در این مقاله، تصمیم ناقص را در نظر خواهیم گرفت معادلات مربع.

اما ابتدا ما تکرار می کنیم که معادلات مربع نامیده می شوند. معادله فرم AH 2 + BX + C \u003d 0، جایی که X متغیر است، و ضرایب A، B و با برخی از اعداد، و ≠ 0، نامیده می شود مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 صفر نیست، بنابراین ضرایب x یا عضو آزاد می تواند صفر باشد، در این مورد ما یک معادله مربع ناقص را دریافت می کنیم.

معادلات مربع ناقص سه گونه هستند:

1) اگر b \u003d 0، c ≠ 0، سپس ah 2 + c \u003d 0؛

2) اگر b ≠ 0، c \u003d 0، سپس ah 2 + bx \u003d 0؛

3) اگر b \u003d 0، c \u003d 0، سپس ah 2 \u003d 0.

• بیایید درک کنیم که چگونه حل شود معادلات فرم AH 2 + C \u003d 0.

برای حل معادله با تعویق انداختن یک عضو آزاد با بخش سمت راست معادله، ما دریافت می کنیم

aH 2 \u003d -C. از آنجا که ≠ 0، پس از آن ما هر دو قسمت از معادله را در یک، و سپس x 2 \u003d -C / a تقسیم می کنیم.

اگر -s / a\u003e 0، معادله دارای دو ریشه است

x \u003d ± √ (-c / a).

اگر -c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم نمونه هایی را که چگونه چنین معادلات را حل کنیم، کشف کنیم.

مثال 1. تصمیم بگیرید معادله 2x 2 - 32 \u003d 0.

پاسخ: x 1 \u003d - 4، x 2 \u003d 4.

مثال 2. معادله 2x 2 + 8 \u003d 0 را انتخاب کنید.

پاسخ: معادله راه حل ها هیچ.

• ما درک خواهیم کرد که چگونه حل شود معادلات فرم AH 2 + BX \u003d 0.

برای حل معادله AH 2 + BX \u003d 0، ما آن را در چندگانگی تجزیه می کنیم، یعنی، ما آن را به براکت x می آوریم، x (ah + b) \u003d 0. محصول صفر است، اگر حداقل یک محصول باشد از multipliers صفر است. سپس یا x \u003d 0 یا aH + b \u003d 0. حل معادله aH + b \u003d 0، ما ah \u003d - b، جایی که x \u003d - b / a دریافت می کنیم. معادله فرم AH 2 + BX \u003d 0، همیشه دارای دو ریشه x 1 \u003d 0 و x 2 \u003d - b / a است. ببینید که چگونه به نظر می رسد یک راه حل برای محلول معادلات این گونه است.

دانش خود را در یک مثال خاص حفظ کنید.

مثال 3. حل معادله 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 یا 3x - 12 \u003d 0

پاسخ: x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 4.

• معادلات سوم نوع Ah 2 \u003d 0 حل بسیار ساده است.

اگر ah 2 \u003d 0، سپس x 2 \u003d 0. معادله دارای دو ریشه برابر x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 0 است.

برای وضوح، طرح را در نظر بگیرید.

ما زمانی که نمونه برداری از نمونه 4 نمونه برداری می کنیم متقاعد خواهیم شد که معادلات این گونه ها به سادگی حل می شوند.

مثال 4 حل معادله 7x 2 \u003d 0.

پاسخ: x 1، 2 \u003d 0.

همیشه ممکن نیست بلافاصله فورا بدانید چه نوع معادله مربع ناقص ما باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5 حل معادله

هر دو بخش از معادله را در یک معادله مشترک ضرب کنید، یعنی در 30 سالگی

شهری

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

براکت های فراخوانده

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

بیایید مشابه باشیم

ما 99 قسمت سمت چپ معادله را به سمت راست انتقال می دهیم، تغییر علامت را به طرف مقابل تغییر می دهیم

پاسخ: بدون ریشه

ما برچیده شدیم که معادلات مربع ناقص حل می شوند. امیدوارم اکنون با وظایف مشابهی مشکلی نداشته باشید. هنگام تعیین نوع معادله مربع ناقص، مراقب باشید، پس شما موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، برای درس های من ثبت نام کنید، ما مشکلات را حل می کنیم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

در ادامه موضوع "تصمیم معادلات"، مادی از این مقاله شما را به معادلات مربع معرفی می کند.

همه چیز را به طور دقیق در نظر بگیرید: ماهیت و رکورد معادله مربع، شرایط همزمان را تنظیم می کنیم، ما طرح تصمیم گیری ناقص را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد معادلات کامل، ما با ریشه های فرمول و تبعیض آمیز آشنا خواهیم شد، ارتباط بین ریشه ها و ضرایب ایجاد می کنیم و البته ما یک راه حل بصری نمونه های عملی را ارائه می دهیم.

Yandex.rtb R-A-339285-1

معادله مربع، انواع آن

معادله درجه دوم - این معادله ثبت شده است a · x 2 + b · x + c \u003d 0جایی که ایکس. - متغیر، a، b و C. - برخی از اعداد، در حالی که آ.صفر نیست

اغلب معادلات مربع نیز نام معادلات درجه دوم نامیده می شود، زیرا اساسا معادله مربع معادله جبری درجه دوم است.

بیایید یک مثال را ببینیم تعریف مشخص شده: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0؛ 7، 5 · x 2 + 3، 1 · x + 0، 11 \u003d 0، و غیره - این معادلات مربع است.

تعریف 2

اعداد a، b و C. - این ضرایب معادله مربع است a · x 2 + b · x + c \u003d 0، با ضریب آ. این اولین، یا قدیمی تر یا ضریب x 2، b - ضریب دوم یا ضریب زمانی نامیده می شود ایکس.، ولی C. عضو رایگان

به عنوان مثال، در یک معادله مربع 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 ضریب ارشد 6، ضریب دوم است − 2 و عضو آزاد برابر است − 11 . توجه به این واقعیت است که زمانی که ضرایب بو / یا C منفی هستند، سپس یک فرم کوتاه از ضبط نمایش استفاده می شود. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0، اما نه 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

ما همچنین این جنبه را روشن می کنیم: اگر ضرایب آ. و / یا ب برابر 1 یا − 1 ، پس از آن مشارکت صریح در ضبط معادله مربع، آنها ممکن است گرفته نشود، که توسط ویژگی های ضبط این ضرایب عددی توضیح داده نمی شود. به عنوان مثال، در یک معادله مربع y 2 - y + 7 \u003d 0 ضریب ارشد 1، و ضریب دوم است − 1 .

معادلات مربع مشخص و متاهل

با ارزش اول ضریب، معادلات مربع به بالا و بدون پرداخت تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله مربع کاهش یافته - این معادله مربع است که ضریب قدیمی تر برابر با 1 است. برای مقادیر دیگر ضریب قدیم، معادله مربع غیر نامعتبر است.

ما نمونه هایی را ارائه می دهیم: معادلات مربع x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0، x 2 - x - 4 5 \u003d 0 در هر کدام از آنها ضریب قدیم 1 ارائه شده است.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - معادله مربع یکپارچه، جایی که ضریب اول متفاوت است 1 .

هر معادله مربع بدون علامت ممکن است به یک معادله معین تبدیل شود، اگر از هر دو قسمت به ضریب اول (تحول معادل آن) تقسیم شود. معادله تبدیل شده دارای ریشه های مشابهی به عنوان مشخص شده است معادله مناسبی یا نه ریشه ها را در همه جا.

توجه مثال خاص اجازه دهید ما را به روشنی نشان دهیم انتقال از یک معادله مربع یکپارچه به داده شده است.

مثال 1

معادله تعیین شده است 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . لازم است معادله اولیه را در فرم بالا تبدیل کنید.

