Elementos del análisis combinatorio

Conexiones. Vacío A a 1 , a 2, a 3 …un A metro (metro de norte conexiones de norte elementos por metro

Permutaciones. Vacío A- un conjunto que consta de un número finito de elementos a 1 , a 2, a 3 …un... De los diversos elementos del conjunto A se pueden formar grupos. Si cada grupo contiene el mismo número de elementos metro (metro de norte), luego dicen que forman conexiones de norte elementos por metro en todos. Hay tres tipos de conexiones: ubicación, combinaciones y permutaciones.

Alojamiento. Conexiones, cada una de las cuales contiene metro varios elementos ( metro < norte) tomado de norte elementos del conjunto A, que se diferencian entre sí o la composición de los elementos, o su orden se denominan colocaciones de norte elementos por metro en todos. El número de estas ubicaciones se indica con el símbolo

Teorema 1. El número de todas las permutaciones distintas de n elementos es

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n!

Teorema 2. Número de todas las ubicaciones de norte elementos por metro calculado por la fórmula:

Combinaciones Conexiones cada uno de los cuales contiene metro varios elementos ( metro < norte) tomado de norte elementos del conjunto A difieren entre sí al menos uno de los elementos (solo composición) se denominan combinaciones de norte elementos por metro en todos. El número de tales combinaciones se indica con el símbolo

Teorema 3. El número de todas las combinaciones de n elementos por m está determinado por la fórmula:

A veces, se utiliza la siguiente fórmula para registrar el número de ubicaciones:

La esencia y las condiciones para la aplicación de la teoría de la probabilidad.

Teoría de probabilidad

Fenómeno accidental -

solamente

Televisor. sirve para fundamentar la estadística matemática y aplicada, que se utiliza en la planificación de la organización de la producción, etc.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

Teoría de probabilidad hay una ciencia matemática que estudia patrones en fenómenos aleatorios.

Fenómeno accidental - es un fenómeno tal que, con la reproducción repetida del mismo experimento, cada vez procede de manera algo diferente.

Los métodos de la teoría de la probabilidad se adaptan naturalmente solamente para el estudio de fenómenos aleatorios masivos; no permiten predecir el resultado de un fenómeno aleatorio individual, pero permiten predecir el resultado total promedio de una masa de eventos aleatorios homogéneos.

En teoría de la probabilidad prueba se acostumbra llamar a un experimento que (al menos teóricamente) se puede realizar en las mismas condiciones un número ilimitado de veces.

El resultado o resultado de cada prueba se llama evento. El evento es el concepto básico de la teoría de la probabilidad. Denotaremos eventos con las letras A, B, C.

Tipos de eventos:

evento confiable- un evento que seguramente sucederá como resultado de la experiencia.

evento imposible- un evento que no puede ocurrir como resultado de la experiencia.

evento al azar- un evento que puede ocurrir o no en una experiencia determinada. Igualdad de eventos

Probabilidad desarrollos A(denotar P (A) A(denotar m (A)), norte aquellos. P (A)= hombre.

Espacio de probabilidad.

Espacio de probabilidad Es un modelo matemático de un experimento aleatorio (experimento) en la axiomática de A.N. Kolmogorov. El espacio probabilístico contiene toda la información sobre las propiedades de un experimento aleatorio, necesaria para su análisis matemático mediante la teoría de la probabilidad. Cualquier problema de la teoría de la probabilidad se resuelve en el marco de un determinado espacio de probabilidad, completamente especificado inicialmente. Los problemas en los que el espacio de probabilidad no está completamente especificado, y la información faltante debe obtenerse de los resultados de las observaciones, pertenecen al campo de la estadística matemática.

Espacio de probabilidad está definido por un triple de componentes (símbolos) (Ω, S, P), donde Ω es el espacio de eventos elementales

S-∂ (sigma) -álgebra de eventos, P - probabilidad, Ω-evento confiable, S-sistema de subconjuntos del espacio de resultados elementales Ω.

5. 5. Cálculo directo de probabilidad.

Definición clásica de probabilidad basado en el concepto igualdad de oportunidades de eventos .

Igualdad de eventos significa que no hay razón para preferir a uno de ellos sobre el otro.

Considere una prueba que puede resultar en un evento A... Cada resultado en el que ocurre un evento A se llama favorable evento UNA.

Probabilidad desarrollos A(denotar P (A)) es la relación entre el número de resultados favorables al evento A(denotar m (A)), al número de todos los resultados del ensayo - norte aquellos. P (A)= hombre.

La definición clásica de probabilidad implica lo siguiente: propiedades :

La probabilidad de cualquier evento está entre cero y uno.

Prueba... Desde entonces, dividiendo todas las partes de la desigualdad por norte, obtenemos

De donde, según la definición clásica de probabilidad, se sigue que

La probabilidad de un evento determinado es igual a uno.

La probabilidad de un evento imposible es cero.

6. 6. Teoremas de la suma de probabilidades.

Si A y B son inconsistentes, entonces P (A + B) = P (A) + P (B)

Si A y B son eventos opuestos, entonces

Un elemento de un álgebra sigma se llamará en lo sucesivo evento aleatorio.

Grupo de eventos completo

Un grupo de eventos completo es un grupo completo de subconjuntos, cada uno de los cuales es un evento. Se dice que los eventos del grupo completo son una partición del espacio de resultados elementales.

