Dijimos que una curva algebraica de segundo orden está determinada por una ecuación algebraica de segundo grado con respecto a NS y a... En forma general, dicha ecuación se escribe como

A NS 2 + B hu+ C a 2 + D X+ E y+ F = 0, (6)

además, А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (es decir, al mismo tiempo, los números А, В, С no desaparecen). Términos A NS 2, B hu, CON a 2 se denominan términos superiores de la ecuación, el número

llamado discriminante de esta ecuación. La ecuación (6) se llama ecuación general curva de segundo orden.

Para las curvas consideradas anteriormente, tenemos:

Elipse: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

circulo NS 2 + a 2 = a 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - a 2, d = 1> 0;

Hipérbola: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parábola: a 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Las curvas dadas por la ecuación (6) se denominan central curvas si d¹0. Si d> 0, entonces la curva elíptico escriba si d<0, то кривая hiperbólico escribe. Curvas para las que d = 0 son curvas parabólico escribe.

Está probado que la línea de segundo orden en alguna Un sistema de coordenadas cartesianas viene dado por una ecuación algebraica de segundo orden. Solo en un sistema la ecuación tiene una forma compleja (por ejemplo, (6)), y en el otro es más simple, por ejemplo, (5). Por lo tanto, es conveniente considerar un sistema de coordenadas en el que la curva estudiada se escribe mediante la ecuación más simple (por ejemplo, canónica). La transición de un sistema de coordenadas, en el que la curva viene dada por una ecuación de la forma (6) a otro, donde su ecuación tiene una forma más simple, se llama transformación de coordenadas.

Consideremos los principales tipos de transformaciones de coordenadas.

I. Llevar la transformación ejes de coordenadas (con preservación de dirección). Deje que en el sistema de coordenadas original XOU el punto M tiene coordenadas ( NS, aNS¢, a¢). Se puede ver en el dibujo que las coordenadas del punto M en diferentes sistemas están relacionadas por las razones

(7) o (8).

Las fórmulas (7) y (8) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.

II. Transformación de rotación ejes de coordenadas en un ángulo a. Si el punto M tiene coordenadas ( NS, a), y en el nuevo sistema de coordenadas XO ¢ Y tiene coordenadas ( NS¢, a¢). Entonces la conexión entre estas coordenadas se expresa mediante las fórmulas

, (9)

o

Al transformar las coordenadas, la ecuación (6) se puede reducir a uno de los siguientes canónico ecuaciones.

1) - elipse,

2) - hipérbole,

3) a 2 = 2px, NS 2 = 2RU- parábola

4) a 2 NS 2 – B 2 y 2 = 0 - un par de líneas rectas que se cruzan (Fig. A)

5) y 2 – a 2 = 0 - un par de líneas rectas paralelas (Fig. B)

6) X 2 –a 2 = 0 - un par de líneas rectas paralelas (Fig. C)

7) y 2 = 0 - líneas rectas coincidentes (eje OX)

8) x 2 = 0 - líneas rectas coincidentes (eje OU)

9) una 2 NS 2 + B 2 y 2 = 0 - punto (0, 0)

10) elipse imaginaria

11) años 2 + a 2 = 0 - un par de líneas imaginarias

12) x 2 + a 2 = 0 es un par de líneas imaginarias.

Cada una de estas ecuaciones es una ecuación lineal de segundo orden. Las rectas definidas por las ecuaciones 4-12 se llaman degenerar curvas de segundo orden.

Considere ejemplos de transformación de la ecuación general de una curva a la forma canónica.

1) 9NS 2 + 4a 2 – 54NS + 8a+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4a 2 + 8a) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(a 2 + 2a+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(a+ 1) = 36, Þ

.

Nosotros ponemos NS¢ = NS – 3, a¢ = a+ 1, obtenemos la ecuación canónica de la elipse ... Igualdad NS¢ = NS – 3, a¢ = a+ 1 define la transformación de la transferencia del sistema de coordenadas al punto (3, –1). Habiendo construido los sistemas de coordenadas antiguo y nuevo, no es difícil dibujar esta elipse.

