MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA

Institución Educativa Autónoma del Estado Federal

educación profesional superior

"Universidad Federal de los Urales lleva el nombre del primer presidente de Rusia B. N. Yeltsin"

Instituto de radioelectrónica y tecnologías de la información - RTF

Departamento Tecnología de la información y la automatización

Interpolación de splines

INSTRUCCIONES METODOLÓGICAS PARA EL TRABAJO DE LABORATORIO SOBRE LA DISCIPLINA "Métodos numéricos"

Recopilado por I.A. Selivanova, profesora titular.

INTERPOLACIÓN DE SPLINE: Instrucciones metódicas para ejercicios prácticos en la disciplina "Métodos numéricos".

Las instrucciones están destinadas a estudiantes de todas las formas de educación en la dirección 230100 - "Informática e Ingeniería Informática".

Ó FGAOU VPO "UrFU lleva el nombre del primer presidente de Rusia B. N. Yeltsin", 2011

1. INTERPOLACIÓN POR SPLINES. 4

1.1. Splines cúbicos. 4

1.2. Una forma especial de notación spline. 5

1.3. Splines cuadráticos. 13

1.4. Tarea de práctica. Dieciocho

1.5. Opciones de trabajo. 19

Referencias 21

1. Interpolación por splines.

En los casos en que el intervalo [ a,B] donde desea reemplazar la función F(X) es grande, puede aplicar la interpolación de splines.

1.1. Splines cúbicos.

Splines de interpolación Tercero de orden son funciones que constan de piezas de polinomios 3 th pedido. En los nodos de interfaz, se asegura la continuidad de la función, su primera y segunda derivadas. La función de aproximación se compone de polinomios separados, como regla, del mismo grado pequeño, cada uno definido en su propia parte del segmento.

Dejemos en el segmento [ a, B] el eje real X se da una cuadrícula, en cuyos nodos los valores
función F(X). Se requiere construir en el segmento [ a, B] función spline continua S(X), que cumple las siguientes condiciones:

Para construir la spline requerida, necesita encontrar los coeficientes
polinomios
,I=1,… norte, es decir. 4 norte coeficientes desconocidos que satisfacen 4 norte-2 ecuaciones (1), (2), (3). Para que el sistema de ecuaciones tenga una solución, se agregan dos condiciones adicionales (de frontera). Se utilizan tres tipos de condiciones de contorno:

Las condiciones (1), (2), (3) y una de las condiciones (4), (5), (6) forman un SLAE de pedido 4 norte. La solución del sistema se puede realizar mediante el método de Gauss. Sin embargo, al elegir una notación especial para el polinomio cúbico, se puede reducir significativamente el orden del sistema de ecuaciones que se resuelve.

1.2. Una forma especial de notación spline.

Considere el segmento
... Introduzcamos la siguiente notación de variables:

Aquí
- longitud del segmento
,

,
- variables auxiliares,

X- punto intermedio en el segmento
.

Cuando X recorre todos los valores en el intervalo
, variable varía de 0 a 1, y
varía de 1 a 0.

Dejemos que el polinomio cúbico
en el segmento
parece:

Variables y
se determinan en relación con un segmento específico de interpolación.

Encuentra el valor de la spline
al final del segmento
... Punto
es la inicial del segmento
, por lo tanto =0,
= 1 y de acuerdo con (3.8):
.

Al final del segmento
=1,
= 0 y
.

Por intervalo
punto
es finito, por lo tanto =1,
= 0 y de la fórmula (9) obtenemos:
... Por tanto, la condición de continuidad de la función S(X) en las uniones de polinomios cúbicos independientemente de la elección de los números  i.

Para determinar los coeficientes  i, I=0,… norte diferenciamos (8) dos veces como una función compleja de X... Luego

Definamos las segundas derivadas del spline.
y
:

Para polinomio
punto es el inicio del segmento de interpolación y =0,
= 1, por lo tanto

De (15) y (16) se deduce que en el segmento [ a,B] una función spline "pegada" a partir de piezas de polinomios de tercer orden tiene una derivada continua de segundo orden.

