Las transformaciones elementales de filas (columnas) de una matriz significan las siguientes acciones:

1. Reposicionamiento de dos filas (columnas).
2. Multiplicación de todos los elementos de una fila (columna) por algún número $ a \ neq 0 $.
3. La suma de todos los elementos de una fila (columna) con los elementos correspondientes de otra fila (columna), multiplicada por algún número real.

Si aplicamos alguna transformación elemental a las filas o columnas de la matriz $ A $, obtenemos una nueva matriz $ B $. En este caso, $ \ rang (A) = \ rang (B) $, es decir las transformaciones elementales no cambian el rango de la matriz.

Si $ \ rang A = \ rang B $, entonces las matrices $ A $ y $ B $ se llaman equivalente... El hecho de que la matriz $ A $ sea equivalente a la matriz $ B $ se escribe así: $ A \ sim B $.

A menudo se usa la siguiente notación: $ A \ rightarrow B $, lo que significa que la matriz $ B $ se obtiene de la matriz $ A $ usando alguna transformación elemental.

Al encontrar el rango utilizando el método gaussiano, puede trabajar tanto con filas como con columnas. Es más conveniente trabajar con cadenas, por lo tanto, en los ejemplos de esta página, las transformaciones se realizan en cadenas de matriz.

Tenga en cuenta que la transposición no cambia el rango de la matriz, es decir $ \ sonó (A) = \ sonó (A ^ T) $. En algunos casos, esta propiedad es conveniente de usar (ver ejemplo # 3), ya que, si es necesario, es fácil hacer filas columnas y viceversa.

Breve descripción del algoritmo

Introduzcamos algunos términos. Línea cero- una cadena, cuyos elementos son iguales a cero. Cadena distinta de cero- una cadena, al menos uno de cuyos elementos es distinto de cero. Elemento principal una cadena distinta de cero se denomina su primer elemento distinto de cero (contando de izquierda a derecha). Por ejemplo, en la línea $ (0; 0; 5; -9; 0) $, el elemento principal será el tercer elemento (es igual a 5).

El rango de cualquier matriz cero es 0, por lo que consideraremos matrices distintas de cero. El objetivo final de las transformaciones matriciales es hacerlo escalonado. El rango de una matriz escalonada es igual al número de filas distintas de cero.

El método considerado para encontrar el rango de una matriz consta de varios pasos. El primer paso usa la primera línea, el segundo paso usa la segunda y así sucesivamente. Cuando debajo de la fila que usamos en el paso actual, solo quedan cero filas, o no hay filas en absoluto, el algoritmo se detiene, ya que la matriz resultante será escalonada.

Ahora pasemos a esas transformaciones sobre cadenas que se realizan en cada paso del algoritmo. Suponga que debajo de la línea actual, que necesitamos usar en este paso, hay líneas distintas de cero, donde $ k $ es el número del elemento principal de la línea actual y $ k _ (\ min) $ es el más pequeño de los números de los elementos principales de esas líneas que se encuentran debajo de la línea actual ...

• Si $ k \ lt (k _ (\ min)) $, vaya al siguiente paso del algoritmo, es decir para usar la siguiente línea.
• Si $ k = k _ (\ min) $, entonces ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes cuyo número pivote es $ k _ (\ min) $. Si aparecen cero filas, las transferimos a la parte inferior de la matriz. Luego pasamos al siguiente paso del algoritmo.
• Si $ k \ gt (k _ (\ min)) $, entonces intercambiamos la línea actual con una de esas líneas a continuación, cuyo número de pivote es $ k _ (\ min) $. Después de eso, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. Si no hay tales líneas, vaya al siguiente paso del algoritmo. Si aparecen cero filas, las transferimos a la parte inferior de la matriz.

Cómo exactamente se ponen a cero los elementos principales, lo consideraremos en la práctica. Las letras $ r $ (de la palabra "fila") denotarán filas: $ r_1 $ es la primera fila, $ r_2 $ es la segunda fila, y así sucesivamente. Las letras $ c $ (de la palabra "columna") denotarán columnas: $ c_1 $ - la primera columna, $ c_2 $ - la segunda columna, y así sucesivamente.

En los ejemplos de esta página, usaré $ k $ para indicar el número de pivote de la línea actual, y $ k _ (\ min) $ se usará para indicar el número de pivote más pequeño de las líneas debajo de la línea actual.

Ejemplo 1

Encuentre el rango de la matriz $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (array) \ right) $.

