Cada superficie de uno de sus lados puede dirigirse hacia el observador y luego este lado será visible. De lo contrario, el lado de la superficie no será visible desde el punto de vista. Puede suceder que solo se vea una parte del lado de la superficie. En este caso, se puede trazar una línea en la superficie que separa las superficies limpias visibles e invisibles. Una línea de boceto es una línea en una superficie que separa la parte visible de la superficie o cara de su parte invisible.

Arroz. 9.5.1. Proyecciones de líneas de contorno de superficie

Arroz. 9.5.2. Proyecciones de malla de polígonos y líneas de contorno

En la Fig. 9.5.1 muestra las líneas del contorno de la superficie. En la Fig. 9.5.2 muestra las líneas de contorno junto con la malla de la superficie.

Al cruzar la línea de croquis, la normal de la superficie cambia de dirección en relación con la línea de visión. En puntos del contorno, la normal de la superficie es ortogonal a la línea de visión. En el caso general, puede haber varias líneas de contorno en la superficie. Cada contorno es una curva espacial. Está cerrado o termina en los bordes de la superficie. Para diferentes direcciones de la mirada, hay un conjunto de líneas de contorno, por lo tanto, al girar la superficie del contorno, es necesario construir de nuevo.

Proyecciones paralelas.

Para algunas superficies, por ejemplo, una esfera, un cilindro, un cono, las líneas de contorno son bastante simples de dibujar. Consideremos el caso general de construir las líneas del contorno de la superficie.

Supongamos que se requiere encontrar las líneas de contorno de la superficie descrita por el vector de radio.Cada punto de la línea de contorno para una proyección paralela sobre el plano (9.2.1) debe satisfacer la ecuación

donde es la normal a la superficie para la que se está dibujando el contorno. Para una superficie descrita por un vector de radio, la normal también es una función de los parámetros y. La ecuación escalar (9.5.1) contiene dos parámetros requeridos u, v. Si establece uno de los parámetros, el otro se puede encontrar en la ecuación (9.5.1), es decir, uno de los parámetros es función del otro. Para la igualdad de parámetros, se pueden representar como funciones de algún parámetro común

El resultado de resolver la ecuación (9.5.1) es una línea bidimensional

en la superficie Esta línea es el contorno de la superficie.

Construiremos una línea de croquis a partir de una colección ordenada de puntos que satisfaga la ecuación (9.5.1). Los puntos son un par de parámetros de superficie que son coordenadas de puntos bidimensionales en un plano paramétrico. Al tener puntos separados de la línea de contorno, ubicados en su orden y a una cierta distancia entre sí, siempre puede encontrar cualquier otro punto de la línea. Por ejemplo, para encontrar un punto que se encuentra entre dos puntos adyacentes dados de una línea de croquis, dibuje un plano perpendicular al segmento que conecta los puntos adyacentes y encuentre un punto común para la superficie y el plano resolviendo tres ecuaciones de intersección escalar junto con la ecuación (9.5 .1). La posición del plano en el segmento de línea se puede establecer mediante el parámetro de línea. En los puntos extremos del segmento, se determina la aproximación cero para el punto deseado. Así, el conjunto de puntos bidimensionales individuales de la línea del contorno de la superficie sirve como una especie de aproximación cero de esta línea, según la cual uno de los métodos numéricos siempre puede encontrar la posición exacta del punto. El algoritmo para construir las líneas del contorno de la superficie se puede dividir en dos etapas.

En la primera etapa, encontraremos al menos un punto en cada línea del contorno. Para hacer esto, caminando por la superficie y examinando el signo del producto escalar en puntos adyacentes, encontramos pares de puntos en la superficie en los que cambia de signo. Tomando los valores medios de los parámetros de estos puntos como aproximación cero, encontraremos los parámetros del punto del contorno por uno de los métodos numéricos. Por ejemplo, deje que cambie de signo al pasar de un punto a un punto cercano a él. Luego, usando el proceso iterativo del método de Newton

o proceso iterativo

encuentre los parámetros de uno de los puntos de la línea de contorno. Las derivadas de la normal están determinadas por las fórmulas de Weingarten (1.7.26), (1.7.28). De esta forma, obtenemos un conjunto de puntos de las líneas de contorno. Los puntos del conjunto obtenidos en la primera etapa no están conectados entre sí y pueden pertenecer a diferentes líneas del contorno. Solo es importante que al menos un punto esté presente en cada línea de contorno en el conjunto.

En la segunda etapa, tomamos cualquier punto del conjunto existente y, moviéndonos desde él con algún paso, primero en una dirección y luego en la otra, encontramos punto por punto el conjunto requerido de puntos de la línea de contorno. La dirección del movimiento le da al vector

donde son las derivadas parciales de la normal - las derivadas parciales del vector de radio de la superficie con respecto a los parámetros.

El signo delante del término coincide con el signo del producto escalar Calculamos el paso de movimiento de acuerdo con las curvaturas de las superficies en el punto actual mediante la fórmula (9.4.7) o mediante la fórmula (9.4.8). Si

luego por la fórmula (9.4.7) damos el incremento al parámetro y por la fórmula (9.5.4) encontramos el parámetro correspondiente v de la superficie. De lo contrario, por la fórmula (9.4.8), damos el incremento al parámetro y, y por la fórmula (9.5.5), encontramos el parámetro correspondiente de la superficie. Terminamos de movernos por la curva cuando llegamos al borde de una de las superficies o cuando la línea se cierra (el nuevo punto estará a la distancia del paso actual desde el punto de partida).

En el proceso de movimiento, comprobaremos si los puntos del conjunto obtenido en la primera etapa se encuentran cerca del camino. Para ello, a lo largo de la ruta, calcularemos la distancia desde el punto actual de la curva de contorno hasta cada punto del conjunto obtenido en la primera etapa. Si la distancia calculada a cualquier punto del conjunto es proporcional al paso actual de movimiento, eliminaremos este punto del conjunto porque ya no es necesario. Entonces obtenemos un conjunto de puntos individuales de una línea de contorno. En este caso, el conjunto de puntos obtenidos en la primera etapa no contendrá un solo punto de esta línea. Si hay más puntos en el conjunto, esta superficie tiene al menos una línea de contorno más.

Arroz. 9.5.3. Líneas de contorno corporal

Arroz. 9.5.4. Cuerpo de rotacion

Encontramos la colección de sus puntos tomando cualquier punto del conjunto y repitiendo la segunda etapa de construcción. Terminaremos de dibujar las líneas cuando no queden puntos en el conjunto. De la forma descrita, dibuje el contorno de todas las caras del modelo.

Las líneas de contorno de las caras son las líneas de contorno de sus superficies. El contorno del cuerpo será visible si no está oculto por la cara más cercana al punto de observación. En la Fig. 9.5.3 muestra la línea del contorno del cuerpo de revolución que se muestra en la Fig. 9.5.4. El contorno del contorno puede tener dobleces y cúspides, pero el contorno en sí es suave.

Los puntos de corte en la proyección ocurren donde la línea tangente del contorno es colineal al vector

Para construir la proyección de la línea de croquis, construiremos su polígono, cuya proyección tomaremos como proyección de la línea de croquis.

