اولین نقطه ، به طور معمول ، arcsin (-a) \u003d - arcsina است. برای رسیدن به نقطه دوم ، مسیر فوقانی یعنی در جهت افزایش زاویه را طی می کنیم.

این بار به n می رویم. چقدر میریم؟ در arcsin x. از این رو ، نقطه دوم n + arcsin x است. چرا منهای وجود ندارد؟ زیرا منهای ورودی –arcsin a به معنای حرکت عقربه های ساعت است و ما در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کردیم. و در آخر ، 2nn به هر انتهای بازه اضافه کنید.

5) sinx\u003e a if a\u003e 1.

دایره واحد کاملاً زیر خط y \u003d a قرار دارد. بالای خط مستقیم حتی یک نقطه وجود ندارد. از این رو ، هیچ راه حلی وجود ندارد.

6) sinx\u003e -a ، جایی که a\u003e 1.

در این حالت ، کل دایره واحد کاملاً بالای خط y \u003d a قرار دارد. بنابراین ، هر نقطه شرایط sinx\u003e a را برآورده می کند. از این رو x هر عددی است.

و در اینجا x هر عددی است ، زیرا نقاط -п / 2 + 2пn در حل وجود دارد ، برعکس نابرابری شدید sinx\u003e -1. نیازی به رد هیچ چیز نیست.

تنها نقطه حلقه ای که این شرط را برآورده می کند n / 2 است. با در نظر گرفتن دوره سینوسی ، راه حل این نابرابری مجموعه نقاط x \u003d n / 2 + 2пn است.

به عنوان مثال ، نابرابری sinx\u003e -1/2 را حل کنید:

نابرابری روابط فرم a ›b است ، جایی که a و b عباراتی هستند که حداقل حاوی یک متغیر هستند. نابرابری ها می توانند سختگیرانه - ‹،› و غیر سختگیرانه - ≥ ، باشند.

نابرابری های مثلثاتی عبارات فرم هستند: F (x) ›a ، F (x)‹ a ، F (x) ≤ a ، F (x) ≥ a ، که در آنها F (x) با یک یا چند توابع مثلثاتی نشان داده می شود.

مثالی از ساده ترین نابرابری مثلثاتی این است: sin x ‹1/2. پذیرفته شده است که چنین مشکلاتی را به صورت گرافیکی حل کنید ؛ برای این منظور ، دو روش ایجاد شده است.

روش 1 - با رسم یک تابع نابرابری ها را حل کنید

برای یافتن فاصله مطابق با شرایط نابرابری گناه x ‹1/2 ، باید مراحل زیر را انجام دهید:

1. بر محور مختصات ساخت سینوسی y \u003d sin x.
2. بر روی همان محور نمودار استدلال عددی نابرابری را ترسیم کنید ، یعنی خطی که از نقطه ½ مختصات OY عبور می کند.
3. نقاط تلاقی دو نمودار را علامت گذاری کنید.
4. سایه ای را که راه حل مثال است سایه بزنید.

وقتی علائم قوی در یک عبارت وجود داشته باشد ، نقاط تقاطع راه حل نیستند. از آنجا که کوچکترین دوره مثبت سینوسوئید 2π است ، جواب را به شرح زیر می نویسیم:

اگر نشانه های بیان سختگیرانه نیستند ، پس فاصله محلول ها باید در براکت های مربع محصور شود -. پاسخ این مسئله را می توان به عنوان نابرابری دیگری نوشت:

روش 2 - حل نابرابری های مثلثاتی با استفاده از دایره واحد

با استفاده از دایره مثلثاتی می توان به راحتی مشکلات مشابه را حل کرد. الگوریتم یافتن پاسخ بسیار ساده است:

1. ابتدا یک دایره واحد رسم کنید.
2. سپس لازم است که مقدار تابع قوس آرگومان سمت راست نابرابری بر روی قوس دایره را یادداشت کنیم.
3. ترسیم خط مستقیمی که از مقدار عملکرد قوس به موازات محور ابسیسا (OX) عبور می کند ، ضروری است.
4. پس از آن ، فقط برای انتخاب قوس دایره باقی می ماند ، که مجموعه ای از راه حل های نابرابری مثلثاتی است.
5. پاسخ را در فرم لازم بنویسید.

