Доста често е възможно да се изолира важни характеристикидвижение механична системабез да се прибягва до системна интеграция диференциални уравнениядвижения. Това се постига чрез прилагане на общите теореми на динамиката.

5.1. Основни понятия и определения

Външни и вътрешни сили.Всяка сила, действаща върху точка в механична система, непременно е или активна сила, или реакция на свързване. Целият набор от сили, действащи върху точките на системата, може да бъде разделен на два класа по различен начин: външни сили и вътрешни сили (индекси e и i - от латинските думи externus - външен и internus - вътрешен). Външни сили са тези, които действат върху точки на система от точки и тела, които не са част от разглежданата система. Силите на взаимодействие между точките и телата на разглежданата система се наричат ​​вътрешни.

Това разделение зависи от това кои материални точки и тела са включени от изследователя в разглежданата механична система. Ако разширите състава на системата, като включите допълнителни точки и тела, тогава някои сили, които са били външни за предишната система, могат да станат вътрешни за разширената система.

Свойства на вътрешните сили.Тъй като тези сили са сили на взаимодействие между частите на системата, те влизат в цялостната система от вътрешни сили в "две", организирани в съответствие с аксиомата действие-реакция. Всяко такова „две“ има силни страни

главен вектор и Основната точкаспрямо произволен център са равни на нула. Тъй като пълната система от вътрешни сили се състои само от „двойки“, тогава

1) основният вектор на системата от вътрешни сили е нула,

2) основният момент на системата от вътрешни сили спрямо произволна точка е равен на нула.

Масата на системата се нарича аритметична сумамаси tk на всички точки и тела, образуващи системата:

Център на масата(център на инерция) на механична система е геометричната точка C, чийто радиус-вектор и координати се определят по формулите

където са радиус-векторите и координатите на точките, образуващи системата.

За твърдо, разположени в еднородно поле на тежестта, позициите на центъра на масата и центъра на тежестта съвпадат, в други случаи това са различни геометрични точки.

Заедно с инерциалната отправна система често се разглежда едновременно неинерциална отправна система, движеща се постъпателно. Неговите координатни оси (оси на Кьониг) са избрани така, че началото C постоянно да съвпада с центъра на масата на механичната система. В съответствие с определението центърът на масата е неподвижен в осите на Кьониг и се намира в началото на координатите.

Инерционен момент на систематаспрямо ос е скаларна величина, равна на сумата от произведенията на масите mk на всички точки на системата по квадратите на техните разстояния до оста:

Ако механичната система е твърдо тяло, за да намерите 12, можете да използвате формулата

къде е плътността, обемът, зает от тялото.

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО И ХРАНИТЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛАРУС

Образователна институция „БЕЛАРУСКО ДЪРЖАВНО СЕЛСКО СТОПАНСТВО

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

Катедра "Теоретична механика и теория на механизмите и машините".

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА

методически комплекс за студенти по специалности

74 06 Агроинженерство

В 2 части Част 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

съставен от:

Кандидат на физико-математическите науки, доцент Ю. С. Биза, канд технически науки, доцент Н. Л. Ракова, ст. преп. А. Тарасевич

Рецензенти:

Катедрата по теоретична механика на образователната институция "Беларуски национален технически университет" (гл.

Катедра "Теоретична механика" БНТУ Доктор на физико-математическите науки, професор А. В. Чигарев);

Водещ изследовател на лабораторията по защита от вибрации на механични системи на Държавната научна институция Обединен институт по машиностроене

НАН на Беларус", кандидат на техническите науки, доцент А. М. Гоман

Теоретична механика. Раздел "Динамика": образователен

Метод Т33. комплекс. В 2 ч. Част 1 / съставители: Ю. С. Биза, Н. Л. Ракова, И. А. Тарасевич. – Минск: BGATU, 2013. – 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

Учебно-методическият комплекс представя материали за изучаване на раздел „Динамика”, част 1, който е част от дисциплината „Теоретична механика”. Включва курс от лекции, основни материали за изпълнение практически занятия, задачи и образци на задачи за самостоятелна работа и контрол образователни дейностиредовни и задочни студенти.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7

ВЪВЕДЕНИЕ

Теоретичната механика е наука за общите закони на механичното движение, равновесието и взаимодействието на материалните тела.

