Hedef:

• Antiderivatif kavramının oluşumu.
• İntegralin algılanmasına hazırlık.
• Hesaplama becerilerinin oluşumu.
• Güzellik duygusunu geliştirmek (alışılmadık olandaki güzelliği görme yeteneği).

Matematiksel analiz, diferansiyel ve integral hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonların ve genellemelerinin incelenmesine adanmış bir dizi matematik dalıdır.

Şimdiye kadar diferansiyel hesap adı verilen matematiksel analizin bir dalını inceledik ve bunun özü "küçük" bir fonksiyonun incelenmesiydi.

Onlar. Her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarındaki bir fonksiyonun incelenmesi. Türev alma işlemlerinden biri türevi (diferansiyel) bulmak ve onu fonksiyonlar çalışmasına uygulamaktır.

Ters problem daha az önemli değildir. Bir fonksiyonun tanımındaki her bir noktanın yakınındaki davranışı biliniyorsa, o zaman fonksiyon bir bütün olarak nasıl yeniden yapılandırılabilir? tanımının tüm kapsamı boyunca. Bu problem integral hesabı olarak adlandırılan çalışmanın konusudur.

Entegrasyon, farklılaşmanın ters etkisidir. Veya f(x) fonksiyonunu belirli bir f`(x) türevinden geri yüklemek. Latince “integro” kelimesi restorasyon anlamına gelir.

Örnek No.1.

(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulalım.

Çözüm:

Türev alma kuralına göre f(x) = x 3 olduğunu tahmin etmek zor değil çünkü (x 3)` = 3x 2
Ancak f(x)'in benzersiz bir şekilde bulunmadığını kolaylıkla fark edebilirsiniz.
f(x) olarak alabiliriz
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, vb.

Çünkü her birinin türevi 3x2'ye eşittir. (Bir sabitin türevi 0'dır). Tüm bu işlevler birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir. Bu yüzden genel çözüm problem f(x)= x 3 +C biçiminde yazılabilir; burada C herhangi bir sabit gerçek sayıdır.

Bulunan f(x) fonksiyonlarından herhangi biri çağrılır PRİMODYUM F`(x)= 3x 2 fonksiyonu için

Tanım. Bir F(x) fonksiyonuna, belirli bir J aralığındaki bir f(x) fonksiyonu için ters türev denir, eğer bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x)= f(x) ise. Yani F(x)=x 3 fonksiyonu f(x)=3x 2'nin (- ∞ ; ∞) üzerinde ters türevidir.
Tüm x ~R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Daha önce de fark ettiğimiz gibi, bu fonksiyon sonsuz sayıda antiderivatifi vardır (bkz. örnek No. 1).

Örnek No.2. F(x)=x fonksiyonu (0; +) aralığındaki tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x'ler için eşitlik geçerlidir.
F'(x)= (x 1/2)'=1/2x -1/2 =1/2x

Örnek No. 3. F(x)=tg3x fonksiyonu f(x)=3/cos3x'in (-n/ aralığında) ters türevidir. 2; P/ 2),
Çünkü F'(x)=(tg3x)'= 3/cos 2 3x

Örnek No. 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 fonksiyonu f(x)=12cos4x-1/x 2'nin (0;∞) aralığında ters türevidir.
Çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Ders 2.

Konu: Terstürev. Bir antiderivatif fonksiyonun temel özelliği.

Antiderivatifi incelerken aşağıdaki ifadeye güveneceğiz. Bir fonksiyonun sabitliğinin işareti: J aralığında fonksiyonun türevi Ψ(x) 0'a eşitse, bu aralıkta Ψ(x) fonksiyonu sabittir.

Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.

Ψ`(x)=tgα, γde α'nın, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 noktasındaki teğetin eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tanα=0 δ olur. Bu, fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktasındaki teğetinin apsis eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta, Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C düz çizgi parçasıyla çakışır.

Yani, eğer bu aralıkta f`(x)=0 ise, f(x)=c fonksiyonu J aralığında sabittir.

