بیان یک عدد صحیح یک عبارت ریاضی متشکل از اعداد و متغیرهای الفبایی از طریق اقدامات افزودن، تفریق و ضرب است. همچنین، آن را نیز شامل عباراتی است که در ترکیب خود را تقسیم به هر تعداد غیر از صفر.

مفهوم بیان منطقی کسری

بیان کسری یک عبارت ریاضی است که علاوه بر عمل افزودن، تفریق و ضرب، ساخته شده با اعداد و متغیرهای نامه، و همچنین تقسیمات بر روی یک عدد، برابر صفر نیست، همچنین شامل تقسیم بر عبارات با متغیرهای نامه است.

عبارات عقلانی همه عبارات کل و کسری است. معادلات منطقی - این معادلات است که بخش های چپ و راست آنها عبارات عقلانی هستند. اگر در معادله منطقی، بخش های چپ و راست، عبارات کامل خواهد بود، پس از آن، چنین معادله منطقی به طور کامل نامیده می شود.

اگر در معادله عقلانی، بخش چپ یا راست، عبارات کسری باشد، پس از آن چنین معادله منطقی، کسری نامیده می شود.

نمونه هایی از عبارات منطقی کسری

1. X-3 / X \u003d -6 * X + 19

2. (x - 4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x - 3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

طرح حل معادلات منطقی کسری

1. پیدا کردن یک معیار کلی از تمام کسری هایی که در معادله گنجانده شده اند.

2. هر دو بخش از معادله را بر روی کل معادله ضرب کنید.

3. حل معادله کل نتیجه را حل کنید.

4. ریشه ها را بررسی کنید و آنها را از آنها جدا کنید که به صفر تبدیل به صفر می شوند.

از آنجا که ما معادلات منطقی قطعی را حل می کنیم، متغیرهای متغیرهایی وجود خواهد داشت. بنابراین آنها در یک جانباز مشترک خواهند بود. و در پاراگراف دوم الگوریتم، ما بر یک معیار مشترک چند برابر می کنیم، سپس ریشه های بیرونی ممکن است ظاهر شود. که در آن مخارج عمومی صفر خواهد بود، و بنابراین ضرب در آن بی معنی خواهد بود. بنابراین، در پایان، مطمئن شوید که ریشه های دریافت شده را بررسی کنید.

یک مثال را در نظر بگیرید:

یک معادله منطقی قطعی را حل کنید: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

ما پایبندیم طرح کلی: ابتدا معاینه عمومی تمام کسرها را پیدا کنید. ما x * (x-5) را به دست می آوریم.

هر کسری را بر روی کلاهبرداری کلی ضرب کنید و معادله کل نتیجه را بنویسید.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3)؛
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5)؛
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5)؛
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5)؛

ما معادله نتیجه را ساده می کنیم. ما گرفتیم:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0؛
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0؛

یک معادله مربع ساده دریافت کرد. هر کدام از آن را حل کنید روش های معروفما ریشه های x \u003d -2 و x \u003d 5 را به دست می آوریم.

حالا ما تأیید راه حل های به دست آمده را انجام می دهیم:

ما شماره -2 و 5 را به کل معکوس جایگزین می کنیم. در x \u003d -2، کل denominator x * (x-5) به صفر اعمال نمی شود، -2 * (- 2-5) \u003d 14. بنابراین شماره -2 ریشه ای از معادله منطقی قطعی است.

در x \u003d 5، کل denominator x * (x-5) صفر می شود. در نتیجه، این تعداد ریشه ای از معادله منطقی جزئی است، زیرا تقسیم به صفر خواهد بود.

ما قبلا آموخته ایم که معادلات مربع را حل کنیم. در حال حاضر ما روش های مورد مطالعه را برای معادلات منطقی گسترش می دهیم.

بیان عقلانی چیست؟ ما قبلا در این مفهوم آمده ایم. عبارات منطقی آنها عباراتی را که از اعداد، متغیرها، درجه ها و نشانه های آنها از اقدامات ریاضی ساخته شده اند نامیده می شود.

بر این اساس، معادلات منطقی معادلات فرم نامیده می شود: کجا - عبارات منطقی

پیش از این، ما تنها معادلات عقلانی را که به خطی کاهش می یابد، مورد توجه قرار دادیم. در حال حاضر معادلات منطقی که کاهش می یابد و مربع را در نظر بگیرید.

مثال 1

حل معادله :.

تصمیم گیری:

کسری 0 است اگر و فقط اگر عددی آن 0 باشد، و نامزدی برابر با 0 نیست.

ما سیستم زیر را دریافت می کنیم:

اولین معادله سیستم یک معادله مربع است. قبل از تصمیم گیری برای تصمیم گیری، ما تمام ضرایب آن را با 3. دریافت می کنیم. دریافت:

ما دو ریشه داریم:؛ .

