|
Verilen metodolojik materyal yalnızca referans amaçlıdır ve çok çeşitli konular için geçerlidir. Makale, temel temel fonksiyonların grafiklerine genel bir bakış sunuyor ve en önemli konuyu ele alıyor - bir grafiğin doğru ve HIZLI bir şekilde nasıl oluşturulacağı. Temel temel fonksiyonların grafikleri hakkında bilgi sahibi olmadan yüksek matematik çalışması sırasında zor olacaktır, bu nedenle parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. grafiklerinin neye benzediğini hatırlamak ve bazılarını hatırlamak çok önemlidir. fonksiyonların anlamları. Ayrıca ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz. Materyallerin eksiksizliği ve bilimsel bütünlüğü iddiasında değilim; her şeyden önce uygulamaya - hangi şeylere - ağırlık verilecektir. Yüksek matematiğin herhangi bir konusunda kelimenin tam anlamıyla her adımda karşılaşılır. Aptallar için çizelgeler mi? Öyle söylenebilir.
Okuyuculardan gelen çok sayıda istek nedeniyle tıklanabilir içindekiler tablosu:
Ayrıca konuyla ilgili çok kısa bir özet var
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür grafikte ustalaşın!
Cidden altı, ben bile şaşırdım. Bu özet geliştirilmiş grafikler içerir ve cüzi bir ücret karşılığında mevcuttur; demo sürümü görüntülenebilir. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkür ederiz!
Ve hemen başlayalım:
Koordinat eksenleri doğru şekilde nasıl oluşturulur?
Uygulamada testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından kare şeklinde dizilmiş ayrı defterlerde tamamlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarda yapılabilir. Ve kafes sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.
Bir fonksiyon grafiğinin herhangi bir çizimi koordinat eksenleriyle başlar.
Çizimler iki boyutlu veya üç boyutlu olabilir.
İlk önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi:
1) Beraberlik koordinat eksenleri. Eksen denir x ekseni
ve eksen y ekseni
. Her zaman onları çizmeye çalışıyoruz düzgün ve çarpık değil. Okların da Papa Carlo'nun sakalına benzememesi gerekiyor.
2) Eksenleri büyük harflerle “X” ve “Y” ile imzalıyoruz. Eksenleri etiketlemeyi unutmayın.
3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: bir sıfır ve iki bir çiz. Çizim yaparken en kullanışlı ve en sık kullanılan ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse ona sadık kalın. Ancak zaman zaman çizimin defter sayfasına sığmadığı durumlar olur - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadiren de olsa çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya arttırılması) gerekebilir.
“Makineli tüfeğe” GEREK YOKTUR…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….İçin koordinat düzlemi Descartes'a ait bir anıt değildir ve öğrenci de bir güvercin değildir. biz koyduk sıfır Ve eksenler boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, diğer değerleri "işaretlemek" uygundur, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" - ve bu sistem (0, 2 ve 3) aynı zamanda koordinat ızgarasını benzersiz bir şekilde tanımlayacaktır.
Çizimi oluşturmadan ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir. Yani, örneğin, eğer görev köşeleri olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa , , , o zaman popüler 1 birim = 2 hücre ölçeğinin işe yaramayacağı tamamen açıktır. Neden? Gelin şu noktaya bakalım - burada on beş santimetre aşağıyı ölçmeniz gerekecek ve açıkçası çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle hemen daha küçük bir ölçek seçiyoruz: 1 birim = 1 hücre.
Bu arada, yaklaşık santimetre ve dizüstü bilgisayar hücreleri. 30 defter hücresinin 15 santimetre içerdiği doğru mu? Eğlenmek için not defterinizde 15 santimetreyi bir cetvelle ölçün. SSCB'de bu doğru olabilir... Aynı santimetreyi yatay ve dikey olarak ölçerseniz sonuçların (hücrelerdeki) farklı olacağını belirtmek ilginçtir! Açıkçası, modern defterler kareli değil dikdörtgen şeklindedir. Bu saçma görünebilir, ancak bu gibi durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda yerli otomobil endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan enerji santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.
