ما توسط S. کار خواهیم کرد معادلات مربع. این معادلات بسیار محبوب هستند! خیلی زیاد عمومی معادله مربع به نظر می رسد این است:

مثلا:

اینجا ولی =1; ب = 3; c. = -4

اینجا ولی =2; ب = -0,5; c. = 2,2

اینجا ولی =-3; ب = 6; c. = -18

خوب، شما فهمید ...

چگونه برای حل معادلات مربع؟ اگر یک معادله مربع در چنین فرم داشته باشید، همه چیز ساده است. یاد آوردن واژه جادویی تبعیض . دانش آموز دبیرستان نادر کلمه را نمی شنود! عبارت "تصمیم گیری از طریق تبعیض"، اعتماد به نفس را تحریک می کند و تشویق می کند. از آنجا که لازم نیست منتظر ترفندهای از تبعیض باشید! این در گردش ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای پیدا کردن ریشه های معادله مربع به نظر می رسد:

بیان تحت نشانه ریشه - و همان وجود دارد تبعیض. همانطور که می بینید، برای پیدا کردن ICA، ما استفاده می کنیم فقط a، b و با. کسانی که. ضرایب معادله مربع. فقط به طور منظم مقادیر را جایگزین می کند a، b و با در این فرمول و ما در نظر داریم جایگزین با علائم شما! به عنوان مثال، برای معادله اول ولی =1; ب = 3; c. \u003d -4 اینجا و نوشتن:

یک مثال عملا حل شده است:

این همه است

چه مواردی ممکن است هنگام استفاده از این فرمول امکان پذیر باشد؟ مجموع سه مورد.

1. تبعیض آمیز. این به این معنی است که باید ریشه را استخراج کنید. ریشه خوب استخراج شده یا بد است - سوال متفاوت است. مهم است که در اصل استخراج شود. سپس معادله مربع شما دارای دو ریشه است. دو راه حل متفاوت

2. تبعیض صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به شدت صحبت می کند، این یک ریشه نیست، اما دو یکسان. اما این نقش را در نابرابری ها ایفا می کند، ما دقیق تر خواهیم بود که این سوال را مطالعه کنیم.

3. تبعیض منفی است. از عدد منفی ریشه دوم حذف نشده است بسیار خوب. این به این معنی است که هیچ راه حل وجود ندارد.

همه چیز بسیار ساده است. و شما فکر می کنید اشتباه غیر ممکن است؟ خوب، بله، چطور ...
شایع ترین اشتباهات - سردرگمی با علائم ارزش ها a، b و با. در عوض، نه با نشانه های آنها (کجا اشتباه گرفته شده است؟)، و با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول برای محاسبه ریشه ها. در اینجا یک ورودی دقیق از فرمول با شماره های خاص است. اگر مشکلی با محاسبات وجود دارد، این کار را انجام دهید!

فرض کنید شما باید این را حل کنید:

اینجا a \u003d -6؛ b \u003d -5؛ c \u003d -1.

فرض کنید شما می دانید که شما به ندرت از اولین بار پاسخ می دهید.

خوب، تنبل نباشید یک خط اضافی را بنویسید ثانیه 30 ثانیه طول می کشد و تعداد خطاها به شدت برش دادن. در اینجا ما جزئیات را با تمام براکت ها و نشانه ها بنویسیم:

به نظر می رسد فوق العاده دشوار است، به طوری دقیق رنگ. اما فقط به نظر می رسد. تلاش كردن. خوب، یا انتخاب کنید بهتر است، سریع یا درست چیست؟ همچنین، من شما را می کشم بعد از مدتی، به دقت همه چیز را از بین می برد. خود درست خواهد بود. به ویژه اگر شما اعمال می کنید تکنیک های عملیآنچه در زیر شرح داده شده است. این مثال بد با یک دسته از معایب به راحتی و بدون خطا حل خواهد شد!

بنابراین، چگونه برای حل معادلات مربع از طریق تبعیض آمیز ما به یاد می آوریم. یا متوجه شدم که این نیز خوب است. می دانید چگونه به درستی تعریف کنید a، b و با. دانش با دقت آنها را در فرمول ریشه جایگزین کنید با دقت شمارش نتیجه شما فهمید که کلمه کلیدی اینجاست - با دقت؟

با این حال، معادلات مربع کمی متفاوت هستند. به عنوان مثال، مثل این:

آی تی معادلات مربع ناقص . آنها همچنین می توانند از طریق تبعیض آمیز حل شوند. فقط لازم است به درستی تصور کنیم که چه چیزی برابر است a، b و با.

تصحیح شده؟ در مثال اول a \u003d 1؛ B \u003d 4؛ ولی c.؟ هیچ کس وجود ندارد! خوب، بله، درست است. در ریاضیات، این به این معنی است که c \u003d 0 ! این همه است ما به جای فرمول صفر جایگزین می شویم c، و همه چیز تبدیل خواهد شد. به طور مشابه، با مثال دوم. فقط صفر اینجا نیست از جانب، ولی ب !

اما معادلات ناقص مربع را می توان بسیار ساده تر کرد. بدون هیچ گونه تبعیض آمیز اولین معادله ناقص را در نظر بگیرید. چه چیزی را می توان در سمت چپ انجام داد؟ شما می توانید برای براکت ها را ایجاد کنید! بیایید بیرون بیاییم

و چه از این؟ و این واقعیت که کار صفر است، و تنها زمانی که برخی از چند ضلعی برابر صفر است! باور نکن؟ خوب، دو عدد غیر صفر را بیاورید، که به صفر می رسد!
کار نمی کند؟ این چیزی است که ...
در نتیجه، شما می توانید با اطمینان بنویسید: x \u003d 0، یا x \u003d 4

همه چيز. این ریشه های معادله ما خواهد بود. هر دو مناسب هستند هنگامی که جایگزین هر یک از آنها را به معادله اصلی، ما یک هویت وفادار را به دست می آوریم 0 \u003d 0. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از از طریق تبعیض آمیز است.

معادله دوم نیز می تواند به سادگی حل شود. ما 9 را به سمت راست حمل می کنیم. ما گرفتیم:

این ریشه برای استخراج از 9 است، و این است. به نظر می رسد:

همچنین دو ریشه . x \u003d +3 و x \u003d -3.

بنابراین تمام معادلات مربع ناقص حل شده است. یا با ساخت iksa برای براکت یا ماشه ساده اعداد درست با استخراج بعدی ریشه هستند.
این تکنیک ها بسیار دشوار است. به سادگی به این دلیل که در اولین مورد شما باید ریشه را از XCA استخراج کنید، که به نحوی روشن نیست، و در مورد دوم، چیزی برای براکت نیست ...

