El razonamiento basado únicamente en hechos precisos y conclusiones precisas basadas en estos hechos se denominan consideraciones rigurosas. En los casos en que es necesario utilizar hechos inciertos para tomar decisiones, el razonamiento riguroso se vuelve inadecuado. Por lo tanto, una de las fortalezas de cualquier sistema experto se considera su capacidad para formar razonamientos en condiciones de incertidumbre con el mismo éxito que los expertos humanos. Tal razonamiento es de naturaleza imprecisa. Puedes hablar con seguridad sobre la presencia lógica difusa.

Incertidumbre y, como resultado, la lógica difusa se puede considerar como información insuficiente para tomar una decisión. La incertidumbre se convierte en un problema porque puede dificultar la creación de la mejor solución e incluso provocar que se encuentre una mala solución. Cabe señalar que una solución de calidad que se encuentra en tiempo real a menudo se considera más aceptable que una solución mejor, cuya computación lleva mucho tiempo. Por ejemplo, una demora en la provisión de tratamiento para pruebas adicionales puede resultar en que un paciente muera sin esperar ayuda.

El motivo de la incertidumbre es la presencia de varios errores en la información. Clasificación simplificada estos errores se pueden presentar en su división en los siguientes tipos:

• ambigüedad de la información, cuya ocurrencia se debe al hecho de que cierta información se puede interpretar de diferentes maneras;
• información incompleta debido a la falta de algunos datos;
• la insuficiencia de la información causada por el uso de datos no se corresponde con la situación real (las posibles razones son errores subjetivos: mentiras, información errónea, mal funcionamiento del equipo);
• errores de medición que surgen debido al incumplimiento de los requisitos de corrección y exactitud de los criterios para la presentación cuantitativa de datos;
• errores aleatorios, cuya manifestación son fluctuaciones aleatorias de datos en relación con su valor medio (la razón puede ser: falta de fiabilidad del equipo, movimiento browniano, efectos térmicos, etc.).

Hasta la fecha, se han desarrollado un número significativo de teorías de incertidumbre, en las que se intenta eliminar algunos o incluso todos los errores y proporcionar una inferencia confiable en condiciones de incertidumbre. Las más utilizadas en la práctica son las teorías basadas en la definición clásica de probabilidad y en la probabilidad posterior.

Una de las herramientas más antiguas e importantes para resolver problemas de inteligencia artificial es la probabilidad. Probabilidad es una forma cuantitativa de dar cuenta de la incertidumbre. La probabilidad clásica se origina a partir de una teoría propuesta por primera vez por Pascal y Fermat en 1654. Desde entonces, se ha trabajado mucho en el estudio de la probabilidad y la implementación de numerosas aplicaciones de la probabilidad en ciencia, tecnología, negocios, economía y otros campos.

Probabilidad clásica

Probabilidad clásica también llamada probabilidad a priori, ya que su definición se refiere a sistemas ideales. El término "previo" denota una probabilidad que se determina "a eventos", sin tener en cuenta muchos factores que tienen lugar en el mundo real. El concepto de probabilidad a priori se aplica a eventos que ocurren en sistemas ideales propensos al desgaste o la influencia de otros sistemas. En un sistema ideal, la ocurrencia de cualquiera de los eventos ocurre de la misma manera, facilitando mucho su análisis.

La fórmula fundamental de la probabilidad clásica (P) se define de la siguiente manera:

En esta fórmula W es el número de eventos esperados, y norte- el número total de eventos con probabilidades iguales que son posibles resultados de un experimento o prueba. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cualquier cara de un dado de seis caras es 1/6 y sacar cualquier carta de una baraja que contenga 52 cartas diferentes es 1/52.

