Lors de l'étude de la stéréométrie de l'un des sujets principaux, le "cylindre" devient. La surface latérale est considérée comme une chose principale, puis une formule importante pour résoudre les tâches géométriques. Cependant, il est important de se rappeler et des définitions qui aideront à naviguer dans les exemples et à la preuve de divers théorèmes.

Concept de cylindre

Vous devez d'abord envisager plusieurs définitions. Seulement après leur étude, vous pouvez prendre en compte la formule de la zone de la surface latérale du cylindre. Sur la base de cet enregistrement, d'autres expressions peuvent être calculées.

• Sous la surface cylindrique, le plan décrit par la formage, le déplacement et le reste parallèlement à la direction spécifiée, glissant selon la courbe existante.
• Il y a une deuxième définition: une surface cylindrique formant une pluralité de lignes droites parallèles traversant la courbe spécifiée.
• La formation est appelée conditionnellement la hauteur du cylindre. Lorsqu'il se déplace autour de l'axe traversant le centre de la base, le corps géométrique désigné est obtenu.
• Sous l'axe, ils signifient le droit, passant à travers les deux bases de la figure.
• Le cylindre est un corps stéréométrique délimité par une surface latérale intersectée et 2 plans parallèles.

Il y a des variétés de ce chiffre en vrac:

1. Sous la circulaire implique un cylindre qui guide qui est un cercle. Ses principaux composants sont le rayon de la fondation et la formation. Ce dernier est égal à la hauteur de la figure.
2. Il y a un cylindre direct. Il a reçu son nom en raison de la perpendicularité de la forme formant aux bases.
3. Troisième vue - cylindre biseauté. Dans les manuels scolaires, vous pouvez rencontrer un autre nom "cylindre circulaire avec une base biseautée". Ce chiffre détermine le rayon de la base, la hauteur minimale et maximale.
4. Sous le cylindre équilatéral, comprenez le corps ayant une hauteur égale et un diamètre du plan rond.

Légende

Traditionnellement, les principaux "composants" du cylindre sont habituels comme suit:

• Le rayon de la base est R (il remplace également la valeur similaire de la figure stéréomètre).
• Formant - L.
• Hauteur - H.
• La zone de base est OSN (sinon il est nécessaire de trouver le paramètre spécifié du cercle).
• Hauteur du cylindre biseauté - H 1, H 2 (minimum et maximum).
• La surface latérale est la SO (s'il est déployé, il s'agira d'une sorte de rectangle).
• Le volume de la figure stéréométrique - V.
• Surface - S.

Figure stéréométrique "composants"

Lorsque le cylindre est étudié, la surface latérale joue un rôle important. Cela est dû au fait que cette formule fait partie de plusieurs autres, plus complexes. Par conséquent, il est nécessaire d'être bien évité en théorie.

Les principaux composants des figures sont les suivants:

1. Surface latérale. Comme on le sait, il est obtenu en raison du mouvement de la courbe de formage.
2. La surface complète comprend les bases disponibles et le plan latéral.
3. La section transversale de cylindre, en règle générale, effectue un rectangle situé parallèlement à l'axe de forme. Sinon, il s'appelle un avion. Il s'avère, la longueur et la largeur de temps partiel sont des composants d'autres chiffres. Donc, conditionnellement, les longueurs de la section se forment. Largeur - Corps parallèle forme stéréométrique.
4. Sous la section transversale axiale implique l'emplacement du plan à travers le centre du corps.
5. Enfin, la définition finale. La tangente s'appelle le plan traversant le cylindre formant et à l'angle droit de la section transversale axiale. Dans ce cas, une condition doit être complétée. Le formage spécifié doit être inclus dans le plan de la section transversale axiale.

Formules de base pour travailler avec un cylindre

Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la surface de la cylindre, il est nécessaire d'étudier les principaux "composants" de la figure stéréomètre et de leurs formules.

Ces formules se distinguent par le fait qu'ils donnent d'abord des expressions pour le cylindre biseauté, puis pour le direct.