2) 3a 2 +4NS– 12a+8 = 0. Transformamos:

(3a 2 – 12a)+ 4 NS+8 = 0

3(a 2 – 4a+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(a – 2) 2 = – (NS – 1) .

Nosotros ponemos NS¢ = NS – 1, a¢ = a- 2, obtenemos la ecuación de la parábola a¢ 2 = - NS¢. El reemplazo elegido corresponde a la transferencia del sistema de coordenadas al punto O ¢ (1,2).

En este artículo veremos la ecuación general de una línea recta en un plano. Demos ejemplos de cómo construir la ecuación general de una línea recta si se conocen dos puntos de esta línea recta o si se conocen un punto y el vector normal de esta línea recta. Presentamos los métodos para transformar la ecuación en forma general en formas canónicas y paramétricas.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario Oxy... Considere una ecuación de primer grado o una ecuación lineal:

dónde A B C- algunas constantes, y al menos uno de los elementos A y B distinto de cero.

Mostraremos que una ecuación lineal en un plano define una línea recta. Demostremos el siguiente teorema.

Teorema 1. En un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas arbitrario en un plano, cada línea recta se puede especificar mediante una ecuación lineal. A la inversa, cada ecuación lineal (1) en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas arbitrario en un plano define una línea recta.

Prueba. Basta demostrar que la línea L se determina mediante una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, ya que entonces se determinará mediante una ecuación lineal y para cualquier elección de un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas.

Dejemos que se dé una línea recta en el plano L... Elijamos un sistema de coordenadas para que el eje Buey coincidió con una línea recta L y el eje Oy era perpendicular a él. Entonces la ecuación de la línea recta L tomará la siguiente forma:

Todos los puntos en línea recta L satisfará la ecuación lineal (2), y todos los puntos fuera de esta línea recta no satisfarán la ecuación (2). Se demuestra la primera parte del teorema.

Supongamos que se da un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas y se da una ecuación lineal (1), donde al menos uno de los elementos A y B distinto de cero. Encontremos el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1). Dado que al menos uno de los coeficientes A y B difiere de cero, entonces la ecuación (1) tiene al menos una solución METRO(X 0 ,y 0). (Por ejemplo, para A≠ 0, punto METRO 0 (−C / A, 0) pertenece al lugar geométrico de puntos dado). Sustituyendo estas coordenadas en (1), obtenemos la identidad

Restemos la identidad (3) de (1):

Obviamente, la ecuación (4) es equivalente a la ecuación (1). Por tanto, basta con probar que (4) define alguna línea.

Dado que estamos considerando un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, de la igualdad (4) se sigue que un vector con componentes ( x - x 0 , y - y 0) es ortogonal al vector norte con coordenadas A, B}.

Considere una línea recta L pasando por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y perpendicular al vector norte(Figura 1). Deja el punto METRO(X, y) pertenece a la línea recta L... Entonces el vector con coordenadas x - x 0 , y - y 0 perpendicular norte y se satisface la ecuación (4) (producto escalar de vectores norte y es igual a cero). Volver si el punto METRO(X, y) no se encuentra en línea recta L, luego el vector con coordenadas x - x 0 , y - y 0 no es ortogonal al vector norte y la ecuación (4) no se satisface. Se demuestra el teorema.

Prueba. Dado que las rectas (5) y (6) definen la misma recta, los vectores normales norte 1 ={A 1 ,B 1) y norte 2 ={A 2 ,B 2) son colineales. Dado que los vectores norte 1 ≠0, norte 2 ≠ 0, entonces existe un número λ , qué norte 2 =norte 1 λ ... Por lo tanto tenemos: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Demostremos que C 2 =C 1 λ ... Obviamente, las rectas coincidentes tienen un punto común. METRO 0 (X 0 , y 0). Multiplicar la ecuación (5) por λ y restando de ella la ecuación (6) obtenemos:

Dado que se satisfacen las dos primeras igualdades de las expresiones (7), entonces C 1 λ −C 2 = 0. Aquellos. C 2 =C 1 λ ... La observación está probada.

Tenga en cuenta que la ecuación (4) define la ecuación de la línea recta que pasa por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y tener un vector normal norte={A, B). Por lo tanto, si se conoce el vector normal de la recta y el punto que pertenece a esta recta, entonces es posible construir la ecuación general de la recta utilizando la ecuación (4).