Axiomas de la teoría de la probabilidad

Se puede crear una teoría formal de la probabilidad basada en tres axiomas:

Los axiomas anteriores permitieron sentar las bases de la teoría de la probabilidad, pero no consideran la probabilidad de que los eventos ocurran en sistemas reales y no ideales. En contraste con el enfoque a priori, en sistemas reales, para determinar la probabilidad de algún evento EDUCACIÓN FÍSICA), se aplica el método para determinar la probabilidad experimental como límite de la distribución de frecuencias:

Probabilidad posterior

En esta fórmula f (E) denota la frecuencia de ocurrencia de algún evento entre norte número de observaciones de los resultados globales. Este tipo de probabilidad también se llama probabilidad posterior, es decir. probabilidad determinada "después de los eventos". La base para determinar la probabilidad posterior es la medición de la frecuencia con la que ocurre un evento durante un gran número de pruebas. Por ejemplo, la definición del tipo social de un cliente bancario solvente basada en la experiencia empírica.

Los eventos que no son mutuamente excluyentes pueden influirse entre sí. Tales eventos se clasifican como complejos. La probabilidad de eventos complejos se puede calcular analizando los espacios muestrales correspondientes. Estos espacios muestrales se pueden representar mediante diagramas de Venn, como se muestra en la Fig. 1

Fig.1 Espacio muestral para dos eventos no excluyentes entre sí

La probabilidad de que ocurra el evento A, que se determina teniendo en cuenta el hecho de que el evento B ha ocurrido, se llama probabilidad condicional y se denota P (A | B)... La probabilidad condicional se define de la siguiente manera:

Probabilidad previa

En esta fórmula, la probabilidad P (B) no debe ser cero, y es una probabilidad previa, que se determina antes de que se conozca otra información adicional. Probabilidad previa lo que se usa en relación con el uso de la probabilidad condicional a veces se denomina probabilidad absoluta.

Existe un problema que es esencialmente lo opuesto al problema de calcular la probabilidad condicional. Consiste en determinar la probabilidad inversa, que muestra la probabilidad de un evento anterior, teniendo en cuenta aquellos eventos que ocurrieron en el futuro. En la práctica, este tipo de probabilidad se encuentra con bastante frecuencia, por ejemplo, durante diagnósticos médicos o diagnósticos de equipos, en los que se detectan ciertos síntomas y la tarea es encontrar una posible causa.

Para resolver este problema, usamos Teorema de Bayes, llamado así por el matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes. La teoría bayesiana se usa ampliamente hoy en día para el análisis de árboles de decisión en economía y ciencias sociales. La búsqueda bayesiana de soluciones también se utiliza en el sistema experto PROSPECTOR al identificar sitios prometedores para la exploración minera. El sistema PROSPECTOR ganó gran popularidad como el primer sistema experto con la ayuda del cual se descubrió un valioso depósito de molibdeno, que costó $ 100 millones.

C7 En esta forma moderna, el teorema de Bayes fue realmente formulado por Laplace. La propia formulación del problema pertenece a Thomas Bayes. Lo formuló como la inversa del conocido problema de Bernoulli. Si Bernoulli buscaba la probabilidad de resultados diferentes de la "curva" del lanzamiento de la moneda, entonces Bayes, por el contrario, buscaba determinar el grado de esta "curvatura" mediante los resultados observados empíricamente del lanzamiento de la moneda. No había probabilidad previa en su solución.

Aunque la regla parece muy simple, resulta difícil aplicarla en la práctica, ya que se desconocen las probabilidades posteriores (o incluso los valores de las funciones de decisión simplificadas). Sus valores pueden estimarse. En virtud del teorema de Bayes, las probabilidades a posteriori se pueden expresar en términos de probabilidades a priori y funciones de densidad mediante la fórmula P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Su P xI C,

Al evaluar los resultados de la clasificación por el método MDA, vemos una proporción significativa de decisiones erróneas de empresas en quiebra (grupo 1), una de ellas habría recibido un préstamo. Las empresas con posiciones poco claras (grupo 2) son difíciles de clasificar correctamente porque, al final, pueden caer en el 1er o 3er grupo. El asunto no puede mejorarse alineando las probabilidades previas con las percepciones del banco sobre la probabilidad de que una empresa pertenezca a diferentes grupos. El indicador general de la exactitud del pronóstico fue solo del 56,6%, y del primer grupo solo el 30% se clasificó correctamente.