Това е една от фундаменталните общонаучни физико-математически дисциплини. Това е теоретичната основа на съвременната технология.

Изучаването на теоретична механика, наред с други физико-математически дисциплини, спомага за разширяване на научния кръгозор, развива способността за конкретно и абстрактно мислене и спомага за повишаване на общата техническа култура на бъдещия специалист.

Теоретичната механика, като научна основа на всички технически дисциплини, допринася за развитието на уменията рационални решенияинженерни задачи, свързани с експлоатацията, ремонта и проектирането на селскостопански и мелиоративни машини и съоръжения.

Въз основа на естеството на разглежданите проблеми механиката се разделя на статика, кинематика и динамика. Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела под въздействието на приложени сили.

IN учебно-методическикомплекс (UMK) представя материали за изучаване на раздел „Динамика“, който включва курс от лекции, основни материали за провеждане практическа работа, задачи и образци на изпълнение за самостоятелна работаи наблюдение на учебната дейност на студентите редовна и задочна форма на обучение.

IN В резултат на изучаването на раздела „Динамика“ ученикът трябва да научи теоретична основадинамика и овладяване на основните методи за решаване на динамични задачи:

Познава методи за решаване на динамични проблеми, общи теоремидинамика, принципи на механиката;

Да може да определя законите на движение на тялото в зависимост от силите, действащи върху него; прилагат законите и теоремите на механиката за решаване на проблеми; определят статични и динамични реакции на връзки, ограничаващи движението на телата.

Учебният план на дисциплината „Теоретична механика” предвижда общ хорариум – 136 часа, в това число 36 часа за изучаване на раздел „Динамика”.

1. НАУЧНО И ТЕОРЕТИЧНО СЪДЪРЖАНИЕ НА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИ КОМПЛЕКС

1.1. Терминологичен речник

Статиката е раздел от механиката, който излага общото учение за силите и изучава намаляването сложни системисили до най-проста форма и се установяват условията на равновесие различни системисила

Кинематиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални обекти независимо от причините, причиняващи това движение, т.е. независимо от силите, действащи върху тези обекти.

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерционна система– система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката.

Силовият импулс е векторна мярка за действието на силата за известно време.

Импулс на материална точка – векторна мярка на нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейния вектор на скоростта.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Елементарна работа на силатае безкрайно малка скаларна величина, равна на скаларното произведение на вектора на силата и вектора на безкрайно малко преместване на точката на приложение на силата.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Кинетичната енергия на материална точка е скаларна енергия

положително количество, равно на половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост.

Кинетична енергия на механична система - аритме-

тична сума от кинетичните енергии на всички материални точки на тази система.

Силата е мярка за механичното взаимодействие на телата, характеризираща неговата интензивност и посока.

1.2. Теми и съдържание на лекциите

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Тема 1. Динамика на материална точка

Закони на динамиката на материална точка (закони на Галилей – Нютон). Диференциални уравнения на движение на материална точка. Два основни проблема на динамиката за материална точка. Решение на втората задача на динамиката; константи на интегриране и тяхното определяне от начални условия.

Литература:, с. 180-196, , с. 12-26.

Тема 2. Динамика на относителното движение на материала

Относително движение на материална точка. Диференциални уравнения на относително движение на точка; преносими и Кориолисови инерционни сили. Принципът на относителността в класическата механика. Случай на относително спокойствие.

Литература: , с. 180-196, , с. 127-155.

Тема 3. Геометрия на масите. Център на масата на механична система

Маса на системата. Центърът на масата на системата и неговите координати.

Литература:, с. 86-93, с. 264-265

Тема 4. Инерционни моменти на твърдо тяло

Инерционни моменти на твърдо тяло спрямо оста и полюса. Радиус на инерция. Теорема за инерционните моменти относно успоредни оси. Аксиални инерционни моменти на някои тела.

Центробежните инерционни моменти като характеристика на асиметрията на тялото.

Литература: , с. 265-271, , с. 155-173.

Раздел 2. Общи теореми за динамиката на материална точка

и механична система

Тема 5. Теорема за движението на центъра на масата на системата

Теорема за движението на центъра на масата на системата. Следствия от теоремата за движението на центъра на масата на системата.

Литература: , с. 274-277, , с. 175-192.

