|
Yamuk yöntemi
Ana makale:Yamuk yöntemi
Kısmi parçaların her birindeki fonksiyona, içinden geçen düz bir çizgi ile yaklaşılırsa nihai değerler, o zaman yamuk yöntemini elde ederiz.
Her segmentteki yamuğun alanı:
Her segmentteki yaklaşım hatası:
 Nerede 
Tam formül tüm entegrasyon aralığının eşit uzunlukta parçalara bölünmesi durumunda yamuk:
 Nerede
Yamuk formül hatası:
 Nerede 
Simpson'ın yöntemi.
 İntegrand f(x) değiştirildi enterpolasyon polinomu ikinci derece P(x)– örneğin şekilde gösterildiği gibi üç düğümden geçen bir parabol ((1) – fonksiyon, (2) – polinom).
Entegrasyonun iki adımını ele alalım ( H= sabit = x i+1 – x i), yani üç düğüm x 0, x 1, x 2 Newton denklemini kullanarak bir parabol çiziyoruz:
İzin vermek z = x - x 0,
Daha sonra
Şimdi elde edilen ilişkiyi kullanarak bu aralıktaki integrali hesaplıyoruz:
.
İçin üniforma örgü Ve çift adım sayısı n Simpson formülü şu şekli alır:
Burada  , A  integralin dördüncü türevinin sürekliliği varsayımı altında.
[düzenlemek] Arttırılmış doğruluk
Bir fonksiyonun tüm entegrasyon aralığı boyunca tek bir polinomla yaklaşımı, kural olarak, integralin değerinin tahmin edilmesinde büyük bir hataya yol açar.
Hatayı azaltmak için entegrasyon segmenti parçalara bölünür ve her birinin üzerindeki integrali değerlendirmek için sayısal bir yöntem kullanılır.
Bölümlerin sayısı sonsuza doğru yöneldikçe, integralin tahmini, herhangi bir sayısal yöntem için analitik fonksiyonlar için gerçek değerine doğru yönelir.
Yukarıdaki yöntemler, adımın yarıya indirilmesine yönelik basit bir prosedüre izin verir; her adım, işlev değerlerinin yalnızca yeni eklenen düğümlerde hesaplanmasını gerektirir. Hesaplama hatasını tahmin etmek için Runge kuralı kullanılır.
Runge kuralının uygulanması
düzenle]Belirli bir integralin hesaplanmasının doğruluğunun değerlendirilmesi
İntegral, seçilen formül (dikdörtgenler, yamuklar, Simpson parabolleri) kullanılarak adım sayısı n'ye eşit ve ardından adım sayısı 2n'ye eşit olacak şekilde hesaplanır. İntegralin değerinin 2n'ye eşit adım sayısıyla hesaplanmasındaki hata Runge formülü ile belirlenir:
, dikdörtgen ve yamuk formülleri ve Simpson formülü için.
Böylece integral, adım sayısının ardışık değerleri için hesaplanır; burada n 0, başlangıç adım sayısıdır. Hesaplama işlemi, ε'nun belirtilen doğruluk olduğu bir sonraki N değeri için koşul sağlandığında sona erer.
Hata davranışının özellikleri.
Öyle görünüyor ki neden analiz edelim? farklı yöntemler eğer başarabilirsek entegrasyon yüksek hassasiyet, basitçe entegrasyon adım boyutunu küçültebilirsiniz. Bununla birlikte, son hatanın davranışının grafiğini göz önünde bulundurun R sayısal hesaplamanın sonuçları  ve numaradan N aralık bölümleri (yani, adım . Bölüm (1)'de, adım h'deki bir azalma nedeniyle hata azalır. Ancak bölüm (2)'de, çok sayıda aritmetik işlemin sonucu olarak biriken hesaplama hatası hakim olmaya başlar. Böylece, her biri yöntemin kendine has bir yöntemi var Rmin, birçok faktöre bağlıdır, ancak öncelikle yöntem hatasının önsel değerine bağlıdır R.
Romberg'in açıklayıcı formülü.
Romberg'in yöntemi, integralin değerini, bölüm sayısında çoklu bir artışla sıralı olarak hassaslaştırmaktan oluşur. Düzgün adımlarla yamuk formülü temel alınabilir H.
İntegrali bölüm sayısıyla gösterelim N= 1 olarak  .
Adımı yarı yarıya azaltarak şunu elde ederiz:  .
Adımı art arda 2 n kat azaltırsak, hesaplama için bir yineleme ilişkisi elde ederiz.
Belirli integral. Çözüm örnekleriTekrar merhaba. Bu dersimizde belirli integral gibi harika bir şeyi detaylı olarak inceleyeceğiz. Bu sefer tanıtım kısa olacak. Tüm. Çünkü pencerenin dışında kar fırtınası var. Belirli integrallerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için yapmanız gerekenler:
1) Yapabilmek bulmak belirsiz integraller.
2) Yapabilmek hesaplamak belirli integral.
Gördüğünüz gibi belirli bir integralde uzmanlaşmak için "sıradan" belirsiz integraller hakkında oldukça iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. Bu nedenle, integral hesabına yeni dalmaya başlıyorsanız ve su ısıtıcısı henüz hiç kaynamamışsa, o zaman dersle başlamak daha iyidir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.
İÇİNDE genel görünüm belirli integral şu şekilde yazılır:
Belirsiz integrale ne eklenir? Daha entegrasyonun sınırları.