Para obtener la continuidad de la primera derivada de la función S(X), requerimos en los nodos internos de interpolación el cumplimiento de la condición:

Para estrías cúbicas naturales
, por tanto, el sistema de ecuaciones tendrá la forma:

y el sistema de ecuaciones (17) tendrá la forma:

Ejemplo.

Datos iniciales:

Reemplazar función
interpolación cúbica spline, cuyos valores en los puntos nodales dados (ver tabla) coinciden con los valores de la función en los mismos puntos. Considere diferentes condiciones de contorno.

Calculemos el valor de la función en los puntos nodales. Para hacer esto, sustituimos los valores de la tabla en la función dada.

Para diferentes condiciones de contorno (4), (5), (6), encontramos los coeficientes de splines cúbicos.

1. Considere las primeras condiciones de contorno.

En nuestro caso norte=3,
,
,
... Encontrar
usamos el sistema de ecuaciones (3.18):

Vamos a calcular y usando las fórmulas (7) y (11):

Sustituye los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones:

.

Solución del sistema:

Teniendo en cuenta las primeras condiciones de contorno, los coeficientes de spline:

Considere la definición de los coeficientes spline teniendo en cuenta las condiciones de contorno (3.5):

Encuentra la derivada de la función
:

Vamos a calcular
y
:

Sustituyamos en el sistema de ecuaciones (21) los valores y :

Usando la fórmula (20), definimos  0 y  3:

Teniendo en cuenta valores específicos:

y el vector de coeficientes:

Calculemos los valores de la spline cúbica S (x) en los puntos medios de los segmentos de interpolación.

Punto medio de los segmentos:

Para calcular el valor de la spline cúbica en los puntos medios de los segmentos de interpolación, usamos las fórmulas (7) y (9).

3.1.

Encontrar y
:

En la fórmula (3.9), sustituimos los coeficientes

3.2.

Encontrar y
:

, para condiciones de contorno (4), (5), (6):

3.3.

Encontrar y
:

En la fórmula (9), sustituimos los coeficientes
, para condiciones de contorno (4), (5), (6):

Hagamos una mesa:

La palabra spline (palabra inglesa "spline") significa una regla flexible que se usa para dibujar curvas suaves a través de puntos específicos en un plano. La forma de esta pieza universal en cada segmento se describe mediante una parábola cúbica. Las estrías se utilizan ampliamente en aplicaciones de ingeniería, en particular en gráficos por computadora. Entonces, en cada I-Del segmento [ x yo –1 , x yo], yo = 1, 2,…, NORTE, la solución se buscará en forma de polinomio de tercer grado:

Si(X)= a yo + b yo(x - x i)+ c yo(X–x yo) 2 /2+ d yo(x - x i) 3 /6

Probabilidades desconocidas a yo, b yo, c yo, d yo, yo = 1, 2,..., NORTE, encontramos de:

Condiciones de interpolación: Si(x yo)= f yo, yo = 1, 2,..., norte;S 1 (X 0)= f 0 ,

Función de continuidad Si(x i– 1 ) = S i– 1 (x yo –1), yo = 2, 3,..., NORTE,

Continuidades de la primera y segunda derivadas:

S / i(x i– 1)=S / i– 1 (x yo –1), S // yo(x yo –1)= S // yo –1 (x yo –1), yo = 2, 3,..., norte.

