6.1. OSNOVNI POJMI IN OPREDELITVE POJMOV

Pri reševanju različnih problemov matematike in fizike, biologije in medicine pogosto ni mogoče takoj ugotoviti funkcionalne odvisnosti v obliki formule, ki povezuje spremenljivke, ki opisujejo preučevani proces. Običajno je treba uporabiti enačbe, ki poleg neodvisne spremenljivke in neznane funkcije vsebujejo tudi njene izpeljanke.

Definicija.Imenuje se enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo in njene izpeljanke različnih vrst diferencial.

Običajno je označena neznana funkcija y (x)ali preprosto y,in njeni derivati \u200b\u200b- y ", y "itd.

Možne so tudi druge oznake, na primer: če y\u003d x (t), potem x "(t), x" "(t)so njegovi derivati \u200b\u200bin tje neodvisna spremenljivka.

Definicija.Če je funkcija odvisna od ene spremenljivke, potem diferencialno enačbo imenujemo običajna. Splošna oblika navadna diferencialna enačba:

ali

Funkcije Fin fne sme vsebovati nekaterih argumentov, toda da bi bile enačbe diferencialne, je prisotnost izpeljave nujna.

Definicija.Vrstni red diferencialne enačbese imenuje vrstni red najvišjega derivata, ki je vanj vključen.

Na primer, x 2 let "- y\u003d 0, y "+ greh x\u003d 0 so enačbe prvega reda in y "+ 2 y "+ 5 y= x- enačba drugega reda.

Pri reševanju diferencialnih enačb se uporablja operacija integracije, ki je povezana s pojavom poljubne konstante. Če se uporabi integracijsko dejanje nkrat, potem bo očitno rešitev vsebovala npoljubne konstante.

6.2. RAZLIČNE ENAKOSTI PRVE NAREDBE

Splošna oblika diferencialna enačba prvega redaopredeljeno z izrazom

Enačba ne sme vsebovati izrecno xin y,vendar nujno vsebuje y ".

Če lahko enačbo zapišemo kot

potem dobimo diferencialno enačbo prvega reda, razrešeno glede na izpeljanko.

Definicija.Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda (6.3) (ali (6.4)) je nabor rešitev kje ODje poljubna konstanta.

Pokliče se graf rešitve diferencialne enačbe integralna krivulja.

Dajanje poljubne konstante ODrazlične vrednosti, lahko dobite določene rešitve. Na površini xJasplošna rešitev je družina integralnih krivulj, ki ustreza vsaki posamezni rešitvi.

Če si postaviš točko A (x 0, y 0),skozi katero mora prehajati integralna krivulja, nato pa praviloma iz nabora funkcij lahko izpostavimo - določeno rešitev.

Definicija.Z zasebno odločbodiferencialna enačba se imenuje njena rešitev, ki ne vsebuje poljubnih konstant.

Če je splošna rešitev, potem pa iz stanja

lahko najdete konstanto OD.Pogoj se imenuje začetno stanje.

Problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe (6.3) ali (6.4), ki izpolnjuje začetni pogoj ob poklical problem Cauchyja.Ali ima ta težava vedno rešitev? Odgovor vsebuje naslednji izrek.

Cauchyjev izrek(izrek o obstoju in edinstvenosti rešitve). Naj bo v diferencialni enačbi y "= f (x, y)funkcijo f (x, y)in njo

delni odvod v nekaterih opredeljena in neprekinjena

območjih D,ki vsebuje točko Potem na območju Dobstaja

edina rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj ob

Cauchyjev izrek pravi, da pod določenimi pogoji obstaja edinstvena integralna krivulja y= f (x),skozi točko Točke, pri katerih pogoji izreka niso izpolnjeni

Imenujejo se Cauchy poseben.Na teh točkah odmori f(x, y) ali.

Skozi posamezno točko prehaja več integralnih krivulj ali nobena.