Proyecciones centrales.

Las líneas de contorno en las proyecciones centrales satisfacen la ecuación

(9.5.7)

donde - normal de superficie - vector de radio del punto de observación. La línea de boceto para la proyección central es diferente de la línea de boceto para la proyección paralela, aunque los algoritmos para su construcción son similares. En lugar de un vector constante, (9.5.7) contiene un vector cuya dirección depende del punto proyectado. La línea de contorno de la proyección central también representa una cierta curva en la superficie, descrita por dependencias (9.5.3), y es una curva espacial. Esta línea debe proyectarse sobre el plano de acuerdo con las reglas para construir la proyección central de la línea espacial.

En la Fig. 5 muestra una proyección paralela de las líneas del contorno del toro, y en la Fig. 9.5.6 a modo de comparación, se muestra la proyección central de las líneas del contorno del toro. Como puede ver, estas proyecciones son diferentes.

Arroz. 9.5.5. Proyección paralela de líneas de contorno de toro.

Arroz. 9.5.6. Proyección central de las líneas de contorno del toro.

El algoritmo para construir líneas de contorno para la proyección central de una superficie descrita por un vector de radio difiere del algoritmo para construir líneas de contorno para una proyección paralela de esta superficie en que en la primera etapa buscaremos puntos de superficie en los que el producto escalar signo de cambios. Para determinar estos puntos, en lugar de las fórmulas (9.5.4) y (9.5.5), se deben usar las fórmulas

y fórmulas

respectivamente. De lo contrario, el algoritmo para construir líneas de croquis para la proyección central de la superficie no difiere del algoritmo para construir líneas de croquis para proyección paralela.

Objeto del trabajo:

1. Adquisición de habilidades en la representación espacial, permitiendo una dirección y un eje dados para construir un contorno de la superficie de revolución.

2. Adquisición de habilidades para encontrar proyecciones de puntos pertenecientes a la superficie.

1. Basado en el determinante (guía) dado de la superficie, construya el contorno de la superficie.

2. Establecer de forma independiente los datos iniciales de una de las proyecciones de seis puntos pertenecientes a la superficie construida. Muestre diferentes casos: los puntos pertenecen a líneas de contorno y superficies en general.

3. Construya las proyecciones faltantes de cada uno de los seis puntos pertenecientes a la superficie y designelas.

Las opciones de trabajo se muestran en la Tabla 1 en las páginas 8-12. El número de la variante de la tarea corresponde al número ordinal del apellido del alumno en la lista de grupo.

Superficie de revolución Se llama superficie formada por la rotación de alguna línea (generatriz) alrededor de un eje.

Algoritmo para construir el contorno de la superficie de revolución:

1. Seleccione una fila discreta de puntos en el generador.

2. Construya paralelos pasando por los puntos seleccionados.

3. Conecte las posiciones extremas de los puntos en los paralelos con una línea curva suave.

Un ejemplo de construcción de un contorno de una superficie de revolución.

1. Dibujamos una garganta paralela que pasa por el punto 1, que está cerca del eje i. Los puntos 1 'y 1' 'ocuparán posiciones extremas cuando el punto 1 se gira alrededor del eje.

2. Seleccione los puntos 2 y 3 y dibuje paralelos que los atraviesen. También puede seleccionar el punto 4 de la generatriz, donde las líneas de contorno tocarán el generador.

3. En la proyección frontal, el contorno de un hiperboloide de una hoja es la hipérbola, y en la proyección horizontal, la garganta y el paralelo más grande.

4. Los puntos que se encuentran en la superficie se construyen utilizando paralelos. Por ejemplo, en una proyección horizontal, se especifica el punto A (A1). Es necesario construir su proyección frontal, siempre que el punto A pertenezca a la superficie de revolución. Construimos un paso paralelo por el punto A en la proyección horizontal y su proyección frontal. Usando la línea de comunicación de proyección, encontramos la proyección frontal del punto A (A 2).

Tabla 1 Variantes de la tarea "Construcción de un contorno de superficie":

Tabla 1 (continuación)

Tabla 1 (continuación)

Tabla 1 (continuación)

Tabla 1 (continuación)

TEMA 2 CONSTRUCCIÓN DE TIPOS

Objeto del trabajo:

1. Estudio y aplicación práctica de las reglas para representar objetos: vistas de construcción de acuerdo con GOST 2.305–68.

2. Adquisición de habilidades en representación espacial, permitiendo que la imagen axonométrica de un objeto represente su forma, la posición relativa de las partes y la orientación relativa a los planos de proyección.

3. Adquisición de habilidades en la imagen axonométrica de la construcción de los tres tipos principales de la asignatura.

4. Desarrollo de habilidades para dimensionar piezas de acuerdo con GOST 2.307–68.

REGLAS GENERALES DE DIBUJO

Formatos

Las designaciones y los tamaños de los formatos están determinados por las dimensiones del marco exterior y deben cumplir con la norma (Tabla 2).

Tabla 2

Todos los formatos excepto A4 se pueden colocar tanto vertical como horizontalmente. El formato A4 se encuentra solo verticalmente .

Cada dibujo tiene un marco interior que limita el campo de dibujo y se aplica con una línea principal sólida con un grosor de S = 0,8 - 1 mm. El campo del lado izquierdo del formato está destinado a archivar y encuadernar dibujos (Fig. 2).

Inscripción principal

En los dibujos, es necesario completar la inscripción principal que contiene información sobre el producto representado e información sobre quién hizo este dibujo. El bloque de título se encuentra en la esquina inferior derecha.

1 - el nombre del producto o el nombre del tema en estudio.

2 - designación del documento;

3 - escala;

4 - el número de serie de la hoja (la columna no se completa en los documentos ejecutados en una hoja);

5 - el número total de hojas del documento (la columna se completa en la primera hoja);

6 - carta del documento;

7 - apellidos;

8 - firmas;

9 - fecha de firma del documento;

10 - nombre, índice de la empresa;

11 – designación del material (rellenado en los dibujos de las piezas).

Todas las columnas, excepto las firmas y las fechas, así como las columnas de la página de título, se rellenan con lápiz, fuente estándar (cláusula 2.1.5 "Fuentes de dibujo"). Es necesario prestar atención al hecho de que hay líneas principales y delgadas en la imagen del bloque de título.

La escala

La escala de las imágenes y su designación en los dibujos marca la pauta.

La escala es la relación entre las dimensiones lineales de la imagen de un objeto en el dibujo y las verdaderas dimensiones lineales del objeto.

Dependiendo de la complejidad del objeto representado, sus imágenes en los dibujos se pueden realizar tanto en tamaño completo como con una disminución o un aumento (Tabla 3).

Tabla 3

Líneas

Los contornos, espesores y propósitos principales de los nueve tipos de líneas utilizados en los dibujos están establecidos por el estándar. Hay seis tipos de líneas que se utilizan con más frecuencia en los dibujos de los tutoriales.

Principal sólido grueso. Espesor s ≈ 0,5 ... 1,4 mm. Objeto: la imagen de las líneas del contorno visible, el marco interior del dibujo, etc.

