В тази статия ще разгледаме такова действие като умножаване на десетични дроби. Нека започнем с формулирането на общи принципи, след това ще покажем как да умножаваме една десетична дроб по друга и да разгледаме метода на умножаване на колони. Всички дефиниции ще бъдат илюстрирани с примери. След това ще анализираме как правилно да умножаваме десетичните дроби по обикновени, както и по смесени и естествени числа (включително 100, 10 и т.н.)

В рамките на този материал ще се докоснем само до правилата за умножаване на положителни фракции. Случаите с отрицателни са разгледани отделно в статии за умножаването на рационални и реални числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека формулираме основни принципи, които трябва да се спазват при решаване на задачи за умножение на десетични дроби.

Нека запомним за начало, че десетичните дроби не са нищо повече от специална форма на писане на обикновени дроби, следователно процесът на тяхното умножение може да бъде сведен до същия за обикновените дроби. Това правило работи както за крайни, така и за безкрайни дроби: след превръщането им в обикновени е лесно да се извърши умножение с тях според правилата, които вече сме изучавали.

Нека да видим как се решават такива задачи.

Пример 1

Изчислете произведението на 1, 5 и 0,75.

Решение: първо, нека заменим десетичните дроби с обикновени. Знаем, че 0,75 е 75/100 и 1,5 е 15 10. Можем да отменим фракцията и да изберем цялата част. Ще запишем получения резултат 125 1000 като 1, 125.

Отговор: 1 , 125 .

Можем да използваме метода за броене на колони както за естествени числа.

Пример 2

Умножете едната периодична дроб 0, (3) с другата 2, (36).

Като начало довеждаме оригиналните дроби до обикновените. Ще получим:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Следователно 0, (3) 2, (36) \u003d 1 3 26 11 \u003d 26 33.

Полученото обща фракция може да се преобразува в десетично чрез разделяне на числителя на знаменателя в колона:

Отговор: 0, (3) 2, (36) \u003d 0, (78).

Ако имаме безкрайни непериодични дроби в постановката на проблема, тогава трябва да ги закръглим предварително (вижте статията за закръгляване на числата, ако сте забравили как да направите това). След това можете да извършите действието за умножение с вече закръглени десетични дроби. Нека дадем пример.

Пример 3

Изчислете произведението на 5, 382 ... и 0, 2.

Решение

В нашия проблем има безкрайна част, която първо трябва да бъде закръглена до най-близката стотна. Оказва се, че 5, 382 ... ≈ 5, 38. Вторият фактор няма смисъл да се закръгля до стотни. Сега можете да изчислите желания продукт и да запишете отговора: 5, 38 · 0, 2 \u003d 538 100 · 2 10 \u003d 1 076 1000 \u003d 1, 076.

Отговор: 5, 382 ... · 0,2 ≈ 1,076.

Методът за броене на колони може да се използва не само за естествени числа. Ако имаме десетични знаци, можем да ги умножим по абсолютно същия начин. Нека изведем правилото:

Определение 1

Умножението на десетични дроби с колона се извършва в 2 стъпки:

1. Извършваме умножение по колона, като не обръщаме внимание на запетаите.

2. Поставяме десетична точка в крайното число, разделяйки го толкова цифри от дясната страна, тъй като и двата фактора съдържат десетични знаци заедно. Ако в резултат няма достатъчно числа за това, добавете нули вляво.

Нека разгледаме примери за такива изчисления на практика.

Пример 4

Умножете десетични числа 63, 37 и 0, 12 в колона.

Решение

Първата стъпка е да се направи умножението на числата, като се игнорират десетичните точки.

Сега трябва да поставим запетая на правилното място. Той ще отдели четирите цифри от дясната страна, тъй като сумата от десетичните знаци и в двата фактора е 4. Не е нужно да добавяте нули, защото достатъчно признаци:

Отговор: 3,37 0,12 \u003d 7,6044.

Пример 5

Изчислете колко 3.2601 се умножава по 0.0254.

Решение

Ние броим, без да зачитаме запетаи. Получаваме следното число:

Ще поставим запетая, разделяща 8 цифри от дясната страна, защото оригиналните дроби заедно имат 8 знака след десетичната запетая. Но в нашия резултат има само седем цифри и не можем да направим без допълнителни нули:

Отговор: 3,2601 0,0254 \u003d 0,08280654.