اجازه دهید مراحل حل را با استفاده از مثال نابرابری sin x ›1/2 تجزیه و تحلیل کنیم. نقاط α و β روی دایره مشخص می شوند - مقادیر

نقاط قوسی واقع در بالای α و β فاصله ای برای حل نابرابری داده شده است.

اگر لازم است مثالی را برای cos حل کنید ، قوس پاسخ ها به طور متقارن با محور OX قرار می گیرند و نه OY. برای در نظر گرفتن تفاوت فواصل راه حل های sin و cos ، می توانید از نمودارهای زیر متن استفاده کنید.

راه حل های گرافیکی برای نابرابری های مماس و لخته با سینوس و کسینوس متفاوت خواهد بود. این به دلیل خواص توابع است.

مماس قوس و ملحقات قوس مماس با دایره مثلثاتی هستند و حداقل دوره مثبت برای هر دو عملکرد π است. برای استفاده سریع و صحیح از روش دوم ، باید به یاد داشته باشید که در کدام محور مقادیر sin ، cos ، tg و ctg ترسیم شده است.

مماس مماس به موازات محور OY حرکت می کند. اگر مقدار arctan a را روی دایره واحد قرار دهید ، دومین نقطه مورد نیاز در چهارم مورب قرار خواهد گرفت. گوشه ها

همانطور که نمودار تمایل دارد ، نقاط شکست تابع هستند ، اما هرگز به آن نمی رسند.

در مورد لخته ، مماس به موازات محور OX اجرا می شود و عملکرد در نقاط π و 2π قطع می شود.

نابرابری مثلثاتی پیچیده

اگر آرگومان یک تابع نابرابری نه تنها با یک متغیر ، بلکه با یک عبارت کامل حاوی یک ناشناخته نمایش داده شود ، در حال حاضر ما در مورد یک نابرابری پیچیده صحبت می کنیم. روند و ترتیب حل آن تا حدودی با روشهای توضیح داده شده در بالا متفاوت است. فرض کنید یافتن راه حلی برای نابرابری زیر ضروری است:

راه حل گرافیکی برای ساخت یک سینوسی معمولی y \u003d sin x برای مقادیر دلخواه x انتخاب شده است. بیایید یک جدول را با مختصات برای نقاط لنگر نمودار محاسبه کنیم:

نتیجه باید یک منحنی خوب باشد.

برای سهولت یافتن راه حل ، استدلال عملکرد پیچیده را جایگزین کنید

بیشتر دانش آموزان از نابرابری های مثلثاتی بدشان می آید. اما بیهوده. همانطور که یک شخصیت می گفت ،

"شما فقط نمی دانید که چگونه آنها را بپزید"

بنابراین چگونه می توان «پخت» کرد و چگونه نابرابری را با سینوس ارائه داد ، در این مقاله به آن پی خواهیم برد. ما بیشترین تصمیم را خواهیم گرفت به روشی ساده - با استفاده از دایره واحد.

بنابراین ، اول از همه ، ما به الگوریتم زیر نیاز داریم.

الگوریتم حل نابرابری ها با سینوس:

1. در محور سینوس عدد $ a $ را کنار می گذاریم و یک خط مستقیم به موازات محور کسینوس می کشیم تا اینکه با دایره تلاقی یابد.
2. نقاط تقاطع این خط مستقیم با دایره اگر نابرابری سخت نباشد سایه می زند و اگر نابرابری سخت باشد سایه نمی زند.
3. اگر نابرابری حاوی علامت "$\u003e $" باشد ناحیه حل نابرابری بالاتر از خط و تا دایره خواهد بود و اگر نابرابری حاوی علامت "$ باشد زیر خط و تا دایره باشد.<$”;
4. برای یافتن نقاط تقاطع ، معادله مثلثاتی $ \\ sin (x) \u003d a $ را حل می کنیم ، $ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (a) + \\ pi n $ بدست می آوریم.
5. با تنظیم $ n \u003d 0 $ ، اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم (این در سه ماهه اول یا چهارم است).
6. برای یافتن نقطه دوم ، بررسی می کنیم که منطقه را به کدام نقطه تقاطع دوم برسانیم: اگر در جهت مثبت باشد ، باید $ n \u003d 1 $ و اگر در جهت منفی باشد ، $ n \u003d -1 $ ؛
7. در پاسخ ، یک فاصله از نقطه تقاطع کوچکتر $ + 2 \\ pi n $ تا $ + 2 \\ pi n $ بزرگتر نوشته می شود.