Aslında, J aralığından keyfi bir x 1 ve x 2 için, bir fonksiyonun ortalama değerine ilişkin teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0 ise f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Antitürev fonksiyonunun ana özelliği)

Eğer F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biriyse, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi şu biçimde olur: F(x) + C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt:

x Є J için F`(x) = f (x) olsun, sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) olsun.
J aralığında f(x)'in başka bir terstürevi olan Φ(x)'in var olduğunu varsayalım; Φ`(x) = f(x),
bu durumda (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla Φ(x) - F(x) = C.
Buradan itibaren Φ(x)= F(x)+C.
Bu, eğer F(x), J aralığında bir f(x) fonksiyonu için bir terstürev ise, bu fonksiyonun tüm terstürevleri kümesinin şu biçimde olduğu anlamına gelir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Sonuç olarak, belirli bir fonksiyonun herhangi iki antiderivatifi birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir.

Örnek: f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun. İlk üçünün grafiğini çizin.

Çözüm: Sin x, f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biridir
F(x) = Sin x+C – tüm antitürevlerin kümesi.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrik çizim: Herhangi bir ters türev F(x)+C'nin grafiği, paralel transfer r(0;c) kullanılarak ters türev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.

Örnek: f (x) = 2x fonksiyonu için grafiği t.M (1;4)'ten geçen bir ters türev bulun.

Çözüm: F(x)=x 2 +C – problemin koşullarına göre tüm antitürevlerin kümesi, F(1)=4.
Bu nedenle, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivatif.

Bir örnekle terstürevin anlaşılması kolaydır.

Fonksiyonu ele alalım y = x 3. Önceki bölümlerden bildiğimiz gibi, türevi X 3, 3'tür X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Bu nedenle fonksiyondan y = x 3 alıyoruz yeni özellik: en = 3X 2 .
Mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon en = X 3 üretilen fonksiyon en = 3X 2 ve onun “ebeveyni”dir. Matematikte “ebeveyn” kelimesi yoktur ancak bununla ilgili bir kavram vardır: antiderivatif.

Yani: işlev y = x 3, fonksiyonun ters türevidir en = 3X 2 .

Antiderivatifin tanımı:

Örneğimizde ( X 3)" = 3X 2 bu nedenle y = x 3 - için ters türev en = 3X 2 .

Entegrasyon.

Bildiğiniz gibi belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine türev adı verilir. Ve ters işleme entegrasyon denir.

Örnek açıklama:

en = 3X 2 + günah X.

Çözüm :

3'ün terstürevini biliyoruz. X 2: X 3 .

Günahın terstürevi X–çünkü X.

İki ters türev ekliyoruz ve verilen fonksiyonun ters türevini alıyoruz:

y = x 3 + (–çünkü X),

y = x 3 – çünkü X.

Cevap :
fonksiyon için en = 3X 2 + günah X y = x 3 – çünkü X.

Örnek açıklama:

Fonksiyonun antiderivatifini bulalım en= 2 günah X.

Çözüm :

k = 2 olduğuna dikkat ediyoruz. Sin'in ters türevi X–çünkü X.

Bu nedenle fonksiyon için en= 2 günah X antiderivatif fonksiyondur en= –2cos X.
Y = 2 sin fonksiyonundaki katsayı 2 X bu fonksiyonun oluşturulduğu antiderivatifin katsayısına karşılık gelir.

Örnek açıklama:

Fonksiyonun antiderivatifini bulalım sen= günah 2 X.

Çözüm :

Bunu fark ediyoruz k= 2. Günahın terstürevi X–çünkü X.

Fonksiyonun ters türevini bulmak için formülümüzü uyguluyoruz sen= çünkü 2 X:

1
sen= - · (–çünkü 2 X),
2

çünkü 2 X
sen = – ----
2

çünkü 2 X
Cevap: Bir fonksiyon için sen= günah 2 X antiderivatif fonksiyondur sen = – ----
2

(4)

Örnek açıklama.