Как да умножим десетичен знак по 0,001, 0,01, 01 и т.н.

Десетичните знаци често се умножават по такива числа, така че е важно да можете да го направите бързо и точно. Нека запишем специално правило, което ще използваме при това умножение:

Определение 2

Ако умножим десетичния знак по 0, 1, 0, 01 и т.н., в крайна сметка получаваме число, подобно на оригиналната дроб, със запетая, преместена вляво от точната сума знаци. Ако няма достатъчно номера за прехвърляне, трябва да добавите нули вляво.

Така че, за да умножите 45, 34 по 0, 1, трябва да преместите запетаята в оригиналната десетична дроб с една цифра. В крайна сметка получаваме 4,534.

Пример 6

Умножете 9,4 по 0,0001.

Решение

Ще трябва да преместим запетая с четири знака след десетичната запетая според броя на нулите във втория фактор, но числата в първия няма да са достатъчни за това. Присвояваме необходимите нули и получаваме, че 9,4 · 0, 0001 \u003d 0, 00094.

Отговор: 0 , 00094 .

За безкрайни десетични дроби използваме същото правило. Така например, 0, (18) · 0, 01 \u003d 0, 00 (18) или 94, 938 ... · 0, 1 \u003d 9, 4938…. и т.н.

Процесът на такова умножение не се различава от действието на умножаване на две десетични дроби. Удобно е да се използва методът за умножение на колони, ако в инструкцията за задача има крайна десетична дроб. В този случай е необходимо да се вземат предвид всички онези правила, за които говорихме в предишния параграф.

Пример 7

Изчислете колко ще са 15 2, 27.

Решение

Умножете оригиналните числа с колона и отделете двата знака след десетичната запетая.

Отговор: 15 2, 27 \u003d 34, 05.

Ако изпълняваме умножението на периодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да сменим десетичната дроб на обикновена.

Пример 8

Изчислете произведението на 0, (42) и 22.

Нека доведем периодичната дроб до обикновената форма.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 \u003d 14 33 22 \u003d 14 22 3 \u003d 28 3 \u003d 9 1 3

Крайният резултат може да бъде записан под формата на периодична десетична дроб като 9, (3).

Отговор: 0, (42) 22 \u003d 9, (3).

Безкрайните дроби трябва да бъдат закръглени преди изчислението.

Пример 9

Изчислете колко ще бъде 4 · 2, 145 ....

Решение

Нека закръглим първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни. След това стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 \u003d 8, 60.

Отговор: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Как да умножим десетичната запетая по 1000, 100, 10 и т.н.

Умножение на десетична дроб с 10, 100 и т.н. често се среща при проблеми, така че ще анализираме този случай отделно. Основното правило за умножение е:

Определение 3

За да умножите десетична дроб по 1000, 100, 10 и т.н., трябва да преместите запетаята му по 3, 2, 1 цифри в зависимост от множителя и да изхвърлите допълнителните нули вляво. Ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, добавете толкова нули вдясно, колкото ни е необходимо.

Нека да покажем с пример как се прави това.

Пример 10

Умножете 100 и 0,0783.

Решение

За да направите това, трябва да преместим десетичната точка с 2 цифри в дясната страна. В крайна сметка получаваме 007, 83 Нулите вляво могат да бъдат изхвърлени и резултатът е записан като 7, 38.

Отговор: 0,0783 100 \u003d 7,83.

Пример 11

Умножете 0,02 по 10 хиляди.

Решение: ще преместим запетая с четири цифри надясно. В оригиналната десетична дроб нямаме достатъчно цифри за това, така че ще трябва да добавим нули. В този случай са достатъчни три 0. В резултат на това се оказа 0, 02000, премести запетая и получи 00200, 0. Пренебрегвайки нулите вляво, можем да запишем отговора като 200.

Отговор: 0,02 10 000 \u003d 200.

Правилото, което дадохме, ще работи по същия начин в случай на безкрайни десетични дроби, но тук трябва да бъдете много внимателни относно периода на крайния дроб, тъй като е лесно да се допусне грешка в него.