Exemples avec solution démontrée

Il est nécessaire de connaître la zone de la surface latérale du cylindre. La section Dana diagonale AC \u003d 8 cm (et elle est axiale). En contact avec le formage, il s'avère< ACD = 30°

Décision. Étant donné que les valeurs de la diagonale et de l'angle sont connues, alors dans ce cas:

• CD \u003d AC * COS 30 °.

Commenter. Triangle acd, dans exemple spécifiquerectangulaire. Cela signifie que le privé de diviser CD et AC \u003d cosinus de l'angle existant. Valeur fonctions trigonométriques Peut être trouvé dans une table spéciale.

De même, vous pouvez trouver la valeur de l'annonce:

• Ad \u003d ac * sin 30 °

Maintenant, il est nécessaire de calculer en fonction de la formulation suivante le résultat souhaité: la surface latérale du cylindre est égale à un double rapport multiplication "PI", le rayon de la forme et sa hauteur. Une autre formule doit être utilisée: une zone de base de cylindre. Il est égal au rapport "PI" sur le carré du rayon. Enfin, la dernière formule: superficie totale Surfaces. Il est égal à la somme des deux carrés précédents.

Dana cylindres. Leur volume \u003d 128 * N cm³. Quels cylindres sont la plus petite surface complète?

Décision. Vous devez d'abord utiliser les formules pour trouver le volume de la figure et de sa hauteur.

Étant donné que la surface de la surface totale du cylindre est connue de la théorie, il est nécessaire de l'appliquer à sa formule.

Si nous considérons la formule résultante comme fonction de la zone de cylindre, le «indicateur» minimum sera atteint à la pointe de l'extrême. Pour obtenir la dernière valeur, il est nécessaire d'utiliser la différenciation.

Les formules peuvent être visualisées dans une table spéciale pour trouver des dérivés. À l'avenir, le résultat trouvé est égal à zéro et la solution de l'équation est égale à zéro.

Réponse: S Min sera atteint à H \u003d 1/32 cm, R \u003d 64 cm.

Une figure stéréométrique est donnée - un cylindre et une section transversale. Ce dernier a été effectué de manière à ce qu'il soit parallèle à l'axe du corps stéréomètre. Le cylindre a les paramètres suivants: VK \u003d 17 cm, H \u003d 15 cm, R \u003d 5 cm. Il est nécessaire de trouver la distance entre la section transversale et l'axe.

Depuis que, sous la section transversale du cylindre, est compris comme spum, c'est-à-dire le rectangle, puis son côté de VM \u003d H. Il est nécessaire de considérer les TIC. Le triangle est rectangulaire. Sur la base de cette approbation, il est possible de dériver la bonne hypothèse que MK \u003d Sun.

Vk² \u003d vm² + mk²

Mk² \u003d vk² - vm²

Mk² \u003d 17² - 15²

De là, nous pouvons conclure que mk \u003d soleil \u003d 8 cm.

L'étape suivante consiste à effectuer la section transversale à travers la base de la forme. Il est nécessaire de considérer le plan résultant.

AD - le diamètre de la figure stéréométrique. Il est parallèle à la section mentionnée dans la condition du problème.

La BC est une ligne droite située dans le plan du rectangle disponible.

ABCD - un trapèze. Dans un boîtier en béton, il est considéré comme une isolée, car un cercle est décrit autour de lui.

Si vous trouvez la hauteur du trapèze reçu, vous pouvez obtenir une réponse définie au début de la tâche. Nommément: trouver la distance entre l'axe et la section transversale.

Pour ce faire, il est nécessaire de trouver les valeurs de l'annonce et du système d'exploitation.

Réponse: La section est située à 3 cm de l'axe.

Tâches de fixation du matériau

Dan cylindre. Le côté de la surface latérale est utilisé dans la décision suivante. D'autres paramètres sont connus. La zone de la base est Q, la zone de la section transversale axiale - M. Il est nécessaire de trouver S. En d'autres termes, la surface totale du cylindre.

Dan cylindre. La surface latérale doit être trouvée dans l'une des étapes pour résoudre le problème. Il est connu que la hauteur \u003d 4 cm, le rayon \u003d 2 cm. Il est nécessaire de trouver la surface complète de la figure stéréomètre.