تصمیم

طرح فوق مشخص شده توسط هر دو قسمت از معادله اولیه در ضریب ارشد 6 جدا شده است. سپس ما دریافت می کنیم: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3و این همانند: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 و بیشتر: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. از اینجا: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. بنابراین، معادله به عنوان مشخص شده است.

پاسخ: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

معادلات مربع کامل و ناقص

به تعریف معادله مربع تبدیل شوید. در آن ما روشن کردیم ≠ 0. چنین شرایطی برای معادله ضروری است a · x 2 + b · x + c \u003d 0 دقیقا مربع بود زیرا a \u003d 0 اساسا تبدیل به آن است معادله خطی b · x + c \u003d 0.

در مورد زمانی که ضرایب ب و C.برابر با صفر (که ممکن است، هر دو به صورت جداگانه و با هم)، معادله مربع ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله مربع ناقص - چنین معادله مربع a · x 2 + b · x + c \u003d 0،جایی که حداقل یکی از ضرایب است بو C.(یا هر دو) صفر است.

معادله مربع کامل - یک معادله مربع که در آن تمام ضرایب عددی صفر نیست.

ما به این دلیل که چرا انواع معادلات مربع دقیقا نام ها را به دست می آوریم.

برای معادله B \u003d 0 مربع طول می کشد a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0این همان چیزی است که a · x 2 + c \u003d 0. برای c \u003d 0 معادله مربع ثبت شده است a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0این معادل است a · x 2 + b · x \u003d 0. برای b \u003d 0. و c \u003d 0 معادله این دیدگاه را می گیرد a · x 2 \u003d 0. معیارهای دریافتی که ما دریافت کرده ایم متفاوت از معادله مربع کامل است که بخش های چپ آنها شامل یک جزء از متغیر x یا یک عضو آزاد یا هر دو یک بار نیست. در واقع، این واقعیت از نام چنین نوع معادلات خواسته شد - ناقص.

به عنوان مثال، x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 و - 7 · x 2 - 2 · x + 1، 3 \u003d 0 معادلات مربع کامل هستند؛ x 2 \u003d 0، - 5 · x 2 \u003d 0؛ 11 · x 2 + 2 \u003d 0، - x 2 - 6 · x \u003d 0 - معادلات مربع ناقص.

تصمیم معادلات مربع ناقص

تعریف فوق باعث می شود که انواع زیر معادلات مربع ناقص را تشخیص دهیم:

• a · x 2 \u003d 0، این معادله مربوط به ضرایب است b \u003d 0. و c \u003d 0؛
• a · x 2 + c \u003d 0 برای b \u003d 0؛
• a · x 2 + b · x \u003d 0 در c \u003d 0.

تصمیم هر نوع معادله مربع ناقص را در نظر بگیرید.

راه حل معادله a · x 2 \u003d 0

همانطور که در بالا ذکر شد، معادله مربوط به ضرایب است ب و C.برابر صفر است. معادله a · x 2 \u003d 0 ممکن است معادله را به معادل آن تبدیل کند x 2 \u003d 0که ما دریافت می کنیم، هر دو بخش از معادله منبع را به اشتراک می گذاریم آ.برابر صفر نیست واقعیت واضح این است که ریشه معادله x 2 \u003d 0 این صفر است زیرا 0 2 = 0 . ریشه های دیگر، این معادله هیچ، که توسط خواص درجه توضیح داده شده است: برای هر عدد پ،برابر صفر نیست، نابرابری وفادار p 2\u003e 0چه اتفاقی می افتد؟ p ≠ 0 برابری p 2 \u003d 0هرگز به دست نخواهد آمد

تعریف 5

بنابراین، برای یک معادله مربع ناقص a · x 2 \u003d 0 تنها ریشه وجود دارد x \u003d 0.

مثال 2

به عنوان مثال، ما یک معادله مربع ناقص را حل می کنیم - 3 · x 2 \u003d 0. این معادل معادله است x 2 \u003d 0، تنها ریشه او است x \u003d 0، سپس معادله اولیه تنها ریشه - صفر است.

به طور خلاصه تصمیم گیری شده است:

- 3 · x 2 \u003d 0، x 2 \u003d 0، x \u003d 0.

راه حل معادله a · x 2 + c \u003d 0

در صف - راه حل معادلات مربع ناقص، جایی که B \u003d 0، C ≠ 0، یعنی معادلات فرم است a · x 2 + c \u003d 0. ما این معادله را تغییر می دهیم که اصطلاح را از یک بخش از معادله به دیگری انجام می دهد، تغییر علامت به مخالف و تقسیم هر دو بخش از معادله به تعداد، نه برابر صفر:

• منتقل کردن C. در قسمت راست، که معادله را می دهد a · x 2 \u003d - c;
• ما هر دو بخش معادله را تقسیم می کنیم آ.، من در انتهای x \u003d - c a دریافت می کنم.

تحولات ما به ترتیب معادل آن معادل است، معادله حاصل نیز معادل منبع است، و این واقعیت باعث می شود که ریشه های معادله را به دست آورید. از معانی چیست؟ آ. و C.مقدار بیان بستگی دارد - C A: ممکن است علامت منفی داشته باشد (بگذارید بگوییم اگر a \u003d 1 و C \u003d 2، سپس - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) یا علامت پلاس (به عنوان مثال، اگر a \u003d - 2 و c \u003d 6، سپس - c a \u003d - 6 - 6 - 2 \u003d 3)؛ صفر نیست زیرا c ≠ 0. اجازه دهید ما جزئیات بیشتری را در شرایطی که - c a< 0 и - c a > 0 .

در مورد زمانی که - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پ. برابری P 2 \u003d - C نمی تواند درست باشد.

همه در غیر این صورت، زمانی که - c a\u003e 0: به یاد آوردن ریشه مربع، و آن را واضح است که معادله x 2 \u003d - c a خواهد شد تعداد - C a، از - c a 2 \u003d - c a. دشوار نیست درک کنید که تعداد آن است - C A همچنین ریشه معادله x 2 \u003d - c a: در واقع، - - c a 2 \u003d - c a.

معادله ریشه های دیگر نخواهد داشت. ما می توانیم آن را با استفاده از روش تند و زننده نشان دهیم. برای شروع، تعیین نام های موجود در بالای ریشه ها را تنظیم کنید x 1 و - x 1. من پیشنهاد خواهم کرد که معادله x 2 \u003d - C A نیز ریشه دارد x 2که از ریشه ها متفاوت است x 1 و - x 1. ما می دانیم که جایگزینی به معادله به جای آن ایکس. ریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی عادلانه تبدیل می کنیم.

برای x 1 و - x 1 ما می نویسیم: x 1 2 \u003d - c a، و برای x 2 - x 2 2 \u003d - c a. با تکیه بر خواص عددی عددی، یک برابری راست را از دیگری پر کنید، که به ما می دهد: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. از خواص اقدامات با اعداد استفاده کنید تا آخرین برابری را بازنویسی کنید (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. شناخته شده است که کار دو عدد صفر است و تنها اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از گفت که این به دنبال آن است x 1 - x 2 \u003d 0 و / یا x 1 + x 2 \u003d 0این همان چیزی است x 2 \u003d x 1 و / یا x 2 \u003d - x 1. یک تناقض واضح بود، زیرا در ابتدا موافقت کرد که ریشه معادله x 2 متفاوت از x 1 و - x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله ریشه های دیگر ندارد، به جز x \u003d - c a و x \u003d - - c a.

ما تمام استدلال های بالا را خلاصه می کنیم.

تعریف 6

معادله مربع ناقص a · x 2 + c \u003d 0 معادل معادله x 2 \u003d - c a، که:

• هنگامی که - c a ریشه ندارد< 0 ;
• دو ریشه x \u003d - c a و x \u003d - - c a با - c a\u003e 0 وجود دارد.

ما نمونه هایی از حل معادلات را ارائه می دهیم a · x 2 + c \u003d 0.