Definicija.Če rešitev (6.3), (6.4) najdemo v obliki f(x, y, C)\u003d 0, ni dovoljeno glede na y, potem se pokliče skupni integraldiferencialna enačba.

Cauchyjev izrek le zagotavlja, da rešitev obstaja. Ker ni ene same metode za iskanje rešitve, bomo upoštevali le nekatere vrste diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče integrirati v kvadratov.

Definicija.Imenuje se diferencialna enačba integrabilno s kvadraturi,če se iskanje njene rešitve zmanjša na integracijo funkcij.

6.2.1. Diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Definicija.Diferencialna enačba prvega reda se imenuje enačba z ločljive spremenljivke,

Desna stran enačbe (6.5) je zmnožek dveh funkcij, od katerih je vsaka odvisna samo od ene spremenljivke.

Na primer enačba je enačba z ločevanjem

mise spremenljivke
in enačba

ni mogoče predstaviti v obliki (6.5).

Glede na to , (6.5) prepišemo kot

Iz te enačbe dobimo diferencialno enačbo z ločenimi spremenljivkami, v kateri so na diferencialih funkcije, ki so odvisne samo od ustrezne spremenljivke:

Integriramo izraz za pojmom

kjer je C \u003d C 2 - C 1 je poljubna konstanta. Izraz (6.6) je splošni integral enačbe (6.5).

Če delimo obe strani enačbe (6.5) z ,, lahko izgubimo tiste rešitve, za katere Dejansko, če ob

potem je očitno rešitev enačbe (6.5).

Primer 1.Poiščite rešitev enačbe, ki izpolnjuje

stanje: y\u003d 6 at x= 2 (y(2) = 6).

Sklep.Zamenjati ob "včasih ... Pomnožimo obe strani z

dx,saj med nadaljnjo integracijo ni mogoče zapustiti dxv imenovalcu:

in nato razdeli oba dela na dobimo enačbo,

ki jih je mogoče integrirati. Vključujemo:

Potem ; potenciranje dobimo y \u003d C. (x + 1) - približno-

rešitev.

Iz začetnih podatkov določimo poljubno konstanto in jih nadomestimo v splošno rešitev

Končno smo dobili y\u003d 2 (x + 1) je posebna rešitev. Poglejmo še nekaj primerov reševanja enačb z ločljivimi spremenljivkami.

2. primerPoiščite rešitev enačbe

Sklep.Glede na to , dobimo .

Po integraciji obeh strani enačbe bomo imeli

od kod

3. primerPoiščite rešitev enačbe Sklep.Obe strani enačbe delimo na tiste dejavnike, ki so odvisni od spremenljivke, ki ne sovpada s spremenljivko pod diferencialnim predznakom, tj. Na in vključiti. Potem pridemo

in končno

4. primerPoiščite rešitev enačbe

Sklep.Vedeti, kaj bomo prejeli. Oddelek

lim spremenljivke. Potem

Vključujemo se

Komentiraj.V primerih 1 in 2 želena funkcija yizraženo eksplicitno (splošna rešitev). V primerih 3 in 4 - implicitno (splošni integral). V prihodnosti se o obliki sklepa ne bo razpravljalo.

5. primer.Poiščite rešitev enačbe Sklep.

Primer 6.Poiščite rešitev enačbe zadovoljivo

stanje y (e)= 1.

Sklep.Enačbo zapišemo v obliki

Množenje obeh strani enačbe z dxin naprej, dobimo

Integriramo obe strani enačbe (integral na desni strani vzamemo po delih), dobimo

Toda po pogoju y\u003d 1 za x= e... Potem

Nadomestite najdene vrednosti ODv splošno rešitev:

Nastali izraz se imenuje posebna rešitev diferencialne enačbe.

6.2.2. Homogene diferencialne enačbe prvega reda

Definicija.Imenuje se diferencialna enačba prvega reda homogen,če ga je mogoče predstaviti kot

Predstavimo algoritem za reševanje homogene enačbe.

