Kombinatoryal analizin unsurları

Bağlantılar. Boş A A 1 , A 2, A 3 …BİR A M (M itibaren N bağlantılar itibaren N tarafından elemanlar M

Yeniden düzenlemeler. Boş A– Sonlu sayıda elemandan oluşan bir küme A 1 , A 2, A 3 …BİR. Setin çeşitli unsurlarından A gruplar oluşturulabilir. Her grup aynı sayıda öğe içeriyorsa M (M itibaren N), sonra oluştukları söylenir bağlantılar itibaren N tarafından elemanlar M herkesin içinde. Üç tür bağlantı vardır: yerleşimler, kombinasyonlar ve permütasyonlar.

Yerleşimler. Her biri aşağıdakileri içeren bileşikler Mçeşitli unsurlar ( M < N) dan alınan N setin elemanları A Elementlerin bileşimi veya sıraları bakımından birbirinden farklı olanlara denir yerleşimler itibaren N tarafından elemanlar M herkesin içinde. Bu tür yerleştirmelerin sayısı sembolüyle gösterilir

Teorem 1. N elemanın tüm farklı permütasyonlarının sayısı

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Teorem 2. Tüm yerleşimlerin sayısı N tarafından elemanlar M formülle hesaplanır:

Kombinasyonlar. Bağlantılar her biri şunları içerir Mçeşitli unsurlar ( M < N) dan alınan N setin elemanları A Elementlerden en az biri (yalnızca bileşim) bakımından birbirinden farklı olanlara denir. kombinasyonlar itibaren N tarafından elemanlar M herkesin içinde. Bu tür kombinasyonların sayısı sembolüyle gösterilir

Teorem 3. N elemanın m'ye göre tüm kombinasyonlarının sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

Bazen yerleşim sayısını kaydetmek için aşağıdaki formül kullanılır:

Olasılık teorisinin özü ve uygulama koşulları.

Olasılık teorisi

Rastgele fenomen -

sadece

Televizyon. Üretimin planlanmasında vb. kullanılan matematiksel ve uygulamalı istatistiklerin doğrulanmasına hizmet eder.

Olasılık teorisinin temel kavramları.

Olasılık teorisi rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik bilimidir.

Rastgele fenomen - Bu, aynı deneyim tekrar tekrar üretildiğinde her seferinde biraz farklı bir şekilde ortaya çıkan bir olgudur.

Olasılık teorisinin yöntemleri doğası gereği uyarlanmıştır sadece kitlesel rastgele olayların incelenmesi için; bireysel bir rastgele olgunun sonucunu tahmin etmeyi mümkün kılmazlar, ancak bir homojen rastgele olay kütlesinin ortalama toplam sonucunu tahmin etmeyi mümkün kılarlar.

Olasılık teorisinde Ölçek Aynı koşullar altında (en azından teorik olarak) sınırsız sayıda gerçekleştirilebilecek bir deneyi çağırmak gelenekseldir.

Her testin sonucu veya sonucu çağrılacaktır etkinlik. Olay, olasılık teorisinin temel kavramıdır. Olayları A, B, C harfleriyle göstereceğiz.

Etkinlik türleri:

güvenilir olay- Tecrübe sonucunda mutlaka gerçekleşecek bir olay.

imkansız olay- deneyim sonucu gerçekleşemeyen bir olay.

rastgele olay- Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olay. Etkinliklerde fırsat eşitliği

Olasılık olaylar A(belirtmek P(A) A(belirtmek m(A)), N onlar. P(A)= Adam.

Olasılık uzayı.

Olasılık alanı A.N.'nin aksiyomatiklerindeki rastgele bir deneyin (deneyimin) matematiksel bir modelidir. Kolmogorov. Olasılık alanı, olasılık teorisi araçlarını kullanarak matematiksel analizi için gerekli olan rastgele bir deneyin özellikleri hakkındaki tüm bilgileri içerir. Olasılık teorisindeki herhangi bir problem, başlangıçta tamamen belirlenen belirli bir olasılık uzayı çerçevesinde çözülür. Olasılık uzayının tam olarak belirlenmediği ve eksik bilgilerin gözlem sonuçlarından elde edilmesi gereken problemler matematiksel istatistik alanına girer.

Olasılık alanıüçlü bileşen (semboller) (Ω,S,P) tarafından belirlenir; burada Ω, temel olayların uzayıdır

S-∂(sigma)-olayların cebiri, P - olasılık, Ω-belirli olay, Ω temel sonuçlarının uzayının alt kümelerinin S-sistemi.

5. 5.Doğrudan olasılık hesaplaması.

Olasılığın klasik tanımı konsepte dayalı olayların eşitliği .

Etkinliklerde fırsat eşitliği herhangi birini diğerine tercih etmenin bir anlamı olmadığı anlamına gelir.

Olayla sonuçlanabilecek bir testi düşünün A. Olayın meydana geldiği her sonuç A, isminde uygun etkinlik A.

Olasılık olaylar A(belirtmek P(A)) olaya olumlu sonuçların sayısının oranıdır A(belirtmek m(A)), tüm test sonuçlarının sayısına göre – N onlar. P(A)= Adam.

Olasılığın klasik tanımından aşağıdakiler çıkar: özellikler :

Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır.

Kanıt. O zamandan beri eşitsizliğin tüm kısımlarını bölüyoruz N, alıyoruz

Buradan, klasik olasılık tanımına göre şu sonuç çıkıyor:

Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır

6. 6.Olasılıkların toplanmasına ilişkin teoremler.

A ve B uyumsuzsa P(A + B) = P(A) + P(B)

A ve B zıt olaylarsa, o zaman

Aşağıda sigma cebirinin bir elemanına rastgele olay adını vereceğiz.

Etkinlik grubunu tamamlayın

Tam bir olay grubu, her biri bir olay olan alt kümelerin tam bir grubudur. Tam bir gruptaki olayların, temel sonuçlar alanının bir bölümü olduğunu söylüyorlar.

Sonlu toplama işlevi

İzin vermek A – cebir. Fonksiyon , cebiri gerçek sayılar kümesine eşler

ikili olarak uyumsuz olayların herhangi bir sonlu kümesi için sonlu toplamalı olarak adlandırılır

Sayma-toplam fonksiyonu

İzin vermek F– cebir veya sigma cebiri. İşlev

sayılabilir ikili uyumsuz olayların herhangi bir kümesi için sonlu toplamalı ise sayılabilir toplamalı olarak adlandırılır

Bir ölçü, koşulu karşılayan, sigma cebiri üzerinde tanımlanan, negatif olmayan sayılabilir bir toplama fonksiyonudur

Nihai önlem

Ölçüm eğer sonlu denir

Olasılık

Olasılık (olasılık ölçüsü) P bu öyle bir ölçü ki

Artık olasılığı yüzde olarak ölçmeyi bırakıp 0'dan 1'e kadar gerçek sayılarla ölçmeye başlayacağız.

