Decimal fracción- variedad fracciones, que tiene un número "redondo" en el denominador: 10, 100, 1000, etc., por ejemplo, fracción 5/10 tiene una notación decimal de 0,5. Basado en este principio, fracción se puede representar en la forma decimal fracciones.

Instrucciones

Digamos que necesitas enviarte a la forma decimal fracción 18/25.
Primero, debes asegurarte de que uno de los números "redondos" aparezca en el denominador: 100, 1000, etc. Para hacer esto, necesitas multiplicar el denominador por 4. Pero necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 4.

Multiplicando el numerador y el denominador fracciones 18/25 por 4 es 72/100. Esta fracción en decimal la forma entonces: 0,72.

Una fracción en matemáticas es un número racional igual a una o más partes en las que se divide una. En este caso, el registro de la fracción debe contener una indicación de dos números: uno de ellos indica exactamente en cuántas fracciones se dividió la unidad al crear esta fracción, y el otro, cuántas de estas fracciones incluyen el número fraccionario. Si estos dos números se escriben como un numerador y un denominador separados por una barra, este formato se denomina fracción "ordinaria". Sin embargo, existe otro formato para escribir fracciones llamado "decimal".

La forma de escribir números de tres pisos, en la que el denominador se encuentra sobre el numerador y también hay una línea divisoria entre ellos, no siempre es conveniente. Especialmente este inconveniente comenzó a manifestarse con la distribución masiva de computadoras personales. La forma decimal de representación de fracciones carece de este inconveniente: no es necesario indicar el numerador en ella, ya que, por definición, siempre es igual a diez en potencia negativa. Por lo tanto, un número fraccionario se puede escribir en una línea, aunque su longitud en la mayoría de los casos será mucho mayor que la longitud de la fracción ordinaria correspondiente.

Otra ventaja de escribir números en formato decimal es que son mucho más fáciles de comparar entre sí. Dado que el denominador de cada dígito de dos de estos números es el mismo, basta con comparar solo dos dígitos de los dígitos correspondientes, mientras que al comparar fracciones ordinarias, se debe tener en cuenta tanto el numerador como el denominador de cada uno de ellos. Esta ventaja es importante no solo para los humanos, sino también para las computadoras: comparar números en formato decimal es bastante fácil de programar.

Existen reglas centenarias para la suma, la multiplicación y otras operaciones matemáticas que le permiten realizar cálculos en papel o en su cabeza con números en el formato de fracciones decimales. Esta es otra ventaja de este formato sobre las fracciones ordinarias. Aunque con el desarrollo de la tecnología informática, cuando una calculadora está incluso en un reloj, se vuelve menos perceptible.

Las ventajas descritas del formato decimal para escribir números fraccionarios muestran que su propósito principal es simplificar el trabajo con valores matemáticos. Este formato también tiene inconvenientes: por ejemplo, para escribir fracciones periódicas en una fracción decimal, también debe agregar un número entre paréntesis, y los números irracionales en formato decimal siempre tienen un valor aproximado. Sin embargo, en el nivel actual de desarrollo de las personas y sus tecnologías, es mucho más conveniente de usar que el formato habitual para registrar fracciones.

Una fracción decimal es una fracción en la que el denominador es una potencia natural de 10. Tal, por ejemplo, es una fracción Esta fracción se puede escribir de la siguiente forma: escriba los dígitos del numerador en una cadena y sepárelos con una coma en el tanto como haya ceros en el denominador, a saber:

En tal registro, los números a la izquierda de la coma forman la parte entera, y los números a la derecha de la coma forman la parte fraccionaria de esta fracción decimal.

Sea p / q cualquier número racional positivo. Desde la aritmética, el proceso de división es bien conocido, lo que le permite representar un número como una fracción decimal. La esencia del proceso de división es que primero encuentre el mayor número entero de veces q está contenido en p; si p es un múltiplo de q, entonces aquí es donde termina el proceso de división. De lo contrario, aparece el resto. A continuación, encuentran cuántas décimas de q están contenidas en este resto, y en este paso el proceso puede terminar o aparece un nuevo resto. En el último caso, encuentran cuántas centésimas de q contiene, y así sucesivamente.

Si el denominador q no tiene otros factores primos que no sean 2 o 5, luego de un número finito de pasos el resto será cero, el proceso de división terminará y esta fracción ordinaria se convertirá en una fracción decimal final. De hecho, en este caso, siempre puede elegir un número entero tal que después de multiplicar el numerador y el denominador de una fracción dada por él, obtenga una fracción igual, en la que el denominador representará una potencia natural de diez. Tal, por ejemplo, es la fracción

que se puede representar así:

Sin embargo, sin hacer estas transformaciones, al dividir el numerador por el denominador, el lector obtendrá el mismo resultado:

Si el denominador de una fracción irreducible tiene al menos un divisor primo que no sea 2 o 5, entonces el proceso de división por q nunca terminará (ninguno de los residuos posteriores desaparecerá).

Después de realizar la división, encontramos

Para registrar el resultado obtenido en este ejemplo, los dígitos 0 y 6 que se repiten periódicamente se incluyen entre paréntesis y se escriben:

En este ejemplo y otros casos similares, la acción de división no produce el resultado final como decimal. Es posible, generalizando el concepto de fracción decimal, sin embargo decir que el cociente 965/132 está representado por una fracción periódica infinita. Los números repetidos 06 se denominan período de esta fracción, y su número, que es igual en nuestro ejemplo, es la duración del período.

