Riz. 1.5. Déformation du faisceau

En tout point de la poutre considérée, il y a le même état de contrainte et, par conséquent, les déformations linéaires pour tous ses points sont les mêmes. Par conséquent, la valeur de e peut être définie comme le rapport de l'allongement absolu à la longueur d'origine de la poutre, c'est-à-dire

Les barres faites de différents matériaux s'allongent différemment. Pour les cas où les contraintes dans la barre ne dépassent pas la limite de proportionnalité, la relation suivante a été établie par expérience :

où N- force longitudinale dans les sections transversales de la poutre ; F- section transversale de la poutre; E- coefficient dépendant des propriétés physiques du matériau.

Considérant que la contrainte normale dans la section transversale de la poutre σ = N/F, on a ε = σ/E. Où σ = εЕ.

L'allongement absolu de la poutre est exprimé par la formule

Plus générale est la formulation suivante de la loi de Hooke : la déformation longitudinale relative est directement proportionnelle à la contrainte normale. Dans cette formulation, la loi de Hooke est utilisée non seulement dans l'étude de la traction et de la compression des barres, mais également dans d'autres sections du cours.

Évaluer E est appelé module d'élasticité de première espèce. C'est une constante physique d'un matériau qui caractérise sa rigidité. Plus la valeur est grande E, la plus petite, toutes choses égales par ailleurs, la déformation longitudinale. Le module d'élasticité est exprimé dans les mêmes unités que la contrainte, c'est-à-dire en pascals (Pa) (acier E=2* 10 5 MPa, cuivre E= 1 * 10 5 MPa).

Travailler EF est appelée rigidité de la section transversale de la poutre en traction et en compression.

En plus de la déformation longitudinale, lorsqu'un effort de compression ou de traction agit sur une barre, on observe également une déformation transversale. Lorsque la poutre est comprimée, ses dimensions transversales augmentent et lorsqu'elle est étirée, elles diminuent. Si la dimension transversale de la poutre avant l'application d'efforts de compression sur celle-ci R désigner À, et après l'application de ces forces B - ∆V, alors la valeur ∆V désignera la déformation transversale absolue de la poutre.

Le rapport est la déformation transversale relative.

L'expérience montre qu'aux sollicitations ne dépassant pas la limite d'élasticité, la déformation transversale relative est directement proportionnelle à la déformation longitudinale relative, mais de signe opposé :

Le facteur de proportionnalité q dépend du matériau de la poutre. C'est ce qu'on appelle le coefficient de déformation transversale (ou Coefficient de Poisson ) et est le rapport de la déformation transversale relative à la déformation longitudinale, pris en valeur absolue, c'est-à-dire Coefficient de Poisson avec module d'élasticité E caractérise les propriétés élastiques du matériau.

Le coefficient de Poisson est déterminé expérimentalement. Pour divers matériaux, il a des valeurs allant de zéro (pour le liège) à une valeur proche de 0,50 (pour le caoutchouc et la paraffine). Pour l'acier, le coefficient de Poisson est de 0,25 à 0,30 ; pour un certain nombre d'autres métaux (fonte, zinc, bronze, cuivre) il

Riz. 1.6. Barre de section variable

La détermination de la valeur de la section transversale de la tige est effectuée en fonction de la condition de résistance

où [σ] est la contrainte admissible.

Définir le déplacement longitudinal δ un points un axe d'une poutre tendue par la force R( riz. 1.6).

Elle est égale à la déformation absolue de la partie de la poutre un d, conclu entre la terminaison et la section tirée par le point ré, ceux. la déformation longitudinale de la poutre est déterminée par la formule

Cette formule n'est applicable que lorsque, sur toute la longueur de la section, les efforts longitudinaux N et la rigidité EF les sections transversales de la poutre sont constantes. Dans le cas considéré, sur le site un B force longitudinale N est égal à zéro (le poids propre de la poutre n'est pas pris en compte), et sur le site bd c'est égal à R, en outre, la section transversale de la poutre sur le site as différent de la surface de la section sur le site CD. Par conséquent, la déformation longitudinale de la section un d doit être déterminé comme la somme des déformations longitudinales des trois sections ab, bc et CD, pour chacun d'eux les valeurs N et EF constante sur toute sa longueur :

Efforts longitudinaux dans les sections considérées de la poutre

Par conséquent,

De même, il est possible de déterminer les déplacements δ de n'importe quel point de l'axe du faisceau et de construire un diagramme basé sur leurs valeurs mouvements longitudinaux (schéma δ), c'est-à-dire un graphique illustrant l'évolution de ces mouvements le long de l'axe de la barre.

