Hesaplama pratiğinde, bazı sonlu değerler kümesi için değerlerinin tabloları tarafından belirtilen işlevlerle sıklıkla uğraşmak gerekir. X : .

Sorunu çözme sürecinde değerleri kullanmak gerekir.
ara argüman değerleri için. Bu durumda, hesaplamalar için yeterince basit olan ve verilen noktalarda F(x) fonksiyonunu oluşturun. X 0 , X 1 ,...,X N , enterpolasyon düğümleri olarak adlandırılır, değerleri alır ve tanım alanına ait olan segmentin (x 0 ,x n) geri kalan noktalarında
, yaklaşık olarak işlevi temsil eder
değişen derecelerde doğrulukla.

Bu durumda sorunu çözerken işlev yerine
Ф(x) fonksiyonuyla çalıştırın. Böyle bir F(x) fonksiyonunu oluşturma problemine enterpolasyon problemi denir. Çoğu zaman, enterpolasyon fonksiyonu Ф(x) cebirsel bir polinom formunda bulunur.

1. Enterpolasyon polinomu

Her fonksiyon için
, [ üzerinde tanımlandı a,b] ve herhangi bir düğüm kümesi X 0 , X 1 ,....,X N (X Ben
[a,b], X Ben X J bende j) derecesi n'den yüksek olmayan cebirsel polinomlar arasında, şu şekilde yazılabilen benzersiz bir enterpolasyon polinomu Ф(x) vardır:

, (3.1)

Nerede
- aşağıdaki özelliğe sahip n'inci dereceden bir polinom:

Bir enterpolasyon polinomu için polinom
şu forma sahiptir:

Bu polinom (3.1) enterpolasyon problemini çözer ve Lagrange enterpolasyon polinomu olarak adlandırılır.

Örnek olarak formun bir fonksiyonunu düşünün
aralıkta
tablo halinde belirtilir.

Fonksiyonun değerinin x-2.5 noktasında belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için Lagrange polinomunu kullanalım. Formüllere (3.1 ve 3.3) dayanarak, bu polinomu açık biçimde yazıyoruz:

(3.4).

Daha sonra tablomuzdaki başlangıç ​​değerlerini formül (3.4)'e değiştirerek şunu elde ederiz:

Elde edilen sonuç teoriye karşılık gelir; .

1. Lagrange enterpolasyon formülü

Lagrange enterpolasyon polinomu başka bir biçimde yazılabilir:

(3.5)

Bir polinomun (3.5) formunda yazılması programlama için daha uygundur.

İnterpolasyon problemini çözerken miktar N enterpolasyon polinomunun sırası denir. Bu durumda (3.1) ve (3.5) formüllerinden de görülebileceği gibi enterpolasyon düğümlerinin sayısı her zaman şuna eşit olacaktır: n+1 ve anlamı X, bunun için değer belirlenir
, enterpolasyon düğümlerinin tanım alanı içinde yer almalıdır onlar.

. (3.6)

Bazı pratik durumlarda, enterpolasyon düğümlerinin bilinen toplam sayısı M enterpolasyon polinomunun mertebesinden daha büyük olabilir N.

Bu durumda, formül (3.5)'e göre enterpolasyon prosedürünü uygulamadan önce, (3.6) koşulunun geçerli olduğu enterpolasyon düğümlerinin belirlenmesi gerekir. Değeri bulurken en küçük hatanın elde edildiği unutulmamalıdır. X enterpolasyon alanının merkezinde. Bunu sağlamak için aşağıdaki prosedür önerilmektedir:

Enterpolasyonun temel amacı, düğümsel olmayan (ara) argüman değerleri için tablolanmış bir fonksiyonun değerlerini hesaplamaktır; bu nedenle enterpolasyona genellikle "satırlar arasındaki tabloları okuma sanatı" denir.

Lagrange polinomu

Lagrange enterpolasyon polinomu belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinomdur. İçin N+ 1 çift sayı, burada her şey X Ben farklıdır, benzersiz bir polinom vardır L(X) derece artık yok N, bunun için L(X Ben) = sen Ben .

En basit durumda ( N= 1), grafiği verilen iki noktadan geçen düz bir çizgi olan doğrusal bir polinomdur.

