6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решаването на различни задачи по математика и физика, биология и медицина доста често не е възможно веднага да се установи функционална връзка под формата на формула, свързваща променливи, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да използвате уравнения, които съдържат, в допълнение към независимата променлива и неизвестната функция, също и нейните производни.

Определение.Извиква се уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различен порядък диференциал.

Обикновено се обозначава неизвестна функция y(x)или просто y,и неговите производни - y", y"и т.н.

Възможни са и други обозначения, например: ако г= x(t), тогава x"(t), x""(t)- неговите производни, и t- независима променлива.

Определение.Ако една функция зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Общ изглед обикновено диференциално уравнение:

или

Функции ЕИ fможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.

Определение.Редът на диференциалното уравнениесе нарича порядъкът на включената в него най-висока производна.

например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред, и y"+ 2 y"+ 5 г= х- уравнение от втори ред.

При решаване на диференциални уравнения се използва операцията интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи интеграционното действие ппъти, тогава, очевидно, решението ще съдържа ппроизволни константи.

6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД

Общ изглед диференциално уравнение от първи редсе определя от израза

Уравнението може да не съдържа изрично хИ y,но задължително съдържа y".

Ако уравнението може да бъде написано като

тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, разрешено по отношение на производната.

Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е множеството от решения , Къде СЪС- произволна константа.

Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Даване на произволна константа СЪСразлични стойности, могат да се получат частични решения. В самолет xOyобщо решениепредставлява семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.

Ако поставите точка A (x 0, y 0),през които трябва да премине интегралната крива, тогава, като правило, от набор от функции Може да се открои едно - частно решение.

Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.

Ако е общо решение, то от условието

можете да намерите константа СЪС.Условието се нарича първоначално състояние.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциалното уравнение (6.3) или (6.4), удовлетворяващо началното условие при наречен Проблем на Коши.Този проблем винаги ли има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.

Теорема на Коши(теорема за съществуване и единственост на решение). Пуснете диференциалното уравнение y"= f(x,y)функция f(x,y)и нея

частична производна определени и непрекъснати в някои

регион Д,съдържаща точка След това в района гсъществува

единственото решениеуравнение, удовлетворяващо началното условие при

Теоремата на Коши гласи, че при определени условия има уникална интегрална крива г= f(x),преминаващ през точка Точки, в които не са изпълнени условията на теоремата

Коши се наричат специален.В тези точки се счупва f(x, y) или.

Няколко интегрални криви или нито една не минават през особена точка.

Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата f(x, y, в)= 0, не е позволено спрямо y, тогава се извиква общ интегралдиференциално уравнение.

Теоремата на Коши гарантира само съществуването на решение. Тъй като няма единен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат интегрирани в квадратури

Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако намирането на неговото решение се свежда до интегриране на функции.

6.2.1. Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи

Определение.Диференциално уравнение от първи ред се нарича уравнение с разделими променливи,

Дясната страна на уравнение (6.5) е произведението на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.

Например уравнението е уравнение с разделяне

смесени с променливи
и уравнението

не могат да бъдат представени във формата (6.5).

Като се има предвид това , пренаписваме (6.5) във формата

От това уравнение получаваме диференциално уравнение с разделени променливи, в което диференциалите са функции, които зависят само от съответната променлива:

Интегрирайки термин по термин, имаме

където C = C 2 - C 1 - произволна константа. Израз (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).

Като разделим двете страни на уравнение (6.5) на, можем да загубим тези решения, за които, Наистина, ако при

това очевидно е решение на уравнение (6.5).

Пример 1.Намерете решение на уравнението, което удовлетворява

състояние: г= 6 at х= 2 (г(2) = 6).

Решение.Ние ще заменим y"тогава . Умножете двете страни по

dx,тъй като по време на по-нататъшната интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:

и след това разделяне на двете части на получаваме уравнението,

които могат да бъдат интегрирани. Нека интегрираме:

Тогава ; потенциране, получаваме y = C. (x + 1) - ob-

общо решение.

Използвайки първоначалните данни, ние определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение

Накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Нека да разгледаме още няколко примера за решаване на уравнения с разделими променливи.

