızı sağlar " n".

Gördüğünüz gibi, anlam aritmetik bir ilerleme ile tam bir analojidir. N sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de hesaplayabiliriz. Ne istiyoruz. Pek çok kez "q" ile art arda çarpmadan. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle çalışmanın bu düzeyinde, formülde yer alan tüm değerlerin zaten sizin için açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak her birini deşifre etmeyi görevim olarak görüyorum. Her ihtimale karşı.

O zaman hadi gidelim:

B 1 – ilk geometrik bir ilerlemenin bir üyesi;

Q – ;

n- üye numarası;

bn – n. (nth) geometrik bir ilerlemenin bir üyesi.

Bu formül, herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar - Bn, B 1 , Q ve n... Ve bu dört kilit figürün etrafında, ilerlemedeki tüm problemler dönüyor.

"Nasıl gösterilir?"- Meraklı bir soru duyuyorum ... İlköğretim! Bakmak!

neye eşittir ikinci ilerleme üyesi? Sorun yok! Direkt yazıyoruz:

b 2 = b 1 q

Ve üçüncü dönem? Sorun da değil! İkinci terimi çarpıyoruz bir kez dahaQ.

Bunun gibi:

B3 = b2q

Şimdi ikinci terimin sırasıyla b 1 q'ya eşit olduğunu hatırlayalım ve eşitliğimize bu ifadeyi yerleştirelim:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Alırız:

B 3 = b 1 q 2

Şimdi girişimizi Rusça okuyalım: üçüncü terim ilk terim çarpı q'ya eşittir ikinci derece. anladın mı Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q ile:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 q 3

Ve yine Rusça'ya çeviriyoruz: dördüncü terim ilk terim çarpı q'ya eşittir üçüncü derece.

Vesaire. Nasıl? Bir desen var mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, özdeş q çarpanlarının sayısı (yani paydanın derecesi) her zaman olacaktır. gerekli terim sayısından bir eksikn.

Bu nedenle, formülümüz seçeneksiz olacaktır:

bn =B 1 · qn -1

Hepsi bu kadar.)

Peki, sorunları çözelim, muhtemelen?)

Formül problemlerini çözmengeometrik bir ilerlemenin inci üyesi.

Her zamanki gibi formülü doğrudan uygulayarak başlayalım. İşte tipik bir sorun:

katlanarak bilinir ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemedeki onuncu terimi bulun.

Tabii ki, bu sorun hiçbir formül olmadan da çözülebilir. Doğrudan bir geometrik ilerlemenin anlamı dahilinde. Ama n'inci terimin formülüyle ısınmamız gerekiyor, değil mi? Böylece ısınıyoruz.

Formülün uygulanması için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk terim bilinmektedir. 512.

B 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinir: Q = -1/2.

Sadece n üyesinin sayısının ne olduğunu bulmak için kalır. Sorun yok! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Yani genel formülde n yerine on yerine koyuyoruz.

Ve aritmetiği doğru bir şekilde sayıyoruz:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi, ilerlemenin onuncu terimi eksi ile çıktı. Hiç şüphe yok: ilerlemenin paydası -1/2'dir, yani. olumsuz numara. Ve bu bize ilerlememizin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu söylüyor, evet.)

Burada her şey basit. Ve işte benzer bir görev, ancak hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Katlanarak bilinir:

B 1 = 3

İlerlemedeki on üçüncü terimi bulun.

Her şey aynı, sadece bu sefer ilerlemenin paydası mantıksız... İki kökü. Sorun değil. Formül evrensel bir şeydir, herhangi bir sayı ile baş eder.

Doğrudan formüle göre çalışıyoruz:

Formül, elbette, olması gerektiği gibi çalıştı, ama ... bazılarının donacağı yer burası. Kök ile daha sonra ne yapmalı? Kök on ikinci güce nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl ... Herhangi bir formülün elbette iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematiğin bilgisi iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, hatırlanması gereken derecelerin özellikleri! kökünü çevirelim kesirli üs ve - üs formülüne göre.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve hepsi bu.)

N terimli formülün doğrudan uygulanmasındaki ana zorluk nedir? Evet! Asıl zorluk derece ile çalışmak! Yani - üs alma negatif sayılar, kesirler, kökler ve benzerleri. O halde bu konuda sorun yaşayanların dereceleri ve özelliklerini tekrar etmelerini rica ediyoruz! Aksi takdirde bu konuda yavaşlarsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formül öğelerinden biri eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunların başarılı bir şekilde çözülmesi için tarif tek tip ve son derece basittir - formülü yazmakngenel olarak üye! Durumun hemen yanındaki not defterinde. Ve sonra, koşuldan bize neyin verildiğini ve neyin eksik olduğunu buluruz. Ve formülden ifade ediyoruz gerekli değer... Her şey!