Tanım

Bu örnek, dört nokta (-9,5), (-4,2), (-1,-2) ve (7,9) için Lagrange enterpolasyon polinomunun yanı sıra polinomları gösterir. y j l j (x), her biri seçilen noktalardan birinden geçer, geri kalanında sıfır değeri alır x ben

Fonksiyon için izin ver F(X) değerleri biliniyor sen J = F(X J) bazı noktalarda. Daha sonra bu fonksiyonu şu şekilde enterpolasyona tabi tutabiliriz:

özellikle,

İntegrallerin değerleri ben J bağlı değil F(X) ve sırayı bilerek önceden hesaplanabilirler X Ben .

Bir segment üzerinde enterpolasyon düğümlerinin düzgün dağılımı durumu için

Bu durumda ifade edebiliriz X Ben enterpolasyon düğümleri h ile başlangıç ​​noktası arasındaki mesafe boyunca X 0 :

ve bu nedenle

Bu ifadeleri temel polinom formülünde yerine koyarak ve pay ve paydadaki çarpım işaretlerinden h'yi çıkararak şunu elde ederiz:

Artık değişken bir değişiklik uygulayabilirsiniz

ve bir polinom elde edin sen yalnızca tamsayı aritmetiği kullanılarak oluşturulur. Bu yaklaşımın dezavantajı, sayıların çok baytlı gösterimi ile algoritmaların kullanılmasını gerektiren pay ve paydanın faktöriyel karmaşıklığıdır.

Dış bağlantılar

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Lagrange polinomunun” ne olduğuna bakın: Belirli bir f(x) fonksiyonunu x 0, x1,..., x n düğümlerinde enterpolasyon yapan n dereceli bir polinomun (Lagrange enterpolasyon polinomu) gösterim şekli: x i değerlerinin eşit uzaklıkta olması durumunda, yani. (x x0)/h=t formülü (1) gösterimini kullanarak… …

Matematik Ansiklopedisi

Matematikte, tek değişkenli polinomlar veya polinomlar, ci'nin sabit katsayılar ve x'in bir değişken olduğu formun fonksiyonlarıdır. Polinomlar temel fonksiyonların en önemli sınıflarından birini oluşturur. Polinom denklemleri ve çözümlerinin incelenmesi... ... Vikipedi

Hesaplamalı matematikte Bernstein polinomları, temel Bernstein polinomlarının doğrusal bir kombinasyonu olan cebirsel polinomlardır. Bernstein formundaki polinomları hesaplamak için kararlı bir algoritma algoritmadır... ... Vikipedi

Belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. Hepsi farklı olan sayı çiftleri için, en fazla bunun için benzersiz bir derece polinomu vardır. En basit durumda (... Vikipedi

Belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. Hepsi farklı olan sayı çiftleri için, en fazla bunun için benzersiz bir derece polinomu vardır. En basit durumda (... Vikipedi

Lagrange enterpolasyon polinomu Belirli bir nokta kümesinde belirli değerleri alan minimum dereceli bir polinom. Tüm xi'lerin farklı olduğu n + 1 sayı çifti için, en fazla n dereceli benzersiz bir L(x) polinomu vardır ve bunun için L(xi) = yi... ... Vikipedi

Fonksiyon hakkında bkz.: İnterpolant. Hesaplamalı matematikte enterpolasyon, mevcut ayrı bir bilinen değerler kümesinden bir miktarın ara değerlerini bulma yöntemidir. Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarıyla uğraşanların çoğu sıklıkla... Vikipedi

Fonksiyon hakkında bkz.: İnterpolant. Hesaplamalı matematikte enterpolasyon, enterpolasyon, mevcut ayrı bir bilinen değerler kümesinden bir miktarın ara değerlerini bulma yöntemidir. Bilimsel ve... ... Vikipedi ile karşılaşanların çoğu

Formda bir enterpolasyon polinomu oluşturacağız dereceden daha yüksek olmayan polinomlar nerede P,

aşağıdaki özelliğe sahip: Aslında bu durumda her düğümdeki polinom (4.9), xj j=0,1,…n , karşılık gelen fonksiyon değerine eşittir yani interpolatiftir.