Para comprender la razón del fenómeno de la periodicidad de una fracción, analicemos, por ejemplo, el proceso de dividir entre 7. Si la división no se realiza en su totalidad, aparece un resto, que solo puede tener uno de los siguientes valores : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Y en cada uno de los siguientes pasos, el resto volverá a tener uno de estos seis valores. Por lo tanto, a más tardar en el séptimo paso, inevitablemente nos encontraremos con uno de los valores del resto, que ya han aparecido antes, a partir de este punto el proceso de división tomará un carácter periódico. Tanto los valores de los residuos como el cociente se repetirán periódicamente. Este razonamiento es aplicable en el caso de cualquier otro divisor.

Por tanto, cualquier fracción ordinaria se representa mediante una fracción decimal periódica finita o infinita. Es notable que, a la inversa, cualquier fracción decimal periódica se pueda representar como una fracción ordinaria. Vamos a mostrar cómo se realiza esta acción. En este caso, se utiliza la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente (p. 92).

puede entenderse de la siguiente manera:

aquí, los términos del lado derecho, a partir del segundo, forman una progresión geométrica infinita con el denominador y el primer término

Usando la fórmula (92.2):

Está claro que el mismo proceso permitirá que cualquier fracción periódica infinita dada sea representada en forma de fracción ordinaria (y, como puede demostrarse, exactamente aquella de la cual, en el proceso de división, una fracción periódica infinita dada es adquirido). Hay una excepción, sin embargo. Considere la fracción

y aplicarle el proceso de conversión a una fracción ordinaria:

Llegamos al número 1/2, que está representado por la fracción decimal final

Se obtendrá un resultado similar siempre que el período de una fracción infinita dada tenga la forma (9). Por lo tanto, identificamos pares de números como, por ejemplo,

A veces también es útil permitir anotaciones de la forma

representar fracciones decimales formalmente finitas como infinitas con punto (0).

Todo lo que se ha dicho sobre la conversión de una fracción ordinaria en una fracción periódica decimal y viceversa se aplica a los números racionales positivos. En el caso de un número negativo, puede hacer dos cosas.

1) Tome un número positivo opuesto a uno negativo dado, conviértalo a una fracción decimal y luego coloque un signo menos delante de él. Por ejemplo, para - 5/3 obtenemos

2) Este número racional negativo se representa como la suma de su parte entera (negativa) y su parte fraccionaria (no negativa), y luego convierte solo esta parte fraccionaria del número en una fracción decimal. Por ejemplo:

Para escribir números presentados como la suma de su parte entera negativa y una fracción decimal finita o infinita, se adopta la siguiente designación (una forma artificial de escribir un número negativo):

Aquí, el signo menos no se coloca delante de la fracción completa, sino encima de su parte entera, para enfatizar que solo la parte entera es negativa y la parte fraccionaria que sigue a la coma es positiva.

Esta notación crea uniformidad en la notación de fracciones decimales positivas y negativas y se utilizará en el futuro en la teoría de los logaritmos decimales (p. 28). Para practicar, sugerimos al lector que verifique la transición de un registro a otro en los ejemplos:

Ahora podemos formular la conclusión final: cualquier número racional puede representarse mediante una fracción periódica decimal infinita y, a la inversa, cualquier fracción de este tipo define un número racional. La fracción decimal final también permite dos formas de notación en forma de una fracción decimal infinita: con un punto (0) y con un punto (9).

Ya en la escuela primaria, los estudiantes se enfrentan a fracciones. Y luego aparecen en todos los temas. Es imposible olvidar las acciones con estos números. Por lo tanto, necesita conocer toda la información sobre las fracciones ordinarias y decimales. Estos conceptos son sencillos, lo principal es entender todo en orden.

¿Para qué sirven las fracciones?

El mundo que nos rodea se compone de objetos completos. Por tanto, no hay necesidad de acciones. Pero la vida cotidiana empuja constantemente a las personas a trabajar con partes de objetos y cosas.

Por ejemplo, el chocolate tiene varias rodajas. Considere una situación en la que su mosaico está formado por doce rectángulos. Si lo divide en dos, obtiene 6 partes. Ella se dividirá bien en tres. Pero cinco no podrán dar una cantidad completa de trozos de chocolate.

Por cierto, estas rebanadas ya son fracciones. Y su mayor división conduce a la aparición de números más complejos.

¿Qué es una fracción?

Es un número formado por las partes de uno. Exteriormente, parece dos números separados por una línea horizontal u oblicua. Este rasgo se llama fraccional. El número escrito en la parte superior (izquierda) se llama numerador. La parte inferior (derecha) es el denominador.

De hecho, la barra fraccionaria resulta ser un signo de división. Es decir, el numerador se puede llamar divisible y el denominador se puede llamar divisor.

¿Qué fracciones hay?

En matemáticas, solo hay dos tipos de ellos: fracciones ordinarias y decimales. Los escolares se familiarizan con los primeros en los grados elementales, llamándolos simplemente "fracciones". El segundo reconocerá en el 5º grado. Es entonces cuando aparecen estos nombres.

