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La importancia de la distribución normal en muchas áreas de la ciencia (por ejemplo, en estadística matemática y física estadística) se deriva del teorema del límite central de la teoría de la probabilidad. Si el resultado de la observación es la suma de muchas cantidades aleatorias débilmente interdependientes, cada una de las cuales hace una pequeña contribución a la suma total, entonces con un aumento en el número de términos, la distribución del resultado centrado y normalizado tiende a ser normal. Esta ley de la teoría de la probabilidad tiene una consecuencia de la amplia distribución de la distribución normal, que fue una de las razones de su nombre.
Propiedades
Momentos
Si las variables aleatorias X 1 (\ Displaystyle X_ (1)) y X 2 (\ Displaystyle X_ (2)) independiente y normalmente distribuido con valores esperados μ 1 (\ Displaystyle \ mu _ (1)) y μ 2 (\ Displaystyle \ mu _ (2)) y variaciones σ 1 2 (\ Displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2)) y σ 2 2 (\ Displaystyle \ sigma _ (2) ^ (2)) en consecuencia, entonces X 1 + X 2 (\ Displaystyle X_ (1) + X_ (2)) también tiene una distribución normal con expectativa μ 1 + μ 2 (\ Displaystyle \ mu _ (1) + \ mu _ (2)) y varianza σ 1 2 + σ 2 2. (\ Displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2) + \ sigma _ (2) ^ (2).) Esto implica que una variable aleatoria normal se puede representar como la suma de un número arbitrario de variables aleatorias normales independientes.
Entropía máxima
La distribución normal tiene la máxima entropía diferencial entre todas las distribuciones continuas, cuya varianza no excede un valor dado.
Modelado de valores normales pseudoaleatorios
Los métodos de modelado aproximado más simples se basan en el teorema del límite central. Es decir, si agregamos varias cantidades independientes distribuidas de manera idéntica con una varianza finita, entonces la suma se distribuirá aproximadamente multa. Por ejemplo, si agrega 100 estándares independientes igualmente variables aleatorias distribuidas, entonces la distribución de la suma será aproximadamente normal.
Para la generación programática de variables pseudoaleatorias normalmente distribuidas, es preferible utilizar la transformada Box-Muller. Le permite generar una cantidad distribuida normalmente basada en una cantidad distribuida uniformemente.
Distribución normal en naturaleza y aplicaciones.
La distribución normal es común en la naturaleza. Por ejemplo, las siguientes variables aleatorias están bien modeladas por la distribución normal:
- deflexión al disparar.
- Errores de medición (sin embargo, los errores de algunos instrumentos de medición no tienen distribuciones normales).
- algunas características de los organismos vivos en la población.
Esta distribución está tan extendida porque es una distribución continua infinitamente divisible con varianza finita. Por tanto, otros se acercan al límite, por ejemplo, binomial y Poisson. Esta distribución simula muchos procesos físicos no deterministas.
Relación con otras distribuciones
- La distribución normal es una distribución de Pearson tipo XI.
- La razón de un par de variables aleatorias estándar independientes distribuidas normalmente tiene una distribución de Cauchy. Es decir, si la variable aleatoria X (\ Displaystyle X) es una relación X = Y / Z (\ Displaystyle X = Y / Z)(dónde Y (\ Displaystyle Y) y Z (\ Displaystyle Z) son variables aleatorias normales estándar independientes), entonces tendrá la distribución de Cauchy.
- Si z 1,…, z k (\ Displaystyle z_ (1), \ ldots, z_ (k)) son variables aleatorias normales estándar conjuntamente independientes, es decir, z yo ∼ N (0, 1) (\ Displaystyle z_ (i) \ sim N \ left (0,1 \ right)), luego la variable aleatoria x = z 1 2 +… + z k 2 (\ displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + \ ldots + z_ (k) ^ (2)) tiene una distribución de chi-cuadrado con k grados de libertad.
