توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

پیشروی حسابی مجموعه ای از اعداد است که در آن هر عدد به همان مقدار از عدد قبلی بزرگتر (یا کمتر) است.

این موضوع اغلب پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. شاخص های حروف ترم نهمپیشرفت ها، تفاوت های پیشرفت - همه اینها به نوعی گیج کننده است، بله... بیایید معنی پیشرفت حسابی را بفهمیم و همه چیز فوراً بهتر می شود.)

مفهوم پیشرفت حسابی.

پیشروی حسابی مفهومی بسیار ساده و واضح است. آیا شما شک دارید؟ بیهوده.) خودتان ببینید.

من یک سری اعداد ناتمام می نویسم:

1, 2, 3, 4, 5, ...

میشه این سریال رو تمدید کنید چه اعدادی بعد از پنج می آیند؟ همه... اوه... خلاصه همه متوجه خواهند شد که اعداد 6، 7، 8، 9 و غیره می آیند.

بیایید کار را پیچیده کنیم. من یک سری اعداد ناتمام به شما می دهم:

2, 5, 8, 11, 14, ...

شما می توانید الگو را بگیرید، سری را گسترش دهید و نام گذاری کنید هفتمشماره ردیف؟

اگر متوجه شدید که این عدد 20 است، به شما تبریک می گویم! نه تنها احساس کردی امتیاز کلیدیپیشرفت حسابی،بلکه با موفقیت از آنها در تجارت استفاده کرد! اگر متوجه نشدید، ادامه دهید.

اکنون بیایید نکات کلیدی را از احساسات به ریاضیات ترجمه کنیم.)

اولین نکته کلیدی

پیشروی حسابی با سری اعداد سروکار دارد.این در ابتدا گیج کننده است. ما به حل معادلات، رسم نمودار و همه اینها عادت کرده ایم، اما در اینجا سری را گسترش می دهیم، شماره سری را پیدا می کنیم...

خوبه. فقط پیشرفت ها اولین آشنایی با شاخه جدیدی از ریاضیات است. این بخش "سری" نام دارد و به طور خاص با مجموعه ای از اعداد و عبارات کار می کند. عادت کن.)

نکته کلیدی دوم

در یک تصاعد حسابی، هر عددی با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

در مثال اول این تفاوت یکی است. هر عددی که بگیرید، یک عدد بیشتر از عدد قبلی است. در دوم - سه. هر عددی سه عدد بیشتر از عدد قبلی است. در واقع، این لحظه است که به ما فرصت می دهد تا الگو را درک کنیم و اعداد بعدی را محاسبه کنیم.

نکته کلیدی سوم

این لحظه خیره کننده نیست، بله... اما بسیار بسیار مهم است. او اینجا است: هر یک شماره پیشرفتدر جای خود می ایستدعدد اول هست، هفتم هست، چهل و پنجم هست و غیره. اگر آنها را به صورت تصادفی مخلوط کنید، الگو ناپدید می شود. پیشروی حسابی نیز ناپدید خواهد شد. چیزی که باقی می ماند فقط یک سری اعداد است.

تمام نکته همین است.

البته در یک تاپیک جدید اصطلاحات و عناوین جدید ظاهر می شود. شما باید آنها را بشناسید. در غیر این صورت تکلیف را متوجه نخواهید شد. به عنوان مثال، شما باید چیزی مانند این تصمیم بگیرید:

اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد، شش جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بنویسید.

الهام بخش؟) نامه ها، برخی از فهرست ها ... و کار، اتفاقا، نمی تواند ساده تر باشد. شما فقط باید معنای اصطلاحات و تعاریف را درک کنید. حالا ما بر این موضوع مسلط خواهیم شد و به کار برمی گردیم.

شرایط و تعاریف.

پیشرفت حسابییک سری اعداد است که در آن هر عدد با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

این مقدار نامیده می شود . بیایید این مفهوم را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

تفاوت پیشروی حسابی

تفاوت پیشروی حسابیمقداری است که با آن هر عدد پیشرفتی است بیشترقبلی.

یکی نکته مهم. لطفا به کلمه دقت کنید "بیشتر".از نظر ریاضی، این بدان معنی است که هر عدد پیشروی است با اضافه کردنتفاوت پیشروی حسابی به عدد قبلی

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومینشماره های سری، شما نیاز دارید اولینعدد اضافه کردنهمین تفاوت یک پیشرفت حسابی. برای محاسبه پنجم- تفاوت لازم است اضافه کردنبه چهارم،خوب و غیره

تفاوت پیشروی حسابیشاید مثبت،سپس هر عدد در این سری واقعی خواهد شد بیشتر از قبلیاین پیشرفت نامیده می شود افزایش می یابد.مثلا:

8; 13; 18; 23; 28; .....

در اینجا هر عدد به دست می آید با اضافه کردنعدد مثبت 5+ نسبت به قبلی.