Teniendo en cuenta que, para determinar 4 norte incógnitas, obtenemos el sistema 4 norte–2 ecuaciones:

a yo = f yo, yo = 1, 2,..., NORTE,

b i h i - c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6= f yo - f yo –1 , yo = 1, 2,..., NORTE,

segundo yo - segundo yo - 1 = do yo h yo - d yo h yo 2 /2, yo = 2, 3,..., NORTE,

d yo h yo = c yo - c yo– 1 , yo = 2, 3,..., NORTE.

dónde h yo = x yo - x yo– 1. Las dos ecuaciones que faltan se derivan de condiciones adicionales: S //(a)= S //(B)=0. Se puede demostrar que en este caso. Las incógnitas se pueden excluir del sistema b yo, d yo, habiendo recibido el sistema N + 1 ecuaciones lineales (SLAE) para determinar los coeficientes c yo:

C 0 = 0, c N = 0,

h i c i –1 + 2(h yo + h yo +1)c yo + h yo +1 c yo +1 = 6 , yo = 1, 2,…, norte–1. (1)

Después de eso, se calculan los coeficientes. b yo, d yo:

, yo = 1, 2,..., NORTE. (2)

En el caso de una cuadrícula constante h i = h este sistema de ecuaciones está simplificado.

Este SLAE tiene una matriz tridiagonal y se resuelve mediante el método de barrido.

Los coeficientes se determinan a partir de las fórmulas:

Para calcular el valor S(X) en un punto arbitrario del segmento z∈[a, b] es necesario resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes c yo, yo = 1,2,…, norte–1, luego encuentra todos los coeficientes b yo, d yo. Además, es necesario determinar para qué intervalo [ x yo 0, x yo 0-1] llega a este punto, y conociendo el número yo 0, calcular el valor de la spline y sus derivadas en un punto z

S(z)= a yo 0 + b yo 0 (z - x i 0)+ c yo 0 (z - x i 0) 2 /2+ d yo 0 (z - x i 0) 3 /6

S /(z)= b yo 0 + c yo 0 (z - x i 0)+ d yo 0 (z - x i 0) 2 /2, S //(z)= c yo 0 + d yo 0 (z - x i 0).

Se requiere calcular los valores de la función en los puntos 0.25 y 0.8 usando interpolación spline.

En nuestro caso: h i = 1/4 ,.

Escribamos un sistema de ecuaciones para determinar:

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, obtenemos :.

Considere el punto 0.25, que pertenece al primer segmento, es decir ... Por lo tanto, obtenemos

Considere el punto 0.8, que pertenece al cuarto segmento, es decir ...

Por eso,

Interpolación global

Cuando interpolación global se encuentra un solo polinomio en todo el intervalo [ a, b], es decir Se construye un polinomio, que se utiliza para interpolar la función f (x) en todo el intervalo de variación del argumento x. Buscaremos una función de interpolación en forma de polinomio (polinomio) metro-º grado Pm(X)= a 0 + un 1 x + a 2 X 2 + un 3 X 3 +… + A m x m.¿Cuál es el grado del polinomio para satisfacer todas las condiciones de interpolación? Suponga que se dan dos puntos: ( X 0 , f 0) y ( X 1 , f 1), es decir N = 1. Se puede trazar una sola línea recta a través de estos puntos, es decir, la función de interpolación será el polinomio de primer grado PAG 1 (X)= a 0 + un 1 X. A través de tres puntos (N = 2) se puede dibujar una parábola PAG 2 (X)= a 0 + un 1 x + a 2 X 2, etc. Razonando de esta manera, podemos suponer que el polinomio deseado debe tener grado norte .

Para probar esto, escribimos un sistema de ecuaciones para los coeficientes. Las ecuaciones del sistema son las condiciones de interpolación en cada x = x yo:

Este sistema es lineal con respecto a los coeficientes deseados a 0 , a 1 , a 2 , …,un. Se sabe que un SLAE tiene solución si su determinante es distinto de cero. Determinante de un sistema dado

lleva el nombre determinante de Vandermonde... Se sabe por el curso del análisis matemático que es distinto de cero si x k≠x m(es decir, todos los nodos de interpolación son diferentes). De esta forma, se comprueba que el sistema tiene solución.

Hemos demostrado que para encontrar los coeficientes
a 0 , a 1 , a 2 , …,un es necesario resolver el SLAE, que es una tarea difícil. Pero hay otra forma de construir el polinomio norte-Del grado, que no requiere la solución de tal sistema.

