Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo ito kalkulahin ang limitasyon ng isang function. Programa mga limitasyon ng solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang proseso ng pagkalkula ng limitasyon.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang-aralin

sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Kalkulahin ang limitasyon
Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.

Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba. Mangyaring maghintay

sec... napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Limitasyon ng function sa x->x 0

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong \(x_0 \in X\) o \(x_0 \notin X\)

Kumuha tayo mula sa X ng isang pagkakasunod-sunod ng mga puntos na naiiba sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng function sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring itaas ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.

Kahulugan. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento na x iba sa x 0 converging to x 0, ang katumbas na sequence (2) ng values ​​function ay converge sa number A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$

Ang function na f(x) ay maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.

May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0\) mayroong numerong \(\delta > 0\) para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay \(|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, kaya madalas itong tinatawag na "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na "sa wika ng \(\varepsilon - \delta \)".
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito depende sa kung alin ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga sequence" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \(\varepsilon - \delta \)" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.

Limitasyon ng function sa x->x 0 - at sa x->x 0 +

Sa sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng isang panig na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunod-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, ang mga elementong x n kung saan ay mas malaki (mas mababa sa) x 0, ang ang kaukulang sequence (2) ay nagtatagpo sa A.

Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Maaari kaming magbigay ng katumbas na kahulugan ng mga one-sided na limitasyon ng isang function "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)":

Kahulugan ang isang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang \(\varepsilon > 0\) ay mayroong \(\delta > 0\) na para sa lahat ng x na kasiya-siya ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:

Tingnan natin ang ilang mapaglarawang mga halimbawa.

Hayaan ang x ay isang numero variable na dami, X ang lugar ng pagbabago nito. Kung ang bawat numerong x na kabilang sa X ay nauugnay sa isang tiyak na numero y, pagkatapos ay sinasabi nila na ang isang function ay tinukoy sa set X, at isulat ang y = f(x).
Itakda ang X sa kasong ito- isang eroplanong binubuo ng dalawa coordinate axes– 0X at 0Y. Halimbawa, ilarawan natin ang function na y = x 2. Ang 0X at 0Y axes ay bumubuo ng X - ang lugar ng pagbabago nito. Malinaw na ipinapakita ng figure kung paano kumikilos ang function. Sa kasong ito, sinasabi nila na ang function na y = x 2 ay tinukoy sa set X.

Ang hanay ng Y ng lahat ng mga bahagyang halaga ng isang function ay tinatawag na hanay ng mga halaga f(x). Sa madaling salita, ang hanay ng mga halaga ay ang agwat sa kahabaan ng 0Y axis kung saan tinukoy ang function. Ang itinatanghal na parabola ay malinaw na nagpapakita na ang f(x) > 0, dahil x2 > 0. Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ay magiging . Tinitingnan namin ang maraming mga halaga sa pamamagitan ng 0Y.

Ang set ng lahat ng x ay tinatawag na domain ng f(x). Tinitingnan namin ang maraming mga kahulugan sa pamamagitan ng 0X at sa aming kaso ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay [-; +].

Ang isang puntong a (a ay kabilang sa o X) ay tinatawag na isang limitasyon na punto ng set X kung sa alinmang kapitbahayan ng puntong a ay may mga punto ng set X na naiiba sa a.

Ang oras ay dumating upang maunawaan kung ano ang limitasyon ng isang function?

Ang purong b kung saan ang function ay may kaugaliang x sa numerong a ay tinatawag limitasyon ng function. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Halimbawa, f(x) = x 2. Kailangan nating malaman kung ano ang kaugalian ng function (ay hindi katumbas ng) sa x 2. Una, isulat natin ang limitasyon:

Tingnan natin ang graph.

Gumuhit tayo ng linyang parallel sa 0Y axis hanggang sa point 2 sa 0X axis. Mag-intersect ito sa aming graph sa punto (2;4). Mag-drop tayo ng patayo mula sa puntong ito papunta sa 0Y axis at makarating sa point 4. Ito ang sinisikap ng ating function sa x 2. Kung papalitan natin ngayon ang value 2 sa function na f(x), magiging pareho ang sagot.

Ngayon bago tayo magpatuloy sa pagkalkula ng mga limitasyon, ipakilala natin ang mga pangunahing kahulugan.

Ipinakilala ng French mathematician na si Augustin Louis Cauchy noong ika-19 na siglo.

