Salam, kucing! Kali terakhir kita membincangkan secara terperinci apa itu akar (jika anda tidak ingat, saya cadangkan membacanya). Imbasan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal akar, iaitu perkara yang perlu anda ketahui. Selebihnya mengarut dan membuang masa.

Hari ini kita pergi lebih jauh. Kami akan belajar untuk mendarab akar, kami akan mengkaji beberapa masalah yang berkaitan dengan pendaraban (jika masalah ini tidak diselesaikan, ia boleh membawa maut dalam peperiksaan) dan kami akan berlatih dengan betul. Oleh itu, dapatkan stok popcorn, selesa, dan mari kita mulakan.

Anda juga belum menghisapnya, bukan?

Pelajaran itu ternyata agak panjang, jadi saya membahagikannya kepada dua bahagian:

1. Mula-mula kita akan melihat peraturan pendaraban. Cap nampaknya membayangkan: ini adalah apabila terdapat dua akar, di antara mereka terdapat tanda "darab" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
2. Kemudian mari kita lihat keadaan yang bertentangan: terdapat satu punca besar, tetapi kami tidak sabar-sabar untuk mewakilinya sebagai hasil daripada dua punca yang lebih mudah. Mengapa ini perlu, adalah soalan yang berasingan. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi mereka yang tidak sabar untuk segera beralih ke bahagian kedua, anda dialu-alukan. Mari kita mulakan dengan yang lain mengikut urutan.

Peraturan Asas Pendaraban

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - punca kuasa dua klasik. Yang sama yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Semuanya jelas kepada mereka:

Peraturan pendaraban. Untuk mendarab satu punca kuasa dua dengan yang lain, anda hanya darabkan ungkapan radikalnya, dan tulis hasilnya di bawah radikal biasa:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tiada sekatan tambahan dikenakan ke atas nombor di sebelah kanan atau kiri: jika faktor punca wujud, maka produk itu juga wujud.

Contoh. Mari kita lihat empat contoh dengan nombor sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, maksud utama peraturan ini adalah untuk memudahkan ungkapan tidak rasional. Dan jika dalam contoh pertama kita sendiri akan mengekstrak akar 25 dan 4 tanpa sebarang peraturan baru, maka keadaan menjadi sukar: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dipertimbangkan oleh mereka sendiri, tetapi hasil darab mereka menjadi kuasa dua sempurna, jadi puncanya adalah sama dengan nombor rasional.

Saya ingin menyerlahkan baris terakhir. Di sana, kedua-dua ungkapan radikal adalah pecahan. Terima kasih kepada produk, banyak faktor dibatalkan, dan keseluruhan ungkapan bertukar menjadi nombor yang mencukupi.

Sudah tentu, semuanya tidak akan selalu begitu indah. Kadang-kadang akan ada kekacauan yang lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang perlu dilakukan dengannya dan cara mengubahnya selepas pendaraban. Tidak lama kemudian, apabila anda mula mengkaji persamaan tidak rasional dan ketaksamaan, akan ada pelbagai pembolehubah dan fungsi. Dan selalunya, penulis masalah bergantung pada fakta bahawa anda akan menemui beberapa istilah atau faktor yang membatalkan, selepas itu masalah itu akan dipermudahkan berkali-kali.

Di samping itu, sama sekali tidak perlu membiak tepat dua akar. Anda boleh mendarab tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Ini tidak akan mengubah peraturan. Tengoklah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Dan lagi nota kecil mengikut contoh kedua. Seperti yang anda lihat, dalam faktor ketiga di bawah akar terdapat pecahan perpuluhan - dalam proses pengiraan kami menggantikannya dengan yang biasa, selepas itu semuanya mudah dikurangkan. Jadi: Saya amat mengesyorkan agar anda menyingkirkan pecahan perpuluhan dalam sebarang ungkapan tidak rasional (iaitu mengandungi sekurang-kurangnya satu simbol radikal). Ini akan menjimatkan banyak masa dan saraf anda pada masa hadapan.

Tetapi ini adalah penyimpangan lirik. Sekarang mari kita lihat lebih lanjut kes am- apabila penunjuk akar adalah nombor sewenang-wenangnya$n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kes penunjuk sewenang-wenangnya

Jadi, dengan punca kuasa dua memikirkannya. Apa yang perlu dilakukan dengan kubik? Atau pun dengan akar darjah sewenang-wenangnya $n$? Ya, semuanya sama. Peraturannya tetap sama:

Untuk mendarab dua punca darjah $n$, sudah cukup untuk mendarabkan ungkapan radikalnya, dan kemudian menulis hasilnya di bawah satu radikal.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah pengiraan mungkin lebih besar. Mari lihat beberapa contoh:

Contoh. Kira produk:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Dan sekali lagi, perhatian kepada ungkapan kedua. Kami membiak akar kubus, buang perpuluhan dan sebagai hasilnya kita mendapat hasil darab nombor 625 dan 25 dalam penyebutnya nombor besar- Secara peribadi, saya tidak boleh mengira langsung apa yang sama dengannya.