Las fracciones ordinarias son todas aquellas que se escriben como dos números separados por una barra. Por ejemplo, 4/7. Decimal es un número en el que la parte fraccionaria tiene una notación posicional y está separada del todo por una coma. Por ejemplo, 4.7. Los estudiantes deben tener claro que los dos ejemplos dados son números completamente diferentes.

Cada fracción se puede escribir como decimal. Esta afirmación es casi siempre cierta en la dirección opuesta. Existen reglas que le permiten escribir una fracción decimal con una fracción ordinaria.

¿Cuáles son las subespecies de este tipo de fracciones?

Es mejor comenzar en orden cronológico a medida que se estudian. Las fracciones son lo primero. Entre ellos, se pueden distinguir 5 subespecies.

Correcto. Su numerador es siempre menor que el denominador.

Incorrecto. Su numerador es mayor o igual que el denominador.

Abreviado / irreductible. Puede ser tanto correcto como incorrecto. Lo importante es si el numerador con el denominador tiene factores comunes. Si los hay, se supone que deben dividir ambas partes de la fracción, es decir, reducirla.

Mezclado. Se asigna un número entero a su parte fraccionaria correcta (incorrecta) habitual. Además, siempre se coloca a la izquierda.

Compuesto. Está formado por dos fracciones separadas entre sí. Es decir, hay tres líneas fraccionarias a la vez.

Las fracciones decimales tienen solo dos subespecies:

final, es decir, aquel en el que la parte fraccionaria está limitada (tiene fin);

infinito: un número cuyos dígitos después del punto decimal no terminan (se pueden escribir infinitamente).

¿Cómo convertir un decimal a una fracción?

Si este es un número finito, entonces se aplica la asociación basada en la regla, como escuché, escribo. Es decir, debes leerlo correctamente y anotarlo, pero sin coma, pero con una línea fraccionaria.

Como una pista sobre el denominador requerido, debe recordar que siempre es uno y varios ceros. Estos últimos deben escribirse tantos como dígitos haya en la parte fraccionaria del número en cuestión.

¿Cómo convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias si su parte entera está ausente, es decir, igual a cero? Por ejemplo, 0.9 o 0.05. Después de aplicar la regla especificada, resulta que debe escribir cero enteros. Pero no está indicado. Queda por anotar solo las partes fraccionarias. Para el primer número, el denominador será 10, para el segundo, 100. Es decir, los ejemplos dados tendrán los números: 9/10, 5/100. Además, resulta que este último se puede reducir en 5. Por lo tanto, el resultado debe escribirse 1/20.

¿Cómo hacer una fracción ordinaria a partir de un decimal si su parte entera es distinta de cero? Por ejemplo, 5.23 o 13.00108. En ambos ejemplos, se lee la parte entera y se escribe su valor. En el primer caso, es 5, en el segundo - 13. Luego debes ir a la parte fraccionaria. Se supone que deben realizar la misma operación. El primer número tiene 23/100, el segundo tiene 108/100000. El segundo valor debe acortarse nuevamente. La respuesta son las siguientes fracciones mixtas: 5 23/100 y 13 27/25000.

¿Cómo convertir una fracción decimal infinita en una fracción?

Si no es periódico, dicha operación fallará. Este hecho se debe al hecho de que cada fracción decimal siempre se traduce en final o periódica.

Lo único que puede hacer con esa fracción es redondearla. Pero entonces el decimal será aproximadamente igual a ese infinito. Ya se puede convertir en uno ordinario. Pero el proceso inverso: convertir a decimal, nunca dará un valor inicial. Es decir, infinitas fracciones no periódicas no se pueden convertir en ordinarias. Esto debe recordarse.

¿Cómo escribir una fracción periódica infinita como una fracción ordinaria?

En estos números, siempre aparecen uno o más dígitos después del punto decimal, que se repiten. Se les llama período. Por ejemplo, 0.3 (3). Aquí "3" en el período. Se clasifican como racionales, ya que se pueden transformar en fracciones.

Aquellos que se han encontrado con fracciones periódicas saben que pueden ser puras o mixtas. En el primer caso, el punto comienza inmediatamente a partir de la coma. En el segundo, la parte fraccionaria comienza con algunos números, y luego comienza la repetición.

La regla por la cual necesitas escribir un decimal infinito en forma de fracción ordinaria será diferente para los dos tipos de números indicados. Es bastante fácil escribir fracciones periódicas puras con las ordinarias. Al igual que con los últimos, es necesario convertirlos: escriba el período en el numerador, y el denominador será el número 9, repetido tantas veces como contenga el período.

Por ejemplo, 0, (5). El número no tiene una parte entera, por lo que debe comenzar inmediatamente con la parte fraccionaria. En el numerador escribe 5 y en el denominador uno 9. Es decir, la respuesta será la fracción 5/9.

Regla sobre cómo escribir una fracción periódica decimal ordinaria que es mixta.

Mira la duración del período. Tantos 9 tendrán el denominador.

Escribe el denominador: primero nueves, luego ceros.

Para determinar el numerador, debe escribir la diferencia de dos números. Todos los dígitos posteriores al punto decimal, junto con el punto, se reducirán. Restado: no tiene punto.