Función finamente aditiva

Permitir A – álgebra. La función  que mapea el álgebra al conjunto de números reales

se llama finitamente aditivo si para cualquier conjunto finito de eventos incompatibles por pares

Función contadora-aditiva

Permitir F- álgebra o sigma-álgebra. Función

se llama aditivo contable si es finitamente aditivo y para cualquier conjunto contable de eventos inconsistentes por pares

Una medida es una función aditiva contable no negativa definida en un álgebra sigma que satisface la condición

La medida definitiva

La medida se llama finito si

Probabilidad

Probabilidad (medida de probabilidad) PAG esta es una medida tal que

A partir de ahora, dejaremos de medir la probabilidad en porcentaje y comenzaremos a medirla con números reales del 0 al 1.

se llama la probabilidad del evento A

Espacio de probabilidad

El espacio probabilístico es una colección de tres objetos: el espacio de resultados elementales, el álgebra sigma de eventos y la probabilidad.

Este es un modelo matemático de un fenómeno u objeto aleatorio.

La paradoja de definir el espacio de probabilidad

Volvamos a la formulación original del problema de la teoría de la probabilidad. Nuestro objetivo era construir un modelo matemático de un fenómeno aleatorio que ayudaría a cuantificar las probabilidades de eventos aleatorios. Al mismo tiempo, para construir un espacio de probabilidad, es necesario establecer la probabilidad, es decir parece ser exactamente lo que estamos buscando (?).

La solución a esta paradoja es que para una definición completa de la probabilidad como función de todos los elementos F, Por lo general, es suficiente preguntar solo en algunos eventos de F, cuya probabilidad es fácil para nosotros determinar , y luego, usando su aditividad contable, calcule sobre cualquier elemento F.

Eventos independientes

La independencia es un concepto importante en la teoría de la probabilidad.

Los eventos A y B se denominan independientes si

aquellos. la probabilidad de ocurrencia simultánea de estos eventos es igual al producto de sus probabilidades.

Los eventos en un conjunto contable o finito se denominan pares independientes si cualquier par de ellos es un par de eventos independientes

En total

Los eventos en un conjunto contable o finito se denominan independientes en el agregado si la probabilidad de ocurrencia simultánea de cualquier subconjunto finito de ellos es igual al producto de las probabilidades de los eventos de este subconjunto.

Está claro que los eventos que son independientes en el agregado son independientes y en pares. Lo contrario no es cierto.

La probabilidad condicional

La probabilidad condicional del evento A, siempre que haya ocurrido el evento B, es el valor

Hasta ahora, definiremos la probabilidad condicional solo para los eventos B, cuya probabilidad no es cero.

Si los eventos A y B son independientes, entonces

Propiedades y teoremas

Las propiedades más simples de la probabilidad

Formulario de eventos grupo completo si al menos uno de ellos ocurrirá necesariamente como resultado del experimento y son incompatibles por parejas.

Supongamos un evento A sólo puede ocurrir junto con uno de varios eventos incompatibles por pares que forman un grupo completo. Llamaremos eventos ( I= 1, 2,…, norte) hipótesis experiencia adicional (a priori). La probabilidad de ocurrencia del evento A está determinada por la fórmula probabilidad total :

Ejemplo 16. Hay tres urnas. La primera urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras, la segunda contiene 4 bolas blancas y 4 negras, y la tercera contiene 8 bolas blancas. Una de las urnas se elige al azar (esto puede significar, por ejemplo, que se elige una urna auxiliar, donde hay tres bolas numeradas 1, 2 y 3). Se saca una bola de esta urna al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte ser negro?

Solución. Evento A- se quita la bola negra. Si se supiera de qué urna se extrajo la bola, entonces la probabilidad deseada podría calcularse de acuerdo con la definición clásica de probabilidad. Introduzcamos supuestos (hipótesis) sobre qué urna se elige para extraer la bola.

La bola se puede extraer de la primera urna (hipótesis), de la segunda (hipótesis) o de la tercera (hipótesis). Dado que existen las mismas posibilidades de elegir cualquiera de las urnas, entonces .

De ahí se sigue que

Ejemplo 17. Las lámparas eléctricas se fabrican en tres fábricas. La primera planta produce el 30% del número total de lámparas eléctricas, la segunda, el 25%,
y el tercero es el resto. Los productos de la primera planta contienen 1% de bombillas defectuosas, la segunda - 1,5%, la tercera - 2%. La tienda recibe productos de las tres fábricas. ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara comprada en una tienda esté defectuosa?

Solución. Es necesario hacer suposiciones sobre en qué fábrica se fabricó la bombilla. Sabiendo esto, podemos encontrar la probabilidad de que sea defectuosa. Introduzcamos la notación para eventos: A- la bombilla comprada resultó defectuosa, - la lámpara fue fabricada por la primera planta, - la lámpara fue fabricada por la segunda planta,
- la lámpara es fabricada por la tercera planta.

Encontramos la probabilidad requerida por la fórmula de probabilidad total:

Fórmula de Bayes.

Sea un grupo completo de eventos incompatibles por pares (hipótesis). A- evento al azar. Luego,

La última fórmula, que permite sobrestimar las probabilidades de hipótesis después de que se conoce el resultado de la prueba, como resultado del cual apareció el evento A, se llama Fórmula de Bayes .

Ejemplo 18. En promedio, el 50% de los pacientes con la enfermedad ingresan en un hospital especializado. PARA, 30% - con enfermedad L, 20 % –
con enfermedad METRO... La probabilidad de una cura completa de la enfermedad. K igual a 0,7 para enfermedades L y METRO estas probabilidades son 0.8 y 0.9, respectivamente. El paciente que ingresó en el hospital fue dado de alta sano. Encuentre la probabilidad de que este paciente tuviera una condición médica K.

Solución. Introduzcamos hipótesis: - el paciente padecía una enfermedad PARA L, - el paciente padecía una enfermedad METRO.

Entonces, por la condición del problema, tenemos. Presentamos un evento A- el paciente que ingresó en el hospital fue dado de alta sano. Por condición

Por la fórmula de probabilidad total obtenemos:

Según la fórmula de Bayes.

