평범한 분수처음으로 그들은 5 학년 학생들을 만나 평생 동안 동반합니다. 왜냐하면 일상 생활에서는 종종 일부 물건을 완전히가 ​​아니라 별도의 조각으로 고려하거나 사용할 필요가 있기 때문입니다. 이 주제에 대한 연구의 시작 - 공유. 주식은 동등한 부분입니다개체가 나뉩니다. 결국, 예를 들어 제품의 길이나 가격을 정수로 표현하는 것이 항상 가능한 것은 아니며 어떤 측정값의 부분이나 몫을 고려해야 합니다. "부수다"라는 동사에서 형성 - 부분으로 나누고 아랍어 뿌리를 가진 VIII 세기에 "분수"라는 단어 자체가 러시아어로 나타났습니다.

분수 표현식은 오랫동안 수학에서 가장 어려운 부분으로 여겨져 왔습니다. 17세기에 최초의 수학 교과서가 등장했을 때, 그것을 '깨진 숫자'라고 불렀는데, 이는 사람들이 이해하기에는 매우 어려웠습니다.

현대적인 모습부분이 수평선으로 정확하게 분리 된 간단한 분수 잔류 물은 피보나치 - 피사의 레오나르도에 처음 기여했습니다. 그의 저서는 1202년으로 거슬러 올라간다. 그러나 이 기사의 목적은 곱셈이 어떻게 발생하는지 독자에게 간단하고 명확하게 설명하는 것입니다. 대분수와 함께 다른 분모.

분모가 다른 분수 곱하기

초기에 결정이 필요하다. 분수의 종류:

• 옳은;
• 잘못된;
• 혼합.

다음으로 분수에 곱하는 방법을 기억해야 합니다. 같은 분모. 이 과정의 바로 그 규칙은 독립적으로 공식화하기 쉽습니다. 곱셈의 결과 간단한 분수동일한 분모를 가진 분수 표현식은 분자가 분자의 곱이고 분모는 주어진 분수의 분모의 곱입니다. 즉, 실제로 새로운 분모는 처음에 기존 분모 중 하나의 제곱입니다.

곱할 때 분모가 다른 단순 분수두 개 이상의 요인에 대해 규칙은 변경되지 않습니다.

ㅏ/비 * 씨/디 = a*c / b*d.

유일한 차이점은 분수선 아래에 형성된 숫자는 다른 숫자의 곱과 물론 1의 제곱이라는 것입니다. 숫자 표현이름을 짓는 것은 불가능합니다.

예를 사용하여 분모가 다른 분수의 곱셈을 고려해 볼 가치가 있습니다.

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

예제에서는 분수 표현식을 줄이는 방법을 사용합니다. 분모의 숫자로 분자의 숫자만 줄일 수 있으며 분수 막대 위나 아래에 인접한 인수는 줄일 수 없습니다.

간단한 분수와 함께 혼합 분수의 개념이 있습니다. 혼합 수는 정수와 소수 부분으로 구성됩니다. 즉, 다음 숫자의 합입니다.

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

곱셈은 ​​어떻게 작동합니까?

고려를 위해 몇 가지 예가 제공됩니다.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

이 예제에서는 숫자의 곱셈을 사용합니다. 일반 분수 부분, 다음 공식으로 이 작업에 대한 규칙을 기록할 수 있습니다.

ㅏ* 비/씨 = a*b /씨.

사실, 그러한 곱은 동일한 부분 잔기의 합이며, 항의 수는 이것을 나타냅니다. 자연수. 특별한 경우:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

분수 나머지로 숫자의 곱을 푸는 또 다른 옵션이 있습니다. 분모를 이 숫자로 나누면 됩니다.

디* 이자형/에프 = 이자형/에: 디.

분모를 나머지가 없는 자연수로 나누거나 완전히 말했을 때 이 기술을 사용하는 것이 유용합니다.

대분수를 가분수로 변환하고 앞에서 설명한 방식으로 곱을 구합니다.

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

이 예는 대분수를 가분수로 표현하는 방법을 포함하며, 일반 공식으로도 나타낼 수 있습니다.

