Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния ъглов момент, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на Д'Аламбер и възможни движения. Общо уравнениевисокоговорители. Уравнения на Лагранж.

Общи теореми за динамиката на твърдо тяло и система от тела

Общи теореми на динамиката- това е теорема за движението на центъра на масата механична система, теоремата за промяната на импулса, теоремата за промяната на главния ъглов момент (кинетичен импулс) и теоремата за промяната на кинетичната енергия на механична система.

Теорема за движението на центъра на масата на механична система

Теорема за движението на центъра на масата.
Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на масата е равно на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Тук M е масата на системата:
;
a C е ускорението на центъра на масата на системата:
;
v C - скорост на центъра на масата на системата:
;
r C - радиус вектор (координати) на центъра на масата на системата:
;
- координати (спрямо неподвижния център) и маси на точките, които изграждат системата.

Теорема за промяната на импулса (импулса)

Количеството движение (импулс) на систематае равно на произведението на масата на цялата система от скоростта на нейния център на масата или сумата от импулса (сумата от импулси) на отделните точки или части, които съставляват системата:
.

Теорема за промяната на импулса в диференциална форма.
Производната по време на количеството движение (импулс) на системата е равна на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Теорема за промяната на импулса в интегрална форма.
Промяната в импулса (импулса) на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили за същия период от време:
.

Закон за запазване на импулса (импулса).
Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава векторът на импулса на системата ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от проекциите на външните сили върху която и да е ос е нула, тогава проекцията на количеството на движение на системата върху тази ос ще бъде постоянна.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)

Главният ъглов импулс на система спрямо даден център O е количеството, равно на векторната сума на ъгловия момент на всички точки на системата спрямо този център:
.
Тук квадратните скоби означават кръстосаното произведение.

Прикачени системи

Следващата теорема се прилага за случая, когато една механична система има фиксирана точка или ос, която е фиксирана спрямо инерционна отправна система. Например тяло, закрепено със сферичен лагер. Или система от тела, движещи се около фиксиран център. Може да бъде и неподвижна ос, около която се върти тяло или система от тела. В този случай моментите трябва да се разбират като моменти на импулс и сили спрямо неподвижната ос.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо някакъв неподвижен център O е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на главния ъглов момент (ъглов момент).
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо даден неподвижен център O е равна на нула, тогава основна точкаколичеството на движение на системата спрямо този център ще бъде постоянно. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от моментите на външните сили спрямо някаква фиксирана ос е нула, тогава ъгловият импулс на системата спрямо тази ос ще бъде постоянен.

Произволни системи

Следващата теорема има универсален характер. Прилага се както за неподвижни, така и за свободно движещи се системи. В случай на фиксирани системи е необходимо да се вземат предвид реакциите на връзките във фиксирани точки. Тя се различава от предишната теорема по това, че вместо фиксирана точка O трябва да се вземе центърът на масата C на системата.

Теорема за моментите около центъра на масата
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо центъра на масата C е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на ъгловия момент.
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо центъра на масата C, е равна на нула, тогава главният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Инерционен момент на тялото

Ако тялото се върти около оста zс ъглова скоростω z, тогава неговият ъглов момент (кинетичен момент) спрямо оста z се определя по формулата:
L z = J z ω z,
където J z е инерционният момент на тялото спрямо оста z.

Инерционният момент на тялото спрямо оста zопределя се по формулата:
,
където h k е разстоянието от точка с маса m k до оста z.
За тънък пръстен с маса M и радиус R или цилиндър, чиято маса е разпределена по ръба му,
J z = M R 2 .
За плътен хомогенен пръстен или цилиндър,
.

Теорема на Щайнер-Хюйгенс.
Нека Cz е оста, минаваща през центъра на масата на тялото, Oz е оста, успоредна на нея. Тогава инерционните моменти на тялото спрямо тези оси са свързани по отношение:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
където М е телесно тегло; a е разстоянието между осите.

В повече общ случай :
,
където е тензорът на инерцията на тялото.
Ето вектор, начертан от центъра на масата на тялото до точка с маса m k.

