МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО И ХРАНИТЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛАРУС

Образователна институция „БЕЛОРУСКО ДЪРЖАВНО СЕЛСКО СТОПАНСТВО

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

Отдел теоретична механикаи теории на механизмите и машините

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА

методически комплекс за студенти по специалности

74 06 Агроинженерство

В 2 части Част 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

съставен от:

Кандидат на физико-математическите науки, доцент Ю. С. Биза, канд технически науки, доцент Н. Л. Ракова, ст. преп. А. Тарасевич

Рецензенти:

Катедрата по теоретична механика на образователната институция "Беларуски национален технически университет" (гл.

Катедра "Теоретична механика" БНТУ Доктор на физико-математическите науки, професор А. В. Чигарев);

Водещ изследовател на лабораторията по защита от вибрации на механични системи на Държавната научна институция Обединен институт по машиностроене

НАН на Беларус", кандидат на техническите науки, доцент А. М. Гоман

Теоретична механика. Раздел "Динамика": образователен

Метод Т33. комплекс. В 2 ч. Част 1 / съставители: Ю. С. Биза, Н. Л. Ракова, И. А. Тарасевич. – Минск: BGATU, 2013. – 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

Учебно-методическият комплекс представя материали за изучаване на раздел „Динамика”, част 1, който е част от дисциплината „Теоретична механика”. Включва курс от лекции, основни материали за изпълнение практически занятия, задачи и образци на задачи за самостоятелна работа и контрол образователни дейностиредовни и задочни студенти.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7

ВЪВЕДЕНИЕ

Теоретичната механика е наука за общите закони на механичното движение, равновесието и взаимодействието на материалните тела.

Това е една от фундаменталните общонаучни физико-математически дисциплини. Това е теоретичната основа на съвременната технология.

Изучаването на теоретична механика, наред с други физико-математически дисциплини, спомага за разширяване на научния кръгозор, развива способността за конкретно и абстрактно мислене и спомага за повишаване на общата техническа култура на бъдещия специалист.

Теоретичната механика, като научна основа на всички технически дисциплини, допринася за развитието на уменията рационални решенияинженерни задачи, свързани с експлоатацията, ремонта и проектирането на селскостопански и мелиоративни машини и съоръжения.

Въз основа на естеството на разглежданите проблеми механиката се разделя на статика, кинематика и динамика. Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела под действието на приложени сили.

IN учебно-методическикомплекс (UMK) представя материали за изучаване на раздел „Динамика“, който включва курс от лекции, основни материали за провеждане практическа работа, задачи и образци на изпълнение за самостоятелна работаи наблюдение на учебната дейност на студентите редовна и задочна форма на обучение.

IN В резултат на изучаването на раздела „Динамика“ ученикът трябва да научи теоретични основидинамика и овладяване на основните методи за решаване на динамични задачи:

Познава методи за решаване на динамични проблеми, общи теоремидинамика, принципи на механиката;

Да може да определя законите на движение на тялото в зависимост от силите, действащи върху него; прилагат законите и теоремите на механиката за решаване на проблеми; определят статични и динамични реакции на връзки, ограничаващи движението на телата.

Учебният план на дисциплината „Теоретична механика” предвижда общ хорариум – 136 часа, в това число 36 часа за изучаване на раздел „Динамика”.

1. НАУЧНО И ТЕОРЕТИЧНО СЪДЪРЖАНИЕ НА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИ КОМПЛЕКС

1.1. Речник

Статиката е раздел от механиката, който излага общото учение за силите и изучава намаляването сложни системисили до най-проста форма и се установяват условията на равновесие различни системисила

Кинематиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални обекти независимо от причините, причиняващи това движение, т.е. независимо от силите, действащи върху тези обекти.

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерционна система– система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката.

Силовият импулс е векторна мярка за действието на силата за известно време.

Импулс на материална точка – векторна мярка на нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейния вектор на скоростта.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Елементарна работа на силатае безкрайно малка скаларна величина, равна на скаларното произведение на вектора на силата и вектора на безкрайно малко преместване на точката на приложение на силата.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Кинетичната енергия на материална точка е скаларна енергия

положително количество, равно на половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост.

Кинетична енергия на механична система - аритме-

тична сума от кинетичните енергии на всички материални точки на тази система.

Силата е мярка за механичното взаимодействие на телата, характеризираща неговата интензивност и посока.

1.2. Теми и съдържание на лекциите

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Тема 1. Динамика на материална точка

Закони за динамика на материална точка (закони на Галилей – Нютон). Диференциални уравнения на движение на материална точка. Два основни проблема на динамиката за материална точка. Решение на втората задача на динамиката; константи на интегриране и тяхното определяне от начални условия.

Литература:, с. 180-196, , с. 12-26.

Тема 2. Динамика на относителното движение на материала

Относително движение на материална точка. Диференциални уравнения на относително движение на точка; преносими и Кориолисови инерционни сили. Принципът на относителността в класическата механика. Случай на относително спокойствие.

Литература: , с. 180-196, , с. 127-155.

Тема 3. Геометрия на масите. Център на масата на механична система

Маса на системата. Центърът на масата на системата и неговите координати.

Литература:, с. 86-93, с. 264-265

Тема 4. Инерционни моменти на твърдо тяло

Инерционни моменти на твърдо тяло спрямо оста и полюса. Радиус на инерция. Теорема за инерционните моменти относно успоредни оси. Осови моменти на инерция на някои тела.

Центробежните инерционни моменти като характеристика на асиметрията на тялото.

Литература: , с. 265-271, , с. 155-173.

Раздел 2. Общи теореми за динамиката на материална точка

и механична система

Тема 5. Теорема за движението на центъра на масата на системата

Теорема за движението на центъра на масата на системата. Следствия от теоремата за движението на центъра на масата на системата.