Oleh itu, kami hanya mengasingkan kubus tepat dalam pengangka dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu sifat utama (atau, jika anda lebih suka, takrifan) akar $n$th:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\kanan|. \\ \end(align)\]

"Maksiat" sedemikian boleh menjimatkan banyak masa anda pada peperiksaan atau kerja ujian, jadi ingat:

Jangan tergesa-gesa untuk mendarab nombor menggunakan ungkapan radikal. Mula-mula, semak: bagaimana jika tahap sebenar mana-mana ungkapan "disulitkan" di sana?

Walaupun kenyataan ini jelas, saya harus mengakui bahawa kebanyakan pelajar yang tidak bersedia tidak melihat darjah yang tepat pada julat kosong. Sebaliknya, mereka mendarabkan segala-galanya secara langsung, dan kemudian tertanya-tanya: mengapa mereka mendapat nombor yang kejam :)

Namun, semua ini hanyalah cakap-cakap bayi berbanding apa yang akan kita kaji sekarang.

Mendarab punca dengan eksponen yang berbeza

Okay, sekarang kita boleh darabkan punca dengan penunjuk yang sama. Bagaimana jika penunjuk berbeza? Katakan, bagaimana untuk mendarab $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Adakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya sudah tentu boleh. Semuanya dilakukan mengikut formula ini:

Peraturan untuk mendarabkan akar. Untuk mendarab $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, sudah cukup untuk melakukan transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Walau bagaimanapun, formula ini hanya berfungsi jika ungkapan radikal adalah bukan negatif. Ini adalah nota yang sangat penting yang akan kami kembalikan sedikit kemudian.

Buat masa ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit. Sekarang mari kita fikirkan dari mana datangnya keperluan bukan negatif, dan apa yang akan berlaku jika kita melanggarnya.

Mengapakah ungkapan radikal mesti bukan negatif?

Sudah tentu anda boleh menjadi seperti guru sekolah dan bijak memetik buku teks:

Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan takrif akar genap dan darjah ganjil yang berbeza (sehubungan itu, domain takrifan mereka juga berbeza).

Nah, adakah ia menjadi lebih jelas? Secara peribadi, apabila saya membaca karut ini dalam gred 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - ringkasnya, saya tidak Tidak faham apa-apa pada masa itu.

Jadi sekarang saya akan menerangkan semuanya dengan cara biasa.

Mula-mula, mari kita ketahui dari mana datangnya formula pendaraban di atas. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan anda tentang satu sifat penting akar:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dalam erti kata lain, kita boleh dengan mudah menaikkan ungkapan radikal kepada mana-mana ijazah semula jadi$k$ - dalam kes ini, eksponen punca perlu didarab dengan kuasa yang sama. Oleh itu, kita boleh dengan mudah mengurangkan sebarang punca kepada eksponen biasa, dan kemudian mendarabkannya. Di sinilah formula pendaraban berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tetapi ada satu masalah yang mengehadkan penggunaan semua formula ini. Pertimbangkan nombor ini:

Mengikut formula yang baru diberikan, kita boleh menambah apa-apa ijazah. Mari cuba tambah $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Kami mengeluarkan tolak dengan tepat kerana segi empat sama membakar tolak (seperti mana-mana darjah genap yang lain). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangkan" kedua-duanya dalam eksponen dan kuasa. Lagipun, sebarang kesamaan boleh dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Tetapi kemudian ia ternyata menjadi semacam omong kosong:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ini tidak boleh berlaku, kerana $\sqrt(-5) \lt 0$, dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini bermakna untuk kuasa genap dan nombor negatif formula kami tidak lagi berfungsi. Selepas itu kita mempunyai dua pilihan:

1. Untuk memukul dinding dan menyatakan bahawa matematik adalah sains yang bodoh, di mana "terdapat beberapa peraturan, tetapi ini tidak tepat";
2. Memperkenalkan sekatan tambahan di mana formula akan berfungsi 100%.

