V enem od prejšnjih člankov smo že omenili moč števila. Danes bomo poskušali krmariti v procesu iskanja njegovega pomena. Znanstveno gledano bomo ugotovili, kako pravilno dvigniti na potenco. Ugotovili bomo, kako ta proces poteka, hkrati pa se bomo dotaknili vseh možnih eksponentov: naravnega, iracionalnega, racionalnega, celega števila.

Torej, poglejmo si rešitve primerov podrobneje in ugotovimo, kaj to pomeni:

1. Opredelitev pojma.
2. Dvig do negativne umetnosti.
3. Indikator celega števila.
4. Dvig števila na iracionalna stopnja.

Tukaj je definicija, ki natančno odraža pomen: "Potencevanje je definicija vrednosti potence števila."

Skladno s tem povišanje številke a v čl. r in postopek iskanja vrednosti stopnje a z eksponentom r sta enaka pojma. Na primer, če je naloga izračunati vrednost potence (0,6)6″, jo je mogoče poenostaviti v izraz "Povežite število 0,6 na potenco 6."

Po tem lahko nadaljujete neposredno na gradbena pravila.

Dvig na negativno potenco

Zaradi jasnosti bodite pozorni na naslednjo verigo izrazov:

110=0,1=1* 10 minus 1 žlica,

1100=0,01=1*10 v minus 2 stopinjah,

11000=0,0001=1*10 v minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stopinje.

Zahvaljujoč tem primerom lahko jasno vidite sposobnost takojšnjega izračuna 10 na katero koli minus potenco. V ta namen je dovolj, da preprosto premaknete decimalno komponento:

• 10 na -1 stopinjo - pred ena je 1 ničla;
• v -3 - tri ničle pred eno;
• v -9 je 9 ničel in tako naprej.

Iz tega diagrama je tudi enostavno razumeti, koliko bo 10 minus 5 žlic. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako dvigniti število na naravno potenco

Ob spominu na definicijo upoštevamo, da naravno število a v čl. n je enako produktu n faktorjev, od katerih je vsak enak a. Ponazorimo: (a*a*…a)n, kjer je n število pomnoženih števil. V skladu s tem je treba za povišanje a na n izračunati produkt naslednje oblike: a*a*…a deljeno z n-krat.

Iz tega postane očitno, da dvig na naravno sv. temelji na sposobnosti izvajanja množenja(to gradivo je zajeto v razdelku o množenju realnih števil). Poglejmo težavo:

Dvignite -2 na 4. st.

Opravka imamo z naravnim indikatorjem. Skladno s tem bo potek odločanja naslednji: (-2) v 2. čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Zdaj ostane le še pomnožiti cela števila: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobimo 16.

Odgovor na problem:

(-2) v čl. 4=16.

primer:

Izračunajte vrednost: tri pika dve sedmini na kvadrat.

Ta primer je enako naslednjemu zmnožku: tri pika dve sedmini, pomnoženo s tri pica dve sedmini. Če se spomnimo, kako se mešana števila množijo, dokončamo konstrukcijo:

• 3 točka 2 sedmini pomnoženi sami s seboj;
• je enako 23 sedminam, pomnoženim s 23 sedminam;
• je enako 529 devetinštiridesetim;
• zmanjšamo in dobimo 10 devetintrideset devetinštiridesetih.

odgovor: 10 39/49

V zvezi z vprašanjem dviga na iracionalni eksponent je treba opozoriti, da se izračuni začnejo izvajati po zaključku predhodnega zaokroževanja osnove stopnje na katero koli številko, ki bi omogočila pridobitev vrednosti z dano natančnostjo. Na primer, moramo kvadrirati število P (pi).

Začnemo z zaokroževanjem P na stotinke in dobimo:

P na kvadrat = (3,14)2 = 9,8596. Če pa P zmanjšamo na desettisočinke, dobimo P = 3,14159. Nato kvadriranje da popolnoma drugačno število: 9,8695877281.