تفاوت ممکن است باشد منفی،سپس هر عدد در سری خواهد بود کمتر از قبلیاین پیشرفت نام دارد (باور نمی کنید!) در حال کاهش.

مثلا:

8; 3; -2; -7; -12; .....

در اینجا هر عدد نیز به دست می آید با اضافه کردنبه قبلی، اما در حال حاضر عدد منفی, -5.

به هر حال، هنگام کار با پیشرفت، بسیار مفید است که فوراً ماهیت آن را تعیین کنید - افزایش یا کاهش آن. این به تصمیم گیری، تشخیص اشتباهات و اصلاح آنها قبل از اینکه خیلی دیر شود کمک زیادی می کند.

تفاوت پیشروی حسابیمعمولا با حرف مشخص می شود د

چطوری پیدا کنم د? بسیار ساده. باید از هر عددی در سری کم کرد قبلیعدد. تفریق کردن. به هر حال، نتیجه تفریق "تفاوت" نامیده می شود.)

برای مثال تعریف کنیم دبرای افزایش پیشرفت حسابی:

2, 5, 8, 11, 14, ...

هر عددی را در سری که بخواهیم می گیریم مثلاً 11. از آن کم می کنیم شماره قبلیآن ها 8:

این جواب درست است. برای این پیشروی حسابی، تفاوت سه است.

می توانید آن را بگیرید هر عدد پیشرفت،زیرا برای یک پیشرفت خاص د-همیشه همینطورحداقل جایی در ابتدای ردیف، حداقل در وسط، حداقل هر جایی. شما نمی توانید فقط شماره اول را بگیرید. صرفاً به این دلیل که همان شماره اول است قبلی نیست)

به هر حال، دانستن آن d=3، یافتن عدد هفتم این پیشرفت بسیار ساده است. بیایید 3 را به عدد پنجم اضافه کنیم - ششمین را می گیریم، 17 می شود. بیایید سه را به عدد ششم اضافه کنیم، عدد هفتم را به دست می آوریم - بیست.

تعریف کنیم دبرای پیشرفت محاسباتی نزولی:

8; 3; -2; -7; -12; .....

به شما یادآوری می کنم که بدون توجه به علائم، برای تعیین داز هر تعداد مورد نیاز است قبلی را برداریدهر عدد پیشروی را انتخاب کنید، برای مثال -7. عدد قبلی او 2- است. سپس:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

تفاوت یک پیشروی حسابی می تواند هر عددی باشد: عدد صحیح، کسری، غیر منطقی، هر عددی.

سایر اصطلاحات و عناوین.

هر عدد در این سری نامیده می شود عضو یک پیشرفت حسابی

هر یک از اعضای پیشرفت شماره خودش را دارداعداد کاملاً مرتب هستند، بدون هیچ ترفندی. اول، دوم، سوم، چهارم و غیره به عنوان مثال، در پیشرفت 2، 5، 8، 11، 14، ... دو ترم اول است، پنج عبارت دوم، یازده چهارم است، خوب، متوجه شدید...) لطفا واضح متوجه شوید - خود اعدادمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، کل، کسری، منفی، هر چه باشد، اما شماره گذاری اعداد- کاملاً به ترتیب!

نحوه نوشتن یک پیشرفت در نمای کلی? مشکلی نیست! هر عدد در یک سری به صورت یک حرف نوشته می شود. برای نشان دادن پیشروی حسابی، معمولاً از حرف استفاده می شود آ. شماره عضو با یک نمایه در پایین سمت راست نشان داده می شود. ما عبارات را که با کاما (یا نیم ویرگول) از هم جدا شده اند، می نویسیم:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- این اولین شماره است، یک 3- سوم و غیره چیز خاصی نیست. این سریال را می توان به طور خلاصه اینگونه نوشت: (a n).

پیشرفت ها اتفاق می افتد متناهی و نامتناهی

نهاییپیشرفت دارد تعداد محدوداعضا. پنج، سی و هشت، هر چه باشد. اما یک عدد محدود است.

بي نهايتپیشرفت - همانطور که ممکن است حدس بزنید تعداد نامتناهی عضو دارد.)

شما می توانید پیشرفت نهایی را از طریق مجموعه ای مانند این، تمام اصطلاحات و یک نقطه در پایان بنویسید:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

یا اگر تعداد اعضا زیاد باشد به این صورت:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

در ورودی کوتاه باید تعداد اعضا را نیز مشخص کنید. به عنوان مثال (برای بیست عضو)، مانند زیر:

(a n)، n = 20

مانند مثال‌های این درس، یک پیشروی بی‌نهایت را می‌توان با بیضی انتهای ردیف تشخیص داد.

اکنون می توانید وظایف را حل کنید. کارها ساده هستند، صرفاً برای درک معنای یک پیشرفت حسابی.

نمونه هایی از کارهای مربوط به پیشرفت حسابی.