Sabihin nating ang function na f(x) ay tinukoy sa isang tiyak na agwat na naglalaman ng puntong x = A, ngunit hindi naman kailangan na tukuyin ang halaga ng f(A).

Pagkatapos, ayon sa kahulugan ni Cauchy, limitasyon ng function Ang f(x) ay magiging isang tiyak na numero B na may x patungo sa A kung para sa bawat C > 0 mayroong isang numero D > 0 kung saan

Yung. kung ang function na f(x) sa x A ay limitado ng limitasyon B, ito ay nakasulat sa form

Limitasyon ng pagkakasunud-sunod ang isang tiyak na numero A ay tinatawag kung para sa anumang arbitraryong maliit positibong numero Sa > 0 mayroong isang numero N kung saan ang lahat ng mga halaga sa kaso n > N ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay

Ang limitasyong ito ay mukhang .

Ang isang sequence na may limitasyon ay tatawaging convergent kung hindi, tatawagin natin itong divergent.

Tulad ng napansin mo na, ang mga limitasyon ay ipinahiwatig ng icon ng lim, kung saan nakasulat ang ilang kundisyon para sa variable, at pagkatapos ay isinulat ang mismong function. Ang nasabing set ay mababasa bilang "ang limitasyon ng isang function na paksa sa...". Halimbawa:

- ang limitasyon ng function habang ang x ay may posibilidad na 1.

Ang ekspresyong "papalapit sa 1" ay nangangahulugan na ang x ay sunud-sunod na kumukuha ng mga halaga na lumalapit sa 1 na walang katapusan na malapit.

Ngayon ay naging malinaw na upang kalkulahin ang limitasyong ito ay sapat na upang palitan ang halaga 1 para sa x:

Bilang karagdagan sa tiyak numerical value Ang x ay maaaring maging infinity. Halimbawa:

Ang expression na x ay nangangahulugan na ang x ay patuloy na tumataas at papalapit sa infinity nang walang limitasyon. Samakatuwid, ang pagpapalit ng infinity sa halip na x, nagiging halata na ang function na 1-x ay may posibilidad na , ngunit may kabaligtaran na tanda:

kaya, pagkalkula ng mga limitasyon bumababa sa paghahanap ng partikular na halaga nito o isang partikular na lugar kung saan bumababa ang function na nililimitahan ng limitasyon.

Batay sa itaas, sumusunod na kapag kinakalkula ang mga limitasyon, mahalagang gumamit ng ilang mga patakaran:

Pag-unawa kakanyahan ng limitasyon at mga pangunahing tuntunin limitahan ang mga kalkulasyon, makakakuha ka ng pangunahing insight sa kung paano lutasin ang mga ito. Kung ang anumang limitasyon ay nagdudulot sa iyo ng mga paghihirap, pagkatapos ay sumulat sa mga komento at tiyak na tutulungan ka namin.

Tandaan: Ang Jurisprudence ay ang agham ng mga batas, na tumutulong sa mga salungatan at iba pang kahirapan sa buhay.

Teorya ng mga limitasyon- isa sa mga seksyon ng mathematical analysis na maaaring makabisado ng ilan, habang ang iba ay nahihirapang kalkulahin ang mga limitasyon. Ang tanong ng paghahanap ng mga limitasyon ay medyo pangkalahatan, dahil mayroong dose-dosenang mga diskarte mga limitasyon ng solusyon iba't ibang uri. Ang parehong mga limitasyon ay matatagpuan kapwa gamit ang panuntunan ng L'Hopital at wala ito. Nangyayari na ang pag-iskedyul ng isang serye ng mga infinitesimal na pag-andar ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na makuha ang nais na resulta. Mayroong isang hanay ng mga diskarte at trick na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang limitasyon ng isang function ng anumang kumplikado. Sa artikulong ito susubukan naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa pagsasanay. Hindi namin ibibigay ang teorya at kahulugan ng limitasyon dito, maraming mapagkukunan sa Internet kung saan ito ay tinalakay. Samakatuwid, pumunta tayo sa mga praktikal na kalkulasyon, dito ang iyong "Hindi ko alam!

Pagkalkula ng mga limitasyon gamit ang paraan ng pagpapalit

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solusyon: Ang mga halimbawa ng ganitong uri ay maaaring teoretikal na kalkulahin gamit ang karaniwang pagpapalit

Ang limitasyon ay 18/11.
Walang kumplikado o matalino tungkol sa mga naturang limitasyon - pinalitan namin ang halaga, kinakalkula ito, at isinulat ang limitasyon bilang sagot. Gayunpaman, batay sa gayong mga limitasyon, itinuro sa lahat na una sa lahat kailangan nilang palitan ang halaga sa function. Dagdag pa, nagiging mas kumplikado ang mga limitasyon, na nagpapakilala sa konsepto ng infinity, uncertainty, at iba pa.