Con el nivel existente de complejidad y simultaneidad de los procesos en curso, los modelos basados ​​en relaciones causales tienen oportunidades limitadas de aplicación, los eventos que ocurren recientemente cambian constantemente las especificaciones de todas las variables (tanto incluidas como no incluidas en el modelo) y los valores de las probabilidades a priori y los montos de los pagos para diversas estrategias son muy inciertos y fluctúan bruscamente con los cambios en el crecimiento económico, las tasas de interés, los tipos de cambio y la rentabilidad de las transacciones no crediticias (por ejemplo, cuando cambian las tarifas operativas y de comisión).

Dado que en una situación real es imposible saber de antemano qué parte de las empresas representadas en una muestra aleatoria irá a la quiebra en el plazo de un año y dado que los autores de los dos modelos considerados, como se puede suponer, establecen niveles de división en función de algunos supuestos específicos sobre las probabilidades previas de quiebra y el costo de los errores, simplificamos el procedimiento de comparación e introdujimos niveles de separación relativos. En otras palabras, para cada modelo, consideramos el 10% inferior de las señales generadas por el modelo para el próximo año como señales de quiebra. De hecho, este enfoque significa una probabilidad previa total de quiebra del 10% y la relación entre el número de señales de quiebra y las quiebras reales en la prueba anterior, que se determina utilizando el umbral de optimización. Además, este método tiene la ventaja de que minimiza las distorsiones debido al gran desfase de tiempo entre la publicación de la puntuación Z de Altman y la realización del experimento. Los indicadores promedio durante este tiempo pueden haber cambiado y, por lo tanto, la división de empresas en fuertes y débiles, basada en una cierta proporción, parece ser más confiable. Mesa 9.2 muestra los resultados de un experimento para predecir quiebras para un año por delante con una indicación del error para cada modelo.

Tomando la probabilidad previa como un hecho, estime la ganancia esperada en caso de abrir una sucursal.

Denotamos por A. el evento de que q 6 [

Supongamos, por ejemplo, que se seleccionan los siguientes parámetros: el valor de las inversiones de capital, el valor de los costos operativos y el precio de los productos terminados, que, respectivamente, pueden tomar los valores de Кb К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2 , Цз- Cada uno de estos valores corresponde a una probabilidad a priori, por ejemplo, Кь Эь Ts tienen una probabilidad pt = 0.1, para K2, A2, Ts2 la probabilidad será p2 = 0.8, y para K3, E3, Ts3 - p3 = 0,1.

Sea la probabilidad a priori de obtener al final del proceso de diseño una solución técnica que satisfaga las

Si el jugador 2 tiene más de una estrategia en el juego Г y las probabilidades a priori de su uso son desconocidas para el jugador 1, o ni siquiera tiene sentido hablar de estas probabilidades, entonces todo lo que se acaba de decir es inaplicable.

Como hemos visto anteriormente, los cambios en las probabilidades previas pyq dependen de la sintonización de la señal.

De ello se deduce que si tenemos una entidad neutral al riesgo que cree que una opción de compra valdrá C con probabilidad myj con probabilidad (1 - m), entonces esta entidad calculará el precio de la opción actual de acuerdo con nuestra ecuación derivada. ... Nótese que nunca asumimos la existencia de probabilidades a priori de que ocurra un precio de acción en particular y, en consecuencia, la valoración futura de la opción. Este enfoque se denomina evaluación neutral al riesgo.