Fonksiyonu önceki örnekten alalım: sen= günah 2 X.

Bu fonksiyon için tüm antiderivatifler şu şekildedir:

çünkü 2 X
sen = – ---- + C.
2

Açıklama.

İlk satırı ele alalım. Şöyle okunur: eğer fonksiyon y = f( X) 0 ise terstürevi 1'dir. Neden? Çünkü birliğin türevi sıfırdır: 1" = 0.

Kalan satırlar aynı sırayla okunur.

Tablodan veri nasıl yazılır? Sekizinci satırı ele alalım:

(-çünkü X)" = günah X

İkinci kısmı türev işaretiyle, ardından eşittir işareti ve türevle yazıyoruz.

Okuduk: sin fonksiyonunun antiderivatifi X-cos işlevi X.

Veya: işlev -cos X günah fonksiyonunun antiderivatifidir X.

Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünelim. Zaman almasına izin ver T hareketin başlangıcından itibaren nokta belli bir mesafe kat etmiştir s(t). Daha sonra anlık hız v(t) fonksiyonun türevine eşit s(t), yani v(t) = s"(t).

Uygulamada ters problemle karşılaşırız: bir noktanın hareket hızı göz önüne alındığında v(t) gittiği yolu bul s(t) yani böyle bir işlev bulun s(t), türevi şuna eşit olan v(t). İşlev s(t),Öyle ki s"(t) = v(t), fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır v(t).

Örneğin, eğer v(t) = аt, Nerede A belirli bir sayıysa, o zaman işlev
s(t) = (аt2) / 2v(t),Çünkü
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

İşlev F(x) fonksiyonun ters türevi denir f(x) bir süreliğine, eğer hepsi içinse X bu boşluktan F"(x) = f(x).

Örneğin, fonksiyon F(x) = günah x fonksiyonun ters türevidir f(x) = çünkü x,Çünkü (sin x)" = çünkü x; işlev F(x) = x 4/4 fonksiyonun ters türevidir f(x) = x 3, Çünkü (x 4/4)" = x 3.

Sorunu ele alalım.

Görev.

x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 – 4 fonksiyonlarının aynı f(x) = x 2 fonksiyonunun ters türevleri olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

1) F 1 (x) = x 3/3 olsun, o zaman F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x) olsun.

2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F" 2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Genel olarak, C'nin bir sabit olduğu herhangi bir x 3/3 + C fonksiyonu, x 2 fonksiyonunun bir ters türevidir. Bu, sabitin türevinin sıfır olmasından kaynaklanmaktadır. Bu örnek, belirli bir fonksiyon için antitürevinin belirsiz bir şekilde belirlendiğini göstermektedir.

F 1 (x) ve F 2 (x) aynı f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun.

O halde F 1 "(x) = f(x) ve F" 2 (x) = f(x).

Farklarının türevi g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sıfıra eşittir, çünkü g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f(x) = 0.

Belirli bir aralıkta g"(x) = 0 ise y = g(x) fonksiyonunun grafiğine bu aralığın her noktasındaki teğeti Ox eksenine paraleldir. Dolayısıyla y = fonksiyonunun grafiği g(x) Ox eksenine paralel düz bir çizgidir, yani g(x) = C, burada C bir miktar sabittir g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) bundan F 1 (x) = F 2 (x) + S sonucu çıkar.

Dolayısıyla, eğer F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki ters türevi ise, o zaman tüm ters türev fonksiyonları f(x) F(x) + C biçiminde yazılır; burada C isteğe bağlı bir sabittir. .

Belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin grafiklerini ele alalım. Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, o zaman bu fonksiyonun herhangi bir ters türevi, F(x)'e bir sabitin eklenmesiyle elde edilir: F(x) + C. y = F( fonksiyonlarının grafikleri x) + C, Oy ekseni boyunca kaydırılarak y = F(x) grafiğinden elde edilir. C'yi seçerek antiderivatifin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesini sağlayabilirsiniz.

Antiderivatif bulma kurallarına dikkat edelim.

Belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine ne ad verildiğini hatırlayın. farklılaşma. Verilen bir fonksiyonun terstürevini bulma işlemine ters işlem denir. entegrasyon(Latince kelimeden "eski haline getirmek").

Antitürev tablosu bazı işlevler için bir türev tablosu kullanılarak derlenebilir. Mesela bunu bilmek (çünkü x)" = -sin x, aldık (-cos x)" = sin x, buradan tüm antiderivatif fonksiyonların olduğu sonucu çıkar günah xşeklinde yazılır -çünkü x + C, Nerede İLE- devamlı.

Antiderivatiflerin bazı anlamlarına bakalım.

1) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

2) İşlev: 1/x, x > 0. Terstürev: x + C'de.

3) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

4) İşlev: eski. Terstürev: e x + C.

5) İşlev: günah x. Terstürev: -çünkü x + C.

6) İşlev: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Terstürev: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) İşlev: 1/(kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) İşlev: e kx + b, k ≠ 0. Terstürev: (1/k) e kx + b + C.

9) İşlev: günah (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (-1/k) çünkü (kx + b).

10) İşlev: cos (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) sin (kx + b).

Entegrasyon kuralları kullanılarak elde edilebilir farklılaşma kuralları. Bazı kurallara bakalım.

İzin vermek F(x) Ve G(x)– sırasıyla fonksiyonların antiderivatifleri f(x) Ve g(x) belli bir aralıkta. Daha sonra:

1) işlev F(x) ± G(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) ± g(x);

2) işlev AF(x) fonksiyonun ters türevidir af(x).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir? Bir integralin bildiğiniz tek kullanımı, yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklindeki bir kroşe kancası kullanmaksa ulaşılması zor yerler, o zaman hoş geldiniz! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

"İntegral" kavramını inceliyoruz

Entegrasyon eskiden biliniyordu Eski Mısır. Tabii ki içinde değil modern biçim, ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için yine de matematiksel analizin temelleri hakkında temel bilgiye ihtiyacınız olacak. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle integral ters veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.

Tüm sürekli fonksiyonlar için bir antiderivatif mevcuttur. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur:

Belirli integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olduğu unutulmamalıdır.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanı nasıl bulunur?

İntegral kullanma! Fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuğu sonsuz küçük parçalara bölelim. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

Bari Alibasov ve "İntegral" grubu

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

• İntegralin türevi integrale eşittir:

• Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

• Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

• Doğrusallık:

• İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

• Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alacağız. Sizi çözümün inceliklerini kendiniz anlamaya davet ediyoruz ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sorun.

Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sorduğunuzda size integrallerin hesaplanmasıyla ilgili bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla, kapalı bir yüzey üzerindeki herhangi bir üçlü veya eğri integral sizin elinizde olacaktır.

İşlev F(X ) isminde antiderivatif fonksiyon için F(X) belirli bir aralıkta, eğer herkes içinse X bu aralıktan itibaren eşitlik geçerlidir

F"(X ) = F(X ) .

Örneğin, fonksiyon F(x) = x 2 F(X ) = 2X , Çünkü

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Antiderivatifin temel özelliği

Eğer F(x) - bir fonksiyonun antiderivatifi f(x) belirli bir aralıkta, o zaman fonksiyon f(x) sonsuz sayıda antiderivatifi vardır ve tüm bu antiderivatifler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C, Nerede İLE keyfi bir sabittir.

Antiderivatifleri hesaplama kuralları

1. Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , A G(x) - için antiderivatif g(x) , O F(x) + G(x) - için antiderivatif f(x) + g(x) . Başka bir deyişle, toplamın ters türevi ters türevlerin toplamına eşittir .
2. Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , Ve k - sabit o zaman k · F(x) - için antiderivatif k · f(x) . Başka bir deyişle, sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir .
3. Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , Ve k,B- sabit ve k ≠ 0 , O 1 / k F( k x+ B ) - için antiderivatif F(k x+ B) .