و اکنون از تکنیک های عملی استفاده کنید که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد. بیشتر به خاطر عدم توجه ... که پس از آن این اتفاق می افتد صدمه دیده و صدمه دیده است ...

اولین پذیرش. قبل از حل معادله مربع، آن را به شکل استاندارد، تنبل نکنید. این یعنی چی؟
فرض کنید، پس از تمام تحولات، شما چنین معادله ای را دریافت کردید:

عجله نکنید که فرمول ریشه را بنویسید! تقریبا احتمالا ضرایب را اشتباه می گیرید a، b و s یک مثال درست بسازید اول، X در مربع است، سپس بدون مربع، سپس یک دیک رایگان. مثل این:

و دوباره عجله نکنید! منهای در مقابل IX در مربع می تواند سالم باشد تا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آن آسان ... خلاص شدن از شر یک منهای. چطور؟ بله، همانطور که در موضوع قبلی تدریس شد! ضروری است که کل معادله را در -1 افزایش دهیم. ما گرفتیم:

اما اکنون شما می توانید با خیال راحت فرمول ریشه را ضبط کنید، تبعیض و مثال را در نظر بگیرید. خودت را بساز شما باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرش دو ریشه ها را بررسی کنید! در قضیه Vieta. نترسید، همه چیز را توضیح خواهم داد! بررسی آخرین چیز معادله. کسانی که. که ما فرمول ریشه را ثبت کردیم. اگر (همانطور که در این مثال) ضریب a \u003d 1، ریشه ها را به راحتی بررسی کنید. به اندازه کافی آنها را چند برابر کنید. باید یک عضو آزاد باشد، I.E. در مورد ما -2. توجه داشته باشید، نه 2، و -2! دیک رایگان با علامت شما . اگر کار نمی کرد، به این معنی است که جایی که انباشته شده اند. به دنبال یک خطا باشید اگر این اتفاق افتاد - لازم است ریشه ها را از بین ببریم. آخرین و نهایی چک باید ضریب را رخ دهد ب از جانب مخالف امضاء کردن. در مورد ما -1 + 2 \u003d +1. و ضریب بکه در مقابل IX است، برابر با -1 است. بنابراین، همه چیز درست است!
این تاسف است که نمونه هایی ساده است، جایی که X تمیز است، با ضریب a \u003d 1 اما حداقل در چنین معادلات چک کنید! همه چيز اشتباهات کمتر خواهد بود.

سومین. اگر ضرایب کسری در معادله شما وجود داشته باشد، از شر کسرها خلاص شوید! معادله چندگانه بر اساس مخرج مشترکهمانطور که در بخش قبلی شرح داده شده است. هنگام کار با کسری از خطا، به دلایلی و صعود ...

به هر حال، من یک مثال بد را با یک دسته از معایب به ساده سازی کردم. خواهش میکنم! ایناهاش.

به منظور اشتباه در معایب، معادله در -1 غالب است. ما گرفتیم:

این همه! تصمیم بگیرید - یک لذت!

بنابراین، موضوع را خلاصه کنید.

توصیه عملی:

1. قبل از حل، ما یک معادله مربع به فرم استاندارد ارائه می دهیم، آن را ساختیم درست.

2. اگر یک ضریب منفی ارزش یک ضریب منفی قبل از x باشد، ضرب آن از کل معادله را در -1 حذف کنید.

3. اگر ضرایب کسری از بین بردن کسری با ضرب کل معادله به چند ضلعی متناظر حذف شود.

4. اگر x در مربع باشد - تمیز، ضریب برابر با یک است، راه حل را می توان به راحتی توسط قضیه Vieta بررسی کرد. انجام دهید!

معادلات کسری فرد

ما همچنان به معادلات را بررسی می کنیم. ما در حال حاضر از چگونگی کار با معادلات خطی و مربع آگاهیم. آخرین دیدگاه باقی مانده است - معادلات کسری. یا آنها نیز بسیار جامد تر هستند - کسری معادلات منطقی . این همان است.

معادلات کسری

همانطور که به وضوح از نام، کسرها لزوما در این معادلات وجود دارد. اما نه فقط یک کسری، و فریتی که دارند ناشناخته در نامزدی. حداقل در یک. مثلا:

اجازه بدهید به شما یادآوری کنم اگر فقط در مخازن شمارهاین معادلات خطی هستند.

چگونه تصمیم بگیرد معادلات کسری؟ اول از همه - خلاص شدن از شر قطعات! پس از آن، معادله اغلب به خطی یا مربع تبدیل می شود. و سپس ما می دانیم چه باید بکنیم ... در بعضی موارد می توانید به هویت تبدیل شوید، نوع 5 \u003d 5 یا یک عبارت نادرست را تایپ کنید، نوع 7 \u003d 2. اما به ندرت اتفاق می افتد در زیر من در مورد آن صحبت می کنم.

اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ بسیار ساده. اعمال تمام تبدیل هویت همان.

ما باید تمام معادله را برای همان بیان چند برابر کنیم. به طوری که همه نامزدها آرام هستند! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. من در مثال توضیح می دهم اجازه دهید ما نیاز به حل معادله:

نحوه تدریس B. کلاس جوان؟ ما همه چیز را در یک جهت حمل می کنیم، منجر به یک معیار مشترک و غیره می شود. فراموش کنید که یک رویای وحشتناک! بنابراین شما باید زمانی که شما عبارات کسر می کنید، باید انجام دهید. یا کار با نابرابری ها. و در معادلات، ما بلافاصله هر دو بخش را بر روی بیان بیان می کنیم که به ما فرصتی می دهد تا تمامی نامزدها را کاهش دهد (یعنی اساسا در مورد معادله عمومی). و این عبارت چیست؟

در قسمت چپ برای کاهش مخارج، ضرب مورد نیاز است x + 2. . و در سمت راست ضرب مورد نیاز 2. بنابراین، معادله باید ضرب شود 2 (x + 2). تکثیر کردن:

این ضرب معمول از کسری است، اما من جزئیات را خواهم نوشت:

توجه داشته باشید، من هنوز براکت را نشان نمی دهم (x + 2)! بنابراین، من به طور کامل نوشتم:

در سمت چپ به طور کامل کاهش می یابد (x + 2)، و در سمت راست 2. چه مورد نیاز بود! پس از برش، ما دریافت می کنیم خطی معادله:

و این معادله قبلا تصمیم می گیرد هر کسی را انتخاب کند! x \u003d 2.

من یک مثال دیگر تصمیم می گیرم، کمی پیچیده تر است:

اگر به یاد داشته باشید که 3 \u003d 3/1، و 2x \u003d 2x /1، شما می توانید بنویسید:

و دوباره ما از آنچه که ما واقعا دوست نداریم خلاص شویم - از فراکسیون ها.