بیایید به کار ارائه شده در بالا با جزئیات نگاه کنیم:

1. شش جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بنویسید، اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد.

ما کار را به زبان قابل فهم ترجمه می کنیم. یک پیشروی حسابی بی نهایت داده شده است. عدد دوم این پیشرفت مشخص است: a 2 = 5.تفاوت پیشرفت مشخص است: d = -2.5.ما باید ترم های اول، سوم، چهارم، پنجم و ششم این پیشرفت را پیدا کنیم.

برای وضوح یک سری با توجه به شرایط مشکل می نویسم. شش ترم اول که ترم دوم پنج ترم است:

یک 1، 5، 3، 4، 5، 6، ....

یک 3 = یک 2 + د

جایگزین در بیان a 2 = 5و d = -2.5. منهای را فراموش نکنید!

یک 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ترم سوم معلوم شد کمتر از دو. همه چیز منطقی است. اگر عدد از عدد قبلی بیشتر باشد منفیمقدار، به این معنی که خود عدد از عدد قبلی کمتر خواهد بود. پیشرفت در حال کاهش است. خوب، بیایید آن را در نظر بگیریم.) ما چهارمین ترم سری خود را می شماریم:

یک 4 = یک 3 + د

یک 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

یک 5 = یک 4 + د

یک 5=0+(-2,5)= - 2,5

یک 6 = یک 5 + د

یک 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

بنابراین ترم های سوم تا ششم محاسبه شد. نتیجه سری زیر است:

1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

باقی مانده است که اولین ترم را پیدا کنیم یک 1توسط دوم معروف. این یک گام در جهت دیگر، به سمت چپ است.) بنابراین، تفاوت پیشروی حسابی دنباید به آن اضافه شود یک 2، آ بردن:

یک 1 = یک 2 - د

یک 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

خودشه. پاسخ تکلیف:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

گذراً می خواهم یادآوری کنم که ما این کار را حل کردیم عود کنندهمسیر. این کلمه وحشتناک فقط به معنای جستجو برای عضوی از پیشرفت است مطابق شماره قبلی ( مجاور )در زیر راه‌های دیگر کار با پیشرفت را بررسی خواهیم کرد.

از این کار ساده می توان یک نتیجه مهم گرفت.

یاد آوردن:

اگر حداقل یک جمله و تفاوت یک تصاعد حسابی را بدانیم، می توانیم هر جمله ای از این پیشروی را پیدا کنیم.

یادت میاد؟ این نتیجه گیری ساده به شما امکان می دهد بیشتر مشکلات را حل کنید دوره مدرسهدر این مورد. همه وظایف حول محور می چرخند سه اصلیمولفه های: عضو یک پیشرفت حسابی، تفاوت یک پیشرفت، تعداد یک عضو از پیشرفت.همه.

البته تمام جبرهای قبلی باطل نمی شوند.) نابرابری ها، معادلات، و چیزهای دیگر به پیشرفت پیوسته اند. ولی با توجه به خود پیشرفت- همه چیز حول سه پارامتر می چرخد.

به عنوان مثال، اجازه دهید به برخی از وظایف محبوب در این موضوع نگاه کنیم.

2. اگر n=5، d = 0.4، و a 1 = 3.6 باشد، پیشرفت محاسباتی محدود را به صورت سری بنویسید.

اینجا همه چیز ساده است. همه چیز قبلا داده شده است. شما باید به یاد داشته باشید که اعضای یک پیشروی حسابی چگونه شمارش می شوند، آنها را بشمارید و یادداشت کنید. توصیه می شود کلمات را در شرایط کار از دست ندهید: "نهایی" و " n=5". به طوری که تا زمانی که صورت کاملاً آبی نشوید حساب نکنید.) فقط 5 (پنج) عضو در این پیشرفت وجود دارد:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

یک 4 = یک 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

یک 5 = یک 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

باقی مانده است که پاسخ را بنویسیم:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

وظیفه دیگر:

3. تعیین کنید که آیا عدد 7 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود، اگر a 1 = 4.1; d = 1.2.

هوم... کی میدونه؟ چگونه چیزی را تعیین کنیم؟

چطوری ... پیشرفت رو به صورت سریال بنویس ببین اونجا هفت میشه یا نه! حساب می کنیم:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

یک 4 = یک 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که ما فقط هفت نفر هستیم سر خوردبین 6.5 تا 7.7! هفت در سری اعداد ما قرار نمی گیرد، و بنابراین، هفت عضوی از پیشرفت داده شده نخواهد بود.

پاسخ: خیر

و در اینجا یک مشکل مبتنی بر نسخه واقعی GIA وجود دارد:

4. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15; ایکس؛ 9; 6; ...

