5x (x - 4) \u003d 0

5 x \u003d 0 یا x - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4

البته، آموخته ام که معادلات اول کشور را حل کنم، البته، من می خواهم با دیگران کار کنم، به ویژه، معادلات درجه دوم، که به طور متفاوتی به نام مربع هستند.

معادلات مربع معادلات نوع AH ² + BX + C \u003d 0 هستند، جایی که متغیر X است، اعداد - a، b، с، جایی که به اندازه صفر است.

اگر یک یا یک ضریب دیگر (C یا B) در معادله مربع صفر باشد، این معادله به معادله مربع ناقص اشاره دارد.

چگونه می توان یک معادله مربع ناقص را حل کرد اگر دانش آموزان هنوز هم می دانستند که چگونه تنها معادلات درجه اول را حل کنند؟ معادلات مربع ناقص را در نظر بگیرید گونه های مختلف و راه های ساده برای حل آنها.

الف) اگر ضریب C برابر با 0 باشد، ضریب B صفر نخواهد بود، سپس AH ² + BX + 0 \u003d 0 به معادله فرم AH ² + Bx \u003d 0 کاهش می یابد.

برای حل چنین معادله، شما باید فرمول را برای راه حل یک معادله مربع ناقص، که به آن را بدانید، بدانید بخش چپ این دستگاه را متوقف می کند و بعد از آن برای استفاده از شرایط کار محصول صفر استفاده می شود.

به عنوان مثال، 5x² - 20x \u003d 0. بخش سمت چپ معادله عوامل را باز کنید، در حالی که معمول است عملیات ریاضی: از بین بردن یک عامل مشترک برای براکت

5x (x - 4) \u003d 0

ما از این شرط استفاده می کنیم که آثار برابر با صفر هستند.

5 x \u003d 0 یا x - 4 \u003d 0

پاسخ خواهد بود: اولین ریشه - 0؛ ریشه دوم 4 است.

ب) اگر b \u003d 0، و اصطلاح آزاد برابر صفر نیست، سپس معادله AH ² + 0x + C \u003d 0 به معادله فرم AH ² + C \u003d 0. کاهش می یابد. معادلات را به دو روش حل کنید: الف) تجزیه معادله چندجمله ای در سمت چپ ضریب ها؛ ب) استفاده از خواص ریاضی ریشه دوم. چنین معادله ای با یکی از روش ها حل می شود، به عنوان مثال:

x \u003d ± √ 25/4

x \u003d ± 5/2. پاسخ خواهد بود: اولین ریشه 5/2 است؛ ریشه دوم برابر است - 5/2.

ج) اگر B برابر با 0 و C باشد، 0، سپس AH ² + 0 + 0 \u003d 0 به معادله فرم AH کاهش می یابد ² \u003d 0. در این معادله x خواهد بود 0.

همانطور که می بینید، معادلات مربع ناقص ممکن است بیش از دو ریشه داشته باشند.

معادلات مربع اغلب در حل مشکلات مختلف فیزیک و ریاضیات ظاهر می شوند. در این مقاله ما به چگونگی حل این معادلات به شیوه ای جهانی "از طریق تبعیض آمیز" نگاه خواهیم کرد. نمونه هایی از استفاده از دانش به دست آمده نیز در مقاله ارائه شده است.

چه معادلات ما در مورد آن صحبت خواهیم کرد؟

شکل زیر یک فرمول را نشان می دهد که X یک متغیر ناشناخته است و شخصیت های لاتین A، B، C برخی از اعداد شناخته شده است.

هر یک از این کاراکترها ضریب نامیده می شود. همانطور که می بینید، شماره "A" در مقابل متغیر x قرار دارد که به مربع متصل می شود. این حداکثر درجه بیان است، بنابراین معادله مربع نامیده می شود. این اغلب توسط نام دیگری استفاده می شود: معادله سفارش دوم. مقدار A یک ضریب مربعی است (ایستاده در یک متغیر در یک مربع)، B یک ضریب خطی است (آن در کنار متغیر مطرح شده به درجه اول قرار دارد)، در نهایت، تعداد C یک عضو آزاد است.