ما می بینیم که برای کاهش مخزن با XA، شما باید کسری را افزایش دهید (x - 2). و واحدهای ما دخالت نمی کنیم. خوب، ضرب همه قسمت چپ اول همه قسمت راست:

براکت های بالا (x - 2) من نمی فهمم من با یک براکت به طور کلی کار می کنم، مثل اینکه یک عدد است! بنابراین شما همیشه باید انجام دهید، در غیر این صورت هیچ چیز کاهش نخواهد یافت.

با احساس رضایت عمیق کاهش می یابد (x - 2) و ما معادله را بدون هیچ گونه کسری، در Lineshek دریافت می کنیم!

اما حالا ما قبلا براکت ها را نشان می دهیم:

ما این چیزها را می دهیم، همه چیز را به سمت چپ انتقال می دهیم و ما دریافت می کنیم:

معادله مربع کلاسیک. اما منهای پیش رو خوب نیست. شما همیشه می توانید از آن خلاص شوید، ضرب یا تقسیم بر -1. اما اگر به عنوان مثال نگاه کنید، می توانید ببینید که بهتر است این معادله را به -2 تقسیم کنید! یک اسمیر و منهای ناپدید می شوند، و ضرایب زیباترین تبدیل خواهد شد! delim در -2. در سمت چپ - خاک، و در سمت راست - فقط صفر تقسیم بر روی -2، صفر و دریافت:

ما از طریق تبعیض آمیز و بررسی قضیه Vieta تصمیم می گیریم. دريافت كردن x \u003d 1 و x \u003d 3. دو ریشه

همانطور که می بینیم، در اولین مورد، معادله پس از تبدیل شدن به خطی تبدیل شده است، و در اینجا مربع است. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از شر کسرها، تمام Xers کاهش می یابد. چیزی باقی مانده است، مانند 5 \u003d 5. این به آن معناست که x می تواند هر. هر چه هست، هنوز هم کاهش می یابد. و این حقیقت خالص را به دست می آورد، 5 \u003d 5. اما، پس از خلاص شدن از شر کسرها، ممکن است به طور کامل نادرست باشد، نوع 2 \u003d 7. و این به این معنی است که بدون راه حل! با هر IQA، به نظر نمی رسد درست نیست.

راه اصلی حل را تحقق بخشید معادلات کسری ؟ این ساده و منطقی است. ما بیان اصلی را تغییر می دهیم تا همه چیزهایی که ما دوست نداریم ناپدید می شوند. یا تداخل در این مورد، آن کسری است. به طور مشابه، ما با انواع نمونه های پیچیده با لگاریتم ها، سینوس و دیگر وحشت ها همراه خواهیم بود. ما همیشه ما از این همه خلاص خواهیم شد.

با این حال، برای تغییر بیان اصلی در جهت شما نیاز دارید با توجه به قوانینبله ... توسعه آن آماده سازی برای امتحان در ریاضیات است. بنابراین ما کارشناسی ارشد

حالا ما یاد خواهیم گرفت که یکی از آنها را دور بزنیم ambigu اصلی در امتحان! اما برای شروع، بیایید ببینیم، آیا به آن می رسیم یا نه؟

ما یک مثال ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

مورد در حال حاضر آشنا است، ما هر دو بخش را افزایش می دهیم (x - 2)ما گرفتیم:

من با براکت ها به شما یادآوری می کنم (x - 2) ما با یک عبارت جامع کار می کنیم!

در اینجا من دیگر هیچ کس را در نامزدی نوشتم، هیچ فروپاشی ... و براکت ها در نامزدها قرعه کشی نکردند، به جز x - 2 نه، نمی توانید قرعه کشی کنید ماهی قرمز:

ما براکت ها را نشان می دهیم، همه چیز را به سمت چپ انتقال می دهیم، به این موارد:

ما تصمیم می گیریم که آیا ما بررسی می کنیم، ما دو ریشه داریم. x \u003d 2 و x \u003d 3. عالی.

فرض کنید در این کار می گوید که ریشه یا مجموع آنها را بنویسید، اگر ریشه ها بیش از یک باشد. چه چیزی می نویسیم؟

اگر تصمیم بگیرید که پاسخ 5 است، - شما آمار کمین. و این کار شمارش نمی شود. بیهوده کار کرد ... پاسخ صحیح 3 است.

موضوع چیه؟! و شما سعی می کنید چک کنید جایگزین مقادیر ناشناخته در منبع مثال. و اگر برای x \u003d 3 ما همه ما فوق العاده رشد می کنیم، ما 9 \u003d 9، پس از آن x \u003d 2 این به صفر تقسیم خواهد شد! چه چیزی نمی تواند به طور قطعی انجام شود. بنابراین x \u003d 2 این تصمیم نیست و در پاسخ به حساب نمی آید. این به اصطلاح غریبه یا ریشه بیش از حد است. ما فقط آن را پرتاب می کنیم. ریشه نهایی یکی است. x \u003d 3.

چطور؟! - من می شنوم عجیب غریب ما آموختیم که معادله را می توان با بیان افزایش داد! این یک تبدیل یکسان است!

بله، یکسان است. با یک شرط کوچک - بیان که در آن ما ضرب (تقسیم) - پر از صفر. ولی x - 2 برای x \u003d 2 به همان اندازه صفر است! بنابراین همه چیز صادق است

و حالا چه کاری می توانم انجام دهم؟! یک عبارت را چند برابر نکنید؟ هر بار چک کردن انجام دهید؟ دوباره روشن نیست!

آرامش بدون وحشت!

در این وضعیت دشوار، ما سه نامه جادویی را ذخیره خواهیم کرد. من می دانم که شما در مورد آن فکر کردید درست! آی تی فرد . مساحت مقادیر مجاز.

شناخته شده است که این یک تجسم خاص از برابری AH 2 + VX + C \u003d O، جایی که A، B و C - ضرایب واقعی در یک ناشناخته X، و جایی که ≠ آه، و B و C خواهد شد صفر - همزمان یا جدا از هم. به عنوان مثال، C \u003d O، در ≠ O یا بالعکس. ما تقریبا تعریف یک معادله مربع را به یاد می آوریم.

ماشه درجه دوم صفر است. ضریب اول a ≠ o، b و c می تواند هر مقدار را داشته باشد. مقدار متغیر x پس از آن زمانی خواهد بود که جایگزینی آن را به برابری عددی صحیح تبدیل می کند. اجازه دهید ما را در ریشه های واقعی زندگی کنیم، هرچند راه حل های معادله نیز ممکن است به طور کامل معادله نامیده شود که در آن هیچ یک از ضرایب برابر نیست، و ≠ O، در ≠ o، با ≠ در مورد.
من یک مثال را حل می کنم. 2x 2 -9x-5 \u003d o، ما پیدا می کنیم
d \u003d 81 + 40 \u003d 121،
D مثبت، سپس ریشه ها در دسترس هستند، x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5، و دوم x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d-i، 5. چک کمک می کند تا مطمئن شوید که درست هستند.