Por ejemplo, 0.5 (8): escriba la fracción decimal periódica en forma de una ordinaria. Hay un dígito en la parte fraccionaria antes del período. Entonces cero será uno. También hay solo un número en el período: 8. Es decir, solo hay un nueve. Es decir, debes escribir 90 en el denominador.

Para determinar el numerador de 58, debes restar 5. Resulta 53. La respuesta, por ejemplo, tendrá que escribir 53/90.

¿Cómo se convierten las fracciones comunes a decimales?

La opción más simple resulta ser un número, cuyo denominador es 10, 100, etc. Luego, el denominador simplemente se descarta y se coloca una coma entre las partes fraccionarias y enteras.

Hay situaciones en las que el denominador se convierte fácilmente en 10, 100, etc. Por ejemplo, los números 5, 20, 25. Basta con multiplicarlos por 2, 5 y 4, respectivamente. Se supone que solo se multiplica el denominador, pero también el numerador por el mismo número.

Para todos los demás casos, una regla simple es útil: divide el numerador por el denominador. En este caso, puede obtener dos opciones para las respuestas: una fracción decimal final o periódica.

Acciones con fracciones comunes

Adición y sustracción

Los estudiantes los conocen antes que los demás. Además, primero las fracciones tienen los mismos denominadores y luego son diferentes. Las reglas generales se pueden resumir en dicho plan.

Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Escribe factores adicionales a todas las fracciones comunes.

Multiplica los numeradores y denominadores por los factores definidos para ellos.

Suma (resta) los numeradores de las fracciones y deja el denominador común sin cambios.

Si el numerador del número reducido es menor que el restado, entonces necesitas averiguar si tenemos un número mixto o una fracción regular.

En el primer caso, debe tomar una unidad de toda la parte. Suma el denominador al numerador de la fracción. Y luego haz la resta.

En el segundo, es necesario aplicar la regla de restar el número mayor del menor. Es decir, reste el módulo de lo reducido del módulo de lo restado, y en respuesta ponga el signo "-".

Mire cuidadosamente el resultado de la suma (resta). Si obtiene una fracción incorrecta, se supone que debe seleccionar la parte completa. Es decir, divida el numerador por el denominador.

Multiplicación y división

No es necesario llevar las fracciones a un denominador común para completarlas. Esto facilita el seguimiento. Pero todavía tienen que seguir las reglas.

Al multiplicar fracciones ordinarias, debes considerar los números en los numeradores y denominadores. Si algún numerador y denominador tienen un factor común, pueden cancelarse.

Multiplica los numeradores.

Multiplica los denominadores.

Si obtiene una fracción cancelable, se supone que debe simplificarse nuevamente.

Al dividir, primero debe reemplazar la división con la multiplicación y el divisor (segunda fracción) con el recíproco (intercambiar el numerador y el denominador).

Luego proceda como en la multiplicación (comenzando desde el punto 1).

En tareas en las que necesita multiplicar (dividir) por un número entero, se supone que este último se escribe como una fracción impropia. Es decir, con el denominador 1. Luego proceda como se describe arriba.



Acciones decimales

Adición y sustracción

Por supuesto, siempre puedes convertir un decimal en una fracción. Y actuar según el plan ya descrito. Pero a veces es más conveniente actuar sin esta traducción. Entonces las reglas para sumarlas y restarlas serán exactamente las mismas.

Iguale el número de dígitos en la parte fraccionaria del número, es decir, después del punto decimal. Agregue el número de ceros que faltan.

Escribe fracciones de modo que la coma esté debajo de la coma.

Suma (resta) como números naturales.

Quita la coma.

Multiplicación y división

Es importante que no necesite agregar ceros aquí. Se supone que las fracciones se dejan como se dan en el ejemplo. Y luego ir según el plan.

Para la multiplicación, debes escribir fracciones una debajo de la otra, ignorando las comas.

Multiplica como números naturales.

Ponga una coma en la respuesta, contando desde el extremo derecho de la respuesta tantos dígitos como en las partes fraccionarias de ambos factores.

Para dividir, primero necesitas transformar el divisor: conviértelo en un número natural. Es decir, multiplíquelo por 10, 100, etc., dependiendo de cuántos dígitos haya en la parte fraccionaria del divisor.

Multiplica el dividendo por el mismo número.

Divide un decimal por un número natural.

Ponga una coma en la respuesta en el momento en que finalice la división de toda la parte.



¿Qué pasa si hay ambos tipos de fracciones en un ejemplo?

Sí, en matemáticas, a menudo hay ejemplos en los que es necesario realizar acciones en fracciones ordinarias y decimales. En tales tareas, hay dos posibles soluciones. Debe sopesar objetivamente los números y elegir el mejor.

La primera forma: representar decimal ordinario

Es adecuado si, al dividir o traducir, se obtienen fracciones finitas. Si al menos un número da la parte periódica, esta técnica está prohibida. Por lo tanto, incluso si no le gusta trabajar con fracciones ordinarias, tendrá que contarlas.

La segunda forma: escriba fracciones decimales con ordinario

Esta técnica resulta conveniente si hay 1-2 dígitos en la parte después del punto decimal. Si hay más de ellos, puede resultar una fracción ordinaria muy grande y las notaciones decimales le permitirán contar la tarea más rápido y más fácilmente. Por lo tanto, siempre debe evaluar la tarea con seriedad y elegir el método de solución más simple.