مثال 3

معادله مربع مشخص شده است 9 · x 2 + 7 \u003d 0.لازم است تصمیم خود را پیدا کنید.

تصمیم

ما یک عضو آزاد را به قسمت سمت راست معادله انتقال می دهیم، سپس معادله فرم را می گیرد 9 · x 2 \u003d - 7.
ما هر دو بخش از معادله به دست آمده را تقسیم می کنیم 9 ، بیا به x 2 \u003d - 7 9. در قسمت راست، ما یک عدد را با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله مشخصی هیچ ریشه ای ندارد. سپس معادله مربع ناقص اصلی 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ریشه ندارد

پاسخ: معادله 9 · x 2 + 7 \u003d 0این ریشه ندارد

مثال 4

لازم است معادله را حل کند - x 2 + 36 \u003d 0.

تصمیم

ما 36 را به سمت راست حرکت می دهیم: - x 2 \u003d - 36.
ما هر دو قسمت را تقسیم می کنیم − 1 ، گرفتن x 2 \u003d 36. در قسمت راست - مثبتاز اینجا می توان نتیجه گرفت که x \u003d 36 یا x \u003d - 36.
ریشه را بردارید و نتیجه نهایی را بنویسید: یک معادله مربع ناقص - x 2 + 36 \u003d 0 این دو ریشه دارد x \u003d 6 یا x \u003d - 6.

پاسخ: x \u003d 6 یا x \u003d - 6.

راه حل معادله a · x 2 + b · x \u003d 0

ما نوع سوم معادلات مربع ناقص را بررسی خواهیم کرد c \u003d 0. برای پیدا کردن یک معادله مربع ناقص a · x 2 + b · x \u003d 0، ما از روش تجزیه بر ضریب ها استفاده می کنیم. گسترش چندجملهای چندجملهای، که در قسمت چپ معادله قرار دارد، با ایجاد یک ضریب عمومی برای براکت ها ایکس.. این مرحله فرصتی برای تبدیل معادله مربع ناقص ناقص به معادل آن فراهم می کند x · (a · x + b) \u003d 0. و این معادله، به نوبه خود، معادل کل معادلات است x \u003d 0 و a · x + b \u003d 0. معادله a · x + b \u003d 0 خطی، و ریشه آن: x \u003d - b a.

تعریف 7

بنابراین، یک معادله مربع ناقص a · x 2 + b · x \u003d 0 دو ریشه دارد x \u003d 0 و x \u003d - b a.

مواد را به عنوان مثال را ببندید.

مثال 5

لازم است راه حل معادله را پیدا کنید 2 3 · x 2 - 2 7 7 · x \u003d 0.

تصمیم

بیایید رهبری کنیم ایکس. برای براکت ها و معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. این معادله معادل معادلات است x \u003d 0 و 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. در حال حاضر لازم است معادله خطی حاصل شود: 2 3 · x \u003d 2 2 7، x \u003d 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه حل معادله برای نوشتن این راه:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 یا 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 یا x \u003d 3 3 7

پاسخ: x \u003d 0، x \u003d 3 3 7.

تبعیض آمیز، فرمول ریشه های معادله مربع

برای پیدا کردن یک راه حل معادلات مربع، یک فرمول برای ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x \u003d - b ± d 2 · جایی که d \u003d b 2 - 4 · a · c - به اصطلاح تبعیض آمیز یک معادله مربع.

ضبط x \u003d - b ± d 2 · A به معنای آن است که x 1 \u003d - b + d 2 · a، x 2 \u003d - b - d 2 · a.

این مفید خواهد بود که بدانیم چگونه فرمول مشخص شده مشتق شده و نحوه استفاده از آن.

خروجی ریشه های معادله مربع

اجازه دهید ما را به حل معادله مربع حل کنیم a · x 2 + b · x + c \u003d 0. تعدادی از تحولات معادل را انجام دهید:

• ما هر دو بخش از معادله را برای تعداد تقسیم می کنیم آ.به غیر از صفر، ما معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a \u003d 0؛
• ما مربع کامل را در سمت چپ معادله دریافتی برجسته می کنیم:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca .
  پس از آن، معادله فرم را می گیرد: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0؛
• در حال حاضر ممکن است انتقال دو اصطلاح گذشته را به سمت راست دست، تغییر علامت به طرف مقابل، پس از آن ما دریافت: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · 2 - c a؛
• در نهایت، ما تبدیل بیان را در سمت راست آخرین برابری تبدیل می کنیم:
  B 2 · 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

بنابراین، ما به معادله X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · a · c 4 · A 2، معادله منبع معادل رسید a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

ما راه حل این معادلات را در پاراگراف های قبلی (تصمیم گیری معادلات مربع ناقص) را درک کردیم. تجربه به دست آمده امکان پذیر می شود در مورد ریشه های معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• در B 2 - 4 · a · c 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• برای B 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0، معادله فرم X + B 2 · a 2 \u003d 0، سپس x + b 2 · a \u003d 0 است.

از این رو تنها ریشه x \u003d - b 2 · a واضح است؛

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0، درست خواهد بود: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · 2 یا x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · A 2، که همان x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · A 2، I.E. معادله دارای دو ریشه است.

ممکن است نتیجه گیری شود که حضور یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · 2 (و از این رو معادله اولیه) بستگی به علامت بیان B دارد 2 - 4 · A · C 4 · A 2، در سمت راست ثبت شده است. و علامت این عبارت توسط تعداد عددی تعیین می شود (Dentinator 4 · 2 همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه ای از بیان B 2 - 4 · a · c. این عبارت B 2 - 4 · a · c نام، تبعیض آمیز از تخلیه مربع است و به عنوان تعیین نامه آن تعریف شده است. در اینجا شما می توانید ماهیت تبعیض را ضبط کنید - با ارزش آن و علامت نتیجه گیری می شود که آیا معادله مربع ریشه های معتبر دارد و اگر این است، تعداد ریشه ها - یک یا دو.

بازگشت به معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. من آن را با استفاده از تعیین تعریف تبعیض بازنویسی می کنم: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

ما نتیجه گیری را دوباره فرموله خواهیم کرد:

تعریف 9

• برای D.< 0 معادله هیچ ریشه معتبر ندارد
• برای d \u003d 0 معادله تنها ریشه x \u003d - b 2 · a؛
• برای d\u003e 0 معادله دارای دو ریشه است: x \u003d - b 2 · a + d 4 · a 2 یا x \u003d - b 2 · a - d 4 · a 2. این ریشه ها بر اساس خواص رادیکال ها می توانند به صورت فرم نوشته شوند: x \u003d - b 2 · a + d 2 · a یا - b 2 · a - d 2 · a. و هنگامی که ما ماژول ها را نشان می دهیم و به بخش هایی می دهیم مخرج مشترک، ما دریافت می کنیم: x \u003d - b + d 2 · a، x \u003d - b-d 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما حذف فرمول ریشه های معادله مربع بود:

x \u003d - b + d 2 · a، x \u003d - b - d 2 · a، discriminant D. محاسبه شده توسط فرمول d \u003d b 2 - 4 · a · c.

این فرمول ها ممکن است زمانی که تبعیض آمیز بزرگتر برای تعیین هر دو ریشه معتبر باشد. هنگامی که تشخیص صفر است، استفاده از هر دو فرمول همان ریشه را به عنوان فقط تصمیم گیری معادله مربع در مورد زمانی که تبعیض منفی منفی است، تلاش برای استفاده از فرمول ریشه معادله مربع، ما با نیاز به حذف مواجه خواهیم شد ریشه دوم از عدد منفیچه چیزی ما را فراتر از اعداد واقعی هدایت می کند. با یک معادله منفی، معادله مربع، ریشه های معتبر نخواهد بود، اما یک جفت ریشه های جامع به طور جامع، تعیین شده توسط همان فرمول ریشه های به دست آمده توسط ما امکان پذیر است.