Il existe un grand nombre de tâches associées au cylindre. Ils doivent trouver le rayon et la hauteur du corps ou de la vue de sa section transversale. De plus, il est parfois nécessaire de calculer la zone du cylindre et son volume.

Quel corps est le cylindre?

je connais programme scolaire Il est étudié circulaire, c'est-à-dire en étant un à la base, cylindre. Mais les espèces elliptiques de cette figure distinguent également. Il ressort clairement du nom qu'il y aura une ellipse ou une base ovale.

Les bases au cylindre deux. Ils sont égaux les uns aux autres et sont reliés par des segments combinant les points correspondants de la base. Ils sont appelés cylindre formant. Tous former parallèlement à l'autre sont égaux. C'est eux qui composent la surface latérale du corps.

DANS général Le cylindre est un corps en pente. Si les générateurs constituent un angle droit avec des bases, ils parlent déjà d'une silhouette droite.

Fait intéressant, un cylindre circulaire est un corps de rotation. Il s'avère de tourner le rectangle autour d'un de ses côtés.

Les éléments principaux du cylindre

Les principaux éléments du cylindre ressemblent comme suit.

1. Hauteur. C'est la distance la plus courte entre les bases du cylindre. S'il est direct, la hauteur coïncide avec le formage.
2. Rayon. Coïncide avec celui qui peut être effectué à la base.
3. Axe. Ceci est une ligne droite contenant les centres des deux bases. L'axe est toujours parallèle à tous les formations. Dans le cylindre littéral, il est perpendiculaire aux terrains.
4. Section transversale axiale. Il est formé lorsque le cylindre est intersecté par le plan contenant l'axe.
5. Avion tangent. Il passe à travers l'un des formations et perpendiculaires à la section transversale axiale, qui est effectuée à travers cette formulation.

Comment est un cylindre avec lui inscrit ou décrit près de lui prisme?

Il existe parfois des tâches dans lesquelles il est nécessaire de calculer la zone du cylindre, et certains éléments associés à celui-ci sont connus. Comment ces chiffres se rapportent-ils?

Si le prisme est inscrit dans le cylindre, ses bases sont des polygones égaux. De plus, ils sont inscrits dans les bases appropriées du cylindre. Le prisme de la côte coïncide avec la formation.

Les prismes décrits dans les motifs sont les bons polygones. Ils sont décrits près des cercles du cylindre, qui sont ses terrains. Les avions contenant le bord des prismes concernent le cylindre en formant.

Sur le côté de la surface latérale et la base du cylindre circulaire direct

Si vous faites un balayage de surface secondaire, le rectangle sera. Ses parties coïncideront avec la formation et la longue circonférence de la base. Par conséquent, la zone latérale du cylindre sera égale au produit de ces deux valeurs. Si vous écrivez la formule, vous le suivez:

S Stact \u003d l * n,

où est formé, l est la longueur du cercle.

De plus, le dernier paramètre est calculé par la formule:

l \u003d 2. π * r,

ici r est un rayon de cercle, π - le nombre "PI", égal à 3.14.

Étant donné que la base est un cercle, sa zone est calculée à l'aide d'une telle expression:

S osn \u003d π * r 2.

Sur la zone de toute la surface du cylindre circulaire direct

Comme il est formé de deux bases et de surface latérale, vous devez ajouter ces trois valeurs. C'est-à-dire que la superficie totale du cylindre sera calculée par la formule:

S plancher \u003d 2 π * r * h + 2 π * r 2.

Souvent, il est écrit sous une autre forme:

S plancher \u003d 2 π * r (h + r).

Sur les zones du cylindre circulaire incliné

En ce qui concerne les fondations, il y a toutes les formules là-bas, car elles sont toujours des cercles. Mais la surface latérale ne donne pas de rectangle.

Pour calculer la surface latérale du cylindre incliné, il sera nécessaire de multiplier les valeurs du formage et du périmètre de la section transversale, qui sera perpendiculaire à la formage sélectionnée.

La formule ressemble à ceci:

S Stact \u003d x * p,

où X est la longueur de la formation de cylindre, p est le périmètre de la section.