Böyle polinomlar oluşturalım. x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n olduğundan, aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz

burada c bir sabittir. Bunu elde ettiğimiz koşuldan

İnterpolasyon polinomu (4.1), şeklinde yazılmıştır

Lagrange interpolasyon polinomu denir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki yaklaşık değeri X* Lagrange polinomu kullanılarak hesaplanan , artık hataya (4.8) sahip olacaktır. Fonksiyon değerleri ise sen ben enterpolasyon düğümlerinde x ben yaklaşık olarak aynı mutlak hatayla verilirse, kesin değer yerine yaklaşık değer hesaplanacak ve

Lagrange enterpolasyon polinomunun hesaplamalı mutlak hatası nerede. Son olarak, yaklaşık değerin toplam hatasına ilişkin aşağıdaki tahmine sahibiz.

Özellikle birinci ve ikinci dereceden Lagrange polinomları şu şekilde olacaktır:

ve x noktasındaki toplam hataları *

Aynı enterpolasyon polinomunu (4.1) yazmanın başka biçimleri de vardır; örneğin Newton'un bölünmüş farklara sahip enterpolasyon formülü ve onun aşağıda ele alınan çeşitleri. Değeri doğru bir şekilde hesaplarken Pn(x*) Aynı düğümler kullanılarak oluşturulan farklı enterpolasyon formüllerinden elde edilen , çakışıyor. Hesaplama hatasının varlığı bu formüllerden elde edilen değerlerde farklılıklara yol açmaktadır. Bir polinomun Lagrange formunda yazılması genellikle daha küçük bir hesaplama hatasına yol açar.

Enterpolasyon sırasında ortaya çıkan hataları tahmin etmek için formüllerin kullanılması problemin formülasyonuna bağlıdır. Örneğin, düğümlerin sayısı biliniyorsa ve fonksiyon yeterince fazla sayıda doğru işaretle verilmişse, o zaman hesaplama görevini ayarlayabiliriz. f(x*) Mümkün olan en yüksek doğrulukla. Aksine, doğru işaretlerin sayısı az ve düğümlerin sayısı büyükse, o zaman hesaplama problemini ortaya koyabiliriz. f(x*) Fonksiyonun tablo değerinin izin verdiği doğrulukta ve bu sorunu çözmek için tablonun hem seyrekleştirilmesi hem de sıkıştırılması gerekebilir.

§4.3. Ayrılmış farklar ve özellikleri.

Bölünmüş fark kavramı, türevin genelleştirilmiş bir kavramıdır. Fonksiyonların değerleri x 0 , x 1 ,…x n noktalarında verilsin f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Birinci dereceden bölünmüş farklar eşitliklerle tanımlanır

ikinci dereceden farkları eşitliklerle ayırdı,

ve bölünmüş farklılıklar k sıra aşağıdaki yinelenen formülle belirlenir:

Bölünmüş farklar genellikle aşağıdaki gibi bir tabloya yerleştirilir:

Bölünmüş farkların aşağıdaki özelliklerini göz önünde bulundurun.

1. Tüm derecelerin bölünmüş farkları, değerlerin doğrusal kombinasyonlarıdır f(xi) yani aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu formülün geçerliliğini farklar sırasına göre tümevarımla kanıtlayalım. Birinci dereceden farklar için

Formül (4.12) doğrudur. Şimdi bunun tüm sıra farklılıkları için geçerli olduğunu varsayalım.

Daha sonra (4.11) ve (4.12)'ye göre sıra farklılıkları için k=n+1 sahibiz

Aşağıdakileri içeren terimler f(x0) Ve f(xn +1), gerekli forma sahip olun. içeren terimleri ele alalım. f(xi), i=1, 2, …,n. Birinci ve ikinci toplamlardan böyle iki terim vardır:

onlar. formül (4.12) sıra farkı için geçerlidir k=n+1, kanıt tamamlandı.

2. Bölünmüş fark, x 0 , x 1 ,…x n argümanlarının simetrik bir fonksiyonudur (yani herhangi bir yeniden düzenlemeyle değişmez):

Bu özellik doğrudan eşitlikten (4.12) kaynaklanır.