Espacio de probabilidad

Los primeros resultados teóricos en la teoría de la probabilidad incluyen

a mediados del siglo XVII y pertenecen a B. Pascal, P. Ferma, H. Huygens, J. Bernoulli. Esta teoría debe sus éxitos en el siglo XVIII y principios del XIX a A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Se lograron avances significativos en la teoría de la probabilidad a fines del siglo XIX y principios del XX en los trabajos de L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel, etc. Sin embargo, incluso a principios del siglo XX siglo, una teoría estricta y coherente. Solo un enfoque axiomático hizo posible lograrlo. Por primera vez, la construcción axiomática de la teoría fue realizada por SN Bernstein en 1917, quien basó sus construcciones en la comparación de eventos aleatorios en términos de su probabilidad. Sin embargo, este enfoque no ha recibido más desarrollo. El enfoque axiomático basado en la teoría de conjuntos y la teoría de la medida, desarrollado por A.N. Kolmogorov en la década de 1920, resultó ser más fructífero. En la axiomática de Kolmogorov, el concepto de evento aleatorio, en contraste con el enfoque clásico, no es inicial, sino una consecuencia de conceptos más elementales. El punto de partida de Kolmogorov es el conjunto (espacio) W de eventos elementales (espacio de resultados, espacio muestral). La naturaleza de los elementos de este espacio no importa.

Si A, B, C Î W, entonces las siguientes relaciones establecidas en la teoría de conjuntos son obvias:

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

donde la barra de arriba denota el complemento en W; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC), A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

aquí Æ denota un conjunto vacío, es decir evento imposible.

En la axiomática de Kolmogorov, se considera un cierto sistema U de subconjuntos del conjunto W, cuyos elementos se denominan eventos aleatorios. El sistema U satisface los siguientes requisitos: si los subconjuntos A y B del conjunto W están incluidos en el sistema U, este sistema también contiene los conjuntos A È B, A Ç B, A y B; el conjunto W. en sí mismo es también un elemento del sistema U. Este sistema de conjuntos se denomina álgebra de conjuntos (booleana).

Obviamente, de la definición del álgebra de conjuntos se deduce que el conjunto vacío Æ también pertenece a la familia U. Así, el álgebra de conjuntos (es decir, el conjunto de eventos aleatorios) es cerrado con respecto a las operaciones de suma, intersección y formación de complementos, y por lo tanto, las operaciones elementales sobre eventos aleatorios no toman fuera del conjunto de eventos aleatorios U .

Para la mayoría de las aplicaciones, es necesario exigir que la familia de conjuntos U incluya no solo sumas finitas e intersecciones de subconjuntos del conjunto W, sino también sumas e intersecciones contables. Esto nos lleva a la definición de s-álgebra.

Definición 1.1. Una s-álgebra es una familia de subconjuntos (U) de un conjunto W que se cierra bajo las operaciones de formar complementos, sumas contables e intersecciones contables.

Está claro que cualquier s-álgebra contiene el propio conjunto W y el conjunto vacío. Si se da una familia arbitraria U de subconjuntos del conjunto W, entonces el álgebra s más pequeña que contiene todos los conjuntos de la familia U se llama álgebra s generada por la familia U.

La s-álgebra más grande contiene todos los subconjuntos de s; es útil en espacios discretos W, en los que la probabilidad generalmente se determina para todos los subconjuntos del conjunto W. Sin embargo, en espacios más generales, es imposible o indeseable determinar la probabilidad (la definición de probabilidad se dará a continuación) para todos los subconjuntos. Otra definición extrema de una s-álgebra es una s-álgebra que consta solo del conjunto W. y el conjunto vacío Æ.

Como ejemplo de la elección de W y la s-álgebra de subconjuntos de U, considere un juego en el que los participantes lanzan un dado con números del 1 al 6 en cada una de sus seis caras. Para cualquier lanzamiento de dados, solo seis los estados se realizan: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 y w 6, el i-ésimo de los cuales significa obtener i puntos. La familia U de eventos aleatorios consta de 2 6 = 64 elementos compuestos por todas las combinaciones posibles de w i: w 1,…, w 6; (w 1, w 6), ..., (w 5, w 6); (w 1, w 2, w 3), ..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6) Æ.

Eventos aleatorios, es decir a menudo denotaremos elementos de la s-álgebra U con las letras A, B, ... Si dos eventos aleatorios A y B no contienen los mismos elementos w i ÎW, entonces los llamaremos incompatibles. Los eventos A y A se llaman opuestos (en otra notación, en lugar de A, podemos poner CA). Ahora podemos pasar a definir el concepto de probabilidad.

Definición 1.2. Una medida de probabilidad P en una s-álgebra U de subconjuntos de un conjunto W es una función de conjunto P que satisface los siguientes requisitos:

1) P (A) ³ 0; AÎU;

, es decir. que poseen la propiedad de aditividad contable, donde A k son conjuntos mutuamente disjuntos de U.

Por lo tanto, cualquiera que sea el espacio muestral W, asignamos probabilidades solo a los conjuntos de algún s-álgebra U, y estas probabilidades están determinadas por el valor de la medida P en estos conjuntos.

Así, en cualquier problema sobre el estudio de eventos aleatorios, el concepto inicial es el espacio muestral s, en el que se elige una s-álgebra de una forma u otra, sobre la que ya está determinada la medida de probabilidad P. Por lo tanto, podemos dar la siguiente definición

Definición 1.3. Un espacio probabilístico es un triple (W, U, P) que consta de un espacio muestral W, una s-álgebra U de sus subconjuntos y una medida de probabilidad P definida en U.

