En la práctica computacional, a menudo uno tiene que lidiar con funciones dadas por tablas de sus valores para algún conjunto finito de valores. NS : .

En el proceso de resolver el problema, es necesario utilizar los valores
para valores intermedios del argumento. En este caso, se construye una función Ф (x), que es lo suficientemente simple para los cálculos, que en los puntos dados X 0 , X 1 , ..., X norte , llamados nodos de interpolación, toma valores y en otros puntos del segmento (x 0, x n) pertenecientes al dominio de definición
, aproximadamente representa la función
con distintos grados de precisión.

Al resolver el problema, en este caso, en lugar de la función
operar con la función Ф (x). El problema de construir tal función Ф (x) se llama problema de interpolación. Muy a menudo, la función de interpolación Ф (x) se busca en forma de polinomio algebraico.

1. Polinomio de interpolación

Para cada función
definido en [ a, b], y cualquier conjunto de nodos X 0 , X 1 , ...., X norte (X I
[a, b], X I X j para mí j) entre los polinomios algebraicos de grado como máximo n, existe un polinomio de interpolación único Ф (x), que se puede escribir en la forma:

, (3.1)

dónde
- polinomio de grado n con la siguiente propiedad:

Para el polinomio de interpolación, el polinomio
parece:

Este polinomio (3.1) resuelve el problema de interpolación y se denomina polinomio de interpolación de Lagrange.

Como ejemplo, considere una función de la forma
en el intervalo
dado en forma tabular.

Es necesario determinar el valor de la función en el punto x-2.5. Usaremos el polinomio de Lagrange para esto. Con base en las fórmulas (3.1 y 3.3), escribimos este polinomio en forma explícita:

(3.4).

Luego, sustituyendo los valores iniciales de nuestra tabla en la fórmula (3.4), obtenemos

El resultado obtenido corresponde a la teoría, es decir ...

1. Fórmula de interpolación de Lagrange

El polinomio de interpolación de Lagrange se puede escribir en una forma diferente:

(3.5)

Escribir el polinomio en la forma (3.5) es más conveniente para la programación.

Al resolver el problema de interpolación, la cantidad norte se llama el orden del polinomio de interpolación. Además, como se puede ver en las fórmulas (3.1) y (3.5), el número de nodos de interpolación siempre será igual a n + 1 y el significado X, por lo cual el valor
, debe estar dentro del dominio de definición de los nodos de interpolación aquellos.

. (3.6)

En algunos casos prácticos, el número total conocido de nodos de interpolación es metro puede ser mayor que el orden del polinomio de interpolación norte.

En este caso, antes de implementar el procedimiento de interpolación según la fórmula (3.5), es necesario determinar aquellos nodos de interpolación para los que la condición (3.6) es válida. Debe recordarse que el error más pequeño se logra al encontrar el valor. X en el centro del área de interpolación. Para garantizar esto, se propone el siguiente procedimiento:

El propósito principal de la interpolación es calcular los valores de una función tabulada para valores de argumentos no nodales (intermedios), por lo que la interpolación a menudo se denomina "el arte de leer tablas entre filas".

Polinomio de Lagrange

Polinomio de interpolación lagrangiano- un polinomio de grado mínimo que toma los valores dados en un conjunto dado de puntos. Para norte+ 1 pares de números, donde todos X I diferente, solo hay un polinomio L(X) grado no más norte, para cual L(X I) = y I .

En el caso más simple ( norte= 1) es un polinomio lineal cuya gráfica es una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Definición

Este ejemplo muestra el polinomio de interpolación de Lagrange para cuatro puntos (-9.5), (-4.2), (-1, -2) y (7.9), así como los polinomios y j l j (x), cada uno de los cuales pasa por uno de los puntos seleccionados, y toma valor cero en el resto x yo

Deja para la función F(X) los valores son conocidos y j = F(X j) en algunos puntos. Entonces podemos interpolar esta función como

En particular,

Los valores de las integrales de l j no dependas de F(X), y se pueden calcular de antemano, conociendo la secuencia X I .

Para el caso de distribución uniforme de nodos de interpolación a lo largo de un segmento

En este caso, podemos expresar X I a través de la distancia entre los nodos de interpolación hy el punto de partida X 0 :

y por lo tanto

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del polinomio básico y sacando h para los signos de multiplicación en el numerador y denominador, obtenemos

Ahora puede ingresar reemplazo de variable

y obtener un polinomio de y que se construye utilizando solo aritmética de enteros. La desventaja de este enfoque es la complejidad factorial del numerador y denominador, que requiere el uso de algoritmos con representación multibyte de números.

enlaces externos

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "polinomio de Lagrange" en otros diccionarios:

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Construiremos un polinomio de interpolación en la forma

donde hay polinomios de grado como máximo NS, teniendo la siguiente propiedad:

De hecho, en este caso el polinomio (4.9) en cada nodo x j, j = 0,1, ... n, es igual al valor correspondiente de la función y j, es decir. es interpolación.