A olayının olasılığı denir

Olasılık alanı

Olasılık uzayı üç nesneden oluşan bir koleksiyondur: temel sonuçların uzayı, olayların sigma cebiri ve olasılık.

Bu rastgele bir olgunun veya nesnenin matematiksel modelidir.

Olasılık uzayını tanımlamanın paradoksu

Olasılık teorisindeki problemin orijinal formülasyonuna dönelim. Amacımız, rastgele olayların olasılıklarını ölçmeye yardımcı olacak rastgele bir olgunun matematiksel bir modelini oluşturmaktı. Aynı zamanda bir olasılık uzayı oluşturmak için bir olasılığın belirtilmesi gerekir; tam olarak aradığımız şey gibi görünüyor (?).

Bu paradoksun çözümü, olasılığı tüm öğeler üzerinde bir fonksiyon olarak tam olarak tanımlamaktır. F, genellikle bunu yalnızca bazı etkinliklere ayarlamak yeterlidir. F, olasılığını belirlemek bizim için kolaydır , ve ardından sayılabilir toplamsallığını kullanarak herhangi bir öğeyi hesaplayın F.

Bağımsız olaylar

Olasılık teorisindeki önemli bir kavram bağımsızlıktır.

A ve B olayları şu durumda bağımsız olarak adlandırılır:

onlar. bu olayların aynı anda meydana gelme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.

Sayılabilir veya sonlu bir kümedeki olayların herhangi bir çifti bağımsız olay çifti ise ikili bağımsız olduğu söylenir

Toplamda

Sayılabilir veya sonlu bir kümedeki olayların herhangi bir sonlu alt kümesinin aynı anda meydana gelme olasılığı, o alt kümedeki olayların olasılıklarının çarpımına eşitse, bu olayların kolektif olarak bağımsız olduğu söylenir.

Kolektif olarak bağımsız olayların çiftler halinde de bağımsız olduğu açıktır. Bunun tersi doğru değil.

Şartlı olasılık

B olayının meydana geldiğine göre A olayının koşullu olasılığı miktardır

Şimdilik koşullu olasılığı yalnızca olasılığı sıfıra eşit olmayan B olayları için tanımlayacağız.

A ve B olayları bağımsız ise, o zaman

Özellikler ve teoremler

Olasılığın en basit özellikleri

Etkinlikler formu tam grup deney sonucunda bunlardan en az birinin mutlaka meydana geleceği ve ikili olarak uyumsuz olması durumunda.

hadi diyelim ki olay A tam bir grup oluşturan birkaç ikili uyumsuz olaydan yalnızca biriyle birlikte ortaya çıkabilir. Olayları çağıracağız ( Ben= 1, 2,…, N) hipotezler ek deneyim (a priori). A olayının gerçekleşme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir: tam olasılık :

Örnek 16.Üç kavanoz var. İlk torbada 5 beyaz ve 3 siyah top, ikincisinde 4 beyaz ve 4 siyah top, üçüncüsünde ise 8 beyaz top bulunmaktadır. Torbalardan biri rastgele seçilir (bu, örneğin seçimin 1, 2 ve 3 numaralı üç topun bulunduğu yardımcı bir torbadan yapıldığı anlamına gelebilir). Bu torbadan rastgele bir top çekiliyor. Siyah olma olasılığı nedir?

Çözüm. Etkinlik A– siyah top kaldırılır. Topun hangi torbadan çekildiği bilinseydi, istenen olasılık, klasik olasılık tanımı kullanılarak hesaplanabilirdi. Topu geri almak için hangi torbanın seçildiğine ilişkin varsayımları (hipotezleri) tanıtalım.

Top ya birinci torbadan (varsayım), ya ikinciden (varsayım) ya da üçüncüden (varsayım) çekilebilir. Torbalardan herhangi birini seçme şansı eşit olduğuna göre, o zaman .

Şunu takip ediyor

Örnek 17. Elektrik lambaları üç fabrikada üretilmektedir. İlk tesis toplam elektrik lambası sayısının %30'unu, ikinci tesis ise %25'ini üretiyor.
ve üçüncüsü - geri kalanı. İlk tesisin ürünleri %1, ikinci fabrikanın ürünleri %1,5, üçüncü fabrikanın ürünleri ise %2 oranında arızalı elektrik lambası içermektedir. Mağaza her üç fabrikadan da ürün alıyor. Mağazadan satın alınan bir lambanın arızalı çıkma olasılığı nedir?

Çözüm. Ampulün hangi fabrikada üretildiğine ilişkin varsayımlar yapılmalıdır. Bunu bilerek kusurlu olma olasılığını bulabiliriz. Olaylar için gösterimi tanıtalım: A- Satın alınan elektrik lambasının arızalı çıkması, - Lambanın birinci fabrikada üretilmiş olması, - Lambanın ikinci fabrikada üretilmiş olması,
– lamba üçüncü fabrika tarafından üretildi.

Toplam olasılık formülünü kullanarak istenen olasılığı buluyoruz:

Bayes formülü.

İkili uyumsuz olayların (hipotezlerin) tam bir grubu olsun. A– rastgele bir olay. Daha sonra,

A'nın ortaya çıktığı olayın bilindiği test sonucundan sonra hipotezlerin olasılıklarını yeniden tahmin etmeye izin veren son formüle denir. Bayes formülü .

Örnek 18. Hastaların ortalama %50'si özel hastanelere başvurmaktadır. İLE, %30 – hastalıklı L, 20 % –
hastalıklı M. Hastalığın tamamen iyileşme olasılığı k hastalıklar için 0,7'ye eşit L Ve M bu olasılıklar sırasıyla 0,8 ve 0,9'dur. Hastaneye kaldırılan hasta, sağlıkla taburcu edildi. Bu hastanın hastalıktan muzdarip olma olasılığını bulun k.

Çözüm. Hipotezleri tanıtalım: – hasta bir hastalıktan muzdaripti İLE L, – hasta bir hastalıktan muzdaripti M.

Daha sonra problemin koşullarına göre elimizde . Bir etkinlik tanıtalım A- Hastaneye kaldırılan hasta sağlıklı bir şekilde taburcu edildi. Koşullara göre

Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Bayes'in formülüne göre.