Örneğin, böyle zararsız bir görev.

Paydası 3 olan bir geometrik dizilimdeki beşinci terim 567'dir. Bu dizilimdeki ilk terimi bulun.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyü ile çalışıyoruz.

N'inci terimin formülünü yazıyoruz!

bn = B 1 · qn -1

Bize ne verildi? İlk olarak, ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.

Ayrıca bize verilen beşinci dönem: B 5 = 567 .

Her şey? Numara! Ayrıca bize n numarası verildi! Bu bir beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu anlamışsınızdır B 5 = 567 iki parametre aynı anda gizlenir - bu beşinci terimin kendisi (567) ve sayısıdır (5). Üzerine benzer bir derste bundan bahsetmiştim ama burada hatırlatmanın gereksiz olmadığını düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde değiştiriyoruz:

567 = B 1 · 3 5-1

Aritmetiği düşünüyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir tane alıyoruz Doğrusal Denklem:

81 B 1 = 567

Çözüyoruz ve alıyoruz:

B 1 = 7

Gördüğünüz gibi, ilk üyeyi bulmakta sorun yok. Ama paydayı ararken Q ve sayılar n sürprizler olabilir. Ve onlara da hazırlıklı olmalısınız (sürprizlere), evet.)

Örneğin, bu sorun:

Pozitif paydalı geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulun.

Bu sefer bize birinci ve beşinci terimler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. O halde başlayalım.

formülü yazıyoruznüye!

bn = B 1 · qn -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

B 5 = 162

B 1 = 2

n = 5

Yetersiz anlam Q... Sorun yok! Şimdi onu bulacağız.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyuyoruz.

Alırız:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Basit bir dördüncü dereceden denklem. Ama şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen mutlu bir şekilde kökü (dördüncü derece) çıkarır ve bir cevap alır. Q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

Q = 3

Ama aslında, bu bitmemiş bir cevap. Daha doğrusu eksik. Niye ya? Mesele şu ki, cevap Q = -3 şuna da uyar: (-3) 4 de 81 olur!

Bunun nedeni, güç denkleminin x n = a her zaman vardır iki zıt kök NS Bilen . Artı ve eksi ile:

Her ikisi de uygun.

Örneğin, çözme (yani ikinci derece)

x 2 = 9

Nedense, görünüşe şaşırmıyorsunuz 2 kökler x = ± 3? İşte aynı şey. Ve herhangi bir başkasıyla Bile derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Ayrıntılar - konuyla ilgili

Böyle doğru kararşöyle olurdu:

Q 4 = 81

Q= ± 3

Tamam, işaretleri anladık. Hangisi doğru - artı mı eksi mi? Eh, arayışı içinde bir kez daha sorunun durumunu okuduk ek bilgi. Elbette orada olmayabilir, ancak bu görevde bu tür bilgiler mevcut. Bizim durumumuzda düz metin olarak ile bir ilerleme verildiği söylenmektedir. pozitif bir payda.

Bu nedenle, cevap açıktır:

Q = 3

Burada her şey basit. Sorun ifadesi şu şekilde olsaydı sizce ne olurdu:

Geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulun.

Fark ne? Evet! Durumda Hiçbir şey payda işareti belirtilmemiştir. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada görev zaten olurdu iki çözüm!

Q = 3 ve Q = -3

Evet evet! Ve artı ve eksi ile.) Matematiksel olarak, bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme Sorunun durumuyla eşleşen. Ve her biri için - kendi paydası. Eğlenmek için alıştırma yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu en zor görev, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.)

Geometrik bir ilerleme verilir:

3; 6; 12; 24; …

Bu dizilimdeki 768 sayısı nedir?

İlk adım hala aynı: formülü yazmaknüye!

bn = B 1 · qn -1

Ve şimdi, her zamanki gibi, bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Um ... değiştirilmedi! İlk terim nerede, payda nerede, diğer her şey nerede ?!

Nerede, nerede ... Ve neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpiklerini çırp? Bu sefer ilerleme bize doğrudan formda verilir. sıra.İlk terimi gördün mü? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Peki ya payda? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii anlarsanız.

Yani sayıyoruz. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında: üyelerinden herhangi birini (ilk hariç) alır ve bir öncekine böleriz.

En azından şöyle:

Q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit belirli bir üyesini de biliyoruz. Bazı n sayıları altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama görevimiz tam olarak bulmak.) O halde arıyoruz. İkame için gerekli tüm verileri formüle zaten indirdik. Kendimden habersiz.)