Kaliteden bahsetmişken ya da kırtasiye konusunda kısa bir tavsiye. Bugün satışta olan dizüstü bilgisayarların çoğu, en azından tam bir saçmalık. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmaları nedeniyle! Kağıt üzerinde tasarruf ediyorlar. Kayıt için testler Daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Kağıt Hamuru ve Kağıt Fabrikası'ndan (18 sayfa, kare) veya "Pyaterochka" defterlerini kullanmanızı öneririm. Bir jel kalem seçmeniz önerilir; en ucuz Çin jel dolumu bile, kağıdı lekeleyen veya yırtan tükenmez kalemden çok daha iyidir. Tek "rekabetçi" tükenmez kalem hafızamda "Erich Krause" var. İster dolu ister neredeyse boş olsun, net, güzel ve tutarlı bir şekilde yazıyor.
Ek olarak: Makalede analitik geometri gözüyle dikdörtgen koordinat sisteminin görünümü ele alınmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli, hakkında detaylı bilgi çeyrekleri koordine etmek dersin ikinci paragrafında bulunabilir Doğrusal eşitsizlikler.
3D kasa
Burada da hemen hemen aynı.
1) Koordinat eksenlerini çizin. Standart: eksen uygulaması
– yukarıya doğru, eksen – sağa doğru, eksen – aşağıya sola doğru kesinlikle 45 derecelik bir açıyla.
2) Eksenleri etiketleyin.
3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçek diğer eksenler boyunca olan ölçekten iki kat daha küçüktür. Ayrıca sağdaki çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "çentik" kullandığımı da unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim açımdan bu daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramaya ve koordinatların kökenine yakın bir birimi "şekillendirmeye" gerek yok.
3D çizim yaparken yine ölçeğe öncelik verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).
Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek için yapılmıştır. Şimdi yapacağım şey bu. Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri bakış açısından yanlış görünecek doğru tasarım. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak Excel bunları daha doğru çizme konusunda isteksiz olduğundan bunları çizmek aslında korkutucu.
Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri
Denklemde doğrusal bir fonksiyon verilmektedir. Doğrusal fonksiyonların grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizebilmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.
Örnek 1
Fonksiyonun grafiğini oluşturun. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.
Eğer öyleyse
Başka bir noktayı ele alalım, örneğin 1.
Eğer öyleyse
Görevleri tamamlarken noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:
Ve değerlerin kendisi sözlü olarak veya bir taslakta, bir hesap makinesinde hesaplanır.
İki nokta bulundu, bir çizim yapalım:
Çizim hazırlarken mutlaka grafikleri imzalarız.
Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak faydalı olacaktır:
İmzaları nasıl attığıma dikkat edin. imzalar çizimi incelerken tutarsızlıklara izin vermemelidir. İÇİNDE bu durumdaÇizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.
1) () formunun doğrusal bir fonksiyonuna doğru orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizgi oluşturmak basitleştirilmiştir - yalnızca bir noktayı bulmak yeterlidir.
2) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulunmadan hemen çizilir. Yani giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman -4'e eşittir."
3) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen çizilir. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."
Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırladınız?! Bu böyledir, belki de öyledir, ancak yıllar süren pratikte veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında şaşkına dönen bir düzine öğrenciyle tanıştım.
Düz bir çizgi oluşturmak, çizim yaparken en yaygın eylemdir.
Düz çizgi analitik geometri dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır ve ilgilenenler bu makaleye başvurabilirler. Düzlemde düz bir çizginin denklemi.
İkinci dereceden, kübik bir fonksiyonun grafiği, bir polinomun grafiği
Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği  () bir parabolü temsil eder. Ünlü vakayı düşünün:
Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.
Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğunu türev hakkındaki teorik makaleden ve fonksiyonun ekstremumlarına ilişkin dersten öğrenebilirsiniz. Bu arada karşılık gelen “Y” değerini de hesaplayalım:
Böylece tepe noktası bu noktadadır
Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon  – bile değil, ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.
Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:
Bu inşaat algoritması mecazi olarak Anfisa Chekhova ile "mekik" veya "ileri geri" ilkesi olarak adlandırılabilir.
