Kvadratne enačbe... Diskriminatorno. Rešitev, primeri.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ni zelo ..."
In za tiste, ki so "zelo enakomerni ...")
Vrste kvadratnih enačb
Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi nujno mora biti x na kvadrat. Poleg njega je lahko enačba (ali pa ne!) samo x (v prvi stopnji) in samo število (brezplačni član). In x-jev ne sme biti več kot dve.
Matematično gledano je kvadratna enačba enačba v obliki:
Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vsak, ampak a- karkoli drugega kot nič. Na primer:
Tukaj a =1; b = 3; c = -4
Tukaj a =2; b = -0,5; c = 2,2
Tukaj a =-3; b = 6; c = -18
No, razumeš idejo...
V teh kvadratnih enačbah na levi je polni setčlani. X na kvadrat s koeficientom a, x na prvo potenco s koeficientom b in prosti termin z.
Takšne kvadratne enačbe se imenujejo poln.
Kaj če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izginil v prvi stopnji. To se zgodi z množenjem z nič.) Izkazalo se je, na primer:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x = 0,
-x 2 + 4x = 0
itd. In če oba koeficienta, b in c so enake nič, potem je vse še bolj preprosto:
2x 2 = 0,
-0,3x 2 = 0
Takšne enačbe, kjer nekaj manjka, se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.
Mimogrede, zakaj a ne more biti nič? In ti nadomeščaš a nič.) X v kvadratu bo izginil od nas! Enačba postane linearna. In je odločeno na povsem drugačen način ...
To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.
Reševanje kvadratnih enačb.
Reševanje popolnih kvadratnih enačb.
Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasnih, preprostih pravilih. Na prvi stopnji je potrebno dano enačbo spravimo v standardno obliko, t.j. pogledati:
Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba narediti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, a, b in c. Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:
Imenuje se izraz pod korenskim znakom diskriminatorno... Toda o njem - spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c.
tiste. koeficienti iz kvadratne enačbe. Previdno zamenjajte vrednosti a, b in c v to formulo in štejte. Nadomestek s svojimi znaki!
Na primer, v enačbi:
a =1; b = 3; c= -4. Torej zapišemo:
Primer je praktično rešen:
To je odgovor.
Vse je zelo preprosto. In kaj, mislite, je nemogoče zmotiti? No ja, kako ...
Najpogostejše napake so zamenjava s pomenskimi znaki. a, b in c... Namesto tega ne z njihovimi znaki (kje se zmedti?), ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formuli za izračun korenin. Tukaj se shrani podroben zapis formule z določenimi številkami. Če obstajajo računske težave, naredi tako!
Recimo, da morate rešiti ta primer:
Tukaj a = -6;
b = -5;
c = -1
Recimo, da veste, da prvič le redko dobite odgovore.
No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice bo trajalo 30 sekund in število napak se bo močno zmanjšalo... Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:
Zdi se, da je tako skrbno slikati neverjetno težko. Ampak samo se zdi, da je. Poskusi. No, ali pa izberi. Kaj je bolje, hitro ali prav? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba vsega tako skrbno barvati. Samo od sebe se bo izšlo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisani spodaj. Ta zlobni primer s kopico pomanjkljivosti je mogoče rešiti enostavno in brez napak!
Toda pogosto so kvadratne enačbe videti nekoliko drugače. Na primer, takole:
Ste izvedeli?) Da! to nepopolne kvadratne enačbe.
Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.
Lahko jih rešimo tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate ugotoviti, čemu so enaki a, b in c.
Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; a c? Sploh ga ni! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c = 0
! To je vse. Namesto z ničlo v formuli nadomestite c, in nam bo uspelo. Enako je z drugim primerom. Samo nič tukaj nimamo z, a b !
Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnih koli formul. Razmislite o prvi nepopolni enačbi. Kaj lahko narediš tam na levi strani? X lahko vstavite iz oklepajev! Vzemimo ga ven.
In kaj od tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli faktor enak nič! Ne verjameš mi? No, potem pomislite na dve številki, ki ni nič, ki bosta po množenju dali nič!
Ne deluje? to je to ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.
Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko katero koli od njih nadomestimo v izvirno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot vidite, je rešitev veliko lažja kot uporaba splošne formule. Mimogrede, opazil bom, kateri X bo prvi in kateri drugi - popolnoma je vseeno. Priročno je zapisati po vrstnem redu, x 1- kaj je manj, in x 2- kaj je več.
Tudi drugo enačbo je mogoče enostavno rešiti. Premaknite 9 na desno stran. Dobimo:
Ostaja še izvleči koren iz 9 in to je to. Izkazalo se bo:
Tudi dve korenini .
x 1 = -3, x 2 = 3.
Tako se rešujejo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi z oklepaji x ali preprost prenosštevilke na desni, čemur sledi ekstrakcija korena.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste morali v prvem primeru iz x izvleči koren, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni ničesar za dati iz oklepajev ...
Diskriminatorno. Diskriminantna formula.
Čarobna beseda diskriminatorno
! Redki srednješolec te besede ni slišal! Besedna zveza »odločanje prek diskriminatorja« je pomirjujoča in pomirjujoča. Ker ni treba čakati na umazane trike diskriminantov! Uporaba je preprosta in brez težav.) Spomnim se najbolj splošne formule za reševanje kaj kvadratne enačbe:
Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminant. Običajno je diskriminant označen s črko D... Diskriminantna formula:
D = b 2 - 4ac
In kaj je tako izjemnega pri tem izrazu? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminanta? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli ne poimenujejo posebej ... Črke in črke.
Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče samo trije primeri.
1. Diskriminant je pozitiven. To pomeni, da lahko iz njega izvlečete koren. Dober koren je izvlečen ali slab - drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma ekstrahira. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.
2. Diskriminant je nič. Potem imate eno rešitev. Ker seštevanje-odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni en koren, ampak dva enaka... Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o ena rešitev.
3. Diskriminant je negativen. Od negativno število kvadratni koren se ne izvleče. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.
Iskreno, s preprosta rešitev kvadratne enačbe, pojem diskriminanta ni posebej potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo, vendar štejemo. Vse se izkaže samo od sebe in obstajata dve korenini, ena in ne ena. Vendar pri reševanju zahtevnejših nalog, brez znanja pomen in diskriminantne formule ne dovolj. Še posebej - v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika na državnem izpitu in enotnem državnem izpitu!)
torej kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminant, ki si ga zapomnil. Ali pa ste se naučili, kar je tudi dobro.) Znate pravilno prepoznati a, b in c... Veš kako pozorno jih nadomestimo v korenski formuli in pozorno preberite rezultat. Dobiš idejo, da je tukaj ključna beseda pozorno?
Za zdaj upoštevajte najboljše prakse, ki bodo drastično zmanjšale napake. Prav tiste, ki so posledica nepazljivosti....za katere potem boli in žali...
Prvi sprejem
... Ne bodite leni, da ga spravite v standardno obliko, preden rešite kvadratno enačbo. Kaj to pomeni?
Recimo, da ste po nekaj transformacijah dobili naslednjo enačbo:
Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo boste pomešali možnosti. a, b in c. Zgradite primer pravilno. Najprej je X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:
In še enkrat, ne hitite! Minus pred x v kvadratu vas lahko res žalosti. To je enostavno pozabiti ... Znebite se minusa. Kako? Ja, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo morate pomnožiti z -1. Dobimo:
Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanto in dokončate primer. Naredite sami. Morali bi imeti korenine 2 in -1.
Sprejem drugi.
Preverite korenine! Po Vietinem izreku. Ne bodite prestrašeni, vse vam bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačbo. tiste. tisti, po katerem smo zapisali formulo za korenine. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, preverjanje korenin je enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Moral bi dobiti brezplačnega člana, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! Brezplačni član z mojim znakom
... Če ni šlo, potem je že nekje zafrkano. Poiščite napako.
Če se izkaže, morate zložiti korenine. Zadnji in končni pregled. Moral bi dobiti koeficient b z nasprotno
znano. V našem primeru je -1 + 2 = +1. In koeficient b ki je pred x je -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Ampak vsaj v takih enačbah preveri! Vse manj napak volja.