3. Basit bölünmüş fark ilişkisi F ve türev f(n)(x) aşağıdaki teoremi verir.

x 0 , x 1 ,…x n düğümleri segmente ait olsun ve işlev f(x) bu aralıkta mertebenin sürekli bir türevi vardır N. O zaman böyle bir nokta var xÎ, Ne

İlk önce ilişkinin geçerliliğini kanıtlayalım

(4.12)’ye göre köşeli parantez içindeki ifade;

F.

Kalan terim için (4.14) ifadesinin (4.7) karşılaştırmasından R n (x)=f(x)-L n (x)(4.13)’ü elde ettiğimizde teorem kanıtlanmıştır.

Bu teoremden basit bir sonuç çıkar. Bir polinom için N derece

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

türev siparişi N belli ki var

ve ilişki (4.13) bölünmüş fark için değeri verir

Yani her polinomun dereceleri vardır N ayrılmış sıra farklılıkları N sabit bir değere eşittir - polinomun en yüksek derecesinin katsayısı. Daha yüksek derecelerin ayrılmış farkları
(Daha N), açıkça sıfıra eşittir. Ancak bu sonuç ancak ayrılan farklarda herhangi bir hesaplama hatasının olmaması durumunda geçerlidir.

§4.4. Newton'un bölünmüş fark enterpolasyonu polinomu

Lagrange enterpolasyon polinomunu aşağıdaki biçimde yazalım:

Nerede L 0 (x) = f(x 0)=y 0, A Lk(x)– Derecenin Lagrange interpolasyon polinomu k, düğümler tarafından oluşturulmuş x 0 , x 1 , …,x k. O zaman bir derece polinomu vardır k kökleri noktalar olan x 0 , x 1 , …,x k -1. Bu nedenle çarpanlara ayrılabilir

burada A k bir sabittir.

(4.14)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

(4.16) ve (4.17)'yi karşılaştırdığımızda (4.15)'in aynı zamanda şu formu aldığını görüyoruz:

buna Newton'un bölünmüş fark enterpolasyonu polinomu denir.

Enterpolasyon polinomunun bu şekilde kaydedilmesi daha görseldir (bir düğümün eklenmesi bir terimin görünümüne karşılık gelir) ve matematiksel analizin temel yapılarıyla yürütülen yapıların analojisini daha iyi izlememize olanak tanır.

Newton enterpolasyon polinomunun artık hatası formül (4.8) ile ifade edilir, ancak (4.13) dikkate alınarak başka bir biçimde yazılabilir.

onlar. artık hata polinomda atılan ilk terimin modülü ile tahmin edilebilir Nn(x*).

Hesaplama hatası Nn(x*) ayrılan farkların hataları ile belirlenecektir. Enterpolasyonlu değere en yakın enterpolasyon düğümleri X*, enterpolasyon polinomu üzerinde daha büyük bir etkiye sahip olacak, daha uzakta bulunanlar ise daha az etkiye sahip olacaktır. Bu nedenle, eğer mümkünse, tavsiye edilir. x 0 Ve x 1 en yakın olanı al X* enterpolasyon düğümleri ve ilk önce bu düğümler boyunca doğrusal enterpolasyon gerçekleştirin. Daha sonra aşağıdaki düğümleri yavaş yavaş çekin, böylece birbirlerine göre mümkün olduğunca simetrik olarak yerleşsinler. X*, mutlak değerdeki bir sonraki terim, kendisine dahil edilen bölünmüş farkın mutlak hatasından küçük olana kadar.

Bölüme izin ver işlev y=f(x) bir tabloda verilmiştir, yani (x i , y i), (i=0,1,..,n), Nerede y ben =f(x i). Verilen bu fonksiyona "" denir. örgü».

Sorunun beyanı: bulmak cebirsel polinom (polinom):

derece daha yüksek değil NÖyle ki

L n (x i)=y ben , en ben= 0,1,..,N,(5.6)

onlar. belirli düğümlere sahip olmak xi, (Ben=0,1,..,N) ızgara işleviyle aynı değerler en=f(x).

Polinomun kendisi Ln(x) isminde enterpolasyon polinomu, ve görev şu polinom enterpolasyonu .

Ln(x) polinomunu bulun- Bunun anlamı a katsayılarını bulun 0 , A 1 ,…,A N. Bunun için var n+ Bilinmeyenler için doğrusal cebirsel denklem sistemi olarak yazılan 1 koşulu (5.6) bir ben,(Ben=0, 1,…,N):

Nerede X ben ve sen Ben ( Ben=0,1,…,N) – argümanın ve fonksiyonun tablo değerleri.