از آنجا که 2 هرگز برابر با 0 نیست، لازم است که دو شرایط انجام شود: . از آنجا که هیچ کدام از معادله ها معادله به دست آمده در بالا، با مقادیر غیر قابل قبول متغیر مطابقت ندارد، که معلوم شد برای حل نابرابری دوم، آنها هر دو راه حل از این معادله هستند.

پاسخ:.

بنابراین، الگوریتم را برای حل معادلات منطقی فرموله کنید:

1. انتقال تمام اصطلاحات به قسمت چپ به طوری که در قسمت راست آن 0 را تبدیل می کند.

2. تبدیل و ساده کردن قسمت چپ، تمام کسری را به ارمغان بیاورید مخرج مشترک.

3. کسر حاصل از آن به 0 برابر، با توجه به الگوریتم زیر: .

4. ضبط ریشه هایی که در معادله اول معلوم شد و نابرابری دوم را در پاسخ برآورده می کنند.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم.

مثال 2

حل معادله :.

تصمیم

در ابتدا، ما تمام اجزای موجود در سمت چپ را به تعویق انداخت، به طوری که سمت راست باقی می ماند. ما دریافت می کنیم:

حالا ما بخش چپ معادله را به معادله عمومی می دهیم:

این معادله معادل سیستم است:

اولین معادله سیستم یک معادله مربع است.

ضرایب این معادله :. محاسبه تبعیض:

ما دو ریشه داریم:؛ .

در حال حاضر ما نابرابری دوم را حل می کنیم: محصول multipliers 0 نیست اگر و تنها اگر هیچ یک از عوامل برابر با 0 نیست.

لازم است که دو شرایط انجام شود: . ما این را از دو ریشه از معادله اول تنها یک - 3 مناسب دریافت می کنیم.

پاسخ:.

در این درس، ما به یاد می آوریم که چنین بیان عقلانی، و همچنین یاد گرفتم که چگونه معادلات منطقی را حل کنیم که به معادلات مربع کاهش می یابد.

در درس بعدی، ما به معادلات منطقی به عنوان یک مدل از شرایط واقعی نگاه خواهیم کرد و همچنین وظایف جنبش را در نظر می گیریم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. BashMakov M.I. جبر، درجه 8. - M: روشنگری، 2004.
2. Dorofeyev G.V.، Suvorova S.B.، Baynovich E.A. و دیگران جبر، 8. 5 ed. - M: روشنگری، 2010.
3. Nikolsky S.M.، Potapov Ma، Reshetnikov N.N.، Shevkin A.V. جبر، درجه 8. آموزش برای موسسات آموزشی عمومی. - متر: آموزش، 2006.

1. جشنواره ایده های آموزشی " درس عمومی" ().
2. school.xvatit.com ().
3. rudocs.exdat.com ().

مشق شب

ما برنامه مکالمه را ادامه می دهیم حل معادلات. در این مقاله ما به جزئیات تمرکز خواهیم کرد معادلات منطقی و اصول حل معادلات منطقی با یک متغیر. ابتدا متوجه خواهیم شد، معادلات کدام نوع، منطقی نامیده می شود، ما تعریف معادلات منطقی منطقی و کسری را ارائه خواهیم داد، ما نمونه هایی را ارائه می دهیم. سپس الگوریتم ها را برای حل معادلات منطقی به دست می آوریم، و البته، راه حل های نمونه های مشخصی را با تمام توضیحات لازم در نظر می گیریم.

مرور صفحه

سلب کردن از تعاریف ابراز شده، ما چند نمونه از معادلات منطقی ارائه می دهیم. به عنوان مثال، x \u003d 1، 2 · x-12 · x 2 · y · z 3 \u003d 0، - این همه معادلات منطقی هستند.

مثالها نشان داد که معادلات منطقی، به عنوان، با این حال، و معادلات گونه های دیگر می تواند هر دو با یک متغیر و با دو، سه، و غیره باشد. متغیرها در پاراگراف های زیر، ما در مورد حل معادلات منطقی با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. راه حل معادلات با دو متغیر و تعداد زیادی آنها مستلزم توجه جداگانه هستند.

علاوه بر تقسیم معادلات منطقی با تعداد متغیرهای ناشناخته، آنها هنوز به عدد صحیح و کسری تقسیم می شوند. بیایید تعاریف مناسب را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقی نامیده می شود عدد صحیحاگر چپ، و بخش های مناسب آن عبارات کاملا منطقی هستند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از بخش های معادله منطقی یک عبارت کسری باشد، چنین معادله ای نامیده می شود تقسیم منطقی (یا منطقی قطعی).

واضح است که کل معادلات شامل تقسیم بندی به یک متغیر نیست، در مقابل، معادلات منطقی قطعی لزوما شامل تقسیم به یک متغیر (یا متغیر در نامزدی). بنابراین 3 · x + 2 \u003d 0 و (x + y) · (3 · x 2 -1) + x \u003d -y + 0.5 - اینها معادلات کلی منطقی هستند، هر دو آنها عبارات کامل هستند. A و X: (5 · x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 - نمونه هایی از معادلات منطقی کسری.