Литература: , с. 274-277, , с. 175-192.

Тема 6. Импулс на материална точка

и механична система

Количеството движение на материална точка и механична система. Елементарен импулс и импулс на сила за краен период от време. Теорема за изменението на импулса на точка и система в диференциална и интегрална форма. Закон за запазване на импулса.

Литература: , с. 280-284, , с. 192-207.

Тема 7. Импулс на материална точка

и механична система спрямо центъра и оста

Моментът на импулса на точка спрямо центъра и оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на точка. Кинетичният момент на механична система спрямо центъра и оста.

Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на ъгловия момент на системата. Закон за запазване на ъгловия момент.

Литература: , с. 292-298, , с. 207-258.

Тема 8. Работа и мощност на силите

Елементарна работа на силата, нейното аналитично изражение. Работа, извършена от сила на краен път. Работа на тежестта, еластична сила. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили, действащи в твърдо тяло, е равна на нула. Работата на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Мощност. Ефективност.

Литература: , с. 208-213, , с. 280-290.

Тема 9. Кинетична енергия на материална точка

и механична система

Кинетична енергия на материална точка и механична система. Изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло в различни случаи на неговото движение. Теорема на Кьониг. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка в диференциална и интегрална форма. Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и интегрална форма.

Литература: , с. 301-310, , с. 290-344.

Тема 10. Потенциално силово поле и потенциал

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия.

Литература: , с. 317-320, , с. 344-347.

Тема 11. Динамика на твърдото тяло

Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Литература: , с. 323-334, , с. 157-173.

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

материално тяло- тяло, което има маса.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна. Това може да бъде или тяло, чиито размери по време на движението му могат да бъдат пренебрегнати, или тяло с крайни размери, ако се движи постъпателно.

Материални точки се наричат ​​още частици, на които едно твърдо тяло се разделя мислено при определяне на някои от неговите динамични характеристики. Примери за материални точки (фиг. 1): а – движението на Земята около Слънцето. Земята е материална точка – постъпателно движение на твърдо тяло. Твърдо тяло - майка

ал точка, защото V B = V A ; a B = a A; c – въртене на тялото около ос.

Частица от тяло е материална точка.

Инерцията е свойството на материалните тела да променят по-бързо или по-бавно скоростта на своето движение под въздействието на приложени сили.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение. В класическата механика масата е постоянна величина.

Силата е количествена мярка за механичното взаимодействие между телата или между тяло (точка) и поле (електрическо, магнитно и др.).

Силата е векторна величина, характеризираща се с величина, точка на приложение и посока (линия на действие) (фиг. 2: A - точка на приложение; AB - линия на действие на силата).

ориз. 2

В динамиката наред с постоянните сили съществуват и променливи сили, които могат да зависят от времето t, скоростϑ, разстоянието или от комбинация от тези величини, т.е.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

електрически локомотив; c − F = F (r) – силата на отблъскване от центъра O или привличане към него.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерциална система е система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката. Това е фиксирана координатна система или система, движеща се равномерно и линейно.

Движението в механиката е промяна в положението на тялото в пространството и времето по отношение на други тела.

Пространството в класическата механика е триизмерно, подчинявайки се на евклидовата геометрия.

Времето е скаларна величина, която тече еднакво във всяка референтна система.

Система от единици е набор от единици за измерване на физически величини. За измерване на всички механични величини са достатъчни три основни единици: единици за дължина, време, маса или сила.

Всички останали мерни единици на механични величини са получени от тях. Използват се два вида системи единици: международната система единици SI (или по-малка - GHS) и техническата система единици - ICGSS.

Тема 1. Динамика на материална точка

1.1. Закони на динамиката на материална точка (закони на Галилей-Нютон)

Първи закон (закон за инерцията).

Материална точка, изолирана от външни влияния, поддържа своето състояние на покой или се движи равномерно и праволинейно, докато приложените сили не я принудят да промени това състояние.

Движението, извършвано от точка при липса на сили или под действието на уравновесена система от сили, се нарича движение по инерция.

Например движението на тяло по гладка (силата на триене е нула)

хоризонтална повърхност (фиг. 4: G – телесно тегло; N – нормална равнинна реакция).

Тъй като G = − N, тогава G + N = 0.

Когато ϑ 0 ≠ 0 тялото се движи със същата скорост; когато ϑ 0 = 0 тялото е в покой (ϑ 0 е началната скорост).

Втори закон (основен закон на динамиката).

Произведението от масата на дадена точка и ускорението, което тя получава под въздействието на дадена сила, е равно по големина на тази сила и нейната посока съвпада с посоката на ускорението.

а б

Математически този закон се изразява чрез векторно равенство

Когато F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точката се движи равномерно и праволинейно или при ϑ 0 = 0 – тя е в покой (закон за инерцията). Второ

законът ни позволява да установим връзка между масата m на тяло, разположено близо до земната повърхност, и неговото тегло G .G = mg, къдетоg –

ускорение на гравитацията.

Трети закон (закон за равенството на действието и противодействието). Две материални точки действат една върху друга с равни по големина сили, насочени по правата, свързваща ги

тези точки в противоположни посоки.

Тъй като силите F 1 = − F 2 са приложени към различни точки, системата от сили (F 1 , F 2 ) не е балансирана, т.е. (F 1 , F 2 )≈ 0 (фиг. 6).

масите на взаимодействащите точки са обратно пропорционални на техните ускорения.

Четвъртият закон (законът за независимостта на действието на силите). Ускорението, получено от точка при едновременно действие върху нея

но няколко сили, равни на геометричната сума от онези ускорения, които точката би получила, ако всяка сила се приложи към нея поотделно.

Обяснение (фиг. 7).

t a n

a 1 a kF n

Резултатна сила R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Тъй като ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, тогава

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, т.е. четвъртият закон е еквивалентен

k = 1

правилото за добавяне на сили.