4.2.3. conditions de force. Calcul de rigidité.

Lors de la vérification des contraintes de la section transversale F et les efforts longitudinaux sont connus et le calcul consiste à calculer les contraintes de calcul (réelles) σ dans les sections caractéristiques des éléments. La tension maximale obtenue dans ce cas est alors comparée à la tension admissible :

Lors du choix des sections déterminer la surface requise [F] sections transversales de l'élément (en fonction des efforts longitudinaux connus N et contrainte admissible [σ]). Zones de section acceptables F doit satisfaire à la condition de résistance exprimée sous la forme suivante :

Lors de la détermination de la capacité de charge par des valeurs connues F et contrainte admissible [σ] calculer les valeurs admissibles [N] des efforts longitudinaux :

Sur la base des valeurs obtenues [N], les valeurs admissibles des charges externes [ P].

Dans ce cas, la condition de résistance a la forme

Les valeurs des facteurs de sécurité normatifs sont établies par les normes. Ils dépendent de la classe de l'ouvrage (capital, temporaire, etc.), de la durée prévue de son exploitation, de la charge (statique, cyclique, etc.), de l'hétérogénéité éventuelle dans la fabrication des matériaux (par exemple, le béton), de la le type de déformation (traction, compression, flexion, etc.) et d'autres facteurs. Dans certains cas, il est nécessaire de réduire le facteur de sécurité afin de réduire le poids de la structure, et parfois d'augmenter le facteur de sécurité - si nécessaire, tenir compte de l'usure des pièces frottantes des machines, de la corrosion et de la dégradation du matériau .

Les valeurs des facteurs de sécurité standard pour divers matériaux, structures et charges ont dans la plupart des cas les valeurs suivantes : - 2,5...5 et - 1,5...2,5.

Par vérification de la raideur d'un élément de structure en état de traction - compression pure, on entend la recherche d'une réponse à la question : les valeurs des caractéristiques de raideur de l'élément sont-elles suffisantes (le module d'élasticité de la Matériel E et surface de la section F), de sorte que le maximum de toutes les valeurs du déplacement des points de l'élément provoqué par des forces externes, u max, ne dépasse pas une certaine valeur limite spécifiée [u]. On pense que si l'inégalité u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Considérons une poutre droite de section constante de longueur l, scellée à une extrémité et chargée à l'autre extrémité avec une force de traction P (Fig. 2.9, a). Sous l'action de la force P, la poutre s'allonge d'un certain ?l, appelé allongement total ou absolu (déformation longitudinale absolue).

En tout point de la poutre considérée, il y a le même état de contrainte, et, par conséquent, les déformations linéaires pour tous ses points sont les mêmes. Par conséquent, la valeur peut être définie comme le rapport de l'allongement absolu ? l à la longueur initiale de la poutre l, c'est-à-dire . La déformation linéaire lors de la traction ou de la compression des barres est généralement appelée allongement relatif ou déformation longitudinale relative, et est notée

Par conséquent,

La déformation longitudinale relative est mesurée en unités abstraites. Convenons de considérer la déformation en élongation comme positive (Fig. 2.9, a), et la déformation en compression comme négative (Fig. 2.9, b).

Plus l'amplitude de la force qui étire la barre est grande, plus l'allongement de la barre est grand, ceteris paribus ; plus la section transversale de la poutre est grande, plus l'allongement de la poutre est faible. Les barres faites de différents matériaux s'allongent différemment. Pour les cas où les contraintes dans la barre ne dépassent pas la limite de proportionnalité, la relation suivante a été établie par expérience :

Ici N est la force longitudinale dans les sections transversales de la poutre ;

F - aire de la section transversale de la poutre;

E est un coefficient dépendant des propriétés physiques du matériau.

En tenant compte de la contrainte normale dans la section transversale de la poutre, on obtient

L'allongement absolu de la poutre est exprimé par la formule

ceux. la déformation longitudinale absolue est directement proportionnelle à la force longitudinale.

Pour la première fois la loi de proportionnalité directe entre forces et déformations a été formulée par R. Hooke (en 1660).