الگوریتم برای حل معادلات مربع در فرمول های ریشه

ممکن است معادله مربع را حل کنید، بلافاصله فرمول ریشه را دوچرخه سواری کنید، اما اساسا آنها در صورت لزوم، ریشه های پیچیده ای را پیدا می کنند.

در توده اصلی موارد، معمولا برای جستجو برای ریشه های غیر پیچیده، اما معتبر معادله مربع، به طور معنی داری است. سپس به طور مطلوب قبل از استفاده از فرمول های ریشه های مربع، ابتدا تعریف تشخیص را تعیین کنید و مطمئن شوید که منفی نیست (در غیر این صورت ما نتیجه می گیریم که معادله هیچ ریشه معتبر ندارد)، و سپس به محاسبه مقدار ریشه ها ادامه دهید.

استدلال های فوق، توانایی تشکیل یک الگوریتم برای حل معادله مربع را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل معادله مربع a · x 2 + b · x + c \u003d 0، لازم است:

• با توجه به فرمول d \u003d b 2 - 4 · a · c ارزش تبعیض را پیدا کنید
• با D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• در d \u003d 0 تنها ریشه ی معادله را با توجه به فرمول x \u003d - b 2 · a پیدا کنید.
• برای D\u003e 0، دو ریشه معتبر از معادله مربع را با توجه به فرمول X \u003d - B ± D 2 تعیین کنید.

توجه داشته باشید که زمانی که تبعیض صفر است، شما می توانید از فرمول X \u003d - B ± D 2 استفاده کنید، این نتیجه مشابهی را به عنوان فرمول x \u003d - b 2 · a ارائه می دهد.

مثالها را در نظر بگیرید

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع

ما راه حل نمونه هایی را ارائه می دهیم مقادیر مختلف تبعیض آمیز

مثال 6

لازم است ریشه های معادله را پیدا کنید x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

تصمیم

ما ضرایب شماره معادله مربع را بنویسیم: a \u003d 1، b \u003d 2 و c \u003d - 6. بعد، ما در الگوریتم عمل می کنیم، به عنوان مثال ما به محاسبه تبعیض آمیز ادامه خواهیم داد، زیرا ما ضرایب را جایگزین خواهیم کرد و C. در فرمول تبعیض آمیز: d \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

بنابراین، ما D\u003e 0 را به دست آوردیم و این بدان معنی است که معادله اولیه دو ریشه معتبر داشته باشد.
برای پیدا کردن آنها، ما از فرمول ریشه X \u003d - B ± D 2 · A استفاده می کنیم و جایگزین مقادیر مربوطه می شود، ما دریافت می کنیم: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. ما بیانگر نتیجه را ساده تر می کنیم، و چند برابر شدن برای علامت ریشه، و سپس برش بخش:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 یا x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 یا x \u003d - 1 - 7

پاسخ: x \u003d - 1 + 7، x \u003d - 1 - 7.

مثال 7

لازم است معادله مربع را حل کند - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

تصمیم

تعیین تشخیص: d \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. با این مقدار تبعیض آمیز، معادله اولیه تنها یک ریشه تعریف شده توسط فرمول x \u003d - b 2 · a دارد.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3، 5

پاسخ: x \u003d 3، 5.

مثال 8

لازم است معادله را حل کند 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

تصمیم

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a \u003d 5، b \u003d 6 و c \u003d 2. ما از این مقادیر برای پیدا کردن یک تبعیض استفاده می کنیم: d \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. تبعیض محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله اولیه مربع ریشه های معتبر ندارد.

در مورد زمانی که وظیفه این است که ریشه های پیچیده را مشخص کنید، فرمول ریشه را اعمال کنید، انجام اقدامات با شماره های پیچیده:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5،

x \u003d - 6 + 2 · i 10 یا x \u003d - 6 - 2 · i 10،

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i یا x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ: هیچ ریشه معتبر وجود ندارد ریشه های پیچیده به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · I، 3 5 - 1 5 5 · I.

که در برنامه مدرسه به طور استاندارد نیازی به جستجو برای ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین اگر در حین راه حل، تبعیض به عنوان منفی تعریف شود، پاسخ بلافاصله ثبت می شود که هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

ریشه های فرمول برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x \u003d - b ± d 2 · a (d \u003d b 2 - 4 · a · c) امکان دریافت فرمول دیگری را فراهم می آورد، جمع و جور تر، اجازه می دهد راه حل های معادلات مربع را با ضریب حتی در X پیدا کنید (یا با ضریب نوع 2 · n، به عنوان مثال، 2 · 3 یا 14 · LN 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). ما نشان می دهیم که چگونه این فرمول نمایش داده می شود.

اجازه دهید ما وظیفه پیدا کردن راه حل معادله مربع A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0 باشد. ما بر روی الگوریتم عمل می کنیم: تعریف D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c)، و سپس استفاده از فرمول ریشه:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · a، x \u003d - 2 ± 4 · n 2 - a · c 2 · a، x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a، x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

اجازه دهید بیان n 2 - a · c به عنوان d 1 (گاهی اوقات d "نشان داده شود. سپس فرمول ریشه های معادله مربع مورد بررسی با ضریب دوم 2 · n فرم را انجام می دهد:

x \u003d - n ± d 1 a، جایی که d 1 \u003d n 2 - a · c.

آسان است که ببینید که d \u003d 4 · d 1، یا d 1 \u003d d 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم از تبعیض آمیز است. واضح است که علامت D 1 همانند علامت D است، به این معنی که علامت D 1 نیز می تواند به عنوان شاخص حضور یا عدم وجود ریشه های معادله مربع باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای پیدا کردن راه حل معادله مربع با ضریب دوم 2 · n، لازم است:

• پیدا کردن d 1 \u003d n 2 - a · c؛
• با D 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• برای d 1 \u003d 0، تنها ریشه ی معادله را با توجه به فرمول x \u003d - n a تعیین کنید؛
• برای D 1\u003e 0، دو ریشه معتبر را با توجه به فرمول x \u003d - n ± d 1 تعیین کنید.

مثال 9

لازم است حل معادله مربع 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0 باشد.

تصمیم

ضریب دوم معادله مشخص شده را می توان به عنوان 2 · (- 3) نشان داد. سپس معادله مربع مشخص شده را به عنوان 5 · x 2 + 2 بازنویسی کنید (- 3) · x - 32 \u003d 0، که در آن a \u003d 5، n \u003d - 3 و c \u003d - 32.

ما بخش چهارم را محاسبه می کنیم: d 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. ارزش به دست آمده مثبت، این بدان معنی است که معادله دارای دو ریشه معتبر است. ما آنها را با توجه به فرمول ریشه مربوطه تعریف می کنیم:

x \u003d - n ± d 1 a، x \u003d - - - 3 ± 169 5، x \u003d 3 ± 13 5،

x \u003d 3 + 13 5 یا x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 یا x \u003d - 2

ممکن است محاسبات و فرمول معمولی ریشه های معادله مربع را ایجاد کنید، اما در این مورد، راه حل بسیار سخت تر خواهد بود.

پاسخ: x \u003d 3 1 5 یا x \u003d - 2.

ساده سازی گونه های معادلات مربع

گاهی اوقات ممکن است بهینه سازی نوع معادله منبع، که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، معادله مربع 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 به وضوح مناسب تر از 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0 است.

اغلب ساده سازی گونه های معادله مربع توسط ضرب یا تقسیم هر دو بخش آن به یک نوع تعداد انجام می شود. به عنوان مثال، ما یک رکورد ساده از معادله را نشان دادیم 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0، به دست آمده با تقسیم هر دو قسمت توسط 100.