Теорема за промяната на кинетичната енергия

Нека тяло с маса M извършва постъпателно и въртеливо движение с ъглова скорост ω около някаква ос z.
,
Тогава кинетичната енергия на тялото се определя по формулата:
където v C е скоростта на движение на центъра на масата на тялото;

J Cz е инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на оста на въртене. Посоката на оста на въртене може да се промени с времето. Тази формула дава моментната стойност на кинетичната енергия.
Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в диференциална форма.
.

Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в интегрална форма.
Промяната в кинетичната енергия на системата по време на някакво движение е равна на сумата от работата, извършена при това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.

Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:
,
т.е. произведението на абсолютните стойности на векторите F и ds по косинуса на ъгъла между тях.

Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на въртящия момент и безкрайно малкия ъгъл на въртене:
.

принцип на д'Аламбер

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблеми на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат инерционни сили и (или) моменти на инерционни сили, които са равни по големина и противоположни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Нека разгледаме един пример. Тялото претърпява постъпателно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това проблемът с динамиката:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по същия начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сила M e zk .
.
Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z.
;
.

След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z.

След това проблемът с динамиката:

Превръща се в статичен проблем:.
Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от съставянето на равновесни уравнения. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много телаПринципът на възможните движения

За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.Възможно преместване на системата

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на Д'Аламберт-Лагранж е комбинация от принципа на Д'Аламберт с принципа на възможните движения. Тоест, когато решаваме динамичен проблем, ние въвеждаме инерционни сили и свеждаме проблема до статичен проблем, който решаваме, използвайки принципа на възможните премествания.

Принцип на Д'Аламбер-Лагранж.
Когато механична система с идеални връзки се движи, във всеки момент сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата е нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнение на динамиката.

Уравнения на Лагранж

Обобщени q координати 1 , q 2 , ..., q n е набор от n величини, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производни на обобщени координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Нека разгледаме възможно движение на системата, при което координатата q k ще получи движение δq k.
Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова движение. Тогава
.

δA k = Q k δq k , или
Ако при възможно движение на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова движение, има формата: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Тогава обобщените сили са частични производни на работата върху преместванията: За потенциални сили
.

с потенциал Π,Уравнения на Лагранж

- това са уравненията на движение на механична система в обобщени координати:
.

Тук Т е кинетична енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и, вероятно, време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите общата производна по отношение на времето, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
Използвана литература: С. М. Тарг,Кратък курс

теоретична механика, "Висше училище", 2010г.

(МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ) – IV вариант 1. Основното уравнение на динамиката на материална точка, както е известно, се изразява с уравнението.Диференциални уравнения

(1) движенията на произволни точки на несвободна механична система според два метода за разделяне на силите могат да бъдат записани в две форми:

(2)

където е масата на k-тата точка; - радиус-вектор на k-та точка, - дадена (активна) сила, действаща върху k-та точка, или резултат от всички активни сили, действащи върху k-та точка. - резултатна от силите на реакция на връзката, действащи върху k-тата точка; - равностойна на вътрешните сили, действащи върху k-тата точка; - равностойна на външните сили, действащи върху k-тата точка.

Използвайки уравнения (1) и (2), човек може да се стреми да реши както първия, така и втория проблем на динамиката. Решаването на втория проблем за динамиката на система обаче става много сложно не само от математическа гледна точка, но и защото сме изправени пред фундаментални трудности. Те се състоят в това, че както за система (1), така и за система (2) броят на уравненията е значителен по-малко числонеизвестен.

Така че, ако използваме (1), тогава известната динамика за втората (обратна) задача ще бъде и , а неизвестните ще бъдат и . Векторните уравнения ще бъдат " п”, и неизвестни - „2n”.

Ако изхождаме от системата от уравнения (2), тогава някои от външните сили са известни. Защо да се разделим? Факт е, че броят на външните сили включва и външни реакции на връзки, които са неизвестни. Освен това, .

Така и системата (1), и системата (2) са НЕЗАТВОРЕНИ. Необходимо е да се добавят уравнения, като се вземат предвид уравненията на връзките и може би е необходимо да се наложат някои ограничения върху самите връзки. какво да правя

Ако започнем от (1), тогава можем да следваме пътя на съставяне на уравнения на Лагранж от първи род. Но този път не е рационален, защото по-лесна задача(по-малко степени на свобода), толкова по-трудно е да се реши от математическа гледна точка.