لازم به ذکر است که شکل معادله، که در شکل بالا نشان داده شده است، یک بیان مربع کلاسیک مشترک است. علاوه بر این، معادلات دیگری از مرتبه دوم وجود دارد که در آن ضرایب B، C می تواند صفر باشد.

هنگامی که این کار این است که برابری را حل کنید، این بدان معنی است که چنین مقادیر متغیر x باید متوجه شود که او را برآورده می کند. در اینجا، اول از همه، شما باید چیز زیر را به یاد داشته باشید: از آنجا که حداکثر درجه IX 2 است، این نوع عبارات نمی تواند بیش از 2 راه حل داشته باشد. این بدان معنی است که اگر، هنگام حل معادله، مقادیر 2 x یافت شد، که آن را برآورده می کند، پس از آن ممکن است مطمئن شوید که شماره سوم وجود ندارد، جایگزین آن به جای X، برابری نیز حقیقت خواهد بود. راه حل های معادله در ریاضیات ریشه های آن نامیده می شود.

روش ها برای حل معادلات مرتبه دوم

راه حل های معادلات این نوع نیاز به دانش برخی از نظریه ها در مورد آنها دارد. در سال تحصیلی، جبر 4 را در نظر بگیرید روش های مختلف راه حل ها فهرست آنها را فهرست کنید:

• توسط فاکتور؛
• با استفاده از فرمول برای یک مربع کامل؛
• استفاده از یک نمودار از عملکرد درجه دوم مربوطه؛
• با استفاده از معادله تبعیض آمیز.

به علاوه روش اول شامل سادگی آن است، اما برای همه معادلات نمی تواند اعمال شود. روش دوم جهانی است، اما تا حدودی بزرگ است. روش سوم با وضوح آن متمایز است، اما همیشه راحت و قابل اجرا نیست. و در نهایت، استفاده از معادله تبعیض آمیز یک راه جهانی و نسبتا ساده برای پیدا کردن ریشه های کاملا معادله مرتبه دوم است. بنابراین، در مقاله، تنها آن را در نظر بگیرید.

فرمول برای به دست آوردن ریشه های معادله

به K. نمای کلی معادله مربع ما آن را می نویسیم: a * x² + b * x + c \u003d 0. قبل از استفاده از راه این است که آن را حل کنید "از طریق تبعیض آمیز"، برابری همیشه باید به ذهن ثبت شده داده شود. به عبارت دیگر، باید از سه اصطلاح تشکیل شود (یا کمتر اگر B یا C 0 باشد).

به عنوان مثال، اگر یک عبارت وجود دارد: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x²، ابتدا باید تمام اعضای آن را به یک طرف برابری انتقال دهید و شرایطی را که حاوی متغیر x در همان است قرار دهید درجه.

در این مورد، این عملیات منجر به عبارت زیر می شود: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0، که معادل معادله 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (در اینجا بخش های چپ و راست است برابری ما توسط -1 ضرب شد).

در مثال بالای a \u003d 6، b \u003d 4، c \u003d -8. توجه داشته باشید که تمام اعضای برابری در نظر گرفته شده همیشه یکدیگر را جمع می کنند، بنابراین اگر علامت "-" ظاهر شود، این بدان معنی است که ضریب منفی منفی به عنوان تعداد C در این مورد منفی است.

پس از شکستن این لحظه، ما اکنون به فرمول خود تبدیل می شویم، که باعث می شود ریشه های معادله مربع را بدست آوریم. این ظاهر است که در عکس زیر ارائه شده است.

همانطور که از این عبارت دیده می شود، به شما اجازه می دهد تا دو ریشه دریافت کنید (شما باید به علامت "±" توجه کنید). برای انجام این کار، کافی است که ضرایب B، C و a را جایگزین کنید.