با تکمیل این مورد، ما توجه به این واقعیت را جلب می کنیم که معادلات خطی و معادلات مربع شناخته شده در این نقطه معادلات منطقی عدد صحیح هستند.

حل کل معادلات

یکی از رویکردهای اصلی حل معادلات کل، کاهش آنها به معادل آن است معادلات جبری. این همیشه می تواند با انجام تحولات معادل زیر معادله انجام شود:

• اول، بیان از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی به سمت چپ منتقل می شود مخالف آشنابرای گرفتن صفر در سمت راست؛
• پس از آن، در قسمت چپ معادله، گونه های استاندارد تشکیل شده است.

به عنوان یک نتیجه، یک معادله جبری به دست می آید، که معادل معادله اولیه کل است. بنابراین در موارد ساده ترین، راه حل کل معادلات به حل معادلات خطی یا مربع کاهش می یابد و در عمومی - برای حل معادلات جبری درجه N. برای وضوح ما راه حل نمونه را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3 · (X + 1) · (x-3) \u003d x · (2 \u200b\u200b· x-1) -3.

تصمیم گیری

ما این معادله کل را کاهش می دهیم تا معادله جبری معادل آن را به آن حل کنیم. برای این، اول، ما بیان را از سمت راست به سمت چپ انتقال می دهیم، در نتیجه ما به معادله می رسیم 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d 0. و در مرحله دوم، ما بیان بیان شده در سمت چپ را به چندجمله ای از نوع استاندارد با انجام لازم انجام می دهیم: 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d (3 · x + 3) · (x-3) -2 · x 2 + x + 3 \u003d 3 · x 2 -9 · x + 3 · x-9-2 · x 2 + x + 3 \u003d x 2 -5 · x-6. بنابراین، راه حل معادله اولیه اولیه به محلول کاهش می یابد معادله مربع x 2 -5 · x-6 \u003d 0.

محاسبه آن را تبعیض آمیز d \u003d (- 5) 2 -4 · 1 · (-6) \u003d 25 + 24 \u003d 49مثبت است، به این معنی است که معادله دارای دو ریشه معتبر است که فرمول ریشه های معادله مربع را پیدا می کند:

برای اطمینان کامل، انجام دهید ریشه های معادله را بررسی کنید. اول، ریشه 6 را بررسی کنید، ما آن را به جای یک متغیر x به معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3 · (6 + 1) · (6-3) \u003d 6 · (2 \u200b\u200b· 6-1) -3این همان 63 \u003d 63 است. این یک برابری عددی وفادار است، بنابراین، x \u003d 6 واقعا ریشه معادله است. حالا ریشه را بررسی کنید، ما داریم 3 · (-1 + 1) · (-1-3) \u003d (- 1) · (2 \u200b\u200b· (-1) -1) -3کجا، 0 \u003d 0. در x \u003d -1، معادله اولیه نیز به برابری عددی راست پاسخ داد، بنابراین، x \u003d -1 نیز ریشه معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

همچنین باید در اینجا ذکر شود که با نمایندگی یک معادله کل به شکل معادله جبری، اصطلاح "درجه معادله کل" مرتبط است. بیایید تعریف مناسب را ارائه دهیم:

تعریف.

درجه معادله کل آنها درجه معادل معادله جبری را معادل می دانند.

با توجه به این تعریف، کل معادله از مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این را می توان با راه حل معادلات منطقی کامل تکمیل کرد اگر آن نبود .... همانطور که شناخته شده است، راه حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ فرمول کلی برای ریشه وجود ندارد. بنابراین، برای حل کل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجه بالا اغلب شما باید به روش های دیگر راه حل ها مراجعه کنید.

در چنین مواردی، گاهی اوقات یک رویکرد برای حل معادلات منطقی کلی بر اساس روش تجزیه چند ضلعی. در عین حال به الگوریتم زیر پیوست:

• اولا، این به دنبال آن است که در قسمت راست معادله صفر باشد، آن را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کند؛
• سپس، بیان حاصل از سمت چپ به عنوان یک محصول چند ضلعی، که باعث می شود تا به مجموع معادلات ساده تر حرکت کند، نشان داده می شود.

الگوریتم فوق برای حل یک معادله کل از طریق تجزیه چند ضلعی نیاز دارد توضیحات دقیق مثلا.

مثال.

کل معادله را تعیین کنید (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) \u003d 2 · x · (x 2 -10 · x + 13).