اینم سریالی که بدون پایان و شروع نوشته شده. بدون شماره اعضا، بدون تفاوت د. خوبه. برای حل مسئله کافی است که معنای یک تصاعد حسابی را بفهمیم. بیایید نگاه کنیم و ببینیم چه چیزی ممکن است دانستناز این سریال؟ سه پارامتر اصلی چیست؟

شماره اعضا؟ اینجا یک عدد وجود ندارد.

اما سه عدد وجود دارد و - توجه! - کلمه "استوار"در شرایط این بدان معنی است که اعداد کاملاً مرتب و بدون شکاف هستند. آیا در این ردیف دو نفر هستند؟ همسایهاعداد شناخته شده؟ بله دارم! اینها 9 و 6 هستند. بنابراین، ما می توانیم تفاوت پیشروی حسابی را محاسبه کنیم! از شش کم کنید قبلیشماره، یعنی نه:

چیزهای جزئی باقی مانده است. عدد قبلی برای X چه عددی خواهد بود؟ پانزده. این بدان معنی است که X را می توان به راحتی با جمع ساده پیدا کرد. اختلاف پیشروی حسابی را به 15 اضافه کنید:

همین. پاسخ: x=12

مشکلات زیر را خودمان حل می کنیم. توجه: این مشکلات بر اساس فرمول نیستند. صرفاً برای درک معنای پیشرفت حسابی.) ما فقط یک سری اعداد و حروف را یادداشت می کنیم، نگاه می کنیم و آن را کشف می کنیم.

5. اولین جمله مثبت پیشروی حسابی را بیابید اگر 5 = -3; d = 1.1.

6. مشخص است که عدد 5.5 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است، که در آن a 1 = 1.6; d = 1.3. عدد n این عضو را مشخص کنید.

7. معلوم است که در پیشروی حسابی 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 را پیدا کنید.

8. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15.6; ایکس؛ 3.4; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

9. قطار از ایستگاه شروع به حرکت کرد و به طور یکنواخت سرعت را 30 متر در دقیقه افزایش داد. سرعت قطار در پنج دقیقه چقدر خواهد بود؟ پاسخ خود را بر حسب کیلومتر در ساعت بدهید.

10. مشخص است که در پیشروی حسابی 2 = 5; a 6 = -5. 1 را پیدا کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

همه چیز درست شد؟ حیرت آور! شما می توانید در درس های زیر به پیشروی حسابی در سطوح بالاتر مسلط شوید.

همه چیز درست نشد؟ مشکلی نیست. در بخش ویژه 555 تمام این مشکلات تکه تکه شده است.) و البته یک ساده تکنیک عملی، که بلافاصله راه حل چنین وظایفی را به وضوح، واضح، در یک نگاه برجسته می کند!

به هر حال، در پازل قطار دو مشکل وجود دارد که مردم اغلب با آنها برخورد می کنند. یکی صرفاً از نظر پیشرفت است و دومی برای هر مشکلی در ریاضیات و فیزیک نیز کلی است. این ترجمه ابعاد از یکی به دیگری است. نشان می دهد که چگونه باید این مشکلات را حل کرد.

در این درس به معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی و پارامترهای اصلی آن نگاه کردیم. این برای حل تقریباً تمام مشکلات در مورد این موضوع کافی است. اضافه کردن دبه اعداد یه سری بنویس همه چی حل میشه

راه حل انگشت مانند نمونه های این درس برای قطعات بسیار کوتاه یک ردیف خوب کار می کند. اگر سری طولانی تر باشد، محاسبات پیچیده تر می شود. مثلا اگر در مسئله 9 در سوال جایگزین کنیم "پنج دقیقه"بر "سی و پنج دقیقه"مشکل به طور قابل توجهی بدتر خواهد شد.)

و همچنین وظایفی وجود دارد که در اصل ساده هستند، اما از نظر محاسبات پوچ هستند، به عنوان مثال:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

پس چی، آیا قراره 1/6 رو چند بار اضافه کنیم؟! میتونی خودتو بکشی!؟

می‌توانید.) اگر فرمول ساده‌ای را نمی‌دانید که با آن می‌توانید چنین کارهایی را در یک دقیقه حل کنید. این فرمول در درس بعدی خواهد بود. و این مشکل در آنجا حل می شود. در یک دقیقه.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

خوب، دوستان، اگر شما در حال خواندن این متن هستید، پس مدرک داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعاً (نه، مانند آن: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً می روم سر اصل مطلب.

ابتدا چند مثال. بیایید به چندین مجموعه از اعداد نگاه کنیم:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدیبه همان تعداد با قبلی تفاوت دارد.

خودت قضاوت کن اولین مجموعه به سادگی اعداد متوالی است که هر کدام یک عدد بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، کلاً ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $\sqrt(2)$ افزایش می‌یابد (و از غیرمنطقی بودن این عدد نترسید).