En este artículo analizaremos cómo convertir fracciones ordinarias en fracciones decimales y también considere el proceso inverso: convertir fracciones decimales en fracciones. Aquí expresaremos las reglas para invertir fracciones y daremos soluciones detalladas a ejemplos típicos.

Navegación de página.

Convertir fracciones a decimales

Denotemos la secuencia en la que nos ocuparemos de convertir fracciones ordinarias en fracciones decimales.

Primero, veremos cómo representar fracciones comunes con denominadores 10, 100, 1,000, ... como fracciones decimales. Esto se debe a que las fracciones decimales son esencialmente una forma compacta de escribir fracciones comunes con denominadores 10, 100,….

Después de eso, iremos más allá y mostraremos cómo cualquier fracción ordinaria (no solo con denominadores 10, 100, ...) se puede escribir como una fracción decimal. Esta forma de invertir fracciones comunes produce tanto fracciones decimales finitas como fracciones decimales periódicas infinitas.

Ahora hablemos de todo en orden.

Convertir fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, ... a fracciones decimales

Algunas fracciones comunes regulares necesitan una "preparación preliminar" antes de convertirse a fracciones decimales. Esto se aplica a las fracciones ordinarias, cuyo número de dígitos en el numerador es menor que el número de ceros en el denominador. Por ejemplo, la fracción ordinaria 2/100 debe prepararse primero para la conversión a una fracción decimal, y la fracción 9/10 no necesita preparación.

La "preparación preliminar" de las fracciones ordinarias regulares para su conversión en fracciones decimales consiste en sumar tal número de ceros a la izquierda en el numerador para que el número total de dígitos sea igual al número de ceros en el denominador. Por ejemplo, después de sumar ceros, se verá una fracción.

Después de preparar la fracción común correcta, puede comenzar a convertirla en una fracción decimal.

Vamos a dar la regla para convertir una fracción regular con un denominador de 10, o 100, o 1,000, ... en una fracción decimal... Consta de tres pasos:

• escribir 0;
• después de él ponemos un punto decimal;
• escribimos el número del numerador (junto con los ceros añadidos, si los sumamos).

Consideremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Convierta la fracción regular 37/100 a decimal.

Solución.

El denominador contiene el número 100, que contiene dos ceros. El numerador contiene el número 37, contiene dos dígitos, por lo tanto, esta fracción no necesita estar preparada para la conversión a una fracción decimal.

Ahora escribimos 0, ponemos un punto decimal y escribimos el número 37 del numerador, y obtenemos una fracción decimal de 0.37.

Respuesta:

0,37 .

Para consolidar las habilidades de traducir fracciones ordinarias regulares con numeradores 10, 100, ... a fracciones decimales, analizaremos la solución de otro ejemplo.

Ejemplo.

Escriba la fracción correcta 107/10 000 000 como fracción decimal.

Solución.

El número de dígitos en el numerador es 3 y el número de ceros en el denominador es 7, por lo que esta fracción ordinaria necesita preparación para su conversión a decimal. Necesitamos sumar 7-3 = 4 ceros a la izquierda en el numerador para que el número total de dígitos sea igual al número de ceros en el denominador. Nosotros recibimos.

Queda por componer la fracción decimal deseada. Para ello, en primer lugar escribimos 0, en segundo lugar, ponemos una coma, y ​​en tercer lugar, escribimos el número del numerador junto con los ceros 0000107, como resultado tenemos una fracción decimal 0.0000107.

Respuesta:

0,0000107 .

Las fracciones irregulares no necesitan preparación al convertirlas a decimales. Se debe cumplir lo siguiente reglas para convertir fracciones ordinarias irregulares con denominadores 10, 100, ... en fracciones decimales:

• anote el número del numerador;
• separamos el punto decimal tantos dígitos a la derecha como ceros haya en el denominador de la fracción original.

Analicemos la aplicación de esta regla al resolver un ejemplo.

Ejemplo.

Convierta la fracción común irregular 56 888 038 009/100 000 a una fracción decimal.

Solución.

En primer lugar, anotamos el número del numerador 56888038009, y en segundo lugar, separamos el punto decimal 5 dígitos a la derecha, ya que hay 5 ceros en el denominador de la fracción original. Como resultado, tenemos una fracción decimal 568 880,38009.

Respuesta:

568 880,38009 .

Para convertir un número mixto en una fracción decimal, el denominador de la parte fraccionaria es el número 10, o 100, o 1.000, ..., puede convertir el número mixto en una fracción común impropia, después de lo cual la fracción resultante se puede convertir en una fracción decimal. Pero también puedes usar lo siguiente la regla para convertir números mixtos con el denominador de la parte fraccionaria 10, o 100, o 1,000, ... en fracciones decimales:

• si es necesario, realizamos una "preparación preliminar" de la parte fraccionaria del número mixto original agregando el número requerido de ceros a la izquierda en el numerador;
• anote la parte completa del número mixto original;
• poner un punto decimal;
• escribimos el número del numerador junto con los ceros agregados.

Considere un ejemplo, al resolverlo realizaremos todos los pasos necesarios para representar un número mixto como una fracción decimal.

Ejemplo.

Convierte el número mixto en una fracción decimal.

Solución.