Isang limitasyon na may kawalan ng katiyakan tulad ng infinity na hinati ng infinity. Mga Diskarte sa Pagbubunyag ng Kawalang-katiyakan

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Solusyon: Ang isang limitasyon ng form na polynomial na hinati sa isang polynomial ay ibinibigay, at ang variable ay may posibilidad na infinity

Ang pagpapalit lang ng halaga kung saan dapat matagpuan ang variable upang mahanap ang mga limitasyon ay hindi makakatulong, nakakakuha tayo ng kawalan ng katiyakan ng form na infinity na hinati sa infinity.
Ayon sa teorya ng mga limitasyon, ang algorithm para sa pagkalkula ng limitasyon ay upang mahanap ang pinakamalaking kapangyarihan ng "x" sa numerator o denominator. Susunod, ang numerator at denominator ay pinasimple dito at ang limitasyon ng function ay matatagpuan

Dahil ang halaga ay may posibilidad na zero kapag ang variable ay lumalapit sa infinity, sila ay napapabayaan, o isinusulat sa huling expression sa anyo ng mga zero

Kaagad mula sa pagsasanay, maaari kang makakuha ng dalawang konklusyon na isang pahiwatig sa mga kalkulasyon. Kung ang isang variable ay may posibilidad na infinity at ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa sa antas ng denominator, kung gayon ang limitasyon ay katumbas ng infinity. Kung hindi, kung ang polynomial sa denominator ay mas mataas ang pagkakasunud-sunod kaysa sa numerator, ang limitasyon ay zero.
Ang limitasyon ay maaaring isulat sa mga formula tulad nito:

Kung mayroon tayong function ng form na isang ordinaryong field na walang mga fraction, kung gayon ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity

Ang susunod na uri ng mga limitasyon ay may kinalaman sa pag-uugali ng mga function na malapit sa zero.

Halimbawa 3. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solusyon: Hindi na kailangang alisin ang nangungunang salik ng polynomial dito. Eksakto sa kabaligtaran, kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na kapangyarihan ng numerator at denominator at kalkulahin ang limitasyon

Halaga x^2; x ay may posibilidad na zero kapag ang variable ay may posibilidad na zero

na ang limitasyon ay 2.5.

Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang limitasyon ng isang function ng form, hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial kung ang variable ay may posibilidad na infinity o 0. Ngunit ito ay maliit at madaling bahagi lamang ng mga halimbawa. Mula sa sumusunod na materyal ay matututuhan mo kung paano mag-alis ng mga kawalan ng katiyakan sa mga limitasyon ng isang function.

Limitahan na may kawalan ng katiyakan ng uri 0/0 at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito

Naaalala agad ng lahat ang panuntunan na hindi mo maaaring hatiin sa zero. Gayunpaman, ang teorya ng mga limitasyon sa kontekstong ito ay nagpapahiwatig ng mga infinitesimal na function.
Tingnan natin ang ilang mga halimbawa para sa kalinawan.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solusyon: Kapag pinalitan natin ang halaga ng variable na x = -1 sa denominator, makakakuha tayo ng zero, at makukuha natin ang parehong bagay sa numerator. Kaya mayroon kami kawalan ng katiyakan ng form 0/0.
Ang pagharap sa gayong kawalan ng katiyakan ay simple: kailangan mong i-factor ang polynomial, o sa halip, piliin ang kadahilanan na nagiging zero ang function.

Pagkatapos ng pagpapalawak, ang limitasyon ng function ay maaaring isulat bilang

Iyan ang buong paraan para sa pagkalkula ng limitasyon ng isang function. Gayon din ang gagawin natin kung mayroong limitasyon ng anyo na polynomial na hinati sa isang polynomial.