Dejame (

El lado derecho de (7.53) no es una densidad en el sentido propio, ya que la integral de la misma no está definida; sin embargo, al calcular la densidad de la distribución posterior de parámetros mediante la fórmula de Bayes, se presentan dificultades formales al trabajar con ( 7.53) o no surgen, o se pueden superar fácilmente ... Como veremos más adelante en la sección 7.3.2, la elección (7.53) es analíticamente conveniente y, al parecer, refleja bien la ausencia total de conocimiento a priori sobre la distribución de parámetros. Sin embargo, en realidad esconde suposiciones muy fuertes de que no hay correlación entre los parámetros (no confundir con la correlación entre las estimaciones de los valores de los parámetros, que depende de la distribución de los regresores y el valor de a), la insignificante a probabilidad a priori de que el vector de parámetros se encuentre en un volumen finito dado, sea cual sea su valor, etc. Esto a veces conduce a serias dificultades para interpretar los resultados de la estimación bayesiana.

Considere el contenido del teorema de Bayes desde un punto de vista ligeramente diferente. Para hacer esto, anotemos todos los posibles resultados de nuestro experimento. Deje que los símbolos Н0, h signifiquen el resultado, la moneda no está cubierta y su lado superior es el escudo de armas ".

Soy como V2i, entonces la probabilidad del resultado especificado será Va X x1 / 2 = 1 / 4- A continuación damos una lista de todos los resultados y sus probabilidades previas

Entonces, en el ejemplo con una moneda y un dado, P (Ha) es la probabilidad previa, P (Na K) es la probabilidad posterior y P (H Ha) es la probabilidad.

Si ahora la probabilidad previa P (H0) se puede tomar igual a 1 o 0, se dice que el tomador de decisiones

Imagine ahora que el experimentador ofrece al tomador de decisiones información completamente confiable (o completa) sobre qué objeto en particular no está cubierto. El tomador de decisiones debe, sin embargo, pagar por el servicio de comunicar información tan perfectamente confiable antes de recibir esta información. ¿Cuál sería el valor de tal información ?, puede mirar hacia el futuro y preguntarse qué hará en respuesta a cada uno de los dos posibles mensajes que puede brindar un determinado servicio, y calcular sus ingresos en base a las respuestas recibidas. Sopesar este ingreso usando probabilidades a priori de posibles mensajes le permitiría estimar el monto de su ingreso esperado si pagara algún monto por información perfectamente confiable antes de recibirla realmente. Dado que este ingreso esperado sería más de $ 0.5, es decir, lo que espera basándose únicamente en la información a priori, entonces el aumento en el ingreso sería la cantidad máxima que tendría sentido que pagara por el servicio de información.

La empresa debe comprar una gran cantidad de bienes hoy o mañana. Hoy el precio del producto es de $ 14,5 por unidad. Según la firma, mañana su precio será de $ 10 o $ 20 con la misma probabilidad. Sea x el precio de mañana, entonces las probabilidades previas son

En la última etapa, se verifica la confiabilidad de la elección de las probabilidades a priori de que ocurran las condiciones del mercado y se calcula la utilidad esperada del refinamiento de estas probabilidades. Para ello, se construye un árbol de decisiones. Si surge la necesidad de una investigación de mercado adicional, se recomienda suspender la implementación de la opción seleccionada para un nuevo producto hasta que se obtengan resultados más confiables.

En la práctica de marketing de una empresa, a menudo es necesario comparar los costos de obtener información parcial (incompleta) y los costos de obtener información nueva adicional para tomar una mejor decisión. El gerente (tomador de decisiones) debe evaluar en qué medida el beneficio recibido de la información adicional cubre los costos de obtenerla. En este caso, se puede aplicar la teoría de la decisión bayesiana. Los datos iniciales son las probabilidades previas P (Sk) y las probabilidades condicionales P (Z Sk) del surgimiento del estado de mercado Z, siempre que se suponga el surgimiento del estado 5A. Cuando se recibe nueva información, se calcula la utilidad esperada de cada estrategia y luego se selecciona la estrategia con el valor máximo de la utilidad esperada. Con la ayuda de nueva información, el tomador de decisiones puede corregir las probabilidades previas P (Sk), y esto es muy importante a la hora de tomar decisiones.

