Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Anahtar kelimeler: integral, eğrisel yamuk, zambaklarla sınırlanan figürlerin alanı

Teçhizat: işaretleme panosu, bilgisayar, multimedya projektörü

Ders türü: ders-ders

Ders Hedefleri:

• eğitici: bir zihinsel çalışma kültürü yaratmak, her öğrenci için bir başarı durumu yaratmak, öğrenme için olumlu motivasyon yaratmak; başkalarını konuşma ve dinleme yeteneğini geliştirmek.
• gelişmekte:öğrencinin bilgiyi çeşitli durumlarda uygulamada bağımsız düşünmesinin oluşması, analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneği, mantığın gelişimi, doğru soru sorma ve bunlara cevap bulma yeteneğinin geliştirilmesi. Hesaplamalı ve hesaplamalı becerilerin oluşumunu iyileştirmek, önerilen görevleri tamamlama sürecinde öğrencilerin düşünmesini geliştirmek, algoritmik bir kültür geliştirmek.
• eğitici: Eğrisel yamuk ve integral hakkında kavramlar oluşturmak, düzlemsel şekillerin alanlarını hesaplama becerisinde uzmanlaşmak

Öğretim yöntemi: açıklayıcı ve açıklayıcı.

Ders ilerlemesi

Önceki derslerde sınırları kesikli çizgiler olan şekillerin alanlarını hesaplamayı öğrendik. Matematikte eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamanızı sağlayan yöntemler vardır. Bu tür şekillere eğrisel yamuklar denir ve alanları antiderivatifler kullanılarak hesaplanır.

Eğrisel yamuk ( slayt 1)

Eğri bir yamuk, bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir ( sh.m.), dümdüz x = bir Ve x = b ve x ekseni

Çeşitli kavisli yamuk türleri ( slayt 2)

Düşünüyoruz çeşitli türler eğrisel yamuklar ve dikkat: düz çizgilerden biri bir noktaya kadar dejeneredir, sınırlayıcı fonksiyonun rolü düz çizgi tarafından oynanır

Kavisli bir yamuğun alanı (slayt 3)

Aralığın sol ucunu düzeltelim A, ve doğru olanı X değişeceğiz, yani eğrisel yamuğun sağ duvarını hareket ettirip değişen bir şekil elde edeceğiz. Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan değişken bir eğrisel yamuğun alanı bir antiderivatiftir F fonksiyon için F

Ve segmentte [ A; B] fonksiyonun oluşturduğu eğrisel bir yamuğun alanı F, bu fonksiyonun terstürevinin artışına eşittir:

Görev 1:

Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını bulun: f(x) = x 2 ve düz y = 0, x = 1, x = 2.

Çözüm: ( algoritma slayt 3'e göre)

Fonksiyonun ve doğruların grafiğini çizelim

Hadi birini bulalım antiderivatif fonksiyonlar f(x) = x 2 :

Slaytta kendi kendine test

İntegral

Fonksiyon tarafından tanımlanan eğrisel bir yamuğu düşünün F segmentte [ A; B] Bu segmenti birkaç parçaya ayıralım. Tüm yamuğun alanı, daha küçük kavisli yamuğun alanlarının toplamına bölünecektir. ( slayt 5). Bu tür yamukların her biri yaklaşık olarak bir dikdörtgen olarak düşünülebilir. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı, kavisli yamuğun tüm alanı hakkında yaklaşık bir fikir verir. Segmenti ne kadar küçük bölersek [ A; B], alanı daha doğru hesaplarız.

Bu argümanları formüller halinde yazalım.

Segmenti böl [ A; B] noktalara göre n parçaya bölünür x 0 = a, x1,…, xn = b. Uzunluk k- bu ile belirtmek xk = xk – xk-1. Hadi bir toplam yapalım

Geometrik olarak bu toplam, şekilde gölgelenen şeklin alanını temsil eder ( shm.)

Formun toplamlarına fonksiyonun integral toplamları denir F. (sh.m.)

İntegral toplamları alanın yaklaşık değerini verir. Limite geçilerek kesin değer elde edilir. Segmentin bölümünü iyileştirdiğimizi hayal edelim [ A; B] böylece tüm küçük bölümlerin uzunlukları sıfıra yönelir. Daha sonra oluşan şeklin alanı kavisli yamuğun alanına yaklaşacaktır. Kavisli bir yamuğun alanının integral toplamların sınırına eşit olduğunu söyleyebiliriz, Sc.t. (sh.m.) veya integral, yani,

Tanım:

Bir fonksiyonun integrali f(x) itibaren A ile B integral toplamların limiti denir

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formülü.

İntegral toplamlarının limitinin eğrisel bir yamuğun alanına eşit olduğunu hatırlıyoruz, bu da şunu yazabileceğimiz anlamına geliyor:

Sc.t. = (sh.m.)

Öte yandan kavisli bir yamuğun alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

S k.t. (sh.m.)

Bu formülleri karşılaştırarak şunu elde ederiz:

Bu eşitliğe Newton-Leibniz formülü denir.

Hesaplama kolaylığı için formül şu şekilde yazılmıştır:

Görevler: (sh.m.)

1. Newton-Leibniz formülünü kullanarak integrali hesaplayın: ( 5. slaytı kontrol edin)

2. İntegralleri çizime göre oluşturun ( 6. slaytı kontrol edin)

3. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını bulun: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayt 7)

Düzlem şekillerin alanlarının bulunması ( slayt 8)

Kavisli yamuk olmayan şekillerin alanı nasıl bulunur?