Sprejem tretji
... Če imate v enačbi ulomne koeficiente, se znebite ulomkov! Enačbo pomnožite z skupni imenovalec kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identične transformacije." Pri delu z ulomki se iz nekega razloga pojavljajo napake ...
Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom slabosti. Prosim! Tukaj je.
Da se ne bi zmedli v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:
To je vse! V veselje se je odločiti!
Torej, da povzamem temo.
Praktični nasveti:
1. Pred reševanjem pripeljemo kvadratno enačbo v standardno obliko, jo zgradimo prav.
2. Če je pred x v kvadratu negativen koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.
3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.
4. Če je x na kvadrat čist, koeficient pri njem je enak eni, rešitev zlahka preverimo z Vietovim izrekom. Naredi!
Zdaj se lahko odločite.)
Reši enačbe:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)
Odgovori (v neredu):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - poljubno število
x 1 = -3
x 2 = 3
nobenih rešitev
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Se vse ujema? V redu! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni s kvadratnimi enačbami. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Sprehodite se po povezavi, v pomoč je.
Ne delaš čisto? Ali pa sploh ne deluje? Potem vam bo pomagal razdelek 555. Tam so vsi ti primeri razvrščeni na koščke. Prikazan glavni napake v rešitvi. Seveda govori tudi o uporabi enakih transformacij pri reševanju različnih enačb. Pomaga zelo!
Če vam je to spletno mesto všeč ...
Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Takojšnje validacijsko testiranje. Učenje - z zanimanjem!)
lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
|
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 ali x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Ko sem se naučil reševati enačbe prve stopnje, seveda želim delati z drugimi, zlasti z enačbami druge stopnje, ki se imenujejo na drug način kvadratne.
Kvadratne enačbe so enačbe tipa ax² + bx + c = 0, kjer je spremenljivka x, številke bodo - a, b, c, kjer a ni enako nič.
Če je v kvadratni enačbi en ali drugi koeficient (c ali b) enak nič, se bo ta enačba nanašala na nepopolno kvadratno enačbo.
Kako lahko rešite nepopolno kvadratno enačbo, če so učenci do zdaj znali rešiti samo enačbe prve stopnje? Razmislite o nepopolnih kvadratnih enačbah različni tipi in preproste načine za njihovo reševanje.
a) Če je koeficient c enak 0, koeficient b pa ni enak nič, se ax ² + bx + 0 = 0 zmanjša na enačbo v obliki ax ² + bx = 0.
Če želite rešiti takšno enačbo, morate poznati formulo za reševanje nepopolne kvadratne enačbe, to je leva stran faktor in kasneje uporabi pogoj enakosti produkta na nič.
Na primer, 5x ² - 20x = 0. Razdelite levo stran enačbe v faktor, medtem ko delate običajno matematična operacija: vzamemo skupni faktor izven oklepajev
5x (x - 4) = 0
Uporabimo pogoj, da so produkti enaki nič.
5 x = 0 ali x - 4 = 0
Odgovor bo: prvi koren je 0; drugi koren je 4.
b) Če je b = 0 in prosti člen ni enak nič, se enačba ax ² + 0x + c = 0 reducira na enačbo v obliki ax ² + c = 0. Enačbe rešujemo na dva načina : a) z razširitvijo polinoma enačbe na levi strani v faktorje ; b) z uporabo lastnosti aritmetike kvadratni koren... Takšno enačbo rešimo z eno od metod, na primer:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Odgovor je: prvi koren je 5/2; drugi koren je - 5/2.
c) Če je b enak 0 in je c enak 0, se ax ² + 0 + 0 = 0 zmanjša na enačbo v obliki ax ² = 0. V takšni enačbi bo x enak 0.
Kot lahko vidite, nepopolne kvadratne enačbe nimajo več kot dveh korenov.
Kvadratne enačbe se pogosto pojavljajo pri reševanju različnih problemov iz fizike in matematike. V tem članku bomo pogledali, kako te enakosti rešiti na univerzalen način »prek diskriminanta«. V članku so podani tudi primeri uporabe pridobljenega znanja.