Ahora bien, es deseable saber cuál será la probabilidad de que aparezca el estado objetivo Sk cuando se reciba nueva información. Por tanto, es necesario encontrar P (Sk Z), donde k, q = 1, n. Esta es la probabilidad condicional y es la probabilidad previa ajustada. Para calcular P (Sk Z), usamos la fórmula de Bayes

Entonces, hemos obtenido las probabilidades previas refinadas de la aparición de condiciones objetivas de mercado. Todo el proceso de cálculo y los resultados obtenidos se muestran en la tabla. 9.11 y 9.12.

El uso del enfoque bayesiano (6.47) requiere el conocimiento de probabilidades a priori y densidades de distribución de probabilidad.

Utilizando las características numéricas de los objetos obtenidos del AGC, llevamos a cabo un análisis discriminante múltiple lineal estándar con las mismas probabilidades previas (igual al 33%) de la pertenencia de un elemento. grupos. El 41% del número total de casos se clasificó correctamente, y esto es ligeramente mejor que el 33% de precisión que se obtendría si un objeto se asignara aleatoriamente a uno u otro grupo. Pestaña. 8.6 a continuación se muestra una tabla de clasificación errónea, también llamada matriz de errores.

El próximo desafío es desarrollar un estándar para las pruebas. En la mayoría de los casos, se toman pocas muestras para evaluar los modelos MDA, y esto aumenta la probabilidad de que el modelo se ajuste demasiado a los datos de prueba. Las muestras suelen contener una proporción igual de empresas en quiebra y no en quiebra, y los datos en sí, por regla general, corresponden a períodos de intensa quiebra. Esto lleva a la conclusión de que solo los resultados de la evaluación del modelo con datos nuevos son fiables. De la mesa. 9.1 se puede observar que incluso en las pruebas más favorables con nuevos datos (cuando todos los ejemplos se toman del mismo período de tiempo y, además, son homogéneos en términos de industrias y tamaño de empresa), la calidad es peor que en las muestras, que se utilizaron para determinar los parámetros del modelo. Dado que, en la práctica, los usuarios de modelos de clasificación no podrán ajustar el modelo a otras probabilidades previas de quiebra, tamaño de la empresa o industria, la calidad real del modelo puede ser incluso peor. La calidad también puede deteriorarse debido al hecho de que hay pocas empresas en las muestras utilizadas para probar los modelos MDA que no se hayan arruinado pero que estén en riesgo. Si solo hay cuatro o cinco empresas de este tipo que sobreviven en situación de riesgo, esto distorsiona la participación real de las empresas riesgosas y, como resultado, la frecuencia de los errores de Tipo II resulta subestimada.

Los métodos MDA involucrados en la comparación se calcularon y optimizaron basándose en una tasa de señal falsa de 10 1 con algunas probabilidades previas y costos de error. Me gustaría utilizar como criterio ex ante menos del 10%, el número de posibles quiebras en la población, pero esto no está muy de acuerdo con los parámetros de los modelos. También es contrario a la práctica en la que la reducción del umbral por debajo del 10 por ciento no resultó en la quiebra. Entonces, cuando la proporción de señales falsas se redujo al 7%, la escala Z de Tuffler dejó de identificar las bancarrotas por completo, y el modelo de Datastream se topó con este obstáculo en alrededor del 8%. En contraste, la red neuronal reconoció dos casos de quiebra por debajo del nivel de división del 4.5%, es decir. la red puede operar en condiciones en las que solo hay cinco señales falsas para una identificación correcta de la quiebra. Esta cifra es comparable a los mejores resultados que obtienen los modelos MDA en pruebas ex post mucho menos exigentes. Esto lleva a dos conclusiones: en primer lugar, los modelos neuronales son un método de clasificación confiable en el sector crediticio y, en segundo lugar, utilizar el precio de las acciones como variable objetivo en el entrenamiento puede ser más rentable que el propio indicador de quiebra / supervivencia. El precio de la acción refleja-