Entegrasyonun alt sınırı
Entegrasyonun üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon bölümü.
Biz gelmeden önce pratik örnekler, belirli integralle ilgili küçük bir SSS.
Belirli bir integrali çözmek ne anlama gelir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayı bulmak anlamına gelir.
Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan aşina olduğunuz Newton-Leibniz formülünü kullanarak:
Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir; tüm ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.
Belirli bir integrali çözme adımları aşağıdaki gibidir:
1) İlk önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluyoruz. Belirli integraldeki sabitin eklenmedi. Tanım tamamen tekniktir ve dikey çubuğun herhangi bir matematiksel anlamı yoktur, aslında sadece bir işarettir; Kaydın kendisine neden ihtiyaç duyuluyor? Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlık.
2) Üst limitin değerini ters türev fonksiyonunda değiştirin: .
3) Alt limitin değerini terstürev fonksiyonunda değiştirin: .
4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.
Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır, her zaman değil.
Örneğin, entegrasyon segmenti integralin tanım alanına dahil edilmediğinden integral mevcut değildir (aşağıdaki değerler) karekök negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Doğru parçasının noktalarında teğet olmadığından böyle bir integral de mevcut değildir. Bu arada, henüz kim okumadı? metodolojik materyal Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri– şimdi bunu yapmanın zamanı geldi. Yüksek matematik dersleri boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.
Bunun için Belirli bir integralin var olması için, integralin integral aralığında sürekli olması yeterlidir..
Yukarıdakilerden ilk önemli öneri şu şekildedir: HERHANGİ bir belirli integrali çözmeye başlamadan önce, integral fonksiyonunun olduğundan emin olmanız gerekir. entegrasyon aralığında süreklidir. Öğrenciliğimde, zor bir antiderivatif bulmakta uzun süre uğraştığımda defalarca bir olay yaşadım ve sonunda bulduğumda başka bir soru üzerine kafamı karıştırdım: “Ne tür bir saçmalık olduğu ortaya çıktı” ?” Basitleştirilmiş bir versiyonda durum şuna benzer:  ???? Negatif sayıları kökün altına koyamazsınız! Bu da ne böyle? İlk dikkatsizlik.
Çözmek gerekirse (içinde deneme çalışması, bir testte, sınavda) Size gibi olmayan bir integral teklif ediliyor, ardından integralin olmadığına dair bir cevap vermeniz ve nedenini gerekçelendirmeniz gerekiyor.
Belirli integral şuna eşit olabilir mi? negatif sayı?
Belki. Ve negatif bir sayı. Ve sıfır. Hatta sonsuzluğa bile dönüşebilir, ama zaten öyle olacak uygunsuz integral Bunlara ayrı bir ders verilmektedir.
Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de bu durum aslında pratikte ortaya çıkıyor.
– integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir.
Yüksek matematik vazgeçilmez olan nedir? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle belirli integralin bazı özelliklerini ele alalım.
Belirli bir integralde işareti değiştirerek üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz.: 
Örneğin, belirli bir integralde, entegrasyondan önce, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya göre değiştirilmesi tavsiye edilir:
 – bu formda entegre edilmesi çok daha uygundur.
 – bu yalnızca iki işlev için değil aynı zamanda herhangi bir sayıda işlev için de geçerlidir.
Belirli bir integralde şu gerçekleştirilebilir: entegrasyon değişkeninin değiştirilmesi ancak belirsiz integralle karşılaştırıldığında bunun kendine has özellikleri vardır ve bunları daha sonra konuşacağız.
Belirli bir integral için aşağıdakiler doğrudur: parça formülüne göre entegrasyon:
Örnek 1
Çözüm:
(1) İntegral işaretinden sabiti çıkarıyoruz.
(2) En popüler formülü kullanarak tablo üzerinden entegrasyon yapın  . Ortaya çıkan sabitin ayrılıp braketin dışına konulması tavsiye edilir. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak tavsiye edilir - neden ekstra hesaplamalar yapmalısınız?
 . Önce üst limiti, sonra alt limiti değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.
Örnek 2
Belirli integrali hesaplayın
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Görevi biraz karmaşıklaştıralım:
Örnek 3
Belirli integrali hesaplayın
Çözüm:
(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.
(2) Tüm sabitleri çıkarırken tabloya göre integral alıyoruz - bunlar üst ve alt sınırların ikamesine katılmayacaklar.
(3) Üç terimin her biri için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz:
Belirli integraldeki ZAYIF BAĞLANTI, hesaplama hataları ve İŞARETLERDE yaygın olarak görülen KARIŞIKLIKTIR. Dikkat olmak! Özel ilgiÜçüncü döneme odaklanıyorum:  – dikkatsizlikten kaynaklanan hataların sıralamasında ilk sırada yer alır, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar  (özellikle üst ve alt sınırların değiştirilmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar ayrıntılı olarak yazılmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.
Belirli bir integrali çözmek için dikkate alınan yöntemin tek yöntem olmadığı unutulmamalıdır. Biraz tecrübe ile çözüm önemli ölçüde azaltılabilir. Örneğin ben kendim bu tür integralleri çözmeye alışkınım:
Burada sözlü olarak doğrusallık kurallarını kullandım ve tabloyu kullanarak sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırların işaretlendiği tek bir parantezle karşılaştım:  (ilk yöntemdeki üç parantezden farklı olarak). Ve “tam” terstürev fonksiyonuna önce 4'ü, sonra -2'yi koyarak yine aklımdaki tüm eylemleri gerçekleştirdim.