Пример 12

Изчислете произведението от 5, 32 (672) по 1000.

Решение: на първо място, ще запишем периодичната дроб като 5, 32672672672 ..., така че вероятността за грешка ще бъде по-малка. След това можем да прехвърлим запетая към необходимия брой знаци (три). В резултат получаваме 5326, 726726 ... Нека поставим периода в скоби и напишем отговора като 5 326, (726).

Отговор: 5, 32 (672) 1000 \u003d 5 326, (726).

Ако в условията на задачата има безкрайни непериодични дроби, които трябва да се умножат по десет, сто, хиляда и т.н., не забравяйте да ги закръглите, преди да се умножат.

За да извършите този вид умножение, трябва да представите десетичната дроб под формата на обикновена дроб и след това да продължите според вече познатите правила.

Пример 13

Умножете 0,4 по 3 5 6

Решение

Първо, нека преобразуваме десетичната дроб в обща. Имаме: 0, 4 \u003d 4 10 \u003d 2 5.

Получихме отговор със смесен номер. Можете да го запишете като периодична дроб 1, 5 (3).

Отговор: 1 , 5 (3) .

Ако в изчислението участва безкрайна непериодична дроб, трябва да я закръглите до определена цифра и едва след това да умножите.

Пример 14

Изчислете произведението 3, 5678. ... ... · 2 3

Решение

Можем да представим втория фактор като 2 3 \u003d 0, 6666…. След това нека закръглим и двата фактора до хилядното място. След това ще трябва да изчислим произведението на две последни десетични дроби 3, 568 и 0, 667. Нека преброим в колона и получим отговора:

Крайният резултат трябва да бъде закръглен до хилядни, тъй като до тази цифра закръглихме първоначалните числа. Получаваме, че 2.379856 ≈ 2.380.

Отговор: 3, 5678. ... ... 2 3 ≈ 2, 380

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

За да разберем как да умножаваме десетичните дроби, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножете, пренебрегвайки запетая.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след запетая, колкото са след запетаите и в двата фактора заедно.

Примери.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест не умножаваме 6.8 и 3.4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след запетая, колкото са след запетаите и в двата множителя заедно. Първият фактор след десетичната запетая има една цифра, вторият - също една. Като цяло отделяме две цифри след десетичната запетая.Така получихме окончателния отговор: 6.8 ∙ 3.4 \u003d 23.12.

Умножаваме десетичните дроби, без да вземаме предвид запетая. Тоест всъщност вместо да умножим 36,85 по 1,14, умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега, в този резултат, трябва да отделим толкова цифри със запетая, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число след десетичната запетая има две цифри, второто - една. Като цяло разделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след десетичната запетая има нула, не го записваме в отговор: 36,85 ∙ 1,4 \u003d 51,59.

За да умножим тези десетични дроби, умножаваме числата, игнорирайки запетаите. Тоест умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото има и в двата фактора заедно (по два във всеки). Крайният отговор: 23,15 ∙ 0,07 \u003d 1,6205.

Умножението на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. В резултат след запетая трябва да има толкова цифри, колкото са и в двата фактора заедно - един. По този начин 75 ∙ 1,6 \u003d 120,0 \u003d 120.

Започваме да умножаваме десетичните дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме след десетичната запетая толкова много цифри, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число има два десетични знака, второто има две. В резултат на това след десетичната запетая трябва да има четири цифри: 4.72 ∙ 5.04 \u003d 23.7888.

Преминавайки към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно десетично умножение... Първо, нека обсъдим общите принципи на умножаване на десетичните дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб с десетична дроб, ще покажем как се извършва умножението на десетични дроби по колона, разгледаме решенията на примери. След това ще анализираме умножението на десетичните дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. В заключение нека поговорим за умножаване на десетичните дроби по дроби и смесени числа.

Нека веднага кажем, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножение на реални числа.

Навигация по страници.

Общи принципи на умножаване на десетичните дроби

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на писане на обикновени дроби, умножението на такива десетични дроби е по същество умножение на обикновени дроби. С други думи, крайно десетично умножение, умножение на крайни и периодични десетични дроби, и умножение на периодични десетични дроби се свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетичните дроби в обикновени дроби.