Plus générale est la formulation suivante de la loi de Hooke : la déformation longitudinale relative est directement proportionnelle à la contrainte normale. Dans cette formulation, la loi de Hooke est utilisée non seulement dans l'étude de la traction et de la compression des barres, mais également dans d'autres sections du cours.

La valeur de E, incluse dans les formules, est appelée module d'élasticité longitudinale (en abrégé module d'élasticité). Cette valeur est la constante physique du matériau, qui caractérise sa rigidité. Plus la valeur de E est grande, plus la déformation longitudinale est petite, ceteris paribus.

Le produit EF est appelé rigidité de la section transversale de la poutre en traction et en compression.

Si la dimension transversale de la poutre avant l'application des forces de compression P, notons b, et après l'application de ces forces b +? b (Fig. 9.2), alors la valeur? b indiquera la déformation transversale absolue de la rayonner. Le rapport est la déformation transversale relative.

L'expérience montre qu'aux sollicitations ne dépassant pas la limite d'élasticité, la déformation transversale relative est directement proportionnelle à la déformation longitudinale relative e, mais de signe opposé :

Le coefficient de proportionnalité dans la formule (2.16) dépend du matériau de la poutre. C'est ce qu'on appelle le rapport de déformation transversale, ou coefficient de Poisson, et c'est le rapport de la déformation transversale à la déformation longitudinale, pris en valeur absolue, c'est-à-dire

Le coefficient de Poisson, associé au module d'élasticité E, caractérise les propriétés élastiques du matériau.

La valeur du coefficient de Poisson est déterminée expérimentalement. Pour divers matériaux, il a des valeurs allant de zéro (pour le liège) à une valeur proche de 0,50 (pour le caoutchouc et la paraffine). Pour l'acier, le coefficient de Poisson est de 0,25-0,30 ; pour un certain nombre d'autres métaux (fonte, zinc, bronze, cuivre), il a des valeurs de 0,23 à 0,36.

Tableau 2.1 Valeurs du module d'élasticité.

Tableau 2.2 Valeurs du coefficient de déformation transverse (rapport de Poisson)

Avoir une idée des déformations longitudinales et transversales et de leur relation.

Connaître la loi de Hooke, les dépendances et les formules de calcul des contraintes et des déplacements.

Être capable d'effectuer des calculs sur la résistance et la rigidité de barres statiquement déterminées en traction et en compression.

Déformations en traction et en compression

Considérons la déformation de la poutre sous l'action de la force longitudinale F (Fig. 21.1).

Dans la résistance des matériaux, il est d'usage de calculer les déformations en unités relatives :

Il existe une relation entre les déformations longitudinales et transversales

où μ - coefficient de déformation transversale, ou coefficient de Poisson, - caractéristique de la plasticité du matériau.

La loi de Hooke

Dans les limites des déformations élastiques, les déformations sont directement proportionnelles à la charge :

Soyons accro

Où E- module d'élasticité, caractérise la rigidité du matériau.

Dans les limites de l'élasticité, les contraintes normales sont proportionnelles à l'allongement relatif.

Sens E pour les aciers compris entre (2 - 2.1) 10 5 MPa. Toutes choses égales par ailleurs, plus le matériau est rigide, moins il se déforme :

Formules de calcul des déplacements des sections transversales d'une poutre en traction et en compression

Nous utilisons des formules connues.

Extension relative

En conséquence, nous obtenons la relation entre la charge, les dimensions de la poutre et la déformation résultante :

Δl- allongement absolu, mm ;

σ - contrainte normale, MPa ;

je- longueur initiale, mm ;

E - module d'élasticité du matériau, MPa;

N- force longitudinale, N ;

A - section transversale, mm 2;

Travailler AE appelé rigidité de section.

conclusions

1. L'allongement absolu de la poutre est directement proportionnel à l'amplitude de la force longitudinale dans la section, à la longueur de la poutre et inversement proportionnel à la section transversale et au module d'élasticité.

2. La relation entre les déformations longitudinales et transversales dépend des propriétés du matériau, la relation est déterminée par Coefficient de Poisson, appelé coefficient de déformation transversale.

Coefficient de Poisson : acier μ de 0,25 à 0,3 ; au bouchon μ = 0 ; caoutchouc μ = 0,5.

3. Les déformations transversales sont inférieures aux déformations longitudinales et affectent rarement les performances de la pièce ; si nécessaire, la déformation transversale est calculée à travers la déformation longitudinale.

où Δa- rétrécissement transversal, mm;

oh oh- dimension transversale initiale, mm.