Belirsiz integral

Olumsuz belirli integral fonksiyondan f(x) ifade denir F(x) + C yani belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesi f(x) . Belirsiz integral şu ​​şekilde gösterilir:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- arıyorlar integral fonksiyonu ;

f(x)dx- arıyorlar integrand ;

X - arıyorlar entegrasyon değişkeni ;

F(x) - ilkel işlevlerden biri f(x) ;

İLE keyfi bir sabittir.

Örneğin, ∫ 2 x dx =X 2 + İLE , ∫ çünküx dx = günah X + İLE ve benzeri. ◄

"İntegral" kelimesi Latince kelimeden gelir. tamsayı "geri yüklenen" anlamına gelir. belirsiz integrali dikkate alındığında 2 X, işlevi geri yüklemiş gibiyiz X 2 türevi şuna eşit olan 2 X. Bir fonksiyonu türevinden geri döndürmeye veya aynı anlama gelen, belirli bir integral üzerinde belirsiz bir integral bulmaya ne denir? entegrasyon bu fonksiyon. İntegral, türev almanın ters işlemidir. İntegral işleminin doğru yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için sonucun türevini alıp integrandın elde edilmesi yeterlidir.

Belirsiz integralin temel özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. İntegralin sabit faktörü integral işaretinden çıkarılabilir:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir:

∫ ( f(x) ± g(x) ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Eğer k,B- sabit ve k ≠ 0 , O

∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .

Antiderivatifler ve belirsiz integraller tablosu

Belirli integral

Araya girsin [A; B] sürekli bir fonksiyon verilmiştir y = f(x) , Daha sonra a'dan b'ye belirli integral işlevler f(x) antiderivatifin artışı denir F(x) bu fonksiyon, yani

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Sayılar A Ve B buna göre çağrılır daha düşük Ve tepe entegrasyonun sınırları.

Belirli integrali hesaplamak için temel kurallar

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) burada k - devamlı;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), burada f(x) — eşit işlev;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), burada f(x) garip bir fonksiyondur.

Yorum . Her durumda, integrallerin, sınırları entegrasyonun sınırları olan sayısal aralıklarda entegre edilebilir olduğu varsayılır.

Belirli integralin geometrik ve fiziksel anlamı

Geometrik anlam belirli integral	Fiziksel anlam belirli integral
Kare S eğrisel yamuk (aralıkta sürekli bir pozitifin grafiğiyle sınırlı bir şekil) [A; B] işlevler f(x) , eksen Öküz ve düz x=a , x=b ) formülle hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Yol S Maddi noktanın üstesinden geldiği, kanuna göre değişen bir hızla doğrusal olarak hareket eden v(t) , bir süreliğine ; B] , daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanı x = bir , x = b , formülle hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Örneğin. Şeklin alanını hesaplayalım, çizgilerle sınırlı y = x 2 Ve y = 2-X . Bu fonksiyonların grafiklerini şematik olarak gösterelim ve alanının bulunması gereken şekli farklı bir renkle vurgulayalım. İntegral sınırlarını bulmak için denklemi çözeriz: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Dönen bir cismin hacmi

	Bir eksen etrafında dönme sonucu bir cisim elde edilirse Öküz aralıkta sürekli ve negatif olmayan bir grafikle sınırlanan eğrisel yamuk [A; B] işlevler y = f(x) ve düz x = bir Ve x = b , o zaman denir dönme gövdesi . Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır: $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Fonksiyon grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlanan bir şeklin döndürülmesi sonucunda bir devrim cismi elde edilirse y = f(x) Ve y = g(x) buna göre, o zaman $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Örneğin. Yarıçaplı bir koninin hacmini hesaplayalım R ve yükseklik H . Koniyi dikdörtgen bir koordinat sisteminde, ekseni eksenle çakışacak şekilde konumlandıralım. Öküz ve tabanın merkezi orijinde bulunuyordu. Jeneratör dönüşü AB bir koniyi tanımlar. Denklemden bu yana AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
ve elimizdeki koninin hacmi için $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