در اینجا یک راه حل فاز یک معادله مربع است

از طریق تشخیص، هر معادله را می توان در قسمت چپ حل کرد که میدان مغناطیسی شناخته شده سه درجه را در حدود ≠ در مورد آن حل کرد. در مثال ما 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH 2 + VX + C \u003d O)

معادلات ناقص درجه دوم را در نظر بگیرید

1. آه 2 + VH \u003d O. اصطلاح آزاد، ضریب x 0، در اینجا صفر است، در ≠ o.
   چگونه یک معادله مربع ناقص این نوع را حل کنیم؟ ما X را برای braces انجام می دهیم. ما به یاد می آوریم زمانی که محصول دو میلی ثانیه صفر است.
   x (ax + b) \u003d o، ممکن است زمانی باشد که x \u003d o یا هنگامی که ax + b \u003d o.
   پس از تصمیم گیری دوم ما x \u003d -b / a داریم.
   در نتیجه، ما با توجه به محاسبات x 2 \u003d -b / a، ریشه های x 1 \u003d 0 را داریم.
2. در حال حاضر ضریب x برابر است، و نه برابر با (≠) در مورد.
   x 2 + c \u003d o. ما با سمت راست برابری انتقال می دهیم، ما X 2 \u003d -C را به دست می آوریم. این معادله تنها پس از آن ریشه های واقعی است مثبت (با \u003co)
   X 1 برابر با √ (-c) به ترتیب X 2 ---√ (-C) است. در غیر این صورت، معادله به هیچ وجه ریشه ندارد.
3. آخرین نوع: b \u003d c \u003d o، یعنی آه 2 \u003d o. به طور طبیعی، چنین معادله ساده دارای یک ریشه، x \u003d o است.

موارد خصوصی

نحوه حل معادله مربع ناقص در نظر گرفته شده است، و در حال حاضر ما هر گونه نوع.

• در یک معادله مربع کامل، ضریب دوم در x یک عدد حقیقی است.
  اجازه دهید k \u003d o، 5b باشد. ما فرمول هایی برای محاسبه تبعیض و ریشه داریم.
  D / 4 \u003d K 2 - AC، ریشه ها محاسبه می شوند، بنابراین x 1.2 \u003d (-K ± √ (d / 4)) / a با d\u003e o.
  x \u003d -k / a برای d \u003d o.
  هیچ ریشه برای d \u003co نیست.
• معادلات مربع کاهش یافته است زمانی که ضریب x در مربع 1 است، آنها برای ضبط x 2 + px + q \u003d o گرفته می شوند. تمام فرمول های بالا بر روی آنها پخش می شوند، محاسبات تا حدودی ساده تر است.
  مثال، x 2 -4x-9 \u003d 0. محاسبه D: 2 2 +9، d \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13، x 2 \u003d 2-√13.
• علاوه بر این، آن را به راحتی استفاده می شود در آن می گوید که مقدار ریشه های معادله معادله -P، ضریب دوم با منهای (معنی به دلیل علامت مخالف)، و محصول ریشه های مشابه برابر با Q، یک عضو آزاد است. بررسی کنید که چگونه می تواند به راحتی به طور شفاهی ریشه های این معادله را تعیین کند. برای پرداخت بدون پرداخت (با تمام ضرایب غیر صفر)، این قضیه قابل اجرا است، بنابراین مجموع X 1 + X 2 برابر با -B / A است، محصول X 1 · x 2 برابر با C / A است.

مقدار عضو رایگان C و ضریب اول A برابر با ضریب B است. در این وضعیت، معادله کمتر از یک ریشه (به راحتی ثابت شده است)، اولین بار لزوما برابر با -1 است، و دوم- ° C / A، اگر آن وجود دارد. چگونه می توان یک معادله مربع ناقص را حل کرد، می توانید خودتان را بررسی کنید. به آسانی به عنوان پای. ضرایب می تواند در برخی از روابط بین خود باشد.

• x 2 + x \u003d o، 7x 2 -7 \u003d o.
• مجموع ضرایب برابر است.
  ریشه ها در چنین معادله ای - 1 و S / A. به عنوان مثال، 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 13/2.

تعدادی از راه های دیگر برای حل معادلات مختلف درجه دوم وجود دارد. در اینجا، به عنوان مثال، روش جداسازی از این چندجملهای یک مربع کامل. روش های گرافیکی چندین است. هنگامی که شما اغلب با چنین نمونه هایی برخورد می کنید، یاد بگیرید که آنها را مانند بذرها، مانند بذرها کلیک کنید، زیرا تمام راه ها به طور خودکار به ذهن می آیند.

که در جامعه مدرن توانایی انجام اقدامات با معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع ممکن است در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده ای در عمل در پیشرفت های علمی و فنی مورد استفاده قرار گیرد. شواهد این می تواند به طراحی کشتی های دریایی و رودخانه، هواپیما و موشک ها خدمت کند. با چنین محاسبات، مسیرهای حرکت بیشتر انواع تلفن های مختلف، از جمله اشیاء فضایی. نمونه هایی از نمونه هایی با محلول معادلات مربع نه تنها در پیش بینی اقتصادی، طراحی و ساخت و ساز ساختمان ها، بلکه در شرایط عادی روزمره استفاده می شود. آنها ممکن است در کمپین های توریستی، در ورزش، در فروشگاه های خرید و در سایر شرایط بسیار رایج مورد نیاز باشند.

ما بیان را بر اجزای ضرب کننده ها شکست می دهیم

درجه معادله تعیین می شود حداکثر ارزش درجه ای در متغیر که این عبارت حاوی آن است. در صورتی که 2 باشد، چنین معادله ای فقط مربع است.

اگر زبان فرمول ها بیان شود، عبارات مشخص شده، مهم نیست که چگونه آنها نگاه می کنند، همیشه می توانند زمانی ایجاد شوند بخش چپ عبارات شامل سه اصطلاح است. در میان آنها: AX 2 (یعنی متغیر به یک مربع با ضریب آن)، BX (ناشناخته بدون مربع با ضریب آن) و C (جزء آزاد، یعنی شماره معمول) است. همه اینها در سمت راست برابر با 0. در مورد زمانی که هیچ یک از اجزای آن شرایط آن وجود ندارد، به استثنای تبر 2، معادله مربع ناقص نامیده می شود. نمونه هایی از حل این وظایف، ارزش متغیرهایی که در آن آسان است برای پیدا کردن، باید ابتدا در نظر گرفته شود.