4. La loi de Hooke est remplie dans la zone de déformation élastique, qui est déterminée lors des essais de traction selon le diagramme de traction (Fig. 21.2).

Pendant le fonctionnement, les déformations plastiques ne doivent pas se produire, les déformations élastiques sont faibles par rapport aux dimensions géométriques du corps. Les principaux calculs de résistance des matériaux sont effectués dans la zone des déformations élastiques, où la loi de Hooke opère.

Dans le diagramme (Fig. 21.2), la loi de Hooke agit à partir du point 0 jusqu'au point 1 .

5. La détermination de la déformation de la poutre sous charge et sa comparaison avec la valeur admissible (ne violant pas les performances de la poutre) s'appelle le calcul de la rigidité.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Le schéma de chargement et les dimensions de la poutre avant déformation sont donnés (Fig. 21.3). Le faisceau est pincé, déterminer le mouvement de l'extrémité libre.

La solution

1. La poutre est étagée, par conséquent, les diagrammes des forces longitudinales et des contraintes normales doivent être tracés.

Nous divisons la poutre en sections de chargement, déterminons les forces longitudinales, construisons un diagramme des forces longitudinales.

2. Nous déterminons les valeurs des contraintes normales le long des sections, en tenant compte des modifications de la section transversale.

Nous construisons un diagramme de contraintes normales.

3. Dans chaque section, nous déterminons l'allongement absolu. Les résultats sont sommables algébriquement.

Noter. Rayonner pincé dans la fermeture se pose réaction inconnue dans le support, on commence donc le calcul avec libre fin (à droite).

1. Deux zones de chargement :

parcelle 1 :

étiré;

parcelle 2 :

Exemple 2 Pour une poutre étagée donnée (Fig. 2.9, un) construire des diagrammes des forces longitudinales et des contraintes normales sur sa longueur, ainsi que déterminer les déplacements de l'extrémité libre et de la section DE, où la force est appliquée R2. Module longitudinal d'élasticité du matériau E\u003d 2,1 10 5 N / "mm 3.

La solution

1. Une barre donnée a cinq sections /, //, III, IV, V(Figure 2.9, un). Le diagramme des forces longitudinales est illustré à la fig. 2.9, b.

2. Calculez les contraintes dans les sections transversales de chaque section :

pour le premier

pour la deuxième

pour le troisième

pour le quatrième

pour le cinquième

Le diagramme des contraintes normales est construit en fig. 2.9 dans.

3. Passons à la détermination des déplacements des sections transversales. Le mouvement de l'extrémité libre de la poutre est défini comme la somme algébrique de l'allongement (raccourcissement) de toutes ses sections :

En remplaçant les valeurs numériques, on obtient

4. Le déplacement de la section C, dans laquelle la force P 2 est appliquée, est défini comme la somme algébrique des allongements (raccourcissements) des sections ///, IV, V :

En remplaçant les valeurs du calcul précédent, nous obtenons

Ainsi, l'extrémité droite libre de la poutre se déplace vers la droite, et la section où la force est appliquée R2, - À gauche.

5. Les valeurs des déplacements calculées ci-dessus peuvent être obtenues d'une autre manière, en utilisant le principe d'indépendance de l'action des forces, c'est-à-dire en déterminant les déplacements à partir de l'action de chacune des forces R1; P2; R3 séparément et en résumant les résultats. Nous encourageons l'élève à le faire par lui-même.

Exemple 3 Déterminer quelle contrainte se produit dans une tige d'acier d'une longueur je= 200 mm, si après l'application d'efforts de traction, sa longueur est devenue je 1 = 200,2 mm. E \u003d 2,1 * 10 6 N / mm 2.

La solution

Extension de tige absolue

Déformation longitudinale de la tige

D'après la loi de Hooke

Exemple 4 Support mural (Fig. 2.10, un) se compose d'une tige en acier AB et d'une entretoise en bois BC. Zone de poussée transversale F 1 \u003d 1 cm 2, section transversale de la jambe de force F 2 \u003d 25 cm 2. Déterminer le déplacement horizontal et vertical du point B si une charge y est suspendue Q= 20 kN. Les modules d'élasticité longitudinale de l'acier E st \u003d 2,1 * 10 5 N / mm 2, du bois E d \u003d 1,0 * 10 4 N / mm 2.