Ejemplo 1. Una línea recta pasa por un punto METRO= (4, −1) y tiene un vector normal norte= (3, 5). Construye la ecuación general de la línea recta.

Solución. Tenemos: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B= 5. Para construir una ecuación general de una línea recta, sustituimos estos valores en la ecuación (4):

Respuesta:

El vector es paralelo a la recta L y, por tanto, es perdicular al vector normal de la recta L... Construyamos un vector normal de una línea recta L, teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores norte y es igual a cero. Podemos anotar, por ejemplo, norte={1,−3}.

Para construir la ecuación general de la línea recta, usaremos la fórmula (4). Sustituye en (4) las coordenadas del punto METRO 1 (también podemos tomar las coordenadas del punto METRO 2) y vector normal norte:

Sustituyendo las coordenadas de los puntos METRO 1 y METRO 2 en (9) podemos asegurarnos de que la línea recta dada por la ecuación (9) pase por estos puntos.

Respuesta:

Reste (10) de (1):

Obtuvimos la ecuación canónica de la recta. Vector q={−B, A) es el vector director de la línea recta (12).

Ver transformación inversa.

Ejemplo 3. Una línea recta en un plano se representa mediante la siguiente ecuación general:

Mover el segundo término a la derecha y dividir ambos lados de la ecuación entre 2 · 5.

Curva de segundo orden- lugar geométrico de puntos en un plano, coordenadas rectangulares

que satisfacen una ecuación de la forma:

en el que al menos uno de los coeficientes a 11, a 12, a 22 no es cero.

Invariantes de curvas de segundo orden.

La forma de la curva depende de 4 invariantes que se indican a continuación:

Invariantes de rotación y traslación del sistema de coordenadas:

Invariante con respecto a la rotación del sistema de coordenadas ( semi-invariante):

Para estudiar curvas de segundo orden, considere el producto A * C.

General ecuación de curva de segundo orden tiene este aspecto:

Hacha 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Si A * C> 0 tipo elíptico... Cualquier elíptica

una ecuación es una ecuación de una elipse ordinaria, o una elipse degenerada (punto), o una imaginaria

una elipse (en este caso, la ecuación no define una sola imagen geométrica en el plano);

Si A * C< 0 , entonces la ecuación toma la forma de la ecuación tipo hiperbólico... Cualquier hiperbólico

la ecuación expresa una hipérbola simple o una hipérbola degenerada (dos líneas que se cruzan);

Si A * C = 0, entonces la línea de segundo orden no será central. Las ecuaciones de este tipo se llaman

ecuaciones tipo parabólico y expresar en un plano una parábola simple o 2 paralelas

(ya sea coincidentes) líneas rectas, o no expresen ninguna imagen geométrica en el plano;

Si A * C ≠ 0, la curva de segundo orden será

La ecuación general de la curva de segundo orden en el plano es:

Hacha 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (39)

dónde A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, mi, F) R... Define todas las posibles secciones cónicas que se encuentran arbitrariamente ubicadas en el plano.

A partir de los coeficientes de la ecuación (39), componimos dos determinantes:

Llamado el discriminante de la ecuación(39) y - el discriminante de los términos principales de la ecuación. En 0, la ecuación (39) determina:> 0 - elipse;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

De la ecuación general (39), puede ir a la ecuación canónica si excluye los términos lineal y cruzado cambiando a un nuevo sistema de coordenadas que coincida con los ejes de simetría de la figura. Reemplazar en (39) X sobre X + a y y sobre y + B, dónde a, B algunas constantes. Escribamos los coeficientes obtenidos para NS y y e igualarlos a 0

(Automóvil club británico + Cama y desayuno + D)X = 0, (Cb + Licenciado en Letras + mi)y = 0. (41)

Como resultado, la ecuación (39) tomará la forma:

A(X) 2 + 2B(X)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

donde los coeficientes A, B, C no han cambiado, pero F= /. La solución del sistema de ecuaciones (41) determinará las coordenadas del centro de simetría de la figura:

Si B= 0, entonces a = -D/A, B = -mi/C y es conveniente excluir los términos lineales en (39) por el método de reducción a un cuadrado perfecto:

Hacha 2 + 2Dx = A(X 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(X + D/A) 2 - D 2 /A.