Нека разгледаме примери за използване на звучащия принцип на умножаване на десетични дроби.

Пример.

Извършете десетично умножение 1,5 и 0,75.

Решение.

Заменете десетичните дроби, които трябва да се умножават, със съответните общи дроби. Тъй като 1,5 \u003d 15/10 и 0,75 \u003d 75/100, тогава. Можете да намалите фракцията, след това да изберете цялата част от неподходящата фракция и е по-удобно да запишете получената обикновена фракция 1 125/1000 под формата на десетична дроб 1.125.

Отговор:

1,5 0,75 \u003d 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайни десетични дроби в колона, ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в.

Нека разгледаме пример за умножаване на периодични десетични дроби.

Пример.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0, (3) и 2, (36).

Решение.

Нека преведем периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Отговор:

0, (3) 2, (36) \u003d 0, (78).

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа) и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Пример.

Извършете десетичното умножение 5.382 ... и 0.2.

Решение.

Първо, нека закръглим безкрайната непериодична десетична дроб, закръгляването може да се направи до стотни, имаме 5.382 ... ≈5.38. Няма нужда да закръгляте крайния десетичен знак от 0,2 до стотни. По този начин, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Остава да се изчисли произведението на крайните десетични дроби: 5,38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1,076 / 1000 \u003d 1,076.

Отговор:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Десетично умножение на колона

Умножението на крайни десетични дроби може да се извърши колонно, подобно на колонно умножение на естествени числа.

Нека формулираме правило за десетично умножение на колона... За да умножите десетични дроби с колона, трябва:

• пренебрегвайки запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете толкова цифри вдясно с десетична запетая, колкото десетични знаци има и в двата фактора заедно и ако в продукта няма достатъчно цифри, тогава вляво трябва да добавите необходимия брой нули .

Нека разгледаме примери за умножаване на десетични дроби с колона.

Пример.

Умножете десетичните дроби 63,37 и 0,12.

Решение.

Нека извършим умножението на десетични дроби по колона. Първо умножаваме числата, игнорирайки запетаите:

Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да отдели 4 цифри вдясно, тъй като факторите се събират до четири знака след десетичната запетая (две в дроб 3.37 и две в дроб 0,12). Има достатъчно числа, така че няма нужда да добавяте нули вляво. Нека завършим записа:

В резултат имаме 3,37 0,12 \u003d 7,6044.

Отговор:

3,37 * 0,12 \u003d 7,6044.

Пример.

Изчислява се произведението на десетичните дроби 3.2601 и 0.0254.

Решение.

След като извършихме умножение с колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри вдясно със запетая, тъй като общият брой на десетичните знаци на умножените дроби е осем. Но в продукта има само 7 цифри, следователно трябва да присвоите толкова много нули вляво, за да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да присвоите две нули:

Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Отговор:

3,2601 0,0254 \u003d 0,08280654.

Десетично умножение с 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Поради това е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб по тези числа, което следва от принципите за умножаване на десетичните дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на дадената десетична дроб по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. дава дроб, която се получава от оригинала, ако при въвеждането й запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н., докато ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, тогава имате нужда за да добавите необходимия брой нули вляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите запетаята наляво по 1 цифра в дроб 54,34 и ще получите дроб 5,434, т.е. 54,34 · 0,1 \u003d 5,434. Нека дадем още един пример. Умножете десетичната 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим запетая 4 цифри наляво в десетичната дроб 9.3, за да бъде умножена, но фракцията 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно трябва да присвоим толкова много нули във фракцията 9.3 вляво, за да можем лесно да извършим прехвърлянето на запетая с 4 цифри, имаме 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Обърнете внимание, че гласовото правило за умножаване на десетична дроб с 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) или 93,938 ... · 0,1 \u003d 9,3938….

Десетично умножение с естествено число

В основата си десетично умножение по естествени числа не се различава от умножаването на десетичен по десетичен.

Най-удобно е крайната десетична дроб да се умножи по естествено число в колона, докато трябва да се придържате към правилата за умножение с колона от десетични дроби, обсъдени в един от предишните параграфи.

Пример.