Halimbawa 5. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solusyon: Direktang pagpapalit na palabas
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
anong meron tayo uri ng 0/0 na kawalan ng katiyakan.
Hatiin natin ang polynomial sa pamamagitan ng salik na nagpapakilala sa singularity


May mga guro na nagtuturo na ang mga polynomial ng 2nd order, iyon ay, ang uri ng "quadratic equation", ay dapat lutasin sa pamamagitan ng discriminant. Ngunit ang tunay na kasanayan ay nagpapakita na ito ay mas mahaba at mas nakakalito, kaya alisin ang mga tampok sa loob ng mga limitasyon ng tinukoy na algorithm. Kaya isinulat namin ang function sa form pangunahing mga kadahilanan at kalkulahin hanggang sa limitasyon

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagkalkula ng mga naturang limitasyon. Sa oras na pag-aralan mo ang mga limitasyon, alam mo kung paano hatiin ang mga polynomial, at least ayon sa programa dapat ay naipasa mo na ito.
Kabilang sa mga gawain sa uri ng 0/0 na kawalan ng katiyakan Mayroong ilang kung saan kailangan mong gumamit ng mga pinaikling formula ng pagpaparami. Ngunit kung hindi mo sila kilala, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng isang polynomial sa isang monomial maaari mong makuha ang nais na formula.

Halimbawa 6. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solusyon: Mayroon kaming hindi tiyak na uri 0/0. Sa numerator ginagamit namin ang pinaikling pormula ng pagpaparami

at kalkulahin ang kinakailangang limitasyon

Paraan para sa pagpapakita ng kawalan ng katiyakan sa pamamagitan ng pagpaparami sa conjugate nito

Ang pamamaraan ay inilalapat sa mga limitasyon kung saan ang kawalan ng katiyakan ay nabuo hindi makatwiran na mga pag-andar. Ang numerator o denominator ay nagiging sero sa punto ng pagkalkula at hindi alam kung paano hanapin ang hangganan.

Halimbawa 7. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solusyon: Katawanin natin ang variable sa limit formula

Kapag nagpapalit, nakakakuha kami ng kawalan ng katiyakan ng uri 0/0.
Ayon sa teorya ng mga limitasyon, ang paraan upang laktawan ang tampok na ito ay paramihin ang hindi makatwiran na pagpapahayag sa pamamagitan ng conjugate nito. Upang matiyak na ang expression ay hindi nagbabago, ang denominator ay dapat na hatiin sa parehong halaga

Gamit ang pagkakaiba ng panuntunan ng mga parisukat, pinapasimple namin ang numerator at kinakalkula ang limitasyon ng function

Pinapasimple namin ang mga terminong lumilikha ng singularity sa limitasyon at ginagawa ang pagpapalit

Halimbawa 8. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Solusyon: Ipinapakita ng direktang pagpapalit na ang limitasyon ay may singularity ng form na 0/0.

Upang mapalawak, kami ay nagpaparami at naghahati sa conjugate ng numerator

Isinulat namin ang pagkakaiba ng mga parisukat

Pinapasimple namin ang mga terminong nagpapakilala sa singularity at hinahanap ang limitasyon ng function

Halimbawa 9. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Solusyon: Palitan ang dalawa sa formula

Nakukuha namin kawalan ng katiyakan 0/0.
Ang denominator ay dapat na i-multiply sa conjugate expression, at sa numerator ang quadratic equation ay dapat lutasin o factored, na isinasaalang-alang ang singularity. Dahil alam na ang 2 ay isang ugat, makikita natin ang pangalawang ugat gamit ang teorem ng Vieta

Kaya, isinusulat namin ang numerator sa form

at palitan ito sa limitasyon

Sa pamamagitan ng pagbabawas ng pagkakaiba ng mga parisukat, inaalis natin ang mga singularidad sa numerator at denominator

Sa ganitong paraan, maaari mong alisin ang mga singularidad sa maraming mga halimbawa, at ang aplikasyon ay dapat tandaan kung saan ang isang naibigay na pagkakaiba ng mga ugat ay nagiging zero sa panahon ng pagpapalit. Iba pang mga uri ng limitasyon na alalahanin exponential function, infinitesimal function, logarithms, espesyal na limitasyon at iba pang mga diskarte. Ngunit maaari mong basahin ang tungkol dito sa mga artikulong nakalista sa ibaba tungkol sa mga limitasyon.