Тема 6. Импулс на материална точка

и механична система

Количеството движение на материална точка и механична система. Елементарен импулс и импулс на сила за краен период от време. Теорема за промяната на импулса на точка и система в диференциална и интегрална форма. Закон за запазване на импулса.

Литература: , с. 280-284, , с. 192-207.

Тема 7. Импулс на материална точка

и механична система спрямо центъра и оста

Моментът на импулса на точка спрямо центъра и оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на точка. Кинетичният момент на механична система спрямо центъра и оста.

Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на ъгловия момент на системата. Закон за запазване на ъгловия момент.

Литература: , с. 292-298, , с. 207-258.

Тема 8. Работа и сила на силите

Елементарна работа на силата, нейното аналитично изражение. Работа, извършена от сила на краен път. Работа на тежестта, еластична сила. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили, действащи в твърдо тяло, е равна на нула. Работата на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Мощност. Ефективност.

Литература: , с. 208-213, , с. 280-290.

Тема 9. Кинетична енергия на материална точка

и механична система

Кинетична енергия на материална точка и механична система. Изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло в различни случаи на неговото движение. Теорема на Кьониг. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка в диференциална и интегрална форма. Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и интегрална форма.

Литература: , с. 301-310, , с. 290-344.

Тема 10. Потенциално силово поле и потенциал

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия.

Литература: , с. 317-320, , с. 344-347.

Тема 11. Динамика на твърдото тяло

Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Литература: , с. 323-334, , с. 157-173.

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

материално тяло- тяло, което има маса.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна. Това може да бъде или тяло, чиито размери по време на движението му могат да бъдат пренебрегнати, или тяло с крайни размери, ако се движи постъпателно.

Материални точки се наричат ​​още частици, на които едно твърдо тяло се разделя мислено при определяне на някои от неговите динамични характеристики. Примери за материални точки (фиг. 1): а – движението на Земята около Слънцето. Земята е материална точка – постъпателно движение на твърдо тяло. Твърдо тяло - майка

ал точка, защото V B = V A ; a B = a A; c – въртене на тялото около ос.

Частица от тяло е материална точка.

Инерцията е свойството на материалните тела да променят по-бързо или по-бавно скоростта на своето движение под въздействието на приложени сили.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение. В класическата механика масата е постоянна величина.

Силата е количествена мярка за механичното взаимодействие между телата или между тяло (точка) и поле (електрическо, магнитно и др.).

Силата е векторна величина, характеризираща се с величина, точка на приложение и посока (линия на действие) (фиг. 2: A - точка на приложение; AB - линия на действие на силата).

Ориз. 2

В динамиката наред с постоянните сили съществуват и променливи сили, които могат да зависят от времето t, скоростϑ, разстоянието или от комбинация от тези величини, т.е.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

електрически локомотив; c − F = F (r) – силата на отблъскване от центъра O или привличане към него.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерциална система е система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката. Това е фиксирана координатна система или система, движеща се равномерно и линейно.

Движението в механиката е промяна в положението на тялото в пространството и времето спрямо други тела.

Пространството в класическата механика е триизмерно, подчинявайки се на евклидовата геометрия.

Времето е скаларна величина, която тече еднакво във всяка референтна система.

Система от единици е съвкупност от мерни единици физични величини. За измерване на всички механични величини са достатъчни три основни единици: единици за дължина, време, маса или сила.

Всички останали мерни единици на механични величини са получени от тях. Използват се два вида системи единици: международна система единици SI (или по-малка - GHS) и техническа система единици - ICGSS.

Тема 1. Динамика на материална точка

1.1. Закони на динамиката на материална точка (закони на Галилей-Нютон)

Първи закон (закон за инерцията).

Материална точка, изолирана от външни влияния, поддържа своето състояние на покой или се движи равномерно и праволинейно, докато приложените сили не я принудят да промени това състояние.

Движението, извършвано от точка при липса на сили или под действието на уравновесена система от сили, се нарича движение по инерция.

Например движението на тяло по гладка (силата на триене е нула)

хоризонтална повърхност (фиг. 4: G – телесно тегло; N – нормална равнинна реакция).

Тъй като G = − N, тогава G + N = 0.

Когато ϑ 0 ≠ 0 тялото се движи със същата скорост; когато ϑ 0 = 0 тялото е в покой (ϑ 0 е началната скорост).

Втори закон (основен закон на динамиката).