Kısa çözümün dezavantajları nelerdir? Hesaplamaların rasyonelliği açısından buradaki her şey pek iyi değil, ama şahsen umurumda değil - ortak kesirler Hesap makinesine güveniyorum.
Ayrıca hesaplamalarda hata yapma riski de yüksektir, bu nedenle çay öğrencisinin ilk yöntemi kullanması daha iyidir; “benim” çözme yöntemiyle işaret kesinlikle bir yerlerde kaybolacaktır.
Fakat şüphesiz avantajlarİkinci yöntem ise çözümün hızı, notasyonun kompaktlığı ve antiderivatifin tek parantez içinde olmasıdır.
Tavsiye: Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce şunu kontrol etmekte fayda var: antiderivatifin kendisi doğru bulundu mu?
Dolayısıyla, ele alınan örnekle ilgili olarak: üst ve alt limitleri ters türev fonksiyonuna koymadan önce, taslakta belirsiz integralin doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmeniz önerilir. Ayırt edelim:
Orijinal integral elde edilmiştir, yani belirsiz integral doğru bulunmuştur. Artık Newton-Leibniz formülünü uygulayabiliriz.
Belirli bir integral hesaplanırken böyle bir kontrol gereksiz olmayacaktır..
Örnek 4
Belirli integrali hesaplayın
Bu sizin kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kısa ve detaylı bir şekilde çözmeye çalışın.
Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme
Belirli bir integral için, belirsiz integral için olduğu gibi her türlü ikame geçerlidir. Bu nedenle, oyuncu değişikliği konusunda pek iyi değilseniz dersi dikkatlice okumalısınız. Belirsiz integralde ikame yöntemi.
Bu paragrafta korkutucu veya zor hiçbir şey yok. Yenilik soruda yatıyor Değiştirirken entegrasyon sınırlarının nasıl değiştirileceği.
Örneklerde sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan yedek türlerini vermeye çalışacağım.
Örnek 5
Belirli integrali hesaplayın
Buradaki asıl soru kesinlikle belirli integralle ilgili değil, değiştirmenin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğiyle ilgilidir. Hadi bakalım integral tablosu ve integrand fonksiyonumuzun en çok neye benzediğini bulalım mı? Açıkçası, uzun logaritma için:  . Ancak kökün altındaki integral tablosunda ve bizimkilerde - "x" in dördüncü kuvveti arasında bir tutarsızlık var. Değiştirme fikri de akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır - dördüncü derecemizi bir şekilde kareye dönüştürmek güzel olurdu. Bu gerçek.
Öncelikle integralimizi değiştirmeye hazırlıyoruz:
Yukarıdaki değerlendirmelerden, oldukça doğal olarak bir değiştirme ortaya çıkar:
Böylece paydada her şey yolunda olacak: .
İntegralin geri kalan kısmının neye dönüşeceğini buluyoruz, bunun için diferansiyeli buluyoruz:
Belirsiz integralde yer değiştirmeyle karşılaştırıldığında ek bir adım ekliyoruz.
Entegrasyonun yeni sınırlarını bulma.
Oldukça basit. Yer değiştirmemize ve eski entegrasyon sınırlarına bakalım.
İlk olarak, yerine koyma ifadesinde integralin alt sınırını, yani sıfırı yerine koyarız:
Daha sonra integralin üst sınırını yerine koyma ifadesine, yani üçün köküne koyarız:
Hazır. Ve sadece...
Çözüme devam edelim.
(1) Değiştirmeye göre yeni integral limitleri olan yeni bir integral yazın.
(2) Bu en basit tablo integralidir, tablo üzerinden integral alıyoruz. Sabiti parantezlerin dışında bırakmak daha iyidir (bunu yapmak zorunda değilsiniz), böylece daha sonraki hesaplamalara engel olmaz. Sağda yeni entegrasyon sınırlarını gösteren bir çizgi çiziyoruz - bu Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlıktır.
(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz  .
Cevabı mümkün olduğu kadar yazmaya çalışıyoruz. kompakt form Burada logaritmanın özelliklerini kullandım.
Belirsiz integralden bir diğer farkı da, ikameyi yaptıktan sonra, herhangi bir ters değişiklik yapılmasına gerek yoktur.
Ve şimdi birkaç örnek bağımsız karar. Hangi değişiklikleri yapmanız gerekir - kendi başınıza tahmin etmeye çalışın.
Örnek 6
Belirli integrali hesaplayın
Örnek 7
Belirli integrali hesaplayın
Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örneklerdir. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Ve paragrafın sonunda önemli noktalar analizi site ziyaretçileri sayesinde ortaya çıktı. İlki endişe verici değiştirmenin yasallığı. Bazı durumlarda bu yapılamaz! Böylece, Örnek 6, öyle görünüyor ki, kullanılarak çözülebilir. evrensel trigonometrik ikame ancak entegrasyonun üst sınırı ("pi") dahil değil tanım alanı bu teğet ve dolayısıyla bu ikame yasa dışıdır! Böylece, “değiştirme” işlevi sürekli olmalıdır hepsinde entegrasyon segmentinin noktaları.
başka bir yerde e-posta girildi sonraki soru: “Fonksiyonu diferansiyel işaret altına aldığımızda integralin sınırlarını değiştirmek gerekli midir?” İlk başta "saçmalığı bir kenara bırakın" ve otomatik olarak "tabii ki hayır" cevabını vermek istedim ama sonra böyle bir sorunun nedenini düşündüm ve aniden hiçbir bilgi olmadığını keşfettim.
yeterli değil. Ancak her ne kadar açık olsa da çok önemlidir:
Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alırsak, integralin sınırlarını değiştirmeye gerek yoktur.! Neden? Çünkü bu durumda yeni değişkene gerçek bir geçiş yok. Örneğin:
Ve burada özetleme, entegrasyonun yeni sınırlarının daha sonra "resmi" ile akademik olarak değiştirilmesinden çok daha uygundur. Böylece, Belirli integral çok karmaşık değilse, fonksiyonu her zaman diferansiyel işaretin altına koymaya çalışın.! Daha hızlıdır, daha kompakttır ve onlarca kez göreceğiniz gibi sıradandır!