Olasılık alanı

Olasılık teorisindeki ilk teorik sonuçlar şunlarla ilgilidir:

17. yüzyılın ortalarına ait olup B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli'ye aittir. Bu teori 18. yüzyıl ve 19. yüzyıl başlarındaki başarısını A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre'ye borçludur. Olasılık teorisinde 19. yüzyılın sonu ve 20. yüzyılın başında L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel ve diğerlerinin çalışmalarında önemli ilerlemeler sağlandı. 20. yüzyılın başlarında katı ve tutarlı bir teori. Yalnızca aksiyomatik yaklaşım bunu başarmayı mümkün kıldı. Teorinin ilk aksiyomatik yapısı, yapılarını rastgele olayların olasılık derecelerine göre karşılaştırılmasına dayandıran S.N. Bernstein tarafından 1917 yılında yapılmıştır. Ancak bu yaklaşım daha da geliştirilmedi. A.N. Kolmogorov tarafından 20. yüzyılın 20'li yıllarında geliştirilen küme teorisi ve ölçü teorisine dayanan aksiyomatik yaklaşımın daha verimli olduğu ortaya çıktı. Kolmogorov'un aksiyomatiklerinde, rastgele olay kavramı, klasik yaklaşımın aksine, başlangıçtaki bir kavram değil, daha temel kavramların bir sonucudur. Kolmogorov'un kaynağı temel olayların (sonuç uzayı, örnek uzay) W kümesidir (uzayı). Bu uzayın elemanlarının doğası önemli değil.

A,B,C О W ise küme teorisinde kurulan aşağıdaki ilişkiler açıktır:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

burada üst çubuk W'deki tamamlayıcıyı belirtir; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

burada Æ boş kümeyi gösterir, yani. imkansız olay.

Kolmogorov'un aksiyomatiklerinde, elemanları rastgele olaylar olarak adlandırılan W kümesinin alt kümelerinden oluşan belirli bir U sistemi dikkate alınır. U sistemi aşağıdaki gereksinimleri karşılar: W kümesinin A ve B alt kümeleri U sistemine dahilse, bu sistem aynı zamanda A È B, A Ç B, A ve B kümelerini de içerir; W kümesinin kendisi de U sisteminin bir elemanıdır. Böyle bir kümeler sistemine (Boolean) kümeler cebiri denir.

Açıkçası, küme cebirinin tanımından U ailesinin aynı zamanda boş Æ kümesini de içerdiği sonucu çıkar. Böylece kümelerin cebiri (yani rastgele olaylar kümesi) toplama, kesişme ve toplamaların oluşumu işlemlerine göre kapalıdır ve bu nedenle rastgele olaylar üzerindeki temel işlemler rastgele olaylar kümesinin ötesine geçmez. U.

Çoğu uygulama için, U kümeleri ailesinin yalnızca W'nin sonlu toplamlarını ve alt kümelerinin kesişimlerini değil aynı zamanda sayılabilir toplamları ve kesişimleri de içermesini gerektirmek gerekir. Bu bizi s-cebir kavramının tanımına götürür.

Tanım 1.1. Bir s-cebiri, tümleyenler, sayılabilir toplamlar ve sayılabilir kesişimler oluşturma işlemleri altında kapalı olan bir W kümesinin alt kümelerinin (U) ailesidir.

Herhangi bir s-cebirinin W kümesinin kendisini ve boş kümeyi içerdiği açıktır. Bir W kümesinin alt kümelerinden oluşan rastgele bir U ailesi verilirse, U ailesinin tüm kümelerini içeren en küçük s-cebirine, U ailesi tarafından oluşturulan s-cebiri denir.

En büyük s-cebiri, s'nin tüm alt kümelerini içerir; olasılığın genellikle W kümesinin tüm alt kümeleri için tanımlandığı ayrık uzaylar W'de kullanışlıdır. Bununla birlikte, daha genel uzaylarda, tüm alt kümeler için olasılığı tanımlamak (olasılığın tanımı aşağıda verilecektir) ya imkansızdır ya da istenmeyen bir durumdur. Bir s-cebirinin bir başka aşırı tanımı, yalnızca W kümesinden ve Æ boş kümesinden oluşan bir s-cebiri olabilir.

W ve U altkümelerinin s-cebirinin seçimine bir örnek olarak, katılımcıların, zarın herhangi bir atışı için altı yüzünün her birine 1'den 6'ya kadar sayıların basıldığı bir zar attığı bir oyunu düşünün. , yalnızca altı durum gerçekleştirilir: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 ve w 6; bunun i'incisi, i noktalarının yuvarlandığı anlamına gelir. Rastgele olayların U ailesi tüm olası kombinasyonlardan oluşan 2 6 = 64 öğeden oluşur w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Rastgele olaylar, ör. U cebirinin elemanlarını sıklıkla A, B,... harfleriyle göstereceğiz. Eğer iki rastgele olay A ve B aynı elemanları içermiyorsa w i ОW, o zaman onları uyumsuz olarak adlandıracağız. A ve A olayları zıt olarak adlandırılır (diğer gösterimlerde A yerine CA koyabiliriz). Artık olasılık kavramını tanımlamaya geçebiliriz.

Tanım 1.2. Bir W kümesinin alt kümelerinin s-cebiri U üzerindeki bir olasılık ölçüsü P, aşağıdaki gereksinimleri karşılayan P kümesinin bir fonksiyonudur:

1) P(A)³ 0; AÎU;

, yani sayılabilir toplamsallık özelliğine sahiptir; burada A k, U'dan karşılıklı olarak ayrık kümelerdir.

Böylece, W örnek uzayı ne olursa olsun, olasılıkları yalnızca bazı s-cebiri U kümelerine atarız ve bu olasılıklar, bu kümelerdeki P ölçüsünün değeriyle belirlenir.

Bu nedenle, rastgele olayların incelenmesine ilişkin herhangi bir problemde, ilk kavram, s-cebirinin şu veya bu şekilde seçildiği ve üzerinde P olasılık ölçüsünün zaten belirlendiği örnek uzaydır. Sonuç olarak, aşağıdakileri verebiliriz. tanım

Tanım 1.3. Bir olasılık uzayı, alt kümelerinin bir W,s-cebiri U örnek uzayından ve U üzerinde tanımlanan bir P olasılık ölçüsünden oluşan bir üçlüdür (W,U,P).

Uygulamada, U'dan gelen aynı rastgele olaylara farklı olasılıkların atandığı problemler olabilir. Örneğin, simetrik bir zar durumunda şunu söylemek doğaldır:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

ve eğer kemik asimetrikse, o zaman aşağıdaki olasılıklar gerçeklikle daha tutarlı olabilir: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5) ) = P (w 6) = 1/12.