Primer paso

En el primer paso, trabajamos con la primera línea. En la primera fila de la matriz dada, el elemento principal es el primer elemento, es decir número de pivote de la primera línea $ k = 1 $. Veamos las líneas debajo de la primera línea. Los elementos iniciales de estas líneas están numerados 4, 1, 1 y 1. El más pequeño de estos números es $ k _ (\ min) = 1 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. En otras palabras, debe poner a cero los elementos principales de la tercera, cuarta y quinta líneas.

En principio, puede proceder a poner a cero los elementos anteriores, pero para aquellas conversiones que se realizan a cero, es conveniente cuando el elemento principal de la cadena utilizada es uno. Esto no es necesario, pero simplifica los cálculos. Tenemos el número -2 como elemento principal de la primera línea. Hay varias opciones para reemplazar el número "inconveniente" con uno (o número (-1)). Puede, por ejemplo, multiplicar la primera línea por 2 y luego restar la quinta de la primera línea. O simplemente puede intercambiar la primera y la tercera columna. Después de reorganizar las columnas # 1 y # 3, obtenemos una nueva matriz equivalente a la matriz dada $ A $:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (arreglo) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) \ boldred (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) $$

El elemento principal de la primera línea es uno. El número de pivote de la primera línea no ha cambiado: $ k = 1 $. Los números de los elementos principales de las líneas debajo de la primera son los siguientes: 4, 1, 2, 1. El número más pequeño es $ k _ (\ min) = 1 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. Esto significa que debe poner a cero los elementos principales de la tercera y quinta líneas. Estos elementos están resaltados en azul y verde.

Para poner a cero los elementos requeridos, realizaremos operaciones con las filas de la matriz. Escribiré estas operaciones por separado:

$$ \ begin (alineado) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ end (alineado) $$

El registro $ r_3 + 5r_1 $ significa que los elementos correspondientes de la primera línea, multiplicados por cinco, se han agregado a los elementos de la tercera línea. El resultado se escribe en lugar de la tercera fila en una nueva matriz. Si surgen dificultades con la realización oral de dicha operación, esta acción se puede realizar por separado:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

La acción $ r_5-r_1 $ es similar. Como resultado de las transformaciones de cadenas, obtenemos la siguiente matriz:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (matriz) \ derecha) $$

En este punto, el primer paso puede considerarse completo. Dado que hay líneas distintas de cero debajo de la primera línea, debe continuar trabajando. La única advertencia: en la tercera fila de la matriz resultante, todos los elementos se dividen por completo por 2. Para reducir los números y simplificar nuestros cálculos, multiplicamos los elementos de la tercera fila por $ \ frac (1) (2) $ y luego continúe con el segundo paso:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ end (matriz) \ right) $$

Segundo paso

En el segundo paso, trabajamos con la segunda línea. En la segunda fila de la matriz, el elemento principal es el cuarto, es decir número de pivote de la segunda línea $ k = 4 $. Veamos las líneas debajo de la segunda línea. Los elementos iniciales de estas líneas están numerados 2, 2 y 2. El más pequeño de estos números es $ k _ (\ min) = 2 $. Dado que $ k \ gt (k _ (\ min)) $, necesita intercambiar la segunda línea actual con una de esas líneas cuyo número de pivote es $ k _ (\ min) $. En otras palabras, debe cambiar la segunda línea por la tercera, cuarta o quinta. Elegiré la quinta línea (esto evitará la aparición de fracciones), es decir intercambie la quinta y segunda línea:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ right) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) $$

Veamos de nuevo la segunda línea. Ahora el elemento principal es el segundo elemento (está resaltado en rojo), es decir $ k = 2 $. El menor de los números pivote de las filas subyacentes (es decir, de los números 2, 2 y 4) será $ k _ (\ min) = 2 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. Esto significa que debe poner a cero los elementos principales de la tercera y cuarta líneas. Estos elementos están resaltados en azul y verde.

Tenga en cuenta que en el paso anterior, 1 se convirtió en el pivote de la fila actual mediante la permutación de columnas. Esto se hizo para evitar trabajar con fracciones. Aquí también puede colocar uno en el lugar del pivote de la segunda fila: por ejemplo, intercambiando la segunda y la cuarta columna. Sin embargo, no haremos esto, ya que las fracciones no surgirán de todos modos. Las acciones con cadenas serán así:

$$ \ begin (alineado) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ end (alineado) $$

Realizando las operaciones indicadas, llegamos a la siguiente matriz:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (matriz ) \ derecha) $$

El segundo paso ha terminado. Dado que hay líneas distintas de cero debajo de la segunda línea, procedemos al tercer paso.