ㅏ 비씨 = a*b+ c / c, 여기서 새로운 분수의 분모는 정수 부분에 분모를 곱하고 원래 분수 나머지의 분자에 더하여 형성되며 분모는 동일하게 유지됩니다.

이 프로세스는 다음에서도 작동합니다. 반대쪽. 정수 부분과 분수 나머지를 선택하려면 분자를 나누어야 합니다. 가분수분모 "모서리"에.

가분수 곱하기일반적인 방식으로 생산됩니다. 항목이 단일 분수 줄 아래에 있을 때 필요에 따라 이 방법을 사용하여 숫자를 줄이기 위해 분수를 줄여야 하며 결과 계산이 더 쉽습니다.

인터넷에는 복잡한 수학 문제도 해결할 수 있는 도우미가 많이 있습니다. 다양한 변형프로그램들. 충분한 양이러한 서비스는 분수의 곱셈을 계산하는 데 도움을 줍니다. 다른 숫자분모에서 - 분수 계산을 위한 소위 온라인 계산기. 그들은 곱할 수있을뿐만 아니라 일반 분수와 대분수로 다른 모든 간단한 산술 연산을 수행 할 수 있습니다. 작업하기 쉽고 해당 필드가 사이트 페이지에 채워지고 기호가 선택됩니다. 수학적 행동그리고 "계산"을 클릭합니다. 프로그램이 자동으로 계산됩니다.

분수를 사용한 산술 연산의 주제는 중학생 및 고등학생의 교육 전반에 걸쳐 관련이 있습니다. 고등학교에서는 더 이상 가장 단순한 종을 고려하지 않지만 정수 분수 표현식, 그러나 이전에 얻은 변환 및 계산 규칙에 대한 지식은 원래 형식으로 적용됩니다. 잘 배운 기본 지식은 좋은 결정대부분 도전적인 작업.

결론적으로, “인간은 분수이다. 분자를 높이는 것은 사람의 능력이 아니라 자신의 공로를 높이는 것이지만 누구든지 분모를 감소시킬 수 있으며 자신에 대한 견해는 이 감소로 인해 완전에 가까워집니다.

이제 개별 분수를 더하고 곱하는 방법을 배웠으므로 더 많은 것을 고려할 수 있습니다. 복잡한 구조. 예를 들어 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 한 문제에서 발생한다면?

우선 모든 분수를 부적절한 분수로 변환해야 합니다. 그런 다음 일반 숫자와 동일한 순서로 필요한 작업을 순차적으로 수행합니다. 즉:

1. 먼저 지수가 수행됩니다. 지수를 포함하는 모든 표현식을 제거하십시오.
2. 그런 다음 - 나눗셈과 곱셈;
3. 마지막 단계는 덧셈과 뺄셈입니다.

물론 표현식에 대괄호가 있으면 작업 순서가 변경됩니다. 대괄호 안에 있는 모든 것이 먼저 고려되어야 합니다. 그리고 가분수에 대해 기억하십시오. 다른 모든 작업이 이미 완료된 경우에만 전체 부분을 선택해야 합니다.

첫 번째 표현식의 모든 분수를 부적절한 분수로 변환하고 다음 작업을 수행합니다.

이제 두 번째 표현식의 값을 찾아봅시다. 여기서 분수 전체 부분아니요, 하지만 괄호가 있으므로 먼저 덧셈을 수행하고 나눗셈만 수행합니다. 14 = 7 2 입니다. 그 다음에:

마지막으로 세 번째 예를 고려하십시오. 여기에 대괄호와 정도가 있습니다. 별도로 계산하는 것이 좋습니다. 9 = 3 3 이라고 가정하면 다음과 같습니다.

마지막 예에 주의하십시오. 분수를 거듭제곱하려면 분자를 따로 이 거듭제곱으로, 분모를 따로 올려야 합니다.

다르게 결정할 수 있습니다. 정도의 정의를 기억하면 문제는 일반적인 분수 곱셈으로 축소됩니다.

다층 분수

지금까지 분자와 분모가 다음과 같을 때 "순수" 분수만 고려했습니다. 일반 숫자. 이것은 첫 번째 수업에서 주어진 숫자 분수의 정의와 일치합니다.