بنابراین: همه این دنباله ها را پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی تفاوت داشته باشد، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم اولا، فقط پیشرفت در نظر گرفته می شود سفارش داده شدهدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. اعداد را نمی توان دوباره مرتب کرد یا تعویض کرد.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این قبلاً یک پیشرفت نامحدود است. به نظر می رسد بیضی بعد از چهار نشان می دهد که تعداد کمی دیگر در راه است. برای مثال بی نهایت زیاد.

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها می تواند افزایش یا کاهش یابد. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
2. اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکراری تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $d \gt 0$ باشد، پیشرفت افزایش می یابد.
2. اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینیم، در همه سه موردتفاوت در واقع منفی شد. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

شرایط پیشرفت و فرمول عود

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))،... \درست\)\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای یک پیشروی می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، شرایط همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن ترم $n$th یک پیشروی، باید عبارت $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. این فرمول تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را فقط با دانستن شماره قبلی (و در واقع همه موارد قبلی) پیدا کنید. این بسیار ناخوشایند است، بنابراین یک فرمول حیله گر تری وجود دارد که هر گونه محاسبات را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالا قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و کتاب های حل ارائه دهند. و در هر کتاب ریاضی منطقی یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

وظیفه شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی وحدت، ما متقاعد شدیم که حتی برای اولین ترم فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

وظیفه شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن برابر با 40- و جملۀ هفدهم آن برابر با 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. بیایید شرط مشکل را با عبارات آشنا بنویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. حال توجه داشته باشیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، ​​به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین راحتی می توان تفاوت پیشرفت را پیدا کرد! تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (34-؛ 35-؛ 36-)

به ویژگی جالب پیشروی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

ساده اما خیلی دارایی مفید، که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال واضح از این موضوع وجود دارد:

وظیفه شماره 3. جمله پنجم یک پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. جمله پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما با شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، که از آن داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ایجاد سیستم معادلات و محاسبه اولین جمله و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

اکنون بیایید به نوع دیگری از مشکل نگاه کنیم - جستجوی عبارات منفی و مثبت یک پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر یک پیشرفت افزایش یابد و اولین عبارت آن منفی باشد، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال، همیشه نمی‌توان این لحظه را با مرور متوالی عناصر به صورت «سر به سر» پیدا کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای نوشته می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین ورق کاغذ را می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم به سادگی می‌خوابیم. بنابراین بیایید سعی کنیم این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

وظیفه شماره 4. چند جمله منفی در پیشروی حسابی 38.5- وجود دارد. −35.8; ...؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم که منفی بودن عبارات چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) باقی می ماند:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی هستیم (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است. .

وظیفه شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی خواهد بود، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را از طریق اول و تفاوت را با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. بیایید دریابیم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید: در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید منجر شد، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود.

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

بیایید چندین ترم متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیریم. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط شماره علامت گذاری کنیم:

من به طور خاص عبارات دلخواه را علامت گذاری کردم $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$، و نه برخی از $((a)_(1)) ،\ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قانونی که اکنون در مورد آن به شما خواهم گفت برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرارشونده را به خاطر بسپاریم و آن را برای تمام عبارات علامت گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر است با $d$. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ در همان فاصله برابر با $2d$. ما می‌توانیم تا بی نهایت ادامه دهیم، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، $((a)_(n))$ را می توان یافت:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله عالی به دست آورده‌ایم: هر جمله یک پیشروی حسابی با میانگین حسابی عبارت‌های مجاورش برابر است! علاوه بر این: می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ قدم برداریم - و فرمول همچنان درست خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مسائل به طور خاص برای استفاده از میانگین حسابی طراحی شده اند. نگاهی بیاندازید:

وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $x$ را پیدا کنید که برای آنها اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ عبارت های متوالی هستند. یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

کلاسیک شد معادله درجه دوم. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: −3; 2.

وظیفه شماره 7. مقادیر $$ را بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).

راه حل. اجازه دهید دوباره عبارت میانی را از طریق میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل با تعدادی اعداد وحشیانه مواجه شدید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا مشکل را به درستی حل کرده ایم؟

فرض کنید در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. بیایید $x=-3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را بدست آوردیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

باز هم یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل شد. کسانی که مایل هستند می توانند مشکل دوم را به تنهایی بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: آنجا هم همه چیز درست است.

به طور کلی در حین حل آخرین مشکلات به مشکل دیگری برخوردیم حقیقت جالب، که همچنین باید به خاطر داشت:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حسابی اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً بحث شد ناشی می شود.