Tercer paso

En el tercer paso, trabajamos con la tercera línea. En la tercera fila de la matriz, el elemento principal es el cuarto, es decir número de pivote de la tercera fila $ k = 4 $. Veamos las líneas debajo de la tercera línea. Los elementos iniciales en estas líneas están numerados 4 y 4, el más pequeño de los cuales es $ k _ (\ min) = 4 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. Esto significa que debe poner a cero los elementos principales de la cuarta y quinta líneas. Las transformaciones que se llevan a cabo para tal fin son completamente similares a las que se realizaron anteriormente:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $$

Solo hay cero líneas debajo de la tercera línea. Esto significa que la conversión está completa. Hemos llevado la matriz a una forma escalonada. Dado que la matriz reducida contiene tres filas distintas de cero, su rango es 3. En consecuencia, el rango de la matriz original también es tres, es decir, $ \ sonó A = 3 $. La solución completa sin explicación es:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (arreglo) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ comenzar (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (matriz) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (matriz) \ derecha) \ begin (matriz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ right) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $$

Respuesta: $ \ sonó A = 3 $.

Ejemplo No. 2

Encuentre el rango de la matriz $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) $.

Esta matriz no es cero, lo que significa que su rango es mayor que cero. Pasemos al primer paso del algoritmo.

Primer paso

En el primer paso, trabajamos con la primera línea. En la primera fila de la matriz dada, el elemento principal es el primer elemento, es decir número de pivote de la primera línea $ k = 1 $. Veamos las líneas debajo de la primera línea. Los elementos principales de estas líneas se numeran 1, es decir el número de pivote más pequeño de las líneas subyacentes es $ k _ (\ min) = 1 $. Dado que $ k = k _ (\ min) $, es necesario poner a cero los elementos principales de esas filas subyacentes, para las cuales el número del elemento principal es igual a $ k _ (\ min) $. En otras palabras, debe poner a cero los elementos principales de la segunda, tercera y cuarta líneas.

Para facilitar los cálculos, haremos que el elemento principal de la primera línea se convierta en uno. En el ejemplo anterior, para esto, intercambiamos las columnas, pero esta acción no funcionará con esta matriz; no hay elementos iguales a uno en esta matriz. Realicemos una acción auxiliar: $ r_1-5r_2 $. Entonces el pivote de la primera fila será 1.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) $$

El elemento principal de la primera línea es uno. Pongamos a cero los elementos principales de las filas subyacentes:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ right) $$

Se acabó el primer paso. Dado que hay líneas distintas de cero debajo de la primera línea, debe continuar trabajando.

Segundo paso

En el segundo paso, trabajamos con la segunda línea. En la segunda fila de la matriz, el elemento principal es el segundo, es decir número de pivote de la segunda línea $ k = 2 $. Los elementos principales en las líneas siguientes tienen el mismo número 2, por lo que $ k _ (\ min) = 2 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero los elementos pivote de esas filas subyacentes, para las cuales el número pivote es $ k _ (\ min) $. Esto significa que debe poner a cero los elementos principales de la tercera y cuarta líneas.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (matriz) \ right) \ begin (matriz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ right) $$

Apareció una línea nula. Dejémoslo caer al final de la matriz:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (arreglo) \ right) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ left (\ begin (arreglo) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $$

El segundo paso ha terminado. Observe que ya tenemos una matriz escalonada. Sin embargo, podemos finalizar formalmente nuestro algoritmo. Dado que hay líneas distintas de cero debajo de la segunda línea, debe ir al tercer paso y trabajar con la tercera línea, pero no hay líneas distintas de cero debajo de la tercera línea. Por tanto, la conversión está completa.

Por cierto, la matriz resultante es trapezoidal. La matriz trapezoidal es un caso especial de matriz escalonada.

Dado que esta matriz contiene tres filas distintas de cero, su rango es 3. En consecuencia, el rango de la matriz original también es tres, es decir, $ \ sonó (A) = 3 $. La solución completa sin explicación es:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (arreglo) \ right) \ begin (arreglo) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (matriz) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ right) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matriz) \ right) $$

Respuesta: $ \ sonó A = 3 $.

Ejemplo No. 3

Encuentre el rango de la matriz $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (matriz) \ right) $.