تصمیم گیری

اول، به طور معمول، ما بیان را از سمت راست به سمت چپ معادله انتقال می دهیم، فراموش نمی کنیم که علامت را تغییر دهیم، ما دریافت می کنیم (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 -10 · x + 13) \u003d 0. کاملا واضح است که توصیه نمی شود بخش سمت چپ معادله به دست آمده را به یک چندجملهای یک گونه استاندارد تبدیل کنید، زیرا معادله جبری درجه چهارم نوع را می دهد x 4 -12 · x 3 + 32 · x 2 -16 · x-13 \u003d 0راه حل دشوار است

از سوی دیگر، واضح است که در سمت چپ معادله به دست آمده، x 2 -10 · x + 13 می تواند داده شود، در نتیجه آن را به عنوان یک کار ارائه می دهد. دارند (x 2 -10 · x + 13) · (x 2 -2 · x - 1) \u003d 0. معادله به دست آمده معادل معادله اصلی اصلی است، و به نوبه خود، می تواند با ترکیبی از دو معادله مربع x 2 -10 · x + 13 \u003d 0 و x 2 -2 · x-1 \u003d 0 جایگزین شود. پیدا کردن ریشه های خود را با توجه به فرمول های شناخته شده ریشه از طریق تبعیض، دشوار نیست، ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله منبع هستند.

پاسخ:

برای حل معادلات کلی منطقی نیز مفید است روش معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما اجازه می دهد تا به معادلات حرکت کنید، درجه آن کمتر از درجه معادله عدد صحیح اولیه است.

مثال.

ریشه های معتبر معادله منطقی را پیدا کنید (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 \u003d -2 · (x 2 + 3 · x-4).

تصمیم گیری

کاهش این معادله منطقی به معادله جبری، آن را به آرامی، ایده بسیار خوبی نیست، زیرا در این مورد ما به نیاز به حل معادله درجه چهارم که دارای ریشه های منطقی نیست، می آیند. بنابراین، شما باید یک راه حل دیگر را جستجو کنید.

آسان است که ببینید که می توانید یک متغیر جدید Y را وارد کنید، و جایگزینی بیان x 2 + 3 · x را جایگزین کنید. چنین جایگزینی ما را به یک معادله کل منجر می شود (Y + 1) 2 + 10 \u003d -2 · (Y-4)، که پس از انتقال بیان -2 · (y-4) به قسمت چپ و تحول بعدی شکل گیری بیان در آن، به معادله مربع Y 2 + 4 · y + 3 \u003d 0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y \u003d -1 و y \u003d -3 به راحتی قرار دارند، به عنوان مثال، آنها را می توان بر اساس قضیه، قضیه معکوس Vieta انتخاب کرد.

در حال حاضر ما به بخش دوم معرفی یک متغیر جدید می رویم، یعنی جایگزینی معکوس. پس از انجام یک جایگزین، ما دو معادله x 2 + 3 · x \u003d -1 و x 2 + 3 · x \u003d -3 دریافت می کنیم که می تواند به عنوان X 2 + 3 · X + 1 \u003d 0 و X 2 + 3 بازنویسی شود x + 3 \u003d 0. با توجه به فرمول ریشه معادله مربع، ما ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. معادله مربع دوم ریشه های معتبر ندارد، زیرا تشخیص آن منفی است (D \u003d 3 2 -4 · 3 \u003d 9-12 \u003d -3 \u003d -3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که ما با معادلات کل درجه بالا برخورد می کنیم، همیشه باید برای جستجوی آماده باشید. روش غیر استاندارد یا پذیرش مصنوعی برای حل آنها.

تصمیم معادلات منطقی کسری

اولا، این امر مفید خواهد بود که چگونگی حل معادلات منطقی قطعی از فرم را حل کنیم، جایی که P (X) و Q (X) عبارات کاملا منطقی هستند. و سپس ما نشان خواهیم داد که چگونه معادلات منطقی کسری باقی مانده را برای حل معادلات گونه های مشخص شده کاهش دهیم.

در قلب یکی از رویکردها برای حل معادله، بیانیه زیر است: کسر عددی U / V، جایی که V از شماره صفر متفاوت است (در غیر این صورت ما C را، که تعریف نشده است)، صفر است، اگر فقط و تنها باشد عدد صفر است، پس فقط و تنها اگر U \u003d 0 باشد. با توجه به این بیانیه، راه حل معادله به اجرای دو شرایط P (x) \u003d 0 و Q (x) ≠ 0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری زیر است الگوریتم برای حل معادله منطقی قطعی . برای حل معادله منطقی قطعی از گونه، ضروری است

• حل معادله کامل منطقی P (x) \u003d 0؛
• و بررسی کنید که آیا وضعیت Q (x) ≠ 0 برای هر ریشه یافت می شود، در حالی که
• اگر انجام شود، این ریشه ریشه معادله اصلی است؛
• اگر نه اعدام، این ریشه یک غریبه است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

ما نمونه ای از کاربرد الگوریتم ابراز شده را در حل معادله منطقی قطعی تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

ریشه های معادله را پیدا کنید.

تصمیم گیری

این یک معادله منطقی کسری است، با گونه ای که P (x) \u003d 3 · x-2، q (x) \u003d 5 · x 2 -2 \u003d 0 است.