Изчислете произведението 15 · 2.27.

Решение.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:

Отговор:

15 2,27 \u003d 34,05.

Когато умножавате периодична десетична дроб с естествено число, заменете периодичната дроб с обикновена дроб.

Пример.

Умножете десетичната 0, (42) по естественото число 22.

Решение.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението :. Този резултат в десетична форма е 9, (3).

Отговор:

0, (42) 22 \u003d 9, (3).

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да закръглите.

Пример.

Извършете умножение 4 · 2.145….

Решение.

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб. Имаме 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

Отговор:

4 · 2,145 ... ≈ 8,60.

Десетично умножение по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 10, 100, ... Затова е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Ще озвучим правилото за умножаване на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н. Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, ... в нейната нотация, трябва да преместите запетаята надясно съответно с 1, 2, 3, ... числа и да изхвърлите допълнителните нули вляво; ако в записа на умножената фракция няма достатъчно цифри за носене на запетая, трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Пример.

Умножете десетичната 0,0783 по 100.

Решение.

Преместете фракцията 0,0783 с две цифри надясно в записа и получаваме 007,83. Пускайки две нули отляво, получаваме десетична част от 7,38. По този начин 0,0783 100 \u003d 7,83.

Отговор:

0,0783 100 \u003d 7,83.

Пример.

Умножете десетичната 0,02 по 10 000.

Решение.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетая с 4 цифри надясно. Очевидно фракцията 0,02 няма достатъчно цифри, за да прехвърли запетая на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да можем да прехвърлим запетая. В нашия пример е достатъчно да добавим три нули, имаме 0,02000. След преместване на запетая получаваме записа 00200.0. Изхвърляйки нулите вляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

В средния и гимназиалния курс учениците изучаваха темата „Дроби“. Тази концепция обаче е много по-широка от дадената в учебния процес. Днес понятието за фракция се среща доста често и не всеки може да извършва изчисления на какъвто и да е израз, например умножение на фракции.

Какво е фракция?

Исторически се случи така, че дробни числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент, обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално студентите се запознават с концепцията за споделяне. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от динята. Тази част от осемте се нарича дроб.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича наполовина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат \u200b\u200bобикновени дроби. Обикновена дроб се разделя на числител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Наклонена черта може да бъде нарисувана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай той означава знак за разделяне.

Знаменателят представлява на колко равни дяла е стойността, обектът е разделен; а числителят е колко равни дялове са взети. Числителят се изписва над дробната линия, а знаменателят под него.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатния лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, посочете всяка част латинска буква, резултатът е отлична визуална помощ. И така, точка А показва дроб, равен на 1/4 от целия сегмент на единица, а точка Б маркира 2/8 от този сегмент.

Разновидности на фракциите

Дроби могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. В допълнение, фракциите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени фракции.

Под обикновена дроб се разбира число, чийто числител по-малко от знаменателя... Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. един - цяла част, ½ - дробно. Ако обаче трябва да направите някакъв вид манипулация с израза (разделяне или умножение на дроби, тяхното намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неподходяща дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от един, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до това, този израз означава запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на частичен израз може да бъде изразен чрез един с няколко нули. Ако частта е вярна, тогава цялата част в десетичната нотация ще бъде нула.

За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробната част със запетая и след това да запишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото в знаменателя има нули.

Пример... Представете фракцията 7 21/1000 в десетична нотация.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на проблема, така че трябва да се преобразува в смесено число:

• раздели числителя на съществуващия знаменател;
• в конкретен пример непълен коефициент - цял;
• а остатъкът е числителят на дробната част, а знаменателят остава непроменен.

Пример... Преобразуване на неправилна дроб в смесено число: 47/5.

Решение... 47: 5. Непълният коефициент е равен на 9, остатъкът \u003d 2. Следователно, 47/5 \u003d 9 2/5.

Понякога искате да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• целочислената част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример... Посочете смесено число като неправилна дроб: 9 8/10.

Решение... 9 x 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - числител.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на обикновени дроби

Различни алгебрични операции могат да се извършват върху обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя с знаменателя. Освен това умножението на фракциите с различни знаменатели не се различава от продукта дробни числа със същите знаменатели.