Polinomio de Lagrange

Buscamos la solución en el formulario , dónde yo(z) – polinomios base norte-El grado por el que se cumple la condición: ... Verifiquemos que si se construyen tales polinomios, entonces L N (x) satisfará las condiciones de interpolación:

Cómo construir polinomios básicos? Definimos

, yo = 0, 1,..., N.

Es fácil de entender que

Función yo(z) es un polinomio norte-Dr. Grado de z y para ello se cumplen las condiciones de "basicidad":

0, i ≠ k ;, es decir k = 1,…, i-1 o k = i + 1,…, N.

Así, logramos resolver el problema de construir el polinomio de interpolación NORTE- grado, y para ello no es necesario resolver el SLAE. El polinomio de Lagrange se puede escribir como una fórmula compacta: . El error de esta fórmula se puede estimar si la función original gramo(X) tiene derivados hasta N + 1 orden:

De esta fórmula se deduce que el error del método depende de las propiedades de la función gramo(X), así como de la ubicación de los nodos de interpolación y el punto z. Los experimentos calculados muestran que el polinomio de Lagrange tiene un pequeño error para valores pequeños norte<20 ... Para mayor norte el error comienza a crecer, lo que indica que el método de Lagrange no converge (es decir, su error no disminuye al aumentar norte).

Consideremos casos especiales. Sea N = 1, es decir los valores de la función se dan solo en dos puntos. Entonces los polinomios básicos son:

, es decir. obtenemos fórmulas para la interpolación lineal por partes.

Sea N = 2. Luego:

Como resultado, obtuvimos fórmulas para las llamadas interpolación cuadrática o parabólica.

Ejemplo: Se dan los valores de alguna función:

Es necesario encontrar el valor de la función para z = 1 utilizando el polinomio de interpolación de Lgrange. Ad hoc norte= 3, es decir el polinomio de Lagrange es de tercer orden. Calculemos los valores de los polinomios base para z=1:

Selección de fórmulas empíricas

Al interpolar funciones, usamos la condición de igualdad de los valores del polinomio de interpolación y la función dada en los nodos de interpolación. Si los datos iniciales se obtienen como resultado de mediciones experimentales, entonces el requisito de una coincidencia exacta no es necesario, ya que los datos no se obtienen exactamente. En estos casos, solo se puede requerir un cumplimiento aproximado de las condiciones de interpolación. Esta condición significa que la función de interpolación F (x) pasa no exactamente a través de los puntos dados, sino en algunos de sus alrededores, como, por ejemplo, como se muestra en la Fig.

Entonces habla de selección de fórmulas empíricas... La construcción de una fórmula empírica consta de dos etapas6 para seleccionar la forma de esta fórmula que contiene parámetros desconocidos y determinar el mejor en algún sentido de estos parámetros. La forma de la fórmula a veces se conoce a partir de consideraciones físicas (para un medio elástico, la relación entre tensión y deformación) o se selecciona a partir de consideraciones geométricas: los puntos experimentales se trazan en un gráfico y la forma general de la dependencia se adivina aproximadamente comparando el curva resultante con gráficos de funciones conocidas. El éxito aquí está determinado en gran medida por la experiencia y la intuición del investigador.

Para la práctica, el caso de aproximar una función por polinomios es importante, es decir ...

Una vez que se ha seleccionado el tipo de dependencia empírica, el grado de cercanía a los datos empíricos se determina utilizando suma mínima de cuadrados de desviaciones de datos calculados y experimentales.

Método de mínimos cuadrados

Dejemos los datos iniciales x yo, f yo, yo = 1,…, N (es mejor empezar a numerar con uno), se selecciona el tipo de dependencia empírica: con coeficientes desconocidos. Escribamos la suma de los cuadrados de las desviaciones entre las calculadas por la fórmula empírica y los datos experimentales dados:

Los parámetros se encontrarán a partir de la condición del mínimo de la función ... Este es método de mínimos cuadrados (MCO).