Tukaj je treba opozoriti, da v mnogih problemih ni potrebe po dvigovanju iracionalnih števil na potence. Praviloma se odgovor vnese v obliki dejanske stopnje, na primer koren 6 na potenco 3, ali, če izraz to omogoča, se izvede njegova transformacija: koren 5 do 7 stopinj = 125 koren iz 5.

Kako dvigniti število na celo potenco

Ta algebraična manipulacija je primerna upoštevati v naslednjih primerih:

• za cela števila;
• za ničelni indikator;
• za eksponent pozitivnega celega števila.

Ker skoraj vsa pozitivna cela števila sovpadajo z maso naravnih števil, je nastavljanje na pozitivno celo potenco enak postopek kot nastavljanje v čl. naravno. Ta postopek smo opisali v prejšnjem odstavku.

Zdaj pa se pogovorimo o izračunu st. nič. Zgoraj smo že ugotovili, da lahko ničelno potenco števila a določimo za vsak neničelni a (realen), medtem ko je a v čl. 0 bo enako 1.

V skladu s tem dvig katerega koli realnega števila na nič st. bo dal enega.

Na primer, 10 v st. 0=1, (-3,65)0=1 in 0 v st. 0 ni mogoče določiti.

Za dokončanje povišanja na celo potenco se moramo še odločiti o možnostih negativnih celih vrednosti. Spomnimo se, da je čl. iz a s celim eksponentom -z bo definiran kot ulomek. Imenovalec ulomka je st. s pozitivnim celim številom, katerega vrednost smo se že naučili najti. Zdaj ostane le še razmisliti o primeru gradnje.

primer:

Izračunajte vrednost števila 2, kubičnega z negativnim celim eksponentom.

Postopek rešitve:

Po definiciji stopnje z negativnim eksponentom označimo: dve minus 3 stopinje. je enako ena proti dva na tretjo potenco.

Imenovalec se izračuna preprosto: dva kubika;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva na minus 3. st. = ena osmina.

V tem gradivu bomo pogledali, kaj je moč števila. Poleg osnovnih definicij bomo formulirali, kaj so potence z naravnimi, celimi, racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Kot vedno bodo vsi koncepti ponazorjeni s primeri problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej oblikujmo osnovno definicijo stopnje z naravnim eksponentom. Za to se moramo spomniti osnovnih pravil množenja. Vnaprej pojasnimo, da bomo za zdaj za osnovo vzeli realno število (označeno s črko a), za indikator pa naravno število (označeno s črko n).

Definicija 1

Potenca števila a z naravnim eksponentom n je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak številu a. Diploma je zapisana takole: a n, in v obliki formule je njegova sestava lahko predstavljena na naslednji način:

Na primer, če je eksponent 1 in je osnova a, potem je prva potenca a zapisana kot a 1. Glede na to, da je a vrednost faktorja in 1 število faktorjev, lahko sklepamo, da a 1 = a.

Na splošno lahko rečemo, da je diploma priročna oblika zapisa velikega števila enakih faktorjev. Torej, zapis obrazca 8 8 8 8 se lahko skrajša na 8 4 . Na skoraj enak način nam delo pomaga preprečiti snemanje veliko številočleni (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; O tem smo že razpravljali v članku, posvečenem množenju naravnih števil.

Kako pravilno prebrati vnos diplome? Splošno sprejeta možnost je "a na potenco n". Lahko pa rečete "n-ta potenca a" ali "antova potenca". Če smo recimo v primeru naleteli na vnos 8 12 , lahko preberemo "8 na 12. potenco", "8 na potenco 12" ali "12. potenco 8".

Druga in tretja potenca števil imata svoja ustaljena imena: kvadrat in kocka. Če vidimo drugo potenco, na primer številko 7 (7 2), potem lahko rečemo "7 na kvadrat" ali "kvadrat števila 7". Podobno se tretja stopnja bere takole: 5 3 - to je "kocka števila 5" ali "5 kock." Lahko pa uporabite tudi standardno formulacijo "na drugo/tretjo potenco"; to ne bo napaka.