- Si una variable aleatoria X (\ Displaystyle X) está sujeto a una distribución logarítmica normal, entonces su logaritmo natural tiene una distribución normal. Es decir, si X ∼ L o g N (μ, σ 2) (\ Displaystyle X \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), luego Y = ln (X) ∼ N (μ, σ 2) (\ Displaystyle Y = \ ln \ left (X \ right) \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right ))... Por el contrario, si Y ∼ N (μ, σ 2) (\ Displaystyle Y \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), luego X = exp (Y) ∼ L og N (μ, σ 2) (\ displaystyle X = \ exp \ left (Y \ right) \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ Derecha)).
- La razón de los cuadrados de dos variables aleatorias normales estándar tiene
La ley de distribución normal (a menudo llamada ley de Gauss) juega un papel extremadamente importante en la teoría de la probabilidad y ocupa una posición especial entre otras leyes de distribución. Esta es la ley de distribución más común en la práctica. La característica principal que distingue a la ley normal de otras leyes es que es una ley limitante, que es abordada por otras leyes de distribución en condiciones típicas muy frecuentes.
Se puede demostrar que la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (o débilmente dependientes), sujetas a cualquier ley de distribución (sujeto a algunas restricciones muy flexibles), obedece aproximadamente a la ley normal, y esta es la más precisa cuanto más se resumen las variables aleatorias. La mayoría de las variables aleatorias que se encuentran en la práctica, como, por ejemplo, errores de medición, errores de disparo, etc., se pueden representar como las sumas de un gran número de términos relativamente pequeños: errores elementales, cada uno de los cuales es causado por la acción de una causa separada, independiente de las otras ... Cualesquiera que sean las leyes de distribución que estén sujetas a errores elementales individuales, las características de estas distribuciones en la suma de un gran número de términos se nivelan y la suma resulta estar sujeta a una ley cercana a la normal. La principal restricción impuesta a los errores que se van a sumar es que todos juegan un papel relativamente pequeño en la suma total. Si esta condición no se cumple y, por ejemplo, uno de los errores aleatorios resulta que su influencia sobre la suma prevalece bruscamente sobre todas las demás, entonces la ley de distribución de este error predominante impondrá su influencia sobre la suma y determinará su ley de distribución en sus principales características.
Los teoremas que establecen la ley normal como el límite para la suma de términos aleatorios independientes uniformemente pequeños se considerarán con más detalle en el capítulo 13.
La ley de distribución normal se caracteriza por una densidad de probabilidad de la forma:
La curva de distribución normal tiene una forma de colina simétrica (Fig. 6.1.1). La ordenada máxima de la curva, igual a, corresponde al punto; a medida que aumenta la distancia desde el punto, la densidad de distribución disminuye y, en, la curva se acerca asintóticamente al eje de abscisas.
Averigüemos el significado de los parámetros numéricos e incluidos en la expresión de la ley normal (6.1.1); Demostremos que la cantidad no es más que la expectativa matemática y que la cantidad es la desviación estándar de la cantidad. Para hacer esto, calculamos las principales características numéricas de la cantidad: la expectativa matemática y la varianza.
Aplicar sustitución de variables
Es fácil verificar que el primero de los dos intervalos de la fórmula (6.1.2) sea igual a cero; el segundo es la conocida integral de Euler-Poisson:
. (6.1.3)
Por eso,
aquellos. el parámetro es la expectativa matemática del valor. Este parámetro, especialmente en tareas de disparo, a menudo se denomina centro de dispersión (abreviado como c. R.).
Calculemos la varianza de la cantidad:
.
Aplicando nuevamente la variable de reemplazo
Integrando por partes, obtenemos:
El primer término entre llaves es igual a cero (ya que a disminuye más rápido que cualquier aumento de grado), el segundo término de la fórmula (6.1.3) es igual, de donde
Por lo tanto, el parámetro de la fórmula (6.1.1) no es más que la desviación estándar del valor.