Ang teorya ng mga limitasyon ay isa sa mga sangay ng mathematical analysis. Ang tanong ng paglutas ng mga limitasyon ay medyo malawak, dahil mayroong dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon ng iba't ibang uri. Mayroong dose-dosenang mga nuances at trick na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ito o ang limitasyong iyon. Gayunpaman, susubukan pa rin naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa mismong konsepto ng limitasyon. Pero maikli muna makasaysayang background. Nabuhay ang isang Pranses, si Augustin Louis Cauchy, noong ika-19 na siglo, na nagbigay ng mahigpit na kahulugan sa marami sa mga konsepto ng matan at inilatag ang mga pundasyon nito. Dapat sabihin na ang iginagalang na mathematician na ito ay, ay, at magiging sa mga bangungot ng lahat ng mga mag-aaral ng physics at mathematics department, dahil napatunayan niya ang isang malaking bilang ng mga theorems ng mathematical analysis, at ang isang theorem ay mas nakamamatay kaysa sa isa. Sa bagay na ito, hindi pa natin isasaalang-alang pagpapasiya ng limitasyon ng Cauchy, ngunit subukan nating gawin ang dalawang bagay:

1. Unawain kung ano ang limitasyon.
2. Matutong lutasin ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon.

Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang mga hindi siyentipikong paliwanag, mahalaga na ang materyal ay naiintindihan kahit sa isang tsarera, na, sa katunayan, ay ang layunin ng proyekto.

Kaya ano ang limitasyon?

At isang halimbawa lang kung bakit mag-shaggy si lola....

Ang anumang limitasyon ay binubuo ng tatlong bahagi:

1) Ang kilalang icon ng limitasyon.
2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon, sa kasong ito . Ang entry ay may nakasulat na "X tends to one." Kadalasan - eksakto, bagaman sa halip na "X" sa pagsasanay mayroong iba pang mga variable. Sa mga praktikal na gawain, ang lugar ng isa ay maaaring maging ganap na anumang numero, pati na rin ang infinity ().
3) Mga function sa ilalim ng limit sign, sa kasong ito .

Ang pag-record mismo ganito ang mababasa: "ang limitasyon ng isang function habang ang x ay may kaugaliang pagkakaisa."

Tingnan natin ang susunod na mahalagang tanong - ano ang ibig sabihin ng ekspresyong “x”? nagsusumikap sa isa"? At ano ang ibig sabihin ng "pagsusumikap"?
Ang konsepto ng limitasyon ay isang konsepto, kumbaga, pabago-bago. Bumuo tayo ng isang sequence: una , pagkatapos , , …, , ….
Ibig sabihin, ang ekspresyong “x nagsusumikap sa isa" ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x" ay patuloy na tumatagal sa mga halaga na lumalapit sa pagkakaisa na walang katapusan na malapit at halos kasabay nito.

Paano malutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa itaas, kailangan mo lamang na palitan ang isa sa function sa ilalim ng limit sign:

Kaya, ang unang panuntunan: Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna naming isaksak ang numero sa function.

Isinaalang-alang namin ang pinakasimpleng limitasyon, ngunit nangyayari rin ang mga ito sa pagsasanay, at hindi gaanong bihira!

Halimbawa na may infinity:

Alamin natin kung ano ito? Ito ang kaso kapag tumataas ito nang walang limitasyon, iyon ay: una, pagkatapos, pagkatapos, pagkatapos, at iba pa ad infinitum.

Ano ang mangyayari sa function sa oras na ito?
, , , …

Kaya: kung , kung gayon ang function ay may posibilidad na minus infinity:

Sa halos pagsasalita, ayon sa aming unang panuntunan, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang infinity sa function at makuha ang sagot.

Isa pang halimbawa na may infinity:

Muli naming simulan ang pagtaas sa infinity at tingnan ang pag-uugali ng function:

Konklusyon: kapag ang pag-andar ay tumaas nang walang limitasyon:

At isa pang serye ng mga halimbawa:

Pakisubukang pag-aralan ang mga sumusunod para sa iyong sarili at tandaan ang pinakasimpleng uri ng mga limitasyon:

, , , , , , , , ,
Kung mayroon kang mga pagdududa kahit saan, maaari kang pumili ng isang calculator at magsanay ng kaunti.
Kung sakaling , subukang buuin ang sequence , , . Kung , kung gayon , , .

! Tandaan: Sa mahigpit na pagsasalita, ang diskarte na ito sa pagbuo ng mga pagkakasunud-sunod ng ilang mga numero ay hindi tama, ngunit para sa pag-unawa sa pinakasimpleng mga halimbawa ito ay lubos na angkop.

Bigyang-pansin din ang sumusunod na bagay. Kahit na ang isang limitasyon ay ibinigay na may malaking numero sa itaas, o kahit na may isang milyon: , kung gayon ang lahat ay pareho , dahil maaga o huli ang "X" ay magsisimulang kumuha ng napakalaking halaga na ang isang milyon sa paghahambing ay magiging isang tunay na mikrobyo.