اگر عبارت ظاهر می شود به نظر می رسد به طوری که دو، دقیق تر، AX 2 و BX، بیان بر بیان بر عبارت در سمت راست، ساده تر برای پیدا کردن یک متغیر برای براکت ها است. در حال حاضر معادله ما به نظر می رسد: X (AX + B). بعد، آن را واضح می شود که یا X \u003d 0 یا کار به منظور پیدا کردن یک متغیر از عبارت زیر کاهش می یابد: AX + B \u003d 0. یکی مشخص شده یکی از خواص ضرب شده است. این قانون می گوید که محصول دو عامل به عنوان یک نتیجه از 0 تنها در صورتی است که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x \u003d 0 یا 8x - 3 \u003d 0

در نتیجه، ما دو ریشه از معادله را به دست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات این نوع می تواند حرکت بدن را تحت تاثیر گرانش توصیف کند، که جنبش را از یک نقطه خاص در ابتدای مختصات آغاز کرد. در اینجا، رکورد ریاضی فرم زیر را می گیرد: y \u003d v 0 t + gt 2/2. جایگزینی مقادیر لازم، معادل سمت راست 0 و پیدا کردن ناشناخته های احتمالی، شما می توانید زمان عبور از لحظه افزایش بدن را تا زمانی که سقوط آن، و همچنین بسیاری از ارزش های دیگر را پیدا کنید. اما ما بعدا درباره آن صحبت خواهیم کرد.

تجزیه بیان بر ضرب کننده

قانون شرح داده شده در بالا به شما اجازه می دهد تا وظایف مشخص شده را حل کنید و در بیشتر موارد موارد پیچیده. مثالها را با حل معادلات مربع این نوع در نظر بگیرید.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0

این مربایت مربعی کامل است برای شروع، ما این عبارت را تغییر می دهیم و آن را برای چند ضلعی تجزیه می کنیم. آنها دو نفر به دست می آیند: (x-8) و (x-25) \u003d 0. به عنوان یک نتیجه، ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

نمونه هایی از حل معادلات مربع در کلاس 9 اجازه می دهد این روش برای پیدا کردن یک متغیر در عبارات نه تنها دوم، بلکه حتی سفارشات سوم و چهارم.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. با تجزیه قسمت راست چند ضلعی با متغیر، آنها سه، آن، (x + 1)، (x-3) و ( x + 3).

در نتیجه، واضح است که این معادله سه ریشه دارد: -3؛ -On؛ 3

ریشه مربع را استخراج کنید

مورد دیگر معادله ناقص ترتیب دوم عبارت است که در زبان حروف ارائه شده به گونه ای است که سمت راست از اجزای تبر 2 و C ساخته شده است. در اینجا، برای مقدار متغیر، عضو آزاد به سمت راست منتقل می شود و سپس یک ریشه مربع از هر دو قسمت برابری استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این مورد ریشه های معادله معمولا دو است. یک استثنا تنها می تواند برابر با برابری باشد، به طور کلی حاوی اصطلاح C نیست، جایی که متغیر صفر است، و همچنین گزینه هایی برای عبارات، زمانی که سمت راست به نظر می رسد منفی است. در مورد دوم، راه حل ها وجود ندارد، از آنجا که عمل فوق را نمی توان با ریشه تولید کرد. نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این مورد، ریشه های معادله -4 و 4 خواهد بود.

محاسبه یک طرح زمین

نیاز به چنین محاسبات در دوران باستان عمیق ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در بسیاری از موارد در آن زمان های دور به دلیل نیاز به تعیین دقت ترین منطقه و محیط زمین های زمین بود.

مثالها با حل معادلات مربع بر اساس وظایف این نوع، باید به ما در نظر گرفته شود.

بنابراین، بگذارید بگوییم یک قطعه مستطیل شکل وجود دارد، که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. این باید طول، عرض و محیط اطراف سایت پیدا شود، اگر شناخته شده باشد که منطقه آن برابر با 612 متر مربع است.

شروع یک ماده، ابتدا معادله لازم را انجام دهید. نشان دادن x عرض سایت، سپس طول آن خواهد بود (x + 16). از نوشته شده است که این منطقه توسط بیان X (X + 16) تعیین می شود که، با توجه به شرایط مشکل ما، 612 است. این به این معنی است که x (x + 16) \u003d 612.

راه حل معادلات مربع کامل، و این عبارت دقیقا چنین است، نمی تواند به همان شیوه انجام شود. چرا؟ اگر چه سمت چپ آن هنوز هم شامل دو عامل است، محصول به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین روش های دیگر در اینجا استفاده می شود.

تبعیض

اول از همه، ما تحولات لازم را تولید خواهیم کرد، سپس ظاهر این عبارت به نظر می رسد: X 2 + 16X - 612 \u003d 0. این بدان معنی است که ما یک عبارت را در فرم مربوط به استاندارد قبلا مشخص شده دریافت کردیم، جایی که A \u003d 1، B \u003d 16، C \u003d -612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات مربع از طریق تبعیض آمیز باشد. اینجا محاسبات مورد نیاز تولید شده با توجه به طرح: D \u003d B 2 - 4AC. این مقدار کمکی فقط امکان پیدا کردن ارزش های مورد نظر را در معادله دوم مرتبه پیدا نمی کند، آن را تعیین می کند گزینه های احتمالی. در مورد D\u003e 0، دو وجود دارد؛ هنگامی که d \u003d 0، یک ریشه وجود دارد. در مورد د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تبعیض آمیز است: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. این نشان می دهد که پاسخ از کار ما وجود دارد. اگر می دانید، K، راه حل معادلات مربع باید با استفاده از فرمول زیر ادامه یابد. این اجازه می دهد تا شما را به محاسبه ریشه ها.

این به این معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 \u003d 18، x 2 \u003d -34. نسخه دوم در این معضل نمی تواند یک راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، به این معنی X (یعنی عرض سایت) 18 متر است. از اینجا، ما طول را محاسبه می کنیم: 18 + 16 \u003d 34، و محیط 2 (34 + 18) \u003d 104 (m 2).

نمونه ها و اهداف

ما همچنان به مطالعه معادلات مربع ادامه می دهیم. نمونه ها و یک راه حل دقیق از چندین آنها بعدا داده می شود.

1) 15X 2 + 20X + 5 \u003d 12X 2 + 27X + 1

ما همه چیز را به قسمت سمت چپ برابری انتقال می دهیم، ما یک تحول را ایجاد خواهیم کرد، یعنی فرم معادله ای است که استاندارد نامیده می شود و آن را با صفر ارزیابی می کنیم.