Çizimi yapalım:
İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:
İkinci dereceden bir fonksiyon için  () aşağıdakiler doğrudur:
Eğer öyleyse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
Eğer öyleyse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.
Eğri hakkında derinlemesine bilgi Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.
Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:
Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim
Bir fonksiyonun grafiği
Bir parabolün dallarından birini temsil eder. Çizimi yapalım:
Fonksiyonun ana özellikleri:
Bu durumda eksen dikey asimptot
'deki bir hiperbolün grafiği için.
Bir çizimi çizerken dikkatsizce grafiğin bir asimptotla kesişmesine izin verirseniz, bu BÜYÜK bir hata olur.
Ayrıca tek taraflı limitler bize hiperbolün yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.
Sonsuzdaki fonksiyonu inceleyelim: yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” düzenli bir adımda olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.
Yani eksen yatay asimptot
Bir fonksiyonun grafiği için, eğer “x” artı veya eksi sonsuza doğru gidiyorsa.
İşlev garip ve bu nedenle hiperbol orijine göre simetriktir. Bu gerçek çizimde açıkça görülmektedir, ayrıca analitik olarak da kolayca doğrulanabilir:  .
() formundaki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.
Eğer ise hiperbol birinci ve üçüncü koordinat çeyreğinde bulunur(yukarıdaki resme bakın).
Eğer ise hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinde bulunur.
Belirtilen hiperbol yerleşim modelinin grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından analiz edilmesi kolaydır.
Örnek 3
Hiperbolün sağ dalını oluşturun
Noktasal inşa yöntemini kullanıyoruz ve değerleri bir bütüne bölünebilecek şekilde seçmek avantajlıdır:
Çizimi yapalım:
Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak; fonksiyonun tuhaflığı burada yardımcı olacaktır. Kabaca söylemek gerekirse, nokta nokta yapım tablosunda her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekliyoruz, karşılık gelen noktaları koyuyoruz ve ikinci dalı çiziyoruz.
Dikkate alınan çizgi hakkında ayrıntılı geometrik bilgi Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.
Üstel Fonksiyonun Grafiği
Bu bölümde hemen üstel fonksiyonu ele alacağım çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların %95'inde üstel ortaya çıkıyor.
Bunun irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım: Aslında törensiz yapacağım bir grafik oluştururken bu gerekecek. Üç nokta muhtemelen yeterlidir:
Şimdilik fonksiyonun grafiğini burada bırakalım, daha sonra buna daha fazla değinelim.
Fonksiyonun ana özellikleri:
Fonksiyon grafikleri vb. temelde aynı görünür.
İkinci durumun pratikte daha az sıklıkta yaşandığını söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu yazıya dahil etmeyi gerekli gördüm.
Logaritmik bir fonksiyonun grafiği
Doğal logaritmalı bir fonksiyonu düşünün.
Nokta nokta bir çizim yapalım:
Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız lütfen okul ders kitaplarınıza bakın.
Fonksiyonun ana özellikleri:
Tanım alanı: 
Değer aralığı: .
İşlev yukarıdan sınırlı değildir:  Yavaş da olsa logaritmanın dalı sonsuza kadar gider.
Sağdaki fonksiyonun sıfıra yakın davranışını inceleyelim:  . Yani eksen dikey asimptot
“x” gibi bir fonksiyonun grafiği sağdan sıfıra doğru yönelir.
Logaritmanın tipik değerini bilmek ve hatırlamak zorunludur: .
Prensip olarak, tabana göre logaritmanın grafiği aynı görünür: , , (10 tabanına göre ondalık logaritma), vb. Üstelik taban ne kadar büyük olursa grafik o kadar düz olur.
Bu durumu dikkate almayacağız; en son ne zaman böyle bir temele dayalı bir grafik oluşturduğumu hatırlamıyorum. Ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir görülen bir misafir gibi görünüyor.
Bu paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyon– bunlar karşılıklı olarak ters iki fonksiyondur. Logaritmanın grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumda olduğunu görebilirsiniz.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri
Okulda trigonometrik işkence nerede başlar? Sağ. sinüsten
Fonksiyonun grafiğini çizelim
Bu çizgiye denir sinüzoid.