La solution

1. Pour déterminer les forces longitudinales dans les tiges AB et BC, nous découpons le nœud B. En supposant que les tiges AB et BC sont étirées, nous dirigeons les forces N 1 et N 2 provenant du nœud (Fig. 2.10 , 6 ). On compose les équations d'équilibre :

L'effort N 2 s'est avéré avec un signe moins. Cela indique que l'hypothèse initiale sur la direction de la force est incorrecte - en fait, cette tige est comprimée.

2. Calculer l'allongement de la tige d'acier ∆l 1 et raccourcissement des entretoises ∆l2 :

poussée UN B s'allonge de ∆l 1= 2,2 mm ; entretoise Soleil raccourci de ∆l 1= 7,4 mm.

3. Pour déterminer le mouvement d'un point À séparez mentalement les tiges de cette charnière et notez leurs nouvelles longueurs. Nouvelle position des points À sera déterminé si les tiges déformées AB 1 et A 2°C les rapprocher en les faisant tourner autour de points MAIS et DE(Fig. 2.10, dans). points EN 1 et EN 2 dans ce cas, ils se déplaceront le long d'arcs qui, en raison de leur petitesse, peuvent être remplacés par des segments de droite en 1" et V2V", respectivement perpendiculaire à AB 1 et SO 2 . L'intersection de ces perpendiculaires (point À") donne la nouvelle position du point (charnière) B.

4. Dans la fig. 2.10, g le diagramme de déplacement du point B est représenté à plus grande échelle.

5. Mouvement horizontal des points À

vertical

où les segments constitutifs sont déterminés à partir de la fig. 2.10, d ;

En remplaçant les valeurs numériques, on obtient finalement

Lors du calcul des déplacements, les valeurs absolues des extensions (raccourcissements) des barres sont substituées dans les formules.

Contrôler les questions et les tâches

1. Une tige d'acier de 1,5 m de long est étirée sous charge de 3 mm. Quel est l'allongement relatif ? Quelle est la contraction relative ? ( μ = 0,25.)

2. Qu'est-ce qui caractérise le coefficient de déformation transversale ?

3. Formuler la loi de Hooke sous sa forme moderne pour la traction et la compression.

4. Qu'est-ce qui caractérise le module d'élasticité du matériau ? Quelle est l'unité de mesure du module d'élasticité ?

5. Notez les formules pour déterminer l'allongement de la poutre. Qu'est-ce qui caractérise le travail d'AE et comment s'appelle-t-il ?

6. Comment l'allongement absolu d'une poutre à gradins chargée de plusieurs forces est-il déterminé ?

7. Répondez aux questions du test.

Le rapport de l'allongement absolu de la tige à sa longueur d'origine est appelé allongement relatif (- epsilon) ou déformation longitudinale. La déformation longitudinale est une quantité sans dimension. Formule de déformation sans dimension :

En traction, la déformation longitudinale est considérée comme positive, et en compression, elle est considérée comme négative.
Les dimensions transversales de la tige à la suite de la déformation changent également, tandis qu'elles diminuent pendant la traction et augmentent pendant la compression. Si le matériau est isotrope, alors ses déformations transversales sont égales entre elles :
.
Il a été établi expérimentalement que lors d'une traction (compression) dans les limites des déformations élastiques, le rapport de déformation transversale à longitudinale est une valeur constante pour un matériau donné. Le module du rapport de déformation transversale à longitudinale, appelé coefficient de Poisson ou rapport de déformation transversale, est calculé par la formule :

Pour différents matériaux, le coefficient de Poisson varie à l'intérieur. Par exemple, pour le liège, pour le caoutchouc, pour l'acier, pour l'or.

La loi de Hooke
La force élastique qui se produit dans le corps lorsqu'il est déformé est directement proportionnelle à l'amplitude de cette déformation
Pour une tige de traction mince, la loi de Hooke a la forme :

Voici la force qui étire (comprime) la tige, est l'allongement absolu (compression) de la tige et est le coefficient d'élasticité (ou rigidité).
Le coefficient d'élasticité dépend à la fois des propriétés du matériau et des dimensions de la tige. Il est possible de distinguer explicitement la dépendance aux dimensions de la tige (section transversale et longueur) en écrivant le coefficient d'élasticité comme

La valeur est appelée module d'élasticité de premier type ou module d'Young et est une caractéristique mécanique du matériau.
Si vous entrez un allongement relatif