En la práctica, puede haber problemas en los que se asignen diferentes probabilidades a los mismos eventos aleatorios de U. Por ejemplo, en el caso de un dado simétrico, es natural poner:

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

y si el hueso es asimétrico, entonces las siguientes probabilidades pueden resultar más consistentes con la realidad: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

Básicamente, trataremos con conjuntos W que son subconjuntos de un espacio euclidiano de dimensión finita R n. El objeto principal de la teoría de la probabilidad son las variables aleatorias, es decir algunas funciones definidas en el espacio muestral W. Nuestra primera tarea es restringir la clase de funciones sobre las que operaremos. Es deseable elegir tal clase de funciones, cuyas operaciones estándar no se deducirían de esta clase, en particular, de modo que, por ejemplo, no se deduzcan operaciones de tomar límites puntuales, composición de funciones, etc. de esta clase.

Definición 1.4. La clase más pequeña de funciones B, cerrada con respecto al paso puntual al límite (es decir, si ¦ 1, ¦ 2, ... pertenecen a la clase B y para todo x el límite ¦ (x) = lim¦ n (x) existe, entonces ¦ (x) pertenece a B) que contiene todas las funciones continuas se llama la clase Baire.

De esta definición se deduce que la suma, la diferencia, el producto, la proyección, la composición de dos funciones de Baire son nuevamente funciones de Baire, es decir, cada función de una función de Baire es nuevamente una función de Baire. Resulta que si nos limitamos a clases más estrechas de funciones, entonces no se puede obtener ningún fortalecimiento o simplificación de la teoría.

En el caso general, las variables aleatorias, es decir Las funciones X = U (x), donde XÎWÌR n, deben definirse de modo que los eventos (X £ t) para cualquier t tengan una cierta probabilidad, es decir de modo que los conjuntos (X £ t) pertenecen a la familia U, para cuyos elementos se definen las probabilidades P, es decir, de modo que se determinan las cantidades P (X £ t). Esto nos lleva a la siguiente definición de mensurabilidad de una función con respecto a la familia U.

Definición 1.5. Una función real U (x), xÎW, se llama U-medible si, para cualquier t real, el conjunto de esos puntos xÎW para los que U (x) £ t pertenece a la familia U.

Dado que la s-álgebra U se cierra bajo la operación de tomar complementos, en la definición de mensurabilidad la desigualdad £ puede ser reemplazada por cualquiera de las desigualdades ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Como ya se indicó, la s-álgebra puede elegirse de manera bastante arbitraria y, en particular, de la siguiente manera: primero, se definen intervalos n-dimensionales en el espacio WÎR n, luego, usando las operaciones del álgebra de conjuntos, conjuntos de un Se pueden construir estructuras más complejas a partir de estos intervalos y se forman familias de conjuntos. Entre todas las familias posibles, se puede seleccionar una que contenga todos los subconjuntos abiertos en W. Una construcción similar conduce a la siguiente definición.

Definición 1.6. La s-álgebra más pequeña U b que contiene todos los subconjuntos abiertos (y, por lo tanto, todos los cerrados) por conjuntos WÌ R n se denomina s-álgebra de Borel, y sus conjuntos se denominan Borel.

Resulta que la clase de funciones de Berian B es idéntica a la clase de funciones medibles con respecto al s-álgebra U b de conjuntos de Borel.

Ahora podemos definir claramente el concepto de variable aleatoria y la función de probabilidad de su distribución.

Definición 1.7. Una variable aleatoria X es una función real X = U (x), xÎW, medible con respecto a la s-álgebra U incluida en la definición de un espacio de probabilidad.

Definición 1.8. La función de distribución de una variable aleatoria X es una función F (t) = P (X £ t), que determina la probabilidad de que una variable aleatoria X no exceda el valor de t.

Para una función de distribución dada F, una medida de probabilidad se puede construir de forma única y viceversa.

Considere las principales leyes probabilísticas utilizando el ejemplo de un conjunto finito W. Sean A, BÌ W. Si A y B contienen elementos comunes, es decir, AB¹0, entonces podemos escribir: A + B = A + (B-AB) y B = AB + (B-AB), donde en el lado derecho hay conjuntos disjuntos (es decir, eventos incompatibles), y por lo tanto, por la medida de probabilidad de la propiedad de aditividad: P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB); de aquí sigue la Fórmula para la suma de probabilidades de eventos arbitrarios: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Si no se imponen condiciones al calcular la probabilidad del evento A, entonces la probabilidad P (A) se llama incondicional. Si el evento A se realiza, por ejemplo, siempre que se realice el evento B, entonces se habla de probabilidad condicional, denotándola con el símbolo P (A / B). En la teoría axiomática de la probabilidad, por definición, se asume:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

Para aclarar intuitivamente esta definición, considérese, por ejemplo, la siguiente situación. Deje que la caja contenga k hojas de papel marcadas con la letra A, r hojas de papel marcadas con la letra B, m hojas de papel marcadas con las letras AB y n hojas de papel en blanco. Hay p = k + r + n + m pedazos de papel en total. Y deje que se saque una hoja de papel tras otra de la caja, y después de cada extracción, se anota el tipo de papel que se saca y se vuelve a colocar en la caja. Se registran los resultados de un gran número de tales pruebas. La probabilidad condicional P (A / B) significa que el evento A se considera solo en relación con la implementación del evento B. En este ejemplo, esto significa que es necesario contar el número de papeles extraídos con las letras AB y la letra B y divida el primer número por la suma del primer y segundo número. Con un número suficientemente grande de pruebas, esta relación tenderá al número que determina la probabilidad condicional P (A / B). Un recuento similar de otras hojas de papel mostrará que

Calculando la razón

nos aseguramos de que coincida con el valor calculado previamente para la probabilidad P (A / B). Por lo tanto, obtenemos

P (A B) = P (A / B) P (B).