Пример 2.Намерете решението на уравнението

Решение.Като се има предвид това , получаваме .

Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме

където

Пример 3.Намерете решението на уравнението Решение.Разделяме двете страни на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. и интегрирайте. Тогава получаваме

и накрая

Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.Като знаем какво ще получим. Раздел

lim променливи. Тогава

Интегрирайки, получаваме

Коментирайте.В примери 1 и 2 търсената функция е гизразено експлицитно (общо решение). В примери 3 и 4 - неявно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да бъде уточнена.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Пример 6.Намерете решението на уравнението , задоволително

състояние y(e)= 1.

Решение.Нека напишем уравнението във формата

Умножавайки двете страни на уравнението по dxи нататък, получаваме

Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема на части), получаваме

Но според състоянието г= 1 at х= д. Тогава

Нека заместим намерените стойности СЪСкъм общото решение:

Полученият израз се нарича частично решение на диференциалното уравнение.

6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогенен,ако може да се представи във формата

Нека представим алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.

1.Вместо това гтогава нека въведем нова функция и следователно

2. По отношение на функцията uуравнение (6.7) приема формата

т.е. замяната намалява хомогенно уравнениекъм уравнение с разделими променливи.

3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u и след това г= ux.

Пример 1.Решете уравнението Решение.Нека напишем уравнението във формата

Правим замяната:
Тогава

Ние ще заменим

Умножете по dx: Разделете на хи на Тогава

След като сме интегрирали двете страни на уравнението върху съответните променливи, имаме

или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме

Пример 2.Решете уравнението Решение.Нека Тогава

Нека разделим двете страни на уравнението на х2: Нека отворим скобите и пренаредим термините:

Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:

Пример 3.Намерете решението на уравнението предвид това

Решение.Извършване на стандартна подмяна получаваме

или

или

Това означава, че конкретното решение има формата Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Самостоятелна работа

Намерете решения на диференциални уравнения с разделими променливи (1-9).

Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).

6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред

Проблем с радиоактивното разпадане

Скоростта на разпадане на Ra (радий) във всеки момент от времето е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивното разпадане на Ra, ако е известно, че в началния момент е имало Ra и времето на полуразпад на Ra е 1590 години.

Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и Тогава скоростта на разпадане Ra е равна на

Според условията на проблема

Къде к

Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме

където

За определяне Визползваме началното условие: когато .

Тогава и следователно,

Фактор на пропорционалност копределен от допълнително условие:

Имаме

Оттук и необходимата формула

Проблем със скоростта на размножаване на бактерии

Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началния момент имаше 100 бактерии. За 3 часа броят им се е удвоил. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?

Решение.Нека х- брой бактерии в даден момент t.Тогава, според условието,

Къде к- коефициент на пропорционалност.

Оттук От условието се знае, че . означава,

От допълнителното условие . Тогава

Функцията, която търсите:

И така, кога t= 9 х= 800, т.е. за 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.

Проблемът с увеличаването на количеството ензим

В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на час. Намерете зависимост

x(t).

Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида

от тук

Но . означава, В= аи след това

Известно е също, че

следователно

6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЯД

6.3.1. Основни понятия

Определение.Диференциално уравнение от втори редсе нарича връзка, свързваща независимата променлива, желаната функция и нейните първа и втора производни.

В специални случаи x може да липсва в уравнението, приили y". Уравнението от втори ред обаче задължително трябва да съдържа y." В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:

или, ако е възможно, във формата, разрешена по отношение на втората производна:

Както в случая на уравнение от първи ред, за уравнение от втори ред може да има общи и частни решения. Общото решение е:

Намиране на конкретно решение

при начални условия – дадени

числа) се нарича Проблем на Коши.Геометрично това означава, че трябва да намерим интегралната крива при= y(x),преминаващ през дадена точка и има допирателна в тази точка, която е

подравнява с положителната посока на оста волопределен ъгъл. д. (фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнение (6.10), непрестанен

е прекъснат и има непрекъснати частни производни по отношение на ъъъъ"в някакъв квартал на началната точка

За намиране на константи включена в частно решение, системата трябва да бъде разрешена

ориз. 6.1.Интегрална крива

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

Решаване на диференциално уравнениесе нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина,.