Pulgada. 3-5 describen métodos para escalar preferencias (ponderaciones) de eventos futuros, estimaciones cuantitativas del grado de preferencia y podemos calcular la probabilidad incondicional de cualquier resultado de muestra

I. Probabilidades condicionales. Probabilidades a priori y posteriores. 3

II. Eventos independientes. 5

III. Prueba de hipótesis estadísticas. Fiabilidad estadística. 7

IV.Uso de la prueba de chi-cuadrado 19

1. Determinación de la fiabilidad de la diferencia entre un conjunto de frecuencias y un conjunto de probabilidades. 19

2. Determinación de la fiabilidad de la diferencia entre varios conjuntos de frecuencias. 26

V TRABAJO INDEPENDIENTE 33

Lección número 2

1. Probabilidades condicionales. Probabilidades a priori y posteriores.

Una variable aleatoria se establece mediante tres objetos: un conjunto de eventos elementales, un conjunto de eventos y la probabilidad de eventos. Los valores que puede tomar una variable aleatoria se denominan eventos elementales. Los conjuntos de eventos elementales se denominan eventos... Para variables numéricas y otras variables aleatorias no muy complejas, cualquier conjunto dado de eventos elementales es un evento.

Tomemos un ejemplo: lanzar un dado.

Hay 6 eventos elementales en total: "punto", "2 puntos", "3 puntos" ... "6 puntos". Evento: cualquier conjunto de eventos elementales, por ejemplo, "par" es la suma de eventos elementales "2 puntos", "4 puntos" y "6 puntos".

La probabilidad de cualquier evento elemental P (A) es 1/6:

la probabilidad de un evento es el número de eventos elementales incluidos en él, dividido por 6.

Muy a menudo, además de la probabilidad conocida de un evento, existe alguna información adicional que cambia esta probabilidad. Por ejemplo, la letalidad de los pacientes. de los ingresados ​​en el hospital con úlcera gástrica hemorrágica aguda es aproximadamente el 10%. Sin embargo, si el paciente tiene más de 80 años, esta tasa de mortalidad es del 30%.

Para describir tales situaciones, el llamado probabilidades condicionales... Se indican como P (A / B) y se leen "la probabilidad del evento A bajo la condición del evento B". Para calcular la probabilidad condicional, se utiliza la fórmula:

Volvamos al ejemplo anterior:

De los pacientes ingresados ​​en el hospital con úlcera de estómago sangrante aguda, el 20% son pacientes mayores de 80 años. Además, entre todos los pacientes, la proporción de pacientes que fallecieron después de los 80 años es del 6% (recordemos que la proporción de todas las muertes es del 10%). En este caso

Al definir probabilidades condicionales, los términos a priori(literalmente - antes de la experiencia) y posteriormente(literalmente, después de la experiencia) probabilidades.

Usando probabilidades condicionales, se pueden calcular otras a partir de una probabilidad, por ejemplo, para intercambiar un evento y una condición.

Consideremos esta técnica en el ejemplo de analizar la relación entre el riesgo de enfermedad de reumatismo (fiebre reumática) y uno de los antígenos, que son un factor de riesgo para la misma.

La incidencia de reumatismo es de alrededor del 1%. Designemos la presencia de reumatismo como R +, mientras que P (R +) = 0.01.

La presencia de antígeno se designará como A +. Se encuentra en el 95% de los pacientes con reumatismo y en el 6% de los que no lo tienen. En nuestra notación, estos son: probabilidades condicionales P (A + / R +) = 0.95 y P (A + / R -) = 0.06.

Con base en estas tres probabilidades, determinaremos secuencialmente otras probabilidades.

En primer lugar, si la incidencia de reumatismo es P (R +) = 0.01, entonces la probabilidad de no enfermarse es P (R -) = 1-P (R +) = 0.99.

De la fórmula para la probabilidad condicional, encontramos que

P (A + y R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095, o 0,95% de la población padece simultáneamente reumatismo y tiene un antígeno.

igualmente

P (A + y R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0.06 * 0.99 = 0.0594, o 5.94% de la población porta el antígeno, pero no contrae reumatismo.