A veces, en el proceso de resolución es conveniente trasponer la matriz. Dado que el rango de la matriz transpuesta es igual al rango de la matriz original, tal operación es bastante admisible. Este ejemplo considerará tal caso. Durante las transformaciones, aparecerán dos cadenas idénticas $ (0; \; 1; \; - 2) $ (primera y cuarta). En principio, puede realizar la acción $ r_4-r_1 $, luego la cuarta línea se pondrá a cero, pero esto solo alargará la solución en un registro, por lo que no realizaremos la puesta a cero de la cuarta línea.

$$ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (matriz) \ right) \ begin (matriz) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ phantom (0) \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (matriz) \ right) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ end (matriz) \ right) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ left (\ begin ( matriz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (matriz) \ right) \ begin (matriz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ end (matriz) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matriz) \ right) $$

El rango de la matriz transformada es 2, por lo tanto, el rango de la matriz original es $ \ rang (A) = 2 $. En principio, era posible encontrar el rango sin transponer la matriz: intercambia la primera fila con la segunda, tercera o quinta y continúa las transformaciones habituales con filas. El método de reducir la matriz a una forma escalonada permite variaciones en el proceso de solución.

Respuesta: $ \ sonó A = 2 $.

Ejemplo No. 4

Encuentre el rango de la matriz $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ end (matriz) \ right) $.

Esta matriz no es cero, es decir su rango es mayor que cero. Pasemos al primer paso del algoritmo.

Primer paso

En el primer paso, trabajamos con la primera línea. En la primera fila de la matriz dada, el elemento principal es el segundo, es decir número de pivote de la primera línea $ k = 2 $. Considere las líneas debajo de la primera línea. Los elementos principales de estas líneas se numeran 3, es decir el número de pivote más pequeño de las líneas subyacentes es $ k _ (\ min) = 3 $. Dado que $ k \ lt (k _ (\ min)) $, procedemos al siguiente paso del algoritmo.

Segundo paso

En el segundo paso, trabajamos con la segunda línea. En la segunda línea, el elemento principal es el tercero, es decir número de pivote de la segunda línea $ k = 3 $. Debajo de la segunda línea hay solo una tercera línea, cuyo número de pivote es 3, por lo que $ k _ (\ min) = 3 $. Como $ k = k _ (\ min) $, ponemos a cero el elemento principal de la tercera fila:

$$ \ left (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (matriz) \ right) \ begin (matriz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (matriz) \ sim \ left (\ begin (matriz ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (matriz) \ derecha) $$

Recibió una matriz escalonada. El rango de la matriz transformada, y por lo tanto el rango de la matriz original, es 3.

Respuesta: $ \ sonó A = 3 $.

Ejemplo No. 5

Encuentre el rango de la matriz $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ End (matriz) \ right) $.

A veces es posible reducir una matriz a una matriz escalonada usando solo una permutación de filas o columnas. Esto sucede, por supuesto, muy raramente, pero una reordenación exitosa puede simplificar significativamente la solución.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (array ) \ right) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $$

Matriz reducida a escalonada, $ \ rang (A) = 3 $.

Respuesta: $ \ sonó A = 3 $.

Este artículo discutirá un concepto como el rango de una matriz y los conceptos adicionales necesarios. Le daremos ejemplos y pruebas para encontrar el rango de una matriz, y también le diremos qué es una matriz menor y por qué es tan importante.

Matriz menor

Para comprender cuál es el rango de una matriz, es necesario comprender un concepto como el menor de una matriz.

Definición 1

Menork-matriz de tercer orden es el determinante de una matriz cuadrada de orden k × k, que está compuesta por los elementos de la matriz A ubicados en las k-filas y k-columnas preseleccionadas, manteniendo la posición de los elementos de la matriz A.

En pocas palabras, si en la matriz A eliminamos (pk) filas y (nk) columnas, y de los elementos que quedan, componimos una matriz, preservando la disposición de los elementos de la matriz A, entonces el determinante de la matriz resultante es un menor de orden k de la matriz A.

Del ejemplo se deduce que los menores de primer orden de la matriz A son los elementos de la matriz en sí mismos.

Hay varios ejemplos de menores de segundo orden. Seleccionemos dos filas y dos columnas. Por ejemplo, 1ª y 2ª fila, 3ª y 4ª columna.

Con esta elección de elementos, el menor de segundo orden será - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Otro menor de segundo orden de la matriz A es 0 0 1 1 = 0

Proporcionaremos ilustraciones de la construcción de menores de segundo orden de la matriz A:

El menor de 3er orden se obtiene eliminando la tercera columna de la matriz A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Una ilustración de cómo se obtiene el menor de tercer orden de la matriz A:

Para una matriz dada, no hay menores superiores al 3er orden, porque

k ≤ metro yo norte (p, norte) = metro yo norte (3, 4) = 3

¿Cuántos menores de orden k hay para una matriz A de orden p × n?