Primer 1

Poglejmo primer stopnje z naravnim eksponentom: for 5 7 pet bo osnova, sedem pa eksponent.

Ni nujno, da je osnova celo število: za diplomo (4 , 32) 9 Osnova bo ulomek 4, 32, eksponent pa devet. Bodite pozorni na oklepaje: ta zapis je narejen za vse potence, katerih osnove se razlikujejo od naravnih števil.

Na primer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu so oklepaji? Pomagajo preprečiti napake pri izračunih. Recimo, da imamo dva vnosa: (− 2) 3 in − 2 3 . Prvi pomeni negativno število minus dva na potenco z naravnim eksponentom tri; drugo je število, ki ustreza nasprotni vrednosti stopnje 2 3 .

Včasih v knjigah najdete nekoliko drugačen zapis moči števila - a^n(kjer je a osnova in n eksponent). To pomeni, da je 4^9 enako kot 4 9 . Če je n večmestno število, ga damo v oklepaj. Na primer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Vendar bomo uporabili zapis a n kot pogostejši.

Preprosto je uganiti, kako izračunati vrednost eksponenta z naravnim eksponentom iz njegove definicije: samo pomnožiti morate n-to število krat. Več o tem smo pisali v drugem članku.

Koncept stopnje je nasprotje drugega matematičnega koncepta - korena števila. Če poznamo vrednost potence in eksponenta, lahko izračunamo njegovo osnovo. Stopnja ima nekaj posebnih lastnosti, ki so uporabne za reševanje problemov, o katerih smo razpravljali v ločenem gradivu.

Eksponenti lahko vključujejo ne samo naravna števila, ampak tudi vse vrednosti celih števil na splošno, vključno z negativnimi in ničlami, ker tudi pripadajo nizu celih števil.

Definicija 2

Potenco števila s pozitivnim celim eksponentom lahko predstavimo kot formulo: .

V tem primeru je n poljubno pozitivno celo število.

Razumejmo koncept ničelne stopnje. Za to uporabimo pristop, ki upošteva lastnost kvocienta za potence z enakimi bazami. Formulirano je takole:

Definicija 3

Enakopravnost a m: a n = a m − n bo veljalo pod naslednjimi pogoji: m in n sta naravni števili, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji pogoj je pomemben, ker se izogne ​​deljenju z nič. Če sta vrednosti m in n enaki, dobimo naslednji rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Toda hkrati je a n: a n = 1 količnik enako število a n in a. Izkazalo se je, da je ničelna potenca katerega koli neničelnega števila enaka ena.

Vendar pa tak dokaz ne velja za nič na ničelno potenco. Za to potrebujemo še eno lastnost potenc - lastnost produktov potenc z enakimi bazami. Videti je takole: a m · a n = a m + n .

Če je n enak 0, potem a m · a 0 = a m(ta enakost nam tudi to dokazuje a 0 = 1). Če pa je in tudi enako nič, ima naša enakost obliko 0 m · 0 0 = 0 m, To bo veljalo za vsako naravno vrednost n in ni pomembno, kakšna je natančna vrednost stopnje 0 0 , to pomeni, da je lahko enako poljubnemu številu in to ne bo vplivalo na točnost enakosti. Zato zapis oblike 0 0 nima svojega posebnega pomena in mu ga ne bomo pripisovali.

Če želite, je to enostavno preveriti a 0 = 1 konvergira z lastnostjo stopnje (a m) n = a m n pod pogojem, da osnova stopnje ni nič. Tako je potenca katerega koli neničelnega števila z eksponentom nič ena.

Primer 2

Poglejmo primer s posebnimi številkami: Torej, 5 0 - enota, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , in vrednost 0 0 nedoločeno.