Yani yerine koyuyoruz:

768 = 3.2n -1

Temel olanları yapıyoruz - her iki parçayı da üçe bölüyoruz ve denklemi olağan biçimde yeniden yazıyoruz: bilinmeyen solda, bilinen - sağda.

Alırız:

2 n -1 = 256

İşte ilginç bir denklem. "n" bulmalısın. Olağandışı nedir? Evet, tartışmıyorum. Aslında bu en basiti. Bilinmeyen (içinde) olduğu için böyle adlandırılır. bu durumda bu numara n) duruyor gösterge derece.

Geometrik bir ilerleme ile tanışma aşamasında (bu dokuzuncu sınıftır), üstel denklemlerin çözülmesi öğretilmez, evet ... Bu lise için bir konudur. Ama korkunç bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyor olsanız bile, biz kendimizi bulmaya çalışacağız. n basit mantık ve sağduyu tarafından yönlendirilir.

Akıl yürütmeye başlıyoruz. Solda bir ikilimiz var belli bir dereceye kadar... Bu derecenin tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz, ancak bu çok da önemli değil. Ama öte yandan, bu derecenin 256'ya eşit olduğunu kesin olarak biliyoruz! Yani ikinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırlıyor musun? Evet! V sekizinci derece!

256 = 2 8

Hatırlamadıysanız veya sorunun derecelerini fark ettiyseniz, o zaman sorun değil: sırayla ikisini bir kareye, bir kübe, dördüncü dereceye, beşinciye vb. yükseltiriz. Seçim, aslında, ancak bu düzeyde oldukça iyi.

Öyle ya da böyle, şunları elde ederiz:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

yani 768 dokuzuncu ilerlememizin bir üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? Temel şeylerden bıktınız mı? Kabul etmek. Ben de. Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha zorlu görevler.

Ve şimdi sorunları daha hızlı çözüyoruz. Tam olarak süper havalı değil, ancak cevaba ulaşmak için hala yapacakları küçük bir iş var.

Örneğin, bu.

Dördüncü terim -24 ve yedinci terim 192 ise geometrik dizinin ikinci terimini bulun.

Bu türün bir klasiğidir. İlerlemenin bazı iki farklı üyesi biliniyor, ancak biraz daha üyenin bulunması gerekiyor. Ayrıca, tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta utanç verici olan, evet ...

Olduğu gibi, bu tür sorunları çözmenin iki yolunu ele alacağız. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Herhangi bir kaynak veriyle kusursuz çalışır. Bu nedenle, onunla başlayacağız.)

Her terimi formüle göre yazıyoruz nüye!

Her şey tam olarak aritmetik bir ilerleme ile aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğeri Genel formül. Hepsi bu.) Ama öz aynı: alıyoruz ve birer birer ilk verilerimizi n'inci terimin formülüyle değiştiririz. Her üye için - kendi.

Dördüncü üye için şunu yazın:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Var. Bir denklem hazır.

Yedinci üye için şunu yazıyoruz:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

Toplamda, için iki denklemimiz var aynı ilerleme .

Sistemi onlardan topluyoruz:

Müthiş görünümüne rağmen, sistem oldukça basittir. En belirgin çözüm, düz ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üst denklemden ve alt denklemden değiştirin:

Alt denklemi biraz kurcaladıktan sonra (güçleri azaltarak ve -24'e bölerek), şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu arada, aynı denkleme daha basit bir şekilde gelebilirsiniz! Nasıl? Şimdi size başka bir sır göstereceğim ama çok güzel, güçlü ve faydalı yol benzer sistemlerin çözümleri. Denklemlerinde yer alan bu tür sistemler sadece çalışır. En az bir. Aranan terim bölme yöntemi bir denklemden diğerine.

Yani, bizden önce sistem:

Soldaki her iki denklemde - İş ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyiye işaret.) Alalım ve ... alt denklemi üsttekine bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine böler misiniz?Çok basit. alıyoruz Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölmek ona Sol Taraf başka bir denklem (üstte). Sağ taraf benzer: Sağ Taraf bir denklem bölmeküzerinde Sağ Taraf bir diğeri.

Tüm bölünme süreci şöyle görünür:

Şimdi, azaltılan her şeyi azalttıktan sonra şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu yöntem neden iyi? Evet, böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz her şeyin güvenli bir şekilde azaltılabileceği ve tamamen zararsız bir denklemin kaldığı gerçeği! Bu yüzden sahip olmak çok önemli sadece çarpmalar sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok - azaltılacak bir şey yok, evet ...