Тогава нека обърнем внимание на система (2), където - винаги са неизвестни. Първата стъпка в решаването на една система е да се премахнат тези неизвестни. Трябва да се има предвид, че по правило не се интересуваме от вътрешни сили, когато системата се движи, тоест, когато системата се движи, не е необходимо да знаем как се движи всяка точка от системата, но е достатъчно да знаете как се движи системата като цяло.

По този начин, ако по различни начиниизключваме неизвестни сили от системата (2), тогава получаваме някои отношения, т.е. появяват се някои общи характеристикиза система, познаването на която ни позволява да преценим как се движи системата като цяло. Тези характеристики се въвеждат с помощта на т.нар общи теореми на динамиката. Има четири такива теореми:

1. Теорема за движение на центъра на масата на механична система;

2. Теорема за промяна в импулса на механична система;

3. Теорема за промяна на кинетичния момент на механичната система;

4. Теорема за промяна в кинетичната енергия на механична система.

Доста често е възможно да се изолира важни характеристикидвижение на механична система, без да се прибягва до интегриране на система от диференциални уравнения на движение. Това се постига чрез прилагане на общите теореми на динамиката.

5.1. Основни понятия и определения

Външни и вътрешни сили.Всяка сила, действаща върху точка в механична система, непременно е или активна сила, или реакция на свързване. Целият набор от сили, действащи върху точките на системата, може да бъде разделен на два класа по различен начин: външни сили и вътрешни сили (индекси e и i - от латинските думи externus - външен и internus - вътрешен). Външни сили са тези, които действат върху точки на система от точки и тела, които не са част от разглежданата система. Силите на взаимодействие между точките и телата на разглежданата система се наричат ​​вътрешни.

Това разделение зависи от това кои материални точки и тела са включени от изследователя в разглежданата механична система. Ако разширите състава на системата, като включите допълнителни точки и тела, тогава някои сили, които са били външни за предишната система, могат да станат вътрешни за разширената система.

Свойства на вътрешните сили.Тъй като тези сили са сили на взаимодействие между частите на системата, те влизат в цялостната система от вътрешни сили в "две", организирани в съответствие с аксиомата действие-реакция. Всяко такова „две“ има силни страни

главният вектор и главният момент около произволен център са равни на нула. Тъй като пълната система от вътрешни сили се състои само от „двойки“, тогава

1) основният вектор на системата от вътрешни сили е нула,

2) основният момент на системата от вътрешни сили спрямо произволна точка е равен на нула.

Масата на системата се нарича аритметична сумамаси tk на всички точки и тела, образуващи системата:

Център на масата(център на инерция) на механична система е геометрична точка C, чийто радиус-вектор и координати се определят по формулите

където са радиус-векторите и координатите на точките, образуващи системата.

Тогава обобщените сили са частични производни на работата върху преместванията: твърдоразположени в еднородно поле на тежестта, позициите на центъра на масата и центъра на тежестта съвпадат, в други случаи това са различни геометрични точки.

Заедно с инерциалната отправна система често се разглежда едновременно неинерциална отправна система, движеща се постъпателно. Неговите координатни оси (оси на Кьониг) са избрани така, че началото C постоянно да съвпада с центъра на масата на механичната система. В съответствие с определението центърът на масата е неподвижен в осите на Кьониг и се намира в началото на координатите.

Инерционен момент на систематаспрямо ос е скаларна величина, равна на сумата от произведенията на масите mk на всички точки на системата по квадратите на техните разстояния до оста:

Ако механичната система е твърдо тяло, за да намерите 12, можете да използвате формулата

където е плътността, обемът, зает от тялото.