Esas olarak sonlu boyutlu Öklid uzayı Rn'nin alt kümeleri olan W kümeleriyle ilgileneceğiz. Olasılık teorisinin ana amacı rastgele değişkenlerdir; W örnek uzayında tanımlanan bazı fonksiyonlar. İlk görevimiz, çalışacağımız Fonksiyonların sınıfını sınırlamaktır. Özellikle, örneğin noktasal limit alma işlemleri, fonksiyonların bileşimi vb. gibi standart işlemlerin bu sınıftan türetilmeyeceği şekilde bir işlevler sınıfının seçilmesi tavsiye edilir. sınıf.

Tanım 1.4. Noktasal limit geçişleri altında kapalı olan B fonksiyonlarının en küçük sınıfı (yani, ¦ 1 , ¦ 2 ,... B sınıfına aitse ve tüm x'ler için ¦(x) = lim¦ n (x) limiti varsa, bu durumda tüm sürekli fonksiyonları içeren ¦( x) B'ye aittir ve Baire sınıfı olarak adlandırılır.

Bu tanımdan, iki Baire fonksiyonunun toplamı, farkı, çarpımı, izdüşümü ve bileşiminin yine Baire fonksiyonları olduğu sonucu çıkar. Baire fonksiyonunun her fonksiyonu yine bir Baire fonksiyonudur. Kendimizi daha dar fonksiyon sınıflarıyla sınırlandırırsak, teorinin güçlendirilmesi veya basitleştirilmesinin sağlanamayacağı ortaya çıktı.

Genel durumda rastgele değişkenler, yani. X = U(x) fonksiyonları, burada XÎWÌR n, herhangi bir t için (X £ t) olaylarının belirli bir olasılığa sahip olmasını sağlayacak şekilde tanımlanmalıdır; böylece (X £ t) kümeleri, elemanları için P olasılıklarının belirlendiği U ailesine aittir; böylece P(X £ t) değerleri belirlenir. Bu bizi bir fonksiyonun U ailesine göre ölçülebilirliğinin aşağıdaki tanımına götürür.

Tanım 1.5. Herhangi bir gerçek t için U(x) £ t'nin U ailesine ait olduğu xОW noktalarının kümesi varsa, bir U(x), xОW gerçek fonksiyonuna U-ölçülebilir denir.

S-cebiri U tümleyen alma işlemi altında kapalı olduğundan ölçülebilirlik tanımında £ eşitsizliği ³, > eşitsizliklerinden herhangi biri ile değiştirilebilir.<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Daha önce belirtildiği gibi, s-cebiri oldukça keyfi bir şekilde ve özellikle aşağıdaki şekilde seçilebilir: ilk olarak, WÎR n uzayında n boyutlu aralıklar tanımlanır, ardından küme cebiri işlemleri kullanılarak daha karmaşık bir kümenin kümeleri oluşturulur. Bu aralıklardan yapı oluşturularak küme aileleri oluşturulur. Tüm olası aileler arasından, W'deki tüm açık alt kümeleri içeren bir aile seçilebilir. Bu yapı, aşağıdaki tanıma yol açar.

Tanım 1.6. WÌ R n kümelerinin tüm açık (ve dolayısıyla tümü kapalı) alt kümelerini içeren en küçük s-cebiri Ub'ye Borel s-cebiri adı verilir ve kümelerine de Borel adı verilir.

Beer fonksiyonları B sınıfının, Borel kümelerinin s-cebiri U b'ye göre ölçülebilen fonksiyonlar sınıfıyla aynı olduğu ortaya çıktı.

Artık rastgele değişken kavramını ve onun olasılık dağılım fonksiyonunu açıkça tanımlayabiliriz.

Tanım 1.7. Bir rastgele değişken X, olasılık uzayının tanımında yer alan s-cebiri U'ya göre ölçülebilen bir X =U(x), xОW gerçek fonksiyonudur.

Tanım 1.8. Bir X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin t değerini aşmama olasılığını belirleyen F(t) = P(X £ t) fonksiyonudur.

Belirli bir F dağılım fonksiyonu için, bir olasılık ölçüsü açık bir şekilde oluşturulabilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Sonlu W kümesi örneğini kullanarak temel olasılık yasalarını ele alalım. A,BÌ W olsun. A ve B ortak elemanlar içeriyorsa, yani AB¹0 ise şunu yazabiliriz: A+B=A+(B-AB) ve B = AB+(B-AB), burada sağ tarafta ayrık kümeler (yani uyumsuz olaylar) vardır ve dolayısıyla toplanabilirlik özelliğiyle olasılık ölçüsü: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); dolayısıyla keyfi olayların olasılıklarının toplamına ilişkin Formül şu şekildedir: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

A olayının olasılığını hesaplarken hiçbir koşul getirilmiyorsa, P(A) olasılığına koşulsuz denir. A olayı gerçekleşirse, örneğin B olayının gerçekleşmesi koşuluyla, bunu P(A/B) sembolüyle gösteren koşullu olasılıktan bahsediyoruz. Aksiyomatik olasılık teorisinde tanım gereği şu varsayılır:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Bu tanımı sezgisel olarak açık hale getirmek için örneğin aşağıdaki durumu düşünün. Bir kutuda A harfiyle etiketlenmiş k adet kağıt, B harfiyle etiketlenmiş r adet kağıt, A B harfi ile etiketlenmiş m adet kağıt ve n adet boş kağıt parçası olsun. p = k + r + n + m adet kağıt vardır. Ve kutudan sırasıyla kağıtlar çekilsin ve her çıkarmadan sonra, çekilen kağıdın türü not edilerek kutuya geri konulsun. Bu tür çok sayıda testin sonuçları kaydedilmektedir. Koşullu olasılık P(A/B), A olayının yalnızca B olayının uygulanmasıyla bağlantılı olarak dikkate alındığı anlamına gelir. Bu örnekte bu, A·B harfleriyle çekilen kağıt parçalarının sayısını saymanın gerekli olduğu anlamına gelir ve B harfini bulun ve ilk sayıyı birinci ve ikinci sayıların toplamına bölün. Yeterince fazla deneme sayısı ile bu oran koşullu olasılık P(A/B)'yi belirleyen sayıya yönelecektir. Diğer kağıt parçalarının da benzer bir sayısı şunu gösterecektir:

Oranın hesaplanması

P(A/B) olasılığı için daha önce hesapladığımız değerle tam olarak örtüştüğünden emin oluyoruz. Böylece elde ederiz

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Benzer bir mantık yürüterek A ve B'yi değiştirerek şunu elde ederiz:

P(A B) = P(B/A) P(A)

Eşitlikler

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

olasılık çarpımı teoremi denir.