Averigüemos el significado de los parámetros y la distribución normal. Se ve directamente en la fórmula (6.1.1) que el centro de simetría de la distribución es el centro de dispersión. Esto se desprende del hecho de que cuando el signo de diferencia cambia al opuesto, la expresión (6.1.1) no cambia. Si cambia el centro de dispersión, la curva de distribución se desplazará a lo largo de la abscisa sin cambiar su forma (Fig. 6.1.2). El centro de dispersión caracteriza la posición de la distribución en el eje de abscisas.
La dimensión del centro de dispersión es la misma que la dimensión de una variable aleatoria.
El parámetro caracteriza no la posición, sino la forma misma de la curva de distribución. Ésta es la característica de dispersión. La ordenada más grande de la curva de distribución es inversamente proporcional; al aumentar, la ordenada máxima disminuye. Dado que el área de la curva de distribución debe permanecer siempre igual a uno, entonces, al aumentar, la curva de distribución se vuelve más plana y se extiende a lo largo de la abscisa; por el contrario, con una disminución, la curva de distribución se estira hacia arriba, encogiéndose simultáneamente desde los lados y se vuelve más en forma de aguja. En la Fig. 6.1.3 muestra tres curvas normales (I, II, III) en; de estos, la curva I corresponde al valor más grande y la curva III al valor más pequeño. Cambiar el parámetro equivale a cambiar la escala de la curva de distribución: aumentar la escala a lo largo de un eje y la misma disminución a lo largo del otro.
Ejemplos de variables aleatorias distribuidas según la ley normal son la altura de una persona, la masa de un pez de una especie capturada. La distribución normal significa lo siguiente
: hay valores de altura humana, la masa de peces de una especie, que se perciben intuitivamente como "normales" (pero de hecho, promedio), y se encuentran en una muestra bastante grande con mucha más frecuencia que los que difieren en el lado mayor o menor.
La distribución de probabilidad normal de una variable aleatoria continua (a veces, la distribución gaussiana) puede denominarse en forma de campana debido al hecho de que la función de densidad de esta distribución, simétrica con respecto a la media, es muy similar a un corte de campana (curva roja en la figura de arriba).
La probabilidad de encontrar ciertos valores en la muestra es igual al área de la figura debajo de la curva, y en el caso de una distribución normal, vemos que debajo de la parte superior de la "campana", que corresponde a los valores Tendiendo a la media, el área, y por lo tanto la probabilidad, es mayor que debajo de los bordes. Así, obtenemos lo mismo que ya se ha dicho: la probabilidad de encontrarnos con una persona de estatura "normal", pescar un pez de peso "normal" es mayor que para valores que difieren en mayor o menor dirección. En muchos casos de práctica, los errores de medición se distribuyen de acuerdo con una ley cercana a lo normal.
Detengámonos nuevamente en la figura al comienzo de la lección, que muestra la función de densidad de la distribución normal. El gráfico de esta función se obtuvo calculando una determinada muestra de datos en el paquete de software ESTADISTICA... En él, las columnas del histograma representan intervalos de valores de muestra, cuya distribución es cercana (o, como dicen en las estadísticas, difiere insignificantemente) del gráfico real de la función de densidad de la distribución normal, que es un rojo curva. El gráfico muestra que esta curva tiene forma de campana.
La distribución normal es valiosa de muchas maneras debido al hecho de que conociendo solo la expectativa matemática de una variable aleatoria continua y la desviación estándar, se puede calcular cualquier probabilidad asociada con esta cantidad.
La distribución normal también tiene la ventaja de ser una de las más fáciles de usar. pruebas estadísticas utilizadas para probar hipótesis estadísticas - prueba t de Student- solo se puede utilizar cuando los datos de la muestra cumplen la ley de distribución normal.
La función de densidad de la distribución normal de una variable aleatoria continua. se puede encontrar mediante la fórmula:
,
dónde X- el valor de la variable, - la media, - la desviación estándar, mi= 2.71828 ... es la base del logaritmo natural, = 3.1416 ...
Propiedades de la función de densidad de distribución normal
Los cambios en la media mueven la curva de distribución normal en la dirección del eje Buey... Si aumenta, la curva se mueve hacia la derecha, si disminuye, luego hacia la izquierda.