1. Namesto yuvedemo novo funkcijo Potem in zato

2. V smislu funkcije uenačba (6.7) ima obliko

to pomeni, da zamenjava homogeno enačbo zmanjša na enačbo z ločljivimi spremenljivkami.

(3) Pri reševanju enačbe (6.8) najprej najdemo u in nato y\u003d ux.

Primer 1.Reši enačbo Sklep.Enačbo zapišemo v obliki

Nadomestimo:
Potem

Zamenjati

Pomnoži z dx: Razdelite na xin naprej potem

Integriramo obe strani enačbe v ustrezne spremenljivke

ali, ko se vrnemo k starim spremenljivkam, končno pridemo

2. primerReši enačbo Sklep.Naj bo potem

Obe strani enačbe delimo z x 2: Odprimo oklepaje in prerazporedimo izraze:

Če preidemo na stare spremenljivke, pridemo do končnega rezultata:

3. primerPoiščite rešitev enačbe glede na to

Sklep.Z izvedbo standardne zamenjave dobimo

ali

ali

Zato ima določena rešitev obliko 4. primer Poiščite rešitev enačbe

Sklep.

5. primer.Poiščite rešitev enačbe Sklep.

Samostojno delo

Poiščite rešitev diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami (1-9).

Poiščite rešitev za homogene diferencialne enačbe (9-18).

6.2.3. Nekatere aplikacije diferencialnih enačb prvega reda

Problem radioaktivnega razpada

Hitrost razpada Ra (radij) je v vsakem trenutku sorazmerna z njegovo razpoložljivo maso. Poiščite zakon radioaktivnega razpada Ra, če je znano, da je bil v začetnem trenutku Ra in je razpolovna doba Ra enaka 1590 let.

Sklep.Naj bo masa Ra trenutno x= x (t)r in Potem je stopnja razpada Ra

Glede na pogoj problema

kje k

Ločimo spremenljivke v zadnji enačbi in integriramo, dobimo

od kod

Za določitev Cuporabimo začetni pogoj: za .

Potem in zato

Razmerje kdoločeno iz dodatnega pogoja:

Imamo

Od tod in zahtevano formulo

Problem hitrosti razmnoževanja bakterij

Hitrost razmnoževanja bakterij je sorazmerna njihovemu številu. Sprva je bilo 100 bakterij. V treh urah se je njihovo število podvojilo. Poiščite odvisnost števila bakterij od časa. Kolikokrat se bo število bakterij povečalo v 9 urah?

Sklep.Naj bo x- število bakterij v tem trenutku t.Potem, glede na pogoj,

kje k- koeficient sorazmernosti.

Od tod Iz pogoja je znano, da ... Torej,

Iz dodatnega stanja ... Potem

Iskana funkcija:

Torej, za t= 9 x\u003d 800, torej se je v 9 urah število bakterij povečalo za 8-krat.

Problem povečanja količine encima

V kulturi pivskega kvasa je stopnja rasti aktivnega encima sorazmerna z začetno količino x.Začetna količina encima apodvojila v eni uri. Poiščite odvisnost

x (t).

Sklep.Po hipotezi ima diferencialna enačba procesa obliko

od tod

Ampak ... Torej, C= ain potem

Znano je tudi, da

Posledično

6.3. RAZLIČNE ENAKOSTI DRUGEGA NAROČILA

6.3.1. Osnovni pojmi

Definicija.Diferencialna enačba drugega redase imenuje relacija, ki povezuje neodvisno spremenljivko, želeno funkcijo ter njene prve in druge odvode.