Genel olarak, bu yöntem (sistemleri çözmenin diğer pek çok önemsiz yolu gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha detaylı analiz edeceğim. Bir gün…

Ancak, sistemi nasıl çözdüğünüz önemli değil, her durumda, şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

Q 3 = -8

Sorun değil: kökü (kübik) çıkarın ve işiniz bitti!

Lütfen ayıklarken buraya artı / eksi koymanıza gerek olmadığını unutmayın. Garip (üçüncü) bir derece kökümüz var. Ve cevap da aynı, evet.)

Böylece, ilerlemenin paydası bulundu. Eksi iki. İyi! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (üst denklemden diyelim) şunu elde ederiz:

İyi! Birinci terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi dahil.)

İkinci dönem için her şey oldukça basit:

B 2 = B 1 · Q= 3 (-2) = -6

Cevap: -6

Böylece, problemi çözmenin cebirsel yolunu ortaya koyduk. Sert? Pek değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yolu.İyi eski ve bize tanıdık.)

Bir sorun çizmek!

Evet! Aynen öyle. Yine ilerlememizi sayı ekseninde çiziyoruz. Bir cetveli takip etmek gerekli değildir, üyeler arasında eşit aralıkları korumak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), Ama basitçe şematik olarak sıramızı çizelim.

Ben böyle aldım:

Ve şimdi resme bakıp düşünüyoruz. Kaç tane özdeş faktör "q" paylaşır dördüncü ve yedinciüyeler? Bu doğru, üç!

Bu nedenle, her şeyi yazma hakkına sahibiz:

-24Q 3 = 192

Bu nedenle, q artık kolayca aranır:

Q 3 = -8

Q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Ve şimdi resme tekrar bakıyoruz: Bu tür paydalar arasında kaç tane var? ikinci ve dördüncüüyeler? 2! Bu nedenle, bu terimler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için payda olacaktır. kare.

Bu yüzden şunu yazıyoruz:

B 2 · Q 2 = -24 , nerede B 2 = -24/ Q 2

Bulunan paydamızı b 2 ifadesinin yerine koyarız, sayarız ve şunu alırız:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi, her şey sistemden çok daha kolay ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! hiç.)

İşte aydınlatmanın basit ve sezgisel bir yolu. Ama onun da ciddi bir dezavantajı var. tahmin ettin mi Evet! Yalnızca ilerlemenin çok kısa dilimleri için çalışır. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda bir resim çizmek zaten zor, evet ... O zaman sorunu sistem aracılığıyla analitik olarak çözüyoruz.) Ve sistemler evrensel bir şeydir. Herhangi bir sayı işlenebilir.

Başka bir epik meydan okuma:

Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birinciden 10, üçüncü terim ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.

havalı nedir? Hiç de bile! Hepsi aynı. Problem ifadesini tekrar saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi formüle göre yazıyoruz nüye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 = b 1 q 2

2) Problem ifadesinden üyeler arasındaki bağlantıyı yazıyoruz.

Durumu okuyoruz: "Üssel ilerlemenin ikinci terimi, birinciden 10 fazladır." Dur, bu çok değerli!

Bu yüzden şunu yazıyoruz:

B 2 = B 1 +10

Ve bu ifadeyi saf matematiğe çeviriyoruz:

B 3 = B 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştiriyoruz:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için birçok farklı indeks var. İfadelerinin ikinci ve üçüncü terimlerini yerine birinci terim ve payda ile değiştirelim! Onları boyamamız boşuna mıydı?

Alırız:

Ama böyle bir sistem artık bir hediye değil, evet... Bunu nasıl çözeriz? Ne yazık ki, karmaşık çözmek için evrensel bir gizli büyü doğrusal olmayan matematikte sistem yoktur ve olamaz. O fantastik! Ancak böylesine sert bir somunu ısırmaya çalışırken aklınıza ilk gelmesi gereken şey, tahminde bulunmaktır. ancak sistemin denklemlerinden biri güzel bir manzara, örneğin, değişkenlerden birini diğeri aracılığıyla kolayca ifade etmeye izin vermek?

Öyleyse tahmin edelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) İlk denklemden denememiz gerekmez mi? bir şey aracılığıyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q, o zaman ifade etmemiz bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 karşısında Q.

Öyleyse, eski güzelleri uygulayarak bu prosedürü ilk denklemle yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Her şey! yani ifade ettik gereksiz bize (b 1) değişkeni ile gerekli(Q). Evet, en basit ifadeyi almadılar. Biraz kesir ... Ama sistemimiz iyi bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapacağımızı biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi payda (q-1) ile çarparız ve tüm kesirleri iptal ederiz:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz, soldaki her şeyi topluyoruz:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Sonucu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Sadece son bir cevap var: Q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi, bir geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü için çoğu problemi çözmenin yolu her zaman aynıdır: oku dikkatle problemin durumu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tamamını çeviriyoruz kullanışlı bilgi saf cebire.