Si cambia la desviación estándar, entonces cambia la altura de la parte superior de la curva. A medida que aumenta la desviación estándar, la parte superior de la curva es más alta y, a medida que la desviación estándar disminuye, es más baja.
Probabilidad de alcanzar un valor de una variable aleatoria distribuida normalmente en un intervalo dado
Ya en esta sección, comenzaremos a resolver problemas prácticos, cuyo significado se indica en el título. Examinemos qué posibilidades ofrece la teoría para resolver problemas. El concepto inicial para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga dentro de un intervalo dado es la función de distribución normal acumulada.
Función de distribución normal acumulada:
.
Sin embargo, es problemático obtener tablas para cada combinación posible de desviación estándar y media. Por lo tanto, una de las formas más sencillas de calcular la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga dentro de un intervalo dado es utilizar tablas de probabilidad para la distribución normal estandarizada.
Estandarizada o normalizada es la distribución normal., cuya media es, y la desviación estándar.
Función de densidad de la distribución normal estandarizada:
.
Función acumulativa de distribución normal estandarizada:
.
La siguiente figura muestra la función acumulativa de la distribución normal estandarizada, cuyo gráfico se obtuvo calculando una determinada muestra de datos en el paquete de software. ESTADISTICA... El gráfico en sí es una curva roja y los valores de la muestra se acercan a ella.
Para ampliar la imagen, puede hacer clic en ella con el botón izquierdo del ratón.
La estandarización de una variable aleatoria significa la transición de las unidades originales utilizadas en la tarea a unidades estandarizadas. La estandarización se lleva a cabo de acuerdo con la fórmula.
En la práctica, a menudo no se conocen todos los valores posibles de una variable aleatoria, por lo que la media y la desviación estándar no se pueden determinar con precisión. Se reemplazan por la media aritmética de las observaciones y la desviación estándar. s... La cantidad z expresa la desviación de los valores de una variable aleatoria de la media aritmética al medir desviaciones estándar.
Intervalo abierto
La tabla de probabilidad para la distribución normal estandarizada, que se encuentra en casi cualquier libro de estadística, contiene las probabilidades de que una variable aleatoria tenga una distribución normal estandarizada. Z tomará un valor menor que cierto número z... Es decir, caerá en el intervalo abierto desde menos infinito hasta z... Por ejemplo, la probabilidad de que la cantidad Z menos de 1,5 es igual a 0,93319.
Ejemplo 1. La empresa produce piezas con una vida útil normal de 1000 horas y una desviación estándar de 200 horas.
Para una pieza seleccionada al azar, calcule la probabilidad de que su vida útil sea de al menos 900 horas.
Solución. Introduzcamos la primera notación:
Buscando probabilidad.
Los valores de la variable aleatoria están en el intervalo abierto. Pero sabemos cómo calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor que uno dado, y según la condición del problema, se requiere encontrar uno igual o mayor que uno dado. Esta es la otra parte del espacio debajo de la curva de densidad de la campana. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad deseada, debe restar de la unidad la probabilidad mencionada de que la variable aleatoria tome un valor menor que un determinado 900:
Ahora es necesario estandarizar la variable aleatoria.
Seguimos introduciendo la notación:
z = (X ≤ 900)
;
X= 900 - un valor dado de una variable aleatoria;
μ
= 1000 - valor medio;
σ
= 200 - desviación estándar.
Con base en estos datos, las condiciones del problema son:
.
Según tablas de variable aleatoria estandarizada (límite de intervalo) z= −0,5 corresponde a una probabilidad de 0,30854. Réstelo de la unidad y obtenga lo que se requiere en el enunciado del problema:
Entonces, la probabilidad de que una pieza dure al menos 900 horas es del 69%.
Esta probabilidad se puede obtener utilizando la función NORM.DIST de MS Excel (el valor del valor integral es 1):
PAG(X≥900) = 1 - PAG(X≤900) = 1 - DISTR.NORM (900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.