Mektuplarınız için çok teşekkür ederim!
Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi
Burada daha da az yenilik var. Makalenin tüm hesaplamaları Belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon belirli integral için tamamen geçerlidir.
Artı olan tek bir detay var; parçalı integral alma formülüne, integralin sınırları ekleniyor:
Newton-Leibniz formülünü burada iki kez uygulamak gerekir: çarpım için ve integrali aldıktan sonra.
Örnek olarak yine sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan integral türünü seçtim. Örnek en basit değil ama çok bilgilendirici.
Örnek 8
Belirli integrali hesaplayın
Karar verelim.
Parçalara göre integral alalım:
İntegral konusunda zorluk yaşayanlar derse bir göz atsın Trigonometrik fonksiyonların integralleri orada ayrıntılı olarak tartışılıyor.
(1) Çözümü parçalı integral formülüne göre yazıyoruz.
(2) Ürün için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz. Geriye kalan integral için doğrusallık özelliklerini kullanarak onu iki integrale bölüyoruz. İşaretlere aldanmayın!
(4) Bulunan iki antiderivatif için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz.
Dürüst olmak gerekirse formülü sevmiyorum.  ve mümkünse ... onsuz da yaparım! İkinci çözümü ele alalım; benim açımdan o daha akılcıdır.
Belirli integrali hesaplayın
İlk aşamada belirsiz integrali buluyorum:
Parçalara göre integral alalım:
Antiderivatif fonksiyon bulunmuştur. Sabit giriş bu durumda eklemenin bir anlamı yok.
Böyle bir yürüyüşün avantajı nedir? Entegrasyonun sınırlarını “taşımaya” gerek yok; aslında entegrasyonun sınırlarının küçük sembollerini onlarca kez yazmak yorucu olabilir;
İkinci aşamada kontrol ediyorum(genellikle taslakta).
Ayrıca mantıklı. Antiderivatif fonksiyonu yanlış bulursam belirli integrali de yanlış çözerim. Hemen öğrenmek daha iyi, cevabı farklılaştıralım:
Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani antiderivatif fonksiyon doğru olarak bulunmuştur.
Üçüncü aşama Newton-Leibniz formülünün uygulanmasıdır.:
Ve burada önemli bir fayda var! “Benim” çözüm yönteminde, yerine koymalarda ve hesaplamalarda kafa karışıklığı riski çok daha düşüktür; Newton-Leibniz formülü yalnızca bir kez uygulanır. Çaydanlık benzer bir integrali aşağıdaki formülü kullanarak çözerse  (ilk olarak), o zaman mutlaka bir yerde hata yapacaktır.
Ele alınan çözüm algoritması herhangi bir belirli integral için uygulanabilir..
Sevgili öğrenci, yazdırın ve kaydedin:
Size karmaşık görünen belirli bir integral verilirse veya bunun nasıl çözüleceği hemen belli değilse ne yapmalısınız?
1) İlk önce belirsiz integrali (antitürev fonksiyonu) buluyoruz. İlk aşamada bir serseri varsa, Newton ve Leibniz ile tekneyi daha fazla sallamanın bir anlamı yok. Tek bir yol var - çözme konusundaki bilgi ve becerilerinizi arttırmak belirsiz integraller.
2) Bulunan antiderivatif fonksiyonu türev alarak kontrol ederiz. Yanlış bulunursa üçüncü adım zaman kaybı olacaktır.
3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Tüm hesaplamaları SON DERECE DİKKATLİ bir şekilde yapıyoruz - bu, görevin en zayıf halkasıdır.
Ve atıştırmalık olarak bağımsız çözüm için bir tamamlayıcı.
Örnek 9
Belirli integrali hesaplayın
Çözüm ve cevap yakınlarda bir yerde.
Konuyla ilgili bir sonraki önerilen ders Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?
Parçalara göre integral alalım:
Bunları çözdüğünüzden ve aynı yanıtları aldığınızdan emin misiniz? ;-) Ve yaşlı bir kadın için porno var. |
Teorem. Eğer fonksiyon f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b], Nerede A< b
ve herkes için x ∈ eşitsizlik geçerli
Teoremdeki eşitsizlikler kullanılarak belirli integral tahmin edilebilir; anlamının kapsandığı sınırları gösterir. Bu eşitsizlikler belirli integralin bir tahminini ifade eder.
Teorem [Ortalama Teoremi]. Eğer fonksiyon f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] ve herkes için x ∈ eşitsizlikler giderildi m ≤ f(x) ≤ M, O
Nerede m ≤ μ ≤ M.