15X 2 + 20X + 5 - 12x 2 - 27X - 1 \u003d 0

پس از تاشو مانند، ما تعریف را تعریف می کنیم: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. بنابراین، معادله ما دو ریشه دارد. ما آنها را طبق فرمول بالا محاسبه می کنیم، به این معنی که اولین یکی از آنها 4/3 و دوم است.

2) حالا معماهای دیگری را نشان می دهد.

پیدا کردن، آیا ریشه در اینجا x 2 - 4x + 5 \u003d 1 وجود دارد؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، ما چندجملهای را به آشنایی مناسب ارائه می دهیم و تبعیض آمیز را محاسبه می کنیم. در مثال مشخص شده، راه حل معادله مربع لازم نیست، زیرا ماهیت این کار در این مورد نیست. در این مورد، d \u003d 16 - 20 \u003d 4، به این معنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه Vieta

معادلات مربع به راحتی از طریق فرمول های بالا و تبعیض آمیز زمانی که ریشه مربع از آخرین مقدار استخراج می شود، حل می شود. اما همیشه اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن متغیرها در این مورد وجود دارد. به عنوان مثال: راه حل های معادلات مربع در قضیه Vieta. او به خاطر استعدادهای ریاضی و حیاط های ریاضی خود، نامگذاری شده است. پرتره از آن را می توان در مقاله دیده می شود.

الگوی معروف فرانسه اشاره کرد که به شرح زیر است. او ثابت کرد که ریشه های معادله در مقدار به صورت عددی برابر با -p \u003d b / a است، و محصول آنها مربوط به q \u003d c / a است.

در حال حاضر وظایف خاص را در نظر بگیرید.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

برای سادگی، ما بیان را تغییر می دهیم:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

ما از قضیه Vieta استفاده می کنیم، به ما موارد زیر را می دهد: مقدار ریشه ها -7 و کار آنها -18 است. از اینجا، ما به دست می آوریم که ریشه های معادله اعداد -9 و 2. پس از انجام چک، اطمینان حاصل کنید که این مقادیر متغیرها واقعا در بیان مناسب هستند.

معادله گراف و Parabola

مفاهیم عملکرد درجه دوم و معادلات مربع نزدیک به یکدیگر متصل هستند. نمونه هایی از این قبلا قبلا نشان داده شده است. در حال حاضر برخی از معماهای ریاضی کمی بیشتر. هر معادله نوع توصیف شده را می توان تصور کرد. وابستگی مشابهی که به شکل یک گراف کشیده شده است، یک پارابولا نامیده می شود. انواع مختلف او در شکل زیر نشان داده شده است.

هر پارابولا دارای یک رأس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن بیرون می آیند. در مورد A\u003e 0، آنها در بی نهایت بالا و زمانی که یک<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تصاویر بصری از توابع به حل هر معادلات، از جمله مربع کمک می کند. این روش گرافیک نامیده می شود. و مقدار متغیر X مختصات Abscissa در نقاط جایی است که گراف نمودار از 0x عبور می کند. مختصات رأس ها را می توان با توجه به تنها فرمول داده شده X 0 \u003d -B / 2A یافت. و جایگزینی مقدار حاصل به معادله اولیه تابع، شما می توانید Y 0 را یاد بگیرید، یعنی هماهنگی دوم رأس مروارید متعلق به محور واحد.

عبور از شاخه های پارابولا با محور Abscissa

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع بسیار زیاد است، اما الگوهای کلی وجود دارد. آنها را در نظر بگیرید واضح است که تقاطع گراف با محور 0X در A\u003e 0 تنها ممکن است اگر 0 مقدار منفی را دریافت کند. و برای A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

با توجه به نمودار، پارابولا ها را می توان تعریف کرد و ریشه ها. مخالفش هم درست است. یعنی اگر یک تصویر بصری دریافت کنید تابع درجه دوم آسان نیست که سمت راست بیان را به 0 تقسیم کنید و معادله به دست آمده را حل کنید. و دانستن نقاط تقاطع با محور 0X، برنامه ریزی آسان تر است.

از تاریخ

با کمک معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع، در روزهای قدیمی نه تنها محاسبات ریاضی را انجام داد و منطقه ای از ارقام هندسی را تعیین کرد. محاسبات مشابهی از باستان برای اکتشافات بزرگ در زمینه فیزیک و نجوم مورد نیاز بود، و همچنین برای تهیه پیش بینی های طالع بینی.

به عنوان ارقام علمی مدرن نشان می دهد، در میان اولین راه حل های معادلات مربع، ساکنان بابل به دست آمد. این در چهار قرن قبل از شروع دوره ما اتفاق افتاد. البته محاسبات آنها در ریشه متفاوت از حالا تصویب شده و معلوم شد که بسیار ابتدایی است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین در مورد وجود تعداد منفی هیچ نظری نداشتند. غریبه ها نیز ظرافت های دیگر را از کسانی که هر دانش آموز از زمان ما را می دانند، داشتند.

شاید حتی دانشمندان پیشین بابل، راه حل معادلات مربع، یک سیج هند بود. Budhoyama درگیر بود. این در حدود هشت قرن قبل از دوران مسیح اتفاق افتاد. درست است، معادله مرتبه دوم، روش های حل که او منجر شد، به طور همزمان بود. علاوه بر او، چنین سوالاتی به ریاضیدانان قدیمی و چینی علاقمند بود. در اروپا، معادلات مربع تنها در قرن ابتلا به XIII شروع به حل کردند، اما بعدا آنها در کار خود مانند دانشمندان بزرگ به عنوان نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر مورد استفاده قرار گرفتند.

معادله مربع - به سادگی حل شده است! * بعدی در متن "ku".دوستان به ظاهر، ممکن است در ریاضیات ساده تر از یک راه حل برای چنین معادله ای باشد. اما چیزی به من پیشنهاد کرد که بسیاری از آنها با او مشکل دارند. من تصمیم گرفتم ببینم که چگونه بسیاری از برداشت ها در هر ماه به Yandex می دهد. این چه اتفاقی افتاد، نگاه کنید به:

چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70،000 نفر به دنبال این اطلاعات در هر ماه هستند، این تابستان چیست، و آنچه در میان سال تحصیلی خواهد بود - درخواست ها دو برابر بیشتر خواهد بود. تعجب آور نیست، زیرا این بچه ها و دخترانی که از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای امتحان آماده می شوند، آنها به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان به دنبال آن را در حافظه تازه می کنند.