Yani:

1) Problemde verilen her terimi formülle ayrı ayrı yazıyoruz.ninci üye.

2) Problemin durumundan, terimler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya bir denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya bir denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir cevap durumunda, (varsa) ek bilgi aramak için sorunun durumunu dikkatlice okuruz. Ayrıca alınan cevabı (varsa) DLO şartları ile kontrol ederiz.

Ve şimdi geometrik bir ilerlemede problem çözme sürecinde en sık hatalara yol açan ana problemleri listeleyelim.

1. Temel aritmetik. Kesirli ve negatif sayılarla yapılan işlemler.

2. Bu üç noktadan en az birinde sorun yaşıyorsanız, bu konuda kaçınılmaz olarak yanılacaksınız. Maalesef... Tembel olmayın ve yukarıda anlatılanları tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve tekrarlayan formüller.

Şimdi, durumun daha az tanıdık bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet, tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş ve tekrarlayan n'inci terimin formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik bir ilerleme içinde çalıştık. Burada her şey aynı. Özü aynı.

Örneğin, OGE'den böyle bir görev:

Geometrik ilerleme formül tarafından verilir bn = 3 2 n ... Birinci ve dördüncü üyelerin toplamını bulun.

Bu sefer, ilerleme bize pek tanıdık gelmiyor. Bir çeşit formül şeklinde. Ne olmuş? Bu formül - ayrıca bir formülnüye! n'inci terimin formülünün hem genel formda, hem de harflerle yazılabileceğini hepimiz biliyoruz. belirli ilerleme... İLE BİRLİKTE özel ilk terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında bize, aşağıdaki parametrelerle bir geometrik ilerleme için genel bir terim formülü verilmiştir:

B 1 = 6

Q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım. B 1 ve Q... Alırız:

bn = B 1 · qn -1

bn= 6 2n -1

Aşağıdakileri elde etmek için çarpanlara ayırma ve güç özelliklerini kullanarak basitleştirin:

bn= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Gördüğünüz gibi, her şey adil. Ama sizinle amacımız belirli bir formülün türetildiğini göstermek değil. Bu lirik bir arasözdür. Tamamen anlamak içindir.) Amacımız, durumu bize verilen formüle göre problemi çözmektir. Yakala?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk terimi sayıyoruz. Vekil n=1 genel formüle:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada tembel olmayacağım ve bir kez daha dikkatinizi ilk üyenin hesaplanmasıyla tipik bir blooper'a çekeceğim. Formüle bakmanıza GEREK YOK bn= 3 2n, hemen ilk terimin üçlü olduğunu yazmak için acele edin! Bu büyük bir hata, evet ...)

Devam edelim. Vekil n=4 ve dördüncü terimi sayın:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ve son olarak, gerekli miktarı hesaplıyoruz:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme, koşullar tarafından belirlenir:

B 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

İlerlemedeki dördüncü terimi bulun.

Burada ilerleme özyinelemeli bir formülle verilir. İyi tamam.) Böyle bir formülle nasıl çalışılır - biz de biliyoruz.

Yani harekete geçiyoruz. Adım adım.

1) İki sayın ardışık ilerleme üyesi.

İlk dönem zaten bize atandı. Eksi yedi. Ancak bir sonraki, ikinci terim, özyinelemeli formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii nasıl çalıştığını anlarsanız.)

Yani ikinci terimi sayıyoruz ilk bilinene göre:

B 2 = 3 B 1 = 3 (-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını dikkate alıyoruz

Sorun da yok. Düz, böl ikinciüye ilk.

Alırız:

Q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazıyoruzn-th üye olağan biçimde ve istenen üyeyi düşünün.

Yani, birinci terimi ve paydayı da biliyoruz. Bu yüzden şunu yazıyoruz:

bn= -7 3n -1

B 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi, geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak, doğası gereği aritmetik bir ilerlemeden farklı değildir. Sadece bu formüllerin genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Eh, geometrik ilerlemenin anlamı da anlaşılmalıdır, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendimiz çözelim mi?)

Isınma için oldukça temel görevler:

1. İçinde geometrik bir ilerleme verilmiştir. B 1 = 243 ve Q = -2/3. İlerlemedeki altıncı terimi bulun.

2. Geometrik ilerlemenin genel terimi şu formülle verilir: bn = 5∙2 n +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı teriminin numarasını bulun.

3. Geometrik ilerleme koşullar tarafından belirlenir:

B 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

İlerlemedeki beşinci terimi bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verilir:

B 1 =2048; Q =-0,5

Altıncı negatif terim nedir?