محدودیت الگوریتم

مهم: داین الگوریتم کار نمی کند برای نابرابری فرم $ \\ sin (x)\u003e 1؛ \\ \\ sin (x) \\ geq 1 ، \\ \\ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

موارد خاص در حل نابرابری با سینوس

همچنین توجه به موارد زیر مهم است ، که حل منطقی آنها بدون استفاده از الگوریتم فوق بسیار راحت تر است.

مورد خاص 1. حل نابرابری:

$ \\ sin (x) \\ leq 1. $

با توجه به این واقعیت که دامنه مقادیر عملکرد مثلثاتی $ y \u003d \\ sin (x) $ حداکثر مقدار $ 1 $ است ، بنابراین سمت چپ نابرابری ها برای هرچی$ x $ از دامنه (و دامنه سینوس - تمام اعداد واقعی) بیش از 1 $ نیست. بنابراین ، در پاسخ می نویسیم: $ x \\ in R $.

نتیجه گیری:

$ \\ sin (x) \\ geq -1. $

مورد خاص 2. حل نابرابری:

$ \\ sin (x)< 1.$

با استفاده از آرگومان های مشابه حالت خاص 1 ، به دست می آوریم که نابرابری سمت چپ کمتر از $ 1 برای کل $ x \\ in R $ است ، به جز نقاطی که راه حل معادله $ \\ sin (x) \u003d 1 $ است. با حل این معادله ، موارد زیر را خواهیم داشت:

$ x \u003d (-1) ^ (n) \\ arcsin (1) + \\ pi n \u003d (-1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n. $

بنابراین ، در پاسخ می نویسیم: $ x \\ in R \\ backslash \\ left \\ ((- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n \\ right \\) $.

نتیجه گیری: نابرابری

$ \\ sin (x)\u003e -1. $

نمونه هایی از حل نابرابری ها با استفاده از الگوریتم.

مثال 1:حل نابرابری:

$ \\ sin (x) \\ geq \\ frac (1) (2). $

1. اجازه دهید مختصات $ \\ frac (1) (2) $ را در محور سینوس علامت گذاری کنیم.
2. بیایید یک خط مستقیم به موازات محور کسینوس و عبور از این نقطه رسم کنیم.
3. بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم. سایه بان خواهند شد زیرا نابرابری سختگیرانه نیست.
4. علامت نابرابری $ \\ geq $ است ، به این معنی که ما بیش از منطقه بالای خط مستقیم رنگ آمیزی می کنیم ، یعنی نیم دایره کوچکتر
5. اولین نقطه تقاطع را پیدا کنید. برای انجام این کار ، نابرابری را به یک برابری تبدیل کرده و آن را حل کنید: $ \\ sin (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ \\ Rightarrow \\ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ frac (1) (2) ) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi n $. بعلاوه ، $ n \u003d 0 $ را تعیین می کنیم و اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم: $ x_ (1) \u003d \\ frac (\\ pi) (6) $.
6. نکته دوم را پیدا کنید. منطقه ما از نقطه اول به سمت مثبت می رود ، بنابراین $ n $ معادل $ 1 $ تعیین می کنیم: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (1) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi \\ cdot 1 \u003d \\ بنابراین ، راه حل به شکل زیر در می آید:

$ x \\ in \\ left [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n؛ \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right] ، \\ n \\ در Z. $

مثال 2:

بیایید مختصات $ - \\ frac (1) (2) $ را در محور سینوس ها علامت گذاری کنیم و یک خط مستقیم به موازات محور کسینوس ها و عبور از این نقطه رسم کنیم. بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم. سایه بان نخواهند شد ، زیرا نابرابری شدید است. علامت نابرابری $حل نابرابری:

$ \\ sin (x)< -\frac{1}{2}$

$ \\ sin (x) \u003d - \\ frac (1) (2) $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ چپ (- \\ frac (1) (2) \\ راست)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n + 1) \\ frac (\\ pi ) (6) + \\ pi n $.