Po ničelni stopnji moramo samo ugotoviti, kaj je negativna stopnja. Za to potrebujemo isto lastnost produkta potenc z enakimi bazami, ki smo jo že uporabili zgoraj: a m · a n = a m + n.

Vstavimo pogoj: m = − n, potem a ne sme biti enak nič. Sledi, da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Izkazalo se je, da a n in a−n imamo medsebojno recipročna števila.

Kot rezultat, a na negativno celo potenco ni nič drugega kot ulomek 1 a n.

Ta formulacija potrjuje, da za stopnjo s celim negativnim eksponentom veljajo vse enake lastnosti, kot jih ima stopnja z naravnim eksponentom (pod pogojem, da osnova ni enaka nič).

Primer 3

Potenco a z negativnim celim eksponentom n lahko predstavimo kot ulomek 1 a n . Tako je a - n = 1 a n predmet a ≠ 0 in n je poljubno naravno število.

Naj našo idejo ponazorimo s konkretnimi primeri:

Primer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

V zadnjem delu odstavka bomo vse, kar je bilo povedano, poskušali jasno prikazati v eni formuli:

Definicija 4

Potenca števila z naravnim eksponentom z je: a z = a z, e z l in z - pozitivno celo število 1, z = 0 in a ≠ 0, (za z = 0 in a = 0 je rezultat 0 0, vrednosti izraza 0 0 niso definirane) 1 a z, če in z je negativno celo število in a ≠ 0 (če je z negativno celo število in a = 0 dobite 0 z, egoz vrednost ni določena)

Kaj so potence z racionalnim eksponentom?

Preučili smo primere, ko eksponent vsebuje celo število. Vendar pa lahko število povečate na potenco, tudi če njegov eksponent vsebuje delno število. To se imenuje stopnja c racionalni indikator. V tem razdelku bomo dokazali, da ima enake lastnosti kot druge potence.

Kaj so racionalna števila? Njihova sorta vključuje tako cele kot ulomkov, medtem ko lahko ulomke predstavimo kot navadne ulomke (tako pozitivne kot negativne). Oblikujmo definicijo moči števila a z delnim eksponentom m / n, kjer je n naravno število in m celo število.

Imamo neko stopnjo z ulomljenim eksponentom a m n. Da bi veljala lastnost moči za moč, mora veljati enakost a m n n = a m n · n = a m.

Glede na definicijo n-tega korena in da je a m n n = a m, lahko sprejmemo pogoj a m n = a m n, če je a m n smiselno za dane vrednosti m, n in a.

Zgornje lastnosti stopnje s celoštevilskim eksponentom bodo veljale pod pogojem a m n = a m n.

Glavni sklep našega razmišljanja je naslednji: moč določenega števila a z delnim eksponentom m / n je n-ti koren števila a na moč m. To velja, če za dane vrednosti m, n in a izraz a m n ostane smiseln.

1. Lahko omejimo vrednost osnove stopnje: vzemimo a, ki bo za pozitivne vrednosti m večja ali enaka 0, za negativne vrednosti pa strogo manj (ker za m ≤ 0 dobimo 0 m, vendar taka stopnja ni opredeljena). V tem primeru bo definicija stopnje z delnim eksponentom videti takole:

Potenca z delnim eksponentom m/n za nekatere pozitivno število a je n-ti koren od a, dvignjen na potenco m. To lahko izrazimo kot formulo:

Za potenco z ničelno osnovo je ta določba prav tako primerna, vendar le, če je njen eksponent pozitivno število.

Potenco z osnovo nič in delnim pozitivnim eksponentom m/n lahko izrazimo kot

0 m n = 0 m n = 0 pod pogojem, da je m pozitivno celo število in n naravno število.

Za negativno razmerje m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Opozorimo na eno točko. Ker smo uvedli pogoj, da je a večji ali enak nič, smo nekatere primere zavrgli.