Süper zor görünen nedir? Hiç de bile. Geometrik ilerlemenin mantığını ve anlamını kavrayacaktır. n'inci terimin formülü tabii ki.

5. Geometrik dizinin üçüncü terimi -14 ve sekizinci terim 112'dir. Dizinin paydasını bulun.

6. Geometrik dizinin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerinin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulun.

Cevaplar (kargaşa içinde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Geriye sadece saymayı öğrenmek kalıyor bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada, çok ilginç ve sıra dışı bir şey! Aşağıdaki derslerde bununla ilgili daha fazla bilgi.)

Her doğal sayı ise n gerçek bir sayı eşleştir bir sonra verildi diyorlar sayısal dizi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , bir , . . . .

Yani sayısal dizi, doğal argümanın bir fonksiyonudur.

Numara a 1 arandı dizinin ilk üyesi , numara a 2 — ikinci dönem , numara a 3 — üçüncü vesaire. Numara bir arandı n. üye diziler ve doğal sayı n — onun numarası .

iki komşu üyeden bir ve bir +1 sıra üyesi bir +1 arandı sonraki (karşı bir ), a bir — öncesi (karşı bir +1 ).

Bir dizi belirtmek için dizinin herhangi bir sayıdaki bir üyesini bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmelisiniz.

Genellikle dizi ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir dizinin bir üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.

Örneğin,

pozitif tek sayılar dizisi formülle belirtilebilir

bir= 2n - 1,

ve dönüşüm sırası 1 ve -1 - formüle göre

B n = (-1)n +1 . ◄

Sıra belirlenebilir özyinelemeli formül, diğer bir deyişle, dizinin herhangi bir üyesini, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer a 1 = 1 , a bir +1 = bir + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer 1= 1, 2 = 1, bir +2 = bir + bir +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

diziler olabilir son ve sonsuz .

Sıra denir nihai eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

nihai.

Asal sayılar dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Sıra denir artan üyelerinin her biri, ikinciden başlayarak bir öncekinden daha büyükse.

Sıra denir azalan üyelerinin her biri, ikinciden başlayarak bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - artan dizi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - azalan bir dizi. ◄

Elemanları artan sayıda azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .

Özellikle monotonik diziler, artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olan bir dizi çağrılır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , bir, . . .

varsa aritmetik bir ilerlemedir doğal sayı n koşul karşılandı:

bir +1 = bir + D,

nerede D - bir numara.

Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki fark her zaman sabittir:

2 - a 1 = 3 - a 2 = . . . = bir +1 - bir = D.

Numara D arandı aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik bir ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer a 1 = 3, D = 4 , daha sonra dizinin ilk beş üyesi aşağıdaki gibi bulunur:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için a 1 ve fark D ona n

bir = 1 + (n- 1)NS.

Örneğin,

aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = 1 + (n- 2)D,

bir= 1 + (n- 1)D,

bir +1 = a 1 + nd,

o zaman açıkçası

aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, ikinciden başlayarak, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

bir = 2n- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bir = 2n- 7,

bir n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

bir n + 1 = 2(+ 1) - 7 = 2n- 5.

Buradan,

◄

Bunu not et n aritmetik ilerlemenin -inci terimi sadece aracılığıyla bulunabilir a 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k

bir = bir k + (n- k)D.

Örneğin,

için a 5 yazılabilir

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

bir = bir n-k + kd,

bir = bir n + k - kd,

o zaman açıkçası

bir aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik dizinin ondan eşit aralıklarla yerleştirilmiş üyelerinin yarısına eşittir.

Ayrıca, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Çünkü

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= 1 + 2 + 3 +. ... ...+ bir,

ilk n aritmetik ilerlemenin üyeleri, uç terimlerin yarım toplamının terim sayısına göre ürününe eşittir:

Bu nedenle, özellikle, eğer terimleri toplamak gerekirse,

bir k, bir k +1 , . . . , bir,

o zaman önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Aritmetik bir ilerleme verilirse, değerler a 1 , bir, D, n veS n iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri bu formüllerden belirlenir ve iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilir.

Aritmetik bir ilerleme monoton bir dizidir. burada:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , sonra azalıyor;
• Eğer D = 0 , o zaman dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için ise geometrik bir ilerlemedir n koşul karşılandı:

bn +1 = bn · Q,

nerede Q ≠ 0 - bir numara.