Случва се, че след намиране на резултата, трябва да отмените фракцията. Наложително е максимално да се опрости полученият израз. Разбира се, не може да се каже, че неправилната дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече верен отговор.

Пример... Намерете произведението на две обикновени фракции: ½ и 20/18.

Както можете да видите от примера, след намирането на произведението е получена съкратена дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4, а отговорът е 5/9.

Десетично умножение

Продуктът на десетичните фракции е доста различен от продукта на обикновените по своя принцип. И така, умножението на фракциите е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат написани една под друга, така че най-дясните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени;
• пребройте броя на цифрите след запетая във всяко от числата;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите толкова цифрови знака отдясно, колкото се съдържа в сумата и в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите знак за разделяне;
• ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова много нули пред тях, за да покриете тази сума, да поставите запетая и да присвоите цялата част равна на нула.

Пример... Изчислете произведението на две десетични дроби: 2.25 и 3.6.

Решение.

Умножение на смесени фракции

За да се изчисли произведението на две смесени фракции, трябва да използвате правилото за умножаване на дроби:

• преобразувайте смесени числа в неподходящи дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза, доколкото е възможно.

Пример... Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножаване на число по дроб (дроб по число)

В допълнение към намирането на произведението на две фракции, смесени числа, има задачи, при които трябва да се умножи по дроб.

Така че, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

• напишете числото под фракцията, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намери работа въпреки запетая;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част с помощта на запетая, броейки отдясно броя на цифрите, който е след десетичната запетая във фракцията.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е отменяема част, тя трябва да бъде преобразувана.

Пример... Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се съкрати получения резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.

Също така умножението на фракциите се отнася и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да се умножат тези две числа, целочислената част на смесения коефициент трябва да се умножи по число, числителят трябва да се умножи по същата стойност и знаменателят да остане непроменен. Ако е необходимо, трябва максимално да опростите получения резултат.

Пример... Намерете произведението на 9 5/6 и 9.

Решение... 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение по коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предишния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото са нулите в множителя след една.

Пример 1... Намерете произведението от 0,065 и 1000.

Решение... 0,065 х 1000 \u003d 0065 \u003d 65.

Отговор: 65.

Пример 2... Намерете продукта 3.9 и 1000.

Решение... 3,9 х 1000 \u003d 3 900 х 1000 \u003d 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята вляво в получения продукт с толкова цифри, колкото са нулите до една. Ако е необходимо, пред естественото число се изписват достатъчно нули.

Пример 1... Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение... 56 х 0,01 \u003d 0056 \u003d 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2... Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение... 4 х 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на произведението на различни фракции не би трябвало да създава затруднения, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.

В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични дроби (вижте урока „Добавяне и изваждане на десетични дроби“). В същото време оценихме колко по-лесно се изчисляват изчисленията в сравнение с обичайните фракции от „две нива“.

За съжаление този ефект не се проявява при умножение и деление на десетични дроби. В някои случаи десетичната нотация на число дори усложнява тези операции.

Първо, нека въведем нова дефиниция. Ще се срещаме с него доста често, и не само в този урок.

Значителната част от числото е всичко между първата и последната ненулева цифра, включително краищата. то е само за числата, десетичната точка не се взема предвид.

Цифрите, включени в значителната част от номера, се наричат \u200b\u200bзначими цифри. Те могат да бъдат повторени или дори нулеви.

Например, разгледайте няколко десетични дроби и запишете съответните значими части:

1. 91,25 → 9125 (значими цифри: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значими цифри: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (значими цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значими цифри: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).

Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече сме срещали нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).

Този момент е толкова важен и тук грешките се допускат толкова често, че в близко бъдеще ще публикувам тест по тази тема. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за смислената част, всъщност продължаваме към темата на урока.

Десетично умножение

Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:

1. Запишете значителната част за всяка дроб. Резултатът ще бъде две обикновени цели числа - без никакви знаменатели и десетични точки;
2. Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако номерата са малки, или в колони. Получаваме значителната част от желаната фракция;
3. Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната точка в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни отмествания за значителната част, получена в предишната стъпка.