Izraz a m n je včasih še vedno smiseln za nekatere negativne vrednosti a in nekatere m. Tako so pravilni vnosi (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, pri katerih je osnova negativna.

2. Drugi pristop je ločeno obravnavanje korena a m n s sodimi in lihimi eksponenti. Nato bomo morali uvesti še en pogoj: stopnja a, v eksponentu katere je skrčljivi navadni ulomek, velja za stopnjo a, v eksponentu katere je ustrezen nezmanjšani ulomek. Kasneje bomo pojasnili, zakaj potrebujemo ta pogoj in zakaj je tako pomemben. Če imamo torej zapis a m · k n · k , ga lahko zmanjšamo na a m n in poenostavimo izračune.

Če je n liho število in je vrednost m pozitivna in je a poljubno nenegativno število, potem je a m n smiseln. Pogoj, da je a nenegativen, je nujen, ker korena sode stopnje ni mogoče izluščiti iz negativnega števila. Če je vrednost m pozitivna, potem je a lahko tako negativen kot nič, ker Lihi koren lahko vzamemo iz katerega koli realnega števila.

Združimo vse zgornje definicije v en vnos:

Tu m/n pomeni nezmanjšani ulomek, m je poljubno celo število, n pa poljubno naravno število.

Definicija 5

Za vsak običajni zmanjšljivi ulomek m · k n · k lahko stopnjo nadomestimo z a m n .

Potenco števila a z nezmanjšanim ulomljenim eksponentom m / n – lahko izrazimo kot a m n v naslednjih primerih: - za vsako realno a, cela števila pozitivne vrednosti m in lihe naravne vrednosti n. Primer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za katero koli neničelno realno a, negativne cele vrednosti m in lihe vrednosti n, na primer 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za vsako nenegativno a, pozitivno celo število m in sodo n je na primer 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za vsako pozitivno a, negativno celo število m in sodo n je na primer 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Pri drugih vrednostih stopnja z delnim eksponentom ni določena. Primeri takih stopenj: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Zdaj pa razložimo pomen zgoraj obravnavanega pogoja: zakaj zamenjati ulomek s pomanjšanim eksponentom z ulomkom z nezmanjšanim eksponentom. Če tega ne bi storili, bi imeli naslednje situacije, recimo 6/10 = 3/5. Potem bi moralo veljati (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , vendar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 in (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stopnje z delnim eksponentom, ki smo jo predstavili najprej, je v praksi bolj priročna za uporabo kot druga, zato jo bomo še naprej uporabljali.

Opredelitev 6

Tako je potenca pozitivnega števila a z delnim eksponentom m/n definirana kot 0 m n = 0 m n = 0. V primeru negativnega a zapis a m n nima smisla. Potenca nič za pozitivne delne eksponente m/n je definiran kot 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne delne eksponente ne definiramo stopnje nič.

V zaključkih ugotavljamo, da lahko kateri koli delni indikator zapišemo v obliki mešano število, in v obliki decimalno: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Pri računanju je bolje, da eksponent zamenjamo z navadnim ulomkom in nato uporabimo definicijo eksponenta z ulomkom. Za zgornje primere dobimo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kaj so potence z iracionalnimi in realnimi eksponenti?

Kaj so realna števila? Njihov niz vključuje tako racionalna kot iracionalna števila. Zato, da bi razumeli, kaj je stopnja z realnim eksponentom, moramo definirati stopnje z racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Racionalne smo že omenili zgoraj. Ukvarjajmo se z iracionalnimi kazalniki korak za korakom.

Primer 5

Predpostavimo, da imamo iracionalno število a in zaporedje njegovih decimalnih približkov a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Za primer vzemimo vrednost a = 1,67175331. . . , Potem

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Zaporedje aproksimacij lahko povežemo z zaporedjem stopinj a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Če se spomnimo, kaj smo prej rekli o dvigovanju števil na racionalne potence, potem lahko sami izračunamo vrednosti teh potenc.