مفهوم تبعیض آمیز

در پاراگراف قبلی، فرمول نشان داده شد، که به شما اجازه می دهد تا به سرعت هر معادله سفارش دوم را حل کنید. این یک تبعیض کننده در آن نامیده می شود، یعنی D \u003d b²-4 * a * c.

چرا این قسمت از فرمول متمایز است و حتی آن را دارد نام خود؟ واقعیت این است که تبعیض، تمام سه ضرایب معادله را به یک بیان واحد متصل می کند. آخرین واقعیت به این معنی است که به طور کامل اطلاعات مربوط به ریشه ها را حمل می کند، که می تواند توسط لیست زیر بیان شود:

1. D\u003e 0: برابری دارای 2 راه حل متفاوت است، هر دو آنها شماره های معتبر را نشان می دهند.
2. D \u003d 0: معادله تنها یک ریشه است، و یک شماره معتبر است.

وظیفه تعیین تبعیض آمیز

ما یک نمونه ساده را ارائه می دهیم، چگونگی پیدا کردن تبعیض آمیز. اجازه دهید چنین برابری داده شود: 2 * X² - \u200b\u200b4 + 5 * X-9 * X² \u003d 3 * X-5 * X² + 7.

ما آن را به فرم استاندارد می دهیم، ما دریافت می کنیم: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0، از جایی که ما به آن آمده ایم برابری: -2 * X² + 2 * X-11 \u003d 0. اینجا A \u003d -2، B \u003d 2، C \u003d -11.

حالا شما می توانید از فرمول نامی برای تشخیص استفاده کنید: d \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. شماره نتیجه پاسخ به کار است. از آنجا که در مثال تبعیض آمیز است کمتر صفرمی توان گفت که این معادله مربع دارای ریشه های معتبر نیست. راه حل آن تنها شامل تعداد نوع پیچیده است.

یک نمونه از نابرابری از طریق تبعیض آمیز

ما مشکل یک نوع تا حدودی متفاوت را حل خواهیم کرد: برابری -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. ضروری است برای پیدا کردن مقادیر C برای آن d\u003e 0.

در این مورد، تنها 2 از 3 ضرایب شناخته شده است، بنابراین ممکن است ارزش دقیق تشخیص را محاسبه کنید، اما شناخته شده است که آن مثبت است. آخرین واقعیت در تهیه نابرابری مورد استفاده قرار می گیرد: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * C\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * C\u003e 0. راه حل نابرابری به دست آمده منجر به نتیجه می شود: C\u003e -3.

شماره نتیجه را بررسی کنید. برای انجام این کار، D را برای 2 مورد محاسبه کنید: C \u003d -2 و C \u003d -4. شماره -2 نتیجه نتیجه نتیجه را برآورده می کند (-2\u003e -3)، تبعیض متناظر خواهد بود: D \u003d 12\u003e 0. به نوبه خود، شماره -4 نابرابری را برآورده نمی کند (-4t، هر عدد C که بیشتر -3 هستند، شرط را برآورده می کنند.

مثال از حل معادله

ما این کار را انجام می دهیم که نه تنها در پیدا کردن یک تبعیض، بلکه در حل معادله نیز قرار می گیرد. لازم است ریشه ها را برای برابری پیدا کنید -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

در این مثال، تبعیض برابر است معنی بعدی: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. سپس ریشه های معادله به شرح زیر تعیین می شود: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). این مقادیر دقیق ریشه ها است، اگر لازم باشد محاسبه ریشه تقریبا، سپس اعداد به دست آمده: x \u003d -5،176 و x \u003d 0.676.

کار هندسی

ما این کار را حل خواهیم کرد که نه تنها توانایی محاسبه تبعیض، بلکه استفاده از مهارت های تفکر انتزاعی و دانش، نحوه استفاده از معادلات مربع را حل خواهد کرد.

باب دارای پتو رنگ شده از 5 × 4 متر بود. پسر می خواست یک گروه مداوم را از او در سراسر محیط اطراف بچرخاند پارچه زیبا. کدام ضخامت این نوار خواهد بود، اگر شناخته شده است که باب دارای 10 متر مربع پارچه است.