그러나 분자나 분모에 더 복잡한 객체가 있으면 어떻게 될까요? 예를 들어, 다른 숫자 분수? 이러한 구성은 특히 긴 표현식으로 작업할 때 자주 발생합니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

다층 분수 작업에는 단 하나의 규칙이 있습니다. 즉시 제거해야합니다. 분수 막대가 표준 나누기 연산을 의미한다는 것을 기억한다면 "추가" 바닥을 제거하는 것은 매우 간단합니다. 따라서 모든 분수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

이 사실을 사용하고 절차를 따르면 다층 부분을 일반 부분으로 쉽게 줄일 수 있습니다. 예를 살펴보십시오.

작업. 다층 분수를 일반 분수로 변환:

각 경우에 구분선을 구분 기호로 교체하여 주요 분수를 다시 작성합니다. 또한 모든 정수는 분모가 1인 분수로 나타낼 수 있습니다. 즉, 12 = 12/1; 3 = 3/1. 우리는 다음을 얻습니다.

마지막 예에서는 최종 곱하기 전에 분수를 줄였습니다.

다층 분수 작업의 특성

다층 분수에는 항상 기억해야 하는 한 가지 미묘함이 있습니다. 그렇지 않으면 모든 계산이 정확하더라도 잘못된 답을 얻을 수 있습니다. 구경하다:

1. 분자에는 별도의 숫자 7이 있고 분모에는 분수 12/5가 있습니다.
2. 분자는 분수 7/12이고 분모는 단일 숫자 5입니다.

그래서, 하나의 레코드를 위해, 우리는 완전히 두 개를 얻었습니다. 다양한 해석. 세어보면 답도 달라집니다.

레코드가 항상 명확하게 읽히도록 하려면 간단한 규칙을 사용하십시오. 주요 부분의 구분선은 중첩된 줄보다 길어야 합니다. 바람직하게는 여러 번.

이 규칙을 따르면 위의 분수는 다음과 같이 작성해야 합니다.

예, 아마도 추하고 너무 많은 공간을 차지합니다. 그러나 당신은 정확하게 계산할 것입니다. 마지막으로, 다단계 분수가 실제로 발생하는 몇 가지 예:

작업. 표현식 값 찾기:

따라서 첫 번째 예제를 사용하여 작업해 보겠습니다. 모든 분수를 부적절한 분수로 변환한 다음 더하기 및 나누기 연산을 수행해 보겠습니다.

두 번째 예와 동일하게 합시다. 모든 분수를 부적절한 분수로 변환하고 필요한 작업을 수행합니다. 독자를 지루하게 하지 않기 위해 몇 가지 뻔한 계산은 생략하겠습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

주요 분수의 분자와 분모에 합계가 포함되어 있기 때문에 다층 분수 작성 규칙이 자동으로 준수됩니다. 또한 마지막 예에서는 나눗셈을 수행하기 위해 의도적으로 숫자 46/1을 분수 형태로 남겨두었습니다.

나는 또한 두 가지 예에서 분수 막대가 실제로 대괄호를 대체한다는 점에 주목합니다. 우선 합계를 찾은 다음 몫을 찾았습니다.

누군가는 두 번째 예에서 가분수로의 전환이 분명히 중복되었다고 말할 것입니다. 아마도 그렇게 될 것입니다. 그러나 다음 번에 예제가 훨씬 더 복잡해질 수 있기 때문에 이렇게 하면 실수로부터 자신을 보호할 수 있습니다. 속도 또는 안정성 중에서 더 중요한 것을 스스로 선택하십시오.

조만간 학교의 모든 아이들은 분수를 배우기 시작합니다. 덧셈, 나눗셈, 곱셈, 그리고 분수로만 수행할 수 있는 모든 가능한 작업. 아이에게 적절한 도움을 제공하기 위해 부모는 정수가 분수로 어떻게 나누어지는지 잊어서는 안됩니다. 그렇지 않으면 어떤 식으로든 그를 도울 수 없지만 그를 혼란스럽게 할 것입니다. 이 작업을 기억해야 하지만 머리에 있는 모든 정보를 단일 규칙으로 가져올 수 없는 경우 이 문서가 도움이 될 것입니다. 숫자를 분수로 나누는 방법을 배우고 예시를 볼 수 있습니다.