Et la contrainte normale dans la section transversale

Alors la loi de Hooke en unités relatives s'écrira comme

Sous cette forme, il est valable pour tout petit volume de matière.
De plus, lors du calcul des tiges droites, la loi de Hooke est utilisée sous forme relative

Module d'Young
Le module d'Young (module d'élasticité) est une grandeur physique qui caractérise les propriétés d'un matériau à résister à la traction/compression lors d'une déformation élastique.
Le module de Young est calculé comme suit :

Où:
E - module d'élasticité,
F - force,
S est l'aire de la surface sur laquelle l'action de la force est répartie,
l est la longueur de la tige déformable,
x est le module de variation de la longueur de la tige sous l'effet de la déformation élastique (mesuré dans les mêmes unités que la longueur l).
Par le module d'Young, on calcule la vitesse de propagation d'une onde longitudinale dans un barreau mince :

Où est la densité de la substance.
Coefficient de Poisson
Le coefficient de Poisson (noté ou) est la valeur absolue du rapport de la déformation relative transversale à longitudinale d'un échantillon de matériau. Ce coefficient ne dépend pas de la taille du corps, mais de la nature du matériau à partir duquel l'échantillon est fabriqué.
L'équation
,
où
- coefficient de Poisson ;
- déformation dans le sens transversal (négative en traction axiale, positive en compression axiale) ;
- déformation longitudinale (positive en traction axiale, négative en compression axiale).

Les contraintes et les déformations en traction et en compression sont liées par une relation linéaire, appelée la loi de Hooke , du nom du physicien anglais R. Hooke (1653-1703), qui a établi cette loi.
La loi de Hooke peut être formulée comme suit : la contrainte normale est directement proportionnelle à l'allongement ou au raccourcissement relatif .

Mathématiquement, cette dépendance s'écrit :

σ = Eε.

Ici E - coefficient de proportionnalité, qui caractérise la rigidité du matériau de la poutre, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation ; il s'appelle module d'élasticité , ou module d'élasticité de première espèce .
Le module d'élasticité, comme la contrainte, s'exprime en termes de pascals (Pa) .

Valeurs E car divers matériaux sont établis expérimentalement et expérimentalement, et leur valeur peut être trouvée dans les ouvrages de référence pertinents.
Ainsi, pour l'acier E \u003d (1,96 ... 2,16) x 105 MPa, pour le cuivre E \u003d (1,00 ... 1,30) x 105 MPa, etc.

Il convient de noter que la loi de Hooke n'est valable que dans certaines limites de chargement.
Si nous substituons les valeurs d'allongement relatif et de contrainte précédemment obtenues dans la formule de la loi de Hooke : ε = ∆l / l ,σ = N / UNE , vous pouvez obtenir la dépendance suivante :

Δl \u003d N l / (E A).

Le produit du module d'élasticité et de la section transversale E × MAIS , au dénominateur, s'appelle la raideur de la section en traction et en compression ; il caractérise à la fois les propriétés physiques et mécaniques du matériau de la poutre et les dimensions géométriques de la section de cette poutre.

La formule ci-dessus peut être lue comme suit : l'allongement ou le raccourcissement absolu d'une poutre est directement proportionnel à la force longitudinale et à la longueur de la poutre, et inversement proportionnel à la rigidité de la section de la poutre.
Expression E A / l appelé rigidité de la poutre en traction et en compression .

Les formules ci-dessus de la loi de Hooke ne sont valables que pour les barres et leurs sections ayant une section constante, faites du même matériau et avec une force constante. Pour une poutre qui a plusieurs sections qui diffèrent par le matériau, les dimensions de la section transversale, la force longitudinale, la variation de la longueur de la poutre entière est déterminée comme la somme algébrique des extensions ou raccourcissements des sections individuelles :

Δl = Σ (Δl i)

Déformation

Déformation(Anglais) déformation) est une modification de la forme et de la taille d'un corps (ou d'une partie d'un corps) sous l'influence de forces extérieures, avec des changements de température, d'humidité, des transformations de phase et d'autres influences qui provoquent une modification de la position des particules du corps. Avec l'augmentation du stress, la déformation peut se terminer par la destruction. La capacité des matériaux à résister à la déformation et à la destruction sous l'influence de divers types de charges est caractérisée par les propriétés mécaniques de ces matériaux.

A l'apparition de l'un ou de l'autre type de déformation la nature des contraintes appliquées au corps a une grande influence. Seul processus de déformation sont associés à l'action prédominante de la composante tangentielle de la contrainte, d'autres - à l'action de sa composante normale.