"Pi"nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride gözlerinizi kamaştırdığını hatırlatayım.
Fonksiyonun ana özellikleri:
Bu işlevöyle periyodik dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Segmente bakalım. Solunda ve sağında grafiğin tam olarak aynı parçası sonsuza kadar tekrarlanıyor.
Tanım alanı: yani her “x” değeri için bir sinüs değeri vardır.
Değer aralığı: . İşlev sınırlı: , yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alıyor.
Bu olmuyor, daha doğrusu oluyor ama bu denklemlerin çözümü yok. |
Parabol. İkinci dereceden fonksiyonun () grafiği bir paraboldür. Kanonik durumu düşünün:
Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.
Tanımın alanı herhangi bir gerçek sayıdır (“x”in herhangi bir değeri). Bu ne anlama geliyor? Eksen üzerinde hangi noktayı seçersek seçelim, her “x” için bir parabol noktası vardır. Matematiksel olarak şöyle yazılır: . Herhangi bir fonksiyonun tanım alanı standart olarak veya ile gösterilir. Mektup, bir dizi gerçek sayıyı veya daha basit bir ifadeyle "herhangi bir X"i belirtir (iş bir not defterine yazıldığında, kıvırcık bir harf değil, kalın bir harf yazılır) R).
Aralık, “y” değişkeninin alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Bu durumda: – tümünün kümesi pozitif değerler sıfır dahil. Değer aralığı standart olarak veya ile gösterilir.
İşlev eşit Eğer fonksiyon çift ise grafiği eksene göre simetriktir. Bu çok kullanışlı özellik Bu, yakında göreceğimiz gibi, bir grafiğin oluşturulmasını önemli ölçüde basitleştirir. Analitik olarak bir fonksiyonun paritesi koşulla ifade edilir. Eşlik açısından herhangi bir işlev nasıl kontrol edilir? Bunun yerine denklemde yerine koymanız gerekir. Bir parabol durumunda kontrol şu şekilde görünür: bu, fonksiyonun çift olduğu anlamına gelir.
İşlev yukarıdan sınırlı değil. Analitik olarak özellik şu şekilde yazılır: . Bu arada, burada bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamının bir örneği var: eğer eksen boyunca (sola veya sağa) sonsuza gidersek, o zaman parabolün dalları (“Y” anlamına gelir) sonsuza kadar yukarıya doğru “artı sonsuza” gidecektir.
Şu tarihte: fonksiyonların limitlerini incelemek Limitin geometrik anlamını anlamanız tavsiye edilir.
Fonksiyonun özelliklerini bu kadar detaylı anlatmış olmam tesadüf değil; fonksiyonların grafiklerini oluştururken ve fonksiyonların grafiklerini incelerken yukarıdakilerin tümünü bilmek ve hatırlamak faydalıdır.
Örnek 2
Fonksiyonun grafiğini çizin 
.
Bu örnekte önemli bir teknik konuya bakacağız: Hızlı bir şekilde parabol nasıl oluşturulur? Pratik görevlerde, bir parabol çizme ihtiyacı, özellikle bir şeklin alanını hesaplarken çok sık ortaya çıkar. belirli integral. Bu nedenle, bir çizimin minimum zaman kaybıyla hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını öğrenmeniz tavsiye edilir. Aşağıdaki inşaat algoritmasını öneriyorum.
İlk önce parabolün tepe noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için birinci türevi alın ve sıfıra eşitleyin:
Türevlerle aranız iyi değilse bu dersi okumalısınız Türevi nasıl bulunur?
Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Karşılık gelen “Y” değerini hesaplıyoruz:
Böylece tepe noktası bu noktadadır
Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon – bile değil, ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.
Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:
Bu inşaat algoritmasına mecazi olarak "mekik" adı verilebilir. Belki herkes mekiğin özünü anlamıyor, o zaman karşılaştırma yapmak için size ünlü "Anfisa Çehova ile ileri geri" dizisini hatırlatıyorum.
Çizimi yapalım:
İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:
İkinci dereceden fonksiyon () için aşağıdakiler doğrudur:
Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
Eğer öyleyse, parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.