Línea delgada y sólida. Espesor de s / 3 a s / 2. Propósito: la imagen de las curvas de nivel de la sección superpuesta, líneas de dimensión y extensión, líneas de rayado, etc.

Línea delgada punteada con guiones. Espesor de s / 3 a s / 2. Objeto: imagen de líneas axiales y centrales, etc.

Linea discontinua... Ancho de línea de s / 3 a s / 2. Propósito: la imagen de las líneas del contorno invisible.

Línea ondulada sólida. Ancho de línea de s / 3 a s / 2. Objeto: la imagen de las líneas de recorte, líneas de demarcación de la vista y sección.

Linea Abierta. Ancho de línea de sa 1,5 s. Objeto: la imagen de las posiciones de los planos de sección de cortes y secciones simples y complejas.

Tenga en cuenta que las líneas de puntos y guiones que se utilizan como líneas centrales deben cruzarse entre sí con trazos largos. Se recomienda reemplazar la línea de puntos y trazos utilizada como línea central de un círculo con un diámetro inferior a 12 mm por una línea delgada y sólida.

Fuentes de dibujo

El tamaño de la fuente está determinado por la altura de las letras mayúsculas (mayúsculas). Se establecen los siguientes tamaños de fuente: 2.5; 3,5; 5; 7; diez; 14. El ancho de la letra se define en relación con el tamaño de la fuente o en relación con el grosor de la línea del trazo. D(figura 4).

El estándar especifica los siguientes tipos de fuentes:

tipo A sin inclinación ( d = h / 14);

tipo A con una pendiente de aproximadamente 75˚ ( d = h / 14);

tipo B sin inclinación ( d = h / 10);

tipo B con pendientes de aproximadamente 75˚ ( d = h / 10).

La forma y construcción de los números arábigos del tipo B con una inclinación se muestran en la Fig. 5.

La forma de las letras mayúsculas con una inclinación del alfabeto ruso (cirílico) se muestra en la Fig. 6. El ancho de la letra depende no solo del tamaño de la fuente, sino también del diseño de la letra en sí.

La forma y construcción de las letras minúsculas del alfabeto ruso de tipo B con una inclinación se muestran en la Fig. 7.

CONSTRUCCIÓN DE ESPECIES

Instrucciones metódicas para la implementación:

Las imágenes de objetos deben realizarse utilizando el método de proyección rectangular. En este caso, se supone que el objeto está ubicado entre el observador y el plano de proyección correspondiente (Fig. 9).

La imagen en el plano frontal de proyecciones, plano 1, se toma como vista principal en el dibujo (Fig. 10).

Los siguientes nombres de las vistas obtenidas en los planos principales de proyección ( tipos principales , arroz. 9 y 10):

El objeto se coloca en relación con el plano frontal de las proyecciones P2 de modo que la imagen en él da la imagen más completa de la forma y el tamaño del objeto.

Todos los tipos (proyecciones del objeto) están en comunicación de proyección (7 - líneas de comunicación (Fig. 9 y 10)). En este caso, los nombres de las vistas en los dibujos no deben etiquetarse. Si las vistas desde arriba, a la izquierda, a la derecha, desde abajo, desde atrás están desplazadas con respecto a la imagen principal (que se muestra en el plano frontal de las proyecciones), entonces deben marcarse en el dibujo con una inscripción de tipo "A" (Fig. 11).

La dirección de visión debe indicarse mediante una flecha marcada con una letra mayúscula (fig. 12).

Tabla 4. Variantes de la tarea "Creación de vistas":

Tabla 4 (continuación)

Tabla 4 (continuación)

Concepto de superficie

SUPERFICIES

En geometría descriptiva, las superficies se consideran como un conjunto de posiciones sucesivas de una determinada línea que se mueve en el espacio de acuerdo con una determinada ley. Este método de formación de superficies se llama cinemático.

Una línea (curva o recta) se mueve en el espacio de acuerdo con una determinada ley y crea una superficie. Se llama generatriz. Durante la formación de la superficie, puede permanecer sin cambios o cambiar su forma. La ley de desplazamiento de la generatriz se especifica en forma de un conjunto de líneas e indicaciones de la naturaleza del desplazamiento de la generatriz. Estas líneas se denominan pautas.

Además del método cinemático, se puede especificar la superficie

· Analíticamente, es decir, se describe mediante una expresión matemática;

· Método de estructura alámbrica, que se utiliza al definir superficies complejas; una estructura alámbrica de superficie es un conjunto ordenado de puntos o líneas que pertenecen a una superficie.

Para definir una superficie en un dibujo complejo, basta con tener elementos de superficie en ella que le permitan construir cada uno de sus puntos. La colección de estos elementos se denomina determinante de superficie.

El identificador de superficie consta de dos partes:

· La parte geométrica, que incluye elementos geométricos constantes (puntos, líneas) que participan en la formación de la superficie;

· La parte algorítmica, que establece la ley de movimiento del generador, la naturaleza del cambio en su forma.

En forma simbólica, el determinante de la superficie F se puede escribir en la forma: F (Г) [A], donde Г es la parte geométrica del determinante, A es la parte algorítmica.

Para distinguir un determinante cerca de la superficie, se debe partir del método cinemático de su formación. Pero dado que muchas superficies idénticas se pueden obtener de diferentes formas, tendrán diferentes determinantes. A continuación consideraremos las superficies más comunes de acuerdo con los criterios de clasificación, agradables en el curso de la geometría descriptiva.

Para definir una superficie en un dibujo complejo, basta con indicar las proyecciones no de todo el conjunto de puntos y líneas pertenecientes a la superficie, sino solo de las figuras geométricas que forman parte de su determinante. Este método de definir la superficie le permite construir proyecciones de cualquiera de sus puntos. Especificar una superficie mediante proyecciones de su determinante no aporta claridad, lo que dificulta la lectura del dibujo. Para mejorar la claridad, si es posible, las líneas de boceto (bocetos) de la superficie se indican en el dibujo.

Cuando cualquier superficie W se proyecta paralela al plano de proyección S, entonces las líneas de proyección tangentes a la superficie W , formar una superficie cilíndrica (Figura 11.1). Estas líneas rectas proyectadas tocan la superficie W en puntos que forman una línea m, que se llama línea de contorno.

La proyección de la línea de contorno m sobre el plano S - m / se denomina contorno de la superficie. El contorno de la superficie separa la proyección de la superficie del resto del plano de proyección.

La línea de contorno de la superficie se utiliza para determinar la visibilidad de puntos en relación con el plano de proyección. Entonces, en la fig. 11.1 serán visibles las proyecciones de puntos de la superficie W ubicados a la izquierda del contorno m en el plano S. Las proyecciones del resto de puntos de la superficie serán invisibles.

Ensayos

Al definir un objeto con aristas curvas para proyección, además de definir un conjunto de puntos, aristas y caras del objeto de proyección, es necesario definir un conjunto de contornos para sus aristas curvas.