Construyamos tales polinomios. Dado que para x = x 0, x 1,… x i -1, x i + 1,… x n, podemos factorizar de la siguiente manera

donde c es una constante. De la condición obtenemos que

Polinomio de interpolación (4.1) escrito en la forma

se llama polinomio de interpolación de Lagrange.

El valor aproximado de la función en el punto X * calculado utilizando el polinomio de Lagrange tendrá un error residual (4.8). Si los valores de la función y yo en los nodos de interpolación x yo se establecen aproximadamente con el mismo error absoluto, luego, en lugar del valor exacto, se calculará un valor aproximado, y

donde es el error absoluto computacional del polinomio de interpolación de Lagrange. Finalmente, tenemos la siguiente estimación del error total del valor aproximado.

En particular, los polinomios de Lagrange de primer y segundo grado tendrán la forma

y sus errores totales en el punto x *

Hay otras formas de escribir el mismo polinomio de interpolación (4.1), por ejemplo, la fórmula de interpolación de Newton con diferencias separadas consideradas a continuación y sus variantes. Para cálculos precisos, los valores Pn (x *) obtenidas por diferentes fórmulas de interpolación construidas a partir de los mismos nodos coinciden. La presencia de un error de cálculo conduce a una diferencia en los valores obtenidos de estas fórmulas. Escribir un polinomio en forma de Lagrange conduce, por regla general, a un error de cálculo menor.

El uso de fórmulas para estimar los errores derivados de la interpolación depende de la formulación del problema. Por ejemplo, si se conoce el número de nodos y la función se da con un número suficientemente grande de signos correctos, entonces el problema de calcular f (x *) con la mayor precisión posible. Si, por el contrario, el número de signos correctos es pequeño y el número de nodos es grande, entonces el problema de calcular f (x *) con la precisión que permite el valor de la tabla de la función, y para resolver este problema, es posible que se requiera tanto la rarefacción como la compactación de la tabla.

§4.3. Diferencias separadas y sus propiedades.

El concepto de diferencia dividida es un concepto generalizado de derivada. Dejemos que los valores de las funciones f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Las diferencias de primer orden separadas están determinadas por las igualdades

separados por diferencias de segundo orden - igualdades,

y las diferencias separadas k-ésimo orden están determinados por la siguiente fórmula recursiva:

Las diferencias divididas generalmente se colocan en una tabla como esta:

Considere las siguientes propiedades de las diferencias separadas.

1. Las diferencias divididas de todos los órdenes son combinaciones lineales de valores. f (x i), es decir. la siguiente fórmula es válida:

Demostremos la validez de esta fórmula por inducción en el orden de las diferencias. Para diferencias de primer orden

La fórmula (4.12) es válida. Supongamos ahora que es válido para todas las diferencias de orden.

Luego, de acuerdo con (4.11) y (4.12), para diferencias de orden k = n + 1 tenemos

Los términos que contienen f (x 0) y f (x n +1), tenga la forma requerida. Considere los términos que contienen f (x i), i = 1, 2, ..., n... Hay dos de estos términos, de la primera y la segunda suma:

aquellos. la fórmula (4.12) es válida para la diferencia de orden k = n + 1, la prueba está completa.

2. La diferencia dividida es una función simétrica de sus argumentos x 0, x 1,… x n (es decir, no cambia para ninguna permutación):

Esta propiedad se deriva directamente de la igualdad (4.12).

3. Relación de diferencia dividida simple F y derivado f (n) (x) da el siguiente teorema.

Deje que los nodos x 0, x 1, ... x n pertenezcan al segmento y función f (x) tiene en este segmento una derivada continua de orden NS... Entonces hay un punto xÎ, qué

Probemos primero la validez de la relación

Según (4.12), la expresión entre corchetes es

F.

Comparando (4.14) con la expresión (4.7) para el resto R norte (x) = f (x) -L norte (x) obtenemos (4.13), se demuestra el teorema.

De este teorema se sigue un simple corolario. Para polinomio NS-th grado

f (x) = una 0 x norte + una 1 x norte -1 +… una norte

orden derivada NS obviamente hay

y la relación (4.13) da para la diferencia dividida el valor

Entonces, cada polinomio de grado NS diferencias de orden separadas NS son iguales a un valor constante: el coeficiente en el grado más alto del polinomio. Diferencias separadas de órdenes superiores
(más NS) son obviamente iguales a cero. Sin embargo, esta conclusión es válida solo si no hay un error de cálculo para las diferencias separadas.