Ano ang kailangan mong tandaan at maunawaan mula sa itaas?

1) Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna nating palitan ang numero sa function.

2) Dapat mong maunawaan at agad na lutasin ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng .

Bukod dito, ang limitasyon ay may napakagandang geometric na kahulugan. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa paksa, inirerekomenda ko na basahin mo materyal na pamamaraan Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Matapos basahin ang artikulong ito, hindi mo lamang mauunawaan sa wakas kung ano ang limitasyon, ngunit makilala mo rin ang mga kagiliw-giliw na kaso kapag ang limitasyon ng isang function sa pangkalahatan ay hindi umiiral!

Sa pagsasagawa, sa kasamaang-palad, kakaunti ang mga regalo. At samakatuwid ay nagpapatuloy kami upang isaalang-alang ang mas kumplikadong mga limitasyon. Sa pamamagitan ng paraan, sa paksang ito ay mayroon masinsinang kurso sa pdf format, na kung saan ay lalong kapaki-pakinabang kung mayroon kang napakakaunting oras upang maghanda. Ngunit ang mga materyales sa site, siyempre, ay hindi mas masahol pa:

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangkat ng mga limitasyon kapag , at ang function ay isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial.

Halimbawa:

Kalkulahin ang limitasyon

Ayon sa aming panuntunan, susubukan naming palitan ang infinity sa function. Ano ang makukuha natin sa tuktok? Infinity. At ano ang nangyayari sa ibaba? Pati infinity. Kaya mayroon tayong tinatawag na species uncertainty. Ang isa ay mag-iisip na , at ang sagot ay handa na, ngunit pangkalahatang kaso Hindi ito ang kaso, at kailangan mong mag-aplay ng ilang solusyon, na isasaalang-alang namin ngayon.

Paano malutas ang mga limitasyon ng ganitong uri?

Una, tingnan natin ang numerator at hanapin ang pinakamataas na kapangyarihan:

Ang nangungunang kapangyarihan sa numerator ay dalawa.

Ngayon ay tinitingnan natin ang denominator at hinahanap din ito sa pinakamataas na kapangyarihan:

Ang pinakamataas na antas ng denominator ay dalawa.

Pagkatapos ay pipiliin natin ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator: in sa halimbawang ito magkasabay sila at katumbas ng dalawa.

Kaya, ang paraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang maihayag ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan.

Narito ito, ang sagot, at hindi infinity sa lahat.

Ano ang pangunahing mahalaga sa disenyo ng isang desisyon?

Una, ipinapahiwatig namin ang kawalan ng katiyakan, kung mayroon man.

Pangalawa, ipinapayong matakpan ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag. Karaniwan kong ginagamit ang tanda, wala itong anumang kahulugan sa matematika, ngunit nangangahulugan na ang solusyon ay nagambala para sa isang intermediate na paliwanag.

Pangatlo, sa limitasyon ay ipinapayong markahan kung ano ang pupunta kung saan. Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, mas maginhawang gawin ito sa ganitong paraan:

Mas mainam na gumamit ng simpleng lapis para sa mga tala.

Siyempre, hindi mo kailangang gawin ang alinman sa mga ito, ngunit pagkatapos, marahil, ituturo ng guro ang mga pagkukulang sa solusyon o magsimulang magtanong karagdagang tanong sa assignment. Kailangan mo ba ito?

Halimbawa 2

Hanapin ang limitasyon
Muli sa numerator at denominator ay makikita natin sa pinakamataas na antas:

Pinakamataas na degree sa numerator: 3
Pinakamataas na degree sa denominator: 4
Pumili pinakadakila halaga, sa kasong ito apat.
Ayon sa aming algorithm, upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng .
Buong pagpaparehistro maaaring ganito ang hitsura ng mga gawain:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Halimbawa 3

Hanapin ang limitasyon
Pinakamataas na antas ng “X” sa numerator: 2
Pinakamataas na antas ng "X" sa denominator: 1 (maaaring isulat bilang)
Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, kinakailangang hatiin ang numerator at denominator sa . Ang huling solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Ang notasyon ay hindi nangangahulugang paghahati sa zero (hindi mo maaaring hatiin sa zero), ngunit paghahati sa isang infinitesimal na numero.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtuklas ng kawalan ng katiyakan ng mga species, maaari nating magawa panghuling numero, zero o infinity.