اجازه دهید گروه ضخامت x متر، سپس منطقه پارچه را داشته باشد سمت طولانی پتو ها (5 + 2 * x) * x، و از زمان های طولانی 2، ما داریم: 2 * x * (5 + 2 * x). با توجه به سمت کوتاه، منطقه پارچه های دوخته شده 4 * X خواهد بود، از آنجا که این طرف 2، پس از آن ما مقدار 8 * x را بدست آوریم. توجه داشته باشید که طول 2 * X به سمت طولانی اضافه شد، زیرا طول پتو با این تعداد افزایش یافت. منطقه کلی بافت 10 متر مربع است. بنابراین، ما برابری را به دست می آوریم: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

برای این مثال، تبعیض آمیز است: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. ریشه آن برابر با 22 است. استفاده از فرمول، ما ریشه های مورد نظر را پیدا می کنیم: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5؛ 0.5). بدیهی است، از دو ریشه، با توجه به شرایط مشکل، تنها تعداد 0.5 است.

بنابراین، یک نوار از پارچه که باب به پتو آن را می کشد عرض 50 سانتی متر.

معادله مربع ناقص متفاوت از معادلات کلاسیک (کامل) با این واقعیت است که ضرب کننده های آن یا اعضای آزاد آن صفر است. گراف چنین توابع پارابولا است. بسته به نوع کلی، آنها به 3 گروه تقسیم می شوند. اصول راه حل ها برای همه نوع معادلات یکسان هستند.

در تعیین نوع چندجملهای ناقص هیچ مشکلی وجود ندارد. بهترین تفاوت های اصلی را در نمونه های بصری در نظر بگیرید:

1. اگر B \u003d 0، معادله یک شکل تبر 2 + C \u003d 0 داشته باشد.
2. اگر C \u003d 0، سپس عبارت AX 2 + BX \u003d 0 به شرح زیر است.
3. اگر b \u003d 0 و c \u003d 0 باشد، چند جملهای به برابری نوع تبر 2 \u003d 0 تبدیل می شود.

مورد دوم، یک احتمال نظری است و هرگز در وظایف برای بررسی دانش هرگز اتفاق نمی افتد، زیرا تنها مقدار صحیح متغیر x در عبارت صفر است. در آینده، روش ها و نمونه هایی از حل معادلات مربع ناقص 1) و 2) گونه ها در نظر گرفته می شود.

الگوریتم جستجوی متغیر عمومی و نمونه هایی با راه حل ها

نه بسته به نوع معادله، الگوریتم راه حل به مراحل زیر کاهش می یابد:

1. یک عبارت را به راحتی برای جستجوی ریخته گری ایجاد کنید.
2. محاسبه.
3. ضبط پاسخ

حل معادلات ناقص ساده ترین راه برای تجزیه بخش سمت چپ در چند ضلعی است و صفر در سمت راست است. بنابراین، فرمول یک معادله مربع ناقص برای جستجوی ریشه به محاسبه مقدار x برای هر یک از چند ضلعی کاهش می یابد.

شما می توانید نحوه حل روش ها را فقط در عمل، در نظر بگیرید مثال خاص پیدا کردن ریشه های یک معادله ناقص:

همانطور که دیده می شود، در این مورد b \u003d 0. ما بخش چپ فاکتورها را تجزیه می کنیم و بیان را به دست می آوریم:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) \u003d 0.

بدیهی است، کار صفر است، زمانی که حداقل یکی از چند ضلعی صفر است. چنین الزامات مربوط به مقدار متغیر x1 \u003d 0.5 و (یا) x2 \u003d -0.5 است.