Yorum. Fonksiyonun olması durumunda f(x) aralıkta süreklidir [ a, b], teoremden eşitlik şu şekli alır:
Nerede c ∈. Sayı μ=f(c) Bu formülle tanımlanana denir ortalama değer işlevler f(x) segmentte [ a, b] Bu eşitlik aşağıdakilere sahiptir geometrik anlamı: sürekli bir çizgiyle sınırlanan kavisli bir yamuğun alanı y=f(x) (f(x) ≤ 0), aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanına, bu doğru üzerindeki bir noktanın koordinatına eşittir.
Sürekli bir fonksiyonun antiderivatifinin varlığı
İlk olarak üst limiti değişken olan integral kavramını tanıtıyoruz.
Fonksiyona izin ver f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] O zaman sayı ne olursa olsun X itibaren [ a, b], işlev f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] Bu nedenle aralıkta [ a, b] fonksiyon tanımlı
buna üst limiti değişken olan integral denir.
Teorem. İntegral aralıkta sürekli ise [ a, b], bu durumda değişken üst limitli belirli bir integralin türevi vardır ve bu limit için integralin değerine eşittir, yani
Sonuçlar. Değişken bir üst limite sahip belirli bir integral, sürekli bir integralin antiderivatiflerinden biridir. Başka bir deyişle, bir aralıkta sürekli olan herhangi bir fonksiyonun bir antiderivatifi vardır.
Not 1. Fonksiyonun f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] ise, üst limiti değişken olan integral, bu segmentte sürekli olan üst limitin bir fonksiyonudur. Aslında, St.2'den ve sahip olduğumuz ortalama değer teoreminden
Not 2. Değişken üst limitli integral, birçok yeni fonksiyonun tanımında kullanılır, örneğin, 
. Bu işlevler temel değildir; daha önce belirtildiği gibi, belirtilen integrallerin ters türevleri temel işlevler aracılığıyla ifade edilmez.
Entegrasyonun temel kuralları
Newton-Leibniz formülü
Herhangi ikisinden beri antiderivatif fonksiyonlar f(x) bir sabit kadar farklılık gösteriyorsa, önceki teoreme göre herhangi bir antiderivatifin olduğu iddia edilebilir. Φ(x) segmentte sürekli [ a, b] işlevler f(x) benziyor
Nerede C- biraz sabit.
Bu formülde varsayarsak x=a Ve x=b, st.1 belirli integralleri kullanarak şunu buluruz:
Bu eşitlikler ilişkiyi ima eder
buna denir Newton-Leibniz formülü.
Böylece aşağıdaki teoremi kanıtladık:
Teorem. Sürekli bir fonksiyonun belirli integrali, üst ve alt entegrasyon limitleri için antitürevlerinden herhangi birinin değerleri arasındaki farka eşittir.
Newton-Leibniz formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:
Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme
Teorem. Eğer
- işlev f(x) aralıkta süreklidir [ a, b];
- bölüm [ a, b] fonksiyon değerlerinin kümesidir φ(t), segmentte tanımlanmış α ≤ t ≤ β ve üzerinde sürekli bir türev bulunan;
- φ(α)=a, φ(β)=b
o zaman formül doğrudur
Parçalara göre entegrasyon formülü
Teorem. Eğer işlevler u=u(x), v=v(x) aralıkta sürekli türevler var [ a, b] ise formül geçerlidir
Uygulama değeri ortalama değer teoremleri
elde etme olasılığı var mı niteliksel değerlendirme Belirli bir integralin değeri, onu hesaplamadan. Hadi formüle edelim
: Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, o zaman bu aralığın içinde öyle bir nokta vardır ki 
.
Bu formül, karmaşık veya hantal bir fonksiyonun integralini kabaca tahmin etmek için oldukça uygundur. Formülü oluşturan tek nokta yaklaşık
bir zorunluluktur bağımsız seçim
noktalar En basit yolu - entegrasyon aralığının ortasını - seçersek (bazı ders kitaplarında önerildiği gibi), o zaman hata oldukça önemli olabilir. Daha doğru bir sonuç elde etmek için tavsiye ediyoruz
hesaplamayı aşağıdaki sırayla gerçekleştirin:
Aralıktaki bir fonksiyonun grafiğini oluşturun;
Fonksiyon grafiğinin kesme kısımları eşit olacak şekilde dikdörtgenin üst sınırını çizin. alan olarak yaklaşık olarak eşit
(yukarıdaki şekilde gösterilen şey tam olarak budur - iki eğrisel üçgen neredeyse aynıdır);
Şekilden belirleyin;
Ortalama değer teoremini kullanın.
Örnek olarak basit bir integrali hesaplayalım:
Tam değer;
Aralığın ortası için 
aynı zamanda yaklaşık bir değer de elde ederiz; açıkça yanlış sonuç;
Önerilere uygun olarak çizilen dikdörtgenin üst kenarı ile bir grafik oluşturarak yaklaşık değeri elde ederiz. Tamamen tatmin edici bir sonuç, hata %0,75'tir.
Yamuk formülü
Ortalama değer teoremini kullanan hesaplamaların doğruluğu, gösterildiği gibi, önemli ölçüde şunlara bağlıdır: görsel amaç
puan çizelgesine göre. Nitekim aynı örnekte veya noktalarını seçerek integralin diğer değerlerini elde edebilirsiniz ve hata artabilir. Öznel faktörler, grafiğin ölçeği ve çizimin kalitesi sonucu büyük ölçüde etkiler. Bu kabul edilemez
kritik hesaplamalarda, dolayısıyla ortalama değer teoremi yalnızca hızlı hesaplamalara uygulanır kalite
integral tahminleri.