Vzemimo za primer a = 3, potem je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Zaporedje potenc lahko skrajšamo na število, ki bo vrednost potence z osnovo a in iracionalnim eksponentom a. Kot rezultat: stopnja z iracionalnim eksponentom oblike 3 1, 67175331. . lahko zmanjšamo na število 6, 27.

Opredelitev 7

Potenco pozitivnega števila a z iracionalnim eksponentom a zapišemo kot a . Njegova vrednost je limita zaporedja a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kjer je a 0 , a 1 , a 2 , . . . so zaporedni decimalni približki iracionalnega števila a. Stopnjo z ničelno osnovo lahko definiramo tudi za pozitivne iracionalne eksponente, pri čemer je 0 a = 0. Torej je 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Vendar tega ni mogoče storiti za negativne, saj na primer vrednost 0 - 5, 0 - 2 π ni definirana. Enota, povišana na katero koli iracionalno potenco, na primer ostane enota in 1 2, 1 5 v 2 in 1 - 5 bo enako 1.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ena od glavnih značilnosti v algebri in v vsej matematiki je diploma. Seveda je v 21. stoletju vse izračune mogoče narediti na spletnem kalkulatorju, vendar je za razvoj možganov bolje, da se tega naučite narediti sami.

V tem članku bomo obravnavali najpomembnejša vprašanja v zvezi s to definicijo. Namreč, razumejmo, kaj je na splošno in katere so njegove glavne funkcije, katere lastnosti so v matematiki.

Poglejmo primere, kako izgleda izračun in kakšne so osnovne formule. Oglejmo si glavne vrste količin in kako se razlikujejo od drugih funkcij.

Razumejmo, kako rešiti različne probleme s to količino. S primeri bomo pokazali, kako dvigniti na ničelno potenco, iracionalno, negativno itd.

Spletni kalkulator stopnjevanja

Kaj je potenca števila

Kaj je mišljeno z izrazom "povečanje števila na potenco"?

Potenca števila n je zmnožek faktorjev velikosti a n-krat zapored.

Matematično je to videti takole:

a n = a * a * a * …a n .

Na primer:

• 2 3 = 2 na tretji stopnji. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 na korak. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 za korak. štiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 v 5 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 v 4 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Spodaj je tabela kvadratov in kock od 1 do 10.

Tabela stopinj od 1 do 10

Spodaj so rezultati dviga naravnih števil na pozitivne potence - "od 1 do 100".

Lastnosti stopinj

Kaj je značilno za takšno matematično funkcijo? Poglejmo si osnovne lastnosti.

Znanstveniki so ugotovili naslednje znaki, značilni za vse stopnje:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Preverimo s primeri:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Po drugi strani pa je 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Podobno: 2 3 : 2 2 = 8 / 4 =2. V nasprotnem primeru je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Kaj pa, če je drugače? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kot lahko vidite, pravila delujejo.

Ampak kaj pa s seštevanjem in odštevanjem? Enostavno je. Najprej se izvede potenciranje, nato pa seštevanje in odštevanje.

Poglejmo primere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Upoštevajte: pravilo ne bo držalo, če najprej odštejete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Toda v tem primeru morate najprej izračunati dodatek, saj so v oklepajih dejanja: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvajati izračuni v več težkih primerih ? Vrstni red je enak:

• če obstajajo oklepaji, morate začeti z njimi;
• nato potenciranje;
• nato izvajajo operaciji množenje in deljenje;
• po seštevanju, odštevanju.

Obstajajo posebne lastnosti, ki niso značilne za vse stopnje:

1. Koren n števila a do stopnje m bo zapisan kot: a m / n.
2. Pri dvigovanju ulomka na potenco: temu postopku veljata tako števec kot njegov imenovalec.
3. Pri gradnji dela različne številke na potenco bo izraz ustrezal produktu teh števil na dano potenco. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Ko dvignete število na negativno potenco, morate 1 deliti s številom v istem stoletju, vendar z znakom "+".
5. Če je imenovalec ulomka na negativno potenco, bo ta izraz enak produktu števca in imenovalca na pozitivno potenco.
6. Poljubno število na potenco 0 = 1 in na potenco. 1 = sebi.