با توجه به الگوریتم برای حل معادلات منطقی قطعی این گونه، ابتدا باید معادله را حل کنیم 3 · x-2 \u003d 0. آی تی معادله خطی، ریشه اش x \u003d 2/3 است.

این برای بررسی این ریشه باقی مانده است، یعنی، برای بررسی اینکه آیا این شرایط را برآورده می کند، شرط 5 · x 2 -2 ≠ 0 را برآورده می کند. ما در عبارت 5 · x 2 -2 جایگزین به جای x شماره 2/3، ما دریافت می کنیم. وضعیت ساخته شده است، بنابراین x \u003d 2/3 ریشه معادله منبع است.

پاسخ:

2/3 .

راه حل معادله منطقی کسری می تواند با موقعیت کمی متفاوت باشد. این معادله معادل یک معادله کل P (x) \u003d 0 در متغیر x از معادله اولیه است. به این ترتیب، شما می توانید به این بچسبید الگوریتم برای حل معادله منطقی قطعی :

• حل معادله P (x) \u003d 0؛
• پیدا کردن متغیر OTZ x؛
• ریشه های متعلق به مساحت مقادیر مجاز را داشته باشید - آنها ریشه های مورد نظر معادله منطقی جزئی هستند.

به عنوان مثال، یک معادله منطقی کسری برای این الگوریتم را حل کنید.

مثال.

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری

اول، ما معادله مربع x 2 -2 · x-11 \u003d 0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب حتی دوم محاسبه کرد، ما داریم D 1 \u003d (- 1) 2 -1 · (-11) \u003d 12، و.

ثانیا، ما متغیر OTZ X را برای معادله منبع پیدا می کنیم. تمام اعداد آن که X 2 + 3 · x ≠ 0، که همان x · (x + 3) ≠ 0 است، جایی که x ≠ 0، x ≠ -3 است.

هنوز هم بررسی می شود که آیا ریشه ها در مرحله اول OTZ یافت می شود. بدیهی است بله در نتیجه، معادله منطقی اولیه قطعی دو ریشه دارد.

پاسخ:

ما یادآوری می کنیم که این رویکرد برای اولین بار سودآور تر است، اگر به راحتی به راحتی متصل شود، به ویژه اگر ریشه های معادله P (x) \u003d 0 غیر منطقی، به عنوان مثال یا منطقی، اما با یک عددی بزرگ و / یا به عنوان مثال، Dentinator 127/1101 و -31/59. این به خاطر این واقعیت است که در چنین مواردی تأیید وضعیت Q (x) ≠ 0 نیاز به تلاش های محاسباتی قابل توجهی دارد و از ریشه های خارجی با توجه به ... آسان تر است ...

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه هنگامی که ریشه های معادله p (x) \u003d 0 کل هستند، سودمندتر از اولین الگوریتم های فوق سودآور است. به این معناست که توصیه می شود بلافاصله ریشه های کل معادله را پیدا کنید (x) \u003d 0، پس از آن لازم است که وضعیت Q (x) ≠ 0 برای آنها انجام شود، و نه برای پیدا کردن ... پس از آن ممکن است معادله را حل کند (x) \u003d 0 در این عجیب و غریب. این به خاطر این واقعیت است که در چنین مواردی معمولا بازرسی ساده تر از پیدا کردن OTZ است.

راه حل دو نمونه را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص در نظر بگیرید.

مثال.

ریشه های معادله را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ما ریشه های کل معادله را پیدا خواهیم کرد (2 · x - 1) · (x-6) · (x 2 -5 · x + 14) · (x + 1) \u003d 0کامپایل شده با استفاده از یک عددی کسری است. بخش چپ این معادله یک محصول است و درست است - صفر، به این ترتیب، با توجه به روش حل معادلات از طریق تجزیه چند برابر، این معادله برابر با مجموع چهار معادله 2 · X-1 \u003d 0، X-6 \u003d 0 است ، x 2 -5 · x + 14 \u003d 0، x + 1 \u003d 0. سه این معادلات خطی و یک مربع هستند، ما می توانیم آنها را حل کنیم. از معادله اول ما x \u003d 1/2 را از دوم - x \u003d 6، از سوم - x \u003d 7، x \u003d -2، از چهارم - x \u003d -1 پیدا می کنیم.