Ele alınan örnek aynı zamanda A·B¹Æ için aşağıdaki eşitliğin geçerliliğini açıkça doğrulamamıza olanak tanır:

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Örnek 1.1. Bir zarın iki kez atılmasına izin verin ve ilk atış 4 ise toplam 10 puan alma olasılığını P(A/B) belirlemeniz gerekir.

İkinci atışta 6 gelme olasılığı 1/6'dır. Buradan,

Örnek 1.2. 6 kavanoz olsun:

A 1 tipi bir torbada iki beyaz ve bir siyah top vardır, A 2 tipi bir torbada iki beyaz ve iki siyah top vardır, A 3 tipi bir torbada iki siyah ve bir beyaz top vardır. 1 adet A 1 tipi kavanoz, 2 adet A 2 tipi ve 3 adet A 3 tipi kavanoz bulunmaktadır. Rastgele bir torba seçiliyor ve içinden bir top çekiliyor. Bu topun beyaz olma olasılığı nedir? Beyaz topun dışarı çekilmesi olayını B ile gösterelim.

Sorunu çözmek için, bir B olayının yalnızca n uyumsuz A 1,..., A n olaylarından biriyle birlikte gerçekleştiğini varsayalım, yani. B = , burada farklı i ve j endekslerine sahip VA i ve VA j olayları uyumsuzdur. P olasılığının toplanabilirlik özelliğinden şu sonuç çıkar:

Burada bağımlılığı (1.1) değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu formüle toplam olasılık formülü denir. Son örneği çözmek için toplam olasılık formülünü kullanacağız. Beyaz top (B olayı) üç torbadan (A 1, A 2, A 3 olayları) birinden alınabileceği için şunu yazabiliriz:

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Toplam olasılık formülü şunu verir:

Bu formülün içerdiği olasılıkları hesaplayalım. Bir topun A 1 tipi bir torbadan alınma olasılığı açıkça P(A 1) = 1/6'ya, A 2 tipi bir torbadan alınma olasılığı ise: P(A 2) = 2/6 == 1/3 ve A 3 tipi bir torbadan: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Eğer top A 1 tipi bir torbadan alınırsa P(B/A 1) = 2/3, A 2 tipi bir torbadan alınırsa P(B/A 2) = 1/2 ve eğer top A 3 tipi bir torbadan, o zaman P(B/A 3) = 1/3. Böylece,

P(B) = (1/6)(2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Koşullu olasılık Р(В/А), Р(В/А)³0 olasılığının tüm özelliklerine sahiptir, В(В/В) = 1 ve P(В/А) toplamsaldır.

Çünkü

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

o zaman, eğer A, B'ye bağlı değilse, yani eğer

P(A/B) = P(A),

o zaman B, A'ya bağlı değildir, yani. P(B/A) = P(B).

Böylece bağımsız olaylar durumunda çarpma teoremi en basit biçimi alır:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

A ve B olayları bağımsızsa, aşağıdaki olay çiftlerinden her biri de bağımsızdır: (A,B), (A,B), (A,B). Örneğin, A ve B bağımsızsa A ve B'nin de bağımsız olduğundan emin olalım. P(B/A) + P(B/A) = I olduğundan bağımsızlık koşulunu dikkate alırız. A ve B olaylarının, yani koşullar P(B/A) = P(B), şu şekildedir: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Olaylar çiftler halinde bağımsız olabilir, ancak toplamda bağımlı oldukları ortaya çıkar. Bu bağlamda, karşılıklı bağımsızlık kavramı da tanıtılmıştır: 1,2,...,n endekslerinin herhangi bir E alt kümesi için eşitlik varsa, A 1,..., An olayları karşılıklı bağımsız olarak adlandırılır.

Uygulamada, bazı testler yapıldıktan sonra hipotezlerin olasılıklarını tahmin etmek sıklıkla gereklidir. Örneğin B olayı yalnızca A 1,...,A n uyumsuz olaylarından biriyle gerçekleşebilir, yani. ve B olayının gerçekleşmesine izin vermek için A i hipotezinin (olayın) olasılığını bulmak gerekir.

B ne oldu. Çarpma teoreminden

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

P(B) için toplam olasılık formülü dikkate alındığında aşağıdaki sonuç elde edilir:

Bu formüllere Bayes formülleri denir.

Örnek 1.3.Örnek 1.2'de, diyelim ki beyaz bir top çekildi ve bunun tip 3'teki bir torbadan gelme olasılığını belirlemek istiyorsunuz.

Olasılıklar ve bunlarla başa çıkma kuralları. İncelenmekte olan rastgele deneyin mekanizmasını tam olarak tanımlamak için yalnızca temel olayların uzayını belirtmek yeterli değildir. Açıkçası, incelenmekte olan rastgele deneyin tüm olası sonuçlarını listelemenin yanı sıra, bu tür deneylerin uzun bir serisinde belirli temel olayların ne sıklıkta meydana gelebileceğini de bilmemiz gerekir. Aslında, örneğin örneklere dönersek, burada açıklananların her birinin çerçevesinde bunu hayal etmek kolaydır.

Bu temel olay uzaylarında, mekanizmaları bakımından önemli ölçüde farklılık gösteren sayısız rastgele deneyi göz önünde bulundurabiliriz. Dolayısıyla, eğer farklı anlar ve zarlar (simetrik) kullanırsak, örnekler 4.1-4.3'te aynı temel sonuçların önemli ölçüde farklı göreceli oluşum sıklıklarına sahip olacağız. , hafif kaymış ağırlık merkezi, çok fazla kaymış ağırlık merkezi, vb.) Örnekler 4.4-4.7'de, kusurlu ürünlerin meydana gelme sıklığı, denetlenen partilerin kusurlu ürünlerle kirlenmesinin niteliği ve bir kusurun meydana gelme sıklığı. Otomatik hat makinelerinin belirli sayıda arızası, incelenen üretimin teknolojik ekipmanının seviyesine bağlı olacaktır: temel olayların aynı alanı göz önüne alındığında, "iyi" temel sonuçların ortaya çıkma sıklığı, daha yüksek düzeydeki üretimde daha yüksek olacaktır. teknoloji.

Rastgele bir deneyin tam ve eksiksiz bir matematiksel teorisini (ayrı bir durumda) oluşturmak için - bir olasılık teorisi, rastgele bir deneyin daha önce tanıtılan başlangıç ​​kavramlarına, temel bir sonuca ve rastgele bir olaya ek olarak, stoklamak gerekir. Temel olayların olasılıklarının varlığını varsayan (belirli bir normalizasyonu karşılayan) ve herhangi bir rastgele olayın olasılığını belirleyen bir başlangıç ​​varsayımına (aksiyom) daha dayanmaktadır.