1.2. Диференциални уравнения на движение на материална точка

Нека няколко сили действат едновременно върху материална точка, сред които има постоянни и променливи.

Нека запишем втория закон на динамиката във формата

точки, тогава (1.2) съдържа производни на r и е диференциално уравнение на движението на материална точка във векторна форма или основното уравнение на динамиката на материална точка.

Проекции на векторно равенство (1.2): - върху декартовата координатна ос (фиг. 8, а)

По естествената ос (фиг. 8, б)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Уравнения (1.3) и (1.4) са диференциални уравнения на движение на материална точка, съответно в декартовите координатни оси и естествените оси, т.е. естествени диференциални уравнения, които обикновено се използват за криволинейно движение на точка, ако траекторията на точката и нейният радиус на кривина са известни.

1.3. Два основни проблема на динамиката за материална точка и тяхното решение

Първата (пряка) задача.

Познавайки закона за движение и масата на точката, определете силата, действаща върху точката.

За да разрешите този проблем, трябва да знаете ускорението на точката. В задачи от този тип тя може да се посочи директно или да се посочи законът за движение на точка, в съответствие с който тя да се определи.

1. Така че, ако движението на точка е определено в декартови координати

x = f 1 (t), y = f 2 (t) и z = f 3 (t), тогава се определят проекциите на ускорението

Теорема за движението на центъра на масата.Диференциални уравнения на движение на механична система. Теорема за движението на центъра на масата на механична система. Закон за запазване на движението на центъра на масата.

Теорема за промяната на импулса.Количеството движение на материална точка. Елементарен импулс на сила. Силов импулс за краен период от време и неговата проекция върху координатните оси. Теорема за промяната на импулса на материална точка в диференциална и крайна форма.

Количеството движение на механична система; нейното изразяване чрез масата на системата и скоростта на нейния масов център. Теорема за промяната на импулса на механична система в диференциална и крайна форма. Закон за запазване на механичния импулс

(Концепцията за тяло и точка с променлива маса. Уравнението на Мещерски. Формулата на Циолковски.)

Теорема за промяната на ъгловия момент.Моментът на импулса на материална точка спрямо центъра и спрямо оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на материална точка. Централна власт. Запазване на ъгловия момент на материална точка в случай на централна сила. (Концепцията за секторна скорост. Законът за площите.)

Основният момент на импулса или кинетичният момент на механична система спрямо центъра и спрямо оста. Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на кинетичния момент на механична система. Закон за запазване на ъгловия момент на механична система. (Теоремата за промяната на кинетичния момент на механична система в относително движениеспрямо центъра на масата.)

Теорема за промяната на кинетичната енергия.Кинетична енергия на материална точка. Елементарна работа на силата; аналитичен израз на елементарна работа. Работата, извършена от сила върху окончателното изместване на точката на нейното прилагане. Работата на гравитацията, еластичната сила и гравитационната сила. Теорема за изменението на кинетичната енергия на материална точка в диференциална и крайна форма.

Кинетична енергия на механична система. Формули за изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло по време на транслационно движение, по време на въртене около фиксирана ос и в общ случайдвижение (по-специално с плоскопаралелно движение). Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и крайна форма. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили в твърдо тяло, е равна на нула. Работа и мощност на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос.

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Изразяване на проекции на сила чрез функцията на силата. Повърхнини с равен потенциал. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия. Примери потенциални силинови полета: еднородно гравитационно поле и гравитационно поле. Закон за запазване на механичната енергия.

Динамика на твърдото тяло.Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение за въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Принципът на Д'Аламбер.Принцип на Д'Аламбер за материална точка; инерционна сила. Принцип на Д'Аламбер за механична система. Привеждане на инерционните сили на точки на твърдо тяло към центъра; главен вектор и основна точкаинерционни сили.

(Определяне на динамичните реакции на лагерите по време на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. Случаят, когато оста на въртене е основната централна ос на инерция на тялото.)

Принципът на възможните движения и общото уравнение на динамиката.Връзки, наложени на механична система. Възможни (или виртуални) движения на материална точка и механична система. Броят на степените на свобода на системата. Идеални връзки. Принципът на възможните движения. Общо уравнение на динамиката.

Уравнения на движение на система в обобщени координати (уравнения на Лагранж).Обобщени координати на системата; обобщени скорости. Изразяване на елементарна работа в обобщени координати. Обобщени сили и тяхното изчисляване; случай на сили с потенциал. Условия за равновесие на система в обобщени координати. Диференциални уравнения на движение на система в обобщени координати или уравнения на Лагранж от 2-ри род. Уравнения на Лагранж при потенциални сили; Функция на Лагранж (кинетичен потенциал).

Концепцията за устойчивост на равновесие. Малки свободни вибрации на механична система с една степен на свобода в близост до позицията на устойчиво равновесие на системата и техните свойства.

Елементи на теорията на въздействието.Феномен на въздействието. Ударна сила и ударен импулс. Действието на ударна сила върху материална точка. Теорема за промяната на импулса на механична система при удар. Директен централен удар на тялото върху неподвижна повърхност; еластични и нееластични въздействия. Коефициент на възстановяване при удар и експерименталното му определяне. Директен централен удар на две тела. Теорема на Карно.

ЛИТЕРАТУРА

Основен

Бутенин Н.В., Лунц Я-Л., Меркин Д.Р.Курс по теоретична механика. Т. 1, 2. М., 1985 г. и предишни издания.

Добронравов В.В., Никитин Н.Н.Курс по теоретична механика. М., 1983.

Старжински В. М.Теоретична механика. М., 1980.

Тарг С. М.Кратък курстеоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Яблонски А. А., Никифорова В. М.Курс по теоретична механика. Част 1. М., 1984 и предишни издания.