با ریشه های یافت می شود، آن را نسبتا آسان برای انجام تایید خود را در مورد این که آیا تعویض کننده کسری در قسمت چپ معادله اصلی به صفر تبدیل نمی شود، اما این بسیار آسان نیست که OTZ را تعیین کنید، زیرا آن را خواهد بود باید معادله پنجم جبری را حل کند. بنابراین، ما حاضر به پیدا کردن OTZ به نفع بررسی ریشه ها نیستیم. برای این، به نوبه خود آنها را جایگزین آنها به جای یک متغیر x در عبارت x 5 -15 · x 4 + 57 · x 3 -13 · x 2 + 26 · x + 112اضافه شده پس از جایگزینی، و مقایسه آنها را با صفر: (1/2) 5 -15 · (1/2) 4 + 57 · (1/2) 3 -13 · (1/2) 2 + 26 · (1/2) + 112 \u003d 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 -15 · 6 4 + 57 · 6 3 -13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 \u003d 448≠0 ;
7 5 -15 · 7 4 + 57 · 7 3 -13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 \u003d 0;
(-2) 5 -15 · (-2) 4 + 57 · (-2) 3 -13 · (-2) 2 + 26 · (-2) + 112 \u003d -720 ≠ 0؛
(-1) 5 -15 · (-1) 4 + 57 · (-1) 3 -13 · (-1) 2 + 26 · (-1) + 112 \u003d 0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مطلوب معادله منطقی قطعی اولیه است و 7 و -1 ریشه های بیرونی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه یک معادله منطقی کسری را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ما ریشه های معادله را پیدا خواهیم کرد (5 · x 2 -7 · x - 1) · (x-2) \u003d 0. این معادله معادل کل دو معادله است: مربع 5 · x 2 -7 · x-1 \u003d 0 و خطی X-2 \u003d 0. با توجه به فرمول ریشه معادله مربع، ما دو ریشه را پیدا می کنیم و از معادله دوم ما x \u003d 2 داریم.

بررسی کنید که آیا مخزن در مقادیر یافت شده X ظاهر نمی شود، کاملا ناخوشایند. و برای تعیین منطقه مقادیر مجاز متغیر x در معادله منبع بسیار ساده است. بنابراین، ما از طریق OTZ عمل خواهیم کرد.

در مورد ما، متغیر OTZ X از معادله منطقی قطعی اولیه، همه اعداد است، به جز کسانی که شرایط X 2 + 5 · X-14 \u003d 0 راضی هستند. ریشه های این معادله مربع x \u003d -7 و x \u003d 2 است، از جایی که ما نتیجه گیری در مورد OTZ می کنیم: این همه X را تشکیل می دهد.

باقی مانده است که بررسی کنید که آیا ریشه های یافت شده متعلق به مناطق یافت شده و X \u003d 2 مقادیر مجاز است. ریشه های متعلق به آن هستند، بنابراین، آنها ریشه های معادله اصلی هستند، و X \u003d 2 - به این ترتیب تعلق ندارد، بنابراین این یک ریشه بیرونی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه متوقف شود، زمانی که در معادله منطقی قطعی از مشخص کننده در عددی یک عدد است، این است که، زمانی که p (x) توسط هر عدد نشان داده می شود. که در آن

• اگر این شماره از صفر متفاوت باشد، معادله ریشه ندارد، زیرا کسری صفر است، اگر فقط عدد صفر باشد؛
• اگر این تعدادی صفر باشد، معادله ریشه این معادله هر تعداد OTZ است.

مثال.

تصمیم گیری

از آنجایی که در عددی از کسر، که در سمت چپ معادله قرار دارد، متفاوت از شماره صفر است، سپس بدون توجه به اینکه X مقدار این کسری نمی تواند صفر باشد. در نتیجه، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری

در عددی از کسری، واقع در سمت چپ این معادله منطقی کسری، صفر است، بنابراین مقدار این بخش صفر برای هر x است، که در آن معنی دارد. به عبارت دیگر، راه حل این معادله هر مقدار x از OTZ این متغیر است.

این برای تعیین این منطقه از ارزش های مجاز باقی می ماند. این شامل تمام این مقادیر x، که در آن x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. راه حل های معادله x 4 + 5 · x 3 \u003d 0 0 و -5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 · (x + 5) \u003d 0 است، و به نوبه خود معادل با ترکیبی از دو معادله x 3 \u003d 0 و X + 5 \u003d 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. در نتیجه، منطقه مورد نظر مقادیر مجاز هر X است، به جز X \u003d 0 و X \u003d -5.

بنابراین، معادله منطقی قطعی، بی نهایت بسیاری از راه حل هایی است که هر کدام از اعداد است، به جز صفر و منهای پنج.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن بود که در مورد حل معادلات منطقی کسری از گونه های دلخواه صحبت کنیم. آنها می توانند به صورت r (x) \u003d s (x) نوشته شوند، جایی که r (x) و s (x) عبارات عقلانی هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. به دنبال آینده، بگذارید بگوییم تصمیم آنها کاهش می یابد تا معادلات نگاه ما را حل کند.

شناخته شده است که انتقال اصطلاح از یک قسمت از معادله به دیگری با علامت مخالف منجر به معادله معادل آن می شود، بنابراین معادله R (x) \u003d S (x) معادل معادله R (x) -s است (x) \u003d 0.

ما همچنین می دانیم که هر کدام، یکسان با این عبارت برابر است. بنابراین، بیان عقلانی در سمت چپ معادله R (x) -s (x) \u003d 0، ما همیشه می توانیم به بخش های منطقی مشابهی از گونه ها تبدیل کنیم.