Aksiyom. Q temel olaylar uzayının her bir elemanı, olayın olasılığı olarak adlandırılan, meydana gelme şansının bazı negatif olmayan sayısal özelliklerine karşılık gelir ve

(buradan özellikle herkes için şunu takip ediyoruz).

Bir olayın olasılığının belirlenmesi. Herhangi bir A olayının olasılığı, A olayını oluşturan tüm temel olayların olasılıklarının toplamı olarak tanımlanır, yani "A olayının olasılığını" belirtmek için sembolizm kullanırsak, o zaman

Buradan ve (4.2)'den, hemen güvenilir bir olayın olasılığının her zaman olduğu sonucu çıkar.

bire eşittir ve imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. Olasılıklar ve olaylarla ilgili diğer tüm kavram ve kurallar, yukarıda tanıtılan dört ilk tanımdan (rastgele deney, temel sonuç, rastgele olay ve olasılığı) ve bir aksiyomdan zaten türetilecektir.

Bu nedenle, incelenmekte olan rastgele deneyin mekanizmasının kapsamlı bir açıklaması için (ayrı durumda), tüm olası temel sonuçlar Q'nun sonlu veya sayılabilir bir kümesini belirlemek ve her temel sonuca negatif olmayan (olmayan) bir miktar atamak gerekir. Sonucun ortaya çıkma olasılığı olarak yorumlanan bir) sayısal özelliğin, belirlenen yazışma türü ile normalizasyon şartını (4.2) sağlaması gerekir.

Olasılık uzayı tam olarak rastgele bir deneyin mekanizmasının böyle bir tanımını resmileştiren kavramdır. Bir olasılık uzayını tanımlamak, temel olayların Q uzayını tanımlamak ve içindeki yukarıdaki tipteki yazışmaları tanımlamak anlamına gelir.

Açıkçası, (4.4) tipindeki bir yazışma çeşitli şekillerde belirtilebilir: tablolar, grafikler, analitik formüller kullanarak ve son olarak algoritmik olarak.

İncelenmekte olan gerçek koşullar dizisine karşılık gelen olasılıksal bir uzay nasıl inşa edilir? Kural olarak, rastgele bir deney, temel bir olay, temel olayların alanı ve ayrı bir durumda herhangi bir ayrıştırılabilir rastgele olay kavramlarını somut içerikle doldurmakta herhangi bir zorluk yoktur. Ancak çözülmekte olan problemin belirli koşullarından bireysel temel olayların olasılıklarını belirlemek o kadar kolay değil! Bu amaçla aşağıdaki üç yaklaşımdan biri kullanılır.

Olasılıkların hesaplanmasına yönelik önsel yaklaşım, belirli bir rastgele deneyin (deneyin kendisini gerçekleştirmeden önce) belirli koşullarının teorik, spekülatif bir analizinden oluşur. Bazı durumlarda bu ön analiz, istenen olasılıkların belirlenmesine yönelik yöntemin teorik olarak kanıtlanmasını mümkün kılar. Örneğin, mümkün olan tüm alanların uzayı mümkündür.

Temel sonuçlar sonlu sayıda N elemandan oluşur ve incelenmekte olan rastgele deneyi üretme koşulları öyledir ki, bu N temel sonuçların her birinin bize eşit görünme olasılığı vardır (bu tam olarak kendimizi içinde bulduğumuz durumdur). simetrik bir para atmak, adil bir zar atmak veya iyi karıştırılmış bir desteden rastgele bir oyun kartı çekmek vb.). Aksiyom (4.2) uyarınca, bu durumda her temel olayın olasılığı MN'ye eşittir. Bu, herhangi bir olayın olasılığını hesaplamak için basit bir tarif elde etmemizi sağlar: eğer A olayı NA temel olay içeriyorsa, o zaman tanım (4.3) uyarınca

Formül (4.3)'ün anlamı, belirli bir durum sınıfında bir olayın olasılığının, olumlu sonuçların (yani, bu olaya dahil edilen temel sonuçların) sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranı olarak tanımlanabileceğidir ( olasılığın sözde klasik tanımı). Modern yorumunda, formül (4.3) bir olasılık tanımı değildir: yalnızca tüm temel sonuçların eşit derecede olası olduğu belirli bir durumda uygulanabilir.

Olasılıkların hesaplanmasına yönelik son frekans yaklaşımı, esas olarak, olasılık frekans kavramı olarak adlandırılan olasılık kavramı tarafından benimsenen olasılık tanımına dayanmaktadır (bu kavram hakkında daha fazla bilgi için, örneğin bakınız). Bu kavrama uygun olarak olasılık, toplam rastgele deney sayısında sınırsız bir artış sürecinde sonucun göreceli oluşma sıklığının sınırı olarak tanımlanır;

temel bir olayın meydana geldiğinin kaydedildiği rastgele deneylerin sayısı (gerçekleştirilen toplam rastgele deney sayısı üzerinden) buna göre, olasılıkların pratik (yaklaşık) belirlenmesi için, göreceli frekansların alınması önerilmektedir. bir olayın yeterince uzun bir süre içinde meydana gelmesi

bir dizi rastgele deney. Olasılıkları hesaplamanın bu yöntemi, modern (aksiyomatik) olasılık teorisi kavramıyla çelişmez, çünkü ikincisi, herhangi bir A olayının nesnel olarak var olan olasılığının ampirik (veya seçici) analoğu olacak şekilde inşa edilmiştir. bu olayın bir dizi bağımsız denemede ortaya çıkmasının göreceli sıklığıdır. Bu iki kavramdaki olasılık tanımları farklıdır: Frekans kavramına göre olasılık, incelenen olgunun deneyimden önce var olan nesnel bir özelliği değildir, yalnızca bir deney veya gözlemle bağlantılı olarak ortaya çıkar; bu, teorik (doğru, incelenen olgunun "varlığı" için koşulların gerçek kompleksi tarafından koşullandırılmış) olasılıksal özelliklerin ve bunların ampirik (seçici) analoglarının bir karışımına yol açar. G. Kramer'in yazdığı gibi, "olasılığın belirtilen tanımı, örneğin, belirsiz bir şekilde azalan boyutlardaki tebeşir noktalarının sınırı olarak geometrik bir noktanın tanımıyla karşılaştırılabilir, ancak modern aksiyomatik geometri böyle bir tanım getirmez" () . Burada olasılık frekans kavramının matematiksel kusurları üzerinde durmayacağız. Göreceli frekansları kullanarak yaklaşık değerler elde etmek için bir hesaplama tekniğinin uygulanmasının temel zorluklarını not edelim. İlk olarak, rastgele bir deneyin koşullarını değiştirmeden sürdürmek (yani istatistiksel bir topluluğun koşullarını korumak), bu varsayımın altında. bağıl frekansların sabit bir değer etrafında gruplanma eğiliminin geçerli olduğu, süresiz ve yüksek doğrulukta sürdürülemeyeceği ortaya çıkmıştır. Bu nedenle, bağıl frekansları kullanarak olasılıkları tahmin etmek için