La section transversale, au fait, il est préférable de choisir de telle sorte qu'il formait une ellipse. Ensuite, les calculs de son périmètre seront simplifiés. La longueur de l'ellipse est calculée par la formule qui donne une réponse approximative. Mais c'est assez souvent pour les tâches du parcours de l'école:

l \u003d π * (A + C),

où "A" et "B" - Les semi-axes de l'ellipse, c'est-à-dire la distance du centre au plus proche et le plus long de ses points.

La zone de toute la surface doit être calculée à l'aide d'une telle expression:

S plancher \u003d 2 π * R 2 + x * R.

Quelles sont les sections d'un cylindre circulaire direct?

Lorsque la section transversale traverse l'axe, sa zone est définie comme un produit du formage et du diamètre de la base. Cela s'explique par le fait qu'il a une forme d'un rectangle, dont les parties coïncident avec les éléments désignés.

Pour trouver la zone de la section transversale de cylindre, qui est parallèle axial, aura également besoin d'une formule pour un rectangle. Dans cette situation, un côté continuera à coïncider avec une hauteur et l'autre est égal à la fondation. Ce dernier coïncide avec la section transversale du sol.

Lorsque la section transversale est perpendiculaire à l'axe, il a un cercle. De plus, sa zone est la même que à la base de la figure.

Peut-être une autre intersection à un angle à l'axe. Ensuite, la section transversale éteigne une ovale ou une partie de celui-ci.

Exemples de tâches

Numéro de tâche 1. Un cylindre direct est donné, dont la surface de base est de 12,56 cm 2. Il est nécessaire de calculer la surface totale du cylindre, si sa hauteur est de 3 cm.

Décision. Il est nécessaire de tirer parti de la formule de la surface complète du cylindre droit circulaire. Mais il manque de données, à savoir le rayon de base. Mais la zone du cercle est connue. Il est facile de calculer le rayon.

Il s'avère être égal à la racine carrée du privé, qui est obtenu à partir de la division de la zone de base sur PI. Après la division de 12.56 sur 3,14 feuilles 4. Racine carrée De 4 - Ceci est 2. Par conséquent, le rayon aura exactement la valeur.

Réponse: S GENRE \u003d 50,24 cm 2.

Numéro de tâche 2. Le cylindre avec un rayon de 5 cm est supprimé par le plan parallèle à l'axe. La distance entre la section à l'axe est de 3 cm. La hauteur du cylindre est de 4 cm. Il est nécessaire de trouver la zone en coupe transversale.

Décision. La forme de la section est rectangulaire. Un de ses côtés coïncide avec la hauteur du cylindre et l'autre est corde. Si la première valeur est connue, le second doit être trouvé.

Pour ce faire, faites une construction supplémentaire. Basé sur deux segments. Les deux commenceront au centre de la circonférence. Le premier se termine au centre de l'accord et à une distance bien connue de l'axe. La seconde est à la fin de la corde.

Il allume un triangle rectangulaire. Il est connu pour l'hypoténuse et l'un des cathètes. L'hypoténuse coïncide avec le rayon. La deuxième catat est égale à la moitié de la corde. Catt inconnu, multiplié par 2, donnera la longueur de la corde souhaitée. Calculer sa valeur.

Afin de trouver un CATT inconnu, il sera nécessaire de créer une hypoténuse dans un CATT carré et connu, déduire de la première seconde et retirer la racine carrée. Les carrés sont 25 et 9. Leur différence est 16. Après avoir retiré la racine carrée reste 4. Ceci est le CATT souhaité.

Le corde sera 4 * 2 \u003d 8 (cm). Maintenant, vous pouvez calculer la zone de section transversale: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Réponse: S SC est 32 cm 2.

Tâche numéro 3. Il est nécessaire de calculer la zone de la section transversale axiale du cylindre. On sait qu'un cube avec un bord de 10 cm est entré.

Décision. La section transversale axiale du cylindre coïncide avec le rectangle, qui traverse les quatre sommets du cube et contient la diagonale de ses bases. Le côté cube formant un cylindre et la diagonale de base coïncide avec le diamètre. Le produit de ces deux magnitudes donnera au carré à trouver dans la tâche.