گروه بندی و جمع بندی عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر را دارد:

بیایید سعی کنیم "دم سمت چپ" را از طریق $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را از طریق $((a)_(k))$ و $d$ بیان کنیم. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را به عنوان شروع در نظر بگیریم که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند و سپس شروع به گام برداشتن از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) کنیم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلات را به طور اساسی بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلاتی که در بالا در نظر گرفتیم. مثلاً اینها:

وظیفه شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \راست). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب کلی 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین، محصول مورد نیاز یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب بالاترین عبارت 11 است - این است عدد مثبت، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا روبرو هستیم:

برنامه تابع درجه دوم- سهمی

توجه داشته باشید: حداقل مقداراین سهمی $((d)_(0))$ را در رأس خود با آبسیسا می گیرد. البته می توانیم این آبسیسا را ​​بر اساس محاسبه کنیم طرح استاندارد(فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما بسیار منطقی تر است که توجه داشته باشیم که راس مورد نظر روی محور تقارن قرار دارد. سهمی، بنابراین نقطه $((d) _(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی فاصله دارد:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله خاصی برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی آنها، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را به خود می گیرد (به هر حال، ما هرگز $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این مورد از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشروی اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم.

پاسخ: -36

وظیفه شماره 9. بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ سه عدد درج کنید تا همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در اصل، ما باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص شده باشد. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهیم:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $y$ را از اعداد $x$ و $z$ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. بیایید میانگین حسابی را به خاطر بسپاریم:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ قرار دارد. از همین رو

با استفاده از استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

وظیفه شماره 10. بین اعداد 2 و 42 چند عدد درج کنید که به همراه این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر می دانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.

راه حل. حتی بیشتر کار دشوار، که با این حال طبق همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد باید درج شود. بنابراین، برای قطعیت فرض می کنیم که پس از درج همه چیز دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نیاز را می توان به شکل زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن شرایط باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

مشکلات کلمه با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مشکل نسبتا ساده را در نظر بگیرم. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده را نخوانده‌اند، این مشکلات ممکن است سخت به نظر برسند. با این وجود، اینها انواع مشکلاتی هستند که در OGE و آزمون دولتی واحد در ریاضیات ظاهر می شوند، بنابراین توصیه می کنم با آنها آشنا شوید.

کار شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قسمت‌های فهرست‌شده بر اساس ماه نشان‌دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده است. علاوه بر این:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه تولید خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و در هر ماه بعد 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. به همین ترتیب:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

پیشرفت های حسابی و هندسی

اطلاعات نظری

	پیشرفت حسابی	پیشرفت هندسی
تعریف	پیشرفت حسابی a nدنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی است که به همان عدد اضافه شده است د (د- تفاوت پیشرفت)	پیشرفت هندسی b nدنباله ای از اعداد غیر صفر است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد q (q- مخرج پیشرفت)
فرمول عود	برای هر طبیعی n a n + 1 = a n + d	برای هر طبیعی n b n + 1 = b n ∙ q، b n ≠ 0
فرمول نهمین ترم	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
خاصیت مشخصه
مجموع n جمله اول

نمونه هایی از وظایف با نظرات

تمرین 1

در پیشرفت حسابی ( a n) یک 1 = -6, یک 2

طبق فرمول ترم n:

یک 22 = یک 1+ d (22 - 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط:

یک 1= -6، پس یک 22= -6 + 21 روز .

لازم است تفاوت پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

پاسخ : یک 22 = -48.

وظیفه 2

جمله پنجم پیشرفت هندسی را بیابید: -3; 6; ....

روش اول (با استفاده از فرمول n ترم)

طبق فرمول nامین ترم یک پیشرفت هندسی:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

زیرا ب 1 = -3,

روش دوم (با استفاده از فرمول مکرر)

از آنجایی که مخرج پیشرفت 2- است (q = -2)، پس:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : ب 5 = -48.

وظیفه 3

در پیشرفت حسابی ( a n) a 74 = 34; یک 76= 156. جمله هفتاد و پنجم این پیشروی را بیابید.

برای یک پیشرفت حسابی، ویژگی مشخصه دارای شکل است .

از این رو:

.

بیایید داده ها را در فرمول جایگزین کنیم:

پاسخ: 95.

وظیفه 4

در پیشرفت حسابی ( a n ) a n= 3n - 4. مجموع هفده جمله اول را بیابید.

برای یافتن مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی، از دو فرمول استفاده می شود:

.

کدام یک در در این موردراحت تر برای استفاده؟

با شرط، فرمول nامین ترم پیشرفت اصلی مشخص است ( a n) a n= 3n - 4. شما می توانید بلافاصله و یک 1، و یک 16بدون پیدا کردن د. بنابراین از فرمول اول استفاده خواهیم کرد.

جواب: 368.

وظیفه 5

در پیشرفت حسابی ( a n) یک 1 = -6; یک 2= -8. عبارت بیست و دوم پیشرفت را پیدا کنید.

طبق فرمول ترم n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط، اگر یک 1= -6، پس یک 22= -6 + 21d. لازم است تفاوت پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : یک 22 = -48.

وظیفه 6

چندین عبارت متوالی از پیشرفت هندسی نوشته شده است:

عبارت پیشرفت نشان داده شده با x را پیدا کنید.