En la ecuación (42), rotaremos las coordenadas en el ángulo a (38). Escribamos el coeficiente obtenido en el término cruzado Xy e igualarlo a 0

xy = 0. (44)

La condición (44) determina el ángulo de rotación requerido de los ejes de coordenadas hasta que coinciden con los ejes de simetría de la figura y toma la forma:

La ecuación (42) toma la forma:

A+ X 2 + C + Y 2 + F = 0 (46)

de donde es fácil pasar a la ecuación canónica de la curva:

Impares A + , C+, sujeto a (45), se puede representar como las raíces de una ecuación cuadrática auxiliar:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Como resultado, se determinó la posición y dirección de los ejes de simetría de la figura, su semieje:

y se puede construir geométricamente.

En caso = 0 tenemos una parábola. Si su eje de simetría es paralelo al eje Oh, entonces la ecuación se reduce a la forma:

si no, entonces al formulario:

donde las expresiones entre paréntesis, equivalentes a 0, definen las líneas de los nuevos ejes de coordenadas:,.

Resolver tareas típicas

Ejemplo 15. Ecuación 2 X 2 + 3y 2 - 4X + 6y- 7 = 0 a la forma canónica y construye una curva.

Solución. B= 0, = -72 0, = 6> 0 elipse.

Realicemos la reducción a un cuadrado completo:

2(X - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Coordenadas del centro de simetría (1; -1), transformación lineal X = X - 1, Y = y+ 1 trae la ecuación a la forma canónica.

Ejemplo 16. Ecuación 2 xy = a 2 a la forma canónica y construye una curva.

Solución. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

El centro del sistema de coordenadas está en el centro de simetría de la curva; no hay términos lineales en la ecuación. Rotemos los ejes a través del ángulo a. Por la fórmula (45), tenemos tg2a = B/(A - C) =, es decir a = 45 °. Los coeficientes de la ecuación canónica (46) A + , C+ están determinados por la ecuación (48): t 2 = 1 o t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, es decir
X 2 - Y 2 = a 2 o. Por tanto, la ecuación 2 hu = a 2 describe una hipérbola con el centro de simetría en (0; 0). Los ejes de simetría se ubican a lo largo de las bisectrices de los ángulos coordenados, los ejes coordenados son las asíntotas, los semiejes de la hipérbola son iguales a.y - 9 = 0;

9X 2 + y 2 - 18X + 2y + 1 = 0;

2X 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3X 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- X 2 + 4y 2 - 8X - 9y + 16 = 0;

4X 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9X 2 - y 2 + 18X + 2y - 1 = 0;

9X 2 - 4y 2 + 36X + 16y - 16 = 0.

Establecemos un sistema de coordenadas rectangulares en el plano y consideramos la ecuación general de segundo grado

en el cual
.

El conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8.4.1) se llama torcido (línea) segundo orden.

Para cualquier curva de segundo orden, existe un sistema de coordenadas rectangular, llamado canónico, en el que la ecuación de esta curva tiene una de las siguientes formas:

1)
(elipse);

2)
(elipse imaginaria);

3)
(un par de líneas imaginarias que se cruzan);

4)
(hipérbola);

5)
(un par de líneas que se cruzan);

6)
(parábola);

7)
(un par de líneas paralelas);

8)
(un par de líneas paralelas imaginarias);

9)
(un par de líneas rectas coincidentes).

Las ecuaciones 1) –9) se denominan ecuaciones canónicas de curvas de segundo orden.

La solución al problema de reducir la ecuación de una curva de segundo orden a la forma canónica incluye encontrar la ecuación canónica de la curva y el sistema de coordenadas canónico. La canonicalización le permite calcular los parámetros de una curva y determinar su ubicación en relación con el sistema de coordenadas original. Transición del sistema de coordenadas rectangular original
a lo canónico
se lleva a cabo girando los ejes del sistema de coordenadas original alrededor de un punto O por algún ángulo  y posterior traslación paralela del sistema de coordenadas.