V posebnih primerih lahko v enačbi manjka x, obali y ". Vendar mora enačba drugega reda nujno vsebovati y". V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana v obliki:

ali, če je mogoče, v obliki, dovoljeni glede na drugi izpeljanko:

Tako kot v primeru enačbe prvega reda lahko tudi za enačbo drugega reda obstajajo splošne in posebne rešitve. Splošna rešitev je:

Iskanje zasebne rešitve

pod začetnimi pogoji - dano

številke) problem Cauchyja.Geometrično to pomeni, da je treba najti integralno krivuljo ob= y (x),skozi določeno točko in na tej točki tangenta, ki je

piha s pozitivno smerjo osi Voladani kot. e. (slika 6.1). Problem Cauchyja ima edinstveno rešitev, če desna stran enačbe (6.10), neprekinjeno

je kontinuirana in ima zvezne delne derivate glede na y, y "v neki soseski izhodišča

Da bi našli stalno vključen v določeno rešitev, morate omogočiti sistem

Slika: 6.1.Integralna krivulja

I. Navadne diferencialne enačbe

1.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko x, zahtevana funkcija y in njegovih izpeljank ali diferencialov.

Simbolična diferencialna enačba je zapisana na naslednji način:

F (x, y, y ") \u003d 0, F (x, y, y") \u003d 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) \u003d 0

Diferencialna enačba se imenuje navadna, če je želena funkcija odvisna od ene neodvisne spremenljivke.

Z reševanjem diferencialne enačbe se imenuje funkcija, ki pretvori to enačbo v identiteto.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega izpeljanka, ki vstopa v to enačbo

Primeri.

1. Razmislite o diferencialni enačbi prvega reda

Rešitev te enačbe je funkcija y \u003d 5 ln x. Dejansko nadomeščanje y " v enačbo dobimo - identiteto.

To pa pomeni, da je funkcija y \u003d 5 ln x– rešitev te diferencialne enačbe.

2. Razmislite o diferencialni enačbi drugega reda y "- 5y" + 6y \u003d 0... Funkcija je rešitev te enačbe.

Prav zares,.

Z nadomestitvijo teh izrazov v enačbo dobimo :, - identiteto.

To pa pomeni, da je funkcija rešitev te diferencialne enačbe.

Integracija diferencialnih enačb imenuje se postopek iskanja rešitev za diferencialne enačbe.

Splošna rešitev diferencialne enačbe funkcija oblike , ki vključuje toliko neodvisnih poljubnih konstant kot vrstni red enačbe.

Z določeno rešitvijo diferencialne enačbe se imenuje rešitev, pridobljena iz splošne rešitve za različne številčne vrednosti poljubnih konstant. Vrednosti poljubnih konstant najdemo pri določenih začetnih vrednostih argumenta in funkcije.

Pokliče se graf določene rešitve diferencialne enačbe integralna krivulja.

Primeri

1. Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe prvega reda

xdx + ydy \u003d 0, če y\u003d 4 at x = 3.

Sklep. Integriramo obe strani enačbe

Komentiraj. Prostovoljno konstanto C, dobljeno kot rezultat integracije, lahko predstavimo v kateri koli obliki, primerni za nadaljnje transformacije. V tem primeru je ob upoštevanju kanonične enačbe kroga primerno v obliki predstaviti poljubno konstanto C.

- splošna rešitev diferencialne enačbe.

Posebna rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y \u003d 4 at x \u003d 3 najdemo iz splošne nadomestitve začetnih pogojev v splošno rešitev: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Če v splošni rešitvi nadomestimo C \u003d 5, dobimo x 2 + y 2 = 5 2 .

To je posebna rešitev diferencialne enačbe, dobljene iz splošne rešitve za dane začetne pogoje.

2. Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe

Rešitev te enačbe je katera koli funkcija oblike, kjer je C poljubna konstanta. Dejansko z nadomestitvijo v enačbe dobimo:,.

Posledično ima ta diferencialna enačba neskončen nabor rešitev, saj za različne vrednosti konstante C enakost določa različne rešitve enačbe.

Na primer, z neposredno zamenjavo lahko zagotovite, da funkcije so rešitve enačbe.

Problem, pri katerem je treba najti določeno rešitev enačbe y "\u003d f (x, y) izpolnjujejo začetni pogoj y (x 0) \u003d y 0se imenuje problem Cauchyja.