هنگام حل، از فرمول ترم n استفاده می کنیم b n = b 1 ∙ q n - 1برای پیشرفت های هندسی. ترم اول پیشرفت. برای پیدا کردن مخرج پیشروی q، باید هر یک از عبارت‌های پیشروی را بگیرید و بر مورد قبلی تقسیم کنید. در مثال ما، می‌توانیم برش بگیریم و تقسیم کنیم. ما به دست می آوریم که q = 3. به جای n، ما 3 را در فرمول جایگزین می کنیم، زیرا لازم است جمله سوم یک پیشرفت هندسی معین را پیدا کنیم.

با جایگزینی مقادیر یافت شده در فرمول، دریافت می کنیم:

.

پاسخ : .

وظیفه 7

از پیشروی های حسابی که با فرمول n ام داده می شود، موردی را که شرط برای آن برآورده شده است انتخاب کنید. یک 27 > 9:

از آنجایی که شرط داده شده باید برای ترم 27 پیشرفت برآورده شود، به جای n در هر یک از چهار پیشرفت، 27 را جایگزین می کنیم. در مرحله چهارم به دست می آوریم:

.

پاسخ: 4.

وظیفه 8

در پیشرفت حسابی یک 1= 3، d = -1.5. مشخص كردن بالاترین ارزش n که برای آن نابرابری برقرار است a n > -6.

هنگام مطالعه جبر در مدرسه راهنمایی(پایه نهم) یکی از مباحث مهم مطالعه دنباله اعداد است که شامل پیشروی - هندسی و حسابی می باشد. در این مقاله به یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با راه حل خواهیم پرداخت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است پیشروی مورد نظر را تعریف کنیم و همچنین فرمول های اساسی را ارائه کنیم که بعداً در حل مسائل مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

مشخص است که در برخی از پیشرفت های جبری جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . بیایید داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 = 6 + 6 * d. از این عبارت می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) /6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله را پاسخ دادیم.

برای بازگرداندن دنباله به جمله هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 ، a 6 = 14 + 2 = 16، a 7 = 18.

مثال شماره 3: ترسیم یک پیشرفت

بیایید مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. حال باید به این سوال پاسخ دهیم که چگونه یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم. می توان مثال زیر را ارائه داد: دو عدد داده شده است، به عنوان مثال - 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری ایجاد شود تا سه عبارت دیگر بین آنها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، باید بدانید که اعداد داده شده چه جایگاهی را در پیشرفت آینده اشغال خواهند کرد. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، پس 1 = -4 و 5 = 5. پس از ایجاد این، به مشکل می رویم، که مشابه مورد قبلی است. باز هم، برای ترم n که از فرمول استفاده می کنیم، به دست می آوریم: a 5 = a 1 + 4 * d. از: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. چیزی که در اینجا به دست آوردیم یک مقدار صحیح تفاوت نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول های پیشروی جبری یکسان باقی می مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و عبارت های از دست رفته پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 = 2.75 + 2.25 = 5، که منطبق با با شرایط مشکل

مثال شماره 4: ترم اول پیشرفت

بیایید به بیان مثال هایی از پیشروی حسابی با حل ادامه دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. حالا بیایید یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیریم: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. لازم است پیدا کنیم که این دنباله با کدام عدد شروع می شود.

فرمول های استفاده شده تا کنون دانش 1 و d را فرض می کنند. در بیانیه مشکل، چیزی در مورد این اعداد مشخص نیست. با این وجود، ما عباراتی را برای هر عبارت در مورد اطلاعات موجود می نویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله دریافت کردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

ساده ترین راه برای حل این سیستم این است که در هر معادله 1 را بیان کنید و سپس عبارات حاصل را با هم مقایسه کنید. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، ترم 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: مبلغ

حال بیایید به چندین مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی تمام اعداد را به ترتیب اضافه کرد که به محض فشار دادن کلید Enter رایانه این کار را انجام می دهد. با این حال، اگر به این نکته توجه کنید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و اختلاف آن برابر با 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل «گاوسی» نامیده می شود زیرا در اوایل XVIIIقرن، آلمانی معروف، در حالی که هنوز تنها 10 سال داشت، توانست آن را در چند ثانیه در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع یک پیشروی جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر اعداد انتهای دنباله را به صورت جفت جمع کنید، همیشه همان نتیجه را می گیرید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت از n تا m

مثال معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 برابر است با چه چیزی. .

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع کردن آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش کاملاً کار فشرده نیست. با این وجود، برای حل این مشکل با استفاده از روش دوم، که جهانی تر است، پیشنهاد می شود.