Acerca de los cálculos en MS Excel: en uno de los párrafos siguientes de esta lección.
Ejemplo 2. En alguna ciudad, el ingreso familiar anual promedio es una variable aleatoria normalmente distribuida con un valor promedio de 300.000 y una desviación estándar de 50.000. Se sabe que los ingresos del 40% de las familias son inferiores a A... Encuentra el valor A.
Solución. En este problema, el 40% no es más que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de un intervalo abierto menor que un cierto valor indicado por la letra A.
Para encontrar la magnitud A, primero componimos la función integral:
Por la condición del problema
μ
= 300000 - valor medio;
σ
= 50.000 - desviación estándar;
X = A- el valor que se va a encontrar.
Componiendo igualdad
.
Según las tablas estadísticas, encontramos que la probabilidad 0.40 corresponde al valor del borde del intervalo z = −0,25
.
Por tanto, inventamos la igualdad
y encuentra su solución:
A = 287300
.
Respuesta: el 40% de las familias tienen ingresos inferiores a 287,300.
Intervalo cerrado
En muchos problemas se requiere encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente tome un valor en el rango de z 1 a z 2. Es decir, caerá en el intervalo cerrado. Para resolver tales problemas, es necesario encontrar en la tabla las probabilidades correspondientes a los límites del intervalo y luego encontrar la diferencia entre estas probabilidades. Esto requiere restar el valor más pequeño del más grande. Los ejemplos de soluciones a estos problemas comunes son los siguientes, y se propone resolverlos de forma independiente, y luego puede ver las soluciones y respuestas correctas.
Ejemplo 3. El beneficio de una empresa durante un período determinado es una variable aleatoria, sujeta a la ley de distribución normal con un valor medio de 0,5 millones. y una desviación estándar de 0,354. Determine, con una precisión de dos decimales, la probabilidad de que la ganancia de la empresa sea de 0,4 a 0,6 c.u.
Ejemplo 4. La longitud de la pieza a producir es una variable aleatoria distribuida según la ley normal con parámetros μ
= 10 y σ
= 0,071. Encuentre, con una precisión de dos lugares decimales, la probabilidad de un matrimonio si las dimensiones permitidas de la parte deben ser 10 ± 0.05.
Sugerencia: en este problema, además de encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo cerrado (la probabilidad de obtener una pieza no defectuosa), debe realizar una acción más.
le permite determinar la probabilidad de que el valor estandarizado Z no menos -z y no mas + z, dónde z- un valor elegido arbitrariamente de una variable aleatoria estandarizada.
Un método aproximado para verificar la normalidad de una distribución
Un método aproximado para verificar la normalidad de la distribución de los valores muestrales se basa en lo siguiente propiedad de la distribución normal: coeficiente de asimetría β
1
y el coeficiente de curtosis β
2
igual a cero.
Coeficiente de asimetría β
1
caracteriza numéricamente la simetría de la distribución empírica sobre la media. Si el coeficiente de asimetría es cero, entonces la media aritmétrica, la mediana y la moda son iguales: y la curva de densidad de distribución es simétrica con respecto a la media. Si el coeficiente de asimetría es menor que cero (β
1
< 0
), entonces la media aritmética es menor que la mediana, y la mediana, a su vez, es menor que la moda () y la curva se desplaza hacia la derecha (en comparación con la distribución normal). Si el coeficiente de asimetría es mayor que cero (β
1
> 0
), entonces la media aritmética es mayor que la mediana, y la mediana, a su vez, es mayor que la moda () y la curva se desplaza hacia la izquierda (en comparación con la distribución normal).
Coeficiente de curtosis β
2
caracteriza la concentración de la distribución empírica alrededor de la media aritmética en la dirección del eje Oy y el grado de pico de la curva de densidad de distribución. Si el coeficiente de curtosis es mayor que cero, entonces la curva es más alargada (en comparación con la distribución normal) a lo largo del eje Oy(el gráfico es más puntiagudo). Si el coeficiente de curtosis es menor que cero, entonces la curva es más plana (en comparación con la distribución normal) a lo largo del eje Oy(el gráfico es más contundente).