Los bocetos de superficie curva son líneas en esa superficie curva que dividen la superficie en partes que no son visibles y partes que son visibles en el plano de proyección. En este caso, estamos hablando de la proyección de solo la superficie curva considerada y no tiene en cuenta el posible sombreado de esta superficie por otras superficies de primer plano.

Las partes en las que los bocetos están divididos por una superficie curva se denominan compartimentos.

La posición de los bocetos de los bordes curvos está determinada por los parámetros de proyección, por lo tanto, los bocetos deben determinarse después de que se complete la transición al sistema de coordenadas de la especie.

Determinar el contorno de una superficie curva, en el caso general, es una tarea relativamente difícil. Por lo tanto, como regla general, una superficie curva determinada se aproxima utilizando una de las superficies curvas típicas, que incluyen:

Superficie cilíndrica;

Superficie esférica;

Superficie cónica.

Considere buscar bocetos para este tipo de superficies curvas.

Hallazgo contornos de una superficie esférica ilustrado en la Fig. 6.6-7.

La figura utiliza las siguientes designaciones:

О - el centro de la esfera;

О п - proyección del centro de la esfera;

GM es el meridiano principal de una esfera determinada;

Pl1 - plano que pasa por el centro de la esfera, paralelo al plano de proyección;

X in, Y in, Z in - ejes de coordenadas del sistema de coordenadas de la vista;

X p, Y p - ejes de coordenadas en el plano de proyección.

Para encontrar el contorno en la superficie de la esfera, es necesario dibujar un plano a través del centro de la esfera (pl1 en la figura 6.6-7), paralelo al plano de proyección. La línea de intersección de esta superficie y la esfera, que tiene la forma de un círculo, se denomina meridiano principal (GM) de la superficie esférica. Este meridiano principal es el contorno deseado.

La proyección de este contorno será un círculo con el mismo radio. El centro de este círculo es la proyección del centro de la esfera original sobre el plano de proyección (O p en la figura 6.7-1).

Arroz.6.7 ‑ 1

Para determinar contorno de una superficie cilíndrica, a través del eje del cilindro dado o 1 o 2 (figura 6.7-2) se dibuja el plano Pl1, perpendicular al plano de proyección. Además, a través del eje del cilindro, se dibuja el plano Pl2, perpendicular al plano Pl1. Sus intersecciones con la superficie cilíndrica forman dos líneas rectas o h 1 och 2 y o h 3 o h 4, que son los contornos de la superficie cilíndrica. Las proyecciones de estos bocetos son líneas rectas de 1p och 2p y o h 3p o h 4p, que se muestran en la Fig. 6.7-2.

Construcción de ensayos superficie cónica ilustrado en la Fig. 6.7-3.

En la figura, se adoptan las siguientes designaciones:

O es la parte superior del cono;

OO 1 - eje del cono;

X in, Y in, Z en - sistema de coordenadas de especies;

PP - plano de proyección;

X p, Y p, - sistema de coordenadas del plano de proyección;

Лп - líneas de proyección;

O 1 - el centro de la esfera inscrito en el cono;

O 2 - un círculo tangente a la esfera inscrita, que tiene un centro en el punto O 1 y la superficie cónica original;

O h 1, O h 1 - puntos que se encuentran en los contornos de la superficie cónica;

O h 1p, O h 1p son los puntos por donde pasan las líneas correspondientes a las proyecciones de los contornos de la superficie cónica.

La superficie cónica tiene dos contornos en forma de líneas rectas. Obviamente, estas líneas pasan por los vértices del cono - punto O. Para definir el contorno de forma inequívoca, por lo tanto, es necesario encontrar un punto para cada contorno.

Para construir contornos de una superficie cónica, realice los siguientes pasos.

Se inscribe una esfera en una superficie cónica determinada (por ejemplo, con un centro en el punto O 1) y se determina la tangente de esta esfera con una superficie cónica. En el caso considerado en la figura, la recta tangente tendrá la forma de un círculo con el centro en el punto O 2 sobre el eje del cono.

Obviamente, de todos los puntos de una superficie esférica, los puntos pertenecientes a contornos solo pueden ser puntos pertenecientes a un círculo tangente. Por otro lado, estos puntos deben ubicarse en la circunferencia del meridiano principal de la esfera inscrita.

Por tanto, los puntos de intersección del círculo del meridiano principal de la esfera inscrita y el círculo-tangente serán los puntos requeridos. Estos puntos pueden definirse como los puntos de intersección del círculo tangente y el plano que pasa por el centro de la esfera inscrita O 1 paralela al plano de proyección. Tales puntos en la figura son O h 1 y O h 2.

Para construir las proyecciones de croquis, basta con encontrar los puntos O h 1p y O h 2p, que son las proyecciones de los puntos encontrados O h 1 y O h 2 en el plano de proyección y, utilizando estos puntos y el punto O n de la proyección del vértice del cono, construya dos líneas rectas correspondientes a las proyecciones de los contornos de una superficie cónica determinada (véase la figura 6.7-3).

Ministerio de Educación de la Federación de Rusia

Universidad Técnica Estatal de Saratov

SUPERFICIES

Instrucciones metódicas para completar la tarea 2

para estudiantes de especialidades
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Aprobado

Consejo editorial

Estado de Saratov

Universidad Tecnica

Saratov 2003

INTRODUCCIÓN

En la práctica de la ingeniería mecánica, las piezas con superficies cilíndricas, cónicas, esféricas, toroidales y de tornillo están muy extendidas. Las formas técnicas de los productos son a menudo una combinación de superficies de revolución con ejes coincidentes, que se cruzan y que se cruzan. Al hacer dibujos de tales productos, es necesario representar líneas de intersección de superficies, también llamadas líneas de transición.

Una forma común de dibujar líneas de intersección es ubicar los puntos de la línea usando algunos planos o superficies de recorte de construcción, a veces llamados "mediadores".

En estas pautas, se consideran casos generales y especiales de construcción de líneas de intersección de dos superficies y métodos de construcción de superficies desplegadas.

1. DISPOSICIONES BÁSICAS.

En geometría descriptiva, una superficie se considera como un conjunto de posiciones sucesivas de una línea que se mueve en el espacio, llamada generatriz.

Si una de las líneas de la superficie se toma como guía q y moverse a lo largo de ella de acuerdo con una cierta ley el generador l, obtenemos una familia de generadores de superficie que definen la superficie (Fig. 1).

Para definir una superficie en un dibujo, se introduce el concepto de determinante de superficie.

Un determinante es un conjunto de condiciones necesarias y suficientes para una definición inequívoca de una superficie.

El determinante consta de una parte geométrica que contiene figuras geométricas y una ley de formación de superficies. Por ejemplo, la parte geométrica de la figura determinante a (yoq) en la Fig.1 son el generador l y guiar q, cuya posición se especifica en el dibujo. Ley de educación: recta l moviéndose en el espacio, siempre toca q mientras se mantiene paralelo a la dirección S... Estas condiciones definen de forma única una superficie cilíndrica. Para cualquier punto del espacio, puedes resolver la cuestión de pertenecer a su superficie. (AÎ a, enÏ a).