با تنظیم بیشتر $ n \u003d 0 $ ، اولین نقطه تقاطع را پیدا خواهیم کرد: $ x_ (1) \u003d - \\ frac (\\ pi) (6) $. منطقه ما از نقطه اول در جهت منفی قرار می گیرد ، بنابراین n $ $ برابر با $ 1 $ تعیین می کنیم: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (- 1 + 1) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi \\ cdot (-1) \u003d - \\ pi + \\ frac (\\ pi) (6) \u003d - \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

بنابراین ، راه حل این نابرابری فاصله است:

{!LANG-c94830e92f7f81b298fef7023501bc06!}

$ x \\ in \\ left (- \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n؛ - \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right)، \\ n \\ in Z. $

مثال 3:حل نابرابری:

$ 1 - 2 \\ sin (\\ چپ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ راست)) \\ leq 0. $

این مثال با استفاده از الگوریتم بلافاصله قابل حل نیست. ابتدا باید آن را تغییر دهید. ما دقیقاً همان کاری را که با معادله انجام می دهیم انجام می دهیم ، اما علامت را فراموش نکنید. تقسیم یا ضرب در یک عدد منفی ، آن را برعکس می کند!

بنابراین ، بیایید همه مواردی را که حاوی عملکرد مثلثاتی نیستند ، به سمت راست منتقل کنیم. ما گرفتیم:

$ - 2 \\ sin (\\ چپ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ راست)) \\ leq -1. $

دو طرف چپ و راست را به -2 دلار تقسیم کنید (علامت را فراموش نکنید!). خواهد داشت:

$ \\ sin (\\ چپ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ راست)) \\ geq \\ frac (1) (2). $

باز هم ، ما نابرابری پیدا کردیم که نمی توانیم با استفاده از الگوریتم آن را حل کنیم. اما در اینجا کافی است متغیر را تغییر دهید:

$ t \u003d \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6). $

ما یک نابرابری مثلثاتی بدست می آوریم که می تواند با استفاده از الگوریتم حل شود:

$ \\ sin (t) \\ geq \\ frac (1) (2). $

این نابرابری در مثال 1 حل شد ، بنابراین بیایید پاسخ را از آنجا وام بگیریم:

$ t \\ in \\ left [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n؛ \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right]. $

با این حال ، تصمیم هنوز تمام نشده است. ما باید به متغیر اصلی برگردیم.

$ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6)) \\ in \\ left [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n؛ \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right]. $

بیایید بازه را به صورت سیستم نشان دهیم:

$ \\ چپ \\ (\\ شروع (آرایه) (c) \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n ، \\\\ در سمت چپ سیستم ، عبارتی ($ \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) $) وجود دارد که به این بازه تعلق دارد. مرز چپ فاصله مسئول اولین نابرابری است ، و سمت راست برای دوم. علاوه بر این ، براکت ها نقش مهمی دارند: اگر براکت مربع باشد ، نابرابری سختگیرانه نخواهد بود و اگر گرد باشد ، سختگیرانه خواهد بود. وظیفه ما بدست آوردن $ x $ در سمت چپ است

در هر دو نابرابری با انتقال $ \\ frac (\\ pi) (6) $ از سمت چپ به راست ، بدست می آوریم:.

$ \\ چپ \\ (\\ شروع (آرایه) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6) ، \\\\ با ساده سازی ، ما موارد زیر را خواهیم داشت:

$ \\ چپ \\ (\\ شروع (آرایه) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq 2 \\ pi n ، \\\\ \\ frac (x) (4) \\ leq \\ frac (2 \\ pi) (3) + 2 \\ pi n. \\ End (آرایه) \\ درست. $

ضرب سمت چپ و راست در 4 $ ، به دست می آوریم:

$ \\ چپ \\ (\\ شروع (آرایه) (c) x \\ geq 8 \\ pi n ، \\\\ x \\ leq \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n. \\ end (آرایه) \\ راست. $

با قرار دادن سیستم در کنار هم ، جواب را می گیریم:

$ x \\ in \\ left [8 \\ pi n؛ \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n \\ right] ، \\ n \\ در Z. $

1. اگر بحث پیچیده باشد (غیر از

ایکس

{!LANG-8de71d4f7530e70976aa1a4622eb137d!} {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}) ، سپس آن را با جایگزین می کنیم تی.