O katerih enačbah govorimo?
Spodnja slika prikazuje formulo, v kateri je x neznana spremenljivka, latinski simboli a, b, c pa predstavljajo nekatera znana števila.
Vsak od teh simbolov se imenuje koeficient. Kot lahko vidite, je številka "a" pred kvadratom spremenljivke x. To je največja moč predstavljenega izraza, zato se imenuje kvadratna enačba. Pogosto se uporablja njegovo drugo ime: enačba drugega reda. Sama vrednost a je kvadratni koeficient (stoji za spremenljivko na kvadrat), b je linearni koeficient (je poleg spremenljivke, dvignjene na prvo potenco), in končno, število c je prosti člen.
Upoštevajte, da je oblika enačbe, prikazana na zgornji sliki, običajen klasični kvadratni izraz. Poleg nje obstajajo še druge enačbe drugega reda, v katerih so koeficienti b, c lahko enaki nič.
Ko se problem postavi za reševanje obravnavane enakosti, to pomeni, da je treba poiskati takšne vrednosti spremenljivke x, ki bi jo zadovoljile. Tukaj je prva stvar, ki si jo je treba zapomniti, naslednje: ker je največja stopnja x 2, ta vrsta izraza ne more imeti več kot 2 rešitev. To pomeni, da če bi pri reševanju enačbe našli 2 vrednosti x, ki ji ustrezata, potem ste lahko prepričani, da ni tretjega števila, ki bi nadomestilo katerega namesto x, bi bila tudi enakost resnična. Rešitve enačbe v matematiki se imenujejo korenine.
Metode reševanja enačb drugega reda
Reševanje tovrstnih enačb zahteva poznavanje neke teorije o njih. Šolski tečaj algebre preverja 4 različne metode rešitve. Naštejmo jih:
- uporaba faktorizacije;
- uporaba formule za polni kvadrat;
- z uporabo grafa ustrezne kvadratne funkcije;
- z uporabo diskriminantne enačbe.
Prednost prve metode je v njeni preprostosti, vendar je ni mogoče uporabiti za vse enačbe. Druga metoda je univerzalna, vendar nekoliko okorna. Tretja metoda je opazna po svoji jasnosti, vendar ni vedno priročna in uporabna. In končno, uporaba diskriminantne enačbe je univerzalen in dokaj preprost način za iskanje korenin absolutno katere koli enačbe drugega reda. Zato ga bomo v članku obravnavali le.
Formula za pridobivanje korenin enačbe
Obrnimo se na splošni pogled kvadratna enačba. Zapišimo: a * x² + b * x + c = 0. Pred uporabo metode reševanja "preko diskriminanta" je treba enakost vedno zmanjšati na pisno obliko. To pomeni, da mora biti sestavljen iz treh členov (ali manj, če je b ali c 0).
Na primer, če obstaja izraz: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², morate najprej vse njegove izraze premakniti na eno stran enakosti in dodati izraze, ki vsebujejo spremenljivko x v enake moči.
V tem primeru bo ta operacija privedla do naslednjega izraza: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, kar je enakovredno enačbi 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (tu smo pomnožili levo in desne strani enakosti za -1) ...
V zgornjem primeru je a = 6, b = 4, c = -8. Upoštevajte, da se vsi členi obravnavane enakosti vedno seštejejo med seboj, tako da če se pojavi znak "-", to pomeni, da je ustrezni koeficient negativen, kot je v tem primeru število c.
Ko smo preučili to točko, se zdaj obrnemo na samo formulo, ki omogoča pridobivanje korenin kvadratne enačbe. Ima obliko, prikazano na spodnji fotografiji.
Kot lahko vidite iz tega izraza, vam omogoča, da dobite dva korena (bodite pozorni na znak "±"). Če želite to narediti, je dovolj, da vanj nadomestite koeficiente b, c in a.
Diskriminatorni koncept
V prejšnjem odstavku je bila podana formula, ki vam omogoča hitro reševanje katere koli enačbe drugega reda. V njem se radikalni izraz imenuje diskriminant, to je D = b²-4 * a * c.