Яблонски А. А.Курс по теоретична механика. Част 2. М., 1984 и предишни издания.

Мещерски И. В.Сборник задачи по теоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/Изд. К. С. Колесникова. М., 1983.

Допълнителна

Бат М. И., Джанелидзе Г. Ю., Келзон А. С.Теоретична механика в примери и задачи. Части 1, 2. М., 1984 г. и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/5ражничен/съ Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л.и др., М., 1987.

Новожилов И. В., Зацепин М. Ф.Типични компютърни изчисления в теоретичната механика. М., 1986,

Сборник задачи за курсова работапо теоретична механика / Ed. А. А. Яблонски. М., 1985 и предишни издания (съдържа примери за решаване на проблеми).

Лекция 3. Общи теореми на динамиката

Динамика на система от материални точкие важен раздел на теоретичната механика. Тук основно разглеждаме проблеми за движението на механични системи (системи от материални точки) с краен брой степени на свобода - максималният брой независими параметри, които определят положението на системата. Основната задача на системната динамика е изучаването на законите на движение на твърдо тяло и механични системи.

Най-простият подход за изследване на движението на система, състоящ се от Нматериални точки, се свежда до разглеждане на движенията на всяка отделна точка от системата. В този случай трябва да се определят всички сили, действащи върху всяка точка на системата, включително силите на взаимодействие между точките.

Определяйки ускорението на всяка точка в съответствие с втория закон на Нютон (1.2), получаваме за всяка точка три скаларни диференциални закона на движение от втори ред, т.е. 3 Н диференциални закони на движение за цялата система.

За да се намерят уравненията на движение на механична система въз основа на дадени сили и начални условия за всяка точка на системата, получените диференциални закони трябва да бъдат интегрирани. Тази задача е трудна дори в случай на две материални точки, които се движат само под въздействието на сили на взаимодействие съгласно закона за всемирното привличане (проблем на две тела), и изключително трудна в случай на три взаимодействащи точки (проблем на три тела ).

Следователно е необходимо да се намерят методи за решаване на проблеми, които да доведат до разрешими уравнения и да дадат представа за движението на механична система. Общите теореми на динамиката, като следствие от диференциалните закони на движение, ни позволяват да избегнем сложността, която възниква по време на интегрирането, и да получим необходимите резултати.

3. 1. Общи бележки

Ще номерираме точките на механичната система с индекси аз, й, ки т.н., които преминават през всички стойности 1, 2, 3… Н, Къде Н – брой точки на системата. Физични величинисвързани с ктата точка са обозначени със същия индекс като точката. Например изразете радиус вектора и съответно скоростта кта точка.

Върху всяка точка от системата действат сили с два произхода: първо, сили, чиито източници са извън системата, т.нар. външенсили и определени ; второ, сили от други точки на дадена система, т.нар вътрешнисили и определени . Вътрешните сили отговарят на третия закон на Нютон. Нека разгледаме най-простите свойства на вътрешните сили, действащи върху цялата механична система във всяко състояние.

Първи имот. Геометричната сума на всички вътрешни сили на системата (основният вектор на вътрешните сили) е равна на нула.

Наистина, ако разгледаме произволни две точки от системата, например и (фиг. 3.1), тогава за тях , защото силите на действие и реакция винаги са равни по големина, действащи по една линия на действие в противоположна посока, която свързва взаимодействащите точки. Следователно основният вектор на вътрешните сили се състои от двойки сили на взаимодействащи точки

(3.1)

Втори имот. Геометричната сума на моментите на всички вътрешни сили спрямо произволна точка в пространството е равна на нула.

Нека разгледаме система от моменти на сили и спрямо точката ЗА(фиг. 3.1). от (фиг. 3.1). това е ясно

,

защото и двете сили имат еднакви рамена и противоположни посоки на векторни моменти. Главен момент на вътрешните сили спрямо точка ЗАсе състои от векторната сума на такива изрази и е равна на нула. следователно

Нека външни и вътрешни сили, действащи върху механична система, състояща се от Нточки (фиг. 3.2). Ако резултантната на външните сили и резултантната на всички вътрешни сили се приложат към всяка точка на системата, тогава за всяка кточка на системата, могат да се съставят диференциални уравнения на движение. Ще има общо такива уравнения Н:

и в проекции върху фиксирани координатни оси 3 Н:

(3.4)

Векторни уравнения (3.3) или еквивалентни скаларни уравнения (3.4) представляват диференциалните закони на движение на материалните точки на цялата система. Ако всички точки се движат успоредно на една равнина или една права линия, тогава броят на уравненията (3.4) в първия случай ще бъде 2 Н, във втория Н.

Пример 1.Две маси са свързани една с друга чрез неразтеглив кабел, хвърлен върху блок (фиг. 3.3). Пренебрегвайки силите на триене, както и масата на блока и кабела, определят закона за движение на товарите и напрежението на кабела.

Решение. Системата се състои от две материални тела (свързани с неразтеглив кабел), движещи се успоредно на една и съща ос X.Нека запишем диференциалните закони на движение в проекции върху оста Xза всяко тяло.

Оставете дясната тежест да пада с ускорение, тогава лявата тежест ще се издигне с ускорение. Мислено се освобождаваме от връзката (кабела) и я заместваме с реакции и (фиг. 3.3). Считайки телата за свободни, нека начертаем диференциалните закони на движение в проекция върху оста X(което означава, че напреженията на нишката са вътрешни сили, а теглото на товарите са външни):

Тъй като и (телата са свързани с неразтеглив кабел), получаваме

Решаване на тези уравнения за ускорение и напрежение на кабела Т, получаваме

.

Имайте предвид, че напрежението в кабела не е равно на силата на гравитацията на съответния товар.