Bu bölümde yaklaşık integralin en popüler yöntemlerinden birini ele alacağız - yamuk formülü
. Bu formülü oluşturmanın ana fikri, şekilde gösterildiği gibi eğrinin yaklaşık olarak kesikli bir çizgi ile değiştirilebileceği gerçeğine dayanmaktadır.
Kesinlik sağlamak için (ve şekle uygun olarak) integrasyon aralığının aşağıdakilere bölündüğünü varsayalım: eşit
(bu isteğe bağlıdır, ancak çok kullanışlıdır) parçalar. Bu parçaların her birinin uzunluğu formülle hesaplanır ve denir. adım
. Bölme noktalarının apsisleri, eğer verilmişse, formülle belirlenir; burada . Bilinen apsisleri kullanarak koordinatları hesaplamak kolaydır. Böylece,
Bu durum için yamuk formülüdür. Parantez içindeki ilk terimin, tüm ara koordinatların eklendiği başlangıç ve son koordinatların yarı toplamı olduğuna dikkat edin. İçin herhangi bir sayı entegrasyon aralığının bölümleri yamuk için genel formül
şu forma sahiptir: karesel formüller: dikdörtgenler, Simpson, Gaussian, vb. Temel alanlar tarafından eğrisel bir yamuğu temsil etme fikrine dayanmaktadırlar. çeşitli şekiller bu nedenle yamuk formülüne hakim olduktan sonra benzer formülleri anlamak zor olmayacaktır. Birçok formül yamuk formülü kadar basit değildir ancak az sayıda bölmeyle yüksek doğrulukta sonuçlar elde etmenize olanak sağlar.
Yamuk formülünü (veya benzerlerini) kullanarak, hem "gerçekleştirilemeyen" integralleri hem de karmaşık veya hantal fonksiyonların integrallerini pratikte gereken doğrulukla hesaplamak mümkündür.
Daha önce belirli bir integrali, integralin antiderivatifinin değerlerindeki fark olarak değerlendirmiştik. İntegralin, entegrasyon aralığında bir ters türevine sahip olduğu varsayılmıştır.
Antiderivatifin temel fonksiyonlarla ifade edilmesi durumunda varlığından emin olabiliriz. Ancak böyle bir ifade yoksa, o zaman bir antiderivatifin varlığı sorusu açık kalır ve karşılık gelen belirli integralin var olup olmadığını bilmiyoruz.
Geometrik değerlendirmeler, örneğin y=e^(-x^2) fonksiyonu için antiderivatifi temel fonksiyonlarla ifade etmenin imkansız olmasına rağmen, integralin \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) var ve alana eşit apsis ekseniyle sınırlanan bir şekil, y=e^(-x^2) fonksiyonunun grafiği ve x=a,~ x=b düz çizgileri (Şekil 6). Ancak daha titiz bir analizle, alan kavramının gerekçelendirilmesi gerektiği ve bu nedenle bir antiderivatifin ve belirli bir integralin varlığına ilişkin soruları çözerken ona güvenilemeyeceği ortaya çıkıyor.
Hadi bunu kanıtlayalım Bir aralıkta sürekli olan herhangi bir fonksiyonun bu aralıkta bir ters türevi vardır ve dolayısıyla bu parça üzerinde belirli bir integrali var. Bunu yapmak için belirli integral kavramına karşı bir antitürevin varlığı varsayımına dayanmayan farklı bir yaklaşıma ihtiyacımız var.
Önce bazılarını kuralım belirli bir integralin özellikleri, antiderivatifin değerlerindeki fark olarak anlaşılır.
Belirli integrallerin tahminleri
Teorem 1. y=f(x) fonksiyonunun aralıkta sınırlı olmasına izin verin ve m=\min_(x\in)f(x) Ve M=\max_(x\in)f(x) sırasıyla en küçük ve en yüksek değer y=f(x) fonksiyonu on üzerindedir ve bu parçada y=f(x) fonksiyonunun bir antiderivatifi vardır. Daha sonra
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Kanıt. F(x), parça üzerindeki y=f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olsun. Daha sonra
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
Lagrange teoremine göre F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), nerede \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
Koşula göre, segmentteki x'in tüm değerleri için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: m\leqslant f(x)\leqslant M, Bu yüzden m\leqslant f(c)\leqslant M ve bu nedenle
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a) yani m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
Çift eşitsizlik (1), belirli integralin değeri için yalnızca çok kaba bir tahmin verir. Örneğin bir doğru parçası üzerinde y=x^2 fonksiyonunun değerleri 1 ile 25 arasındadır ve bu nedenle eşitsizlikler meydana gelir.