چنین تبدیل ممکن است زمانی که ضرایب معادله مربع متقابل نیست اعداد ساده. سپس معمولا تقسیم هر دو بخش معادله را به بزرگترین تقسیم می کند تقسیم عمومی مقادیر مطلق ضرایب آن.

به عنوان مثال، از معادله مربع 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0 استفاده کنید. ما گره مقادیر مطلق ضرایب آن را تعریف می کنیم: گره ها (12، 42، 48) \u003d گره (گره (12، 42)، 48) \u003d گره (6، 48) \u003d 6. ما دو قسمت از معادله مربع اصلی را به 6 تقسیم می کنیم و معادله مربع معادل 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0 را به دست می آوریم.

ضرب هر دو قسمت از معادله مربع معمولا از ضرایب کسری خلاص می شود. در همان زمان ضرب شده توسط کوچکترین ژنراتور چندگانه چند ضرایب آن. به عنوان مثال، اگر هر بخشی از معادله مربع 1 6 · X 2 + 2 3 · X - 3 \u003d 0 ضرب از NOC (6، 3، 1) \u003d 6، پس از آن ضبط شده در بیشتر دید ساده x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

در نهایت، ما یادآوری می کنیم که تقریبا همیشه از منهای منفی در اولین ضریب معادله مربع خلاص می شود، علائم هر عضو معادله را تغییر می دهد که با ضرب (یا تقسیمات) هر دو بخش از 1 به دست می آید. به عنوان مثال، از یک معادله مربع - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0، شما می توانید به نسخه ساده خود بروید 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

ارتباط بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات مربع x \u003d - B ± D 2 · A شناخته شده به ما نشان می دهد ریشه های معادله از طریق ضرایب عددی آن. با تکیه بر این فرمول، ما فرصتی برای تنظیم وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب داریم.

معروف ترین و قابل اجرا، فرمول های قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 \u003d - b a و x 2 \u003d c a.

به طور خاص، برای معادله مربع کاهش یافته، مقدار ریشه ها ضریب دوم است مخالف آشناو محصول ریشه برابر با یک عضو آزاد است. به عنوان مثال، با توجه به گونه معادله مربع 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0، ممکن است بلافاصله تعیین کنید که مجموع ریشه های آن 7 3 است و محصول ریشه 22 3 است.

شما همچنین می توانید تعدادی از لینک های دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع را پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مربعات ریشه های معادله مربع را می توان از طریق ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

معادلات مربع اغلب در حل مشکلات مختلف فیزیک و ریاضیات ظاهر می شوند. در این مقاله ما به چگونگی حل این معادلات به شیوه ای جهانی "از طریق تبعیض آمیز" نگاه خواهیم کرد. نمونه هایی از استفاده از دانش به دست آمده نیز در مقاله ارائه شده است.

چه معادلات ما در مورد آن صحبت خواهیم کرد؟

شکل زیر یک فرمول را نشان می دهد که X یک متغیر ناشناخته است و شخصیت های لاتین A، B، C برخی از اعداد شناخته شده است.

هر یک از این کاراکترها ضریب نامیده می شود. همانطور که می بینید، شماره "A" در مقابل متغیر x قرار دارد که به مربع متصل می شود. این حداکثر درجه بیان است، بنابراین معادله مربع نامیده می شود. این اغلب توسط نام دیگری استفاده می شود: معادله سفارش دوم. مقدار A یک ضریب مربعی است (ایستاده در یک متغیر در یک مربع)، B یک ضریب خطی است (آن در کنار متغیر مطرح شده به درجه اول قرار دارد)، در نهایت، تعداد C یک عضو آزاد است.

لازم به ذکر است که شکل معادله، که در شکل بالا نشان داده شده است، یک بیان مربع کلاسیک مشترک است. علاوه بر این، معادلات دیگری از مرتبه دوم وجود دارد که در آن ضرایب B، C می تواند صفر باشد.

هنگامی که این کار این است که برابری را حل کنید، این بدان معنی است که چنین مقادیر متغیر x باید متوجه شود که او را برآورده می کند. در اینجا، اول از همه، شما باید چیز زیر را به یاد داشته باشید: از آنجا که حداکثر درجه IX 2 است، این نوع عبارات نمی تواند بیش از 2 راه حل داشته باشد. این بدان معنی است که اگر، هنگام حل معادله، مقادیر 2 x یافت شد، که آن را برآورده می کند، پس از آن ممکن است مطمئن شوید که شماره سوم وجود ندارد، جایگزین آن به جای X، برابری نیز حقیقت خواهد بود. راه حل های معادله در ریاضیات ریشه های آن نامیده می شود.

روش ها برای حل معادلات مرتبه دوم

راه حل های معادلات این نوع نیاز به دانش برخی از نظریه ها در مورد آنها دارد. در سال تحصیلی، جبر 4 را در نظر بگیرید روش های مختلف راه حل ها فهرست آنها را فهرست کنید:

• توسط فاکتور؛
• با استفاده از فرمول برای یک مربع کامل؛
• استفاده از یک نمودار از عملکرد درجه دوم مربوطه؛
• با استفاده از معادله تبعیض آمیز.

به علاوه روش اول شامل سادگی آن است، اما برای همه معادلات نمی تواند اعمال شود. روش دوم جهانی است، اما تا حدودی بزرگ است. روش سوم با وضوح آن متمایز است، اما همیشه راحت و قابل اجرا نیست. و در نهایت، استفاده از معادله تبعیض آمیز یک راه جهانی و نسبتا ساده برای پیدا کردن ریشه های کاملا معادله مرتبه دوم است. بنابراین، در مقاله، تنها آن را در نظر بگیرید.

فرمول برای به دست آوردن ریشه های معادله

به K. نمای کلی معادله مربع ما آن را می نویسیم: a * x² + b * x + c \u003d 0. قبل از استفاده از راه این است که آن را حل کنید "از طریق تبعیض آمیز"، برابری همیشه باید به ذهن ثبت شده داده شود. به عبارت دیگر، باید از سه اصطلاح تشکیل شود (یا کمتر اگر B یا C 0 باشد).

به عنوان مثال، اگر یک عبارت وجود دارد: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x²، ابتدا باید تمام اعضای آن را به یک طرف برابری انتقال دهید و شرایطی را که حاوی متغیر x در همان است قرار دهید درجه.

در این مورد، این عملیات منجر به عبارت زیر می شود: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0، که معادل معادله 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (در اینجا بخش های چپ و راست است برابری ما توسط -1 ضرب شد).

در مثال بالای a \u003d 6، b \u003d 4، c \u003d -8. توجه داشته باشید که تمام اعضای برابری در نظر گرفته شده همیشه یکدیگر را جمع می کنند، بنابراین اگر علامت "-" ظاهر شود، این بدان معنی است که ضریب منفی منفی به عنوان تعداد C در این مورد منفی است.

پس از شکستن این لحظه، ما اکنون به فرمول خود تبدیل می شویم، که باعث می شود ریشه های معادله مربع را بدست آوریم. این ظاهر است که در عکس زیر ارائه شده است.

همانطور که از این عبارت دیده می شود، به شما اجازه می دهد تا دو ریشه دریافت کنید (شما باید به علامت "±" توجه کنید). برای انجام این کار، کافی است که ضرایب B، C و a را جایگزین کنید.

مفهوم تبعیض آمیز

در پاراگراف قبلی، فرمول نشان داده شد، که به شما اجازه می دهد تا به سرعت هر معادله سفارش دوم را حل کنید. این یک تبعیض کننده در آن نامیده می شود، یعنی D \u003d b²-4 * a * c.