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на първоначалното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на проблема на Коши има прост геометричен смисъл. Всъщност, според тези дефиниции, решете проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)която минава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнение y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)И g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)И F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), Впроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+В, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според условието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2И y = - 3ще намерим В:

Следователно търсеното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Къде f(x)И g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)наречени разнородни.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако едно линейно хомогенно уравнение има формата y" = kyКъде ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Къде кИ b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Къде k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Къде uИ v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник гИ y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвадете го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Къде . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y=1при х = 0

Решение. Нека го решим с помощта на заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване гИ y"в това уравнение получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1И C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Къде стрИ р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"чрез r 2, y"чрез r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

Или вече са решени по отношение на производната, или могат да бъдат решени по отношение на производната .

Общо решение на диференциални уравнения от типа на интервала X, което е дадено, може да се намери, като се вземе интегралът от двете страни на това равенство.

получаваме .

Ако разгледаме свойствата на неопределения интеграл, намираме желаното общо решение:

y = F(x) + C,

Къде F(x)- един от антипроизводни функции f(x)между тях X, А СЪС- произволна константа.

Моля, имайте предвид, че в повечето проблеми интервалът Xне посочват. Това означава, че трябва да се намери решение за всички. х, за които и желаната функция ги оригиналното уравнение има смисъл.

Ако трябва да изчислите конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното условие y(x 0) = y 0, след това след изчисляване на общия интеграл y = F(x) + C, все още е необходимо да се определи стойността на константата C = C 0, използвайки началното условие. Тоест константа C = C 0определен от уравнението F(x 0) + C = y 0и желаното частично решение на диференциалното уравнение ще приеме формата:

y = F(x) + C 0.

Да разгледаме един пример:

Нека намерим общо решение на диференциалното уравнение и проверим правилността на резултата. Нека намерим конкретно решение на това уравнение, което ще удовлетвори първоначалното условие.

Решение:

След като интегрираме даденото диференциално уравнение, получаваме:

.

Нека вземем този интеграл, използвайки метода на интегриране по части:

това., е общо решение на диференциалното уравнение.

За да сме сигурни, че резултатът е правилен, нека направим проверка. За да направим това, заместваме решението, което намерихме, в даденото уравнение:

.

Тоест, когато първоначалното уравнение се превръща в идентичност:

следователно общото решение на диференциалното уравнение е определено правилно.

Решението, което намерихме, е общо решение на диференциалното уравнение за всяка реална стойност на аргумента х.

Остава да се изчисли конкретно решение на ОДУ, което да удовлетворява началното условие. С други думи, необходимо е да се изчисли стойността на константата СЪС, при което ще бъде вярно равенството:

.

.

След това, заместване С = 2в общото решение на ODE, получаваме конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие:

.

Обикновено диференциално уравнение може да се реши за производната, като се разделят двете страни на уравнението на f(x). Тази трансформация ще бъде еквивалентна, ако f(x)не се превръща в нула при никакви обстоятелства хот интервала на интегриране на диференциалното уравнение X.

Има вероятни ситуации, когато за някои стойности на аргумента х ∈ Xфункции f(x)И g(x)едновременно стават нула. За подобни стойности хобщото решение на диференциално уравнение е всяка функция г, което е определено в тях, т.к .

Ако за някои стойности на аргумент х ∈ Xусловието е изпълнено, което означава, че в този случай ОДУ няма решения.

За всички останали хот интервала Xобщото решение на диференциалното уравнение се определя от трансформираното уравнение.

Нека да разгледаме примери:

Пример 1.

Нека намерим общо решение на ODE: .

Решение.

От свойствата на основните елементарни функции става ясно, че функцията натурален логаритъм е дефинирана за неотрицателни стойности на аргумента, следователно домейнът на дефиниция на израза ln(x+3)има интервал х > -3 . Това означава, че даденото диференциално уравнение има смисъл за х > -3 . За тези стойности на аргумент изразът х+3не изчезва, така че можете да решите ODE за производната, като разделите 2-те части на х + 3.

получаваме .

След това интегрираме полученото диференциално уравнение, решено по отношение на производната: . За да вземем този интеграл, използваме метода на добавяне на диференциалния знак.