El factor de sesgo se puede calcular utilizando la función SKOS de MS Excel. Si está marcando una matriz de datos, debe ingresar el rango de datos en un cuadro "Número".
El coeficiente de curtosis se puede calcular utilizando la función EXCESO de MS Excel. Al verificar una matriz de datos, también es suficiente ingresar el rango de datos en una casilla "Número".
Entonces, como ya sabemos, con una distribución normal, los coeficientes de asimetría y curtosis son iguales a cero. Pero, ¿qué pasa si tenemos coeficientes de asimetría iguales a -0,14, 0,22, 0,43 y coeficientes de curtosis iguales a 0,17, -0,31, 0,55? La pregunta es bastante justa, ya que en la práctica estamos tratando solo con valores aproximados y selectivos de asimetría y curtosis, que están sujetos a una dispersión inevitable e incontrolable. Por lo tanto, es imposible exigir una igualdad estricta de estos coeficientes a cero, solo deben estar lo suficientemente cerca de cero. Pero, ¿qué significa? ¿Suficiente?
Se requiere comparar los valores empíricos obtenidos con los valores aceptables. Para hacer esto, debe verificar las siguientes desigualdades (compare los valores de los coeficientes en módulo con los valores críticos, los límites del área de prueba de hipótesis).
Para el coeficiente de asimetría β
1
.
) juega un papel particularmente importante en la teoría de la probabilidad y se utiliza con mayor frecuencia para resolver problemas prácticos. Su característica principal es que se trata de una ley limitante, a la que otras leyes de distribución abordan en condiciones típicas que se encuentran con mucha frecuencia. Por ejemplo, la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (o débilmente dependientes) obedece aproximadamente a la ley normal, y esto se hace cuanto más exactamente se suman las variables aleatorias.
Se ha comprobado experimentalmente que los errores de medición, las desviaciones en las dimensiones geométricas y la posición de los elementos estructurales del edificio durante su fabricación e instalación, la variabilidad de las características físicas y mecánicas de los materiales y las cargas que actúan sobre las estructuras del edificio están sujetos a la ley normal.
La distribución gaussiana obedece a casi todos los valores aleatorios, cuya desviación de los valores medios es causada por un gran conjunto de factores aleatorios, cada uno de los cuales es individualmente insignificante. (teorema del límite central).
Distribución normal se denomina distribución de una variable aleatoria continua, para la cual la densidad de probabilidad tiene la forma (figura 18.1).
Arroz. 18.1. Ley de distribución normal para un 1< a 2 .
donde ay son parámetros de distribución.
Las características probabilísticas de una variable aleatoria distribuida según la ley normal son:
Valor esperado (18,2)
Dispersión (18,3)
Desviación estándar (18,4)
Coeficiente de asimetría A = 0(18.5)
Exceso mi= 0. (18.6)
El parámetro σ incluido en la distribución gaussiana es igual a la razón cuadrática media del valor aleatorio. La cantidad a determina la posición del centro de distribución (ver Fig. 18.1), y el valor a- el ancho de la distribución (Fig. 18.2), es decir dispersión estadística alrededor de la media.
Arroz. 18.2. Ley de distribución normal para σ 1< σ 2 < σ 3
La probabilidad de caer en un intervalo dado (de x 1 ax 2) para una distribución normal, como en todos los casos, está determinada por la integral de la densidad de probabilidad (18.1), que no se expresa en términos de funciones elementales y es representada por una función especial, llamada función de Laplace (integral de probabilidades).
Una de las representaciones de la integral de probabilidades:
La cantidad y llamado cuantil.
Se ve que Ф (х) es una función impar, es decir, Ф (-х) = -Ф (х) .
Los valores de esta función se calculan y presentan en forma de tablas en la literatura técnica y educativa.
La función de distribución de la ley normal (figura 18.3) se puede expresar mediante la integral de probabilidades:
Arroz. 18.2. Función de la ley de distribución normal.