Dado que todos los que tienen el antígeno tienen reumatismo o no se enferman (pero no ambos al mismo tiempo), la suma de las dos últimas probabilidades da la frecuencia de transporte del antígeno en la población en su conjunto:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0.0095 + 0.0594 = 0.0689

En consecuencia, la proporción de personas sin antígeno es igual a

P (A -) = 1- P (A +) = 0.9311

Dado que la incidencia de reumatismo es del 1% y la proporción de personas con antígeno y reumatismo es del 0,95%, la proporción de personas con reumatismo y sin antígeno es:

P (A - y R +) = P (R +) - P (A + y R +) = 0.01 - 0.0095 = 0.0005

Ahora nos moveremos en la dirección opuesta, pasando de las probabilidades de eventos y sus combinaciones a las probabilidades condicionales. De acuerdo con la fórmula de probabilidad condicional inicial P (A + / R +) = P (R + y A +) / P (A +) = 0.0095 / 0.06890.1379, o aproximadamente el 13.8% de las personas portadoras del antígeno se enferman de reumatismo . Dado que la incidencia de la población en su conjunto es solo del 1%, el hecho de la detección de antígenos aumenta 14 veces la probabilidad de reumatismo.

De manera similar, P (R + / A -) = P (R + y A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,93110,000054, es decir, el hecho de que no se haya detectado ningún antígeno durante la prueba reduce la probabilidad de contraer reumatismo 19 veces.

Formateemos esta tarea en una hoja de cálculo de Excel:

Puede ver el proceso de construcción de una tabla picture2 \ p2-1.gif

Un evento aleatorio se evalúa mediante un número que determina la intensidad de la manifestación de este evento. Este número se llama probabilidad desarrollos PAG () ... La probabilidad de un evento elemental es ... La probabilidad de un evento es una medida numérica del grado de objetividad, la posibilidad de este evento. Cuanto mayor sea la probabilidad, más probable será el evento.

Cualquier evento que coincida con todo el espacio de resultados. S se llama evento creíble, es decir. tal evento que, como resultado del experimento, debe ocurrir necesariamente (por ejemplo, la caída de cualquier número de puntos de 1 a 6 en los dados). Si el evento no pertenece al conjunto S, entonces se considera imposible(por ejemplo, la aparición de un número de puntos superior a 6 en un dado). La probabilidad de un evento imposible es 0, la probabilidad de un evento determinado es 1. Todos los demás eventos tienen una probabilidad de 0 a 1.

Desarrollos mi y son llamados opuesto, si mi viene cuando no viene ... Por ejemplo, el evento mi- "pérdida de un número par de puntos", luego el evento - "la pérdida de un número impar de puntos". Dos eventos mi 1 y mi 2 son llamados inconsistente si no hay un resultado común a ambos eventos.

Para determinar las probabilidades de eventos aleatorios se utilizan métodos directos o indirectos. Al calcular la probabilidad directamente, se distinguen los esquemas de cálculo a priori y a posteriori, cuando realizar observaciones (experimentos) o contar a priori el número de experimentos metro en el que el evento se manifestó, y el número total de experimentos realizados norte... Los métodos indirectos se basan en la teoría axiomática. Dado que los eventos se definen como conjuntos, todas las operaciones de la teoría de conjuntos se pueden realizar en ellos. La teoría de conjuntos y el análisis funcional fueron propuestos por el académico A.N. Kolmogorov y formó la base de la teoría axiomática de la probabilidad. Aquí están los axiomas de probabilidades.

AxiomaI. Campo de eventoF(S) es el álgebra de conjuntos.

Este axioma apunta a una analogía entre la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.

AxiomaII. A cada conjuntodeF(S) el número real P (), llamada probabilidad del evento:

en condicion S 1 S 2 =  (para eventos inconsistentes S 1 y S 2 ), o para muchos eventos inconsistentes

dónde norte- el número de eventos elementales (posibles resultados).