بنابراین ما از اولین معادله منطقی قطعی R (x) \u003d S (x) به معادله حرکت می کنیم، و راه حل آن، همانطور که در بالا متوجه شدیم، برای حل معادله P (x) \u003d 0 کاهش می یابد.

اما در اینجا لازم است که این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r (x) -s (x) \u003d 0، و بیشتر بر روی p (x) \u003d 0، منطقه مقادیر مجاز متغیر x می تواند روی دادن.

بنابراین، معادله اولیه R (x) \u003d s (x) و معادله P (x) \u003d 0، که ما آمدیم، ممکن است نفی شود، و با حل معادله P (x) \u003d 0، ما می توانیم ریشه ها را دریافت کنیم این ریشه های اصلی معادله اولیه R (x) \u003d S (x) بیگانه خواهد بود. ممکن است شناسایی و نه شامل ریشه های خارجی در پاسخ، و یا با انجام چک، و یا بررسی تعلق خود را از معادله منبع OTZ.

این اطلاعات را خلاصه کنید الگوریتم برای حل معادلات منطقی قطعی R (x) \u003d S (x). برای حل معادله منطقی قطعی R (x) \u003d s (x)، لازم است

• با انتقال بیان از سمت راست با علامت مخالف، صفر راست را دریافت کنید.
• انجام مراحل با فراکسیون ها و چندجملهای در سمت چپ معادله، در نتیجه تبدیل آن به یک بخش منطقی از گونه ها.
• حل معادله P (x) \u003d 0.
• برای شناسایی و حذف ریشه های خارجی، که با جایگزینی آنها به معادله اولیه یا با بررسی وابستگی آنها به معادله منبع OTZ انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، ما کل زنجیره ای از حل معادلات منطقی قطعی را نشان خواهیم داد:
.

بیایید راه حل های چند نمونه را با توضیح دقیق از تصمیم راه حل برای روشن شدن بلوک اطلاعاتی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله منطقی کسری را تعیین کنید.

تصمیم گیری

ما مطابق با راه حل به دست آمده توسط الگوریتم عمل خواهیم کرد. و ابتدا اجزاء را از سمت راست معادله به سمت چپ حرکت می دهیم، که منجر به معادله می شود.

در مرحله دوم، ما باید یک بیان منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به نوع کسری تبدیل کنیم. برای انجام این کار، کسرهای منطقی را به معیارهای عمومی برسانید و بیان را ساده کنید :. بنابراین ما به معادله می رویم.

در مرحله بعدی، ما باید معادله را حل کنیم -2 · x-1 \u003d 0. پیدا کردن x \u003d -1 / 2.

باقی مانده است که بررسی کنید که آیا شماره یافت شده -1/2 توسط ریشه بیرونی معادله منبع است. برای انجام این کار، می توانید متغیر OTZ X از معادله منبع را بررسی یا پیدا کنید. ما هر دو روش را نشان خواهیم داد.

بیایید با چک شروع کنیم. ما در معادله اولیه به جای متغیر x شماره -1/2 جایگزین می شویم، ما این همان، -1 \u003d -1 را دریافت می کنیم. جایگزینی به برابری عددی صحیح می دهد، بنابراین، X \u003d -1 / 2 ریشه معادله اصلی است.

در حال حاضر ما نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم از طریق OTZ انجام می شود. مساحت مقادیر مجاز معادله منبع، مجموعه ای از تمام اعداد، علاوه بر -1 و 0 (با x \u003d -1 و x \u003d 0، نامزدهای فراکسیون به صفر اعمال می شود). در مرحله اول ریشه X \u003d -1 / 2 یافت می شود به OTZ، بنابراین، x \u003d -1 / 2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

یک مثال را در نظر بگیرید

مثال.

ریشه های معادله را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، ما تمام مراحل الگوریتم را تصویب خواهیم کرد.

اول، ما اصطلاح را از سمت راست به سمت چپ حمل می کنیم، ما دریافت می کنیم.

ثانیا، ما بیان بیان شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم :. در نتیجه، ما به معادله x \u003d 0 می رسیم.

ریشه او واضح است - این صفر است.

در مرحله چهارم، هنوز مشخص نیست که اگر ریشه پیدا شود، یک غریبه برای معادله منطقی قطعی نیست. با جایگزینی آن، بیان به معادله اولیه به دست می آید. بدیهی است، این منطقی نیست، زیرا شامل یک بخش به صفر است. ما نتیجه می گیریم که 0 ریشه بیرونی است. در نتیجه، معادله اولیه ریشه ندارد.