Pour rechercher un diamètre, il tirera parti des connaissances qu'à la base du cube est un carré, et sa diagonale forme un triangle rectangulaire équilatéral. Son hypoténuse est la diagonale souhaitée de la figure.

Pour son calcul, la formule du théorème de Pythagore sera requise. Vous devez construire un côté cuba sur la place, la multiplier à 2 et retirer la racine carrée. Dix secondes degré est cent. Multiplicateur de 2 - deux cents. La racine carrée sur 200 est 10√2.

La section transversale est à nouveau un rectangle avec les parties 10 et 10√2. Sa zone est facile à compter, en déplaçant ces valeurs.

Répondre. S sech \u003d 100√2 cm 2.

La surface de la surface latérale du cylindre est égale à la zone du rectangle, dont la base est de 2π ret la hauteur est égale à la hauteur du cylindre h., c'est-à-dire 2π rh..

La surface totale du cylindre sera: 2π r 2 + 2π. rh. \u003d 2π. r(r+ h.).

Pour le côté de la surface latérale du cylindre est accepté scanner carré Sa surface latérale.

Par conséquent, la surface de la surface latérale du cylindre circulaire direct est égale à la zone du rectangle correspondant (Fig.) Et est calculé par la formule

S b.ts. \u003d 2πrh, (1)

Si dans la zone de la surface latérale du cylindre, ajoutez la superficie de ses deux bases, puis nous obtenons la surface de la surface complète du cylindre.

S complet. \u003d 2πrh + 2πR 2 \u003d 2πR (h + r).

Volume de cylindre direct

lorsque Q est la zone de base et H est la hauteur du cylindre.

Étant donné que la zone de base du cylindre est Q, alors il existe des séquences des polygones décrits et inscrits avec des carrés q n. et q ' n. tel que

\\ (\\ lim_ (n \\ restard \\fty) \\) q n. \u003d \\ (\\ Lim_ (n \\ restard \\fty) \\) q ' n. \u003d Q.

Nous construisons la séquence de prismes, dont les bases sont les polygones décrites ci-dessus et inscrites décrites ci-dessus et les nervures latérales sont parallèles à la formation de ce cylindre et ont une longueur de H. Ces prismes sont décrits et inscrits pour ce cylindre. Leurs volumes sont par formules

V. n. \u003d Q. n. H et v ' n. \u003d Q ' n. H.

D'où,

V \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ restard \\ft) \\) q n. H \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ restard \\ft) \\) q ' n. H \u003d qh.

Corollaire.
Le volume du cylindre circulaire direct est calculé par la formule

V \u003d π r 2 h

où R est le rayon de la base et H est la hauteur du cylindre.

Puisque la base du cylindre circulaire est un cercle de rayon r, alors q \u003d π r 2, et donc

Les corps de rotation étudiés à l'école sont un cylindre, un cône et une balle.

Si dans la tâche de l'examen en mathématiques, vous devez calculer le volume du cône ou de la zone de la sphère - considérez ce qui est chanceux.

Utilisez le volume de formules et la surface du cylindre, du cône et de la balle. Tous sont dans notre table. Enseigner par cœur. Par conséquent, la connaissance de la stéréométrie commence.

Parfois, il n'est pas mauvais de dessiner une vue de dessus. Ou, comme dans cette tâche, - du bas.

2. Combien de fois le volume du cône décrit près de la pyramide quadrangulaire correcte, plus que le volume du cône, inscrit dans cette pyramide?

Tout est simple - dessinez une vue d'en bas. Nous voyons que le rayon grand cercle plus que plus que le rayon plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Par conséquent, le volume du cône plus élevé sera plus d'une fois.

Une autre moment important. Rappelez-vous que dans les tâches de la pièce dans options Esmer En mathématiques, la réponse est écrite sous la forme d'un entier ou d'un ultime fractions décimales. Par conséquent, non ou dans votre réponse en partie ne devrait pas être. Il n'est pas nécessaire de substituer la valeur approximative du nombre! Il doit être réduit!. À cette fin, dans certaines tâches, la tâche est formulée, par exemple, comme suit: "Trouver la surface latérale du cylindre divisée par".