La probabilidad de un evento aleatorio

dónde - probabilidades de eventos elementales incluido en el subconjunto .

Ejemplo 1.1. Determine la probabilidad de salirse de cada número al lanzar un dado, de salirse de un número par, número 4 .

Solución... La probabilidad de que cada número se salga del conjunto.

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

La probabilidad de obtener un número par, es decir
={2, 4, 6}, basado en (1.6) será PAG (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

La probabilidad de obtener un número  4 , es decir.
= {4, 5, 6 } ,

PAG (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Tareas de autoaprendizaje

1. Hay 20 bolas blancas, 30 negras y 50 rojas en la canasta. Determine la probabilidad de que la primera bola que saque de la canasta sea blanca; negro; rojo.

2. Hay 12 niños y 10 niñas en el grupo de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que en el seminario sobre teoría de la probabilidad esté ausente: 1) un joven; 2) una niña; 3) ¿dos chicos?

3. Durante el año 51 días se distinguió por el hecho de que llovió (o nevó) en estos días. ¿Cuál es la probabilidad de que corra el riesgo de quedar atrapado por la lluvia (o la nieve): 1) ir a trabajar; 2) ¿senderismo durante 5 días?

4. Haga un problema sobre el tema de esta tarea y resuélvalo.

1.1.3. Determinación de probabilidad posterior (probabilidad estadística o frecuencia

evento al azar)

Al determinar la probabilidad a priori, se asumió que son igualmente probables. Esto está lejos de ser siempre cierto, más a menudo sucede que
a
... Suposición
conduce a un error en la definición a priori PAG ( ) según el esquema establecido. Para determinar , y en general PAG ( ) realizar pruebas específicas. En el curso de la realización de tales pruebas (por ejemplo, los resultados de la prueba en los ejemplos 1.2, 1.3) bajo diversas condiciones, diversas condiciones, influencias, factores causales, es decir, en diferentes casos, diferente resultados(diferentes manifestaciones de información del objeto investigado). Cada resultado de la prueba corresponde a un elemento o un subconjunto multitudes S.Si tu defines metro como el número de eventos favorables A resultados obtenidos como resultado norte pruebas, la probabilidad posterior (probabilidad estadística o frecuencia de un evento aleatorio A)

Basado en la ley de los grandes números para  A

aquellos. con un aumento en el número de ensayos, la frecuencia de un evento aleatorio (probabilidad a posteriori o estadística) tiende a la probabilidad de este evento.

Ejemplo 1.2. La probabilidad de sacar cara en un lanzamiento de moneda, determinada a partir del esquema de casos, es de 0,5. Se requiere lanzar una moneda 10, 20, 30 ... veces y determinar la frecuencia de un evento aleatorio de cruz después de cada serie de pruebas.

Solución... K. Poisson lanzó la moneda 24.000 veces, con 11998 cruces. Entonces, por la fórmula (1.7), la probabilidad de obtener colas

.

Tareas de autoaprendizaje

Basado en un gran material estadístico ( norte  ), se obtuvieron los valores de las probabilidades de aparición de letras individuales del alfabeto ruso y el espacio () en los textos, que se dan en la Tabla 1.1.

Cuadro 1.1. La probabilidad de que aparezcan letras del alfabeto en el texto.

Tome una página de cualquier texto y determine la frecuencia de aparición de varias letras en esta página. Aumente el volumen de pruebas a dos páginas. Compare los resultados obtenidos con los datos de la tabla. Hacer una conclusión.

Al disparar a los blancos, se obtuvo el siguiente resultado (ver tabla 1.2).

Cuadro 1.2. Resultado de tiro al blanco

¿Cuál es la probabilidad de que el objetivo hubiera sido alcanzado desde el primer disparo si fuera más pequeño que diez, nueve, etc.?

3. Planifique y realice pruebas similares para otros eventos. Presenta sus resultados.