Ta pravila so v nekaterih primerih pomembna; v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali.

Stopnja z negativnim eksponentom

Kaj storiti z minus stopinjo, tj. ko je indikator negativen?

Na podlagi lastnosti 4 in 5(glej točko zgoraj), Izkazalo se je:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

In obratno:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Kaj pa če je ulomek?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopnja z naravnim indikatorjem

Razume se kot stopnja z eksponenti, ki so enaki celim številom.

Stvari, ki si jih morate zapomniti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... itd.

Poleg tega, če je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... potem bo rezultat z znakom "+". Če negativno število dvignemo na liho potenco, potem obratno.

Zanje so značilne tudi splošne lastnosti in vse zgoraj opisane posebnosti.

Delna stopnja

To vrsto lahko zapišemo kot shemo: A m / n. Beri kot: n-ti koren števila A na potenco m.

Z delnim indikatorjem lahko počnete, kar želite: zmanjšate ga, razdelite na dele, dvignete na drugo moč itd.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Naj bo α iracionalno število in A ˃ 0.

Da bi razumeli bistvo diplome s takim indikatorjem, Oglejmo si različne možne primere:

• A = 1. Rezultat bo enak 1. Ker obstaja aksiom - 1 v vseh potencah je enako ena;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalna števila;

• 0˂A˂1.

V tem primeru je obratno: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod enakimi pogoji kot v drugem odstavku.

Na primer, eksponent je število π. To je racionalno.

r 1 – v tem primeru je enako 3;

r 2 – bo enako 4.

Potem je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, nato 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, potem (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takšne stopnje so značilne za vse matematične operacije in posebne lastnosti, opisane zgoraj.

Zaključek

Povzemimo - za kaj so potrebne te količine, kakšne so prednosti takšnih funkcij? Seveda v prvi vrsti poenostavljajo življenje matematikov in programerjev pri reševanju primerov, saj jim omogočajo minimiziranje izračunov, skrajšanje algoritmov, sistematizacijo podatkov in še veliko več.

Kje drugje je lahko to znanje koristno? Na katerikoli delovna specialnost: medicina, farmakologija, zobozdravstvo, gradbeništvo, tehnologija, inženiring, oblikovanje itd.

Formule stopnje uporablja se v procesu zmanjševanja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a Kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se dodajo njihovi indikatorji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo:

3. Stopnja produkta 2 ali več faktorjev je enaka produktu stopenj teh faktorjev:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju stopenj dividende in delitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(a m) n = a m n.

Vsaka zgornja formula velja v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete radikalno število na to potenco:

4. Če povečate stopnjo korenine v n enkrat in hkrati vgraditi v n je radikalno število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korenine v n hkrati izvlecite korenino n-ta potenca radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenca določenega števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je opredeljena kot ena, deljena s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutna vrednost nepozitiven indikator:

Formula a m:a n =a m - n se lahko uporablja ne le za m> n, ampak tudi z m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n =a m - n postalo pošteno, ko m=n, je potrebna prisotnost ničelne stopnje.

Diploma z ničelnim indeksom. Potenca katerega koli števila, ki ni enako nič z eksponentom nič, je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati realno številko A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m-ta potenca tega števila A.

Če nadaljujemo pogovor o moči števila, je logično ugotoviti, kako najti vrednost moči. Ta proces se imenuje potenciranje. V tem članku bomo preučili, kako poteka potenciranje, pri tem pa se bomo dotaknili vseh možnih eksponentov – naravnih, celih, racionalnih in iracionalnih. In po tradiciji bomo podrobno preučili rešitve primerov dvigovanja števil na različne moči.

Navigacija po strani.

Kaj pomeni "potenciranje"?