3. 2. Теорема за движението на центъра на масата

Известно е, че твърдо тяло и механична система в равнина могат да се движат доста сложно. До първата теорема за движението на тяло и механична система може да се стигне по следния начин: хвърлете к.-л. обект, състоящ се от много твърди тела, закрепени заедно. Ясно е, че ще лети по парабола. Това се разкри при изучаване на движението на точката. Сега обаче обектът не е точка. Той се върти и люлее по време на полета си около някакъв ефективен център, който се движи по парабола. Първата теорема за движението на сложни обекти казва, че определен ефективен център е центърът на масата на движещ се обект. Центърът на масата не е задължително да се намира в самото тяло; той може да се намира някъде извън него.

Теорема. Центърът на масата на механичната система се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата.

За да докажем теоремата, пренаписваме диференциалните закони на движение (3.3) в следната форма:

(3.5)

Къде Н – брой точки на системата.

Нека добавим уравненията заедно член по член:

(А)

Положението на центъра на масата на механичната система спрямо избраната координатна система се определя по формула (2.1): Къде М– маса на системата. Тогава ще бъде записана лявата страна на равенството (a).

Първата сума от дясната страна на равенството (а) е равна на главния вектор на външните сили, а последната, по свойството на вътрешните сили, е равна на нула. Тогава равенството (a), като се вземе предвид (b), ще бъде пренаписано

, (3.6)

тези. произведението на масата на системата и ускорението на центъра на нейната маса е равно на геометричната сума от всички външни сили, действащи върху системата.

От уравнение (3.6) следва, че вътрешните сили не влияят пряко на движението на центъра на масата. Въпреки това, в някои случаи те са причина за появата на външни сили, приложени към системата. По този начин вътрешните сили, задвижващи задвижващите колела на автомобила във въртене, причиняват външна сила на сцепление, приложена към джантата, за да действа върху нея.

Пример 2.Механизмът, разположен във вертикална равнина, е монтиран върху хоризонтална гладка равнина и е прикрепен към нея с пръти, здраво закрепени към повърхността ДОИ Л (фиг. 3.4).

Диск 1 радиус Рнеподвижен. Диск 2 маса ми радиус r прикрепен към манивела, дълж Р+ rв точката C 2. Манивела се върти постоянно

ъглова скорост. В началния момент манивелата зае дясното хоризонтално положение. Пренебрегвайки масата на манивелата, определете максималните хоризонтални и вертикални сили, действащи върху прътите, ако общата маса на рамката и колелото 1 е равна на М.Също така вземете предвид поведението на механизма при липса на решетки.

Решение. Системата се състои от две маси ( Н=2 ): неподвижен диск 1 с рамка и подвижен диск 2. Насочване на оста припрез центъра на тежестта на неподвижния диск вертикално нагоре, ос X– по хоризонталната равнина.

Нека запишем теоремата за движението на центъра на масата (3.6) в координатна форма

Външните сили на тази система са: теглото на рамката и неподвижния диск - Mg, тегло на подвижния диск – мг, - общата хоризонтална реакция на болтовете, - нормалната обща реакция на самолета. следователно

Тогава законите на движение (b) ще бъдат пренаписани

Нека изчислим координатите на центъра на масата на механичната система:

; (G)

както се вижда от (фиг. 3.4), , , (ъгъл на коляно), . Заместване на тези изрази в (d) и изчисляване на вторите производни по отношение на времето tот , , получаваме това

г)

Замествайки (c) и (e) в (b), намираме

Хоризонталното налягане, действащо върху прътите, е най-голямо и най-малко, когато cos = 1 съответно, т.е.

Натиск върху механизма хоризонтална равнинаима най-големи и най-малки стойности, когато грях съответно, т.е.

Всъщност първият проблем на динамиката е решен: съгласно известните уравнения на движение на центъра на масата на системата (d), силите, участващи в движението, се възстановяват.

При липса на решетки КИ Л (фиг. 3.4), механизмът може да започне да подскача над хоризонталната равнина. Това ще стане, когато, т.е. когато , следва, че ъгловата скорост на въртене на манивелата, при която механизмът отскача, трябва да удовлетворява равенството

.

3. 3. Закон за запазване на движението на центъра на масата

Ако главният вектор на външните сили, действащи върху системата, е равен на нула, т.е. , след това от(3.6)следва, че ускорението на центъра на масата е нула, следователно скоростта на центъра на масата е постоянна по големина и посока. Ако по-специално в началния момент центърът на масата е в покой, то той е в покой през цялото време, докато главният вектор на външните сили е равен на нула.

От тази теорема следват няколко следствия.

· Вътрешните сили сами по себе си не могат да променят характера на движението на центъра на масата на системата.

· Ако основният вектор на външните сили, действащи върху системата, е нула, тогава центърът на масата е в покой или се движи равномерно и праволинейно.

· Ако проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху някаква фиксирана ос е равна на нула, тогава проекцията на скоростта на центъра на масата на системата върху тази ос не се променя.

· Двойка сили, приложени към твърдо тяло, не може да промени движението на неговия център на масата (тя може само да накара тялото да се върти около центъра на масата).

Нека разгледаме пример, илюстриращ закона за запазване на движението на центъра на масата.

Пример 3.Две маси са свързани с неразтеглива нишка, хвърлена през блок (фиг. 3.5), фиксирани на клин с маса М.Клинът лежи върху гладка хоризонтална равнина. В началния момент системата беше в покой. Намерете изместването на клина по равнината, когато първият товар се спусне на височина Н.Пренебрегнете масата на блока и резбата.

Решение.Външните сили, действащи върху клина заедно с товарите, са гравитацията и Mg, както и нормалната реакция на гладка хоризонтална повърхност N. Следователно,

Тъй като в началния момент системата е била в покой, имаме .

Нека изчислим координатите на центъра на масата на системата в и в момента t 1 когато товарът тежи жще слезе на височина з.