En el denominador de la parte fraccionaria hay 4 ceros, en el numerador está el número 17, que consta de 2 dígitos, por lo tanto, debemos sumar dos ceros a la izquierda en el numerador para que el número de dígitos sea igual a el número de ceros en el denominador. Al hacer esto, el numerador será 0017.

Ahora anotamos toda la parte del número original, es decir, el número 23, ponemos un punto decimal, luego de lo cual anotamos el número del numerador junto con los ceros sumados, es decir, 0017, y obtenemos el deseado fracción decimal 23.0017.

Escribamos la solución completa brevemente: .

Sin duda, era posible representar primero el número mixto como una fracción impropia y luego convertirlo en una fracción decimal. Con este enfoque, la solución se ve así:

Respuesta:

23,0017 .

Convertir fracciones ordinarias en fracciones decimales periódicas finitas e infinitas

No solo las fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, ..., sino también las fracciones ordinarias con otros denominadores se pueden convertir a una fracción decimal. Ahora averiguaremos cómo se hace esto.

En algunos casos, la fracción común original se reduce fácilmente a uno de los denominadores 10, 100 o 1000, ... (ver la reducción de la fracción común al nuevo denominador), después de lo cual no es difícil representar el fracción resultante como fracción decimal. Por ejemplo, es obvio que la fracción 2/5 se puede reducir a una fracción con denominador de 10, para ello es necesario multiplicar el numerador y denominador por 2, lo que dará la fracción 4/10, que, según las reglas discutidas en el párrafo anterior, se pueden convertir fácilmente a la fracción decimal 0, 4.

En otros casos, debe usar un método diferente para convertir una fracción ordinaria en decimal, al que ahora pasaremos.

Para convertir una fracción ordinaria en una fracción decimal, el numerador de la fracción se divide por el denominador, el numerador se reemplaza previamente por una fracción decimal igual con cualquier número de ceros después del punto decimal (hablamos de esto en la sección igual y fracciones decimales desiguales). En este caso, la división se realiza de la misma manera que la división por una columna de números naturales, y en el cociente se coloca un punto decimal cuando finaliza la división de la parte entera del dividendo. Todo esto quedará claro a partir de las soluciones de los ejemplos que se dan a continuación.

Ejemplo.

Convierta la fracción común 621/4 a decimal.

Solución.

Representamos el número en el numerador 621 como una fracción decimal, agregando un punto decimal y algunos ceros después. Para empezar, agregamos 2 dígitos 0, luego, si es necesario, siempre podemos agregar más ceros. Entonces, tenemos 621.00.

Ahora hagamos la división de columnas de 621.000 entre 4. Los primeros tres pasos no son diferentes de dividir números naturales por una columna, después de lo cual llegamos a la siguiente imagen:

Entonces llegamos al punto decimal en el dividendo, y el resto es distinto de cero. En este caso, ponemos un punto decimal en el cociente, y continuamos la división con una columna, sin prestar atención a las comas:

Esto completa la división y, como resultado, obtuvimos una fracción decimal 155.25, que corresponde a la fracción ordinaria original.

Respuesta:

155,25 .

Para consolidar el material, considere la solución de un ejemplo más.

Ejemplo.

Convierta la fracción común 21/800 a decimal.

Solución.

Para convertir esta fracción común a decimal, dividiremos por una columna de fracción decimal 21,000 ... por 800. Tras el primer paso, tendremos que poner un punto decimal en el cociente, y luego continuar la división:

Finalmente, obtuvimos un resto de 0, aquí es donde se completa la conversión de la fracción ordinaria 21/400 a una fracción decimal, y llegamos a la fracción decimal 0.02625.

Respuesta:

0,02625 .

Puede suceder que al dividir el numerador por el denominador de una fracción ordinaria, todavía no obtengamos el resto 0. En estos casos, la división puede continuarse durante el tiempo que se desee. Sin embargo, a partir de un determinado paso, las sobras se repiten periódicamente y los números del cociente también se repiten. Esto significa que la fracción original se convierte en una fracción decimal periódica infinita. Demostremos esto con un ejemplo.

Ejemplo.

Escribe la fracción 19/44 como fracción decimal.

Solución.

Para convertir una fracción ordinaria a decimal, realizamos la división de columnas:

Ya está claro que durante la división los restos 8 y 36 comenzaron a repetirse, mientras que en el cociente se repiten los números 1 y 8. Por lo tanto, la fracción ordinaria original 19/44 se convierte en una fracción decimal periódica 0.43181818 ... = 0.43 (18).

Respuesta:

0,43(18) .

Al final de este párrafo, descubriremos qué fracciones ordinarias se pueden convertir en fracciones decimales finales y cuáles, solo en fracciones periódicas.

Supongamos que tenemos una fracción ordinaria irreducible frente a nosotros (si la fracción es cancelable, primero realizamos la reducción de la fracción), y necesitamos averiguar en qué fracción decimal se puede convertir: una final o una periódica.