ایده این است که فرمولی برای مجموع پیشرفت جبری بین ترم‌های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر یعنی اگر تفاضل این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود) پاسخ لازم را برای مسئله به دست خواهیم آورد. داریم: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه‌حل‌های بالا مشاهده می‌شود، همه مسائل مبتنی بر آگاهی از عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموع جمله‌های اول هستند. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح آنچه را که باید پیدا کنید، درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤالی پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این مورد احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد، و مسئله کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. ما متوجه شدیم که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. اگر آن را بفهمید، آنقدرها هم سخت نیست.

مشکلات مربوط به پیشروی حسابی از قبل در دوران باستان وجود داشت. حضور پیدا کردند و خواستار راه حل شدند چون نیاز عملی داشتند.

بنابراین، در یکی از پاپیروس ها مصر باستان"، که دارای محتوای ریاضی است - پاپیروس رایند (قرن 19 قبل از میلاد) - شامل این کار است: ده پیمانه نان را بین ده نفر تقسیم کنید، مشروط بر اینکه اختلاف بین هر یک از آنها یک هشتم پیمانه باشد."

و در آثار ریاضی یونانیان باستان قضایای ظریفی وجود دارد که مربوط به پیشروی حسابی است. بنابراین، Hypsicles of Alexandria (قرن دوم، که بسیاری از مسائل جالب را گردآوری کرد و کتاب چهاردهم را به عناصر اقلیدس اضافه کرد)، این ایده را فرموله کرد: «در یک پیشروی حسابی که دارای تعداد زوج است، مجموع عبارت‌های نیمه دوم. بزرگتر از مجموع عبارات 1 در مربع 1/2 تعداد اعضا است."

دنباله با یک نشان داده می شود. اعداد یک دنباله را اعضای آن می نامند و معمولاً با حروف با شاخص هایی مشخص می شوند که شماره سریال این عضو را نشان می دهد (a1، a2، a3 ... به عنوان خوانده شده: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3nd" و غیره).

دنباله می تواند نامتناهی یا متناهی باشد.

پیشروی حسابی چیست؟ منظور ما از جمع کردن عبارت قبلی (n) با همان عدد d است که اختلاف پیشروی است.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، سپس چنین پیشرفتی در حال افزایش در نظر گرفته می شود.

یک پیشروی حسابی محدود نامیده می شود اگر فقط چند عبارت اول آن در نظر گرفته شود. با تعداد بسیار زیادی از اعضا، این در حال حاضر یک پیشرفت بی پایان است.

هر پیشروی حسابی با فرمول زیر تعریف می شود:

an =kn+b، در حالی که b و k برخی از اعداد هستند.

گزاره مخالف کاملاً درست است: اگر دنباله ای با فرمول مشابهی داده شود، دقیقاً یک پیشرفت حسابی است که دارای ویژگی های زیر است:

1. هر جمله از پیشرفت، میانگین حسابی ترم قبلی و ترم بعدی است.
2. برعکس: اگر با شروع از دوم، هر جمله میانگین حسابی جمله قبلی و بعدی باشد، یعنی. اگر شرط برآورده شود، این دنباله یک پیشرفت حسابی است. این برابری در عین حال نشانه پیشرفت است، بنابراین معمولاً به آن ویژگی مشخصه پیشرفت می گویند.
   به همین ترتیب، قضیه ای که این ویژگی را منعکس می کند صادق است: یک دنباله فقط در صورتی یک پیشرفت حسابی است که این برابری برای هر یک از عبارت های دنباله صادق باشد، که از 2 شروع می شود.

ویژگی مشخصه برای هر چهار عدد از یک پیشروی حسابی را می توان با فرمول an + am = ak + al بیان کرد، اگر n + m = k + l (m، n، k اعداد پیشروی هستند).

در یک پیشرفت حسابی، هر عبارت ضروری (N) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

به عنوان مثال: جمله اول (a1) در یک تصاعد حسابی برابر با سه است و اختلاف (d) برابر با چهار است. شما باید ترم چهل و پنجم این پیشرفت را پیدا کنید. a45 = 1+4 (45-1) = 177

فرمول an = ak + d(n - k) به شما این امکان را می دهد که nامین ترم یک پیشروی حسابی را از طریق هر یک از kth ترم های آن تعیین کنید، مشروط بر اینکه مشخص باشد.

مجموع عبارات یک تصاعد حسابی (به معنای n جمله اول یک پیشروی متناهی است) به صورت زیر محاسبه می شود:

Sn = (a1+an) n/2.

اگر عبارت اول نیز شناخته شده باشد، فرمول دیگری برای محاسبه راحت است:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

مجموع یک پیشروی حسابی که حاوی n جمله است به صورت زیر محاسبه می شود:

انتخاب فرمول برای محاسبات به شرایط مسائل و داده های اولیه بستگی دارد.

سری طبیعی هر اعدادی، مانند 1،2،3،...،n،...، ساده ترین مثال از یک پیشروی حسابی است.

علاوه بر پیشروی حسابی، یک تصاعد هندسی نیز وجود دارد که خواص و ویژگی های خاص خود را دارد.