Rešitev enačbe y "\u003d f (x, y)izpolnjujejo začetni pogoj, y (x 0) \u003d y 0, se imenuje rešitev problema Cauchyja.

Rešitev problema Cauchy ima preprost geometrijski pomen. V resnici naj bi po teh definicijah rešili problem Cauchyja y "\u003d f (x, y) glede na to y (x 0) \u003d y 0, pomeni najti integralno krivuljo enačbe y "\u003d f (x, y) ki gre skozi dano točko M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencialne enačbe prvega reda

2.1. Osnovni pojmi

Diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike F (x, y, y ") \u003d 0.

Diferencialna enačba prvega reda vključuje prvo izpeljanko in ne vključuje izpeljank višjega reda.

Enačba y "\u003d f (x, y) se imenuje enačba prvega reda, razrešena glede na izpeljanko.

Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda je funkcija oblike, ki vsebuje eno poljubno konstanto.

Primer.Razmislimo o diferencialni enačbi prvega reda.

Rešitev te enačbe je funkcija.

Dejansko dobimo, če v tej enačbi nadomestimo njeno vrednost

tj 3x \u003d 3x

Posledično je funkcija splošna rešitev enačbe za katero koli konstanto C.

Poiščite določeno rešitev te enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y (1) \u003d 1 Nadomestitev začetnih pogojev x \u003d 1, y \u003d 1 v splošno rešitev enačbe dobimo od kod C \u003d 0.

Tako dobimo določeno rešitev iz splošnega z nadomestitvijo dobljene vrednosti v to enačbo C \u003d 0 - zasebna rešitev.

2.2. Ločljive diferencialne enačbe

Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami je enačba oblike: y "\u003d f (x) g (y) ali prek diferencialov, kjer f (x) in g (y)- določene funkcije.

Za tiste y, za katero enačba y "\u003d f (x) g (y) enakovredna enačbi, v katerem je spremenljivka y je prisoten samo na levi strani, spremenljivka x pa le na desni strani. Pravijo: »v enačbi y "\u003d f (x) g (y razdelimo spremenljivke ".

Enačba oblike se imenuje enačba z ločenimi spremenljivkami.

Z integracijo obeh strani enačbe avtor x, dobimo G (y) \u003d F (x) + CJe splošna rešitev enačbe, kjer G (y) in F (x) - nekateri antiderivativi funkcij in f (x), C poljubna konstanta.

Algoritem za reševanje diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Primer 1

Reši enačbo y "\u003d xy

Sklep. Izpeljana funkcija y " zamenjajte z

razdelite spremenljivke

vključiti obe strani enakosti:

2. primer

2yy "\u003d 1 - 3x 2, če y 0 \u003d 3 ob x 0 \u003d 1

To je ločena spremenljivka enačbe. Predstavljajmo ga v diferencialih. Da bi to naredili, to enačbo prepišemo v obliko Od tod

Ugotavljamo, da integriramo obe strani zadnje enakosti

Nadomestitev začetnih vrednosti x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3najti OD 9=1-1+C, tj. C \u003d 9.

Zato bo iskani delni integral ali

3. primer

Enačimo krivuljo skozi točko M (2; -3) in ima tangento z naklonom

Sklep. Glede na stanje

To je ločljiva enačba. Z delitvijo spremenljivk dobimo:

Če integriramo obe strani enačbe, dobimo:

Z uporabo začetnih pogojev, x \u003d 2 in y \u003d - 3 najti C:

Zato ima iskana enačba obliko

2.3. Linearne diferencialne enačbe prvega reda

Linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike y "\u003d f (x) y + g (x)

kje f (x) in g (x) - nekatere prednastavljene funkcije.

Če g (x) \u003d 0potem se linearna diferencialna enačba imenuje homogena in ima obliko: y "\u003d f (x) y

Če potem enačba y "\u003d f (x) y + g (x) imenovane heterogene.