Bir cebir dersinden bu sistemin determinantının Vandermonde determinantı olarak adlandırıldığını biliyoruz:

sıfır olmayan ve dolayısıyla sistem (5.7) tek çözüm.

Katsayıları belirledikten sonra A 0 ,A 1 ,…,BİR, (5.7) sistemini çözerek sözde elde ederiz Lagrange enterpolasyon polinomu fonksiyon için f(x):

(5.8)

şu şekilde yazılabilir:

verildiği kanıtlanmıştır N+1 fonksiyon değerleri çizilebilir Lagrange'ın tek enterpolasyon polinomu(5.8).

Uygulamada, ilk Lagrange enterpolasyon polinomları ( n= 1) ve ikinci ( n= 2) derece.

Şu tarihte: n= 1 enterpolasyonlu fonksiyon hakkında bilgi y=f(x) iki noktada belirtilir: (X 0 , sen 0 ) ve (x 1 , sen 1 ), ve Lagrange polinomu şu şekildedir:

İçin n= 2 Lagrange polinomu üç nokta tablosu kullanılarak oluşturulur

Çözüm: Başlangıç ​​verilerini formül (5.8)'e koyarız. Ortaya çıkan Lagrange polinomunun derecesi, fonksiyon dört değerle belirtildiği için üçüncüden yüksek değildir:

Lagrange enterpolasyon polinomunu kullanarak fonksiyonun değerini herhangi bir ara noktada bulabilirsiniz; örneğin X=4:

= 43

Lagrange enterpolasyon polinomları kullanılan sonlu elemanlar yöntemi, inşaat sorunlarının çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Diğer enterpolasyon formülleri de bilinmektedir; örneğin, Newton'un enterpolasyon formülü, eşit mesafeli düğümler veya enterpolasyon polinomu durumunda enterpolasyon için kullanılır Ermita.

Spline enterpolasyonu. Çok sayıda enterpolasyon düğümü kullanıldığında özel bir teknik kullanılır - parçalı polinom enterpolasyonu, fonksiyon bir derece polinomuyla enterpolasyona tabi tutulduğunda T herhangi bir bitişik ızgara düğümü arasında.

Fonksiyonların ortalama karekök yaklaşımı

Sorunun beyanı

RMS yaklaşımı fonksiyonlar, fonksiyonlara yaklaşmak için analitik ifadeler elde etmeye yönelik başka bir yaklaşımdır. Bu tür problemlerin bir özelliği, belirli kalıpların oluşturulmasına yönelik başlangıç ​​verilerinin açıkça belli olmasıdır. yaklaşık karakter.

Bu veriler bazı deneylerin veya bazı hesaplama işlemlerinin sonucunda elde edilir. Buna göre bu veriler deneysel hatalar (ölçme ekipmanı ve koşullarındaki hatalar, rastgele hatalar vb.) veya yuvarlama hataları içerir.

Diyelim ki bir olguyu veya süreci araştırıyoruz. Genel anlamda, araştırmanın amacı şekilde gösterilen sibernetik sistem (“kara kutu”) ile temsil edilebilir.

Değişken X bağımsız, kontrollü bir değişkendir (giriş parametresi).

Değişken e– bu, çalışma nesnesinin giriş parametresinin etkisine verdiği tepkidir (yanıttır). Bu bağımlı değişkendir.

Bu deneyin sonuçlarını işlerken belirli bir fonksiyonel bağımlılığın keşfedildiğini varsayalım. y=f(x) bağımsız değişken arasında X ve bağımlı değişken sen. Bu bağımlılık bir tablo şeklinde sunulmaktadır. 5.1 anlamları xi ben , y ben (i=1,2,…,N) deney sırasında elde edildi.

Tablo 5.1

Fonksiyonun analitik ifadesi ise y=f(x) bilinmiyor veya çok zorsa, o zaman işlevi bulma görevi ortaya çıkar y= J (X), kimin değerleri x=xi, belki biraz farklıydı deneysel verilere dayalı sen ben (Ben=1,..,N). Böylece, incelenen bağımlılığa aşağıdaki fonksiyonla yaklaşılır: y= J (X) segmentte [ X 1 ,xn]:

f(x)@ J (X). (5.9)

Yaklaşım fonksiyonu y= J (X) isminde ampirik formül (EF) veya regresyon denklemi (RE).