Произведението от масата на дадена точка и ускорението, което тя получава под въздействието на дадена сила, е равно по големина на тази сила и нейната посока съвпада с посоката на ускорението.

а б

Математически този закон се изразява чрез векторно равенство

Когато F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точката се движи равномерно и праволинейно или при ϑ 0 = 0 – тя е в покой (закон за инерцията). Второ

законът ни позволява да установим връзка между масата m на тяло, разположено близо до земната повърхност, и неговото тегло G .G = mg, къдетоg –

ускорение на гравитацията.

Трети закон (закон за равенството на действието и противодействието). Две материални точки действат една върху друга с равни по големина сили, насочени по правата, свързваща ги

тези точки в противоположни посоки.

Тъй като силите F 1 = − F 2 са приложени към различни точки, системата от сили (F 1 , F 2 ) не е балансирана, т.е. (F 1 , F 2 )≈ 0 (фиг. 6).

масите на взаимодействащите точки са обратно пропорционални на техните ускорения.

Четвъртият закон (законът за независимостта на действието на силите). Ускорението, получено от точка при едновременно действие върху нея

но няколко сили, равни на геометричната сума от онези ускорения, които точката би получила, ако всяка сила се приложи към нея поотделно.

Обяснение (фиг. 7).

t a n

a 1 a kF n

Резултатна сила R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Тъй като ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, тогава

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, т.е. четвъртият закон е еквивалентен

k = 1

правилото за добавяне на сили.

1.2. Диференциални уравнения на движение на материална точка

Нека няколко сили действат едновременно върху материална точка, сред които има постоянни и променливи.

Нека запишем втория закон на динамиката във формата

точки, тогава (1.2) съдържа производни на r и е диференциално уравнение на движението на материална точка във векторна форма или основното уравнение на динамиката на материална точка.

Проекции на векторно равенство (1.2): - върху оста на декартовите координати (фиг. 8, а)

По естествената ос (фиг. 8, б)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Уравнения (1.3) и (1.4) са диференциални уравнения на движение на материална точка, съответно в декартовите координатни оси и естествените оси, т.е. естествени диференциални уравнения, които обикновено се използват за криволинейно движение на точка, ако траекторията на точката и нейният радиус на кривина са известни.

1.3. Два основни проблема на динамиката за материална точка и тяхното решение

Първата (пряка) задача.

Познавайки закона за движение и масата на точката, определете силата, действаща върху точката.

За да разрешите тази задача, трябва да знаете ускорението на точката. В задачи от този тип тя може да се посочи директно или да се посочи законът за движение на точка, в съответствие с който тя да се определи.

1. Така че, ако движението на точка е определено в декартови координати

x = f 1 (t), y = f 2 (t) и z = f 3 (t), тогава се определят проекциите на ускорението

Теорема за движението на центъра на масата.Диференциални уравнения на движение на механична система. Теорема за движението на центъра на масата на механична система. Закон за запазване на движението на центъра на масата.

Теорема за промяната на импулса.Количеството движение на материална точка. Елементарен импулс на сила. Силов импулс за краен период от време и неговата проекция върху координатни оси. Теорема за промяната на импулса на материална точка в диференциална и крайна форма.

Количеството движение на механична система; нейното изразяване чрез масата на системата и скоростта на нейния масов център. Теорема за промяната на импулса на механична система в диференциална и крайна форма. Закон за запазване на механичния импулс

(Концепцията за тяло и точка с променлива маса. Уравнението на Мещерски. Формулата на Циолковски.)

Теорема за промяната на ъгловия момент.Моментът на импулса на материална точка спрямо центъра и спрямо оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на материална точка. Централна власт. Запазване на ъгловия момент на материална точка в случай на централна сила. (Концепцията за секторна скорост. Законът за площите.)

Основният момент на импулса или кинетичният момент на механична система спрямо центъра и спрямо оста. Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на кинетичния момент на механична система. Закон за запазване на ъгловия момент на механична система. (Теоремата за промяната на кинетичния момент на механична система в относително движениеспрямо центъра на масата.)

Теорема за промяната на кинетичната енергия.Кинетична енергия на материална точка. Елементарна работа на силата; аналитичен израз на елементарна работа. Работата, извършена от сила върху окончателното изместване на точката на нейното приложение. Работата на гравитацията, еластичната сила и гравитационната сила. Теорема за изменението на кинетичната енергия на материална точка в диференциална и крайна форма.