Splošna rešitev linearne homogene diferenčne enačbe y "\u003d f (x) y je podana s formulo: kjer OD Je poljubna konstanta.

Še posebej, če C \u003d 0,potem je rešitev y \u003d 0 Če ima linearna homogena enačba obliko y "\u003d ky Kje k - neka konstanta, potem ima njena splošna rešitev obliko :.

Splošna rešitev linearne nehomogene diferenčne enačbe y "\u003d f (x) y + g (x) je podana s formulo ,

tiste. je enak vsoti splošne rešitve ustrezne linearne homogene enačbe in posamezne rešitve te enačbe.

Za linearno nehomogeno enačbo oblike y "\u003d kx + b,

kje k in b- nekatera števila in konstantna funkcija bodo posebna rešitev. Zato je splošna rešitev.

Primer... Reši enačbo y "+ 2y +3 \u003d 0

Sklep. Enačbo predstavljamo v obliki y "\u003d -2y - 3 Kje k \u003d -2, b \u003d -3 Splošna rešitev je podana s formulo.

Torej, kjer je C poljubna konstanta.

2.4. Rešitev linearnih diferencialnih enačb prvega reda z Bernoullijevo metodo

Iskanje splošne rešitve linearne diferencialne enačbe prvega reda y "\u003d f (x) y + g (x) se zmanjša na reševanje dveh diferencialnih enačb z ločenimi spremenljivkami z uporabo substitucije y \u003d uvkje u in v - neznane funkcije od x... Ta metoda rešitve se imenuje Bernoullijeva metoda.

Algoritem za reševanje linearne diferencialne enačbe prvega reda

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Uvedite zamenjavo y \u003d uv.

2. Diferencirajte to enakost y "\u003d u" v + uv "

3. Nadomestna y in y " v to enačbo: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)ali u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Razvrsti izraze enačbe tako, da u dajte iz oklepajev:

5. V oklepaju, ki ga enačimo nič, poiščemo funkcijo

To je ločljiva enačba:

Razdelimo spremenljivke in dobimo:

Od kod . .

6. Nadomestite dobljeno vrednost vv enačbo (iz točke 4):

in poiščite funkcijo To je ločljiva enačba:

7. Splošno rešitev zapišite v obliki: , tj. ...

Primer 1

Poiščite določeno rešitev enačbe y "\u003d -2y +3 \u003d 0 če y \u003d 1 ob x \u003d 0

Sklep. Rešimo z nadomestitvijo y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Zamenjava yin y " v to enačbo pridemo

Z razdelitvijo drugega in tretjega člana na levi strani enačbe izločimo skupni faktor u iz oklepajev

Izraz v oklepajih je enak nič in po rešitvi nastale enačbe najdemo funkcijo v \u003d v (x)

Prejeli enačbo z ločenimi spremenljivkami. Integriramo obe strani te enačbe: poiščimo funkcijo v:

Nadomestite nastalo vrednost v v enačbo dobimo:

To je enačba z ločenimi spremenljivkami. Integriramo obe strani enačbe: Poiščite funkcijo u \u003d u (x, c) Poiščimo splošno rešitev: Poiščimo določeno rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y \u003d 1 ob x \u003d 0:

III. Diferencialne enačbe višjega reda

3.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba drugega reda je enačba, ki vsebuje izpeljanke, ki niso višje od drugega reda. V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana v obliki: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Splošna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je funkcija oblike, ki vključuje dve poljubni konstanti C 1 in C 2.

Delna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je rešitev, dobljena iz splošne za nekatere vrednosti poljubnih konstant C 1 in C 2.

3.2. Linearne homogene diferencialne enačbe drugega reda z konstantni koeficienti.

Linearna homogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti se imenuje enačba oblike y "+ py" + qy \u003d 0kje strin q- konstantne vrednosti.