Está claro que si una fracción ordinaria se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1,000, ..., entonces la fracción resultante se puede convertir fácilmente en una fracción decimal final de acuerdo con las reglas discutidas en el párrafo anterior. Pero para los denominadores 10, 100, 1,000, etc. lejos de todas las fracciones ordinarias se dan. A tales denominadores sólo se pueden reducir fracciones, cuyos denominadores sean al menos uno de los números 10, 100, ... ¿Y qué números pueden ser divisores de 10, 100, ...? Los números 10, 100,… nos permitirán responder esta pregunta, y son los siguientes: 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 1,000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 ,…. De ello se deduce que los divisores son 10, 100, 1.000, etc. Solo puede haber números cuyas factorizaciones primas contengan solo los números 2 y (o) 5.

Ahora podemos sacar una conclusión general sobre la conversión de fracciones ordinarias a fracciones decimales:

• si en la expansión del denominador en factores primos solo hay números 2 y (o) 5, entonces esta fracción se puede convertir en una fracción decimal final;
• si, además de dos y cinco, hay otros números primos presentes en la expansión del denominador, entonces esta fracción se convierte en una fracción periódica decimal infinita.

Ejemplo.

Sin convertir fracciones ordinarias a decimales, dígame cuál de las fracciones 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 se puede convertir en una fracción decimal final y cuál, solo en una periódica.

Solución.

La factorización prima del denominador de 47/20 es 20 = 2 · 2 · 5. Esta expansión contiene solo dos y cinco, por lo que esta fracción se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1,000, ... (en este ejemplo, al denominador 100), por lo tanto, se puede convertir a una fracción decimal final. .

La factorización prima del denominador de la fracción 7/12 es 12 = 2 · 2 · 3. Dado que contiene un factor primo de 3 distinto de 2 y 5, esta fracción no se puede representar como una fracción decimal final, pero se puede convertir en una fracción decimal periódica.

Fracción 21/56 es contráctil, después de la contracción toma la forma 3/8. La factorización del denominador en factores primos contiene tres factores iguales a 2, por lo tanto, la fracción ordinaria 3/8, y por lo tanto la fracción 21/56 igual a ella, se puede convertir en una fracción decimal final.

Finalmente, la expansión del denominador de la fracción 31/17 es 17 en sí misma, por lo tanto, esta fracción no se puede convertir a una fracción decimal final, sino que se puede convertir a una fracción periódica infinita.

Respuesta:

47/20 y 21/56 se pueden convertir a decimal final, y 7/12 y 31/17 solo se pueden convertir a periódico.

Las fracciones no se convierten en infinitos decimales no periódicos

La información del párrafo anterior plantea la pregunta: "¿Se puede obtener una fracción no periódica infinita al dividir el numerador de una fracción por el denominador?"

La respuesta es no. Al traducir una fracción ordinaria, puede obtener una fracción decimal finita o una fracción decimal periódica infinita. Expliquemos por qué es así.

Se desprende del teorema de la divisibilidad con resto que el resto es siempre menor que el divisor, es decir, si dividimos algún número entero entre un número entero q, entonces el resto puede ser solo uno de los números 0, 1, 2,… , q - 1. De ello se deduce que después de completar la división por la columna de la parte entera del numerador de la fracción ordinaria por el denominador q, en no más de q pasos, surgirá una de las dos situaciones siguientes:

• o obtendremos un resto de 0, en este momento terminará la división y obtendremos la fracción decimal final;
• o obtenemos el resto, que ya ha aparecido antes, después de lo cual los restos comenzarán a repetirse como en el ejemplo anterior (ya que cuando se dividen números iguales por q se obtienen restos iguales, que se desprende del teorema de divisibilidad ya mencionado), así se obtendrá una fracción decimal periódica infinita.

No puede haber otras opciones, por lo tanto, al convertir una fracción ordinaria en una fracción decimal, no se puede obtener una fracción decimal no periódica infinita.

Del razonamiento dado en este párrafo también se sigue que la longitud del período de la fracción decimal es siempre menor que el valor del denominador de la fracción ordinaria correspondiente.

Convertir fracciones decimales en fracciones

Ahora descubramos cómo convertir una fracción decimal en una ordinaria. Comencemos por convertir las fracciones decimales finales en fracciones. Después de eso, considere el método de invertir infinitas fracciones decimales periódicas. En conclusión, digamos sobre la imposibilidad de convertir infinitas fracciones decimales no periódicas en fracciones ordinarias.

Convertir decimales finales a fracciones

Es bastante fácil obtener una fracción ordinaria, que se escribe en forma de fracción decimal final. Regla para convertir el decimal final a fracciones consta de tres pasos:

• en primer lugar, escriba la fracción decimal dada en el numerador, habiendo descartado previamente el punto decimal y todos los ceros a la izquierda, si los hay;
• en segundo lugar, escriba una unidad en el denominador y agregue tantos ceros como dígitos haya después del punto decimal en la fracción decimal original;
• en tercer lugar, si es necesario, realice la reducción de la fracción resultante.

Consideremos soluciones de ejemplos.

Ejemplo.

Convierta la fracción decimal 3.025 a fracción.

Solución.

Si quitamos el punto decimal en la fracción decimal original, obtenemos el número 3025. No tiene ceros a la izquierda que descartaríamos. Entonces, en el numerador de la fracción deseada, escriba 3025.

Escribimos el número 1 en el denominador y le agregamos 3 ceros a la derecha, ya que hay 3 dígitos en la fracción decimal original después del punto decimal.

Entonces obtuvimos la fracción común 3 025/1000. Esta fracción se puede cancelar por 25, obtenemos .

Respuesta:

.