Zakaj je ta del formule izoliran in ga celo ima lastno ime? Dejstvo je, da diskriminant poveže vse tri koeficiente enačbe v en sam izraz. Zadnje dejstvo pomeni, da v celoti nosi informacije o koreninah, ki jih je mogoče izraziti z naslednjim seznamom:
- D> 0: enakost ima 2 različni rešitvi, obe sta realni števili.
- D = 0: Enačba ima samo en koren in je realno število.
Naloga določanja diskriminanta
Navedimo preprost primer, kako najti diskriminanto. Naj bo podana naslednja enakost: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
Pripeljemo ga v standardno obliko, dobimo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, od koder pridemo do Enakost: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Tukaj je a = -2, b = 2, c = -11.
Zdaj lahko uporabite imenovano formulo za diskriminant: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Nastala številka je odgovor na nalogo. Ker je v primeru diskriminant manj kot nič, potem lahko rečemo, da ta kvadratna enačba nima pravih korenin. Le kompleksna števila bodo njegova rešitev.
Primer neenakosti skozi diskriminant
Rešimo probleme nekoliko drugačne vrste: glede na enakost -3 * x²-6 * x + c = 0. Najti je treba takšne vrednosti c, za katere je D> 0.
V tem primeru sta znana le 2 od 3 koeficientov, tako da natančne vrednosti diskriminanta ne bo mogoče izračunati, se pa ve, da je pozitivna. Pri sestavljanju neenakosti uporabimo zadnje dejstvo: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Rešitev dobljene neenakosti vodi do rezultata: c> -3.
Preverimo prejeto številko. Če želite to narediti, izračunajte D za 2 primera: c = -2 in c = -4. Število -2 ustreza dobljenemu rezultatu (-2> -3), ustrezni diskriminant bo imel vrednost: D = 12> 0. Po drugi strani pa število -4 ne izpolnjuje neenakosti (-4 Tako bodo vsa števila c, ki so večja od -3, izpolnjevala pogoj.
Primer reševanja enačbe
Predstavimo problem, ki ni le v iskanju diskriminante, ampak tudi v reševanju enačbe. Najti morate korenine za enakost -2 * x² + 7-9 * x = 0.
V tem primeru je diskriminant naslednja vrednost: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Potem so korenine enačbe definirane na naslednji način: x = (9 ± √137) / (- 4). To so natančne vrednosti korenov, če izračunate približni koren, potem dobite številke: x = -5,176 in x = 0,676.
Geometrijski problem
Rešimo problem, ki ne bo zahteval le sposobnosti izračuna diskriminante, temveč tudi uporabo spretnosti abstraktnega mišljenja in znanja o izdelavi kvadratnih enačb.
Bob je imel odejo 5 x 4 metre. Fant je želel šivati neprekinjen trak lepa tkanina... Kako debel bo ta trak, če je znano, da ima Bob 10 m² tkanine.
Naj ima trak debelino x m, nato pa površino tkanine vzdolž dolga stran odeje bodo (5 + 2 * x) * x, in ker sta 2 dolgi strani, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratki strani bo površina šivane tkanine 4 * x, ker sta 2 od teh strani, dobimo vrednost 8 * x. Upoštevajte, da je bilo 2 * x dodano daljši strani, saj se je dolžina odeje povečala za to število. Skupna površina tkanine, prišite na odejo, je 10 m². Zato dobimo enakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Za ta primer je diskriminanta: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Njegov koren je 22. S formulo najdemo zahtevane korene: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Očitno je od obeh korenov samo število 0,5 primerno za navedbo problema.
Tako bo trak blaga, ki ga bo Bob prišil na svojo odejo, širok 50 cm.
Nepopolna kvadratna enačba se od klasičnih (popolnih) enačb razlikuje po tem, da so njeni faktorji ali presek enaki nič. Graf takšnih funkcij so parabole. Glede na njihov splošni videz jih delimo v 3 skupine. Načela reševanja vseh vrst enačb so enaka.
Nič ni težko določiti vrste nepopolnega polinoma. Najbolje je razmisliti o glavnih razlikah z ilustrativnimi primeri:
- Če je b = 0, je enačba ax 2 + c = 0.