Realizando un razonamiento similar, intercambiando A y B, obtenemos

P (A B) = P (B / A) P (A)

Igualdad

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

se llama teorema de la multiplicación de probabilidades.

El ejemplo considerado también nos permite verificar claramente la validez de la siguiente igualdad para A B¹Æ:

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A · B).

Ejemplo 1.1. Deje que los dados se lancen dos veces y se requiere determinar la probabilidad P (A / B) de caer en la cantidad de 10 puntos, si el primer lanzamiento es 4.

El segundo resultado de 6 tiene una probabilidad de 1/6. Por eso,

Ejemplo 1.2. Que sean 6 urnas:

La urna tipo A1 contiene dos bolas blancas y una negra, la urna tipo A2 contiene dos bolas blancas y dos negras, la urna tipo A3 contiene dos bolas negras y una blanca. Hay 1 urna tipo А 1, 2 urnas tipo А 2 y 3 urnas tipo А 3. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? Denotemos por B el evento de sacar la bola blanca.

Para resolver el problema, suponga que algún evento B se realiza solo junto con uno de n eventos incompatibles A1, ..., Y n, es decir В =, donde los eventos BA i y BA j con diferentes índices i y j son incompatibles. De la propiedad de aditividad de la probabilidad P se sigue:

Sustituyendo la dependencia (1.1) aquí, obtenemos

esta fórmula se llama fórmula de probabilidad total. Para resolver el último ejemplo, usaremos la fórmula para la probabilidad total. Dado que la bola blanca (evento B) se puede tomar de una de las tres urnas (eventos A1, A2, A3), entonces podemos escribir

B = UNA 1 B + UNA 2 B + UNA 3 B.

La fórmula para la probabilidad total da

Calculemos las probabilidades incluidas en esta fórmula. La probabilidad de que la bola sea tomada de una urna de tipo A1 es obviamente igual a P (A1) = 1/6, de una urna de tipo A2: P (A2) = 2/6 == 1/3 y de una urna del tipo A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. Si la bola se toma de una urna de tipo A1, entonces P (B / A 1) = 2/3, si de una urna de tipo A2, entonces P (B / A 2) = 1/2, y si de una urna de tipo A3, luego P (B / A 3) = 1/3. Por lo tanto,

P (B) = (1/6) (2 / Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

La probabilidad condicional P (B / A) tiene todas las propiedades de la probabilidad P (B / A) ³0, B (B / B) = 1 y P (B / A) es aditiva.

En la medida en

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

entonces se sigue que si A no depende de B, es decir, si

P (A / B) = P (A),

entonces B no depende de A, es decir P (B / A) = P (B).

Por lo tanto, en el caso de eventos independientes, el teorema de la multiplicación toma la forma más simple:

P (A B) = P (A) P (B) (1.3)

Si los eventos A y B son independientes, entonces cada uno de los siguientes pares de eventos también son independientes: (A, B), (A, B), (A, B). Asegurémonos, por ejemplo, de que si A y B son independientes, tanto A como B. condiciones P (B / A) = P (B), sigue: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Los eventos pueden ser independientes por pares, pero resultan ser dependientes en conjunto. En este sentido, también se introduce el concepto de independencia mutua: los eventos А 1, ..., А n se denominan mutuamente independientes si para cualquier subconjunto Е de los índices 1,2, ..., n la igualdad

En la práctica, a menudo es necesario evaluar las probabilidades de hipótesis después de haber realizado alguna prueba. Supongamos, por ejemplo, que el evento B se puede realizar con solo uno de los eventos incompatibles A1, ..., And n, es decir y que se realice el evento B. Se requiere encontrar la probabilidad de la hipótesis (evento) A i bajo la condición

Qué pasó. Del teorema de la multiplicación

P (A yo B) = P (B) P (A yo / B) = P (A yo) P (B / A yo)

Teniendo en cuenta la fórmula para la probabilidad total de P (B), esto implica

Estas fórmulas se denominan fórmulas de Bayes.

Ejemplo 1.3. Suponga que en el ejemplo 1.2 se saca una bola blanca y se requiere determinar cuál es la probabilidad de que se extraiga de una urna de tipo 3.

Probabilidades y reglas para afrontarlas. Para una descripción completa del mecanismo del experimento aleatorio investigado, no es suficiente especificar solo el espacio de eventos elementales. Obviamente, además de enumerar todos los resultados posibles del experimento aleatorio en estudio, también deberíamos saber con qué frecuencia puede ocurrir uno u otro evento elemental en una larga serie de tales experimentos. De hecho, volviendo, digamos, a los ejemplos, es fácil imaginar que dentro del marco de cada uno de los descritos en

A partir de estos espacios de eventos elementales, se puede considerar un número infinito de experimentos aleatorios que difieren significativamente en su mecanismo, por lo que en los ejemplos 4.1-4.3 tendremos frecuencias relativas de ocurrencia de los mismos resultados elementales significativamente diferentes, si usamos momentos diferentes. y dados (simétricos, con un centro de gravedad ligeramente desplazado, con un centro de gravedad fuertemente desplazado, etc.) En los ejemplos 4.4-4.7, la frecuencia de aparición de productos defectuosos, la naturaleza de la contaminación con productos defectuosos en lotes controlados y la La frecuencia de ocurrencia de un cierto número de fallas de las máquinas de línea automática dependerá del nivel de equipamiento tecnológico de la producción en estudio: con el mismo espacio de eventos elementales, la frecuencia de ocurrencia de "buenos" resultados elementales será mayor en la producción. con un mayor nivel de tecnología.