Slaytta grafiklerini gördüğünüz iki fonksiyon verilsin . (sh.m.) Gölgeli şeklin alanını bulun . (sh.m.). Söz konusu figür kavisli bir yamuk mu? Alanın toplamlanabilirliği özelliğini kullanarak alanını nasıl bulabilirsiniz? İki kavisli yamuk düşünün ve diğerinin alanını bunlardan birinin alanından çıkarın ( sh.m.)

Bir slayttaki animasyonu kullanarak alanı bulmak için bir algoritma oluşturalım:

1. Grafik fonksiyonları
2. Grafiklerin kesişme noktalarını x eksenine yansıtın
3. Grafikler kesiştiğinde elde edilen şekli gölgeleyin
4. Kesişimi veya birleşimi verilen şekil olan eğrisel yamukları bulun.
5. Her birinin alanını hesaplayın
6. Alanların farkını veya toplamını bulun

Sözlü görev: Gölgeli bir şeklin alanının nasıl elde edileceği (animasyon kullanarak anlatın, slayt 8 ve 9)

Ev ödevi: No. 353 (a), No. 364 (a) notlarını inceleyin.

Referanslar

1. Cebir ve analizin başlangıcı: akşam (vardiya) okulunun 9-11. sınıfları için bir ders kitabı / ed. G.D. Glaser. - M: Aydınlanma, 1983.
2. Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ortaokulun 10-11. sınıfları için bir ders kitabı / Bashmakov M.I. - M: Aydınlanma, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematik: başlayan kurumlar için ders kitabı. ve Çarşamba prof. eğitim / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Cebir ve analizin başlangıcı: 10-11. Sınıflar için ders kitabı. eğitim kurumları / A.N. - M: Eğitim, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Ders sunumu nasıl yapılır?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 Eylül 2010.

Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması

Alan hesaplaması

Sürekli negatif olmayan bir fonksiyonun belirli integrali f(x) sayısal olarak eşittir y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x = b düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:

Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örneklere bakalım.

Görev No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir şekil oluşturalım.

y = x 2 + 1, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş ve parabol O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırılmış bir paraboldür (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı doğru kaydırılmıştır (Şekil 2).

Şekil 2. y = x 2 – 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2 katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tepe noktasının apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım:

Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla .

Yani noktalar bir parabol ile bir doğrunun kesişme noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri

y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.

Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı kullanılarak bulunabilir. belirli integral formüle göre .

Bu koşula bağlı olarak integrali elde ederiz:

2 Dönen cismin hacminin hesaplanması

y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:

Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir resim çizelim (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

Gerekli hacim

Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları gözden geçirin

Ox ekseni, y=f(x) eğrisi ve iki düz çizgiyle (x=a ve x=b) sınırlanan kavisli bir yamuk düşünelim (Şekil 85). X'in keyfi bir değerini alalım (sadece a değil, b değil). Buna bir h = dx artışı verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Ox ekseni ve söz konusu eğriye ait BD yayı ile sınırlanmış bir şerit düşünelim. Bu şeride temel şerit adını vereceğiz. Temel bir şeridin alanı, ACQB dikdörtgen alanından BQD eğrisel üçgenine ve ikincisinin alanına göre farklılık gösterir. daha az alan kenarları BQ = =h=dx) QD=Ay ve alanı hAy = Ay dx'e eşit olan BQDM dikdörtgeni. h tarafı azaldıkça Du tarafı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle BQDM'nin alanı ikinci dereceden sonsuz küçüktür. Temel bir şeridin alanı, alanın artmasıdır ve AB-AC ==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alanın diferansiyelidir. Sonuç olarak, diferansiyelini entegre ederek alanın kendisini buluyoruz. Söz konusu şekilde, bağımsız l: değişkeni a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f(x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x* parabolünün, X =--Fj-, x = 1 düz çizgilerinin ve O* ekseninin sınırladığı alanı hesaplayalım (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin sınırları a = - ve £ = 1'dir, dolayısıyla J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid y = sinXy, Ox ekseni ve düz çizgiyle sınırlanan alanı hesaplayalım (Şekil 87). Formül (I)'i uygulayarak A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf elde ederiz. Örnek 3. Sinüsoidin yayı ile sınırlı alanı hesaplayın ^у = sin jc, ekte Ox ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ile apsis i'nin bulunduğu nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın iki katı olacağı açıktır. daha fazla alanönceki örnek. Ancak hesaplamaları yapalım: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Gerçekten de varsayımımızın doğru olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoidin ve Ox ekseninin sınırladığı alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön hesaplamalar, alanın Örnek 2'dekinden dört kat daha büyük olacağını göstermektedir. Ancak hesaplamalar yaptıktan sonra “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonuç açıklama gerektirir. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ve Ox ekseni tarafından l ila 2i aralığında sınırlanan alanı da hesaplıyoruz. Formül (I)'i uygulayarak, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 elde ederiz. Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Alıştırma 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda, bunların mutlak değerler aynı ama işaretleri farklı. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu örnekte yaşananlar bir kaza değildir. İntegraller kullanılarak hesaplandığında, bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi koşuluyla her zaman Ox ekseninin altında bulunan alan elde edilir. Bu derste her zaman işaretlerin bulunmadığı alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce tartışılan örnekteki cevap şöyle olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil 2'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Ox ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x+\ düz çizgisiyle sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Gerekli alan OAB iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (Sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluyoruz; = ~. Bu nedenle alanın ilk kare olarak parçalar halinde hesaplanması gerekir. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x fonksiyon grafiği y=x 2 +2 bulunan eksenin üstünde Öküz , Bu yüzden:

Cevap: S =9 metrekare birim

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında Ah?

B)Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 Ve koordinat eksenleri.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.

İle)Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0 , entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap: S =4,5 metrekare birim