Kübik parabol
Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:
Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim
Tanımın alanı herhangi bir gerçek sayıdır: .
Değer aralığı – herhangi bir gerçek sayı: .
İşlev garip. Bir fonksiyon tek ise grafiği orijine göre simetriktir. Analitik olarak, bir fonksiyonun tuhaflığı şu koşulla ifade edilir: 
. Kübik fonksiyon için bir kontrol yapalım; bunun için “X” yerine “eksi X” koyarız:
Bu, fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir.
İşlev sınırlı değil. Fonksiyon limitleri dilinde bu şu şekilde yazılabilir:
Anfisa Chekhova'nın mekik algoritmasını kullanarak kübik bir parabol oluşturmak da daha verimlidir:
Elbette, işlevin tuhaflığının başka nerede ortaya çıktığını fark etmişsinizdir. Eğer bunu bulursak 
, o zaman hesaplama yaparken hiçbir şeyi saymaya gerek kalmaz, bunu otomatik olarak yazarız. Bu özellik herhangi bir tek işlev için geçerlidir.
Şimdi biraz polinomların grafiklerinden bahsedelim.
Herhangi bir üçüncü derece polinomun grafiği 
() temel olarak aşağıdaki forma sahiptir:
Bu örnekte en yüksek derecenin katsayısı dır, dolayısıyla grafik “tersine” çevrilir. 5., 7., 9. ve diğer tek dereceli polinomların grafikleri esasen aynı görünüme sahiptir. Derece ne kadar yüksek olursa, orta düzey “zagibulinler” o kadar fazla olur.
4., 6. ve diğer çift dereceli polinomların grafiği temelde aşağıdaki biçimdedir:
Bu bilgi fonksiyon grafiklerini incelerken faydalıdır.
Bir fonksiyonun grafiği
Çizimi yapalım:
Fonksiyonun ana özellikleri:
Kapsam: .
Değer aralığı: .
Yani fonksiyonun grafiği tamamen birinci koordinat çeyreğinde yer alır.
İşlev yukarıdan sınırlı değil. Veya bir limit kullanarak: 
Köklerle en basit grafikleri oluştururken noktasal yapım yöntemi de uygundur ve kökün tamamının çıkarılması için bu tür "x" değerlerinin seçilmesi avantajlıdır:
Parabol. İkinci dereceden fonksiyonun () grafiği bir paraboldür. Kanonik durumu düşünün:
Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.
Tanımın alanı herhangi bir gerçek sayıdır (“x”in herhangi bir değeri). Bu ne anlama geliyor? Eksen üzerinde hangi noktayı seçersek seçelim, her “x” için bir parabol noktası vardır. Matematiksel olarak şöyle yazılır: . Herhangi bir fonksiyonun tanım alanı standart olarak veya ile gösterilir. Mektup, bir dizi gerçek sayıyı veya daha basit bir ifadeyle "herhangi bir X"i belirtir (iş bir not defterine yazıldığında, kıvırcık bir harf değil, kalın bir harf yazılır) R).
Aralık, “y” değişkeninin alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Bu durumda: – sıfır dahil tüm pozitif değerlerin kümesi. Değer aralığı standart olarak veya ile gösterilir.
İşlev eşit Eğer fonksiyon çift ise grafiği eksene göre simetriktir. Bu, birazdan göreceğimiz gibi, grafiğin oluşturulmasını önemli ölçüde kolaylaştıran çok kullanışlı bir özelliktir. Analitik olarak bir fonksiyonun paritesi koşulla ifade edilir. Eşlik açısından herhangi bir işlev nasıl kontrol edilir? Bunun yerine denklemde yerine koymanız gerekir. Bir parabol durumunda kontrol şu şekilde görünür: bu, fonksiyonun çift olduğu anlamına gelir.
İşlev yukarıdan sınırlı değil. Analitik olarak özellik şu şekilde yazılır: . Bu arada, burada bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamının bir örneği var: eğer eksen boyunca (sola veya sağa) sonsuza gidersek, o zaman parabolün dalları (“Y” anlamına gelir) sonsuza kadar yukarıya doğru “artı sonsuza” gidecektir.