Böylece, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki üyesinin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Numara Q arandı geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik bir ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , daha sonra dizinin ilk beş üyesi aşağıdaki gibi bulunur:

b1 = 1,

b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q ona n th terimi şu formülle bulunabilir:

bn = B 1 · qn -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak bir geometrik dizilimin her bir elemanı, önceki ve sonraki elemanların geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Tersi ifade de doğru olduğundan, aşağıdaki ifade geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım. bn= -3 2 n , üstel bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

hangi gerekli ifadeyi kanıtlıyor. ◄

Bunu not et n Geometrik ilerlemenin -inci terimi sadece aracılığıyla bulunabilir B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim bk , bunun için formülü kullanmanın yeterli olduğu

bn = bk · qn - k.

Örneğin,

için B 5 yazılabilir

5 = b1 · Q 4 ,

5 = b2 · 3,

5 = b3 · q2,

5 = b4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · q k,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak bir geometrik dizilimin herhangi bir üyesinin karesi, ondan eşit uzaklıkta olan bu dizinin üyelerinin çarpımına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

ben· bn= bk· ben,

m+ n= k+ ben.

Örneğin,

katlanarak

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

ilk n paydası olan bir geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

Sn= not 1

Terimleri toplamanız gerekirse

bk, bk +1 , . . . , bn,

sonra formül kullanılır:

Örneğin,

katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, değerler B 1 , bn, Q, n ve Sn iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri bu formüllerden belirlenir ve iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilir.

İlk terim ile geometrik bir ilerleme için B 1 ve payda Q devamındaki monotonluk özellikleri :

• aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artıyor:

B 1 > 0 ve Q> 1;

B 1 < 0 ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılandığında ilerleme azalır:

B 1 > 0 ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme değişiyor: tek sayılı üyeleri ilk terimiyle aynı işarete sahip ve çift sayılı terimler zıt işarete sahip. Değişken bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlkinin çalışması n geometrik bir ilerlemenin üyeleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

P n= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan bir geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz geometrik ilerleme olarak adlandırılır. 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir payda ile dizi değişiyor. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı ilk toplamının olduğu sayıdır. n sayısında sınırsız bir artış ile ilerleme üyeleri n ... Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneğe bakalım.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . D , sonra

bir 1 , bir 2 , bir 3 , . . . bd .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . - fark ile aritmetik ilerleme 2 ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - payda ile geometrik ilerleme 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - payda ile geometrik ilerleme Q , sonra

bir b 1 günlüğe kaydet, bir b 2 günlüğe kaydet, bir b 3 günlüğe kaydet, . . . - fark ile aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . - payda ile geometrik ilerleme 6 ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - fark ile aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

Biraz dizi düşünelim.

7 28 112 448 1792...

Öğelerinden herhangi birinin değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha büyük olduğu tamamen açıktır. Anlamına geliyor, verilen satır bir ilerlemedir.

Sonsuz bir sayı dizisine geometrik ilerleme denir. ana özellik yani bir sonraki sayı bir öncekinden belirli bir sayı ile çarpılarak elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 = a z q, burada z, seçilen öğenin sayısıdır.

Buna göre, z ∈ N.

Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle dayanarak, ilerlemenin paydası aşağıdaki gibi bulunabilir:

Ne q ne de b z sıfıra eşit olamaz. Ayrıca, ilerlemenin öğelerinin her biri sıfır olmamalıdır.

Buna göre dizideki bir sonraki sayıyı bulmak için son sayıyı q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk öğesini ve paydasını belirtmelisiniz. Bundan sonra, sonraki üyelerden herhangi birini ve toplamlarını bulmak mümkündür.

çeşitleri

q ve 1'e bağlı olarak, bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem 1 hem de q birden büyükse, böyle bir dizi her biri ile artar. sonraki eleman geometrik ilerleme. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 = 3, q ​​​​= 2 - her iki parametre birden büyüktür.

Daha sonra sayısal dizi şöyle yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q | birden az, yani onunla çarpma, bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 birden fazladır, q küçüktür.

Daha sonra sayısal dizi aşağıdaki gibi yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman, onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

Daha sonra sayısal dizi aşağıdaki gibi yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• z. üyenin formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayı altındaki öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, a 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesinin hesaplanması gerekir.

Çözüm:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• sayısı olan ilk elemanların toplamı z... Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şuna kadar hesaplar:bir zdahil.

(1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, bu nedenle q 1'e eşit değildir.

Not: q = 1 ise, ilerleme sonsuz tekrar eden bir dizi sayı olacaktır.

Geometrik bir ilerlemenin toplamı, örnekler:a 1 = 2, Q= -2. S 5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formüle göre hesaplama.

• Tutar ise |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:a 1 = 2 , Q= 0,5. Miktarı bulun.