§4.4. Interpolación del polinomio de Newton con diferencias separadas

Escribimos el polinomio de interpolación de Lagrange en la siguiente forma:

dónde L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Polinomio de interpolación de Lagrange de grado k construido por nodos x 0, x 1, ..., x k... Entonces hay un polinomio de grado k cuyas raíces son puntos x 0, x 1, ..., x k -1... Por tanto, se puede factorizar

donde A k es una constante.

De acuerdo con (4.14), obtenemos

Comparando (4.16) y (4.17), obtenemos que (4.15) también toma la forma

que se llama polinomio de interpolación de Newton con diferencias separadas.

Este tipo de notación del polinomio de interpolación es más descriptivo (la adición de un nodo corresponde a la aparición de un término) y permite trazar mejor la analogía de las construcciones construidas con las construcciones básicas del análisis matemático.

El error residual del polinomio de interpolación de Newton se expresa mediante la fórmula (4.8), pero, teniendo en cuenta (4.13), se puede escribir de otra forma

aquellos. el error residual se puede estimar mediante el módulo del primer término rechazado en el polinomio N n (x *).

Error computacional N n (x *) vendrá determinado por los errores de las diferencias separadas. Nodos de interpolación más cercanos al valor interpolado X *, tendrá un mayor impacto en el polinomio de interpolación, que se encuentra más lejos - menos. Por tanto, es aconsejable, si es posible, x 0 y x 1 tomar viniendo a X * nodos de interpolación y realice la interpolación lineal en estos nodos primero. Luego, atraiga gradualmente los siguientes nodos para que sean lo más simétricos posible en relación con X * hasta que el siguiente término en valor absoluto sea menor que el error absoluto de la diferencia dividida incluida en él.

Deja el segmento función y = f (x) se pone en una mesa, es decir (x yo, y yo), (yo = 0,1, .., n), dónde y yo = f (x yo). Esta función se llama " malla».

Formulación del problema: encontrar polinomio algebraico (polinomio):

grado no superior norte tal que

L norte (x i) = y yo, a yo = 0,1, .., n,(5.6)

aquellos. teniendo en los nodos dados x yo, (I=0,1,..,norte) los mismos valores que la función de cuadrícula a=f (x).

El polinomio en sí L n (x) llamado polinomio de interpolación, y la tarea es interpolación polinomial .

Hallar el polinomio L n (x)- esto significa encontrar sus coeficientes a 0 , a 1 ,…, A norte. Para esto hay n + 1 condición (5.6), que se escriben en forma de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con respecto a las incógnitas a yo,(I=0, 1,…,norte):

dónde X yo y y I ( I=0,1,…,norte): valores de tabla del argumento y la función.

Se sabe por el curso de álgebra que el determinante de este sistema, llamado determinante de Vandermonde:

distinto de cero y, por tanto, el sistema (5.7) tiene única decisión.

Habiendo determinado los coeficientes a 0 , a 1 ,…, Un, sistema de resolución (5.7), obtenemos el llamado Polinomio de interpolación de Lagrange para la función f (x):

(5.8)

que se puede escribir como:

Está probado que dado norte Se pueden trazar +1 valores de la función el único polinomio de interpolación de Lagrange(5.8).

En la práctica, los polinomios de interpolación de Lagrange de la primera ( n = 1) y el segundo ( n = 2) grados.

A n = 1 información sobre la función interpolada y = f (x) se establece en dos puntos: (X 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ), y el polinomio de Lagrange tiene la forma

Para n = 2 el polinomio de Lagrange se construye a partir de una tabla de tres puntos

Solución: Sustituimos los datos iniciales en la fórmula (5.8). El grado del polinomio de Lagrange obtenido no es superior al tercero, ya que la función está especificada por cuatro valores:

Usando el polinomio de interpolación de Lagrange, puede encontrar el valor de la función en cualquier punto intermedio, por ejemplo, para NS=4:

= 43

Polinomios de interpolación de Lagrange utilizada en método de elementos finitos, ampliamente utilizado en la resolución de problemas de construcción.

También se conocen otras fórmulas de interpolación, por ejemplo, Fórmula de interpolación de Newton utilizado para la interpolación en el caso de nodos igualmente espaciados o polinomio de interpolación Hermita.

Interpolación de splines... Cuando se usa una gran cantidad de nodos de interpolación, se usa una técnica especial: interpolación polinomial por partes cuando la función es interpolada por un polinomio de grado T entre los nodos de cuadrícula adyacentes.

Aproximación cuadrática media de funciones

Formulación del problema

Aproximación rms funciones es otro enfoque para obtener expresiones analíticas para aproximar funciones. Una característica de tales problemas es el hecho de que los datos iniciales para la construcción de ciertas regularidades son obviamente carácter aproximado.