숫자를 분수로 나누는 방법

메모와 오점을 찍을 수 있도록 초안에 귀하의 예를 적어 두십시오. 정수는 셀 사이의 교차점과 분수 사이에 각각 자체 셀에 기록된다는 점을 기억하십시오.

• 에 이 방법분수를 거꾸로 뒤집어야 합니다. 즉, 분모를 분자에 쓰고 분자를 분모에 써야 합니다.
• 나눗셈의 부호를 곱셈으로 바꿔야 합니다.
• 이제 이미 연구한 규칙에 따라 곱하기만 하면 됩니다. 분자에 정수를 곱하고 분모는 건드리지 않습니다.

물론 그러한 행동의 결과로 당신은 매우 큰 숫자분자에. 이 상태에서 분수를 남겨 두는 것은 불가능합니다. 교사는 단순히이 답변을 수락하지 않을 것입니다. 분자를 분모로 나누어 분수를 줄입니다. 결과 정수를 셀 중간에 있는 분수의 왼쪽에 쓰고 나머지는 새 분자가 됩니다. 분모는 변경되지 않습니다.

이 알고리즘은 어린이에게도 매우 간단합니다. 5~6회 완료하면 아기가 절차를 기억하고 모든 분수에 적용할 수 있습니다.

숫자를 소수로 나누는 방법

다른 유형의 분수(소수점)가 있습니다. 그것들로의 분할은 완전히 다른 알고리즘에 따라 발생합니다. 그러한 예에 직면하면 다음 지침을 따르십시오.

• 먼저 두 숫자를 소수. 이것은 쉽게 할 수 있습니다. 제수는 이미 분수로 표시되며 나눌 수 있는 자연수를 쉼표로 구분하여 소수를 얻습니다. 즉, 배당금이 숫자 5인 경우 5.0의 일부를 얻습니다. 소수점과 제수 뒤에 있는 숫자만큼 숫자를 구분해야 합니다.
• 그런 다음 두 소수 모두 자연수를 만들어야 합니다. 처음에는 다소 혼란스러울 수 있지만 이것이 가장 빠른 길몇 초 후에 몇 초가 소요됩니다. 5.0의 분수는 숫자 50이 되고 6.23의 분수는 623이 됩니다.
• 나눗셈을 합니다. 숫자가 크거나 나머지로 나눗셈이 발생하면 열에서 수행하십시오. 모든 동작을 명확하게 볼 수 있도록 이 예. 쉼표는 열로 나누는 과정에서 저절로 나타나므로 특별히 쉼표를 넣을 필요는 없습니다.

이러한 종류의 나눗셈은 처음에는 너무 혼란스러워 보입니다. 피제수와 제수를 분수로 변환한 다음 다시 자연수로 변환해야 하기 때문입니다. 그러나 짧은 훈련 후에는 서로 나누어야 하는 숫자가 즉시 표시되기 시작할 것입니다.

분수와 정수를 올바르게 나누는 능력은 인생에서 한 번 이상 유용할 수 있으므로 어린이는 이러한 규칙과 간단한 원칙을 완벽하게 알아야 고학년에서 걸림돌이 되지 않습니다. 아이는 더 복잡한 작업을 결정할 수 없습니다.

분수를 사용하면 나누기를 포함한 모든 작업을 수행할 수 있습니다. 이 기사는 분할을 보여줍니다 일반 분수. 정의가 제공되고 예가 고려됩니다. 분수를 자연수로 나누거나 그 반대로 나누는 방법에 대해 알아보겠습니다. 일반 분수를 대분수로 나누는 것이 고려됩니다.

일반 분수의 나눗셈

나눗셈은 곱셈의 역수입니다. 나눌 때 미지의 인자는 다음에서 발견됩니다. 유명한 작품그리고 주어진 의미가 일반 분수로 보존되는 또 다른 요소.