Para construir (en el caso discreto) una teoría matemática completa y completa de un experimento aleatorio - teoría de la probabilidad, además de los conceptos iniciales ya introducidos de un experimento aleatorio, un resultado elemental y un evento aleatorio, es necesario abastecerse de un supuesto inicial más (axioma) que postula la existencia de probabilidades de eventos elementales (que satisfacen una cierta normalización) y determina la probabilidad de cualquier evento aleatorio.

Axioma. Cada elemento del espacio de eventos elementales Q corresponde a alguna característica numérica no negativa de las posibilidades de que ocurra, llamada probabilidad de un evento y

(de esto, en particular, se sigue que para todos).

Determinación de la probabilidad de un evento. La probabilidad de cualquier evento A se define como la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales que componen el evento A, es decir, si usa el simbolismo para denotar "la probabilidad del evento A", entonces

De esto y (4.2) se sigue inmediatamente que, además, la probabilidad de un evento confiable es siempre

es igual a uno y la probabilidad de un evento imposible es cero. Todos los demás conceptos y reglas para acciones con probabilidades y eventos ya se derivarán de las cuatro definiciones iniciales introducidas anteriormente (un experimento aleatorio, un resultado elemental, un evento aleatorio y su probabilidad) y un axioma.

Por lo tanto, para una descripción exhaustiva del mecanismo del experimento aleatorio investigado (en el caso discreto), es necesario especificar un conjunto finito o contable de todos los posibles resultados elementales Q y a cada resultado elemental asociar algunos no negativos (que no excedan uno) la característica numérica interpretada como la probabilidad del resultado del resultado y el tipo de correspondencia establecido deben satisfacer el requisito de normalización (4.2).

El espacio de probabilidad es precisamente el concepto que formaliza tal descripción del mecanismo de un experimento aleatorio. Establecer un espacio probabilístico significa establecer el espacio de eventos elementales Q y definir en él la correspondencia anterior del tipo

Evidentemente, una correspondencia de tipo (4.4) se puede especificar de varias formas: mediante tablas, gráficos, fórmulas analíticas y, finalmente, algorítmicamente.

¿Cómo construir un espacio probabilístico correspondiente al complejo real de condiciones investigado? Por regla general, no hay dificultades para llenar los conceptos de un experimento aleatorio, un evento elemental, un espacio de eventos elementales y, en el caso discreto, cualquier evento aleatorio descomponible con contenido concreto. ¡Pero no es tan fácil determinar las probabilidades de eventos elementales individuales a partir de las condiciones específicas del problema que se está resolviendo! Con este fin, se utiliza uno de los siguientes tres enfoques.

El enfoque a priori para calcular probabilidades consiste en un análisis teórico y especulativo de las condiciones específicas de un experimento aleatorio particular dado (antes del experimento en sí). En varias situaciones, este análisis preliminar permite fundamentar teóricamente el método para determinar las probabilidades deseadas. Por ejemplo, el caso es posible cuando el espacio de todos los posibles

Los resultados elementales consisten en un número finito de N elementos, y las condiciones para la producción del experimento aleatorio investigado son tales que las probabilidades de cada uno de estos N resultados elementales parecen ser iguales para nosotros (es en esta situación que nos encontramos al lanzar una moneda simétrica, lanzar los dados correctos, sacar al azar una carta de un mazo bien mezclado, etc.). En virtud del axioma (4.2), la probabilidad de cada evento elemental es igual en este caso a MN. Esto le permite obtener una receta simple para calcular la probabilidad de cualquier evento: si el evento A contiene eventos elementales NA, entonces de acuerdo con la definición (4.3)

El significado de la fórmula (4.3) es que la probabilidad de un evento en una determinada clase de situaciones puede definirse como la relación entre el número de resultados favorables (es decir, los resultados elementales incluidos en este evento) y el número de todos los resultados posibles ( la denominada definición clásica de probabilidad). En la interpretación moderna, la fórmula (4.3) no es una definición de probabilidad: es aplicable solo en el caso especial cuando todos los resultados elementales son igualmente probables.

El enfoque de frecuencia a posteriori para calcular probabilidades parte, en esencia, de la definición de probabilidad, adoptada por el llamado concepto de frecuencia de probabilidad (para más detalles sobre este concepto, ver, por ejemplo, en,). De acuerdo con este concepto, la probabilidad se define como el límite de la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado c en el proceso de un aumento ilimitado en el número total de experimentos aleatorios, es decir,

donde es el número de experimentos aleatorios (del número total de experimentos aleatorios realizados) en los que se registró la ocurrencia de un evento elemental Por lo tanto, para la determinación práctica (aproximada) de probabilidades, se propone tomar las frecuencias relativas de ocurrencia del evento ω en un tiempo suficientemente largo

varios experimentos aleatorios Este método de calcular probabilidades no contradice el concepto moderno (axiomático) de la teoría de la probabilidad, ya que esta última está construida de tal manera que el análogo empírico (o selectivo) de la probabilidad objetivamente existente de cualquier evento A es la frecuencia relativa de ocurrencia de este evento en una serie de pruebas independientes. Las definiciones de probabilidades resultan ser diferentes en estos dos conceptos: de acuerdo con el concepto de frecuencia, la probabilidad no es un objetivo, existente antes de la experiencia, una propiedad del fenómeno en estudio, sino que aparece solo en conexión con un experimento u observación; esto conduce a una mezcla de características teóricas (cierto, debido al complejo real de condiciones para la "existencia" del fenómeno en estudio), características probabilísticas y sus análogos empíricos (selectivos). Como escribe G. Kramer, "la definición especificada de probabilidad se puede comparar, por ejemplo, con la definición de un punto geométrico como el límite de puntos de tiza de tamaños infinitamente decrecientes, pero la geometría axiomática moderna no introduce tal definición" () . No nos detendremos aquí en los defectos matemáticos del concepto de frecuencia de probabilidad. Solo notamos las dificultades fundamentales en la implementación de la técnica computacional de obtener valores aproximados usando frecuencias relativas.Primero, preservar las condiciones de un experimento aleatorio sin cambios (es decir, preservar las condiciones de un conjunto estadístico), en el que el supuesto de la tendencia de frecuencias relativas para agrupar alrededor de un valor constante resulta ser válido, no se puede soportar indefinidamente y con alta precisión. Por lo tanto, para estimar probabilidades usando frecuencias relativas no tiene