7، که منجر به معادله می شود. از اینجا شما می توانید نتیجه گیری کنید که بیان در مخارج بخش سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی. در حال حاضر ما سه قسمت از هر دو بخش را کسر می کنیم :. به طور مشابه، از کجا، و سپس.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت ریشه های اصلی معادله منطقی قطعی است.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر: مطالعات. برای 8 CL آموزش عمومی. موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorov]؛ اد. S. A. Telikovsky. - 16 - M: روشنگری، 2008. - 271 پ. : ایل - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. جبر کلاس هشتم در 2 قاشق چایخوری. 1. آموزش دانشجویان موسسات آموزشی عمومی / A. Mordkovich. - 11th ed.، ched - متر: Mnemozina، 2009. - 215 پ.: ایل. ISBN 978-5-346-011555-2.
• جبر: درجه 9: مطالعات. برای آموزش عمومی موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorov]؛ اد. S. A. Telikovsky. - 16 - M: روشنگری، 2009. - 271 پ. : ایل - ISBN 978-5-09-021134-5.

به عبارت ساده، این معادلات است که در آن حداقل یک متغیر در نامزدی وجود دارد.

مثلا:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

مثال نه معادلات منطقی کسری:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

چگونه معادلات منطقی کسری را حل می کنند؟

نکته اصلی این است که شما باید معادلات منطقی کسری را به یاد داشته باشید - آنها باید بنویسند. و پس از پیدا کردن ریشه ها - مطمئن شوید که آنها را برای پذیرش آنها بررسی کنید. در غیر این صورت، ریشه های بیرونی ممکن است ظاهر شود، و تمام تصمیمات نادرست در نظر گرفته خواهد شد.

الگوریتم برای حل معادلات منطقی کسری:

نوشتن و "تصمیم گیری" Odz.

هر عضو معادله را در مورد معادله کلی ضرب کنید و کسرهای حاصل را کاهش دهید. Dannels ناپدید خواهد شد.

معادله را بدون نشان دادن براکت ثبت کنید.

معادله به دست آمده را تعیین کنید.

ریشه های موجود با OTZ را بررسی کنید.

ریشه ها را در پاسخ، که در P.7 بررسی شده است را ثبت کنید.

الگوریتم حفظ نمی کند، 3-5 معادلات حل شده - و او خود را به یاد داشته باشید.

مثال . معادله منطقی قطعی را انتخاب کنید \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

تصمیم گیری:

پاسخ: \(3\).

مثال . ریشه های معادله منطقی کسری را پیدا کنید \\ (\u003d 0 \\)

تصمیم گیری:

پاسخ: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

"معادلات منطقی با چندجملهای" یکی از شایع ترین کسانی است که مواجه می شوند وظایف تست ege در ریاضیات. به همین دلیل، تکرار آنها باید داده شود توجه ویژه. بسیاری از دانش آموزان با مشکل پیدا کردن یک تبعیض آمیز، انتقال شاخص ها از سمت راست به سمت چپ مواجه هستند و معادله را به یک معادله مشترک تبدیل می کنند، زیرا تحقق چنین وظایفی دشوار است. راه حل معادلات منطقی در آماده سازی برای امتحان در وب سایت ما به شما کمک خواهد کرد که به سرعت با وظایف هر گونه پیچیدگی روبرو شوید و به طور کامل آزمایش کنید.

پورتال آموزشی "Shkolkovo" را برای آماده سازی موفقیت آمیز برای امتحان تک ریاضی انتخاب کنید!

برای دانستن قوانین برای محاسبه ناشناخته و آسان برای دریافت نتایج درستاز خدمات آنلاین ما استفاده کنید. پورتال "Shkolkovo" تنها در پلتفرم نوع خود است، جایی که آنها برای آماده سازی جمع آوری شده اند مواد EGE. معلمان ما سیستماتیک و در قالب قابل فهم تمام قوانین ریاضی مشخص شده اند. علاوه بر این، ما دانش آموزان را قادر می سازیم نیروها را در حل معادلات معمول منطقی امتحان کنیم، پایه ای که به طور مداوم به روز می شود و تکمیل می شود.

برای تست کارآمدتر برای آزمایش، توصیه می کنیم به روش خاص ما پیروی کنید و با تکرار قوانین شروع کنید و وظایف ساده را حل کنید، به تدریج به پیچیده تر حرکت کنید. بنابراین، فارغ التحصیل قادر به تخصیص برای خود سخت ترین موضوعات و تمرکز بر مطالعه آنها خواهد بود.

شروع به آماده شدن برای آزمایش نهایی از "Shkolkovo" امروز، و نتیجه خود را نمی خواهد صبر کنید! خودتان را انتخاب کنید مثال ساده از پیشنهاد. اگر شما به سرعت با بیان انجام می شود، به بیشتر بروید وظیفه پیچیده. بنابراین شما می توانید دانش خود را به عقب بر گردیم تا به حل وظایف امتحان در ریاضیات سطح نمایه.

آموزش نه تنها به فارغ التحصیلان از مسکو، بلکه همچنین به دانش آموزان از شهر های دیگر نیز در دسترس است. به عنوان مثال، چند ساعت در روز کلاس ها در پورتال ما، و خیلی زود می توانید با معادلات هر گونه پیچیدگی مقابله کنید!