Mais où sont les formules de volume et la surface des corps de rotation? Bien sûr, dans la tâche C2 (16). Nous allons également raconter à son sujet.

Le cylindre (dérivé de la langue grecque, des mots "patinoire", "rouleau") est un corps géométrique, qui est limité à l'extérieur de la surface appelée cylindrique et deux plans. Ces avions traversent la surface de la figure et sont parallèles les uns aux autres.

La surface cylindrique est une surface obtenue par une ligne droite dans l'espace. Ces mouvements sont tels que le point sélectionné de cette ligne droite facilite le mouvement le long de la courbe de type plat. Une telle ligne droite s'appelle une formulation et la ligne de courbe est un guide.

Le cylindre consiste en une paire de bases et du côté surface cylindrique. Les cylindres sont plusieurs espèces:

1. Circulaire, cylindre direct. Dans une telle base de cylindre et guide perpendiculairement à la formation de ligne, et il y a

2. Cylindre incliné. Il a un angle entre la ligne de formage et la base n'est pas direct.

3. cylindre de forme différente. Hyperbolique, elliptique, parabolique et autres.

La zone du cylindre, ainsi que la zone de la surface complète de tout cylindre, est située à l'aide de l'ajout des zones des bases de cette figure et de la surface latérale.

La formule pour laquelle la surface totale du cylindre est calculée pour le cylindre circulaire et direct:

SP \u003d 2P RH + 2P R2 \u003d 2P R (H + R).

La surface latérale recherche un peu plus compliquée que toute la zone du cylindre, elle est calculée en multipliant la longueur de la ligne génératrice au périmètre de la section transversale formée par le plan, qui est perpendiculaire à la ligne formant.

Ce cylindre pour un cylindre direct circulaire est reconnu sur le balayage de cet objet.

Le balayage est un rectangle qui a la hauteur H et la longueur P, assimilée au périmètre de la base.

D'ici il s'ensuit que la zone latérale du cylindre est Égal carré Numérisez et peut être calculé en fonction de cette formule:

Si vous prenez un cylindre circulaire, direct, puis pour lui:

P \u003d 2p r et sb \u003d 2p rh.

Si le cylindre est incliné, la surface latérale doit être égale à la longueur de sa ligne génératrice et de son périmètre de la section transversale, qui est perpendiculaire à cette ligne formant.

Malheureusement, il n'y a pas de formule simple pour exprimer la surface latérale du cylindre incliné à travers sa hauteur et les paramètres de sa base.

Pour calculer le cylindre, vous devez connaître plusieurs faits. Si la section transversale est franchie par son plan, cette section est toujours un rectangle. Mais ces rectangles seront différents, selon la section transversale. L'un des côtés de la section transversale axiale de la figure, qui perpendiculaire aux bases est égal à la hauteur et l'autre est le diamètre de la base du cylindre. Et la zone d'une telle section, respectivement, est égalisée par le produit d'un côté du rectangle à un autre, perpendiculaire à la première, ou la hauteur de cette figure au diamètre de sa base.

Si la section est perpendiculaire aux bases de la figure, mais ne passera pas à travers l'axe de rotation, la zone de cette section sera égale au produit de la hauteur de ce cylindre et d'une certaine corde. Pour obtenir un accord, vous devez construire un cercle à la base du cylindre, effectuer le rayon et reporter la distance sur laquelle se trouve la section transversale. Et à partir de ce point, vous devez effectuer une perpendiculaire au rayon de l'intersection avec le cercle. Les points d'intersection sont connectés au centre. Et la base du triangle est la souhaitée par laquelle elle ressemble à ceci: "La somme des carrés de deux cathètes est égale à l'hypoténuse, érigée dans un carré":

C2 \u003d A2 + B2.

Si la section transversale n'affecte pas la base du cylindre, le cylindre lui-même est une ligne circulaire et droite, la zone de cette section est située comme une zone surround.

La zone de la circonférence est:

Seck. \u003d 2p R2.

Pour trouver r, il faut sa longueur C divisé par 2p:

R \u003d c \\ 2p, où n est le numéro PI, la constante mathématique calculée pour fonctionner avec la circonférence du cercle et égale à 3.14.