- Če je c = 0, je treba rešiti izraz ax 2 + bx = 0.
- Če je b = 0 in c = 0, potem polinom postane enakost tipa ax 2 = 0.
Slednji primer je bolj teoretična možnost in se nikoli ne pojavlja pri nalogah preverjanja znanja, saj je edina veljavna vrednost spremenljivke x v izrazu nič. V prihodnosti bodo obravnavane metode in primeri reševanja nepopolnih kvadratnih enačb tipa 1) in 2).
Splošni algoritem za iskanje spremenljivk in primerov z rešitvijo
Ne glede na vrsto enačbe se algoritem rešitve zmanjša na naslednje korake:
- Prenesite izraz v obliko, ki je primerna za iskanje korenin.
- Izvedite izračune.
- Zapišite svoj odgovor.
Najlažji način za reševanje nepopolnih enačb je tako, da na faktorje levo stran in pustite nič na desni. Tako se formula za nepopolno kvadratno enačbo za iskanje korenin zmanjša na izračun vrednosti x za vsakega od faktorjev.
Kako ga rešiti, se lahko naučite le v praksi, zato razmislite konkreten primer iskanje korenin nepopolne enačbe:
Kot lahko vidite, je v tem primeru b = 0. Faktorite levo stran in dobite izraz:
4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Očitno je produkt nič, če je vsaj eden od faktorjev nič. Vrednosti spremenljivke x1 = 0,5 in (ali) x2 = -0,5 izpolnjujejo te zahteve.
Da bi se enostavno in hitro spopadli z nalogo razgradnje kvadratni trinom glede na dejavnike si morate zapomniti naslednjo formulo:
Če v izrazu ni prostega izraza, je naloga močno poenostavljena. Dovolj bo le poiskati in odstraniti skupni imenovalec. Zaradi jasnosti razmislite o primeru, kako rešiti nepopolne kvadratne enačbe v obliki ax2 + bx = 0.
Vzemimo spremenljivko x iz oklepajev in dobimo naslednji izraz:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Po logiki pridemo do zaključka, da je x1 = 0 in x2 = -3.
Tradicionalna rešitev in nepopolne kvadratne enačbe
Kaj se bo zgodilo, če uporabite diskriminantno formulo in poskusite najti korenine polinoma s koeficienti enakimi nič? Vzemimo primer iz zbirke tipičnih nalog za izpit iz matematike v letu 2017, rešimo ga s standardnimi formulami in z metodo faktorizacije.
7x 2 - 3x = 0.
Izračunajmo vrednost diskriminanta: D = (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izkaže se, da ima polinom dva korena:
Zdaj pa rešimo enačbo s faktorjenjem in primerjajmo rezultate.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Kot lahko vidite, obe metodi dajeta enak rezultat, vendar se je izkazalo, da je reševanje enačbe z drugo metodo veliko lažje in hitrejše.
Vietin izrek
Toda kaj storiti z ljubljenim Vietinim izrekom? Ali je mogoče to metodo uporabiti z nepopolnim trinomom? Poskusimo razumeti vidike kastinga ne popolne enačbe Za klasičen videz ax2 + bx + c = 0.
Pravzaprav je v tem primeru mogoče uporabiti Vietin izrek. Izraz je treba le spraviti v splošno obliko in nadomestiti manjkajoče člane z nič.
Na primer, z b = 0 in a = 1, da bi odpravili verjetnost zmede, je treba nalogo zapisati v obliki: ax2 + 0 + c = 0. Nato je razmerje vsote in produkta korenov in faktorje polinoma lahko izrazimo na naslednji način:
Teoretični izračuni pomagajo seznaniti se z bistvom vprašanja in vedno zahtevajo vadbo spretnosti pri reševanju posebne naloge... Ponovno se obrnimo na referenčno knjigo tipičnih nalog za izpit in poiščimo primeren primer:
Zapišimo izraz v obliki, ki je primerna za uporabo Vietinega izreka:
x 2 + 0 - 16 = 0.
Naslednji korak je ustvariti sistem pogojev:
Očitno bodo koreni kvadratnega polinoma x 1 = 4 in x 2 = -4.