Ejemplo.

Convierta la fracción decimal 0.0017 a una fracción común.

Solución.

Sin punto decimal, la fracción decimal original tiene la forma 00017, dejando los ceros a la izquierda, obtenemos el número 17, que es el numerador de la fracción ordinaria deseada.

Escribimos una unidad con cuatro ceros en el denominador, ya que hay 4 dígitos en la fracción decimal original después del punto decimal.

Como resultado, tenemos una fracción ordinaria de 17/10 000. Esta fracción es irreducible y la conversión de la fracción decimal a la ordinaria es completa.

Respuesta:

.

Cuando la parte entera de la fracción decimal final original es diferente de cero, entonces se puede convertir inmediatamente a un número mixto, sin pasar por la fracción ordinaria. Vamos a dar regla para convertir decimal final a número mixto:

• el número hasta el punto decimal debe escribirse como una parte entera del número mixto deseado;
• en el numerador de la parte fraccionaria, debe escribir el número obtenido de la parte fraccionaria de la fracción decimal original después de eliminar todos los ceros desde la izquierda;
• en el denominador de la parte fraccionaria, debe escribir el dígito 1, al que agrega tantos ceros a la derecha como dígitos haya en la fracción decimal original después del punto decimal;
• si es necesario, reduzca la parte fraccionaria del número mixto resultante.

Veamos un ejemplo de conversión de un decimal en un número mixto.

Ejemplo.

Envíe el decimal 152.06005 como un número mixto

Para escribir el número racional m / n como una fracción decimal, debes dividir el numerador por el denominador. En este caso, el cociente se escribe en una fracción decimal finita o infinita.

Escribe el número dado como una fracción decimal.

Solución. Divida en una columna el numerador de cada fracción por su denominador: a) dividir 6 entre 25; B) dividir 2 entre 3; v) divida 1 entre 2, y luego asigne la fracción resultante a uno, la parte entera de este número mixto.

Fracciones ordinarias irreducibles, cuyos denominadores no contienen otros factores primos, excepto 2 y 5 , se escriben en fracción decimal final.

V Ejemplo 1 cuando a) denominador 25 = 5 · 5; cuando v) el denominador es 2, por lo que obtuvimos los decimales finales 0.24 y 1.5. Cuando B) el denominador es 3, por lo que el resultado no se puede escribir como una fracción decimal final.

¿Es posible, sin división en una columna, convertir en una fracción decimal una fracción tan ordinaria, cuyo denominador no contiene más factores que 2 y 5? ¡Vamos a resolverlo! ¿Qué fracción se llama decimal y se escribe sin una barra fraccionaria? Respuesta: fracción con denominador 10; 100; 1000, etc. Y cada uno de estos números es un producto igual el número de "dos" y "cinco". De hecho: 10 = 2 · 5; 100 = 2 5 2 5; 1000 = 2 5 2 5 2 5, etc.

En consecuencia, el denominador de una fracción ordinaria irreductible deberá representarse como un producto de "dos" y "cinco", y luego multiplicarlo por 2 y (o) por 5 para que los "dos" y los "cinco" sean iguales. Entonces el denominador de la fracción será 10 o 100 o 1000, etc. Para que el valor de la fracción no cambie, multiplicamos el numerador de la fracción por el mismo número por el que se multiplicó el denominador.

Presente las siguientes fracciones como un decimal:

Solución. Cada una de estas fracciones es irreductible. Dividamos el denominador de cada fracción en factores primos.

20 = 2 2 5. Conclusión: falta un "cinco".

8 = 2 2 2. Conclusión: faltan tres "cinco".

25 = 5 5. Conclusión: faltan dos "dos".

Comentario. En la práctica, a menudo no usan la factorización del denominador, sino que simplemente hacen la pregunta: cuánto debe multiplicarse el denominador para que el resultado sea una unidad con ceros (10 o 100 o 1000, etc.). Y luego el numerador se multiplica por el mismo número.

Entonces, en el caso a)(ejemplo 2) del número 20 puedes obtener 100 multiplicando por 5, por lo tanto, necesitas multiplicar el numerador y el denominador por 5.

Cuando B)(ejemplo 2) a partir del número 8, el número 100 no funcionará, pero el número 1000 se multiplicará por 125. Tanto el numerador (3) como el denominador (8) de la fracción se multiplican por 125.

Cuando v)(ejemplo 2) de 25 obtienes 100 si multiplicas por 4. Esto significa que el numerador 8 debe multiplicarse por 4.

Una fracción decimal infinita en la que uno o más dígitos se repiten invariablemente en la misma secuencia se llama periódico fracción decimal. La colección de números repetidos se llama período de esta fracción. Por brevedad, el período de la fracción se registra una vez, encerrándolo entre paréntesis.

Cuando B)(ejemplo 1) el dígito que se repite es uno e igual a 6. Por lo tanto, nuestro resultado 0.66 ... se escribirá así: 0, (6). Leer: punto cero, seis en un período.

Si hay uno o más dígitos no repetidos entre la coma y el primer período, dicha fracción periódica se denomina fracción periódica mixta.

Fracción ordinaria irreducible, cuyo denominador es junto con otros multiplicadores contiene el factor 2 o 5 se convierte en mezclado fracción periódica.

Escribe los números como una fracción decimal.