Позволете ми да ви напомня още веднъж, че нулите по страните на значителната част никога не се броят. Пренебрегването на това правило води до грешки.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 * 1,08;
3. 132,5 * 0,0034;
4. 0,0108 * 1600,5;
5. 5,25 10 000.

Работим с първия израз: 0,28 · 12,5.

1. Нека изпишем значимите части за числата от този израз: 28 и 125;
2. Техният продукт: 28 · 125 \u003d 3500;
3. В първия множител десетичната точка се измества с 2 цифри надясно (0,28 → 28), а във втория - с още 1 цифра. Общо се нуждаете от изместване наляво с три цифри: 3500 → 3.500 \u003d 3.5.

Сега да се заемем с израза 6.3 · 1.08.

1. Нека запишем значимите части: 63 и 108;
2. Техният продукт: 63 · 108 \u003d 6804;
3. Отново две отмествания вдясно: съответно с 2 и 1 цифри. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратната смяна ще бъде 3 цифри вляво: 6804 → 6.804. Този път няма крайни нули.

Стигнахме до третия израз: 132,5 · 0,0034.

1. Значителни части: 1325 и 34;
2. Техният продукт: 1325 · 34 \u003d 45 050;
3. В първата дроб десетичната точка отива вдясно с 1 цифра, а във втората - с цяла 4. Общо: 5 вдясно. Преместване 5 наляво: 45 050 →, 45050 \u003d 0,4505. Нулата беше премахната в края и добавена към предната част, за да не остане "гола" десетична точка.

Следният израз е 0,0108 1600,5.

1. Пишем значимите части: 108 и 16 005;
2. Умножаваме ги: 108 16 005 \u003d 1 728 540;
3. Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто - 1. Общо - отново 5. Имаме: 1 728 540 → 17.28540 \u003d 17.2854. Накрая "допълнителната" нула беше премахната.

И накрая, последният израз: 5,25 · 10 000.

1. Значителни части: 525 и 1;
2. Умножаваме ги: 525 · 1 \u003d 525;
3. Първата фракция е изместена с 2 цифри вдясно, а втората е изместена с 4 цифри вляво (10 000 → 1 000 \u003d 1). Общо 4 - 2 \u003d 2 цифри вляво. Извършваме обратна смяна с 2 цифри вдясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).

Забележете последния пример: тъй като десетичната точка се движи в различни посоки, общото изместване е през разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:

Помислете за числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (изместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (смяна 2 наляво). Ние "стъпка" 1 цифра надясно, а след това 2 наляво. В резултат на това пристъпихме 2 - 1 \u003d 1 бит вляво.

Деление на десетични дроби

Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това "преместете" десетичната точка. Но в този случай има много тънкости, които отричат \u200b\u200bпотенциалните спестявания.

Така че нека помислим универсален алгоритъмкоето е малко по-дълго, но много по-надеждно:

1. Преобразувайте всички десетични дроби в общи. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
2. Разделете получените фракции по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по „обърнатата“ втора (вижте урока „Умножение и деление на числови дроби“);
3. Ако е възможно, представете резултата отново като десетична запетая. Тази стъпка също е бърза, защото често знаменателят вече е степен от десет.

Задача. Намерете значението на израза:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Преброяваме първия израз. Първо, нека преобразуваме фракциите на obi в десетични:

Нека направим същото с втория израз. Числителят на първата фракция отново се факторизира:

В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървете от десетичната нотация, се появяват отменяеми фракции. Ние обаче няма да прилагаме това намаление.

Последният пример е интересен, тъй като числителят на втората дроб съдържа просто число. Тук просто няма какво да се вземе предвид, така че ние мислим напред:

Понякога в резултат на разделянето се получава цяло число (това съм аз за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се изпълнява.

Освен това разделянето често дава „грозни“ фракции, които не могат да бъдат преобразувани в десетични. По този начин разделението се различава от умножението, където резултатите винаги са представени в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.

Обърнете внимание също на 3-ти и 4-ти примери. В тях умишлено не съкращаваме обикновени дроби, получени от десетични знаци. В противен случай това ще усложни обратния проблем - представяйки отново окончателния отговор в десетична форма.

Запомнете: основното свойство на една дроб (както всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.