Кинетична енергия на механична система. Формули за изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло по време на транслационно движение, по време на въртене около фиксирана ос и в общ случайдвижение (по-специално с равнинно-паралелно движение). Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и крайна форма. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили в твърдо тяло, е равна на нула. Работа и мощност на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос.

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Изразяване на проекции на сила чрез функцията на силата. Повърхнини с равен потенциал. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия. Примери потенциални силинови полета: еднородно гравитационно поле и гравитационно поле. Закон за запазване на механичната енергия.

Динамика на твърдото тяло.Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение за въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Принципът на Д'Аламбер.Принцип на Д'Аламбер за материална точка; инерционна сила. Принцип на Д'Аламбер за механична система. Привеждане на инерционните сили на точки на твърдо тяло към центъра; главен вектор и главен момент на инерционните сили.

(Определяне на динамичните реакции на лагерите по време на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. Случаят, когато оста на въртене е основната централна ос на инерция на тялото.)

Принципът на възможните движения и общото уравнение на динамиката.Връзки, наложени на механична система. Възможни (или виртуални) движения на материална точка и механична система. Броят на степените на свобода на системата. Идеални връзки. Принципът на възможните движения. Общо уравнениевисокоговорители.

Уравнения на движение на система в обобщени координати (уравнения на Лагранж).Обобщени координати на системата; обобщени скорости. Изразяване на елементарна работа в обобщени координати. Обобщени сили и тяхното изчисляване; случай на сили с потенциал. Условия за равновесие на система в обобщени координати. Диференциални уравнения на движение на система в обобщени координати или уравнения на Лагранж от 2-ри род. Уравнения на Лагранж при потенциални сили; Функция на Лагранж (кинетичен потенциал).

Концепцията за устойчивост на равновесие. Малки свободни вибрации на механична система с една степен на свобода в близост до позицията на устойчиво равновесие на системата и техните свойства.

Елементи на теорията на въздействието.Феномен на въздействието. Ударна сила и ударен импулс. Действието на ударна сила върху материална точка. Теорема за промяната на импулса на механична система при удар. Директен централен удар на тялото върху неподвижна повърхност; еластични и нееластични въздействия. Коефициент на възстановяване при удар и експерименталното му определяне. Директен централен удар на две тела. Теорема на Карно.

БИБЛИОГРАФИЯ

Основен

Бутенин Н.В., Лунц Я-Л., Меркин Д.Р.Курс по теоретична механика. Т. 1, 2. М., 1985 г. и предишни издания.

Добронравов В.В., Никитин Н.Н.Курс по теоретична механика. М., 1983.

Старжински В. М.Теоретична механика. М., 1980.

Тарг С. М.Кратък курс по теоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Яблонски А. А., Никифорова В. М.Курс по теоретична механика. Част 1. М., 1984 и предишни издания.

Яблонски А. А.Курс по теоретична механика. Част 2. М., 1984 и предишни издания.

Мещерски И. В.Сборник задачи по теоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/Изд. К. С. Колесникова. М., 1983.

Допълнителен

Бат М. И., Джанелидзе Г. Ю., Келзон А. С.Теоретична механика в примери и задачи. Части 1, 2. М., 1984 г. и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/5ражничен/съ Н.А., Кан В.Л., Минцберг Б.Л.и др., М., 1987.

Новожилов И. В., Зацепин М. Ф.Типични компютърно базирани изчисления в теоретичната механика. М., 1986,

Сборник задачи за курсова работапо теоретична механика / Ed. А. А. Яблонски. М., 1985 и предишни издания (съдържа примери за решаване на проблеми).

Използването на здравно осигуряване при решаване на проблеми е свързано с определени трудности. Следователно между характеристиките на движението и силите обикновено се установяват допълнителни връзки, които са по-удобни за практическо приложение. Такива отношения са общи теореми на динамиката.Те, като следствие от OMS, установяват връзки между скоростта на промяна на някои специално въведени мерки на движение и характеристиките на външните сили.

Теорема за промяната на импулса. Нека въведем понятието вектор на импулса (Р. Декарт) на материална точка (фиг. 3.4):

I i = t V Ж (3.9)

Ориз. 3.4.

За системата въвеждаме концепцията главен вектор на импулса на систематакато геометрична сума:

Q = Y, m " V r

В съответствие с OZMS: Xu, -^=i) или X

R (E) .