Parte geométrica del determinante de la superficie cónica B (q,S) consta de una guía q y tops S(Figura 2). La ley de formación de una superficie cónica: línea generadora l q, siempre pasa por la cima S, formando un conjunto continuo de líneas rectas sobre una superficie cónica.

Las superficies obtenidas por movimiento continuo se denominan cinemáticas. Estas superficies son precisas, regulares, en contraposición a irregulares o aleatorias.

Las superficies formadas por el movimiento de una línea recta se llaman regladas, una línea curva, no lineal.

De acuerdo con la ley de movimiento de la generatriz, se distinguen superficies con desplazamiento de traslación de la generatriz, con movimiento de rotación de la generatriz - superficies de revolución, con movimiento helicoidal de la generatriz - superficies de tornillo.

Las superficies se pueden definir mediante wireframes. Una estructura alámbrica es una superficie que está definida por una serie de líneas que pertenecen a dicha superficie (Fig. 3).

Conociendo las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas, puede construir un dibujo de la superficie de la estructura alámbrica.

1.2. Superficies de revolución.

Las superficies de revolución están muy extendidas entre las superficies curvas. La superficie de revolución es la superficie obtenida por la rotación de cualquier generatriz alrededor de una línea recta fija: el eje de la superficie.

La superficie de revolución se puede formar girando una línea curva (esfera, toro, paraboloide, elipsoide, hiperboloide, etc.) y girando una línea recta (cilindro de revolución, cono de revolución, hiperboloide de revolución de una hoja).

De la definición de superficie de revolución se deduce que la parte geométrica del determinante a (I,l) superficies de revolución a debe constar de un eje de rotación I y generando l... Ley de formación de superficies, rotación l alrededor I permite construir un conjunto continuo de posiciones sucesivas de la generatriz de la superficie de revolución.

De las muchas líneas que se pueden dibujar en superficies de revolución, los paralelos (ecuador) y los meridianos (primer meridiano) ocupan una posición especial. El uso de estas líneas simplifica enormemente la solución de problemas posicionales. Consideremos estas líneas.

Cada punto de la generatriz l(Fig.4) describe alrededor del eje I un círculo que se encuentra en un plano perpendicular al eje de rotación. Este círculo se puede representar como una línea de intersección de una superficie por un cierto plano. (B) perpendicular al eje de la superficie de revolución. Estos círculos se denominan paralelos. (R)... El mayor de los paralelos se llama ecuador, el más pequeño se llama garganta.

Arroz. 5 Fig. 6

En la Fig. 5 paralelo REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES puntos A- ecuador, paralelo PB puntos R- superficie de la garganta.

En caso de que el eje de la superficie I es perpendicular al plano de proyección, entonces el paralelo se proyecta sobre este plano mediante un círculo en el valor real (P1A), y en un plano de proyección paralelo al eje - una línea recta (P2A) igual al diámetro del paralelo. En este caso, se simplifica la solución de problemas posicionales. Al vincular cualquier punto de la superficie (por ejemplo CON) con un paralelo, puede encontrar fácilmente la posición de las proyecciones del paralelo y un punto en él. En la Fig. 5 proyección C2 puntos CON perteneciente a la superficie a, usando el paralelo Rs proyección horizontal encontrada C1.

El plano que pasa por el eje de rotación se llama meridional. En la Fig. 4 es un avión gramo... La línea de intersección de la superficie de revolución con el plano meridiano se denomina meridiano de superficie. Un meridiano que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyecciones se denomina principal ( m0 en la Fig. 4.5). En esta posición, el meridiano se proyecta sobre el plano P2 sin distorsión, pero en P1- línea recta paralela al eje X12... Para un cilindro y un cono, los meridianos son líneas rectas.

Ecuador P2(fig.6) y meridianos principales (metro) delimitar la superficie en partes visibles e invisibles.

En la Fig. 6 superficie ecuatorial a obtenido como resultado de seccionar una superficie con un plano d (P =a∩D), y el meridiano principal es el plano gm =a∩gramo).

1.3. Boceto de superficie.

Una superficie de proyección que se ajusta a una superficie determinada interseca el plano de proyección a lo largo de una línea denominada contorno de proyección de superficie. En otras palabras, un contorno de superficie es una línea que delimita la figura proyectada del resto del espacio de dibujo. Para construir un croquis, es necesario construir los generadores de croquis de límites extremos. Los generadores de croquis se encuentran en un plano paralelo al plano de proyección.

Cualquier meridiano de la superficie de revolución puede tomarse como generatriz. La construcción del contorno se simplificará si tomamos el meridiano principal como generador, ya que el meridiano principal es una curva plana (línea recta) paralela al plano de proyección y proyectada sobre él sin distorsión.

Ejemplo 1. Cilindro a a (I,l)... Construya el contorno de la superficie (Fig. 7).

Con esta disposición del eje I el contorno horizontal es un círculo de radio R (R =i1l1)... Dibujemos a través del eje I plano meridiano b || P2... Para construir el contorno frontal, encontraremos las proyecciones horizontales de los contornos de las generatrices, que se encuentran en el plano del meridiano principal. (l1 ',l1 ") y a partir de ellos definimos las proyecciones frontales l2 ' y l2 ".

Proyección frontal del meridiano principal de las generatrices del contorno del cilindro l2 ' y l2 "... El rectángulo es el contorno frontal de la superficie.

Ejemplo 2. Cono a dado por la parte geométrica del determinante a (I,l)... Construya el contorno de la superficie (Fig. 8).

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Desde la posición de las formas geométricas. l, I en la Fig. 9 que la superficie dada es un hiperboloide de revolución de una hoja. Cada punto de la generatriz (A B C etc. ) al girar alrededor de un eje I describe un círculo (paralelo). A I ^ P1 en el avión P1 los paralelos se proyectan mediante círculos con un radio igual al valor real del radio paralelo. Punto CON en el generador l describe el paralelo más pequeño: el paralelo de la garganta. Esta es la distancia más corta entre el eje de rotación y la generatriz. l... Encontrar Rc dibujar una perpendicular desde I Para l1. i1C1 =Rc Es el radio de la superficie de la garganta.

La proyección horizontal del hiperboloide representará tres círculos concéntricos.

El contorno frontal de la superficie debe tener el contorno de su meridiano principal.

Dibujemos a través del eje I plano meridional principal B y construir proyecciones horizontales de los paralelos de puntos A B C... Los paralelos se intersecan con el plano B en los puntos A ', B', C 'pertenecientes al meridiano principal de la superficie. Un conjunto continuo de estos paralelos forma la estructura alámbrica de la superficie y los puntos de intersección con el plano. B- meridiano principal m0 superficie. El meridiano principal se puede dibujar como un desvío de los puntos de intersección de los paralelos con el plano. B... La figura muestra la construcción de un punto. CON y D.

Ejemplo 4. Construya un boceto de un cilindro inclinado a (yometro)... Generador del cilindro l moviéndose a lo largo de la guía metro, permanece paralelo a sí mismo. El contorno de la superficie se traza en la Fig. 10. Cualquier punto de la superficie del cilindro se determina dibujando una generatriz a través de él ("conecta" un punto con un generador). En la Fig. 10a punto de proyección frontal A2 perteneciente a la superficie, se encuentra su proyección horizontal A1.