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Daha doğru bir tahmin elde etmek için segmenti noktalarla birkaç parçaya bölün a=x_0 ve eşitsizlik (1) her parçaya uygulanır. Eşitsizlik segmentte geçerliyse, o zaman
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
burada \Delta x_k farkı (x_(k+1)-x_k), yani parçanın uzunluğunu belirtir. Bu eşitsizlikleri 0'dan n-1'e kadar tüm k değerleri için yazıp topladığımızda şunu elde ederiz:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Ancak belirli bir integralin toplama özelliğine göre, parçanın tüm kısımları üzerindeki integrallerin toplamı, bu parça üzerindeki integrale eşittir, yani.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
Araç,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x) )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Örneğin, bir doğru parçasını her birinin uzunluğu 0,4 olan 10 eşit parçaya bölerseniz, o zaman kısmi bir parça üzerinde
eşitsizlik geçerli
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Bu nedenle elimizde:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Hesaplayarak şunu elde ederiz: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Bu tahmin daha önce elde edilenden çok daha doğrudur 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
İntegralin daha da doğru bir tahminini elde etmek için, segmenti 10'a değil, örneğin 100 veya 1000 parçaya bölmeniz ve karşılık gelen toplamları hesaplamanız gerekir. Elbette bu integralin terstürevi kullanılarak hesaplanması daha kolaydır:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
Ancak antiderivatifin ifadesi bizim için bilinmiyorsa, o zaman eşitsizlikler (2), integralin değerini aşağıdan ve yukarıdan tahmin etmeyi mümkün kılar.
Bölen sayı olarak belirli integral
Eşitsizlikte (2) yer alan m_k ve M_k sayıları, her bir segmentte eşitsizlik sağlandığı sürece keyfi olarak seçilebilir. m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Parçanın belirli bir bölümü için integralin en doğru tahmini, M_k'yi mümkün olan tüm değerlerin en küçüğü ve m_k'yi en büyüğü olarak alırsak elde edilir. Bu, m_k olarak segment üzerindeki y=f(x) fonksiyonunun değerlerinin tam alt sınırını ve M_k olarak aynı segment üzerindeki bu değerlerin tam üst sınırını almamız gerektiği anlamına gelir:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
Eğer y=f(x) parça üzerinde sınırlı bir fonksiyonsa, o zaman parçaların her birinde sınırlıdır ve dolayısıyla bunun için m_k ve sayıları bulunur. M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Bu m_k ve M_k sayıları seçimiyle, toplamlar \textstyle(\toplam\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) Ve \textstyle(\toplam\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) belirli bir P bölümü için y=-f(x) fonksiyonunun sırasıyla alt ve üst Darboux integral toplamları denir:
a=x_0
bölüm Bu toplamları sırasıyla s_(fP) ve S_(fP) olarak göstereceğiz ve eğer y=f(x) fonksiyonu sabitse o zaman basitçe s_P ve S_P olur.
Eşitsizlik (2) şu anlama gelir: bir aralıkta sınırlı bir y=f(x) fonksiyonunun bu aralıkta bir ters türevi varsa, o zaman belirli bir integral, sırasıyla tüm alt ve üst Darboux toplamlarından oluşan \(s_p\) ve \(S_P\) sayısal kümelerini ayırır. aralığın tüm olası bölümleri P. Genel olarak konuşursak, bu iki kümeyi ayıran sayının benzersiz olmadığı ortaya çıkabilir. Ancak aşağıda, en önemli fonksiyon sınıfları için (özellikle sürekli fonksiyonlar için) bunun benzersiz olduğunu göreceğiz.
Bu bize yeni bir tanım getirme olanağı sağlıyor. \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), antiderivatif kavramına dayanmaz, yalnızca Darboux toplamlarını kullanır.
Tanım. Bir aralıkla sınırlı bir y=f(x) fonksiyonu, eğer aralığın tüm olası bölümleri için oluşturulmuş alt ve üst Darboux toplamları kümelerini ayıran tek bir sayı varsa, bu aralıkta integrallenebilir olarak adlandırılır. Eğer y=f(x) fonksiyonu aralıkta integrallenebiliyorsa, bu kümeleri ayıran tek sayıya bu fonksiyonun aralık ve anlam üzerinden belirli integrali denir.
İntegrali tanımladık \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) durum için b, sonra koyarız
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
Bu tanım doğaldır, çünkü integrasyon aralığının yönü değiştiğinde tüm farklılıklar ortaya çıkar. \Delta x_k=x_(k+1)-x_k işareti değiştirin ve ardından işaretleri ve Darboux toplamlarını ve dolayısıyla bunları ayıran sayıyı değiştirin, yani. integral.
a=b'nin tümü \Delta x_k kaybolduğundan beri,
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
Belirli bir integral kavramının iki tanımını aldık: antiderivatifin değerleri arasındaki fark ve Darboux toplamları için bölme sayısı olarak. En önemli durumlarda bu tanımlar aynı sonuca yol açar:
Teorem 2. Bir y=f(x) fonksiyonu bir aralığa bağlıysa ve üzerinde bir y=F(x) ters türevi varsa ve alt ve üst Darboux toplamlarını ayıran tek bir sayı varsa, bu sayı F(b'ye eşittir) )-F(a).
Kanıt. Yukarıda F(a)-F(b) sayısının \(s_P\) ve \(S_P\) kümelerini ayırdığını kanıtladık. Koşul gereği ayırma sayısı benzersiz bir şekilde tanımlandığından, F(b)-F(a) ile çakışır.
Şu andan itibaren notasyonu kullanacağız \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) yalnızca \(s_P\) ve \(S_P\) kümelerini ayıran tek bir sayı için. Kanıtlanmış teoremden, yukarıda kullandığımız bu gösterimin anlaşılmasıyla hiçbir çelişki olmadığı sonucu çıkar.
Alt ve üst Darboux toplamlarının özellikleri
Daha önce verilen bir integralin tanımının anlamlı olması için, üst Darboux toplamları kümesinin gerçekten de alt Darboux toplamları kümesinin sağında bulunduğunu kanıtlamak gerekir.