일반 분수 b를 c d로 나눌 필요가 있는 경우 그러한 수를 결정하려면 제수 c d를 곱해야 합니다. 그러면 결국 배당 a b가 됩니다. 숫자를 가져와 a b · dc c 라고 합시다. 여기서 dc는 c d 숫자의 역수입니다. 등식은 곱셈의 속성, 즉 a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b 를 사용하여 작성할 수 있습니다. 여기서 표현식 a b d c 는 a b 를 c d 로 나눈 몫입니다.

여기에서 일반 분수를 나누는 규칙을 얻고 공식화합니다.

정의 1

일반 분수 b를 c d로 나누려면 피제수에 제수의 역수를 곱해야 합니다.

규칙을 표현식으로 작성해 보겠습니다. a b: c d = a b d c

나눗셈의 규칙은 곱셈으로 축소됩니다. 그것을 고수하려면 일반 분수의 곱셈을 잘 수행해야 합니다.

일반 분수의 나눗셈으로 넘어 갑시다.

실시예 1

나눗셈 9 7 5 3 을 수행합니다. 결과를 분수로 쓰십시오.

해결책

숫자 5 3 은 3 5 의 역수입니다. 일반 분수 나누기 규칙을 사용해야 합니다. 이 표현식은 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35와 같이 작성합니다.

대답: 9 7: 5 3 = 27 35 .

분수를 줄일 때 분자가 분모보다 크면 전체 부분을 강조 표시해야 합니다.

실시예 2

나누기 8 15: 24 65 . 답을 분수로 쓰십시오.

해결책

해결책은 나눗셈에서 곱셈으로 전환하는 것입니다. 우리는 그것을 다음과 같은 형식으로 씁니다: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

줄일 필요가 있으며 이것은 다음과 같이 수행됩니다. 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

정수 부분을 선택하고 13 9 = 1 4 9 를 얻습니다.

대답: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

자연수로 비정상 분수의 나눗셈

분수를 자연수로 나누는 규칙을 사용합니다. b를 자연수 n으로 나누려면 분모에만 n을 곱하면 됩니다. 여기에서 우리는 표현을 얻습니다: b: n = a b · n .

나누기 규칙은 곱하기 규칙의 결과입니다. 따라서 자연수를 분수로 나타내면 a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n과 같은 유형이 됩니다.

분수를 숫자로 나누는 것을 고려하십시오.

실시예 3

분수 1645를 숫자 12로 나눕니다.

해결책

분수를 숫자로 나누는 규칙을 적용합니다. 16 45: 12 = 16 45 12 와 같은 표현식을 얻습니다.

분수를 줄여봅시다. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 입니다.

대답: 16 45: 12 = 4 135 .

자연수를 공통 분수로 나누기

나눗셈 규칙은 비슷하다. ~에 대한자연수를 일반 분수로 나누는 규칙: 자연수 n을 일반 a b로 나누려면 숫자 n에 분수 a b의 역수를 곱해야 합니다.

규칙에 따라 n: a b \u003d n b a가 있으며 자연수에 일반 분수를 곱하는 규칙 덕분에 n: a b \u003d n b a 형식의 표현을 얻습니다. 예를 들어 이 구분을 고려할 필요가 있습니다.

실시예 4

25를 15로 나눕니다. 28 .

해결책

나눗셈에서 곱셈으로 넘어가야 합니다. 우리는 식 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 의 형태로 씁니다. 분수를 줄이고 결과를 분수 46 2 3 의 형태로 구해 봅시다.

대답: 25: 15 28 = 46 2 3 .

대분수로 공분수 나누기

일반 분수를 대분수로 나누면 일반 분수 나누기에 쉽게 빛날 수 있습니다. 대분수를 가분수로 변환해야 합니다.

실시예 5

분수 35 16 을 3 1 8 로 나눕니다.

해결책

3 1 8은 대분수이므로 가분수로 나타내도록 합시다. 그러면 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 이 됩니다. 이제 분수를 나눕니다. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

대답: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

대분수의 나눗셈은 일반수와 동일합니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.