1.4. Superficies regladas con un plano de paralelismo.

Las superficies regladas con un plano de paralelismo se forman moviendo una generatriz recta a lo largo de dos guías. En este caso, el generador en todas sus posiciones conserva el paralelismo de algún plano dado, llamado plano de paralelismo.

Parte geométrica del determinante a (metro,norte,B) tal superficie a contiene dos guías y un plano de paralelismo. Dependiendo de la forma de las guías, estas superficies se dividen en: cilindroides - ambas curvas de guía; conoides - una guía - recta, una - curva; plano oblicuo: ambas guías son líneas rectas.

Ejemplo: construir una estructura alámbrica de superficie a (metro,norte,B)(Figura 10b).

En este caso, el plano horizontal de proyecciones se toma como plano de paralelismo. Generando línea, cruzando la curva metro y recto norte, en cualquier posición permanece paralelo al plano P1.

Cualquier plano paralelo al plano de paralelismo interseca estas superficies en línea recta. Por lo tanto, si se requiere construir cualquier generatriz de la superficie, es necesario diseccionar la superficie con un plano (por ejemplo B) paralelo al plano de paralelismo, encuentre los puntos de intersección de las líneas guía de la superficie con este plano (b∩n = 1;b∩m = 2; arroz. 10b) y trazar una línea recta a través de estos puntos.

Para construir un conoide en la Fig. 10b, puede prescindir de planos secantes auxiliares, ya que las proyecciones frontales de las generatrices deben ser paralelas al eje X12... La densidad de las líneas del marco en la proyección frontal se establece arbitrariamente. Construimos proyecciones horizontales de los generadores dados a lo largo de la línea de comunicación utilizando la propiedad de pertenencia.

Si necesitas encontrar la proyección de un punto A dado por la proyección A2, es necesario cortar la superficie con un plano gramo pasando por el punto A y paralelo al plano de paralelismo (en la figura 10b g // P1), encuentre la generatriz como la línea de intersección del plano gramo con superficie a (a∩g = 3, 4), en la proyección frontal 32, 42 encuentre la horizontal 31, 41 y en ella determine A1.

1.5. Creación del punto de encuentro de la línea con la superficie.

Encuentra el punto de encuentro de la curva l con superficie a (P,S).

Solución 1. Dibuja la curva l(fig.11) a la superficie de proyección auxiliar B^P1... Proyección b1 coincide con la proyección l1... 2. Construir una línea de intersección a superficie α con superficie b ′, (αÇ b = e)... Proyección horizontal de esta línea a1 conocido, coincide con b1... Proyección horizontal a1 construimos una proyección frontal a2(Fig.1 Determine el punto deseado en la intersección de la curva l con superficie a .. K =lÇ a hay un punto de encuentro l y a... Un lado l y a pertenecer B y lÇ a = k... Con otro aÌ a, por eso ParaÌ α , es decir Para hay puntos de encuentro l con superficie α .

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1.6. Crea una línea de intersección de superficies.

Al resolver el problema de construir una línea de intersección de una superficie con otra, se utiliza el método de sección, el método principal para resolver problemas de posición. En este caso, las superficies especificadas se cortan mediante planos auxiliares o superficies curvas (por ejemplo, esferas).

Las superficies secantes auxiliares a veces se denominan "intermediarios".

1.5.1. Caso general.

En el caso general, para resolver el problema de determinar la línea de intersección de dos superficies, se puede colocar una familia de generadores en una de las superficies (Fig.12), encontrar el punto de encuentro de estos generadores con la segunda superficie según el algoritmo para resolver el problema de la Fig. 11, y luego hacer un esquema de los puntos de encuentro.

Aplicando este método para construir líneas de intersección de dos superficies curvas, podemos usar planos auxiliares o superficies curvas como "mediadores" secantes.

Si es posible, debe elegir superficies auxiliares que, en la intersección con las dadas, den líneas fáciles de dibujar (líneas rectas o círculos).

1.5.2. Los ejes de las superficies de revolución coinciden
(superficies coaxiales).

En la Fig. 13 superficies a y B dado por un eje común I y los meridianos principales m0m0 ’.

Los meridianos principales se cruzan en un punto A (B)... Punto A (B) la intersección de los meridianos al girar alrededor del eje describirá el paralelo R, que pertenecerá a ambas superficies, por tanto, será su línea de intersección.

Así, dos superficies coaxiales de revolución se cruzan en paralelo, que describen los puntos de intersección de sus meridianos. En la Fig. 13 ejes de superficies son paralelos P2... En el plano de proyección al que los ejes de las superficies son paralelos, la línea de intersección P2 se proyecta una línea recta, cuya posición está determinada por los puntos de intersección de los meridianos principales A y V.

1.5.3. Método del plano de sección.

En el caso de que los ejes de las superficies de revolución sean paralelos, las construcciones más sencillas se obtienen al utilizar planos de corte como intermediarios. En este caso, los planos secantes auxiliares se seleccionan de modo que intersequen ambas superficies en círculos.

En la Fig. 14 están dados por croquis de la proyección de dos superficies de revolución α y B, sus hachas I y j son paralelos. En este caso, el uso de planos de corte perpendiculares a los ejes de las superficies da una solución simple al problema. Las líneas resultantes de intersección de superficies serán paralelas, cuyas proyecciones frontales son líneas rectas iguales al diámetro del paralelo y las proyecciones horizontales de un círculo en tamaño completo.

Al dibujar los puntos de las líneas de intersección, primero debe encontrar el ancla y los puntos clave. Los puntos de pivote son los puntos que se encuentran en el meridiano principal (3) y el ecuador (4, 5). Encontrar estos puntos no está asociado con construcciones adicionales y se basa en el uso de propiedades de pertenencia.

Dado en la Fig. 14 superficies tienen un plano común del meridiano principal, sus ejes ^ P1, las bases se encuentran en el avión P1... Los puntos de anclaje de la línea de intersección son el punto 3 de la intersección de los meridianos principales y los puntos 4 y 5 de la intersección de los paralelos de las bases de las superficies. Usando las propiedades de pertenencia, de las proyecciones conocidas 32, 41 y 51, encontramos 31, 42 y 52.

El resto de puntos de intersección se encuentran mediante planos de corte auxiliares. Cortamos las superficies α y B plano horizontal gramo... Porque gramo^ ejes I y j, luego superficies α y B intersecar en avión gramo, en paralelo Real academia de bellas artes y RB... Y desde los ejes I y j^P1, entonces estos paralelos se proyectan en P1 circulos Real academia de bellas artes, RB en valor real, y por P2 derecho P2a, P2B igual al diámetro del paralelo.