Types de déformation

Par la nature de la charge appliquée au corps types de déformation subdivisé comme suit :

• Déformation en traction ;
• déformation de compression ;
• Déformation par cisaillement (ou cisaillement);
• Déformation en torsion ;
• Déformation en flexion.

À les types de déformation les plus simples comprennent : la déformation en traction, la déformation en compression, la déformation en cisaillement. On distingue également les types de déformation suivants : déformation de compression générale, torsion, flexion, qui sont diverses combinaisons des types de déformation les plus simples (cisaillement, compression, traction), puisque la force appliquée au corps soumis à la déformation est généralement non perpendiculaire à sa surface, mais dirigée selon un angle , ce qui provoque à la fois des contraintes normales et de cisaillement. En étudiant les types de déformation engagés dans des sciences telles que la physique du solide, la science des matériaux, la cristallographie.

Dans les solides, en particulier les métaux, ils émettent deux principaux types de déformations- déformation élastique et plastique dont la nature physique est différente.

Un cisaillement est un type de déformation lorsque seules des forces de cisaillement se produisent dans les sections transversales.. Un tel état de contrainte correspond à l'action sur la tige de deux forces transversales égales de sens opposé et infiniment proches (Fig. 2.13, un B) provoquant un cisaillement le long d'un plan situé entre les efforts.

Riz. 2.13. Déformation et contrainte de cisaillement

La coupe est précédée d'une déformation - la distorsion de l'angle droit entre deux lignes mutuellement perpendiculaires. En même temps, sur les faces de l'élément sélectionné (Fig. 2.13, dans) des contraintes de cisaillement apparaissent. La quantité de décalage des faces est appelée décalage absolu. La valeur du décalage absolu dépend de la distance h entre les plans de force F. La déformation de cisaillement est plus complètement caractérisée par l'angle par lequel les angles droits de l'élément changent - décalage relatif :

. (2.27)

En utilisant la méthode de section considérée précédemment, il est facile de vérifier que seuls les efforts de cisaillement surviennent sur les faces latérales de l'élément sélectionné Q=F, qui sont les contraintes de cisaillement résultantes :

En tenant compte du fait que les contraintes de cisaillement sont réparties uniformément sur la section transversale MAIS, leur valeur est déterminée par le rapport :

. (2.29)

Il a été établi expérimentalement que dans les limites des déformations élastiques, l'amplitude des contraintes de cisaillement est proportionnelle au cisaillement relatif (loi de Hooke en cisaillement) :

où g est le module d'élasticité en cisaillement (module d'élasticité de seconde espèce).

Il existe une relation entre les modules d'élasticité longitudinale et de cisaillement

,

où est le coefficient de Poisson.

Valeurs approximatives du module d'élasticité en cisaillement, MPa : acier - 0,8·10 5 ; fonte - 0,45 10 5; cuivre - 0,4 10 4; aluminium - 0,26 10 5 ; caoutchouc - 4.

2.4.1.1. Calculs de résistance au cisaillement

Le cisaillement pur dans les structures réelles est extrêmement difficile à mettre en œuvre, car en raison de la déformation des éléments connectés, une flexion supplémentaire de la tige se produit, même avec une distance relativement faible entre les plans d'action des forces. Cependant, dans un certain nombre de conceptions, les contraintes normales dans les sections transversales sont faibles et peuvent être négligées. Dans ce cas, la condition de fiabilité de la résistance de la pièce a la forme :

, (2.31)

où - contrainte de cisaillement admissible, qui est généralement attribuée en fonction de l'amplitude de la contrainte de traction admissible :

– pour les matières plastiques sous charge statique =(0,5…0,6) ;

- pour les plus fragiles - \u003d (0,7 ... 1,0) .

2.4.1.2. Calculs de rigidité au cisaillement

Ils se réduisent à limiter les déformations élastiques. En résolvant ensemble l'expression (2.27)–(2.30), l'amplitude du décalage absolu est déterminée :

, (2.32)

où est la rigidité de cisaillement.

Torsion

2.4.2.1. Tracer les couples

2.4.2.2. Déformations de torsion

2.4.2.4. Caractéristiques géométriques des sections

2.4.2.5. Calculs de résistance à la torsion et de rigidité

La torsion est un type de déformation lorsqu'un seul facteur de force apparaît dans les sections transversales - le couple.