tiene sentido tomar series demasiado largas (es decir, demasiado grandes) y, por lo tanto, por cierto, el paso exacto al límite (4.5) no puede tener un sentido real. En segundo lugar, en situaciones en las que tenemos un número suficientemente grande de posibles resultados elementales (y pueden formar un conjunto infinito e incluso, como ya se señaló en la sección 4.1, un conjunto continuo), incluso en una serie arbitrariamente larga de experimentos aleatorios tendremos posibles resultados que nunca se han realizado en el curso de nuestro experimento; y para el resto de los posibles resultados, los valores aproximados de las probabilidades obtenidas utilizando las frecuencias relativas serán extremadamente poco fiables en estas condiciones.

El enfoque del modelo a posteriori para establecer probabilidades correspondientes a un complejo real de condiciones investigadas concretamente es en la actualidad, quizás, el más extendido y más conveniente en la práctica. La lógica de este enfoque es la siguiente. Por un lado, en el marco del enfoque a priori, es decir, en el marco de un análisis teórico, especulativo de posibles variantes de la especificidad de complejos hipotéticos reales de condiciones, un conjunto de espacios de probabilidad modelo (binomial, Poisson, normal, exponencial, etc., ver § 6.1). Por otro lado, el investigador tiene los resultados de un número limitado de experimentos aleatorios. Además, con la ayuda de técnicas matemáticas y estadísticas especiales (basadas en métodos de estimación estadística de parámetros desconocidos y prueba estadística de hipótesis, véanse los capítulos 8 y 9), el investigador, por así decirlo, "ajusta" modelos hipotéticos de espacios de probabilidad a Sus resultados de observación disponibles (que reflejan las especificidades de la realidad real estudiada) y deja para uso posterior solo ese modelo o aquellos modelos que no contradicen estos resultados y en algún sentido se corresponden mejor con ellos.

Describamos ahora las reglas básicas para acciones con probabilidades de eventos, que son consecuencia de las definiciones y axiomas anteriores.

La probabilidad de la suma de eventos (el teorema de la suma de probabilidades). Formulemos y probemos la regla para calcular la probabilidad de la suma de dos eventos, para ello dividimos cada uno de los conjuntos de eventos elementales,

componentes del evento en dos partes:

donde une todos los eventos elementales ω, incluidos en pero no incluidos en consiste en todos aquellos eventos elementales que se incluyen simultáneamente en Usando la definición (4.3) y la definición del producto de eventos, tenemos:

Al mismo tiempo, de acuerdo con la definición de suma de eventos y con (4.3), tenemos

De (4.6), (4.7) y (4.8) obtenemos la fórmula para la suma de probabilidades (para dos eventos):

La fórmula (4.9) para la suma de probabilidades se puede generalizar al caso de un número arbitrario de términos (ver, por ejemplo, 183, p. 105):

donde las "adiciones" se calculan en forma de una suma de probabilidades de la forma

además, la suma de la derecha se realiza, obviamente, siempre que todos sean diferentes. En el caso especial, cuando el sistema que nos interesa consiste solo en eventos incompatibles, todos los productos de la forma

serán eventos vacíos (o imposibles) y, en consecuencia, la fórmula (4.9) da

Probabilidad del producto de eventos (teorema de multiplicación de probabilidades). La probabilidad condicional.

Consideremos situaciones en las que una condición predeterminada o fijación de un determinado evento que ya ha tenido lugar excluye de la lista de posibles algunos de los eventos elementales del espacio probabilístico analizado. Entonces, analizando un conjunto de N productos producidos en masa que contienen productos de primer, segundo, tercer y cuarto grado, consideramos un espacio probabilístico con resultados elementales y sus probabilidades, respectivamente (aquí significa el evento de que un producto tomado al azar de el conjunto resultó ser variedades). Supongamos que las condiciones para clasificar los productos son tales que en alguna etapa, los productos del primer grado se separan de la población general y todas las conclusiones probabilísticas (y, en particular, el cálculo de las probabilidades de varios eventos) tenemos que construir en relación a la población recortada, constituida únicamente por productos del segundo, tercer y cuarto grado. En tales casos, se acostumbra hablar de probabilidades condicionales, es decir, de las probabilidades calculadas bajo la condición de cierto evento que ya ha tenido lugar. En este caso, tal evento realizado es un evento, es decir, un evento que consiste en cualquier producto extraído al azar es de segundo, tercero o cuarto grado. Por tanto, si nos interesa calcular la probabilidad condicional del evento A (siempre que el evento B ya haya tenido lugar), por ejemplo, en el hecho de que un producto extraído aleatoriamente resulte ser de segundo o tercer grado, entonces, obviamente , esta probabilidad condicional (la denotamos) se puede determinar mediante la siguiente relación:

Como es fácil de entender a partir de este ejemplo, el cálculo de probabilidades condicionales es, en esencia, una transición a otra, truncada por una condición dada En el espacio de eventos elementales, cuando la razón de las probabilidades de eventos elementales en el espacio truncado sigue siendo el mismo que en el original (más ancho), pero todos ellos están normalizados (divididos por) de modo que el requisito de normalización (4.2) también se cumple en el nuevo espacio de probabilidad. Por supuesto, uno no podría introducir terminología con probabilidades condicionales, sino simplemente usar el aparato de probabilidades ordinarias ("incondicionales") en el nuevo espacio. Escribir en términos de probabilidades del espacio "antiguo" es útil en aquellos casos en los que, de acuerdo con las condiciones de un problema específico, debemos recordar todo el tiempo acerca de la existencia de un espacio inicial más amplio de eventos elementales.