Los puntos de intersección de los paralelos 1 y 2 son los deseados. De hecho, en un lado del paralelo Real academia de bellas artes y RB pertenecen al mismo plano gramo y se cruzan en los puntos 2 y 1 en el otro - Real academia de bellas artes y RB pertenecen a diferentes superficies α y B... Por tanto, los puntos 2 y 1 pertenecen simultáneamente a las superficies a y B, es decir, son los puntos de la línea de intersección de superficies. Las proyecciones horizontales 21 y 11 de estos puntos están en la intersección P1a, Р1B, y los frontales se construyen utilizando la propiedad de pertenencia.

Repitiendo esta técnica, obtenemos el número requerido de puntos. Los planos de corte se distribuyen uniformemente en el intervalo desde el punto de mayor elevación de la curva 32 hasta la figura principal.

El número de puntos de la línea de intersección y, en consecuencia, de los planos de corte está determinado por la precisión requerida de las construcciones gráficas. Las proyecciones de la línea de intersección se dibujan como contornos de las proyecciones de sus puntos. En la Fig. 14 línea por los puntos 4, 1, 3, 2, 5.

El ejemplo considerado de resolución de problemas se denomina método de corte de planos.

1.5.4. El camino de las esferas.

Esta técnica se utiliza cuando los ejes de las superficies de revolución se cruzan. Se basa en el considerado en la Fig. 13 el caso de la intersección de superficies coaxiales.

En la Fig. 15 muestra un cono y un cilindro con ejes que se cruzan I y j... Sus ejes son paralelos al plano P2... El plano del meridiano principal es común en ambas superficies.

). La construcción se simplifica debido a que el plano del meridiano principal es común. Los círculos a lo largo de los cuales la esfera interseca dos superficies simultáneamente ( Ra, Pb PB "), se proyecta sobre el avión P2 en forma de líneas rectas ( P2a, P2b, P2B ") igual a los diámetros de los paralelos.

En la intersección de estos círculos se obtienen los puntos (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), comunes a ambas superficies y, por tanto, pertenecientes a la línea de intersección. Verdaderamente paralelos Ra, Pb, PB ", por un lado, pertenecen a una superficie: una esfera y tienen puntos comunes (5, 6, 7, 8), por otro lado, pertenecen a diferentes superficies a y B... Es decir, los puntos 5, 6, 7, 8 pertenecen a ambas superficies o la línea de intersección de superficies.

Se dibujan varias esferas para obtener suficientes puntos para dibujar la línea de intersección deseada.

El radio de la esfera más grande ( Rmáx) es igual a la distancia desde el centro О2 hasta el punto de intersección más distante de los generadores de contorno (en este caso, los puntos 32 y 42, Rmax = 0232 = 0242. En este caso, ambas líneas de intersección de superficies con una esfera ( Real academia de bellas artes y RB) se intersecará en los puntos 3 y 4 con un radio mayor de la esfera, no habrá intersección.

El radio de la esfera más pequeña ( Rmin) es igual a la distancia desde el centro 02 al generador de bocetos más distante ( Rmin = 02A2). En este caso, la esfera tocará el cono a lo largo de la circunferencia y el cilindro se intersecará dos veces y dará los puntos 5, 6, 7, 8. En un radio más pequeño de la esfera, no habrá intersección con el cono.

Ahora queda dibujar a través de los puntos 1, 5, 4, 6, 1 y 2, 7, 3, 8, 2 líneas curvas de intersección de superficies.

En la Fig. 15 todas las construcciones se realizan en una proyección. El número de esferas secantes, con radios que van desde Rmáx antes de Rmin, depende de la precisión de construcción requerida. La construcción de la proyección horizontal de la línea de intersección se realiza a lo largo del frontal 1, 5, 4, 6, 1 y 2, 7, 3, 8, 2 utilizando la propiedad de pertenencia.

1.5.5. Aplicar el método del plano de recorte
en casos de superficies regladas con un plano de paralelismo.

La parte geométrica del determinante especifica dos superficies: a (yoI) y B (metro,n, A1)... Es necesario construir bocetos de superficies y encontrar la línea de su intersección (Fig. 16).

Solución: 1. Construya el contorno de la superficie. a, n de la parte geométrica del determinante, se ve que la superficie a- esfera. Sus contornos horizontales y frontales son círculos de radio. R... 2. Construimos el marco de la superficie reglada. Dado que el plano es paralelo P1, entonces las proyecciones frontales de las generatrices son paralelas al eje X12... Habiendo establecido el marco de un cierto plano de líneas en la proyección frontal (cuatro líneas en la Fig. 16), construimos proyecciones horizontales de estos generadores. 3. Para construir una línea de intersección de superficies, usamos planos de corte como intermediarios. La posición de los planos de corte debe elegirse de manera que se crucen con las superficies dadas a lo largo de líneas simples de construcción (líneas rectas o círculos). Esta condición se satisface mediante planos horizontales. Los planos horizontales son paralelos al plano de paralelismo del conoide ( P1), por lo que cruzarán el conoide en línea recta. Dichos planos cruzan la esfera en paralelo.

,a" esfera paralela Ra... Proyección frontal paralela ( P2a) una recta igual al diámetro del paralelo, y la proyección horizontal ( Р1a) Es un círculo. En una proyección horizontal en una intersección paralela Р1a y generatriz 1, 11 "está determinada por la proyección de dos puntos de la línea de intersección de la superficie a y B... Por proyecciones horizontales de puntos A1 y EN 1 construimos sus proyecciones frontales. Repitiendo la operación, obtenemos una serie de puntos de la línea de intersección, cuyo trazado dará la línea de intersección.

El ecuador y el meridiano principal de la esfera delimitan la línea en partes visibles e invisibles.

1.6 Barridos de edificios.

Un barrido de superficie es una forma que se obtiene alineando una superficie barrida con un plano.

Se desarrollan superficies que se alinean con el plano sin roturas ni pliegues.

Las superficies desplegables incluyen superficies facetadas, y de las superficies curvas solo cilíndricas, cónicas y torso.

Los barridos se dividen en exactos (barridos de superficies facetadas), aproximados (barridos de un cilindro, cono, torso) y condicionales (barridos de una esfera y otras superficies no desplegables).

1.6.1. Barrido de superficies facetadas.

Realice el desdoblamiento de la pirámide dado por las proyecciones en la Fig.17.

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El método de rodadura es aplicable si los bordes del prisma son paralelos al plano de proyección y se conoce el valor real de los bordes de una de las bases (Fig. 18).

Desenrollar una figura representa el proceso de alinear las caras del prisma con un plano, en el que la verdadera apariencia de cada cara se obtiene girando alrededor de su borde.

Los puntos A, B, C durante el rodamiento se mueven a lo largo de arcos de círculos, que se representan en el plano P2 mediante líneas rectas perpendiculares a las proyecciones de los bordes del prisma. Los vértices de barrido se construyen de la siguiente manera: desde el punto A2 con radio R1 = A1B1 (longitud real AB) hacemos una muesca en la línea B2B0, perpendicular a B2B2 ¢. Desde el punto construido B0 con radio R2 = B1C1, se hace una intersección en la línea recta C2C0 ^ C2C2 ¢. Luego, por la intersección del punto C0 con radio R3 = A1C1 en la línea A2A0 ^ A2A2 ¢. Obtenemos el punto A0. Los puntos A2B0C0A0 están conectados por líneas rectas. A partir de los puntos A0B0C0 dibujamos líneas paralelas a las aristas (A2 A2 ¢), ponemos en ellas los valores reales de las aristas laterales A2A ¢, B2B ¢, C2C ¢. Conectamos los puntos A ¢ B ¢ C ¢ A ¢ por segmentos de línea.