Zdaj pa vadimo enačbo v splošni obliki. Vzemite naslednji primer: 1/4 × x 2 - 1 = 0
Da bi uporabili Vietin izrek v izrazu, se je treba znebiti ulomka. Levo in desno stran pomnožite s 4 in poglejte rezultat: x2– 4 = 0. Nastalo enakost je pripravljeno rešiti z Vietinim izrekom, vendar je veliko lažje in hitreje dobiti odgovor preprosto s prenosom c = 4 na desno stran enačbe: x2 = 4.
Če povzamemo, je treba povedati, da najboljši način rešitve nepopolne enačbe je faktorizacija, je najpreprostejši in hitra metoda... Če imate težave pri iskanju korenin, se lahko obrnete na tradicionalna metoda iskanje korenin skozi diskriminanto.
Formule za korenine kvadratne enačbe. Upoštevani so primeri resničnih, večkratnih in kompleksnih korenin. Faktoriranje kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenin in faktoringa.
Osnovne formule
Razmislite o kvadratni enačbi:
(1)
.
Kvadratne korenine(1) so določene s formulami:
;
.
Te formule je mogoče kombinirati na naslednji način:
.
Ko so korenine kvadratne enačbe znane, lahko polinom druge stopnje predstavimo kot produkt faktorjev (faktoriziranih):
.
Nadalje predpostavljamo, da so to resnične številke.
Razmislite kvadratni diskriminant:
.
Če je diskriminanta pozitivna, ima kvadratna enačba (1) dve različni realni koreni:
;
.
Potem je faktorizacija kvadratnega trinoma:
.
Če je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba (1) dva večkratna (enaka) realna korena:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminanta negativna, ima kvadratna enačba (1) dva kompleksna konjugirana korena:
;
.
Tukaj je namišljena enota,;
in - resnični in namišljeni deli korenin:
;
.
Potem
.
Grafična interpretacija
Če gradiš graf funkcije
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko graf prečka abscisno os (os) v dveh točkah.
Ko se graf v eni točki dotakne abscisne osi.
Ko graf ne prečka abscisne osi.
Spodaj so primeri takšnih grafov.
Uporabne kvadratne enačbe
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe
Izvedemo transformacije in uporabimo formule (f.1) in (f.3):
,
kje
;
.
Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
Zato je razvidno, da je enačba
izvajal pri
in .
To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe
.
Primeri določanja korenin kvadratne enačbe
Primer 1
(1.1)
.
Rešitev
.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Najdemo diskriminanta:
.
Ker je diskriminant pozitiven, ima enačba dve dejanski koreni:
;
;
.
Iz tega dobimo faktorizacijo kvadratnega trinoma:
.
Funkcijski graf y = 2 x 2 + 7 x + 3 prečka abscisno os v dveh točkah.
Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Prečka abscisno os (os) v dveh točkah:
in .
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).
Odgovori
;
;
.
Primer 2
Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1)
.
Rešitev
Zapišimo kvadratno enačbo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Najdemo diskriminanta:
.
Ker je diskriminanta nič, ima enačba dva večkratna (enaka) korena:
;
.
Potem je faktorizacija trinoma:
.
Funkcijski graf y = x 2 - 4 x + 4 se v eni točki dotakne abscisne osi.
Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. V eni točki se dotakne abscisne osi (os):
.
Ta točka je koren prvotne enačbe (2.1). Ker ta koren dvakrat vstopi v faktorizacijo:
,
potem se tak koren običajno imenuje večkratnik. To pomeni, da verjamejo, da obstajata dve enaki korenini:
.
Odgovori
;
.
Primer 3
Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1)
.
Rešitev
Zapišimo kvadratno enačbo v splošni obliki:
(1)
.
Prepišimo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Najdemo diskriminanta:
.
Diskriminant je negativen,. Zato ni veljavnih korenin.
Kompleksne korenine je mogoče najti:
;
;
.
Potem
.
Graf funkcije ne prečka abscisne osi. Veljavnih korenin ni.
Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne prečka abscise (os). Zato ni veljavnih korenin.
Odgovori
Veljavnih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.