Ampirik formüller doğanın kanunları gibi davranmazlar, yalnızca deneysel verileri az çok yeterince açıklayan hipotezlerdir. Ancak bunların önemi çok büyüktür. Bilim tarihinde, ortaya çıkan başarılı ampirik formülün büyük bilimsel keşiflere yol açtığı durumlar vardır.

Ampirik formül yeterli, eğer incelenen nesneyi pratik için yeterli doğrulukla tanımlamak için kullanılabiliyorsa.

Bu bağımlılık ne için?

Eğer yaklaşıklık (5.9) bulunursa, o zaman mümkündür:

İncelenen nesnenin segment dışındaki davranışı hakkında bir tahmin yapın ( ekstrapolasyon );

Seçmek optimal incelenen sürecin gelişim yönü.

Regresyon denklemi, incelenen nesnenin özelliklerine ve gerekli temsil doğruluğuna bağlı olarak farklı formlara ve farklı karmaşıklık düzeylerine sahip olabilir.

geometrik olarak Regresyon denklemi oluşturmanın görevi bir eğri çizmektir L: y= J (X) « belki daha yakın» Deney noktaları sistemine bitişik M ben (x ben , y ben), i= 1,2,..,N, tablo tarafından verilmiştir. 5.1 (Şekil 5.2).

Bir regresyon denkleminin (ampirik fonksiyon) oluşturulması 2 aşamadan oluşur:

1. genel bir görünüm seçme regresyon denklemleri,

2. parametrelerinin belirlenmesi.

Başarılı seçenek Regresyon denklemi büyük ölçüde deneycinin herhangi bir süreci veya olguyu inceleme deneyimine bağlıdır.

Genellikle bir regresyon denklemi olarak bir polinom (polinom) seçilir:

İkinci görev parametreleri bulma regresyon denklemleri normal yöntemler kullanılarak çözülür, örneğin, en küçük kareler yöntemi(LSM), gözlemlere veya deneylere dayalı herhangi bir modeli incelerken yaygın olarak kullanılır.

Bu yöntemin gelişimi geçmişin ünlü matematikçilerinin isimleriyle ilişkilidir - K. Gauss ve A. Legendre.

En küçük kareler yöntemi

Deneyin sonuçlarının bir tablo şeklinde sunulduğunu varsayalım. 5.1. Ve regresyon denklemi (5.11) formunda yazılmıştır, yani. bağlıdır ( M+1) parametre

Bu parametreler regresyon denklemi grafiğinin deneysel noktalara göre konumunu belirler. M ben (x ben , y ben), i= 1,2,..,N(Şekil 5.2).

Ancak bu parametreler tek başına belirlenmemektedir. Regresyon denkleminin grafiğinin yer alması için parametrelerin seçilmesi gerekmektedir. mümkün olduğu kadar yakın» bu deneysel noktaların sistemine.

Konsepti tanıtalım sapmalar regresyon denkleminin (5.11) değerleri tablo değerinden sen benİçin x ben : , ben= 1,2,..,N.

düşünelim karesel sapmaların toplamı, bağlıdır ( M+1) parametre

OLS'ye göre en iyi katsayılar bir ben(Ben=0,1,..,M) en aza indirenlerdir sapmaların karelerinin toplamı, yani işlev

Kullanma Bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşullar birkaç değişken, sözde elde ederiz normal sistem bilinmeyen katsayıları belirlemek için :

Yaklaşım fonksiyonu (5.11) için, sistem (5.14), bilinmeyenler için doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistemdir .

Olası durumlar:

1. Eğer ise, o zaman fonksiyonu (5.13) en aza indiren sonsuz sayıda polinom (5.11) vardır.

2. Eğer m=n–1 ise, fonksiyonu (5.13) en aza indiren tek bir polinom (5.11) vardır.

Daha az M ampirik formül ne kadar basit olursa olsun, ancak bu her zaman daha iyi değildir. Ortaya çıkan ampirik formülün şu şekilde olması gerektiği unutulmamalıdır: yeterli incelenen nesne.