2. ما در یک صفحه مختصات می سازیم اسباب بازی نمودارهای عملکرد y \u003d هزینه و y \u003d a.

3. ما چنین پیدا می کنیم دو نقطه تقاطع مجاور نمودارهابین آن واقع شده است بالای خط مستقیم y \u003d a... خلاصه های این نقاط را پیدا کنید.

4- نابرابری مضاعف را برای استدلال یادداشت می کنیم تیبا توجه به دوره کسینوس ( تی بین جسدهای پیدا شده خواهد بود).

5. جایگزینی معکوس را انجام دهید (بازگشت به استدلال اصلی) و مقدار را بیان کنید {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!} از نابرابری مضاعف ، پاسخ را به صورت یک فاصله عددی می نویسیم.

مثال 1

بعلاوه ، طبق الگوریتم ، آن مقادیر آرگومان را تعیین می کنیم تیکه در آن سینوسی قرار دارد بالاتر سر راست. اجازه دهید این مقادیر را با در نظر گرفتن تناوب تابع کسینوس به صورت یک نابرابری مضاعف بنویسیم و سپس به استدلال اصلی برگردیم {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}.

مثال 2

دامنه ای از مقادیر را انتخاب کنید تیکه در آن سینوسیید بالای خط مستقیم است.

ما مقادیر را به صورت نابرابری مضاعف می نویسیم تی ، ارضای شرط. فراموش نکنید که کوچکترین دوره عملکرد y \u003d هزینه برابر است 2π... بازگشت به متغیر {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}، به تدریج تمام قسمت های نابرابری مضاعف را ساده می کند.

ما جواب را به صورت یک فاصله عددی بسته می نویسیم ، زیرا این نابرابری سختگیرانه نبود.

مثال 3

ما به دامنه مقادیر علاقه مند خواهیم شد تیکه در آن نقاط سینوسیید بالای خط مستقیم قرار می گیرند.

ارزش ها تی به صورت یک نابرابری مضاعف نوشته خواهد شد ، ما این مقادیر را برای دوباره می نویسیم 2 برابر و بیان {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}... ما جواب را به صورت یک فاصله عددی می نویسیم.

و دوباره فرمول هزینه\u003e الف.

اگر یک هزینه\u003e الف, (-1≤و≤1) ، بنابراین - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

برای حل نابرابری های مثلثاتی از فرمول ها استفاده کنید و در تست زنی صرفه جویی خواهید کرد.

و حالا فرمول ، که هنگام حل نابرابری مثلثاتی فرم باید در آزمون UNT یا USE استفاده کنید هزینه

اگر یک هزینه , (-1≤و≤1) ، بنابراین arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

برای حل نابرابری های مورد بحث در این مقاله از این فرمول استفاده کنید و خیلی سریعتر و بدون هیچ نمودار جواب خواهید گرفت!

با در نظر گرفتن تناوب تابع سینوس ، نابرابری مضاعف را برای مقادیر آرگومان یادداشت می کنیم تیارضای آخرین نابرابری. برگردیم به متغیر اصلی. نابرابری مضاعف حاصل را تبدیل کرده و متغیر را بیان می کنیم ایکس.پاسخ را به صورت شکاف می نویسیم.

نابرابری دوم را حل می کنیم:

هنگام حل نابرابری دوم ، ما باید سمت چپ این نابرابری را مطابق فرمول سینوسی یک استدلال دوتایی تبدیل کنیم تا نابرابری شکل را بدست آوریم: sint≥a بعد ، الگوریتم را دنبال کردیم.

سومین نابرابری را حل می کنیم:

فارغ التحصیلان و متقاضیان عزیز! بخاطر داشته باشید که چنین روشهایی برای حل نابرابریهای مثلثاتی مانند روش گرافیکی فوق و ، مطمئناً می دانید ، روش حل با استفاده از یک دایره مثلثاتی واحد (دایره مثلثاتی) فقط در اولین مراحل مطالعه بخش مثلثات "حل معادلات مثلثاتی و نابرابریها" قابل اجرا است. فکر می کنم یادآوری خواهید کرد که ابتدا ساده ترین معادلات مثلثاتی را با استفاده از نمودار یا دایره حل کرده اید. با این حال ، اکنون به ذهن شما خطور نمی کند که معادلات مثلثاتی را از این طریق حل کنید. چگونه آنها را حل می کنید؟ طبق فرمول ها درست است. بنابراین نابرابری های مثلثاتی باید با استفاده از فرمول ها ، به ویژه در هنگام آزمایش ، حل شود هر دقیقه حساب می شود... بنابراین ، سه نابرابری را در این درس با استفاده از فرمول مربوطه حل کنید.