Se sabe que en el punto mínimo todas las derivadas parciales de w son iguales a cero:

(1)

Consideremos la aplicación del OLS para un caso particular, que se usa ampliamente en la práctica. Como función empírica, considere el polinomio

La fórmula (1) para determinar la suma de los cuadrados de las desviaciones adoptará la forma:

Calculemos las derivadas:

Al igualar estas expresiones a cero y recolectar los coeficientes de las incógnitas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

Sea una tabla de valores de funciones y yo en los nodos NS 0 < х 1 < ... < х п . Denotar h yo = x yo - x yo -1 , I= 1, 2, ... , NS.

Ranura- una curva suave que pasa por los puntos dados ( x yo, y yo), yo = 0, 1, ... , NS. Interpolación de splines radica en el hecho de que en cada segmento [ x yo -1 , x yo] se utiliza un polinomio de cierto grado. El polinomio de tercer grado más comúnmente utilizado, con menos frecuencia, el segundo o cuarto. En este caso, para determinar los coeficientes de los polinomios, se utilizan las condiciones para la continuidad de las derivadas en los nodos de interpolación.

Interpolación de splines cúbicos es una interpolación local cuando en cada segmento [ x yo -1 , x yo], yo = 1, 2, ... , NS Se utiliza una curva cúbica que satisface determinadas condiciones de suavidad, a saber, la continuidad de la propia función y su primera y segunda derivadas en los puntos nodales. El uso de una función cúbica está motivado por las siguientes consideraciones. Si asumimos que la curva de interpolación corresponde a una regla elástica fijada en los puntos ( x yo, y yo), entonces del curso de resistencia de materiales se sabe que esta curva se define como la solución a la ecuación diferencial F(IV) ( X) = 0 en el segmento [ x yo -1 , x yo] (para simplificar la presentación, no consideramos cuestiones relacionadas con las dimensiones físicas). La solución general para tal ecuación es un polinomio de tercer grado con coeficientes arbitrarios, que se puede escribir convenientemente en la forma
Si(X) = y yo + b yo(NS - x yo -1) +con yo(X - x yo -1) 2 + yo(X - x yo -1) 3 ,
x yo-1 £ NS £ x yo, yo = 1, 2, ... , NS.(4.32)

Coeficientes de función Si(X) se determinan a partir de las condiciones de continuidad de la función y su primera y segunda derivadas en los nodos internos x yo,I= 1, 2,..., NS - 1.

De las fórmulas (4.32) con NS = x yo-1 obtenemos

Si(x i- 1) = y yo -1 = a yo, yo = 1, 2,..., NS,(4.33)

y en NS = x yo

Si(x yo) = y yo + b i h i +con yo h yo 2 + d i h i 3 ,(4.34)

I= 1, 2,..., norte.

Las condiciones para la continuidad de la función de interpolación están escritas en la forma Si(x yo) = Si -1 (x yo), I= 1, 2, ... , norte- 1 y de las condiciones (4.33) y (4.34) se deduce que se cumplen.

Encuentra las derivadas de la función Si(X):

S "yo(X) =b i + 2con yo(NS - x yo -1) + 3di(NS – x yo -1) 2 ,

S "yo(X) = 2c i + 6yo(x - x i -1).

A X = x yo-1, tenemos S "yo(x yo -1) = b yo, S " (x yo -1) = 2con yo y en NS = x yo obtener

S "yo(x yo) = b yo+ 2con yo h yo+ 3dih yo 2 , S " (x yo) = 2con i + 6d i h i.

Las condiciones para la continuidad de las derivadas conducen a las ecuaciones

S "yo(x yo) =S "yo +1 (x yo) Þ b yo+ 2con yo h yo+ 3dih yo 2 = b yo +1 ,

I= l, 2, ..., NS - 1. (4.35)

S "yo (x yo) = S "yo +1 (x yo) Þ 2 con i + 6d i h i= 2c yo +1 ,

I= l, 2, ..., norte- 1. (4.36)

En total, tenemos 4 norte- 2 ecuaciones para determinar 4 norte desconocido. Para obtener dos ecuaciones más, se utilizan condiciones de contorno adicionales, por ejemplo, el requisito de curvatura cero de la curva de interpolación en los puntos finales, es decir, la igualdad de la segunda derivada a cero en los extremos del segmento [ a, B]a = NS 0 , B= x n:

S " 1 (X 0) = 2C 1 = 0 Þ con 1 = 0,

S "n(x n) = 2con n + 6d n h n = 0 Þ con n + 3d n h n = 0. (4.37)

El sistema de ecuaciones (4.33) - (4.37) se puede simplificar y se pueden obtener fórmulas recurrentes para calcular los coeficientes spline.