При голям брой материални точки, включени в механичната система, или ако тя включва абсолютно твърди тела (), извършващи нетранслационно движение, използването на система от диференциални уравнения на движение при решаването на основния проблем на динамиката на механичната система се оказва практически невъзможно. Въпреки това, когато се решават много инженерни проблеми, няма нужда да се определя движението на всяка точка от механичната система поотделно. Понякога е достатъчно да се направят изводи за най-важните аспекти на процеса на движение, който се изучава, без да се решава напълно системата от уравнения на движението. Тези изводи от диференциалните уравнения на движението на механична система съставляват съдържанието на общите теореми на динамиката. Общите теореми, на първо място, ни освобождават от необходимостта да извършваме във всеки отделен случай онези математически трансформации, които са общи за различни проблеми и се извършват веднъж завинаги при извеждане на теореми от диференциални уравнения на движение. Второ, общите теореми осигуряват връзка между общите агрегирани характеристики на движението на механична система, които имат ясен физически смисъл. Тези общи характеристики като импулс, ъглов момент, кинетична енергия на механична система се наричат мерки за движение на механична система.

Първата мярка за движение е количеството на движение на механична система.

Количеството на движение на материална точка е векторната мярка на нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейната скорост:

.

Количеството на движение на механична система е векторната мярка на нейното движение, равна на сумата от количествата на движение на нейните точки:

, (13.1)

Нека трансформираме дясната страна на формула (23.1):

Къде
- маса на цялата система,
- скорост на центъра на масата.

следователно количеството на движение на механична система е равно на количеството на движение на нейния център на масата, ако цялата маса на системата е концентрирана в него:

.

Импулсна сила

Произведението на сила и елементарния интервал от време на нейното действие
наречен елементарен импулс на сила.

Импулс на сила за период от време се нарича интеграл на елементарния импулс на сила

.

Теорема за промяната на импулса на механична система

Нека за всяка точка
механичната система действа като резултатна от външни сили и резултантната на вътрешните сили .

Нека разгледаме основните уравнения на динамиката на механична система

Добавяне на уравнения (13.2) член по член за пточки от системата, получаваме

(13.3)

Първата сума от дясната страна е равна на главния вектор външни сили на системата. Втората сума е равна на нула поради свойството на вътрешните сили на системата. Нека помислим лявата странаравенства (13.3):

Така получаваме:

, (13.4)

или в проекции върху координатните оси

(13.5)

Равенствата (13.4) и (13.5) изразяват теоремата за промяната на импулса на механична система:

Производната по време на импулса на механичната система е равна на главния вектор на всички външни сили на механичната система.

Тази теорема може също да бъде представена в интегрална форма чрез интегриране на двете страни на равенството (13.4) във времето в диапазона от t 0 до t:

, (13.6)

Къде
, а интегралът от дясната страна е импулсът на външните сили за

време t-t 0 .

Равенството (13.6) представя теоремата в интегрална форма:

Увеличаването на импулса на механична система за крайно време е равно на импулса на външните сили през това време.

Теоремата се нарича още теорема за импулса.

В проекции върху координатните оси теоремата ще бъде написана като:

Следствия (закони за запазване на импулса)

1). Ако основният вектор на външните сили за разглеждания период от време е равен на нула, тогава количеството на движение на механичната система е постоянно, т.е. Ако
,
.

2). Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е ос за разглеждания период от време е нула, тогава проекцията на импулса на механичната система върху тази ос е постоянна,

тези. Ако
това
.

Теорема за движението на центъра на масата.Диференциални уравнения на движение на механична система. Теорема за движението на центъра на масата на механична система. Закон за запазване на движението на центъра на масата.

Теорема за промяната на импулса.Количеството движение на материална точка. Елементарен импулс на сила. Силов импулс за краен период от време и неговата проекция върху координатни оси. Теорема за промяната на импулса на материална точка в диференциална и крайна форма.

Количеството движение на механична система; нейното изразяване чрез масата на системата и скоростта на нейния масов център. Теорема за промяната на импулса на механична система в диференциална и крайна форма. Закон за запазване на механичния импулс

(Концепцията за тяло и точка с променлива маса. Уравнението на Мещерски. Формулата на Циолковски.)

Теорема за промяната на ъгловия момент.Моментът на импулса на материална точка спрямо центъра и спрямо оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на материална точка. Централна власт. Запазване на ъгловия момент на материална точка в случай на централна сила. (Концепцията за секторна скорост. Законът за площите.)