Çok uzun (yani çok büyük) seriler almanın bir anlamı yoktur ve bu nedenle, bu arada, (4.5) limitine tam bir geçişin gerçek bir anlamı olamaz. İkinci olarak, yeterince fazla sayıda olası temel sonuca sahip olduğumuz durumlarda (ve bunlar sonsuz bir küme oluşturabilir ve hatta § 4.1'de belirtildiği gibi bir süreklilik kümesi oluşturabilir), keyfi derecede uzun bir rastgele deney serisinde bile, elimizde deneyimiz sırasında asla gerçekleşmeyen olası sonuçlar; ve diğer olası sonuçlar için, göreceli frekanslar kullanılarak elde edilen yaklaşık olasılık değerleri, bu koşullar altında son derece güvenilmez olacaktır.

İncelenen belirli gerçek koşullar dizisine karşılık gelen olasılıkları belirlemeye yönelik a posteriori model yaklaşımı şu anda belki de en yaygın ve pratik olarak en uygun olanıdır. Bu yaklaşımın mantığı şu şekildedir. Bir yandan, a priori bir yaklaşım çerçevesinde, yani varsayımsal gerçek koşul komplekslerinin özellikleri için olası seçeneklerin teorik, spekülatif analizi çerçevesinde, bir dizi model olasılık uzayı (binom, Poisson, normal, üstel vb., bkz. § 6.1). Öte yandan araştırmacının elinde sınırlı sayıda rastgele deneyin sonuçları vardır. Daha sonra, özel matematiksel ve istatistiksel teknikler kullanarak (bilinmeyen parametrelerin istatistiksel olarak tahmin edilmesine ve hipotezlerin istatistiksel olarak test edilmesine yönelik yöntemlere dayanarak, bkz. Bölüm 8 ve 9), araştırmacı, olasılık uzaylarının varsayımsal modellerini gözlem sonuçlarına göre "ayarlar". (gerçekliğin incelendiği gerçek dünyanın özelliklerini yansıtır) vardır ve yalnızca bu sonuçlarla çelişmeyen ve bir anlamda onlara en iyi şekilde karşılık gelen modelleri veya modelleri daha fazla kullanmak üzere bırakır.

Şimdi yukarıda benimsenen tanım ve aksiyomların sonuçları olan olay olasılıklarıyla ilgilenmenin temel kurallarını tanımlayalım.

Olayların toplamının olasılığı (olasılık toplama teoremi). İki olayın toplamının olasılığını hesaplamak için kuralı formüle edelim ve kanıtlayalım. Bunu yapmak için her bir temel olay kümesini böleriz.

olayın bileşenleri iki bölüme ayrılmıştır:

burada yer alan ancak dahil edilmeyen tüm temel olaylar, eş zamanlı olarak tanım (4.3)'te yer alan tüm temel olaylardan oluşur. Tanımı (4.3) ve sahip olduğumuz olayların çarpımının tanımını kullanarak:

Aynı zamanda olayların toplamının tanımına uygun olarak ve (4.3)'e göre,

(4.6), (4.7) ve (4.8)'den olasılıkları toplamak için (iki olay için) formülü elde ederiz:

Olasılıkların eklenmesine yönelik formül (4.9), keyfi sayıda terim durumuna genelleştirilebilir (bkz. örneğin, 183, s. 105):

"toplamalar" formun olasılıklarının toplamı şeklinde hesaplanır

Üstelik sağ taraftaki toplama, elbette hepsinin farklı olması koşuluyla gerçekleştirilir. Bizi ilgilendiren sistemin yalnızca uyumsuz olaylardan oluştuğu özel durumda, formun tüm ürünleri

boş (veya imkansız) olaylar olacaktır ve buna göre formül (4.9) şunu verir:

Olayların çarpımının olasılığı (olasılık çarpım teoremi). Şartlı olasılık.

Önceden belirlenmiş bir koşulun veya halihazırda meydana gelen bir olayın sabitlenmesinin, analiz edilen olasılıksal uzayın olası bazı temel olaylarının listesinin dışında kaldığı durumları ele alalım. Böylece, birinci, - ikinci, - üçüncü ve - dördüncü sınıf ürünleri içeren bir dizi N seri üretilen ürünü analiz ederek, sırasıyla temel sonuçları ve bunların olasılıklarını içeren bir olasılıksal uzayı göz önünde bulundururuz (burada bir ürünün rastgele olması olayı anlamına gelir) agregadan çıkarılan bir çeşit olduğu ortaya çıktı). Ürünleri sınıflandırma koşullarının, bir aşamada birinci sınıf ürünlerin genel popülasyondan ayrıldığını ve tüm olasılıksal sonuçları (ve özellikle çeşitli olayların olasılıklarını hesaplamayı) bir şeye göre oluşturmamız gerektiğini varsayalım. yalnızca ikinci, üçüncü ve dördüncü sınıf ürünlerden oluşan sadeleştirilmiş nüfus. Bu gibi durumlarda, koşullu olasılıklardan, yani bir olayın zaten meydana gelmiş olması koşuluyla hesaplanan olasılıklardan bahsetmek gelenekseldir. Bu durumda, bu şekilde gerçekleştirilen bir olay bir olaydır, yani rastgele çıkarılan herhangi bir ürünü içeren bir olay ya ikinci, üçüncü ya da dördüncü sınıftır. Bu nedenle, örneğin rastgele çekilen bir çarpımın ikinci veya üçüncü sınıftan çıkması gerçeğinden oluşan A olayının (B olayının zaten gerçekleşmiş olması koşuluyla) koşullu olasılığını hesaplamakla ilgileniyorsak o zaman, açıkçası, bu koşullu olasılık (bunu belirtiyoruz) aşağıdaki ilişkiyle belirlenebilir:

Bu örnekten anlaşılması kolay olduğu gibi, koşullu olasılıkların hesaplanması, özünde, kesik uzaydaki temel olayların olasılıklarının oranı, kesikli uzaydaki temel olayların olasılıklarının oranı aynı kaldığında, belirli bir koşulla kesilmiş başka bir temel olaylar uzayına geçiştir. orijinal (daha geniş), ancak hepsi normalleştirildi ('ye bölündü), böylece normalleştirme gereksinimi (4.2) yeni olasılık uzayında da karşılandı. Elbette, koşullu olasılıkları içeren terminolojiyi dahil etmek değil, yeni uzayda sadece sıradan ("koşulsuz") olasılıklar aygıtını kullanmak mümkün olacaktır. "Eski" uzayın olasılıkları cinsinden yazmak, belirli bir problemin koşullarına göre, temel olayların orijinal, daha geniş uzayının varlığını her zaman hatırlamamız gereken durumlarda faydalıdır.