به منظور به راحتی و به سرعت مقابله با وظیفه تجزیه مربع سه کفش برای multipliers، شما باید فرمول زیر را به یاد داشته باشید:

اگر هیچ عضو آزاد در عبارت وجود ندارد، این کار بارها ساده شده است. این فقط به اندازه کافی برای پیدا کردن و ایجاد یک نام مشترک برای براکت ها خواهد بود. برای وضوح، نمونه ای را در نظر بگیرید که چگونه معادلات ناقص مربع فرم AX2 + BX \u003d 0 را حل کنید.

بیایید یک متغیر x برای براکت ها را دریافت کنیم و عبارت زیر را دریافت کنیم:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

با هدایت منطق، ما نتیجه گرفتیم که x1 \u003d 0 و x2 \u003d -3.

راه حل سنتی و معادلات مربع ناقص

چه اتفاقی می افتد اگر فرمول تبعیض را اعمال کنید و سعی کنید ریشه های چندجملهای را پیدا کنید، با ضرایب صفر برابر؟ یک نمونه از مجموعه ای از وظایف معمول برای امتحان در ریاضیات 2017، حل آن را با استفاده از فرمول های استاندارد و روش تجزیه بر روی چندگانگی.

7x 2 - 3x \u003d 0.

محاسبه مقدار تبعیض: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. معلوم می شود، چندجملهای دارای دو ریشه است:

در حال حاضر، حل معادله را با تجزیه در چند برابر و مقایسه نتایج.

x ⋅ (7x + 3) \u003d 0،

2) 7x + 3 \u003d 0،
7x \u003d -3،
x \u003d -.

همانطور که دیده می شود، هر دو روش نتایج مشابهی را ارائه می دهند، اما برای حل معادله روش دوم بسیار ساده تر و سریعتر است.

قضیه Vieta

و چه باید بکنید با Vieta دوست داشتنی؟ آیا امکان استفاده از این روش با سه نر ناقص وجود دارد؟ بیایید سعی کنیم جنبه های آوردن را بفهمیم معادلات کامل به نوع کلاسیک AX2 + BX + C \u003d 0.

در حقیقت، قضیه Vieta را در این مورد اعمال کنید. فقط لازم است بیان به ذهن کلی، جایگزین اعضای گم شده با صفر شود.

به عنوان مثال، هنگامی که B \u003d 0 و a \u003d 1، به منظور حذف احتمال سردرگمی، باید این کار را در فرم ثبت کنید: AX2 + 0 + C \u003d 0. سپس نسبت مقدار و محصول ریشه ها و ضریب چندجملهای می تواند به شرح زیر بیان شود:

محاسبات نظری به خودتان کمک می کند تا خود را با ماهیت موضوع آشنا کنید، و همیشه نیاز به مهارت برای حل دارد وظایف مخصوص. به کتاب مرجع وظایف معمول برای استفاده مراجعه کنید و مثال مناسب را پیدا کنید:

ما بیان را در مناسب برای استفاده از فرم قضیه Vieta بنویسیم:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

گام بعدی یک سیستم از شرایط خواهد بود:

بدیهی است، ریشه های چندجملهای مربع x 1 \u003d 4 و x 2 \u003d -4 خواهد بود.

در حال حاضر، تمرین می کند که معادله را به ذهن کلی بدهد. مثال زیر را ببینید: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

به منظور اعمال به بیان قضیه Vieta، لازم است از شر کسری خلاص شود. قسمت های سمت چپ و راست را از 4 حرکت دهید و به نتیجه نگاه کنید: x2- 4 \u003d 0. برابری به دست آمده آماده است تا قضیه Vieta را حل کند، اما برای به دست آوردن پاسخ به سادگی با \u003d 4 به سمت راست، بسیار ساده تر و سریعتر است بخشی از معادله: x2 \u003d 4.

خلاصه، باید گفت که بهترین راه راه حل های معادلات ناقص گسترش چندگانگی، ساده ترین و ساده ترین است روش سریع. اگر مشکل پیدا کردن ریشه ها دارید، می توانید با آن تماس بگیرید روش سنتی پیدا کردن ریشه ها از طریق تبعیض آمیز.