Şu tarihte: fonksiyonların limitlerini incelemek Limitin geometrik anlamını anlamanız tavsiye edilir.
Fonksiyonun özelliklerini bu kadar detaylı anlatmış olmam tesadüf değil; fonksiyonların grafiklerini oluştururken ve fonksiyonların grafiklerini incelerken yukarıdakilerin tümünü bilmek ve hatırlamak faydalıdır.
Örnek 2
Fonksiyonun grafiğini oluşturun.
Bu örnekte önemli bir teknik konuya bakacağız: Hızlı bir şekilde parabol nasıl oluşturulur? Pratik görevlerde, özellikle hesaplama yaparken bir parabol çizme ihtiyacı çok sık ortaya çıkar. belirli bir integral kullanan bir şeklin alanı. Bu nedenle, bir çizimin minimum zaman kaybıyla hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını öğrenmeniz tavsiye edilir. Aşağıdaki inşaat algoritmasını öneriyorum.
İlk önce parabolün tepe noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için birinci türevi alın ve sıfıra eşitleyin:
Türevlerle aranız iyi değilse bu dersi okumalısınız Türevi nasıl bulunur?
Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Karşılık gelen “Y” değerini hesaplıyoruz:
Böylece tepe noktası bu noktadadır
Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Fonksiyonun şu olduğu unutulmamalıdır. bile değil, ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.
Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:
Bu inşaat algoritmasına mecazi olarak "mekik" adı verilebilir. Belki herkes mekiğin özünü anlamıyor, o zaman karşılaştırma yapmak için size ünlü "Anfisa Çehova ile ileri geri" dizisini hatırlatıyorum.
Çizimi yapalım:
İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:
İkinci dereceden fonksiyon () için aşağıdakiler doğrudur:
Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
Eğer öyleyse, parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.
Kübik parabol
Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:
Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim
Tanımın alanı herhangi bir gerçek sayıdır: .
Değer aralığı – herhangi bir gerçek sayı: .
İşlev garip. Bir fonksiyon tek ise grafiği orijine göre simetriktir. Analitik olarak, bir fonksiyonun tuhaflığı şu koşulla ifade edilir: 
. Kübik fonksiyon için bir kontrol yapalım; bunun için “X” yerine “eksi X” koyarız:
Bu, fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir.
İşlev sınırlı değil. Fonksiyon limitleri dilinde bu şu şekilde yazılabilir:
Anfisa Chekhova'nın mekik algoritmasını kullanarak kübik bir parabol oluşturmak da daha verimlidir:
Elbette, işlevin tuhaflığının başka nerede ortaya çıktığını fark etmişsinizdir. Eğer bunu bulursak 
, o zaman hesaplama yaparken hiçbir şeyi saymaya gerek kalmaz, bunu otomatik olarak yazarız. Bu özellik herhangi bir tek işlev için geçerlidir.
Şimdi biraz polinomların grafiklerinden bahsedelim.
Herhangi bir üçüncü derece polinomun grafiği 
() temel olarak aşağıdaki forma sahiptir:
Bu örnekte en yüksek derecenin katsayısı dır, dolayısıyla grafik “tersine” çevrilir. 5., 7., 9. ve diğer tek dereceli polinomların grafikleri esasen aynı görünüme sahiptir. Derece ne kadar yüksek olursa, orta düzey “zagibulinler” o kadar fazla olur.
4., 6. ve diğer çift dereceli polinomların grafiği temelde aşağıdaki biçimdedir:
Bu bilgi fonksiyon grafiklerini incelerken faydalıdır.
Bir fonksiyonun grafiği
Çizimi yapalım:
Fonksiyonun ana özellikleri:
Kapsam: .
Değer aralığı: .
Yani fonksiyonun grafiği tamamen birinci koordinat çeyreğinde yer alır.