El número de menores se calcula mediante la siguiente fórmula:

C p k × C n k, donde e e C p k = p! k! (paquete)! y C n k = n! k! (n - k)! - el número de combinaciones de p a k, de n a k, respectivamente.

Una vez que hayamos decidido cuáles son los menores de la matriz A, podemos proceder a determinar el rango de la matriz A.

Clasificación de la matriz: métodos de búsqueda

Rango de matriz - el orden más alto de una matriz distinta de cero.

Designación 1

Rango (A), Rg (A), Sonó (A).

De la definición del rango de la matriz y el menor de la matriz, queda claro que el rango de la matriz cero es cero y el rango de la matriz distinta de cero es diferente de cero.

Encontrar el rango de una matriz por definición

Enumeración de menores - un método basado en la determinación del rango de una matriz.

Algoritmo de acciones por enumeración de menores :

Es necesario encontrar el rango de la matriz A de orden pag× norte... Si hay al menos un elemento distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno ( ya que es menor de 1er orden, que no es igual a cero).

A esto le sigue una enumeración de los menores de segundo orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango es igual a uno. Si hay al menos un menor distinto de cero de 2º orden, es necesario pasar a una enumeración de los menores de 3º orden, y el rango de la matriz, en este caso, será igual a al menos dos.

Actuaremos de manera similar con el rango de tercer orden: si todos los menores de la matriz son iguales a cero, entonces el rango será igual a dos. Si hay al menos un menor distinto de cero de orden 3, entonces el rango de la matriz es al menos tres. Y así sucesivamente, por analogía.

Ejemplo 2

Encuentra el rango de una matriz:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Dado que la matriz es distinta de cero, su rango es al menos igual a uno.

El segundo orden menor - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 es distinto de cero. De ahí se sigue que el rango de la matriz A es al menos dos.

Iteramos sobre los menores de tercer orden: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 piezas.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11-0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Los menores de tercer orden son iguales a cero, por lo que el rango de la matriz es igual a dos.

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de menores limítrofes

Método de menores fronterizos - un método que le permite obtener un resultado con menos trabajo computacional.

Frente a menor - la menor M ok (k + 1) -ésimo orden de la matriz A, que bordea la menor M de orden k de la matriz A, si la matriz que corresponde a la menor M ok "contiene" la matriz que corresponde a la menor M.

En pocas palabras, la matriz que corresponde a la M menor bordeada se obtiene a partir de la matriz correspondiente a la M o k menor limítrofe eliminando los elementos de una fila y una columna.

Ejemplo 3

Encuentra el rango de una matriz:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Para encontrar el rango, tomamos el segundo orden menor М = 2 - 1 4 1

Anotamos todos los menores limítrofes:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Para fundamentar el método de los menores limítrofes, presentamos un teorema, cuya formulación no requiere una base de prueba.

Teorema 1

Si todos los menores que bordean el k-ésimo orden menor de la matriz A de orden p por n son iguales a cero, entonces todos los menores de orden (k + 1) de la matriz A son iguales a cero.

Algoritmo de acciones :

Para encontrar el rango de una matriz, no es necesario iterar sobre todos los menores, basta con mirar los limítrofes.

Si los menores limítrofes son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es cero. Si hay al menos un menor que no es igual a cero, entonces consideramos a los menores limítrofes.

Si todos son cero, entonces el rango (A) es dos. Si hay al menos un menor limítrofe distinto de cero, procedemos a considerar sus menores limítrofes. Y así sucesivamente, de forma similar.

Ejemplo 4

Encuentre el rango de una matriz por el método de menores limítrofes

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

¿Cómo resolver?

Dado que el elemento a 11 de la matriz A no es igual a cero, entonces tomamos un menor de primer orden. Comencemos a buscar un menor limítrofe distinto de cero:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Encontramos un menor de segundo orden limítrofe no igual a cero 2 0 4 1.

Vamos a iterar sobre los menores limítrofes - (hay (4 - 2) × (5 - 2) = 6 piezas).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de Gauss (usando transformaciones elementales)

Recordemos qué son las transformaciones elementales.

Transformaciones elementales:

• reorganizando las filas (columnas) de la matriz;
• multiplicando todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número k arbitrario distinto de cero;

agregando a los elementos de cualquier fila (columna) elementos que correspondan a otra fila (columna) de la matriz, que se multiplican por un número arbitrario k.