اگر یک sint\u003e a، جایی که -1≤ آ≤1 ، پس arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ

فرمول ها را بیاموزید!

و سرانجام: آیا می دانید ریاضیات تعاریف ، قوانین و فرمول ها است؟!

البته شما می دانید! و کنجکاوترین ، پس از مطالعه این مقاله و تماشای فیلم ، فریاد زد: "چه طولانی و دشوار! آیا فرمولی وجود ندارد که به شما امکان می دهد چنین نابرابری هایی را بدون هیچ نمودار و دایره ای حل کنید؟ " بله ، البته وجود دارد!

برای حل ناسازگاری های نوع: سینت (-1≤و≤1) فرمول زیر معتبر است:

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

آن را روی مثالهای بالا اعمال کنید و خیلی سریعتر جواب خواهید گرفت!

نتیجه: فرمول ها را بیاموزید ، دوستان!

صفحه 1 از 1 1

در یک درس عملی ، ما انواع اصلی وظایف را از مبحث "مثلثات" بررسی می کنیم ، علاوه بر این وظایف با افزایش پیچیدگی را تجزیه و تحلیل می کنیم و نمونه هایی از حل انواع نابرابری های مثلثاتی و سیستم های آنها را در نظر می گیریم.

این درس به شما کمک می کند تا برای یکی از انواع وظایف B5 ، B7 ، C1 و C3 آماده شوید.

بیایید با تکرار انواع اساسی کارها که در مبحث "مثلثات" بحث کردیم شروع کنیم و چندین کار غیر استاندارد را حل خواهیم کرد.

مسئله شماره 1... زاویه ها را به شعاع و درجه تبدیل کنید: الف)؛ ب)

الف) بیایید از فرمول تبدیل درجه به رادیان استفاده کنیم

بیایید مقدار مشخص شده را در آن جایگزین کنیم.

ب) فرمول تبدیل رادیان به درجه را اعمال کنید

بیایید تعویض را انجام دهیم .

پاسخ. و)؛ ب)

مسئله شماره 2... محاسبه کنید: الف) ب)

الف) از آنجا که زاویه بسیار فراتر از جدول است ، با کم کردن دوره سینوسی آن را کاهش می دهیم. زیرا زاویه در رادیان نشان داده می شود ، سپس دوره به عنوان زیر در نظر گرفته می شود.

ب) در این حالت وضعیت به همین منوال است. از آنجا که زاویه بر حسب درجه نشان داده می شود ، پس مدت زمان مماس در نظر گرفته می شود.

زاویه حاصل اگرچه کمتر از دوره است ، بزرگتر است ، به این معنی که دیگر به قسمت اصلی اشاره نمی کند ، بلکه به قسمت گسترش یافته جدول است. برای اینکه یک بار دیگر حافظه خود را با حفظ جدول گسترده ای از مقادیر تابع trig آموزش ندهیم ، دوباره دوره مماس را کم می کنیم:

ما از عجیب بودن عملکرد مماس استفاده کردیم.

پاسخ. الف) 1؛ ب)

مسئله شماره 3... محاسبه ، اگر یک .

ما کل عبارت را به مماس می آوریم ، عدد و مخرج کسر را بر تقسیم می کنیم. در عین حال ، نمی توانیم از این ترس داشته باشیم ، زیرا در این حالت ، مقدار مماس وجود نخواهد داشت.

مسئله شماره 4... بیان را ساده کنید.

عبارات مشخص شده با استفاده از فرمول بازیگران تبدیل می شوند. آنها به سادگی با استفاده از مدرک به طور غیرمعمول نوشته می شوند اولین عبارت به طور کلی یک عدد است. اجازه دهید همه توابع trig را به نوبت ساده کنیم:

زیرا ، سپس عملکرد به یک cofunction تغییر می کند ، یعنی به لتان ، و زاویه به یک چهارم دوم می رسد ، که در آن مماس اصلی علامت منفی دارد.