چرا این قسمت از فرمول متمایز است و حتی آن را دارد نام خود؟ واقعیت این است که تبعیض، تمام سه ضرایب معادله را به یک بیان واحد متصل می کند. آخرین واقعیت به این معنی است که به طور کامل اطلاعات مربوط به ریشه ها را حمل می کند، که می تواند توسط لیست زیر بیان شود:

1. D\u003e 0: برابری دارای 2 راه حل متفاوت است، هر دو آنها شماره های معتبر را نشان می دهند.
2. D \u003d 0: معادله تنها یک ریشه است، و یک شماره معتبر است.

وظیفه تعیین تبعیض آمیز

ما یک نمونه ساده را ارائه می دهیم، چگونگی پیدا کردن تبعیض آمیز. اجازه دهید چنین برابری داده شود: 2 * X² - \u200b\u200b4 + 5 * X-9 * X² \u003d 3 * X-5 * X² + 7.

ما آن را به فرم استاندارد می دهیم، ما دریافت می کنیم: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0، از جایی که ما به آن آمده ایم برابری: -2 * X² + 2 * X-11 \u003d 0. اینجا A \u003d -2، B \u003d 2، C \u003d -11.

حالا شما می توانید از فرمول نامی برای تشخیص استفاده کنید: d \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. شماره نتیجه پاسخ به کار است. از آنجا که در مثال تبعیض آمیز است کمتر صفرمی توان گفت که این معادله مربع دارای ریشه های معتبر نیست. راه حل آن تنها شامل تعداد نوع پیچیده است.

یک نمونه از نابرابری از طریق تبعیض آمیز

ما مشکل یک نوع تا حدودی متفاوت را حل خواهیم کرد: برابری -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. ضروری است برای پیدا کردن مقادیر C برای آن d\u003e 0.

در این مورد، تنها 2 از 3 ضرایب شناخته شده است، بنابراین ممکن است ارزش دقیق تشخیص را محاسبه کنید، اما شناخته شده است که آن مثبت است. آخرین واقعیت در تهیه نابرابری مورد استفاده قرار می گیرد: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * C\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * C\u003e 0. راه حل نابرابری به دست آمده منجر به نتیجه می شود: C\u003e -3.

شماره نتیجه را بررسی کنید. برای انجام این کار، D را برای 2 مورد محاسبه کنید: C \u003d -2 و C \u003d -4. شماره -2 نتیجه نتیجه نتیجه را برآورده می کند (-2\u003e -3)، تبعیض متناظر خواهد بود: D \u003d 12\u003e 0. به نوبه خود، شماره -4 نابرابری را برآورده نمی کند (-4t، هر عدد C که بیشتر -3 هستند، شرط را برآورده می کنند.

مثال از حل معادله

ما این کار را انجام می دهیم که نه تنها در پیدا کردن یک تبعیض، بلکه در حل معادله نیز قرار می گیرد. لازم است ریشه ها را برای برابری پیدا کنید -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

در این مثال، تبعیض برابر است معنی بعدی: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. سپس ریشه های معادله به شرح زیر تعیین می شود: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). این مقادیر دقیق ریشه ها است، اگر لازم باشد محاسبه ریشه تقریبا، سپس اعداد به دست آمده: x \u003d -5،176 و x \u003d 0.676.

کار هندسی

ما این کار را حل خواهیم کرد که نه تنها توانایی محاسبه تبعیض، بلکه استفاده از مهارت های تفکر انتزاعی و دانش، نحوه استفاده از معادلات مربع را حل خواهد کرد.

باب دارای پتو رنگ شده از 5 × 4 متر بود. پسر می خواست یک گروه مداوم را از او در سراسر محیط اطراف بچرخاند پارچه زیبا. کدام ضخامت این نوار خواهد بود، اگر شناخته شده است که باب دارای 10 متر مربع پارچه است.

اجازه دهید گروه ضخامت x متر، سپس منطقه پارچه را داشته باشد سمت طولانی پتو ها (5 + 2 * x) * x، و از زمان های طولانی 2، ما داریم: 2 * x * (5 + 2 * x). با توجه به سمت کوتاه، منطقه پارچه های دوخته شده 4 * X خواهد بود، از آنجا که این طرف 2، پس از آن ما مقدار 8 * x را بدست آوریم. توجه داشته باشید که طول 2 * X به سمت طولانی اضافه شد، زیرا طول پتو با این تعداد افزایش یافت. منطقه کلی بافت 10 متر مربع است. بنابراین، ما برابری را به دست می آوریم: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

برای این مثال، تبعیض آمیز است: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. ریشه آن برابر با 22 است. استفاده از فرمول، ما ریشه های مورد نظر را پیدا می کنیم: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5؛ 0.5). بدیهی است، از دو ریشه، با توجه به شرایط مشکل، تنها تعداد 0.5 است.

بنابراین، یک نوار از پارچه که باب به پتو آن را می کشد عرض 50 سانتی متر.

که در جامعه مدرن توانایی انجام اقدامات با معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع ممکن است در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده ای در عمل در پیشرفت های علمی و فنی مورد استفاده قرار گیرد. شواهد این می تواند به طراحی کشتی های دریایی و رودخانه، هواپیما و موشک ها خدمت کند. با چنین محاسبات، مسیرهای حرکت بیشتر انواع تلفن های مختلف، از جمله اشیاء فضایی. نمونه هایی از نمونه هایی با محلول معادلات مربع نه تنها در پیش بینی اقتصادی، طراحی و ساخت و ساز ساختمان ها، بلکه در شرایط عادی روزمره استفاده می شود. آنها ممکن است در کمپین های توریستی، در ورزش، در فروشگاه های خرید و در سایر شرایط بسیار رایج مورد نیاز باشند.

ما بیان را بر اجزای ضرب کننده ها شکست می دهیم

درجه معادله تعیین می شود حداکثر ارزش درجه ای در متغیر که این عبارت حاوی آن است. در صورتی که 2 باشد، چنین معادله ای فقط مربع است.

اگر زبان فرمول ها بیان شود، عبارات مشخص شده، مهم نیست که چگونه آنها نگاه می کنند، همیشه می توانند زمانی ایجاد شوند بخش چپ عبارات شامل سه اصطلاح است. در میان آنها: AX 2 (یعنی متغیر به یک مربع با ضریب آن)، BX (ناشناخته بدون مربع با ضریب آن) و C (جزء آزاد، یعنی شماره معمول) است. همه اینها در سمت راست برابر با 0. در مورد زمانی که هیچ یک از اجزای آن شرایط آن وجود ندارد، به استثنای تبر 2، معادله مربع ناقص نامیده می شود. نمونه هایی از حل این وظایف، ارزش متغیرهایی که در آن آسان است برای پیدا کردن، باید ابتدا در نظر گرفته شود.

اگر عبارت ظاهر می شود به نظر می رسد به طوری که دو، دقیق تر، AX 2 و BX، بیان بر بیان بر عبارت در سمت راست، ساده تر برای پیدا کردن یک متغیر برای براکت ها است. در حال حاضر معادله ما به نظر می رسد: X (AX + B). بعد، آن را واضح می شود که یا X \u003d 0 یا کار به منظور پیدا کردن یک متغیر از عبارت زیر کاهش می یابد: AX + B \u003d 0. یکی مشخص شده یکی از خواص ضرب شده است. این قانون می گوید که محصول دو عامل به عنوان یک نتیجه از 0 تنها در صورتی است که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x \u003d 0 یا 8x - 3 \u003d 0

در نتیجه، ما دو ریشه از معادله را به دست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات این نوع می تواند حرکت بدن را تحت تاثیر گرانش توصیف کند، که جنبش را از یک نقطه خاص در ابتدای مختصات آغاز کرد. در اینجا، رکورد ریاضی فرم زیر را می گیرد: y \u003d v 0 t + gt 2/2. جایگزینی مقادیر لازم، معادل سمت راست 0 و پیدا کردن ناشناخته های احتمالی، شما می توانید زمان عبور از لحظه افزایش بدن را تا زمانی که سقوط آن، و همچنین بسیاری از ارزش های دیگر را پیدا کنید. اما ما بعدا درباره آن صحبت خواهیم کرد.