Definición 5

Encontrar el rango de una matriz por el método de Gauss - un método basado en la teoría de equivalencia de matrices: si la matriz B se obtiene de la matriz A utilizando un número finito de transformaciones elementales, entonces Rango (A) = Rango (B).

La validez de esta declaración se deriva de la definición de la matriz:

• en el caso de la permutación de filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Si es igual a cero, permanece igual a cero al reorganizar filas o columnas;
• en el caso de multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k, que no es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original, que se multiplica por k;

en el caso de sumar a los elementos de una determinada fila o columna de la matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, que se multiplican por el número k, no cambia su determinante.

La esencia del método de transformaciones elementales. : reducir la matriz cuyo rango se encuentra a uno trapezoidal usando transformaciones elementales.

¿Para qué?

El rango de matrices de este tipo es bastante fácil de encontrar. Es igual al número de líneas que contienen al menos un elemento distinto de cero. Y dado que el rango no cambia durante las transformaciones elementales, este será el rango de la matriz.

Ilustremos este proceso:

• para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es mayor que el número de columnas:

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 2 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 billón - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 segundo k + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es menor que el número de columnas:

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 pb 1 p + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 pb 2 p + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 segundo k + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• para matrices cuadradas A de orden n por n:

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 1 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 billón - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 segundo k + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Ejemplo 5

Encuentre el rango de la matriz A usando transformaciones elementales:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

¿Cómo resolver?

Dado que el elemento a 11 es distinto de cero, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz A por 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Agregue a los elementos de la 2ª fila los elementos correspondientes de la 1ª fila, que se multiplican por (-3). A los elementos de la 3ra línea, agregue los elementos de la 1ra línea, que se multiplican por (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

El elemento a 22 (2) es distinto de cero, por lo que multiplicamos los elementos de la segunda fila de la matriz A por A (2) por a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• A los elementos de la tercera fila de la matriz resultante, agregue los elementos correspondientes de la segunda fila, que se multiplican por 3 2;
• a los elementos de la cuarta fila: los elementos de la segunda fila, que se multiplican por 9 2;
• a los elementos de la quinta fila: los elementos de la segunda fila, que se multiplican por 3 2.

Todos los elementos de la fila son cero. Así, con la ayuda de transformaciones elementales, hemos llevado la matriz a una forma trapezoidal, de la cual se puede ver que R a n k (A (4)) = 2. Por tanto, se deduce que el rango de la matriz original también es igual a dos.

Comentario

Si realiza transformaciones elementales, ¡no se permiten valores aproximados!

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Definición. Por el rango de la matriz es el número máximo de líneas linealmente independientes consideradas como vectores.

Teorema 1 sobre el rango de una matriz. Por el rango de la matriz es el orden máximo de un menor distinto de cero de la matriz.

Ya analizamos el concepto de menor en la lección de determinantes, y ahora lo generalizaremos. Tomemos en la matriz algunas filas y algunas columnas, y este "algunos" debería ser menor que el número de filas y columnas de la matriz, y para filas y columnas, este "algunos" debería ser el mismo número. Luego, en la intersección de algunas filas y cuántas columnas habrá una matriz de orden inferior a nuestra matriz original. El determinante de esta matriz será el k-ésimo orden menor si el mencionado "algunos" (el número de filas y columnas) se denota por k.

Definición. Menor ( r+1) orden, dentro del cual se encuentra el menor seleccionado r-th orden se llama limítrofe para un menor dado.

Los dos métodos más utilizados son encontrar el rango de la matriz... eso Camino de menores limítrofes y método de transformaciones elementales(por el método de Gauss).

El siguiente teorema se utiliza para el método de menores limítrofes.

Teorema 2 sobre el rango de una matriz. Si a partir de los elementos de la matriz es posible componer un menor r-th orden, no igual a cero, entonces el rango de la matriz es r.

En el método de transformaciones elementales, se utiliza la siguiente propiedad:

Si por transformaciones elementales se obtiene una matriz trapezoidal equivalente a la original, entonces el rango de esta matriz es el número de líneas que contiene, a excepción de las líneas que constan completamente de ceros.

Encontrar el rango de una matriz por el método de menores limítrofes

Un menor limítrofe es un menor de orden superior en relación a otro dado, si este menor de orden superior contiene a este menor.

Por ejemplo, dada la matriz

Tomemos un menor

limítrofes serán los siguientes menores:

Algoritmo para encontrar el rango de una matriz Siguiente.