به همان دلایلی که در عبارت قبلی وجود دارد ، عملکرد به cofunction تغییر می کند ، یعنی روی لتان ، و زاویه به یک چهارم اول می افتد ، که در آن مماس اصلی علامت مثبت دارد.

بیایید همه چیز را در یک عبارت ساده جایگزین کنیم:

مسئله شماره 5... بیان را ساده کنید.

بیایید مماس زاویه دو برابر مطابق فرمول مربوطه بنویسیم و عبارت را ساده کنیم:

آخرین هویت یکی از فرمول های جایگزین جهانی برای کسینوس است.

مسئله شماره 6... محاسبه.

نکته اصلی این است که اشتباه استانداردی نکنید و پاسخی ندهید که عبارت مساوی است. به شرطی که در کنار آن یک ضرب به صورت دو وجود داشته باشد ، نمی توانید از ویژگی اصلی Arctangent استفاده کنید. برای خلاص شدن از آن ، ما این عبارت را طبق فرمول مماس زاویه دو برابر می نویسیم ، در حالی که از آن به عنوان یک استدلال معمولی استفاده می کنیم.

اکنون می توانید از ویژگی اصلی Arctangent استفاده کنید ، به یاد داشته باشید که هیچ محدودیتی در نتیجه عددی آن وجود ندارد.

مسئله شماره 7... معادله را حل کنید.

هنگام حل یک معادله کسری که برابر با صفر است ، همیشه نشان داده می شود که عدد صفر است و مخرج نیست ، زیرا نمی توانید تقسیم بر صفر کنید.

اولین معادله یک مورد خاص از ساده ترین معادله است که با استفاده از یک دایره مثلثاتی حل می شود. خودتان این راه حل را بخاطر بسپارید. نابرابری دوم با توجه به فرمول کلی ریشه های مماس به عنوان ساده ترین معادله حل می شود ، اما فقط با علامت برابر نیست.

همانطور که می بینید ، یک خانواده از ریشه ها خانواده دیگری از ریشه ها را که معادله دقیقاً همان شکل را برآورده نمی کنند ، حذف می کند. آنهایی که بدون ریشه

پاسخ. بدون ریشه

مسئله شماره 8... معادله را حل کنید.

بلافاصله یادآوری می کنیم که می توانید فاکتور مشترک را خارج کرده و این کار را انجام دهید:

وقتی حاصلضرب چندین عامل برابر با صفر باشد ، این معادله به یکی از اشکال استاندارد تقلیل یافته است. ما قبلاً می دانیم که در این حالت یا یکی از آنها صفر است ، یا دیگری یا سوم. بیایید این را به صورت مجموعه ای از معادلات بنویسیم:

دو معادله اول موارد خاص ساده ترین آنها هستند ، ما قبلاً بارها با معادلات مشابهی روبرو شده ایم ، بنابراین بلافاصله راه حل های آنها را نشان خواهیم داد. اجازه دهید معادله سوم را با استفاده از فرمول سینوسی دو زاویه به یک تابع کاهش دهیم.

بیایید آخرین معادله را جداگانه حل کنیم:

این معادله ریشه ندارد ، زیرا مقدار سینوسی نمی تواند از حد مجاز خارج شود .

بنابراین ، راه حل فقط دو خانواده اصلی ریشه است ، آنها می توانند در یک ترکیب شوند ، که به راحتی در دایره مثلثاتی نشان داده می شود:

این یک خانواده از همه نیمه ها است ، یعنی

بیایید به سراغ حل نابرابری های مثلثاتی برویم. اول ، ما روش حل یک مثال را بدون استفاده از فرمول برای راه حل های کلی ، اما با استفاده از یک دایره مثلثاتی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مسئله شماره 9... نابرابری را حل کنید.

روی دایره مثلثاتی یک خط کمکی متناظر با مقدار سینوس برابر بکشید و فاصله زاویه هایی را که نابرابری را برآورده می کنند ، نشان دهید.

درک اینکه چگونه دقیقاً دامنه حاصل از زاویه ها را نشان دهید ، به عنوان مثال بسیار مهم است. آغاز آن چیست و پایان آن چیست. اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم ، شروع شکاف زاویه مربوط به نقطه ای است که در همان ابتدای شکاف وارد خواهیم شد. در مورد ما ، این نقطه در سمت چپ است ، زیرا در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کرده و از نقطه درست عبور می کنیم ، برعکس ، ما زاویه های مورد نیاز را ترک می کنیم. بنابراین نکته در سمت راست با پایان فاصله مطابقت دارد.