За момента:

,

Къде , , X– съответно координатите на центъра на масата на товари с тегло g, g и тегло на клин Мж.

Да приемем, че клинът в момента се движи в положителната посока на оста волпо количеството Л, ако теглото на товара падне на височина Н.Тогава, за момента

защото товарите заедно с клина ще се придвижат към Лнадясно и товарът ще се движи нагоре по клина. Тъй като , тогава след изчисления получаваме

.

3.4. Количество движение на системата

3.4.1. Изчисляване на импулса на системата

Импулсът на материална точка е векторна величина, равна на произведението на масата на точката и нейния вектор на скоростта

Мерна единица за импулс -

Импулсът на механичната система е векторната сума на импулса на отделните точки на системата, т.е.

Къде Н – брой точки на системата.

Импулсът на механична система може да бъде изразен чрез масата на системата Ми скоростта на центъра на масата. наистина

тези. Импулсът на системата е равен на произведението на масата на цялата система и скоростта на нейния център на масата.Посоката е същата като посоката (фиг. 3.6)

В проекции върху правоъгълни оси имаме

където , , са проекции на скоростта на центъра на масата на системата.

тук М– маса на механичната система; не се променя, когато системата се движи.

Тези резултати са особено удобни за използване при изчисляване на количествата движение на твърди тела.

От формула (3.7) става ясно, че ако една механична система се движи по такъв начин, че нейният център на масата остава неподвижен, тогава импулсът на системата остава равен на нула.

3.4.2. Елементарен и пълен импулс

Действието на сила върху материална точка във времето дтможе да се характеризира с елементарен импулс. Общ импулс на сила във времето t, или импулс на сила, определен по формулата

или в проекции върху координати на оста

(3.8a)

Единицата импулс на сила е.

3.4.3. Теорема за промяната на импулса на системата

Нека към точките на системата са приложени външни и вътрешни сили. Тогава за всяка точка от системата можем да приложим диференциалните закони на движение (3.3), като имаме предвид, че :

.

Сумирайки всички точки на системата, получаваме

По свойството на вътрешните сили и по определение имаме

(3.9)

Умножавайки двете страни на това уравнение по дт, получаваме теорема за промяната на импулса в диференциална форма:

, (3.10)

тези. диференциалният импулс на механичната система е равен на векторната сума на елементарните импулси на всички външни сили, действащи върху точки на механичната система.

Изчисляване на интеграла на двете страни (3.10) във времето от 0 до t, получаваме теоремата в крайна или интегрална форма

(3.11)

В проекции върху координатните оси, които ще имаме

Промяна в импулса на механична система във времетоt, е равна на векторната сума на всички импулси на външни сили, действащи върху точки от механичната система за същото време.

Пример 4.Тегло на товара м се спуска надолу по наклонена равнина от покой под въздействието на сила Е, пропорционално на времето: , където (фиг. 3.7). Каква скорост ще придобие тялото след t секунди след началото на движението, ако коефициентът на триене при плъзгане на товара върху наклонената равнина е равен на f.

Решение.Нека изобразим силите, приложени към товара: мг – сила на тежестта на натоварването, Не нормалната реакция на равнината, е силата на триене при плъзгане на товара върху равнината и . Посоката на всички сили е показана в (фиг. 3.7).

Нека насочим оста Xпо наклонената равнина надолу. Нека напишем теоремата за промяната на импулса (3.11) в проекцията върху оста X:

(А)

Според условието, т.к в началния момент товарът е бил в покой. Сумата от проекциите на импулсите на всички сили върху оста x е равна на

следователно

,

.

3.4.4. Закони за запазване на импулса

Законите за запазване се получават като частни случаи на теоремата за промяната на импулса. Възможни са два специални случая.

· Ако векторната сума на всички външни сили, приложени към системата, е равна на нула, т.е. , тогава от теоремата следва (3.9) , Какво ,

тези. ако главният вектор на външните сили на системата е нула, тогава количеството на движение на системата е постоянно по големина и посока.

· Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху който и да е координатна осравно на нула, например О, т.е. , тогава проекцията на импулса върху тази ос е постоянна стойност.

Нека разгледаме пример за прилагане на закона за запазване на импулса.

Пример 5.Балистичното махало е тяло с маса, окачено на дълга нишка (фиг. 3.8).

Куршум с маса, движещ се със скорост Vи удряйки се в неподвижно тяло, се забива в него и тялото се отклонява. Каква беше скоростта на куршума, ако тялото се издигна на височина ч ?

Решение.Оставете тялото със заседналия куршум да придобие скорост. След това, използвайки закона за запазване на импулса по време на взаимодействието на две тела, можем да напишем .

Скоростта може да се изчисли с помощта на закона за запазване на механичната енергия . Тогава. В резултат откриваме

.

Пример 6. Водата влиза в стационарен канал (фиг. 3.9)променливо сечение със скорост под ъгъл спрямо хоризонталата; квадрат напречно сечениеканал на входа; скоростта на водата на изхода от канала сключва ъгъл с хоризонта.

Определете хоризонталния компонент на реакцията, която водата има върху стените на канала. Плътност на водата .

Решение.Ще определим хоризонталния компонент на реакцията, упражнявана от стените на канала върху водата. Тази сила е равна по големина и противоположен по знак на желаната сила. Имаме, съгласно (3.11a),

. (А)

Изчисляваме масата на обема на течността, влизаща в канала за време t:

Величината rAV 0 се нарича втора маса - масата на течността, протичаща през който и да е участък на тръбата за единица време.

Едно и също количество вода напуска канала за същото време. В условието са дадени началната и крайната скорост.