Genel durumda koşullu olasılık formülünü elde edelim. B'nin bir olay (boş olmayan), N'nin zaten gerçekleşmiş olduğu kabul edilen ("koşul"), koşullu olasılığının hesaplanması gereken bir olay olduğunu varsayalım. Q temel olaylarının yeni (kesilmiş) uzayı yalnızca B'ye dahil olan temel olaylardan oluşur ve bu nedenle bunların olasılıkları (normalizasyon koşuluyla birlikte) ilişkiler tarafından belirlenir.

Tanım gereği olasılık, A olayının “indirgenmiş” olasılık uzayındaki olasılığıdır ve dolayısıyla (4.3) ve (4.10)'a göredir.

ya da aynı olan şey,

Eşdeğer formüller (4.11) ve (4.11") genellikle sırasıyla koşullu olasılık formülü ve olasılık çarpım kuralı olarak adlandırılır.

Aynı B koşulu altında çeşitli olayların koşullu olasılıklarını dikkate almanın, temel olayların karşılık gelen olasılıklarını formül (4.10) kullanarak yeniden hesaplayarak temel olayların başka bir (azaltılmış) uzayındaki olağan olasılıkları dikkate almaya eşdeğer olduğunu bir kez daha vurgulayalım. Bu nedenle, olasılıklarla çalışmaya ilişkin tüm genel teoremler ve kurallar, koşullu olasılıklar aynı koşul altında alınırsa koşullu olasılıklar için de yürürlükte kalır.

Olayların bağımsızlığı.

A ve B gibi iki olaya bağımsız denirse

Böyle bir tanımın doğallığını açıklamak için olasılık çarpım teoremine (4.11) dönelim ve bundan hangi durumlarda (4.12) sonuç çıktığını görelim. Açıkçası, bu, koşullu olasılığın karşılık gelen koşulsuz olasılığa eşit olduğu zaman olabilir, yani kabaca konuşursak, bir olayın meydana geldiğine dair bilgi, A olayının meydana gelme şansının değerlendirmesini hiçbir şekilde etkilemediğinde olabilir.

Bağımsızlık tanımının ikiden fazla olaydan oluşan bir sisteme genişletilmesi aşağıdaki gibidir. Herhangi bir çift, üçüz, dörtlü vb. için olaylar karşılıklı olarak bağımsız olarak adlandırılır. Bu olay kümesinden seçilen olayların sayısı için aşağıdaki çarpma kuralları uygulanır:

Açıkçası, ilk satır şunu ima ediyor:

(k ikinin kombinasyon sayısı) denklemleri, ikincide - vb. Bu nedenle toplamda (4.13) koşulları birleştirir. Aynı zamanda ilk satırın koşulları bu olayların ikili bağımsızlığını sağlamak için yeterlidir. Ve bir olaylar sisteminin ikili ve karşılıklı bağımsızlığı, kesin olarak söylemek gerekirse, aynı şey olmasa da, aralarındaki fark pratikten ziyade teoriktir: karşılıklı olarak bağımsız olmayan ikili bağımsız olayların pratikte önemli örnekleri görünüşe göre mevcut değildir.

Olayların bağımsızlığı özelliği, incelenen olaylar sistemiyle ilişkili çeşitli olasılıkların analizini büyük ölçüde kolaylaştırır. Genel durumda, sistem olaylarının tüm olası kombinasyonlarının olasılıklarını tanımlamak için 2 olasılık belirtmeniz gerekiyorsa, bu olayların karşılıklı bağımsızlığı durumunda yalnızca k olasılıkların yeterli olduğunu söylemek yeterlidir.

Bağımsız olaylara, incelenen gerçek gerçeklikte çok sık rastlanır; bunlar, alışılagelmiş fiziksel anlamda birbirinden bağımsız olarak gerçekleştirilen deneylerde (gözlemlerde) gerçekleştirilir.

Bölüm 2.2'deki problemde (bu atışların herhangi birinde) altı gelmeme olasılığının kolayca hesaplanmasını mümkün kılan ((4.13)'ü kullanarak) bir zarın art arda dört atışının sonuçlarının bağımsızlığı özelliğidir. 1. Gerçekten de, bir atışta altı gelmemesini içeren olayı belirtmek (bu olasılık, olayların temel olayların tüm uzayını tüketmesi ve çiftler halinde kesişmemesi gerçeğinden doğrudan kaynaklanır), yani.

Ayrıca, olasılıkların eklenmesi teoremini kullanarak (olay olan uyumsuz olaylarla ilgili olarak) ve olasılıkların çarpımı formülünü (4.1G) kullanarak her bir ürünün olasılığını hesaplayarak (4.14)'ü elde ederiz.

Bayes formülü.

Öncelikle bir sonraki soruna geçelim. Depoda üç fabrika tarafından üretilen cihazlar bulunmaktadır: Depodaki cihazların %20'si 1 No'lu tesis tarafından, %50'si 2 No'lu tesis tarafından ve %30'u 3 No'lu tesis tarafından üretilmektedir. garanti süresi ürün için her bir tesisin sırasıyla 0,2'ye eşit olduğu; 0,1; 0.3. Depodan alınan cihazın fabrika işaretleri ve gerekli onarımları (garanti süresi boyunca) yoktu. Bu cihazı büyük olasılıkla hangi fabrika üretti? Bu olasılık nedir? Yanlışlıkla bir depodan alınan cihazın fabrikada üretildiğinin ortaya çıkması olayını tanımlarsak

(4.16) ve (4.17)'yi (4.15)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu formülü kullanarak gerekli olasılıkları hesaplamak kolaydır:

Bu nedenle, büyük olasılıkla standart altı cihaz 3 numaralı tesiste üretildi.

Rastgele sayıda k olaydan oluşan tam bir olaylar sistemi durumunda formül (4.18)'in ispatı, formül (4.18)'in ispatını tam olarak tekrarlar. Bu genel formda formül

genellikle Bayes formülü olarak adlandırılır.