İşlev yukarıdan sınırlı değil. Veya bir limit kullanarak: 
Köklerle en basit grafikleri oluştururken noktasal yapım yöntemi de uygundur ve kökün tamamının çıkarılması için bu tür "x" değerlerinin seçilmesi avantajlıdır:
Aslında daha çok kök içeren örneklere bakmak isterdim ama bunlar çok daha az yaygın. Daha yaygın vakalara odaklanıyorum ve uygulamanın gösterdiği gibi, buna benzer bir şeyin çok daha sık inşa edilmesi gerekiyor. Grafiklerin diğer köklerle nasıl göründüğünü bulmaya ihtiyaç varsa, o zaman araştırmanızı öneririm okul ders kitabı veya matematiksel bir referans kitabı.
Hiperbol grafiği
Yine önemsiz “okul” abartısını hatırlıyoruz.
Çizimi yapalım:
Fonksiyonun ana özellikleri:
Kapsam: .
Değer aralığı: .
Gösterim şu anlama gelir: “sıfır hariç herhangi bir gerçek sayı”
Bir noktada fonksiyon sonsuz bir süreksizliğe maruz kalır. Veya kullanarak tek taraflı sınırlar: , . Biraz tek taraflı limitlerden bahsedelim. Giriş şu anlama gelir: sonsuz yakın Ekseni sıfıra yaklaşmak sol. Program nasıl davranıyor? Eksi sonsuza kadar iner, sonsuz yakın eksene yaklaşıyor. Sınır olarak yazılan bu gerçektir. Benzer şekilde, gösterim şu anlama gelir: sonsuz yakın Ekseni sıfıra yaklaşmak Sağ. Bu durumda hiperbolün dalı artı sonsuza kadar gider, sonsuz yakın eksene yaklaşıyor. Veya kısaca: .
tür
Nerede Başka bir deyişle kübik fonksiyon üçüncü dereceden bir polinomla tanımlanır.
Analitik özellikler
Başvuru
Kübik parabol bazen taşımadaki geçiş eğrisini hesaplamak için kullanılır, çünkü hesaplanması bir klotoid oluşturmaktan çok daha basittir.
Ayrıca bakınız
"Kübik fonksiyon" makalesi hakkında bir inceleme yazın
Notlar
Edebiyat
- L. S. Pontryagin, // “Kuantum”, 1984, No. 3.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, “Matematik El Kitabı”, “Nauka” yayınevi, M. 1967, s. 84
Kübik fonksiyonu karakterize eden alıntı
- Her ne içinse...
Bu sırada kimsenin umursamadığı Petya babasına yaklaştı ve kıpkırmızı, bazen kaba, bazen zayıf, kırılan bir sesle şöyle dedi:
"Peki, şimdi baba, kararlı bir şekilde şunu söyleyeceğim - ve anneciğim de, nasıl istersen - beni içeri alacağını kararlı bir şekilde söyleyeceğim." askerlik hizmeti, çünkü yapamam... hepsi bu...
Kontes dehşet içinde gözlerini gökyüzüne kaldırdı, ellerini kavuşturdu ve öfkeyle kocasına döndü.
- Ben de kabul ettim! - dedi.
Ancak sayım heyecanını hemen toparladı.
"Peki, peki" dedi. - İşte başka bir savaşçı! Saçmalamayı bırakın: çalışmanız gerekiyor.
- Bu saçmalık değil baba. Fedya Obolensky benden daha genç ve o da geliyor ve en önemlisi, şu anda hala hiçbir şey öğrenemiyorum ... - Petya durdu, terleyene kadar kızardı ve şöyle dedi: - anavatan tehlikede olduğunda.
- Tam, tam, saçmalık...
- Ama sen kendin her şeyi feda edeceğimizi söyledin.
Kont, "Petya, sana söylüyorum, çeneni kapat," diye bağırdı, solgunlaşan ve sabit gözlerle en küçük oğluna bakan karısına baktı.
- Ve sana söylüyorum. Pyotr Kirillovich şöyle diyecek...
“Size söylüyorum, bu çok saçma, süt henüz kurumadı ama askere gitmek istiyor!” Peki, sana söylüyorum," ve muhtemelen dinlenmeden önce ofiste tekrar okumak için kağıtları yanına alan kont odadan çıktı.
- Pyotr Kirillovich, hadi bir sigara içelim...
Pierre'in kafası karışmıştı ve kararsızdı. Natasha'nın alışılmadık derecede parlak ve hareketli gözleri, ona sürekli şefkatle bakmaktan çok, onu bu duruma getirdi.