Algoritem za reševanje homogenih diferencialnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti

1. Diferencialno enačbo zapišite v obliki: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Sestavite njegovo značilno enačbo, ki označuje y " čez r 2, y " čez r, yv 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Bodisi že rešeni glede na izpeljanko ali pa jih je mogoče rešiti glede na izpeljanko .

Splošna rešitev diferencialnih enačb tipa na intervalu X, ki je podan, lahko najdemo tako, da vzamemo integral obeh strani te enakosti.

Dobimo .

Če pogledamo lastnosti nedoločenega integrala, bomo našli želeno splošno rešitev:

y \u003d F (x) + C,

kje F (x) - eden od antiderivatov funkcije f (x) vmes X, in OD je poljubna konstanta.

Upoštevajte, da je za večino opravil interval X ne navajajte. To pomeni, da je treba najti rešitev za vsakogar. xza katero je želena funkcija y, in prvotna enačba je smiselna.

Če morate izračunati določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y (x 0) \u003d y 0, potem po izračunu splošnega integrala y \u003d F (x) + C, treba je določiti tudi vrednost konstante C \u003d C 0z uporabo začetnega stanja. Se pravi konstanta C \u003d C 0 določeno iz enačbe F (x 0) + C \u003d y 0, iskana rešitev diferencialne enačbe pa ima obliko:

y \u003d F (x) + C 0.

Oglejmo si primer:

Poiščimo splošno rešitev diferencialne enačbe, preverimo pravilnost rezultata. Poiščimo določeno rešitev te enačbe, ki bi izpolnila začetni pogoj.

Sklep:

Ko integriramo dano diferencialno enačbo, dobimo:

.

Vzemimo ta integral po metodi integracije po delih:

Tako je splošna rešitev diferencialne enačbe.

Da se prepričamo, da je rezultat pravilen, bomo preverili. Za to v dano enačbo nadomestimo rešitev, ki smo jo našli:

.

Se pravi, za prvotna enačba se spremeni v identiteto:

zato je bila splošna rešitev diferencialne enačbe pravilno določena.

Rešitev, ki smo jo našli, je splošna rešitev diferencialne enačbe za vsako realno vrednost argumenta x.

Ostalo je izračunati določeno rešitev za ODE, ki bi izpolnila začetni pogoj. Z drugimi besedami, izračunati morate vrednost konstante OD, pri katerem bo veljala enakost:

.

.

Nato zamenjava C \u003d 2 v splošno rešitev ODE dobimo določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj:

.

Navadna diferencialna enačba lahko rešimo za izpeljanko tako, da delimo 2 dela enakosti z f (x)... Ta preobrazba bo enakovredna, če f (x) ne izgine za nobeno x iz intervala integracije diferencialne enačbe X.

Situacije so verjetno za nekatere vrednosti argumenta x ∈ X funkcije f (x) in g (x)hkrati izginejo. Za podobne vrednosti x splošna rešitev diferencialne enačbe bo katera koli funkcija y, ki je v njih opredeljena, saj ...

Če za nekatere vrednosti argumenta x ∈ X pogoj je izpolnjen, kar pomeni, da v tem primeru ODE nima rešitev.

Za vse ostale x od intervala X splošna rešitev diferencialne enačbe se določi iz transformirane enačbe.

Oglejmo si primere:

Primer 1.

Poiščimo splošno rešitev za ODE: .

Sklep.

Iz lastnosti osnovnih osnovnih funkcij je razvidno, da je funkcija naravnega logaritma definirana za nenegativne vrednosti argumenta, zato je domena izraza ln (x + 3) obstaja interval x > -3 ... Zato je dana diferencialna enačba smiselna x > -3 ... Za te vrednosti argumenta izraz x + 3 ne izgine, zato lahko ODE rešimo glede na izpeljanko tako, da delimo 2 dela z x + 3.

Dobimo .

Nato integriramo nastalo diferencialno enačbo, rešeno glede na izpeljanko: ... Da vzamemo ta integral, uporabimo metodo, s katero diferencial postavimo pod znak.