De la condición (4.33) tenemos fórmulas explícitas para calcular los coeficientes a yo:

a yo = y yo -1 , yo = 1,..., norte. (4.38)

Expresemos yo a través de c yo usando (4.36), (4.37):

; I = 1, 2,...,norte; .

Nosotros ponemos con n+1 = 0, luego para yo obtenemos una fórmula:

, I = 1, 2,...,norte. (4.39)

Sustituir expresiones por y yo y yo en igualdad (4.34):

, I= 1, 2,..., norte.

y expresa b yo, a través de con yo:

, I= 1, 2,..., norte. (4.40)

Excluimos de las ecuaciones (4.35) los coeficientes b yo y yo usando (4.39) y (4.40):

I= 1, 2,..., norte -1.

De esto obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar con yo:

El sistema de ecuaciones (4.41) se puede reescribir como

La notación se introduce aquí.

, I =1, 2,..., norte- 1.

Resolvamos el sistema de ecuaciones (4.42) por el método de barrido. De la primera ecuación, expresamos con 2 a través con 3:

C 2 = un 2 C 3 + b 2 ,,. (4,43)

Sustituya (4.43) en la segunda ecuación (4.42):

h 2 (a 2 C 3 + b 2) + 2 ( h 2 + h 3)C 3 + h 3 C 4 = gramo 2 ,

y expresa con 3 a través con 4:

con 3 = un 3 con 4 + b 3, (4,44)

Asumiendo que con yo-1 = a I -1 c yo+ b I-1 de I-ésima ecuación (4.42) obtenemos

c yo= a yo con yo+1 + b I

, I = 3,..., norte- 1, una norte= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c yo= a yo con yo+1 + b I, I= norte, norte -1,..., 2, (4.48)

C 1 = 0.

3. Cálculo de coeficientes y yo, b yo,yo:

a yo = y yo -1 ,

I= 1, 2,..., norte.

4. Cálculo del valor de la función mediante spline. Para hacer esto, encuentre ese valor I que el valor dado de la variable NS pertenece al segmento [ x yo -1 , x yo] y calcular

Si(X) = y yo + b yo(NS - x yo -1) +con yo(X - x yo -1) 2 + yo(X - x yo -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolación de splines cúbicos

Un spline de interpolación cúbica correspondiente a una función dada f (x) y nodos dados x i es una función S (x) que satisface las siguientes condiciones:

1. En cada segmento, i = 1, 2, ..., N, la función S (x) es un polinomio de tercer grado,

2. La función S (x), así como su primera y segunda derivadas, son continuas en el intervalo,

3.S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

En cada uno de los intervalos, i = 1, 2, ..., N, buscaremos la función S (x) = S i (x) en forma de polinomio de tercer grado:

S yo (x) = una yo + segundo yo (x - x yo - 1) + do yo (x - x yo - 1) 2 + re yo (x - 1) 3,

x yo - 1 Ј x Ј x yo,

donde a i, b i, c i, d i - coeficientes que se determinarán en todos los n segmentos elementales. Para que un sistema de ecuaciones algebraicas tenga una solución, el número de ecuaciones debe ser exactamente igual al número de incógnitas. Por lo tanto, tenemos que obtener 4n ecuaciones.

Obtenemos las primeras 2n ecuaciones de la condición de que la gráfica de la función S (x) debe pasar por los puntos dados, es decir

Si yo (x yo - 1) = y yo - 1, S yo (x yo) = y yo.