Нека изчислим дясната страна на равенството (a), което определя сумата от проекциите върху хоризонталната ос на външни сили, приложени към системата (вода). Единствената хоризонтална сила е хоризонталният компонент на резултантната реакция на стената R x. Тази сила е постоянна по време на равномерно движение на водата. Ето защо

. (V)

Замествайки (b) и (c) в (a), получаваме

3.5. Кинетичен момент на системата

3.5.1. Основен момент на импулса на системата

Нека е радиус вектор на точка с масата на системата спрямо някаква точка A, наречена център (фиг. 3.10).

Импулс на импулса (кинетичен момент) на точка спрямо център Анаречен вектор , определена по формулата

. (3.12)

В този случай векторът насочена перпендикулярно на равнината, минаваща през центъра Аи вектор .

Импулс на импулса (кинетичен момент) на точка спрямо остасе нарича проекция върху тази ос на момента на импулса на точка спрямо който и да е център, избран на тази ос.

Основният момент на импулса (кинетичен момент) на системата спрямо център Асе нарича количеството

(3.13)

Основният момент на импулса (кинетичен момент) на системата спрямо остасе нарича проекция върху тази ос на главния момент на импулса на системата спрямо който и да е избран върху това централна ос.

3.5.2. Кинетичен момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене

Нека подравним фиксираната точка ЗАтяло, лежащо върху оста на въртене ЗАz, с началото на координатната система охооz, чиито оси ще се въртят с тялото (фиг. 3.11). Нека е радиус-вектор на точка от тялото спрямо началото на координатите; нейната проекция върху оста ще бъде означена с , , . Означаваме проекциите на вектора на ъгловата скорост на тялото върху същите оси като 0, 0, ().

Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния ъглов момент, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на Д'Аламбер и възможни движения. Общо уравнение на динамиката. Уравнения на Лагранж.

Общи теореми за динамиката на твърдо тяло и система от тела

Общи теореми на динамиката- това е теорема за движението на центъра на масата на механична система, теорема за промяната на импулса, теорема за промяната на главния ъглов момент (кинетичен момент) и теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система.

Теорема за движението на центъра на масата на механична система

Теорема за движението на центъра на масата.
Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на масата е равно на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Тук M е масата на системата:
;
a C е ускорението на центъра на масата на системата:
;
v C - скорост на центъра на масата на системата:
;
r C - радиус вектор (координати) на центъра на масата на системата:
;
- координати (спрямо неподвижния център) и маси на точките, които изграждат системата.

Теорема за промяната на импулса (импулса)

Количеството движение (импулс) на систематае равно на произведението на масата на цялата система от скоростта на нейния център на масата или сумата от импулса (сумата от импулси) на отделните точки или части, които съставляват системата:
.

Теорема за промяната на импулса в диференциална форма.
Производната по време на количеството движение (импулс) на системата е равна на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Теорема за промяната на импулса в интегрална форма.
Промяната в импулса (импулса) на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили за същия период от време:
.

Закон за запазване на импулса (импулса).
Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава векторът на импулса на системата ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от проекциите на външните сили върху която и да е ос е нула, тогава проекцията на количеството на движение на системата върху тази ос ще бъде постоянна.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)

Главният ъглов импулс на система спрямо даден център O се нарича количеството, равно на векторната сума на ъгловия момент на всички точки на системата спрямо този център:
.
Тук квадратните скоби означават кръстосаното произведение.

Прикачени системи

Следващата теорема се прилага за случая, когато една механична система има фиксирана точка или ос, която е фиксирана спрямо инерционна отправна система. Например тяло, закрепено със сферичен лагер. Или система от тела, движещи се около фиксиран център. Може да бъде и неподвижна ос, около която се върти тяло или система от тела. В този случай моментите трябва да се разбират като моменти на импулс и сили спрямо неподвижната ос.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо някакъв неподвижен център O е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на главния ъглов момент (ъглов момент).
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо даден неподвижен център O е равна на нула, тогава главният ъглов момент на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от моментите на външните сили спрямо някаква фиксирана ос е нула, тогава ъгловият импулс на системата спрямо тази ос ще бъде постоянен.

Произволни системи

Следващата теорема има универсален характер. Прилага се както за неподвижни, така и за свободно движещи се системи. В случай на фиксирани системи е необходимо да се вземат предвид реакциите на връзките във фиксирани точки. Тя се различава от предишната теорема по това, че вместо фиксирана точка O трябва да вземем центъра на масата C на системата.

Теорема за моментите около центъра на масата
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо центъра на масата C е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на ъгловия момент.
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо центъра на масата C, е равна на нула, тогава главният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Инерционен момент на тялото

Ако тялото се върти около оста zс ъглова скорост ω z, тогава неговият ъглов момент (кинетичен момент) спрямо оста z се определя по формулата:
L z = J z ω z,
където J z е инерционният момент на тялото спрямо оста z.

Инерционният момент на тялото спрямо оста zопределя се по формулата:
,
където h k е разстоянието от точка с маса m k до оста z.
За тънък пръстен с маса M и радиус R или цилиндър, чиято маса е разпределена по ръба му,
J z = M R 2 .
За плътен хомогенен пръстен или цилиндър,
.

Теорема на Щайнер-Хюйгенс.
Нека Cz е оста, минаваща през центъра на масата на тялото, Oz е оста, успоредна на него. Тогава инерционните моменти на тялото спрямо тези оси са свързани по отношение:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
където М е телесно тегло; a е разстоянието между осите.

В по-общ случай:
,
където е тензорът на инерцията на тялото.
Ето вектор, начертан от центъра на масата на тялото до точка с маса m k.

Теорема за промяната на кинетичната енергия

Нека тяло с маса M извършва постъпателно и въртеливо движение с ъглова скорост ω около някаква ос z.
,
Тогава кинетичната енергия на тялото се определя по формулата:
където v C е скоростта на движение на центъра на масата на тялото;

J Cz е инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на оста на въртене. Посоката на оста на въртене може да се промени с времето. Тази формула дава моментната стойност на кинетичната енергия.
Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в диференциална форма.
.