تجزیه بیان بر ضرب کننده

قانون شرح داده شده در بالا به شما اجازه می دهد تا وظایف مشخص شده را حل کنید و در بیشتر موارد موارد پیچیده. مثالها را با حل معادلات مربع این نوع در نظر بگیرید.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0

این مربایت مربعی کامل است برای شروع، ما این عبارت را تغییر می دهیم و آن را برای چند ضلعی تجزیه می کنیم. آنها دو نفر به دست می آیند: (x-8) و (x-25) \u003d 0. به عنوان یک نتیجه، ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

نمونه هایی از حل معادلات مربع در کلاس 9 اجازه می دهد این روش برای پیدا کردن یک متغیر در عبارات نه تنها دوم، بلکه حتی سفارشات سوم و چهارم.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. با تجزیه قسمت راست چند ضلعی با متغیر، آنها سه، آن، (x + 1)، (x-3) و ( x + 3).

در نتیجه، واضح است که این معادله سه ریشه دارد: -3؛ -On؛ 3

ریشه مربع را استخراج کنید

مورد دیگر معادله ناقص ترتیب دوم عبارت است که در زبان حروف ارائه شده به گونه ای است که سمت راست از اجزای تبر 2 و C ساخته شده است. در اینجا، برای مقدار متغیر، عضو آزاد به سمت راست منتقل می شود و سپس یک ریشه مربع از هر دو قسمت برابری استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این مورد ریشه های معادله معمولا دو است. یک استثنا تنها می تواند برابر با برابری باشد، به طور کلی حاوی اصطلاح C نیست، جایی که متغیر صفر است، و همچنین گزینه هایی برای عبارات، زمانی که سمت راست به نظر می رسد منفی است. در مورد دوم، راه حل ها وجود ندارد، از آنجا که عمل فوق را نمی توان با ریشه تولید کرد. نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این مورد، ریشه های معادله -4 و 4 خواهد بود.

محاسبه یک طرح زمین

نیاز به چنین محاسبات در دوران باستان عمیق ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در بسیاری از موارد در آن زمان های دور به دلیل نیاز به تعیین دقت ترین منطقه و محیط زمین های زمین بود.

مثالها با حل معادلات مربع بر اساس وظایف این نوع، باید به ما در نظر گرفته شود.

بنابراین، بگذارید بگوییم یک قطعه مستطیل شکل وجود دارد، که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. این باید طول، عرض و محیط اطراف سایت پیدا شود، اگر شناخته شده باشد که منطقه آن برابر با 612 متر مربع است.

شروع یک ماده، ابتدا معادله لازم را انجام دهید. نشان دادن x عرض سایت، سپس طول آن خواهد بود (x + 16). از نوشته شده است که این منطقه توسط بیان X (X + 16) تعیین می شود که، با توجه به شرایط مشکل ما، 612 است. این به این معنی است که x (x + 16) \u003d 612.

راه حل معادلات مربع کامل، و این عبارت دقیقا چنین است، نمی تواند به همان شیوه انجام شود. چرا؟ اگر چه سمت چپ آن هنوز هم شامل دو عامل است، محصول به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین روش های دیگر در اینجا استفاده می شود.

تبعیض

اول از همه، ما تحولات لازم را تولید خواهیم کرد، سپس ظاهر این عبارت به نظر می رسد: X 2 + 16X - 612 \u003d 0. این بدان معنی است که ما یک عبارت را در فرم مربوط به استاندارد قبلا مشخص شده دریافت کردیم، جایی که A \u003d 1، B \u003d 16، C \u003d -612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات مربع از طریق تبعیض آمیز باشد. اینجا محاسبات مورد نیاز تولید شده با توجه به طرح: D \u003d B 2 - 4AC. این مقدار کمکی فقط امکان پیدا کردن ارزش های مورد نظر را در معادله دوم مرتبه پیدا نمی کند، آن را تعیین می کند گزینه های احتمالی. در مورد D\u003e 0، دو وجود دارد؛ هنگامی که d \u003d 0، یک ریشه وجود دارد. در مورد د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تبعیض آمیز است: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. این نشان می دهد که پاسخ از کار ما وجود دارد. اگر می دانید، K، راه حل معادلات مربع باید با استفاده از فرمول زیر ادامه یابد. این اجازه می دهد تا شما را به محاسبه ریشه ها.

این به این معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 \u003d 18، x 2 \u003d -34. نسخه دوم در این معضل نمی تواند یک راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، به این معنی X (یعنی عرض سایت) 18 متر است. از اینجا، ما طول را محاسبه می کنیم: 18 + 16 \u003d 34، و محیط 2 (34 + 18) \u003d 104 (m 2).

نمونه ها و اهداف

ما همچنان به مطالعه معادلات مربع ادامه می دهیم. نمونه ها و یک راه حل دقیق از چندین آنها بعدا داده می شود.

1) 15X 2 + 20X + 5 \u003d 12X 2 + 27X + 1

ما همه چیز را به قسمت سمت چپ برابری انتقال می دهیم، ما یک تحول را ایجاد خواهیم کرد، یعنی فرم معادله ای است که استاندارد نامیده می شود و آن را با صفر ارزیابی می کنیم.

15X 2 + 20X + 5 - 12x 2 - 27X - 1 \u003d 0

پس از تاشو مانند، ما تعریف را تعریف می کنیم: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. بنابراین، معادله ما دو ریشه دارد. ما آنها را طبق فرمول بالا محاسبه می کنیم، به این معنی که اولین یکی از آنها 4/3 و دوم است.

2) حالا معماهای دیگری را نشان می دهد.

پیدا کردن، آیا ریشه در اینجا x 2 - 4x + 5 \u003d 1 وجود دارد؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، ما چندجملهای را به آشنایی مناسب ارائه می دهیم و تبعیض آمیز را محاسبه می کنیم. در مثال مشخص شده، راه حل معادله مربع لازم نیست، زیرا ماهیت این کار در این مورد نیست. در این مورد، d \u003d 16 - 20 \u003d 4، به این معنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه Vieta

معادلات مربع به راحتی از طریق فرمول های بالا و تبعیض آمیز زمانی که ریشه مربع از آخرین مقدار استخراج می شود، حل می شود. اما همیشه اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن متغیرها در این مورد وجود دارد. به عنوان مثال: راه حل های معادلات مربع در قضیه Vieta. او به خاطر استعدادهای ریاضی و حیاط های ریاضی خود، نامگذاری شده است. پرتره از آن را می توان در مقاله دیده می شود.

الگوی معروف فرانسه اشاره کرد که به شرح زیر است. او ثابت کرد که ریشه های معادله در مقدار به صورت عددی برابر با -p \u003d b / a است، و محصول آنها مربوط به q \u003d c / a است.

در حال حاضر وظایف خاص را در نظر بگیرید.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

برای سادگی، ما بیان را تغییر می دهیم:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

ما از قضیه Vieta استفاده می کنیم، به ما موارد زیر را می دهد: مقدار ریشه ها -7 و کار آنها -18 است. از اینجا، ما به دست می آوریم که ریشه های معادله اعداد -9 و 2. پس از انجام چک، اطمینان حاصل کنید که این مقادیر متغیرها واقعا در بیان مناسب هستند.

معادله گراف و Parabola

مفاهیم عملکرد درجه دوم و معادلات مربع نزدیک به یکدیگر متصل هستند. نمونه هایی از این قبلا قبلا نشان داده شده است. در حال حاضر برخی از معماهای ریاضی کمی بیشتر. هر معادله نوع توصیف شده را می توان تصور کرد. وابستگی مشابهی که به شکل یک گراف کشیده شده است، یک پارابولا نامیده می شود. انواع مختلف او در شکل زیر نشان داده شده است.