Основният момент на импулса или кинетичният момент на механична система спрямо центъра и спрямо оста. Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на кинетичния момент на механична система. Закон за запазване на ъгловия момент на механична система. (Теоремата за промяната на кинетичния момент на механична система в относително движениеспрямо центъра на масата.)

Теорема за промяната на кинетичната енергия.Кинетична енергия на материална точка. Елементарна работа на силата; аналитичен израз на елементарна работа. Работата, извършена от сила върху окончателното изместване на точката на нейното приложение. Работата на гравитацията, еластичната сила и гравитационната сила. Теорема за изменението на кинетичната енергия на материална точка в диференциална и крайна форма.

Кинетична енергия на механична система. Формули за изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло по време на постъпателно движение, по време на въртене около фиксирана ос и в общия случай на движение (по-специално при равнинно-паралелно движение). Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и крайна форма. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили в твърдо тяло, е равна на нула. Работа и мощност на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос.

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Изразяване на проекции на сила чрез функцията на силата. Повърхнини с равен потенциал. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия. Примери за потенциални силови полета: еднородно гравитационно поле и гравитационно поле. Закон за запазване на механичната енергия.

Динамика на твърдото тяло.Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение за въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Принципът на Д'Аламбер.Принцип на Д'Аламбер за материална точка; инерционна сила. Принцип на Д'Аламбер за механична система. Привеждане на инерционните сили на точки на твърдо тяло към центъра; главен вектор и главен момент на инерционните сили.

(Определяне на динамичните реакции на лагерите по време на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. Случаят, когато оста на въртене е основната централна ос на инерция на тялото.)

Принципът на възможните движения и общото уравнение на динамиката.Връзки, наложени на механична система. Възможни (или виртуални) движения на материална точка и механична система. Броят на степените на свобода на системата. Идеални връзки. Принципът на възможните движения. Общо уравнение на динамиката.

Уравнения на движение на система в обобщени координати (уравнения на Лагранж).Обобщени координати на системата; обобщени скорости. Изразяване на елементарна работа в обобщени координати. Обобщени сили и тяхното изчисляване; случай на сили с потенциал. Условия за равновесие на система в обобщени координати. Диференциални уравнения на движение на система в обобщени координати или уравнения на Лагранж от 2-ри род. Уравнения на Лагранж при потенциални сили; Функция на Лагранж (кинетичен потенциал).

Концепцията за устойчивост на равновесие. Малки свободни вибрации на механична система с една степен на свобода в близост до позицията на устойчиво равновесие на системата и техните свойства.

Елементи на теорията на въздействието.Феномен на въздействието. Ударна сила и ударен импулс. Действието на ударна сила върху материална точка. Теорема за промяната на импулса на механична система при удар. Директен централен удар на тялото върху неподвижна повърхност; еластични и нееластични въздействия. Коефициент на възстановяване при удар и експерименталното му определяне. Директен централен удар на две тела. Теорема на Карно.

ЛИТЕРАТУРА

Основен

Бутенин Н.В., Лунц Я-Л., Меркин Д.Р.Курс по теоретична механика. Т. 1, 2. М., 1985 г. и предишни издания.

Добронравов В.В., Никитин Н.Н.Курс по теоретична механика. М., 1983.

Старжински В. М.Теоретична механика. М., 1980.

Тарг С. М.Кратък курс по теоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Яблонски А. А., Никифорова В. М.Курс по теоретична механика. Част 1. М., 1984 и предишни издания.

Яблонски А. А.Курс по теоретична механика. Част 2. М., 1984 и предишни издания.

Мещерски И. В.Сборник задачи на теоретична механика. М., 1986 и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/Изд. К. С. Колесникова. М., 1983.

Допълнителна

Бат М. И., Джанелидзе Г. Ю., Келзон А. С.Теоретична механика в примери и задачи. Части 1, 2. М., 1984 г. и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика/5ражничен/съ Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л.и др., М., 1987.

Новожилов И. В., Зацепин М. Ф.Типични компютърно базирани изчисления в теоретичната механика. М., 1986,

Сборник задачи за курсова работапо теоретична механика / Ed. А. А. Яблонски. М., 1985 и предишни издания (съдържа примери за решаване на проблеми).