La probabilidad de acertar con una variable aleatoria distribuida de acuerdo con la ley normal en el intervalo de NS. ax, está determinada por la expresión:
se debe notar que
Ф (0) = 0; Ф (∞) = 0,5; Ф (-∞) = -0,5.
Al resolver problemas prácticos relacionados con la distribución, a menudo es necesario considerar la probabilidad de caer en un intervalo simétrico con respecto a la expectativa matemática, si la longitud de este intervalo, es decir si el intervalo en sí tiene un límite de a, tenemos:
Al resolver problemas prácticos, los límites de las desviaciones de los valores aleatorios se expresan en términos del estándar, la desviación de la raíz cuadrada media, multiplicada por un factor que determina los límites de la región de desviaciones de la variable aleatoria.
Tomando y y también usando la fórmula (18.10) y la tabla Ф (х) (Apéndice No. 1), obtenemos
Estas fórmulas muestran que si una variable aleatoria tiene una distribución normal, entonces la probabilidad de su desviación de su valor medio en no más de σ es 68.27%, no más de 2σ - 95.45% y no más de 3σ - 99.73%.
Dado que el valor de 0.9973 está cerca de la unidad, es prácticamente imposible que la distribución normal de una variable aleatoria se desvíe de la expectativa matemática en más de 3σ. Esta regla, que es cierta solo para la distribución normal, se denomina regla de los tres sigmas. Romperlo tiene una oportunidad P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Esta regla se usa al establecer los límites de las desviaciones permisibles de las tolerancias de las características geométricas de productos y estructuras.
Aleatorio, si, fruto de la experiencia, puede tomar valores reales con ciertas probabilidades. La característica más completa y exhaustiva de una variable aleatoria es la ley de distribución. La ley de distribución es una función (tabla, gráfico, fórmula) que le permite determinar la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un cierto valor xi o caiga en un cierto intervalo. Si una variable aleatoria tiene una ley de distribución dada, entonces dicen que se distribuye de acuerdo con esta ley u obedece a esta ley de distribución.
Cada ley de distribución Es una función que describe completamente una variable aleatoria desde un punto de vista probabilístico. En la práctica, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X a menudo tiene que ser juzgada solo por los resultados de la prueba.
Distribución normal
Distribución normal También llamada distribución gaussiana, una distribución de probabilidad que juega un papel fundamental en muchas áreas del conocimiento, especialmente la física. Una cantidad física obedece a una distribución normal cuando está influenciada por un gran número de interferencias aleatorias. Está claro que tal situación es extremadamente común, por lo tanto, podemos decir que de todas las distribuciones, en la naturaleza, es la distribución normal la que se encuentra con mayor frecuencia, de ahí uno de sus nombres.
La distribución normal depende de dos parámetros: desplazamiento y escala, es decir, desde un punto de vista matemático, no es una distribución, sino una familia completa de ellos. Los valores de los parámetros corresponden a los valores de la media (expectativa matemática) y la dispersión (desviación estándar).
La distribución normal estándar es una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1.
Coeficiente de asimetría
El coeficiente de asimetría es positivo si la cola derecha de la distribución es más larga que la izquierda y negativo en caso contrario.
Si la distribución es simétrica con respecto a la expectativa matemática, entonces su coeficiente de asimetría es cero.
El coeficiente de asimetría de la muestra se utiliza para probar la distribución de simetría, así como para una prueba preliminar aproximada de normalidad. Permite el rechazo, pero no permite la aceptación de la hipótesis de normalidad.
Coeficiente de curtosis
El coeficiente de curtosis (coeficiente de pico) es una medida de la nitidez del pico de la distribución de una variable aleatoria.
El "menos tres" al final de la fórmula se introdujo para hacer que el coeficiente de curtosis de la distribución normal sea igual a cero. Es positivo si el pico de la distribución cerca de la expectativa matemática es agudo y negativo si el vértice es uniforme.
Momentos de una variable aleatoria
El momento de una variable aleatoria es una característica numérica de la distribución de una variable aleatoria dada.