1.6.2. Despliegue de superficies curvas.

Teóricamente, puede obtener un barrido exacto, es decir, un barrido que repite exactamente las dimensiones de la superficie que se está desarrollando. En la práctica, al hacer dibujos, uno tiene que aguantar una solución aproximada al problema, asumiendo que los elementos individuales de la superficie se aproximan por compartimentos planos. En tales condiciones, la implementación de barridos aproximados del cilindro y el cono se reduce a la construcción de barridos de los prismas y pirámides inscritos en ellos (o descritos).

La Figura 19 muestra un ejemplo de cómo realizar un barrido de un cono.

Encajamos una pirámide poliédrica en el cono. Desde el punto S dibujamos un arco con un radio igual al valor real de la generatriz del cono (S212) y colocamos las cuerdas 1121 sobre el arco; 2 arcos de sustitución 1121; 2

Para encontrar cualquier punto en el barrido, es necesario dibujar una generatriz a través de un punto dado (A), encontrar el lugar de esta generatriz en el barrido (2B = 21B1), determinar el verdadero valor del segmento SA o AB y poner en la generatriz en el barrido. Cualquier línea en una superficie consta de un conjunto continuo de puntos. Habiendo encontrado el número requerido de puntos en el barrido de la manera descrita para el punto A y trazando estos puntos, obtenemos una línea en el barrido. Al construir barridos de superficies cilíndricas inclinadas, se aplican los métodos de sección normal y laminación.

Cualquier superficie no desarrollable también puede aproximarse mediante una superficie poliédrica con cualquier precisión dada. Pero el despliegue de dicha superficie no será una figura plana continua, ya que estas superficies no se despliegan sin roturas y pliegues.

1.6.3. Construyendo un plano tangente
a la superficie en un punto dado.

Para construir un plano tangente a la superficie en un punto dado (punto A en la Fig.20), es necesario dibujar dos curvas arbitrarias ayb en la superficie a través del punto A, luego en el punto A para construir dos tangentes t y t ¢ a las curvas ay b. Las tangentes definen la posición del plano tangente a a la superficie b.

La figura 21 muestra una superficie de revolución a. Se requiere dibujar un plano tangente en el punto A perteneciente a a.

Para resolver el problema que pasa por el punto A, dibuje un paralelo ay construya una tangente t a él en el punto A (t1; t2).

Tome el meridiano como la segunda curva que pasa por el punto A. No se muestra en la fig.21. La solución se simplificará si el meridiano, junto con el punto A, se gira alrededor del eje hasta que coincida con el meridiano principal. En este caso, el punto A tomará la posición A ¢. Luego, a través del punto A ¢ dibuje una tangente t ¢ dangerous al meridiano principal hasta que se cruce con el eje en el punto B. Regresando el meridiano a su posición anterior, dibuje una tangente t ¢ a este meridiano a través del punto A y un punto fijo B en el eje de rotación (t1 ¢; t2 ¢). Las tangentes t y t ¢ definen el plano tangente.

Al dibujar un plano tangente a una superficie reglada para una de las tangentes que definen el plano tangente, puede tomar la generatriz t de la superficie (Fig. 22). Como segundo, puede tomar la tangente t ¢ al paralelo (si es un cilindro o cono) o la tangente a cualquier curva trazada a través de un punto dado del plano conoide, cilíndrico u oblicuo. Una curva se puede construir fácilmente cortando la superficie con un plano de proyección que pasa por un punto dado.

2.1. Objeto del trabajo:

Consolidar el material del programa para las secciones "Superficie" y "Barridos" y adquirir habilidades en la resolución de problemas de construcción de croquis, líneas de intersección y barridos de superficies.

2.2. Ejercicio:

En el dibujo se definen dos superficies que se cruzan. Las superficies se especifican mediante proyecciones coordinadas de la parte geométrica del determinante.

Necesario:

Usando las coordenadas de la parte geométrica del determinante, aplique la proyección del determinante en el dibujo, conecte los puntos necesarios para obtener las figuras geométricas del determinante;

Construya bocetos de las superficies dadas de acuerdo con las proyecciones de la parte geométrica del determinante;

Construya una línea de intersección de superficies;

Construya un barrido de una de las superficies con una línea de intersección (según las instrucciones del maestro);

Dibuja un plano tangente a una de las superficies en el punto indicado por el profesor;

Diseño de superficies que se cruzan.

El trabajo se realiza primero en papel cuadriculado en formato A2, luego en papel Whatman en formato A2. El dibujo debe elaborarse de acuerdo con GOST ESKD. La inscripción principal se realiza según el formulario 1.

Al realizar el trabajo, se utilizan conferencias, materiales de ejercicios prácticos y literatura recomendada.

Las opciones para las tareas se dan en el apéndice.

2.3. El orden de la asignación.

El estudiante recibe una variante de la tarea correspondiente a la lista en el diario del grupo y trabaja en la tarea durante cuatro semanas.

Una semana después de recibir el trabajo, el alumno presenta al profesor las construcciones de la parte geométrica de los determinantes y bocetos de las superficies dadas realizadas en papel cuadriculado en formato A2.

Dos semanas después se presenta un dibujo, complementado con la construcción de la línea de intersección de las superficies y el plano tangente.

Durante la tercera semana, el trabajo en papel cuadriculado A4 finaliza con la construcción de un barrido de una de las superficies con el dibujo de la línea de intersección de las superficies.

Durante la cuarta semana se realiza el trazado de las superficies de intersección.

El trabajo realizado se presenta al profesor que dirige la lección práctica. De acuerdo con la construcción realizada en papel cuadriculado, se verifica la asimilación del material estudiado por parte del alumno.

Al resolver el problema posicional de construir una línea de intersección de superficies, se utiliza el método de sección. Los planos o esferas de corte se eligen como "intermediarios". Se debe prestar atención a los casos particulares considerados anteriormente (el método de cortar planos y el método de esferas), que proporcionan la solución más simple al problema. Si es necesario, recurra a una combinación de estos métodos.

Al realizar un barrido de superficie, es necesario estudiar las construcciones realizadas por el método de sección normal y el método de laminación, así como los métodos para construir barridos aproximados y condicionales y utilizar el método más racional en el trabajo.

Al dibujar un plano tangente a una superficie en un punto dado, es suficiente construir dos líneas curvas en la superficie que pasa por el punto, y dibujar tangentes a estas líneas en un punto dado, recordando que la tangente a una línea curva plana es proyectada tangente a su proyección.

LITERATURA.

1. Geometría de Vinitsky. M.: Escuela superior, 1975.

2. Geometría de Gordon. Moscú: Nauka, 1975.

3. Superficies. Instrucciones metódicas. / Compilado por, / Saratov, SSTU, 1990.

OPCIONES DE TRABAJO