La déformation en torsion se produit lorsque la poutre est chargée par des paires de forces dont les plans d'action sont perpendiculaires à son axe longitudinal.

2.4.2.1. Tracer les couples

Pour déterminer les contraintes et les déformations de la poutre, un diagramme de couple est construit montrant la répartition des couples sur la longueur de la poutre. En appliquant la méthode des sections et en considérant toute partie en équilibre, il devient évident que le moment des forces élastiques internes (couple) doit équilibrer l'action des moments externes (rotatifs) sur la partie considérée de la poutre. Il est d'usage de considérer le moment positif si l'observateur regarde la section considérée du côté de la normale extérieure et voit le moment de torsion J dirigé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans la direction opposée, le moment est affecté d'un signe moins.

Par exemple, la condition d'équilibre pour le côté gauche de la poutre a la forme (Fig. 2.14) :

- dans la section A-A :

- dans la section BB:

.

Les limites des sections dans la construction du diagramme sont les plans d'action des couples.

Riz. 2.14. Schéma de calcul d'une barre (arbre) en torsion

2.4.2.2. Déformations de torsion

Si une grille est appliquée sur la surface latérale d'une tige de section circulaire (Fig. 2.15, un) à partir de cercles et de génératrices équidistants, et appliquez des paires de forces avec des moments aux extrémités libres J dans des plans perpendiculaires à l'axe de la tige, puis avec une petite déformation (Fig. 2.15, b) peut être trouvé:

Riz. 2.15. Diagramme de déformation en torsion

· les génératrices du cylindre se transforment en lignes hélicoïdales à grand pas ;

· les carrés formés par la grille se transforment en losanges, c'est-à-dire il y a un décalage des sections transversales ;

les sections, rondes et plates avant déformation, conservent leur forme après déformation ;

La distance entre les sections transversales reste pratiquement inchangée ;

· il y a une rotation d'une section par rapport à une autre d'un certain angle.

Sur la base de ces observations, la théorie de la torsion des barres repose sur les hypothèses suivantes :

· les sections de la poutre, planes et normales à son axe avant déformation, restent planes et normales à l'axe après déformation ;

Les sections transversales équidistantes tournent les unes par rapport aux autres à des angles égaux ;

· les rayons des sections transversales ne fléchissent pas lors de la déformation ;

Seules les contraintes tangentielles se produisent dans les sections transversales. Les contraintes normales sont faibles. La longueur de la poutre peut être considérée comme inchangée ;

· le matériau de la barre en déformation obéit à la loi de Hooke en cisaillement : .

Conformément à ces hypothèses, la torsion d'une tige à section circulaire est représentée comme le résultat des déplacements provoqués par la rotation mutuelle des sections.

Sur une tige de section circulaire de rayon r, scellé à une extrémité et chargé de couple Jà l'autre extrémité (Fig. 2.16, un), désignent sur la surface latérale la génératrice UN D, qui sous l'action du moment prendra la position AD 1. A distance Zà partir de la terminaison, sélectionnez un élément de longueur dZ. À la suite de la torsion, l'extrémité gauche de cet élément tournera d'un angle , et l'extrémité droite d'un angle (). Formatif Soleil l'élément prendra position B 1 De 1, s'écartant de la position initiale d'un angle . En raison de la petitesse de cet angle

Le rapport représente l'angle de torsion par unité de longueur de la tige et est appelé angle de torsion relatif. Alors

Riz. 2.16. Schéma de conception pour la détermination des contraintes
lors de la torsion d'une tige de section circulaire

Compte tenu de (2.33), la loi de Hooke en torsion peut être décrite par l'expression :

. (2.34)

En vertu de l'hypothèse que les rayons des sections droites circulaires ne sont pas courbes, les contraintes de cisaillement au voisinage de tout point du corps situé à distance du centre (Fig. 2.16, b) sont égaux au produit

ceux. proportionnelle à sa distance à l'axe.

La valeur de l'angle de torsion relatif selon la formule (2.35) peut être trouvée à partir de la condition que la force circonférentielle élémentaire () sur une zone élémentaire de taille dA, situé à distance de l'axe de la poutre, crée un moment élémentaire par rapport à l'axe (Fig. 2.16, b):

La somme des moments élémentaires agissant sur toute la section transversale MAIS, est égal au couple M Z. Étant donné que:

.

L'intégrale est une caractéristique purement géométrique et s'appelle moment d'inertie polaire de la section.