Çözüm:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• Karakteristik özellik. Aşağıdaki koşul ise herhangi biri için gerçekleştirilenz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · az+1

• Ayrıca, geometrik ilerlemenin herhangi bir sayısının karesi, bu elemandan eşit uzaklıktalarsa, belirli bir satırdaki diğer iki sayının kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , neredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

• Elementlerq'da farklılıkbir Zamanlar.
• İlerleme öğelerinin logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak zaten aritmetiktir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayıda daha büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıf için çözümlü örnekler yardımcı olabilir.

• Koşullar:a 1 = 3, a 3 = 48. BulQ.

Çözüm: sonraki her bir öğe öncekinden daha büyüktür.Q bir Zamanlar.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri aracılığıyla ifade etmek gerekir.

Buradan,a 3 = Q 2 · a 1

değiştirirkenQ= 4

• Koşullar:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için, ilk eleman olan q'yu bulmak ve onu formülde yerine koymak yeterlidir.

a 3 = Q· a 2 , buradan,Q= 2

2 = q 1,Bu yüzden 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunun için dördüncü unsuru birinci ve payda cinsinden ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bankanın müşterisi, her yıl müşterinin anapara tutarının% 6'sını anapara tutarına ekleyeceği şartlar altında 10.000 ruble tutarında depozito yaptı. 4 yıl sonra hesap ne kadar olacak?

Çözüm: İlk miktar 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000'e eşit bir tutara sahip olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesaptaki tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Yani, her yıl miktar 1,06 kat artmaktadır. Bu, 4 yıl içinde hesaptaki fon miktarını bulmak için, birinci elementin 10 bin ve paydanın 1,06'ya eşit olduğu ilerlemenin dördüncü elementini bulmak yeterlidir.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Toplamı hesaplamak için görev örnekleri:

Çeşitli problemlerde geometrik bir ilerleme kullanılır. Toplamı bulmak için bir örnek aşağıdaki gibi verilebilir:

a 1 = 4, Q= 2, hesaplaS 5.

Çözüm: hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, sadece bunları formüle koymanız gerekiyor.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, sonraki her öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekira 1 ve paydaQ.

a 2 · Q = a 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekira 1 bilmeka 2 veQ.

a 1 · Q = a 2

1 =2

S 6 = 728.

Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değildir. Geometrik ilerleme, her bir sonraki terimi bir öncekinin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilen b1, b2, ..., b [n] sayılarından oluşan bir dizidir. İlerlemenin artış veya azalma oranını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek

Bir geometrik dizinin tam ataması için paydaya ek olarak, ilk terimini bilmek veya belirlemek gerekir. Paydanın pozitif değeri için, ilerleme monoton bir dizidir ve bu sayı dizisi monoton olarak azalıyorsa ve monoton olarak artıyorsa. Paydanın bire eşit olduğu durum pratikte dikkate alınmaz, çünkü elimizde aynı sayılar dizisi vardır ve bunların toplamı pratik açıdan ilgi çekici değildir.

Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle hesaplanır

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formül tarafından belirlenir

Geometrik bir ilerlemede klasik problemlerin çözümlerini düşünün. Anlamak için en basit olanlarla başlayalım.

Örnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk terimi 27'dir ve paydası 1/3'tür. Geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.

Çözüm: Problemin durumunu forma yazalım.

Hesaplamalar için, geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülünü kullanırız.

Temelinde, ilerlemenin bilinmeyen üyelerini buluyoruz.

Gördüğünüz gibi, bir geometrik ilerlemenin elemanlarını hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek

Örnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimini bulun.

Çözüm: Tanımına dayalı olarak geomitrik ilerlemenin paydasını hesaplayın

Paydası -2 olan alternatif bir geometrik ilerleme elde ettik. Yedinci terim formülle hesaplanır

Bu sorunu çözmüştür.

Örnek 3. İki elemanı tarafından bir geometrik dizi veriliyor ... İlerlemedeki onuncu terimi bulun.

Çözüm:

Verilen değerleri formüller üzerinden yazalım

Kurallara göre, paydayı bulmak ve ardından istenen değeri aramak gerekir, ancak onuncu terim için elimizde

Aynı formül, girdi verileriyle basit manipülasyonlara dayalı olarak elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine bölersek, sonuç olarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa, onuncuyu elde ederiz.

Böylece bu tür görevler için basit dönüşümleri hızlı bir şekilde kullanarak doğru çözümü bulabilirsiniz.

Örnek 4. Geometrik ilerleme, yinelenen formüllerle verilir

Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.

Çözüm:

Verilen verileri bir denklem sistemi şeklinde yazalım.

Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin

İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulun

Geometrik bir ilerlemenin toplamını bulmak için sonraki beş terimi hesaplayalım