1. Encuentre menores que no sean cero de segundo orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz será igual a uno ( r =1 ).

2. Si hay al menos un menor de segundo orden que no es igual a cero, entonces componimos los menores limítrofes del tercer orden. Si todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a dos ( r =2 ).

3. Si al menos uno de los menores limítrofes de tercer orden no es igual a cero, entonces componimos los menores limítrofes. Si todos los menores limítrofes de cuarto orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a tres ( r =2 ).

4. Continúe mientras lo permita el tamaño de la matriz.

Ejemplo 1. Encuentra el rango de una matriz

.

Solución. Menor de segundo orden .

Lo enmarcamos. Habrá cuatro menores limítrofes:

,

,

Así, todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por tanto, el rango de esta matriz es igual a dos ( r =2 ).

Ejemplo 2. Encuentra el rango de una matriz

Solución. El rango de esta matriz es 1, ya que todos los menores de segundo orden de esta matriz son iguales a cero (en este, como en los casos de menores limítrofes en los dos ejemplos siguientes, se invita a los queridos estudiantes a verificar por sí mismos, posiblemente utilizando las reglas para el cálculo de determinantes), y entre los menores de primer orden, es decir, entre los elementos de la matriz, no son iguales a cero.

Ejemplo 3. Encuentra el rango de una matriz

Solución. Menores de segundo orden de esta matriz, en todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero. Por lo tanto, el rango de esta matriz es dos.

Ejemplo 4. Encuentra el rango de una matriz

Solución. El rango de esta matriz es 3, ya que el único menor de tercer orden de esta matriz es 3.

Encontrar el rango de una matriz por el método de transformaciones elementales (método de Gauss)

Ya en el Ejemplo 1, se puede ver que el problema de determinar el rango de una matriz por el método de los menores limítrofes requiere calcular una gran cantidad de determinantes. Sin embargo, existe una manera de mantener la cantidad de cálculo al mínimo. Este método se basa en el uso de transformaciones de matrices elementales y también se denomina método de Gauss.

Las transformaciones de matrices elementales se entienden como las siguientes operaciones:

1) multiplicación de cualquier fila o columna de la matriz por un número que no sea cero;

2) agregar a los elementos de cualquier fila o columna de la matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, multiplicados por el mismo número;

3) intercambiar dos filas o columnas de la matriz;

4) eliminación de las líneas "cero", es decir, aquellas cuyos elementos son iguales a cero;

5) eliminación de todas las líneas proporcionales excepto una.

Teorema. Una transformación elemental no cambia el rango de la matriz. En otras palabras, si usamos transformaciones elementales de la matriz A fue a la matriz B, luego .

Filas (columnas). Varias filas (columnas) se denominan linealmente independientes si ninguna de ellas puede expresarse linealmente en términos de las demás. El rango del sistema de filas es siempre igual al rango del sistema de columnas, y este número se llama rango de la matriz.

El rango de una matriz es el más alto de los órdenes de todos los posibles menores distintos de cero de esta matriz. El rango de una matriz cero de cualquier tamaño es cero. Si todos los menores de segundo orden son cero, entonces el rango es uno, y así sucesivamente.

El rango de la matriz es la dimensión de la imagen. dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ Displaystyle \ dim (\ operatorname (im) (A))) operador lineal al que corresponde la matriz.

Por lo general, el rango de la matriz. A (\ Displaystyle A) denotado sonó ⁡ A (\ Displaystyle \ operatorname (sonó) A), r ⁡ A (\ Displaystyle \ operatorname (r) A), rg ⁡ A (\ Displaystyle \ operatorname (rg) A) o rango ⁡ A (\ Displaystyle \ operatorname (rango) A)... La última variante es típica del inglés, mientras que las dos primeras son para el alemán, el francés y varios otros idiomas.

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• 1 / 5

  Sea una matriz rectangular.

  Entonces, por definición, el rango de la matriz A (\ Displaystyle A) es un:

  Teorema (sobre la corrección de la definición de rangos). Que todos los menores de la matriz A m × n (\ Displaystyle A_ (m \ times n)) pedido k (\ Displaystyle k) igual a cero M k = 0 (\ Displaystyle M_ (k) = 0)). Luego ∀ M k + 1 = 0 (\ Displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0) si existen.