با وجود این واقعیت که بسیاری از سایت هایی وجود دارد که در آن توضیح داده شده است که چگونه این معادله را حل می کند، تصمیم گرفتم سهم خود را انجام دهم و مواد را منتشر کنم. اول، من می خواهم به سایت من برای این درخواست بروم و بازدید کنندگان به سایت من آمدند؛ ثانیا، در مقالات دیگر، زمانی که سخنرانی "KU" به این مقاله اشاره می کند؛ سوم، من به شما در مورد تصمیم خود به شما بگویم کمی بیشتر از معمولا در سایت های دیگر. بایر!محتوای مقاله:

معادله مربع معادله فرم است:

جایی که ضرایب Aب و با شماره های دلخواه، با چیزی ≠ 0.

در دوره مدرسه، مواد به صورت زیر داده می شود - جداسازی معادلات در هر سه کلاس به صورت مشروط انجام می شود:

1. دو ریشه داشته باشید.

2. * تنها یک ریشه وجود دارد.

3. ریشه نداشته باشید. لازم به ذکر است که آنها ریشه های معتبر ندارند

چگونه ریشه ها محاسبه می شوند؟ به سادگی!

محاسبه تبعیض آمیز. در این کلمه "وحشتناک" کلمه کاملا ساده است:

فرمول های ریشه فرم زیر را دارند:

* این فرمول ها باید قلب را بدانند.

شما بلافاصله می توانید بنویسید و تصمیم بگیرید:

مثال:

1. اگر D\u003e 0، معادله دارای دو ریشه است.

2. اگر d \u003d 0، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این مناسبت، زمانی که تبعیض صفر است، در دوره مدرسه گفته شده است که یکی از ریشه ها به نظر می رسد، در اینجا برابر نه برابر است. درست است و وجود دارد، اما ...

این دیدگاه تا حدودی نادرست است. در واقع، دو ریشه به دست می آید. بله، شگفت زده نشوید، دو ریشه برابر به دست می آیند، و اگر شما ریاضی دقیق هستید، باید در پاسخ به دو ریشه باید ثبت شود:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

اما این یک عقب نشینی کمی است. در مدرسه می تواند بنویسد و بگوید که ریشه یکی است.

در حال حاضر مثال زیر است:

همانطور که می دانیم - ریشه تعداد منفی حذف نمی شود، بنابراین در این مورد هیچ راه حل وجود ندارد.

این کل فرآیند راه حل است.

تابع درجه دوم.

در اینجا نشان داده شده است که چگونه راه حل به نظر هندسی به نظر می رسد. بسیار مهم است که درک کنیم (در آینده، در یکی از مقالات، ما راه حل نابرابری مربع را در جزئیات جدا خواهیم کرد).

این تابع فرم است:

جایی که x و y متغیرها هستند

a، B، C - شماره های تنظیم شده، با چه چیزی ≠ 0

برنامه پارابولا است:

به این معناست که معلوم می شود که تصمیم گیری معادله مربع در "Y" برابر صفر است، ما نقطه تقاطع پارابولا را با محور اوه پیدا می کنیم. این نکات ممکن است دو باشد (مثبت تبعیض آمیز)، یکی (تبعیض آمیز صفر است) و نه تنها (معجزه منفی). جزئیات در مورد عملکرد درجه دوم شما می توانید مشاهده کنید مقاله Inna Feldman.

مثالها را در نظر بگیرید:

مثال 1: حل کنید 2x 2 +8 ایکس.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

پاسخ: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* این امکان وجود دارد که بلافاصله سمت چپ و راست معادله به تقسیم 2، یعنی آن، آن را ساده تر کنیم. محاسبات آسان تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

به دست آورد که x 1 \u003d 11 و x 2 \u003d 11

در پاسخ، مجاز به نوشتن X \u003d 11 است.

پاسخ: x \u003d 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

تبعیض منفی است، هیچ راه حل در شماره های معتبر وجود ندارد.

پاسخ: هیچ راه حل

تبعیض منفی است. راه حل این است!

در اینجا آن را در مورد حل معادله در مورد زمانی که یک تبعیض منفی به دست آمده بحث خواهد شد. آیا چیزی در مورد شماره های یکپارچه می دانید؟ من جزئیات بیشتری در مورد اینکه چرا و جایی که آنها بوجود آمد و نقش خاص آنها و نیاز به ریاضیات مورد بحث قرار می گیرند، بحث نخواهند کرد.

مفهوم یک عدد پیچیده.

کمی نظریه

تعداد مجتمع z تعداد گونه ها را نام برد

z \u003d a + bi

جایی که A و B شماره های معتبر هستند، من - واحد به اصطلاح خیالی.

a + bi. - این یک شماره واحد است، نه علاوه بر این.

واحد خیالی برابر با ریشه واحد منهای است:

در حال حاضر معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه کنجکاو دریافت کرد.

معادله مربع ناقص.

موارد خصوصی را در نظر بگیرید، این زمانی است که ضریب "B" یا "C" صفر است (یا هر دو صفر هستند). آنها بدون هیچ گونه تبعیض به راحتی حل می شوند.

مورد 1. ضریب B \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم:

مثال:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

مورد 2. ضریب C \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم، تکثیر می کنیم:

* کار صفر است زمانی که حداقل یکی از ضددرد صفر است.

مثال:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (X-5) \u003d 0 \u003d\u003e X \u003d 0 یا X-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

مورد 3. ضرایب B \u003d 0 و C \u003d 0.

در اینجا روشن است که راه حل معادله همیشه x \u003d 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که اجازه می دهد حل معادلات با ضرایب بزرگ.

ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + ب + c \u003d 0،که

- اگر برای ضرایب معادله ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + c \u003d.ب, که

این خواص کمک می کند دیدگاه تعریف شده معادلات

مثال 1: 5001 ایکس. 2 –4995 ایکس. – 6=0

مجموع ضرایب 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0، این بدان معنی است

مثال 2: 2501 ایکس. 2 +2507 ایکس.+6=0

برابری انجام می شود آ. + c \u003d.ب, بنابراین

قوانین ضرایب

1. اگر در معادله AX 2 + BX + C \u003d 0، ضریب "B" برابر با (2 +1) باشد، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

مثال. معادله 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. اگر در AX 2 - BX + C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (و 2 +1) است، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 15x 2 -226x +15 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. اگر در معادلهaX 2 + BX - C \u003d 0 ضریب "B" برابر (2 - 1) و ضریب "C" عددی برابر با ضریب "A", سپس ریشه های او برابر است

aX 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 17x 2 + 288x را در نظر بگیرید - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. اگر در AX 2 - BX - C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (2 - 1) است، و ضریب عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

مثال. معادله 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

قضیه Vieta

قضیه Vieta توسط نام ریاضیات معروف فرانسوی Francois Vieta نامیده می شود. با استفاده از قضیه Vieta، می توانید مقدار و محصول ریشه های خودسرانه KU را از طریق ضرایب آن بیان کنید.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

به طور خلاصه، شماره 14 تنها 5 و 9 داده می شود. این ریشه ها هستند. با استفاده از یک مهارت خاص، با استفاده از قضیه که توسط بسیاری از معادلات مربع نشان داده شده است، می توانید تصمیم بگیرید که آیا به صورت خوراکی آمده است.