Като вземем предвид, че /w, = const получаваме: -Ym,!" = R(E)

или в окончателен вид

dO/di = A (E (3.11)

тези. първата производна по време на главния вектор на импулса на системата е равна на главния вектор на външните сили.

Теорема за движението на центъра на масата. Център на масата на систематанаречена геометрична точка, чието положение зависи от T,и т.н. от разпределението на масата /g/, в системата и се определя от израза за радиус вектора на центъра на масата (фиг. 3.5):

Където g s -радиус вектор на центъра на масата.

Ориз. 3.5.

Да се ​​обадим = t с масата на системата.След умножаване на израза

прилагане на (3.12) към знаменателя и диференциране на двете страни на полученото

ще имаме ценно равенство: g s t s = ^t.U. = 0 или 0 = t s U s.

По този начин главният вектор на импулса на системата е равен на произведението на масата на системата и скоростта на центъра на масата. Използвайки теоремата за промяната на импулса (3.11), получаваме:

t s dU s / dі = A (E),или

Формула (3.13) изразява теоремата за движението на центъра на масата: центърът на масата на системата се движи като материална точка, която има масата на системата, върху която действа главният вектор на външните сили.

Теорема за промяната на ъгловия момент. Нека въведем понятието ъглов импулс на материална точка като векторно произведение на нейния радиус вектор и импулс:

до о = блх че, (3.14)

Където към ОИ -ъглов момент на материална точка спрямо фиксирана точка ОТНОСНО(фиг. 3.6).

Сега дефинираме ъгловия импулс на механична система като геометрична сума:

К() = X ko, = ШУ, ? О-15>

Диференцирайки (3.15), получаваме:

Ґ сек--- Х t i U. + g uх t i

Като се има предвид това = U G U iх t i u i= 0 и формула (3.2), получаваме:

сіК а /с1ї - ї 0 .

Въз основа на втория израз в (3.6), най-накрая ще имаме теорема за промяната на ъгловия момент на системата:

Първата производна по време на момента на импулса на механична система спрямо неподвижен център O е равна на главния момент на външните сили, действащи върху тази система спрямо същия център.

При извеждането на връзка (3.16) се приема, че ОТНОСНО- фиксирана точка. Въпреки това може да се покаже, че в редица други случаи формата на връзката (3.16) няма да се промени, по-специално, ако при равнинно движение моментната точка е избрана в центъра на масата, моментния център на скоростите или ускоренията. Освен това, ако точката ОТНОСНОсъвпада с движеща се материална точка, равенството (3.16), написано за тази точка, ще се превърне в идентичността 0 = 0.

Теорема за промяната на кинетичната енергия. Когато една механична система се движи, както „външната“, така и вътрешната енергия на системата се променят. Ако характеристиките на вътрешните сили, главният вектор и главният момент не влияят върху промяната на главния вектор и главния момент на броя на ускоренията, тогава вътрешните сили могат да бъдат включени в оценката на процесите на енергийното състояние на системата.Следователно, когато се разглеждат промените в енергията на една система, е необходимо да се вземат предвид движенията на отделни точки, към които също се прилагат вътрешни сили.

Кинетичната енергия на материална точка се определя като количеството

Т^туЦг. (3.17)

Кинетичната енергия на механична система е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки на системата:

забележи това T > 0.

Нека дефинираме мощността на силата като скаларно произведение на вектора на силата и вектора на скоростта:

Нека разгледаме движението на определена система от материални обекти спрямо фиксирана координатна система. Когато системата не е свободна, тогава тя може да се счита за свободна, ако отхвърлим наложените на системата връзки и заменим тяхното действие със съответните реакции.

Нека разделим всички сили, приложени към системата, на външни и вътрешни; и двете могат да включват реакции на изхвърляне

връзки. Нека и обозначаваме главния вектор и главния момент на външните сили спрямо точка А.

1. Теорема за промяната на импулса.Ако е количеството движение на системата, тогава (вижте)

тоест теоремата е валидна: производната по време на импулса на системата е равна на главния вектор на всички външни сили.