Estas condiciones se pueden escribir como:

Si yo (x yo - 1) = una yo = y yo - 1,

S yo (x yo) = una yo + segundo yo h yo + c yo h + re yo h = y yo,

h yo = x yo - x yo - 1, yo = 1, 2, ..., norte.

Las siguientes ecuaciones 2n - 2 se derivan de la condición de continuidad de la primera y segunda derivadas en los nodos de interpolación, es decir, la condición para la suavidad de la curva en todos los puntos.

Si yo + 1 (x yo) = Si yo (x yo), yo = 1, ..., n - 1,

S yo (x) = segundo yo + 2 do yo (x - x yo - 1) + 3 re yo (x - x yo - 1),

S yo + 1 (x) = segundo yo + 1 + 2 do yo + 1 (x - x yo) + 3 re yo + 1 (x - x yo).

Igualando en cada nodo interno x = x i los valores de estas derivadas calculadas en los intervalos izquierdo y derecho del nodo, obtenemos (teniendo en cuenta h i = x i - x i - 1):

segundo yo + 1 = segundo yo + 2 h yo c yo + 3h re yo, yo = 1, ..., n - 1,

S yo (x) = 2 do yo + 6 re yo (x - x yo - 1),

Si yo + 1 (x) = 2 do yo + 1 + 6 re yo + 1 (x - x yo),

si x = x yo

c yo + 1 = c yo + 3 h yo re yo, yo = 1,2, ..., n - 1.

En esta etapa, tenemos 4n incógnitas y 4n - 2 ecuaciones. Por tanto, es necesario encontrar dos ecuaciones más.

Con la sujeción libre de los extremos, la curvatura de la línea en estos puntos se puede equiparar a cero. De las condiciones de curvatura cero en los extremos, se deduce que las segundas derivadas son iguales a cero en estos puntos:

S 1 (x 0) = 0 y S n (x n) = 0,

c yo = 0 y 2 c norte + 6 d norte h norte = 0.

Las ecuaciones forman un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para determinar 4n coeficientes: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, ..., N).

Este sistema se puede llevar a una forma más conveniente. Todos los coeficientes a i se pueden encontrar a partir de la condición a la vez.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Sustituyendo, obtenemos:

segundo yo = - (c yo + 1 + 2c yo), yo = 1,2, ..., n - 1,

segundo norte = - (alto norte c norte)

Excluimos los coeficientes b i y d i de la ecuación. Finalmente, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones solo para los coeficientes con i:

c 1 = 0 y c n + 1 = 0:

h yo - 1 c yo - 1 + 2 (h yo - 1 + h yo) c yo + h yo c yo + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Usando los coeficientes encontrados con i, es fácil calcular d i, b i.

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Construcción de un modelo matemático que describe el proceso de resolución de una ecuación diferencial.

3.1 Construcción del polinomio de interpolación de Lagrange y condensación de valores Una forma obvia de resolver este problema es calcular los valores de ѓ (x) utilizando los valores analíticos de la función ѓ. Para esto, de acuerdo con la información inicial ...

Si son grados (1, x, x2, ..., xn), entonces hablamos de interpolación algebraica, y la función se llama polinomio de interpolación y se denota como: (4) Si () (5), entonces podemos construir un polinomio de interpolación de grado n y además solo uno ...

Aplicación práctica de la interpolación suave de funciones.

Consideremos un ejemplo de interpolación para elementos de un conjunto. Por simplicidad y brevedad, tome = [- 1; 1] ,. Deje que los puntos y sean diferentes entre sí. Planteemos el siguiente problema: (12) construya un polinomio que satisfaga estas condiciones ...

Aplicación de métodos numéricos a la resolución de problemas matemáticos.

Métodos numéricos

Entonces, como se mencionó anteriormente, la tarea de la interpolación es encontrar un polinomio cuyo gráfico pase por los puntos dados. Deje que la función y = f (x) se dé usando la tabla (Tabla 1) ...

Métodos numéricos para resolver problemas matemáticos.