قضیه Vieta علاوه بر این. این راحت است، زیرا پس از حل معادله مربع به روش معمول (از طریق تبعیض)، ریشه های به دست آمده را می توان بررسی کرد. من توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهم.

روش عبور

در این روش، ضریب "A" توسط یک عضو آزاد ضرب می شود، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود روش "حمل و نقل".این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

اگر یک ولی± b + C.≠ 0، سپس پذیرش استفاده می شود، به عنوان مثال:

2h. 2 – 11x +5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +10 = 0 (2)

توسط تئوری Vieta در معادله (2) آسان است که تعیین کنید که x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

ریشه های به دست آمده از معادله باید به 2 تقسیم شوند (به عنوان دو بار از x 2 "منتقل شدند)، ما به دست آوردیم)

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

توجیه چیست؟ نگاه کن چه اتفاقی می افتد

معادلات تبعیض آمیز (1) و (2) برابر هستند:

اگر شما به ریشه های معادلات نگاه کنید، تنها معادلات مختلف به دست آمده است، و نتیجه بستگی به ضریب x 2 دارد:

دومین ریشه (اصلاح شده) 2 برابر بیشتر به دست می آید.

بنابراین، نتیجه و تقسیم 2.

* اگر ما یک سفر را پرتاب کنیم، نتیجه 3، و غیره جدا می شود

پاسخ: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

sq UR-YE و EGE.

من در مورد اهمیت او می گویم. وظایف بسیار زیادی که در وظایف استفاده شده است، به حل معادله مربع (هندسی شامل) کاهش می یابد.

چه چیزی برای جشن گرفتن!

1. شکل معادله ضبط ممکن است "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، این ورودی امکان پذیر است:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15 -5X + 10X 2 \u003d 0.

شما باید آن را به فرم استاندارد اضافه کنید (به طوری که در هنگام حل شدن اشتباه نکنید).

2. به یاد داشته باشید که X یک مقدار ناشناخته است و می توان آن را با هر حرف دیگر - T، Q، P، H و دیگر نشان داد.

در این مقاله ما به تصمیم معادلات ناقص مربع نگاه خواهیم کرد.

اما ابتدا ما تکرار می کنیم که معادلات مربع نامیده می شوند. معادله فرم AH 2 + BX + C \u003d 0، جایی که X متغیر است، و ضرایب A، B و با برخی از اعداد، و ≠ 0، نامیده می شود مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 صفر نیست، بنابراین ضرایب x یا عضو آزاد می تواند صفر باشد، در این مورد ما یک معادله مربع ناقص را دریافت می کنیم.

معادلات مربع ناقص سه گونه هستند:

1) اگر b \u003d 0، c ≠ 0، سپس ah 2 + c \u003d 0؛

2) اگر b ≠ 0، c \u003d 0، سپس ah 2 + bx \u003d 0؛

3) اگر b \u003d 0، c \u003d 0، سپس ah 2 \u003d 0.

• بیایید درک کنیم که چگونه حل شود معادلات فرم AH 2 + C \u003d 0.

برای حل معادله با تعویق انداختن یک عضو آزاد با بخش سمت راست معادله، ما دریافت می کنیم

aH 2 \u003d -C. از آنجا که ≠ 0، پس از آن ما هر دو قسمت از معادله را در یک، و سپس x 2 \u003d -C / a تقسیم می کنیم.

اگر -s / a\u003e 0، معادله دارای دو ریشه است

x \u003d ± √ (-c / a).

اگر -c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم نمونه هایی را که چگونه چنین معادلات را حل کنیم، کشف کنیم.

مثال 1. تصمیم بگیرید معادله 2x 2 - 32 \u003d 0.

پاسخ: x 1 \u003d - 4، x 2 \u003d 4.

مثال 2. معادله 2x 2 + 8 \u003d 0 را انتخاب کنید.

پاسخ: معادله راه حل ها هیچ.

• ما درک خواهیم کرد که چگونه حل شود معادلات فرم AH 2 + BX \u003d 0.

برای حل معادله AH 2 + BX \u003d 0، ما آن را در چندگانگی تجزیه می کنیم، یعنی، ما آن را به براکت x می آوریم، x (ah + b) \u003d 0. محصول صفر است، اگر حداقل یک محصول باشد از multipliers صفر است. سپس یا x \u003d 0 یا aH + b \u003d 0. حل معادله aH + b \u003d 0، ما ah \u003d - b، جایی که x \u003d - b / a دریافت می کنیم. معادله فرم AH 2 + BX \u003d 0، همیشه دارای دو ریشه x 1 \u003d 0 و x 2 \u003d - b / a است. ببینید که چگونه به نظر می رسد یک راه حل برای محلول معادلات این گونه است.

دانش خود را در یک مثال خاص حفظ کنید.

مثال 3. حل معادله 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 یا 3x - 12 \u003d 0

پاسخ: x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 4.

• معادلات سوم نوع Ah 2 \u003d 0 حل بسیار ساده است.

اگر ah 2 \u003d 0، سپس x 2 \u003d 0. معادله دارای دو ریشه برابر x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 0 است.

برای وضوح، طرح را در نظر بگیرید.

ما زمانی که نمونه برداری از نمونه 4 نمونه برداری می کنیم متقاعد خواهیم شد که معادلات این گونه ها به سادگی حل می شوند.

مثال 4 حل معادله 7x 2 \u003d 0.

پاسخ: x 1، 2 \u003d 0.

همیشه ممکن نیست بلافاصله فورا بدانید چه نوع معادله مربع ناقص ما باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5 حل معادله

هر دو بخش از معادله را در یک معادله مشترک ضرب کنید، یعنی در 30 سالگی

شهری

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

براکت های فراخوانده

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

بیایید مشابه باشیم

ما 99 قسمت سمت چپ معادله را به سمت راست انتقال می دهیم، تغییر علامت را به طرف مقابل تغییر می دهیم

پاسخ: بدون ریشه

ما برچیده شدیم که معادلات مربع ناقص حل می شوند. امیدوارم اکنون با وظایف مشابهی مشکلی نداشته باشید. هنگام تعیین نوع معادله مربع ناقص، مراقب باشید، پس شما موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، برای درس های من ثبت نام کنید، ما مشکلات را حل می کنیم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.