Por las invariantes de una curva de segundo orden(8.4.1) se denominan funciones de los coeficientes de su ecuación, cuyos valores no cambian al pasar de un sistema de coordenadas rectangulares a otro del mismo sistema.

Para la curva de segundo orden (8.4.1), la suma de los coeficientes en los cuadrados de las coordenadas

,

determinante compuesto por los coeficientes en los términos más altos

y el determinante de tercer orden

son invariantes.

El valor de las invariantes s, ,  se puede utilizar para determinar el tipo y componer la ecuación canónica de una curva de segundo orden (tabla 8.1).

Cuadro 8.1

Clasificación de curvas de segundo orden basada en invariantes

Echemos un vistazo más de cerca a la elipse, la hipérbola y la parábola.

Elipse(Fig. 8.1) se llama el lugar geométrico de los puntos del plano para el cual la suma de las distancias a dos puntos fijos
este avión, llamado focos de una elipse, hay un valor constante (mayor que la distancia entre los focos). Esto no excluye la coincidencia de los enfoques de la elipse. Si los enfoques coinciden, entonces la elipse es un círculo.

La mitad de la suma de las distancias desde el punto de la elipse a sus focos se denota por a, la mitad de la distancia entre los focos - con... Si se elige un sistema de coordenadas rectangular en el plano de modo que los focos de la elipse se ubiquen en el eje OX simétricamente con respecto al origen, entonces en este sistema de coordenadas la elipse viene dada por la ecuación

, (8.4.2)

llamado la ecuación de elipse canónica, dónde
.

Arroz. 8.1

Con la elección especificada de un sistema de coordenadas rectangular, la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y el origen. Los ejes de simetría de la elipse lo llaman ejes, y el centro de simetría - el centro de la elipse... Al mismo tiempo, los números 2 a menudo se denominan ejes de la elipse. a y 2 B y los numeros a y B – grande y eje semi-menor respectivamente.

Los puntos de intersección de la elipse con sus ejes se denominan los vértices de la elipse... Los vértices de la elipse tienen coordenadas ( a, 0), (–a, 0), (0, B), (0, –B).

Elipse de excentricidad llamó al número

. (8.4.3)

Desde 0  C < a, excentricidad de la elipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Por lo tanto, se puede ver que la excentricidad caracteriza la forma de la elipse: cuanto más cerca de cero, más se parece la elipse a un círculo; al aumentar , la elipse se vuelve más alargada.

Permitir
- un punto arbitrario de la elipse,
y
- distancia desde el punto METRO antes de trucos F 1 y F 2 respectivamente. Los números r 1 y r 2 se llaman radios del punto focal METRO elipse y se calculan mediante las fórmulas

Directoras que no sea un círculo elipse con la ecuación canónica (8.4.2) son dos líneas rectas

.

La directriz de la elipse está ubicada fuera de la elipse (Fig. 8.1).

Relación de radio focal puntosMETROelipse a la distancia  esta elipse (el foco y la directriz se consideran apropiados si están en el mismo lado del centro de la elipse).

Hipérbole(Fig. 8.2) se llama el lugar geométrico de los puntos del plano para el cual el módulo de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos y este avión, llamado focos de hipérbole, hay un valor constante (no igual a cero y menor que la distancia entre los focos).

Deje que la distancia entre los focos sea 2 con, y el módulo indicado de la diferencia de distancia es 2 a... Elijamos un sistema de coordenadas rectangular de la misma manera que para una elipse. En este sistema de coordenadas, la hipérbola viene dada por la ecuación

, (8.4.4)

llamado la ecuación canónica de hipérbola, dónde
.

Arroz. 8.2

Con esta elección de un sistema de coordenadas rectangular, los ejes de coordenadas son los ejes de simetría de la hipérbola y el origen es su centro de simetría. Los ejes de simetría de la hipérbola lo llaman ejes, y el centro de simetría es centro de hipérbole... Rectángulo con lados 2 a y 2 B ubicado como se muestra en la fig. 8.2 se llama el rectángulo principal de la hipérbola... Números 2 a y 2 B¿Son los ejes de la hipérbola y los números a y B- ella semiejes... Líneas que son una continuación de las diagonales de la forma del rectángulo principal asíntotas de hipérbole

.