Začnimo z razlago, kaj se imenuje potenciranje. Tukaj je ustrezna definicija.

Opredelitev.

Potencevanje- to je iskanje vrednosti potence števila.

Tako sta iskanje vrednosti potence števila a z eksponentom r in povišanje števila a na potenco r ista stvar. Na primer, če je naloga "izračunaj vrednost potence (0,5) 5", jo je mogoče preoblikovati na naslednji način: "Povišaj število 0,5 na potenco 5."

Zdaj lahko greste neposredno na pravila, po katerih se izvaja potenciranje.

Dvig števila na naravno potenco

V praksi se enakost, ki temelji na, običajno uporablja v obliki . To pomeni, da se pri povišanju števila a na ulomek m/n najprej vzame n-ti koren števila a, nato pa se dobljeni rezultat dvigne na celo potenco m.

Oglejmo si rešitve primerov dviga na ulomek.

Primer.

Izračunajte vrednost stopnje.

rešitev.

Pokazali bomo dve rešitvi.

Prvi način. Po definiciji stopnje z delnim eksponentom. Izračunamo vrednost stopnje pod znakom korena in nato izvlečemo kockasti koren: .

Drugi način. Po definiciji stopnje z delnim eksponentom in na podlagi lastnosti korenin veljajo naslednje enakosti: . Zdaj izvlečemo korenino , končno ga dvignemo na celo potenco .

Očitno dobljeni rezultati dviga na ulomek sovpadajo.

odgovor:

Upoštevajte, da lahko ulomek eksponent zapišemo kot decimalni ulomek ali mešano število; v teh primerih ga je treba nadomestiti z ustreznim navadnim ulomkom in nato povišati na potenco.

Primer.

Izračunaj (44,89) 2,5.

rešitev.

Zapišimo eksponent v obliki navadni ulomek(če je treba, si oglejte članek): . Zdaj izvedemo dvig na delno moč:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Prav tako je treba povedati, da je dvigovanje števil na racionalne potence precej delovno intenziven proces(zlasti kadar števec in imenovalec ulomkov eksponenta vsebujeta dovolj velika števila), ki se običajno izvaja z uporabo računalniške tehnologije.

Za zaključek te točke se posvetimo povišanju števila nič na ulomek. Ulomku ničelne potence obrazca smo dali naslednji pomen: ko imamo , pri nič pa moč m/n ni definirana. Torej je nič do delna pozitivna moč enaka nič, na primer, . In ničla v delni negativni potenci nima smisla, na primer izrazi 0 -4,3 nimajo smisla.

Dvig na iracionalno moč

Včasih je treba ugotoviti vrednost moči števila z iracionalnim eksponentom. V tem primeru je za praktične namene običajno dovolj, da dobimo vrednost stopnje natančno na določen predznak. Naj takoj opozorimo, da se v praksi ta vrednost izračuna z uporabo elektronskih računalnikov, saj ročno dviganje na iracionalno moč zahteva veliko število okornih izračunov. Vendar bomo še vedno na splošno opisali bistvo dejanj.

Za pridobitev približne vrednosti potence števila a z iracionalnim eksponentom vzamemo nek decimalni približek eksponenta in izračunamo vrednost potence. Ta vrednost je približna vrednost potence števila a z iracionalnim eksponentom. Čim bolj natančen je decimalni približek števila na začetku, tem natančnejša bo vrednost stopnje na koncu.

Za primer izračunajmo približno vrednost potence 2 1,174367... . Vzemimo naslednji decimalni približek iracionalni indikator: . Zdaj dvignemo 2 na racionalno potenco 1,17 (bistvo tega procesa smo opisali v prejšnjem odstavku), dobimo 2 1,17 ≈2,250116. torej 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Če na primer vzamemo natančnejši decimalni približek iracionalnega eksponenta, potem dobimo natančnejšo vrednost prvotnega eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Učbenik za matematiko za 5. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 7. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 9. razred. izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).