Obtengamos la fórmula de la probabilidad condicional en el caso general. Sea B un evento (no vacío), N se considera que ya ha tenido lugar ("condición"), un evento cuya probabilidad condicional debe calcularse. El nuevo espacio (truncado) de eventos elementales Q consta solo de eventos elementales incluidos en B y, por lo tanto, sus probabilidades (con la condición de normalización) están determinadas por las relaciones

Por definición, la probabilidad es la probabilidad del evento A en el espacio de probabilidad "truncado" y, por lo tanto, de acuerdo con (4.3) y (4.10)

o, que es lo mismo,

Las fórmulas equivalentes (4.11) y (4.11 ") generalmente se denominan fórmula de probabilidad condicional y regla de multiplicación de probabilidades, respectivamente.

Enfatizamos una vez más que considerar las probabilidades condicionales de varios eventos bajo la misma condición B es equivalente a considerar probabilidades ordinarias en otro espacio (reducido) de eventos elementales recalculando las probabilidades correspondientes de eventos elementales usando la fórmula (4.10). Por lo tanto, todos los teoremas y reglas generales para acciones con probabilidades siguen siendo válidos para probabilidades condicionales si estas probabilidades condicionales se toman bajo la misma condición.

Independencia de eventos.

Dos eventos A y B se denominan independientes si

Para aclarar la naturalidad de tal definición, recurrimos al teorema de la multiplicación de probabilidades (4.11) y vemos en qué situaciones (4.12) se sigue de él. Obviamente, esto puede ocurrir cuando la probabilidad condicional es igual a la probabilidad incondicional correspondiente, es decir, en términos generales, cuando el conocimiento de que el evento ha ocurrido no afecta la evaluación de las posibilidades de que ocurra el evento A.

La extensión de la definición de independencia a un sistema de más de dos eventos es la siguiente. Los eventos se denominan mutuamente independientes si se trata de pares, triples, cuádruples, etc. eventos muestreados de este conjunto de eventos, las siguientes reglas de multiplicación son válidas:

Obviamente, la primera línea implica

(el número de combinaciones de k por dos) ecuaciones, en la segunda - y así sucesivamente En total, por lo tanto, (4.13) une condiciones. Al mismo tiempo, las condiciones de la primera línea son suficientes para asegurar la independencia por pares de estos eventos. Y aunque la independencia por pares y mutua de un sistema de eventos, estrictamente hablando, no es lo mismo, su diferencia es de interés más teórico que práctico: ejemplos prácticamente importantes de eventos independientes por pares que no son mutuamente independientes, aparentemente, no existen.

La propiedad de la independencia de los eventos facilita enormemente el análisis de diversas probabilidades asociadas con el sistema de eventos en estudio. Baste decir que si, en el caso general, para describir las probabilidades de todas las combinaciones posibles de eventos del sistema, es necesario especificar 2 probabilidades, entonces en el caso de independencia mutua de estos eventos, solo k probabilidades son suficientes

Los eventos independientes se encuentran muy a menudo en la realidad estudiada, se llevan a cabo en experimentos (observaciones) realizados independientemente entre sí en el sentido físico habitual.

Es la propiedad de la independencia de los resultados de cuatro lanzamientos consecutivos de dados lo que hizo posible (con la ayuda de (4.13)) calcular fácilmente la probabilidad de no caer (para ninguno de estos lanzamientos) un seis en el problema de la Sección 2.2.1. De hecho, habiendo denotado el evento de que los seis no cayeron en el lanzamiento (esta posibilidad se deriva directamente del hecho de que los eventos en total agotan todo el espacio de eventos elementales y no se cruzan en pares), es decir.

Además, utilizando el teorema de la suma de probabilidades (en relación con eventos inconsistentes, que son eventos) y calculando la probabilidad de cada uno de los productos mediante la fórmula para el producto de probabilidades (4.1 D), obtenemos (4.14).

Fórmula de Bayes.

Pasemos primero al siguiente problema. En el almacén hay dispositivos fabricados por tres fábricas: el 20% de los dispositivos en el almacén son fabricados por la fábrica # 1, el 50% - por la fábrica # 2 y el 30% - por la fábrica # 3. La probabilidad de que el dispositivo necesite reparaciones durante el período de garantía es para productos cada una de las fábricas son iguales a 0.2, respectivamente; 0,1; 0.3. El dispositivo sacado del almacén no tenía marcado de fábrica y requirió reparación (durante el período de garantía). ¿Qué planta es más probable que haya fabricado este dispositivo? ¿Cuál es esta probabilidad? Si designamos un evento en el que un dispositivo sacado accidentalmente de un almacén se fabricó en

Sustituyendo (4.16) y (4.17) en (4.15), obtenemos

Usando esta fórmula, es fácil calcular las probabilidades requeridas:

En consecuencia, lo más probable es que el dispositivo de calidad inferior se haya fabricado en la planta número 3.

La prueba de la fórmula (4.18) en el caso de un sistema completo de eventos que consta de un número arbitrario k de eventos repite exactamente la prueba de la fórmula (4.18). En esta forma general, la fórmula

comúnmente llamada fórmula de Bayes.