Estos datos se obtienen como resultado de algún tipo de experimento o como resultado de algún tipo de proceso computacional. En consecuencia, estos datos contienen errores experimentales (errores de equipos y condiciones de medición, errores aleatorios, etc.) o errores de redondeo.

Digamos que se está investigando algún fenómeno o proceso. En general, el objeto de investigación se puede representar mediante un sistema cibernético ("caja negra") que se muestra en la figura.

Variable NS Es una variable controlada independiente (parámetro de entrada).

Variable Y Es la reacción (respuesta) del objeto de investigación a la influencia del parámetro de entrada. Esta es la variable dependiente.

Supongamos que al procesar los resultados de este experimento, se encontró cierta dependencia funcional y = f (x) entre la variable independiente NS y variable dependiente a. Esta dependencia se presenta en forma de tabla. 5.1 valores x yo, y yo (yo=1,2,…, N) obtenido durante el experimento.

Cuadro 5.1

Si la expresión de la función analítica y = f (x) es desconocido o muy difícil, entonces surge el problema para encontrar la función y = j (NS), valores de los cuales en x = x yo, tal vez un poco diferente a partir de datos experimentales y yo, (I=1,..,norte). Por tanto, la dependencia investigada se aproxima mediante la función y = j (NS) en el segmento [ X 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Función aproximada y = j (NS) llamado fórmula empírica (EF) o ecuación de regresión (RR).

Las fórmulas empíricas no pretenden ser las leyes de la naturaleza, sino sólo hipótesis que describen más o menos adecuadamente los datos experimentales. Sin embargo, su importancia es muy grande. En la historia de la ciencia, hay casos en los que la fórmula empírica exitosa obtenida condujo a grandes descubrimientos científicos.

La fórmula empírica es adecuado si se puede utilizar para describir el objeto en estudio con suficiente precisión para la práctica.

¿Para qué es esta adicción?

Si se encuentra la aproximación (5.9), entonces es posible:

Haga una predicción sobre el comportamiento del objeto investigado fuera del segmento ( extrapolación );

Seleccione óptimo la dirección de desarrollo del proceso en estudio.

La ecuación de regresión puede tener una forma diferente y un nivel de complejidad diferente, según las características del objeto en estudio y la precisión de representación requerida.

Geométricamente el problema de construir la ecuación de regresión consiste en trazar la curva L: y = j (NS) « Tan cerca como sea posible»Adyacente al sistema de puntos experimentales M yo (x yo, y yo), yo = 1,2, .., n mesa dada. 5.1 (Figura 5.2).

La construcción de la ecuación de regresión (función empírica) consta de 2 etapas:

1. elección de vista general ecuaciones de regresión,

2. definiendo sus parámetros.

Exitoso elección la ecuación de regresión depende en gran medida de la experiencia del experimentador que investiga un proceso o fenómeno.

A menudo se elige un polinomio (polinomio) como ecuación de regresión:

Segunda tarea encontrar parámetros Las ecuaciones de regresión se resuelven mediante métodos regulares, por ejemplo, método de mínimos cuadrados(OLS), que se utiliza ampliamente en el estudio de cualquier patrón basado en observaciones o experimentos.

El desarrollo de este método está asociado con los nombres de matemáticos famosos del pasado: K. Gauss y A. Legendre.

Método de mínimos cuadrados

Supongamos que los resultados del experimento se presentan en forma de tabla. 5.1. Y la ecuación de regresión se escribe en la forma (5.11), es decir depende de ( metro+1) parámetro

Estos parámetros determinan la ubicación del gráfico de la ecuación de regresión en relación con los puntos experimentales. M yo (x yo, y yo), yo = 1,2, .., n(Figura 5.2).

Sin embargo, estos parámetros no están definidos de forma única. Se requiere seleccionar los parámetros para que la gráfica de la ecuación de regresión se ubique “ Tan cerca como sea posible»Al sistema de estos puntos experimentales.

Introducimos el concepto desviaciones valores de la ecuación de regresión (5.11) del valor de la tabla y yo por x yo : , yo = 1,2, .., n.

Considerar la suma de los cuadrados de las desviaciones, que depende de( metro+1) parámetro

Según OLS, los mejores coeficientes a yo(I=0,1,..,metro) son los que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir función.

Utilizando condiciones necesarias para el extremo de la función varias variables, obtenemos el llamado sistema normal para determinar coeficientes desconocidos :

Para la función de aproximación (5.11), el sistema (5.14) es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para las incógnitas .

Los casos son posibles:

1. Si, entonces hay infinitos polinomios (5.11) que minimizan la función (5.13).

2. Si m = n–1, entonces solo hay una función minimizadora polinomial (5.11) (5.13).

Lo menos metro, cuanto más simple es la fórmula empírica, pero no siempre es mejor. Debe recordarse que la fórmula empírica resultante debe ser adecuado objeto en estudio.