Puntos de intersección de la hipérbola con el eje Buey son llamados los vértices de la hipérbola... Los vértices de la hipérbola tienen coordenadas ( a, 0), (–a, 0).

Excentricidad de la hipérbola llamó al número

. (8.4.5)

En la medida en con > a, la excentricidad de la hipérbola > 1. Reescribimos la igualdad (8.4.5) en la forma

.

Por lo tanto, se puede ver que la excentricidad caracteriza la forma del rectángulo principal y, por lo tanto, la forma de la hipérbola en sí: cuanto más pequeño , más se estira el rectángulo principal, y luego la hipérbola misma a lo largo del eje. Buey.

Permitir
- un punto arbitrario de la hipérbola,
y
- distancia desde el punto METRO antes de trucos F 1 y F 2 respectivamente. Los números r 1 y r 2 se llaman radios del punto focal METRO hipérbole y se calculan mediante las fórmulas

Directoras hipérbole con la ecuación canónica (8.4.4) son dos líneas rectas

.

Las directrices de la hipérbola cortan el rectángulo principal y pasan entre el centro y el vértice correspondiente de la hipérbola (figura 8.2).

O relación de radio focal puntosMETRO hipérbole a la distancia de este punto al foco correspondiente directora es igual a excentricidad de esta hipérbola (el foco y la directriz se consideran apropiados si están ubicados en el mismo lado del centro de la hipérbola).

Parábola(Fig. 8.3) se llama el lugar geométrico de los puntos del plano para el cual la distancia a un punto fijo F (parábola de enfoque) de este plano es igual a la distancia a alguna línea recta fija ( directriz de parábola), también ubicado en el avión considerado.

Elijamos el comienzo O sistema de coordenadas rectangulares en el medio del segmento [ FD], que es una perpendicular desenfocada F a la directriz (se supone que el foco no pertenece a la directriz), y el eje Buey y Oy directo como se muestra en la Fig. 8.3. Deje que la longitud del segmento [ FD] es igual a pag... Luego, en el sistema de coordenadas elegido
y ecuación de parábola canónica tiene la forma

. (8.4.6)

La cantidad pag llamado parámetro de parábola.

La parábola tiene un eje de simetría llamado eje de la parábola... El punto de intersección de una parábola con su eje se llama ápice de una parábola... Si la parábola está dada por su ecuación canónica (8.4.6), entonces el eje de la parábola es el eje Buey... Evidentemente, el vértice de la parábola es el origen.

Ejemplo 1. Punto A= (2, –1) pertenece a la elipse, el punto F= (1, 0) es su foco, correspondiente F la directriz viene dada por la ecuación
... Equivale esta elipse.

Solución. Supondremos que el sistema de coordenadas es rectangular. Entonces la distancia desde el punto A a la directora
de acuerdo con la relación (8.1.8), en la que


, es igual a

.

Distancia desde el punto A centrarse F es igual a

,

que le permite determinar la excentricidad de la elipse

.

Permitir METRO = (X, y) Es un punto arbitrario de la elipse. Entonces la distancia
desde el punto METRO a la directora
por fórmula (8.1.8) es igual a

y la distancia desde el punto METRO centrarse F es igual a

.

Dado que para cualquier punto de la elipse la razón es un valor constante igual a la excentricidad de la elipse, por lo que tenemos

,

Ejemplo 2. La curva viene dada por la ecuación

en un sistema de coordenadas rectangular. Encuentre el sistema de coordenadas canónico y la ecuación canónica de esta curva. Determina el tipo de curva.

Solución. Forma cuadrática
tiene una matriz

.

Su polinomio característico

tiene raíces  1 = 4 y  2 = 9. Por lo tanto, en la base ortonormal de los autovectores de la matriz A la forma cuadrática considerada tiene la forma canónica

.

Procedamos a construir una matriz de transformación ortogonal de variables, que reduce la forma cuadrática considerada a la forma canónica indicada. Para ello, construiremos sistemas fundamentales de soluciones a sistemas homogéneos de ecuaciones.
y ortonormalizarlos.