Заменяйки вектора чрез неговия израз, където е масата на системата, е скоростта на центъра на масата, на уравнение (4.1) може да се даде различна форма:

Това равенство означава, че центърът на масата на системата се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на системата и към която е приложена сила, геометрично равна на главния вектор на всички външни сили на системата. Последното твърдение се нарича теорема за движението на центъра на масата (центъра на инерцията) на системата.

Ако тогава от (4.1) следва, че векторът на импулса е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатната ос, получаваме три скаларни първи интеграла, диференциални уравнения на двойната шапка на системата:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на импулса. Когато скоростта на центъра на масата е постоянна, т.е. той се движи равномерно и праволинейно.

Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е ос, например върху ос, е равна на нула, тогава имаме един първи интеграл, или ако две проекции на главния вектор са равни на нула, тогава има две интеграли на импулса.

2. Теорема за промяната на ъгловия момент.Нека A е произволна точка в пространството (движеща се или неподвижна), която не е задължително да съвпада с някоя конкретна материална точка на системата през цялото време на движение. Означаваме неговата скорост във фиксирана координатна система с Теоремата за промяната на кинетичния момент на материална система спрямо точка А има формата

Ако точка А е фиксирана, тогава равенството (4.3) приема по-проста форма:

Това равенство изразява теоремата за изменението на ъгловия импулс на системата спрямо фиксирана точка: производната по време на ъгловия импулс на системата, изчислена спрямо някаква фиксирана точка, е равна на главния момент на всички външни сили спрямо до този момент.

Ако тогава съгласно (4.4) векторът на ъгловия момент е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатните оси, получаваме скаларните първи интеграли на диференциалните уравнения на двойната система:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на импулса или интеграли на площта.

Ако точка А съвпада с центъра на масата на системата, тогава първият член от дясната страна на равенството (4.3) изчезва и теоремата за промяната на ъгловия момент има същата форма на запис (4.4), както в случая на фиксирана точка A. Забележете (вижте стр. 4 § 3), че в разглеждания случай абсолютният ъглов момент на системата от лявата страна на равенство (4.4) може да бъде заменен с равен ъглов момент на системата в движението си спрямо центъра на масата.

Нека е някаква постоянна ос или ос с постоянна посока, минаваща през центъра на масата на системата, и нека е кинетичният момент на системата спрямо тази ос. От (4.4) следва, че

където е моментът на външните сили спрямо оста. Ако по време на цялото движение имаме първи интеграл

В трудовете на S.A. Chaplygin бяха получени няколко обобщения на теоремата за промяната на кинетичния импулс, които след това бяха приложени при решаването на редица задачи за търкалящи се топки. Допълнителни обобщения на теоремата за промяната на механичния момент и техните приложения в проблемите на динамиката на твърдото тяло се съдържат в трудовете. Основните резултати от тези работи са свързани с теоремата за промяната на кинетичния импулс спрямо движещ се, постоянно преминаващ през някаква движеща се точка А. Нека е единичен вектор, насочен по тази ос. Умножавайки скаларно по двете страни на равенството (4.3) и добавяйки члена към двете му части, получаваме

Когато кинематичното условие е изпълнено

Уравнение (4.5) следва от (4.7). И ако условието (4.8) е изпълнено по време на цялото движение, тогава първият интеграл (4.6) съществува.

Ако връзките на системата са идеални и позволяват сред виртуалните премествания въртене на системата като твърдо тяло около оста и, тогава главният момент на реакциите спрямо оста и е равен на нула, а след това стойността на дясната страна на уравнение (4.5) представлява главния момент на всички външни действащи сили спрямо оста и . Равенството на нула на този момент и валидността на съотношението (4.8) ще бъдат в разглеждания случай достатъчни условия за съществуването на интеграл (4.6).

Ако посоката на оста и е постоянна, тогава условие (4.8) ще бъде записано във формата

Това равенство означава, че проекциите на скоростта на центъра на масата и скоростта на точка А върху оста и върху равнина, перпендикулярна на нея, са успоредни. В работата на S.A. Chaplygin, вместо (4.9), по-малко от общо състояниекъдето X е произволна постоянна стойност.

Отбележете, че условие (4.8) не зависи от избора на точка върху . Наистина, нека P е произволна точка на оста. Тогава

и следователно

В заключение отбелязваме геометричната интерпретация на Резал на уравнения (4.1) и (4.4): векторите на абсолютната скорост на краищата на векторите и са равни съответно на главния вектор и главния момент на всички външни сили спрямо точка А .