Mga limitasyon na may kawalan ng katiyakan ng uri at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito

Ang susunod na pangkat ng mga limitasyon ay medyo katulad ng mga limitasyon na isinasaalang-alang lamang: ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, ngunit ang "x" ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit sa may hangganang bilang.

Halimbawa 4

Lutasin ang limitasyon
Una, subukan nating palitan ang -1 sa fraction:

Sa kasong ito, ang tinatawag na kawalan ng katiyakan ay nakuha.

Pangkalahatang tuntunin : kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, at may kawalang-katiyakan ang form , pagkatapos ay ibunyag ito kailangan mong i-factor ang numerator at denominator.

Upang gawin ito, kadalasan kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation at/o gumamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Kung ang mga bagay na ito ay nakalimutan, pagkatapos ay bisitahin ang pahina Mga pormula at talahanayan ng matematika at basahin ang materyal sa pagtuturo Mga maiinit na formula kurso sa paaralan mga mathematician. Sa pamamagitan ng paraan, pinakamahusay na i-print ito nang madalas, at ang impormasyon ay mas mahusay na hinihigop mula sa papel.

Kaya, lutasin natin ang ating limitasyon

I-factor ang numerator at denominator

Upang mai-factor ang numerator, kailangan mong lutasin ang quadratic equation:

Una naming nakita ang discriminant:

At ang square root nito: .

Kung malaki ang discriminant, halimbawa 361, gumagamit kami ng calculator, ang extraction function parisukat na ugat magagamit sa pinakasimpleng calculator.

! Kung ang ugat ay hindi na-extract nang buo (ito ay lumalabas praksyonal na numero na may kuwit), malamang na mali ang pagkalkula ng discriminant o may typo sa gawain.

Susunod na hinahanap namin ang mga ugat:

kaya:

Lahat. Ang numerator ay factorized.

Denominator. Ang denominator ay ang pinakasimpleng kadahilanan, at walang paraan upang pasimplehin ito.

Malinaw, maaari itong paikliin sa:

Ngayon pinapalitan namin ang -1 sa expression na nananatili sa ilalim ng limit sign:

Naturally, sa pagsubok na gawain, sa panahon ng pagsusulit o pagsusulit, ang solusyon ay hindi kailanman nakasulat sa ganoong detalye. Sa huling bersyon, ang disenyo ay dapat magmukhang ganito:

I-factorize natin ang numerator.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang limitasyon

Una, ang "tapusin" na bersyon ng solusyon

I-factor natin ang numerator at denominator.

Numerator:
Denominator:



,

Ano ang mahalaga sa halimbawang ito?
Una, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa kung paano ipinahayag ang numerator, una ay kinuha namin ang 2 mula sa mga bracket, at pagkatapos ay ginamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Ito ang formula na kailangan mong malaman at makita.

Rekomendasyon: Kung sa isang limitasyon (ng halos anumang uri) posible na alisin ang isang numero mula sa mga bracket, pagkatapos ay palagi naming ginagawa ito.
Bukod dito, ipinapayong ilipat ang mga naturang numero sa kabila ng icon ng limitasyon. Para saan? Oo, para lang hindi sila makasagabal. Ang pangunahing bagay ay hindi mawala ang mga numerong ito mamaya sa panahon ng solusyon.

Pakitandaan na sa huling yugto ng solusyon, kinuha ko ang dalawa sa icon ng limitasyon, at pagkatapos ay ang minus.

! Mahalaga
Sa panahon ng solusyon, ang uri ng fragment ay madalas na nangyayari. Bawasan ang fraction na itoito ay ipinagbabawal . Una kailangan mong baguhin ang sign ng numerator o denominator (ilagay ang -1 sa mga bracket).
, iyon ay, lumilitaw ang isang minus sign, na isinasaalang-alang kapag kinakalkula ang limitasyon at hindi na kailangang mawala ito.

Sa pangkalahatan, napansin ko na kadalasan sa paghahanap ng mga limitasyon ng ganitong uri kailangan nating lutasin ang dalawa quadratic equation, ibig sabihin, ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga square trinomal.

Paraan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate expression

Patuloy naming isinasaalang-alang ang kawalan ng katiyakan ng form

Ang susunod na uri ng mga limitasyon ay katulad ng naunang uri. Ang tanging bagay, bilang karagdagan sa mga polynomial, magdaragdag kami ng mga ugat.

Halimbawa 6

Hanapin ang limitasyon

Magsimula tayo sa pagpapasya.