Lemma 1. Her P bölümü için karşılık gelen alt Darboux toplamı, üst Darboux toplamını (s_P\leqslant S_P) aşmaz.
Kanıt. Segmentin bazı P bölümlerini ele alalım:
a=x_0 "
Açıkçası, herhangi bir k ve seçilen herhangi bir P bölümü için s_P\leqslant S_P eşitsizliği geçerlidir. Buradan, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k ve bu nedenle
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Q.E.D. Eşitsizlik (4) yalnızca sabit bir P bölümü için geçerlidir. Dolayısıyla bir bölümün alt Darboux toplamının başka bir bölümün üst Darboux toplamını geçemeyeceği henüz söylenemez. Bu ifadeyi kanıtlamak için aşağıdaki lemmaya ihtiyacımız var:
Lema 2. Yeni bir bölme noktası ekleyerek alt Darboux toplamı azalamaz ve üst toplam artamaz.
Kanıt. Parçanın bir P bölümünü seçelim ve ona yeni bir bölme noktası (x^(\ast)) ekleyelim. Yeni bölümü P^(\ast) ile gösterelim. P^(\ast) bölümü, P bölümünün geliştirilmiş halidir; her bölüm noktası P aynı zamanda bir bölüm noktasıdır P^(\ast) .
(x^(\ast)) noktasının parçanın üzerine düşmesine izin verin \iki nokta üst üste\, x_k . Ortaya çıkan iki segmenti ele alalım ve
ve fonksiyon değerleri için karşılık gelen tam alt sınırları m_(k)^(\ast) ve m_(k)^(\ast\ast) ile ve tam üst sınırları M_(k)^(\ast) ile belirtin ) ve M_(k )^(\ast\ast) .
Ek m_k(x_(k+1)-m_(k)) Yeni düşük Darboux toplamındaki orijinal düşük Darboux toplamı iki terime karşılık gelir:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
Aynı zamanda m_k\leqslant m_(k)^(\ast) Ve m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), çünkü m_k, tüm segmentteki f(x) fonksiyonunun değerleri için tam alt sınırdır ve m_(k)^(\ast) ve m_(k)^(\ast\ast) yalnızca kendi segmentinde parçalar ve
sırasıyla.
Ortaya çıkan terimlerin toplamını aşağıdan tahmin edelim:
\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(hizalanmış)
Hem eski hem de yeni düşük Darboux toplamlarında kalan terimler değişmeden kaldığı için, düşük Darboux toplamı yeni bir bölme noktasının (s_P\leqslant S_P) eklenmesiyle azalmadı.
Kanıtlanmış ifade, P bölümüne herhangi bir sonlu sayıda nokta eklenirken bile geçerli kalır.
Üst Darboux toplamına ilişkin ifade de benzer şekilde kanıtlanmıştır: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
Herhangi iki bölüm için Darboux toplamlarını karşılaştırmaya geçelim.
Lema 3. Hiçbir alt Darboux toplamı, herhangi bir üst Darboux toplamını aşamaz (bölümün farklı bir bölümüne karşılık gelse bile).
Kanıt. Segmentin iki keyfi P_1 ve P_2 bölümünü düşünün ve P_1 ve P_2 bölümlerinin tüm noktalarından oluşan üçüncü bir P_3 bölümünü oluşturun. Dolayısıyla P_3 bölümü, hem P_1 bölümünün hem de P_2 bölümünün geliştirilmiş halidir (Şekil 7).
Bu bölümler için sırasıyla alt ve üst Darboux toplamlarını gösterelim. s_1,~S_1.~s_2,~S_2 ve s_1\leqslant S_2 olduğunu kanıtlayın.
P_3, P_1 bölümünün geliştirilmiş hali olduğundan, s_1\leqslant s_3 olur. Sonra, s_3\leqslant S_3 , çünkü s_3 ve S_3 toplamları aynı bölüme karşılık gelir. Son olarak, S_3\leqslant S_2, çünkü P_3, P_2 bölümünün geliştirilmiş halidir.
Böylece, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, yani s_1\leqslant S_2 , kanıtlanması gereken şey buydu.
Lemma 3'ten şu sonuç çıkıyor düşük Darboux toplamlarının sayısal kümesi X=\(s_P\) üst Darboux toplamlarının Y=\(S_P\) sayısal kümesinin solunda yer alır.
İki sayısal küme1 için bir ayırıcı sayının varlığına ilişkin teorem uyarınca, X ve Y kümelerini ayıran en az bir sayı vardır; Öyle ki, segmentin herhangi bir bölümü için çifte eşitsizlik geçerlidir:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Bu sayı benzersizse, o zaman \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
Böyle bir I sayısının genel anlamda benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını gösteren bir örnek verelim. Dirichlet fonksiyonunun eşitliklerle tanımlanan aralıkta bir y=D(x) fonksiyonu olduğunu hatırlayın:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(irrasyonel sayıdır);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is rasyonel sayı).\end(cases)
Hangi kesimi alırsak alalım, onun hem rasyonel hem de irrasyonel noktaları olacaktır. ve D(x)=0 olan noktalar ve D(x)=1 olan noktalar. Bu nedenle, segmentin herhangi bir bölümü için m_k'nin tüm değerleri sıfıra, M_k'nin tüm değerleri bire eşittir. Ama sonra tüm düşük Darboux toplamları \textstyle(\toplam\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sıfıra eşittir ve tüm üst Darboux toplamları \textstyle(\toplam\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) bire eşit,