اکنون لازم است که مقادیر زوایای آغاز و پایان فاصله راه حل های خود را برای نابرابری درک کنیم. یک اشتباه معمول این است که بلافاصله نشان دهید که نقطه سمت راست با زاویه ، در سمت چپ مطابقت دارد و یک پاسخ را ارائه می دهد. این درست نیست! توجه داشته باشید که ما فقط شکاف مربوط به قسمت بالای دایره را مشخص کردیم ، اگرچه به قسمت پایینی علاقه مند هستیم ، به عبارت دیگر ، ابتدا و انتهای فاصله راه حل های مورد نیاز را اشتباه گرفته ایم.

برای اینکه یک فاصله از گوشه نقطه سمت راست شروع شود و به گوشه نقطه سمت چپ ختم شود ، اولین زاویه مشخص شده باید کمتر از دوم باشد. برای انجام این کار ، ما باید زاویه نقطه سمت راست را در جهت منفی مرجع ، یعنی در جهت عقربه های ساعت برابر خواهد بود. سپس ، از آن در جهت مثبت در جهت عقربه های ساعت شروع می کنیم ، پس از نقطه سمت چپ به نقطه درست می رسیم و مقدار زاویه را برای آن می گیریم. اکنون شروع فاصله زاویه ها کمتر از پایان است و ما می توانیم بدون در نظر گرفتن دوره ، فاصله راه حل ها را بنویسیم:

با توجه به اینکه چنین بازه هایی پس از هر عدد عدد صحیح به تعداد نامحدود تکرار می شود ، با در نظر گرفتن دوره سینوسی راه حل کلی را بدست می آوریم:

ما به دلیل سخت بودن نابرابری پرانتز قرار می دهیم و نقاطی از دایره را که با انتهای بازه مطابقت دارد بیرون می آوریم.

این پاسخ را با فرمول راه حل کلی که در سخنرانی ارائه دادیم مقایسه کنید.

پاسخ. .

این روش برای درک اینکه فرمول های راه حل های کلی ساده ترین سه برابره ها از کجا آمده خوب است. علاوه بر این ، برای کسانی که خیلی تنبل هستند یادگیری همه این فرمولهای دست و پا گیر مفید است. با این حال ، این روش نیز آسان نیست ، انتخاب کنید که کدام روش برای شما مناسب تر است.

برای حل نابرابری های مثلثاتی ، می توانید از نمودار توابع استفاده کنید که یک خط کمکی روی آنها مشابه روشی که با استفاده از دایره واحد نشان داده شده است ، ساخته شده است. اگر علاقه مند هستید ، سعی کنید این رویکرد را خودتان رقم بزنید. در ادامه ، از فرمول های کلی برای حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی استفاده خواهیم کرد.

مسئله شماره 10... نابرابری را حل کنید.

بیایید از فرمول کلی راه حل استفاده کنیم با توجه به اینکه نابرابری سختگیرانه نیست:

ما در پرونده خود قرار می گیریم:

پاسخ.

مسئله شماره 11... نابرابری را حل کنید.

ما از فرمول راه حل کلی برای دقیقاً نابرابری مربوطه استفاده خواهیم کرد:

پاسخ. .

مسئله شماره 12... نابرابری ها را حل کنید: الف) ب)

در این نابرابری ها ، نیازی به عجله در استفاده از فرمول ها برای راه حل های کلی یا یک دایره مثلثاتی نیست ؛ فقط کافی است محدوده مقادیر سینوس و کسینوس را بخاطر بسپارید.

الف) از آنجا که ، پس نابرابری بی معنی است. بنابراین ، هیچ راه حلی وجود ندارد.

ب) زیرا به طور مشابه ، سینوس هر استدلال همیشه نابرابری مشخص شده در شرایط را برآورده می کند. از این رو ، تمام مقادیر واقعی استدلال نابرابری را برآورده می کنند.

پاسخ. الف) هیچ راه حلی وجود ندارد ب)

تکلیف 13... نابرابری را حل کنید .