Диференциалът (приращението) на кинетичната енергия на система по време на някакво движение е равен на сумата от диференциалите на работа върху това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в интегрална форма.
.

Промяната в кинетичната енергия на системата по време на някакво движение е равна на сумата от работата върху това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:Работата, извършена от силата
,
, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:

т.е. произведението на абсолютните стойности на векторите F и ds по косинуса на ъгъла между тях.Работата, извършена от момента на силата
.

, е равно на скаларното произведение на векторите на въртящия момент и безкрайно малкия ъгъл на въртене:

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблеми на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат инерционни сили и (или) моменти на инерционни сили, които са равни по големина и противоположни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Нека разгледаме един пример. Тялото претърпява постъпателно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това проблемът с динамиката:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по същия начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сила M e zk .
.
Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z.
;
.

След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z.

След това проблемът с динамиката:

Превръща се в статичен проблем:.
Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от съставянето на равновесни уравнения. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много телаПринципът на възможните движения

За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.Възможно преместване на системата

- това е малко движение, при което не се прекъсват връзките, наложени на системата.

Идеални връзки

- това са връзки, които не извършват работа, когато системата се движи. По-точно количеството работа, извършена от самите връзки при преместване на системата, е нула..
Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)
.
Принципът на D'Alembert-Lagrange е комбинация от принципа на D'Alembert с принципа на възможните движения. Тоест, когато решаваме динамичен проблем, ние въвеждаме инерционни сили и свеждаме проблема до статичен проблем, който решаваме, като използваме принципа на възможните премествания. Принцип на Д'Аламбер-ЛагранжКогато механична система с идеални връзки се движи, във всеки момент сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата е нула:.

Уравнения на Лагранж

Обобщени q координати 1 , q 2 , ..., q n е набор от n величини, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производни на обобщени координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Нека разгледаме възможно движение на системата, при което координатата q k ще получи движение δq k.
Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова движение. Тогава
.

δA k = Q k δq k , или
Ако при възможно движение на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова движение, има формата: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Тогава обобщените сили са частни производни на работата върху преместванията:За потенциални сили
.

с потенциал Π,Уравнения на Лагранж

са уравненията на движение на механична система в обобщени координати:
.

Тук Т е кинетична енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и, вероятно, време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите общата производна по отношение на времето, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
Използвана литература:

При голям брой материални точки, включени в механичната система, или ако тя включва абсолютно твърди тела (), извършващи нетранслационно движение, използването на система от диференциални уравнения на движение при решаването на основния проблем на динамиката на механичната система се оказва практически невъзможно. Въпреки това, когато се решават много инженерни проблеми, няма нужда да се определя движението на всяка точка от механичната система поотделно. Понякога е достатъчно да се направят изводи за най-важните аспекти на процеса на движение, който се изучава, без да се решава напълно системата от уравнения на движението. Тези изводи от диференциалните уравнения на движението на механична система съставляват съдържанието на общите теореми на динамиката. Общите теореми, на първо място, ни освобождават от необходимостта да извършваме във всеки отделен случай онези математически трансформации, които са общи за различни проблеми и се извършват веднъж завинаги при извеждане на теореми от диференциални уравнения на движение. Второ, общите теореми осигуряват връзка между общите агрегирани характеристики на движението на механична система, които имат ясен физически смисъл. Тези общи характеристики, като импулс, ъглов момент, кинетична енергия на механична система се наричат мерки за движение на механична система.

Първата мярка за движение е количеството на движение на механична система.

Количеството на движение на материална точка е векторната мярка на нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейната скорост:

.

Количеството на движение на механична система е векторната мярка на нейното движение, равна на сумата от количествата на движение на нейните точки:

, (13.1)

Нека трансформираме дясната страна на формула (23.1):

Къде
- маса на цялата система,
- скорост на центъра на масата.

следователно количеството на движение на механична система е равно на количеството на движение на нейния център на масата, ако цялата маса на системата е концентрирана в него:

.

Импулсна сила

Произведението на сила и елементарния интервал от време на нейното действие
наречен елементарен импулс на сила.

Импулс на сила за период от време се нарича интеграл на елементарния импулс на сила

.

Теорема за промяната на импулса на механична система

Нека за всяка точка
механичната система действа като резултатна от външни сили и резултантната на вътрешните сили .

Нека разгледаме основните уравнения на динамиката на механична система

Добавяне на уравнения (13.2) член по член за пточки от системата, получаваме

(13.3)

Първата сума от дясната страна е равна на главния вектор външни сили на системата. Втората сума е равна на нула поради свойството на вътрешните сили на системата. Нека помислим лявата странаравенства (13.3):

Така получаваме:

, (13.4)

или в проекции върху координатните оси

(13.5)

Равенствата (13.4) и (13.5) изразяват теоремата за промяната на импулса на механична система:

Производната по време на импулса на механичната система е равна на главния вектор на всички външни сили на механичната система.

Тази теорема може също да бъде представена в интегрална форма чрез интегриране на двете страни на равенството (13.4) във времето в диапазона от t 0 до t:

, (13.6)

Къде
, а интегралът от дясната страна е импулсът на външни сили за

време t-t 0 .

Равенството (13.6) представя теоремата в интегрална форма:

Увеличаването на импулса на механична система за крайно време е равно на импулса на външните сили през това време.

Теоремата се нарича още теорема за импулса.

В проекции върху координатните оси теоремата ще бъде написана като:

Следствия (закони за запазване на импулса)

1). Ако основният вектор на външните сили за разглеждания период от време е равен на нула, тогава количеството на движение на механичната система е постоянно, т.е. Ако
,
.

2). Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е ос за разглеждания период от време е нула, тогава проекцията на импулса на механичната система върху тази ос е постоянна,

тези. Ако
това
.