- Hayır, sanırım eve gideceğim...
- Eve gitmek gibi ama akşamı bizimle geçirmek istedin... Sonra da nadiren geldin. Ve benimki de..." dedi kont iyi huylu bir şekilde, Natasha'yı işaret ederek, "sadece sen etraftayken neşeli..."
“Evet unuttum... Kesinlikle eve gitmem gerekiyor... Yapılacak şeyler...” dedi Pierre aceleyle.
"Pekala, hoşçakalın" dedi kont ve odadan tamamen çıktı.
- Neden gidiyorsun? Neden üzgünsün? Neden?..” Natasha Pierre'e meydan okurcasına gözlerinin içine bakarak sordu.
"Çünkü seni seviyorum! - söylemek istedi ama söylemedi, ağlayana kadar kızardı ve gözlerini indirdi.
- Çünkü seni daha az ziyaret etmem benim için daha iyi... Çünkü... hayır, sadece işim var.
- Neden? hayır, söyle bana," diye başladı Natasha kararlı bir şekilde ve aniden sustu. İkisi de korku ve şaşkınlıkla birbirlerine baktılar. Sırıtmaya çalıştı ama yapamadı: gülümsemesi acıyı ifade ediyordu ve sessizce elini öpüp gitti.
Pierre artık Rostov'ları kendisiyle birlikte ziyaret etmemeye karar verdi. Kesin bir ret aldıktan sonra Petya odasına gitti ve orada kendini herkesten uzaklaştırarak acı bir şekilde ağladı. Çaya geldiğinde, sessiz ve kasvetli, yaşlarla dolu gözlerle her şeyi sanki hiçbir şey fark etmemiş gibi yaptılar.
Ertesi gün hükümdar geldi. Rostov avlularından birkaçı gidip Çar'ı görmek istedi. O sabah Petya'nın giyinmesi, saçını taraması ve yakalarını büyük yakalar gibi düzenlemesi uzun zaman aldı. Aynanın karşısında kaşlarını çattı, jestler yaptı, omuz silkti ve sonunda kimseye bir şey söylemeden, fark edilmemeye çalışarak şapkasını taktı ve arka verandadan evden çıktı. Petya, doğrudan hükümdarın bulunduğu yere gitmeye karar verdi ve doğrudan bir meclis üyesine (Petya'ya hükümdarın her zaman meclis üyeleri tarafından kuşatıldığı görülüyordu) kendisinin, Kont Rostov'un gençliğine rağmen anavatana, o gençliğe hizmet etmek istediğini açıklamaya karar verdi. bağlılığa engel olamayacağını ve hazır olduğunu... Petya hazırlanırken kahyaya söyleyeceği pek çok harika söz hazırladı.
y=x^2 fonksiyonuna ikinci dereceden fonksiyon denir. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Genel görünüm Parabol aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
İkinci dereceden fonksiyon
Şekil 1. Parabolün genel görünümü
Grafikten de görülebileceği gibi Oy eksenine göre simetriktir. Oy eksenine parabolün simetri ekseni denir. Bu, grafikte Ox eksenine paralel, bu eksenin üzerinde düz bir çizgi çizerseniz anlamına gelir. Daha sonra parabol iki noktada kesişecektir. Bu noktalardan Oy eksenine olan mesafe aynı olacaktır.
Simetri ekseni bir parabolün grafiğini iki parçaya böler. Bu parçalara parabolün dalları denir. Ve bir parabolün simetri ekseni üzerinde bulunan noktasına parabolün tepe noktası denir. Yani simetri ekseni parabolün tepe noktasından geçer. Bu noktanın koordinatları (0;0)'dır.
İkinci dereceden bir fonksiyonun temel özellikleri
1. x =0'da, y=0'da ve x0'da y>0'da
2. Minimum değer ikinci dereceden fonksiyon tepe noktasına ulaşır. x=0'da Ymin; Şunu da belirtmek gerekir ki maksimum değer fonksiyon mevcut değil.
3. Fonksiyon (-∞;0] aralığında azalır ve aralığında artar)