A
este sistema tiene la forma

Su solución general es
... Aquí hay una variable libre. Por tanto, el sistema fundamental de decisiones consta de un vector, por ejemplo, del vector
... Normalizándolo, obtenemos el vector

.

A
también construye un vector

.

Vectores y ya son ortogonales, ya que se refieren a diferentes valores propios de la matriz simétrica A... Constituyen la base ortonormal canónica de la forma cuadrática dada. La matriz ortogonal requerida (matriz de rotación) se construye a partir de las columnas de sus coordenadas.

.

Comprobemos la exactitud de encontrar la matriz. R según la fórmula
, dónde
- matriz de forma cuadrática en la base
:

Matriz R encontrado correctamente.

Realicemos la transformación de variables

y escriba la ecuación de esta curva en un nuevo sistema de coordenadas rectangulares con los viejos vectores de centro y dirección
:

dónde
.

Recibió la ecuación canónica de la elipse.

.

Debido al hecho de que la transformación resultante de coordenadas rectangulares está determinada por las fórmulas

,

,

sistema de coordenadas canónico
tiene un comienzo
y guiar vectores
.

Ejemplo 3. Usando la teoría invariante, determine el tipo y escriba la ecuación canónica de la curva

Solución. En la medida en

,

de acuerdo con la tabla. 8.1 llegamos a la conclusión de que se trata de una hipérbole.

Dado que s = 0, el polinomio característico de una matriz de forma cuadrática

Sus raices
y
le permite escribir la ecuación canónica de la curva

dónde CON se encuentra a partir de la condición

,

.

La ecuación canónica buscada de la curva

.

En las tareas de esta sección, las coordenadasX, yse supone que son rectangulares.

8.4.1. Para elipses
y
encontrar:

a) semiejes;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones direccionales.

8.4.2. Haz las ecuaciones de una elipse, conociendo su enfoque
correspondiente al director X= 8 y excentricidad ... Encuentra el segundo foco y la segunda directriz de la elipse.

8.4.3. Equivale una elipse cuyo foco está en las coordenadas (1, 0) y (0, 1), y el eje mayor es dos.

8.4.4. Dada una hipérbole
... Encontrar:

a) semi-ejes a y B;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones de asíntotas;

e) ecuaciones direccionales.

8.4.5. Dada una hipérbole
... Encontrar:

a) semi-ejes a y B;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones de asíntotas;

e) ecuaciones direccionales.

8.4.6. Punto
pertenece a la hipérbola, cuyo foco es
, y la directriz correspondiente viene dada por la ecuación
... Equivale a esta hipérbole.

8.4.7. Equivale una parábola si se da su enfoque
y la directora
.

8.4.8. Dado el vértice de la parábola
y la ecuación de la directriz
... Equivale esta parábola.

8.4.9. Igualar una parábola cuyo foco está en un punto

y la directriz viene dada por la ecuación
.

8.4.10. Igualar una curva de segundo orden, conociendo su excentricidad
, atención
y el director correspondiente
.

8.4.11. Determine el tipo de curva de segundo orden, escriba su ecuación canónica y encuentre el sistema de coordenadas canónico:

GRAMO)
;

8.4.12.

es una elipse. Encuentre las longitudes de los semiejes y la excentricidad de esta elipse, las coordenadas del centro y los focos, haga las ecuaciones para los ejes y la directriz.

8.4.13. Demuestre que la curva de segundo orden dada por la ecuación

es una hipérbole. Encuentre las longitudes de los semiejes y la excentricidad de esta hipérbola, las coordenadas del centro y focos, componga las ecuaciones para los ejes, directrices y asíntotas.

8.4.14. Demuestre que la curva de segundo orden dada por la ecuación

,

es una parábola. Encuentra el parámetro de esta parábola, las coordenadas de los vértices y el foco, haz las ecuaciones para el eje y la directriz.

8.4.15. Traiga cada una de las siguientes ecuaciones a una forma canónica. Dibuje la curva de segundo orden correspondiente en el dibujo en relación con el sistema de coordenadas rectangular original:

8.4.16. Usando la teoría invariante, determine el tipo y escriba la ecuación canónica de la curva.