Una naming subukang palitan ang 3 sa expression sa ilalim ng limit sign
Uulitin ko muli - ito ang unang bagay na kailangan mong gawin para sa ANUMANG limitasyon. Ang aksyon na ito ay karaniwang isinasagawa sa isip o sa draft form.

Ang isang kawalan ng katiyakan ng form ay nakuha na kailangang alisin.

Tulad ng napansin mo, ang aming numerator ay naglalaman ng pagkakaiba ng mga ugat. At sa matematika ay kaugalian na mapupuksa ang mga ugat, kung maaari. Para saan? At mas madali ang buhay kung wala sila.

Mga konsepto ng mga limitasyon ng mga sequence at function. Kapag kinakailangan upang mahanap ang limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod, ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: lim xn=a. Sa ganoong pagkakasunod-sunod ng mga sequence, ang xn ay may gawi sa a at n ay may gawi sa infinity. Ang isang sequence ay karaniwang kinakatawan bilang isang serye, halimbawa:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Ang mga pagkakasunud-sunod ay nahahati sa pagtaas at pagbaba. Halimbawa:
xn=n^2 - pagtaas ng pagkakasunod-sunod
yn=1/n - pagkakasunud-sunod
Kaya, halimbawa, ang limitasyon ng sequence xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Ang limitasyong ito ay katumbas ng zero, dahil ang n→∞, at ang sequence na 1/n^2 ay nagiging zero.

Karaniwan, ang isang variable na dami x ay may posibilidad sa isang may hangganang limitasyon a, at ang x ay patuloy na lumalapit sa a, at ang dami a ay pare-pareho. Ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: limx =a, habang ang n ay maaari ding maging zero o infinity. May mga walang katapusang function, kung saan ang limitasyon ay may posibilidad na infinity. Sa ibang mga kaso, kapag, halimbawa, ang pagpapaandar ay nagpapabagal sa isang tren, ang limitasyon ay nagiging zero.
Ang mga limitasyon ay may ilang mga katangian. Karaniwan, ang anumang function ay may isang limitasyon lamang. Ito ang pangunahing pag-aari ng limitasyon. Ang iba ay nakalista sa ibaba:
* Ang limitasyon ng halaga ay katumbas ng kabuuan ng mga limitasyon:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Ang limitasyon ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon:
lim(xy)=lim x*lim y
* Ang limitasyon ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Ang pare-parehong kadahilanan ay kinuha sa labas ng limitasyong sign:
lim(Cx)=C lim x
Dahil sa isang function na 1 /x kung saan ang x →∞, ang limitasyon nito ay zero. Kung x→0, ang limitasyon ng naturang function ay ∞.
Para sa trigonometriko function ay mula sa mga panuntunang ito. kasi pag-andar ng kasalanan Ang x ay palaging may kaugaliang pagkakaisa kapag ito ay lumalapit sa zero, ang pagkakakilanlan ay nagtataglay para dito:
lim sin x/x=1

Sa isang bilang ng mga function mayroong mga function, kapag kinakalkula ang mga limitasyon kung saan ang kawalan ng katiyakan ay lumitaw - isang sitwasyon kung saan ang limitasyon ay hindi maaaring kalkulahin. Ang tanging paraan sa sitwasyong ito ay ang L'Hopital. Mayroong dalawang uri ng kawalan ng katiyakan:
* kawalan ng katiyakan ng form 0/0
* kawalan ng katiyakan ng form ∞/∞
Halimbawa, ibinibigay ang limitasyon ng sumusunod na anyo: lim f(x)/l(x), at f(x0)=l(x0)=0. Sa kasong ito, lumitaw ang isang kawalan ng katiyakan ng form 0/0. Upang malutas ang naturang problema, ang parehong mga pag-andar ay naiiba, pagkatapos ay natagpuan ang limitasyon ng resulta. Para sa mga kawalan ng katiyakan ng uri 0/0, ang limitasyon ay:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (sa x→0)
Ang parehong panuntunan ay totoo rin para sa mga kawalan ng katiyakan ng uri ng ∞/∞. Ngunit sa kasong ito ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: f(x)=l(x)=∞
Gamit ang panuntunan ng L'Hopital, mahahanap mo ang mga halaga ng anumang mga limitasyon kung saan lumilitaw ang mga kawalan ng katiyakan. Isang paunang kinakailangan para sa

dami - walang mga error kapag naghahanap ng mga derivatives. Kaya, halimbawa, ang derivative ng function (x^2)" ay katumbas ng 2x. Mula dito maaari nating tapusin na:
f"(x)=nx^(n-1)