فرمول ریشه های معادله مربع. موارد ریشه های معتبر، چندگانه و پیچیده در نظر گرفته می شود. تجزیه سه ضلعی سه تکه شده مربع. تفسیر هندسی. نمونه هایی از تعیین ریشه ها و تجزیه چندگانگی.

فرمول های پایه

یک معادله مربع را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های مربع ریشه (1) توسط فرمول ها تعیین می شود:
; .
این فرمول ها می توانند مانند این ترکیب شوند:
.
هنگامی که ریشه های معادله مربع شناخته شده است، چندجملهای درجه دوم را می توان به عنوان یک اثر از عوامل نشان داد (تجزیه بر ضریب ها):
.

بعد، ما معتقدیم که تعداد واقعی.
در نظر گرفتن معادله مربع معادله:
.
اگر تبعیض آمیز مثبت باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه معتبر معتبر است:
; .
سپس تجزیه مربع سه کاهش می یابد بر روی عوامل، شکل:
.
اگر تبعیض آمیز صفر باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه معتبر چندگانه (برابر) است:
.
فاکتور سازی:
.
اگر معادله مربع منفی باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه جامد همجوشی است:
;
.
اینجا - واحد خیالی؛
و - بخش های واقعی و خیالی ریشه ها:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیک

اگر ساخت تابع برنامه ریزی
,
که پارابولا است، سپس نقطه تقاطع گراف با محور، ریشه های معادله خواهد بود
.
هنگامی که، برنامه از محور Abscissa (محور) در دو نقطه عبور می کند.
هنگامی که نمودار در یک نقطه به محور Abscissa مربوط می شود.
هنگامی که، برنامه محور Abscissa را تقسیم نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این نمودارها هستند.

فرمول های مفید مرتبط با معادله مربع

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

خروجی فرمول برای ریشه های معادله مربع

ما تحولات را انجام می دهیم و فرمول ها را اعمال می کنیم (F.1) و (F.3):




,
جایی که
; .

بنابراین، ما یک فرمول برای چند جمله ای از درجه دوم در فرم دریافت کردیم:
.
از اینجا می توان آن را معادله کرد

انجام شده در
و.
به عبارت دیگر، ریشه های معادله مربع ریشه هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های معادله مربع

مثال 1

(1.1) .

تصمیم

.
در مقایسه با معادله ما (1.1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
از آنجا که تبعیض آمیز مثبت است، معادله دارای دو ریشه معتبر است:
;
;
.

از اینجا ما تجزیه یک مربع سه رقمی را در چند برابر می کنیم:

.

تابع برنامه y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 محور Abscissa را در دو نقطه عبور می کند.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. او محور Abscissa (محور) را در دو نقطه قرار می دهد:
و.
این نکات ریشه های معادله اولیه (1.1) است.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های معادله مربع را پیدا کنید:
(2.1) .

تصمیم

ما معادله مربع را به طور کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اولیه (2.1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
از آنجا که تبعیض آمیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (برابر) است:
;
.

سپس تجزیه سه تصمیم در مورد ضرب ها، فرم دارد:
.

تابع گراف y \u003d x 2 - 4 x + 4 محور Abscissa را در یک نقطه درخواست می کند.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. این مربوط به محور Abscissa (محور) در یک نقطه است:
.
این نکته ریشه ی معادله اولیه (2.1) است. از آنجا که این ریشه وارد انبساط چند برابر می شود:
,
این ریشه چندگانه نامیده می شود. به اعتقاد بر این است که دو ریشه برابر وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های معادله مربع را پیدا کنید:
(3.1) .

تصمیم

ما معادله مربع را به طور کلی بنویسیم:
(1) .
ما معادله اولیه را بازنویسی می کنیم (3.1):
.
مقایسه C (1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
تشخیص منفی است. بنابراین، هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور Abscissa عبور نمی کند. هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. این محور Abscissa (محور) را تقسیم نمی کند. بنابراین، هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه معتبر وجود ندارد. ریزها یکپارچه هستند:
;
;
.