هر پارابولا دارای یک رأس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن بیرون می آیند. در مورد A\u003e 0، آنها در بی نهایت بالا و زمانی که یک<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تصاویر بصری از توابع به حل هر معادلات، از جمله مربع کمک می کند. این روش گرافیک نامیده می شود. و مقدار متغیر X مختصات Abscissa در نقاط جایی است که گراف نمودار از 0x عبور می کند. مختصات رأس ها را می توان با توجه به تنها فرمول داده شده X 0 \u003d -B / 2A یافت. و جایگزینی مقدار حاصل به معادله اولیه تابع، شما می توانید Y 0 را یاد بگیرید، یعنی هماهنگی دوم رأس مروارید متعلق به محور واحد.

عبور از شاخه های پارابولا با محور Abscissa

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع بسیار زیاد است، اما الگوهای کلی وجود دارد. آنها را در نظر بگیرید واضح است که تقاطع گراف با محور 0X در A\u003e 0 تنها ممکن است اگر 0 مقدار منفی را دریافت کند. و برای A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

با توجه به نمودار، Parabolas می تواند تعیین و ریشه ها. مخالفش هم درست است. به این ترتیب، اگر یک تصویر بصری از یک تابع درجه دوم را دریافت کنید آسان نیست، شما می توانید سمت راست بیان را به 0 تقسیم کنید و معادله حاصل را حل کنید. و دانستن نقاط تقاطع با محور 0X، برنامه ریزی آسان تر است.

از تاریخ

با کمک معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع، در روزهای قدیمی نه تنها محاسبات ریاضی را انجام داد و منطقه ای از ارقام هندسی را تعیین کرد. محاسبات مشابهی از باستان برای اکتشافات بزرگ در زمینه فیزیک و نجوم مورد نیاز بود، و همچنین برای تهیه پیش بینی های طالع بینی.

به عنوان ارقام علمی مدرن نشان می دهد، در میان اولین راه حل های معادلات مربع، ساکنان بابل به دست آمد. این در چهار قرن قبل از شروع دوره ما اتفاق افتاد. البته محاسبات آنها در ریشه متفاوت از حالا تصویب شده و معلوم شد که بسیار ابتدایی است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین در مورد وجود تعداد منفی هیچ نظری نداشتند. غریبه ها نیز ظرافت های دیگر را از کسانی که هر دانش آموز از زمان ما را می دانند، داشتند.

شاید حتی دانشمندان پیشین بابل، راه حل معادلات مربع، یک سیج هند بود. Budhoyama درگیر بود. این در حدود هشت قرن قبل از دوران مسیح اتفاق افتاد. درست است، معادله مرتبه دوم، روش های حل که او منجر شد، به طور همزمان بود. علاوه بر او، چنین سوالاتی به ریاضیدانان قدیمی و چینی علاقمند بود. در اروپا، معادلات مربع تنها در قرن ابتلا به XIII شروع به حل کردند، اما بعدا آنها در کار خود مانند دانشمندان بزرگ به عنوان نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر مورد استفاده قرار گرفتند.

من امیدوارم که مطالعه این مقاله، شما یاد خواهید گرفت که ریشه های یک معادله مربع کامل را پیدا کنید.

با کمک تشخیص، تنها معادلات مربع کامل حل شده است، برای حل معادلات مربع، روش های دیگر که در مقاله "تصمیم معادلات مربع ناقص" پیدا می شود استفاده می شود.

معادلات مربع به نام کامل هستند؟ آی تی معادلات فرم Ah 2 + B X + C \u003d 0جایی که ضرایب A، B و برابر صفر نیستند. بنابراین، برای حل یک معادله مربع کامل، لازم است محاسبه Discriminant D.

D \u003d B 2 - 4As.

بسته به نوع اهمیت متضاد، ما پاسخ را خواهیم نوشت.

اگر تشخیص یک عدد منفی باشد (D< 0),то корней нет.

اگر تبعیض به صفر باشد، x \u003d (-b) / 2a است. هنگامی که تبعیض آمیز یک عدد مثبت است (d\u003e 0)

سپس x 1 \u003d (-b - √d) / 2a، و x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.

مثلا. حل معادله x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

d \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

پاسخ: 2

حل معادله 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

d \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

پاسخ: بدون ریشه.

حل معادله 2 x 2 + 5X - 7 \u003d 0.

d \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

پاسخ: - 3.5؛ یک.

بنابراین بیایید تصور کنیم راه حل معادلات مربع کامل توسط طرح در شکل 1.

با توجه به این فرمول ها، شما می توانید هر معادله مربع کامل را حل کنید. شما فقط باید به دقت نظارت کنید معادله توسط چند جمله ای از یک نوع استاندارد ثبت شد.

ولی x 2 + bx + c، در غیر این صورت شما می توانید یک خطا ایجاد کنید. به عنوان مثال، در رکورد معادله X + 3 + 2X 2 \u003d 0، آن را به اشتباه می توان آن را حل کرد

a \u003d 1، b \u003d 3 و c \u003d 2. سپس

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 و سپس معادله دارای دو ریشه است. و این نادرست است (راه حل مثال مثال 2 را ببینید).

بنابراین، اگر معادله به یک چندجمله ای از یک گونه استاندارد نوشته نشود، در ابتدا یک معادله مربع کامل باید توسط یک چندجملهای یک گونه استاندارد ثبت شود (در ابتدا باید با بزرگترین شاخص، یعنی آن را ترک کند ولی x 2 سپس با کوچکتر – bxو سپس دیک رایگان از جانب.

هنگام حل معادله مربع معادله و معادله مربع با ضریب حتی با دومین دوره، فرمول های دیگر می تواند مورد استفاده قرار گیرد. بیایید با این فرمول ها آشنا شویم. اگر در یک معادله مربع کامل در اصطلاح دوم، ضریب حتی (B \u003d 2K)، سپس معادله با توجه به فرمول ها در شکل 2 می تواند حل شود.

معادله مربع کامل به نام فوق نامیده می شود، اگر ضریب آن باشد x 2 برابر با یک معادله فرم را می گیرد x 2 + px + q \u003d 0. چنین معادله ای می تواند برای حل کردن داده شود یا با تقسیم تمام ضرایب به معادله ضریب به دست آید ولیایستادن برای x 2 .

شکل 3 طرح حل مربع بالا را نشان می دهد
معادلات به عنوان مثال استفاده از فرمول های مورد نظر در این مقاله را در نظر بگیرید.

مثال. حل معادله

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

بیایید تصمیم گیری کنیم این معادله با استفاده از فرمول های نشان داده شده در طرح شکل 1.

d \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3)) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3)) / 6 \u003d -1 + √3

پاسخ: -1 - √3؛ -1 + √3

دیده می شود که ضریب x در این معادله یک عدد حقیقی است، یعنی B \u003d 6 یا B \u003d 2K، از جایی که K \u003d 3. ما سعی می کنیم معادله را با توجه به فرمول های نشان داده شده در نمودار D حل کنیم 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (d 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3)) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3)) / 3 \u003d - 1 + √3

پاسخ: -1 - √3؛ -1 + √3. متوجه شدم که تمام ضرایب در این معادله مربع به 3 و با انجام تقسیم تقسیم می شوند، ما با حل این معادله با استفاده از فرمول ها برای مربع مشخص شده، معادله مربع کاهش یافته X 2 + 2X - 2 \u003d 0 را به دست می آوریم
معادلات شکل 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (d 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3)) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3)) / 2 \u003d - 1 + √3

پاسخ: -1 - √3؛ -1 + √3.

همانطور که می بینیم، هنگام حل این معادله در فرمول های مختلف، ما همان پاسخ را دریافت کردیم. بنابراین، به خوبی از فرمول های نشان داده شده در طرح شکل 1 آگاه است، شما همیشه می توانید هر معادله مربع کامل را حل کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.