  Definiciones relacionadas

  Propiedades

  • Teorema (sobre el menor básico): Permitir r = sonó ⁡ A, M r (\ Displaystyle r = \ operatorname (sonó) A, M_ (r))- base menor de la matriz A (\ Displaystyle A), luego:
  • Consecuencias:
  • Teorema (sobre invariancia de rango bajo transformaciones elementales): Introduzcamos una notación para matrices obtenidas entre sí mediante transformaciones elementales. Entonces la siguiente afirmación es verdadera: Si A ∼ B (\ Displaystyle A \ sim B), entonces sus rangos son iguales.
  • El teorema de Kronecker-Capelli: Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y solo si el rango de su matriz principal es igual al rango de su matriz extendida. En particular:
    • El número de variables principales del sistema es igual al rango del sistema.
    • Se determinará un sistema conjunto (su solución es única) si el rango del sistema es igual al número de todas sus variables.
  • Desigualdad de Sylvester: Si A y B matrices de tamaño m x n y n x k, luego
  sonó ⁡ A B ≥ sonó ⁡ A + sonó ⁡ B - n (\ Displaystyle \ operatorname (sonó) AB \ geq \ operatorname (sonó) A + \ operatorname (sonó) B-n)

  Este es un caso especial de la siguiente desigualdad.

  • Desigualdad de Frobenius: Si AB, BC, ABC están bien definidos, entonces
  sonó ⁡ A B C ≥ sonó ⁡ A B + sonó ⁡ B C - sonó ⁡ B (\ Displaystyle \ operatorname (sonó) ABC \ geq \ operatorname (sonó) AB + \ operatorname (sonó) BC- \ operatorname (sonó) B)

  Transformación lineal y rango de una matriz

  Permitir A (\ Displaystyle A)- matriz de tamaño m × n (\ Displaystyle m \ times n) sobre el campo C (\ Displaystyle C)(o R (\ Displaystyle R)). Permitir T (\ Displaystyle T)- transformación lineal correspondiente A (\ Displaystyle A) en una base estándar; esto significa que T (x) = UNA x (\ Displaystyle T (x) = Ax). Rango de matriz A (\ Displaystyle A) es la dimensión del rango de valores de la transformación T (\ Displaystyle T).

  Métodos

  Existen varios métodos para encontrar el rango de una matriz:

  • Método de transformación elemental
  El rango de la matriz es igual al número de filas distintas de cero en la matriz después de reducirla a una forma escalonada usando transformaciones elementales sobre las filas de la matriz.
  • Método de menores fronterizos
  Deja entrar la matriz A (\ Displaystyle A) menor distinto de cero encontrado k (\ Displaystyle k)-ésimo orden M (\ Displaystyle M)... Considere a todos los menores (k + 1) (\ Displaystyle (k + 1))-th orden, incluyendo (limítrofes) menor M (\ Displaystyle M); si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es k (\ Displaystyle k)... De lo contrario, hay uno distinto de cero entre los menores limítrofes y se repite todo el procedimiento.

  Cualquier matriz A pedido m × n se puede ver como un conjunto metro vectores de fila o norte vectores de columna.

  Por rango matrices A pedido m × n es el número máximo de vectores de columna o vectores de fila linealmente independientes.

  Si el rango de la matriz A es igual a r, entonces está escrito:

  Encontrar el rango de una matriz

  Permitir A matriz de orden arbitrario metro× norte... Para encontrar el rango de una matriz A aplicarle el método de eliminación gaussiano.

  Tenga en cuenta que si en alguna etapa de la exclusión el elemento pivote es igual a cero, intercambiamos esta línea con la línea en la que el elemento pivote es distinto de cero. Si resulta que no existe tal fila, vaya a la siguiente columna, etc.

  Después del movimiento directo de eliminar a Gauss, obtenemos una matriz, cuyos elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Además, puede haber vectores de línea cero.

  El número de vectores de fila distintos de cero será el rango de la matriz A.

  Consideremos todo esto con ejemplos simples.

  Ejemplo 1.

  Multiplicando la primera fila por 4 y sumando a la segunda fila y multiplicando la primera fila por 2 y sumando a la tercera fila tenemos:

  

  La segunda línea se multiplica por -1 y se agrega a la tercera línea:

  

  Tenemos dos filas distintas de cero y, por lo tanto, el rango de la matriz es 2.

  Ejemplo 2.

  Encuentre el rango de la siguiente matriz:

  

  Multiplique la primera línea por -2 y agregue a la segunda línea. Del mismo modo, ponemos a cero los elementos de la tercera y cuarta filas de la primera columna:

  

  Ponga a cero los elementos de la tercera y cuarta filas de la segunda columna agregando las filas correspondientes a la segunda fila multiplicada por -1.