Dalam pilihan pertama, kita perlu sentiasa menangkap kes "tidak berfungsi" - ia sukar, memakan masa dan secara amnya ugh. Oleh itu, ahli matematik memilih pilihan kedua.

Tetapi jangan risau! Dalam amalan, had ini tidak menjejaskan pengiraan dalam apa jua cara, kerana semua masalah yang diterangkan hanya membimbangkan akar darjah ganjil, dan tolak boleh diambil daripadanya.

Oleh itu, mari kita rumuskan satu lagi peraturan, yang biasanya digunakan untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mendarab akar, pastikan bahawa ungkapan radikal adalah bukan negatif.

Contoh. Dalam nombor $\sqrt(-5)$ anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar - maka semuanya akan menjadi normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Adakah anda merasakan perbezaannya? Jika anda meninggalkan tolak di bawah akar, maka apabila ungkapan radikal kuasa dua, ia akan hilang, dan omong kosong akan bermula. Dan jika anda mula-mula mengeluarkan tolak, maka anda boleh segi empat sama/mengalih sehingga muka anda berwarna biru - nombor itu akan kekal negatif :).

Oleh itu, yang paling betul dan paling cara yang boleh dipercayai mendarabkan akar adalah seperti berikut:

1. Buang semua negatif dari radikal. Tolak hanya wujud dalam akar kepelbagaian ganjil - ia boleh diletakkan di hadapan akar dan, jika perlu, dikurangkan (contohnya, jika terdapat dua tolak ini).
2. Lakukan pendaraban mengikut peraturan yang dibincangkan di atas dalam pelajaran hari ini. Jika penunjuk akar adalah sama, kita hanya mendarabkan ungkapan radikal. Dan jika mereka berbeza, kami menggunakan formula jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Nikmati keputusan dan gred yang baik. :)

Nah? Adakah kita akan berlatih?

Contoh 1: Permudahkan ungkapan:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ini adalah pilihan paling mudah: akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah ialah faktor kedua adalah negatif. Kami mengambil tolak ini daripada gambar, selepas itu semuanya mudah dikira.

Contoh 2: Permudahkan ungkapan:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( selaraskan)\]

Di sini, ramai yang akan keliru dengan fakta bahawa output ternyata menjadi nombor tidak rasional. Ya, ia berlaku: kami tidak dapat menyingkirkan akar sepenuhnya, tetapi sekurang-kurangnya kami memudahkan ungkapan itu dengan ketara.

Contoh 3: Permudahkan ungkapan:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Saya ingin menarik perhatian anda kepada tugasan ini. Terdapat dua perkara di sini:

1. Akar bukan nombor atau kuasa tertentu, tetapi pembolehubah $a$. Pada pandangan pertama, ini agak luar biasa, tetapi pada hakikatnya, apabila menyelesaikan masalah matematik, anda paling kerap perlu berurusan dengan pembolehubah.
2. Pada akhirnya, kami berjaya "mengurangkan" penunjuk radikal dan tahap dalam ekspresi radikal. Ini berlaku agak kerap. Dan ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk memudahkan pengiraan dengan ketara jika anda tidak menggunakan formula asas.

Sebagai contoh, anda boleh melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Malah, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika anda tidak menerangkan secara terperinci semua langkah perantaraan, maka pada akhirnya jumlah pengiraan akan berkurangan dengan ketara.

Sebenarnya, kami telah pun menghadapi tugas yang sama di atas apabila kami menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Kini ia boleh ditulis dengan lebih mudah:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nah, kami telah menyelesaikan pendaraban akar. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi terbalik: apa yang perlu dilakukan apabila terdapat produk di bawah akar?

Mengeluarkan punca kuadran nombor bukan satu-satunya operasi yang boleh dilakukan dengan fenomena matematik ini. Sama seperti nombor biasa, punca kuasa dua tambah dan tolak.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Peraturan untuk menambah dan menolak punca kuasa dua

Tindakan seperti penambahan dan penolakan punca kuasa dua hanya boleh dilakukan jika ungkapan radikal adalah sama.

Contoh 1

Anda boleh menambah atau menolak ungkapan 2 3 dan 6 3, tetapi bukan 5 6 Dan 9 4. Jika mungkin untuk memudahkan ungkapan dan mengurangkannya kepada akar dengan nombor radikal yang sama, kemudian mudahkan dan kemudian tambah atau tolak.

Tindakan dengan akar: asas

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritma tindakan:

1. Permudahkan ungkapan radikal. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menguraikan ungkapan radikal kepada 2 faktor, salah satunya ialah nombor kuasa dua (nombor dari mana keseluruhan punca kuasa dua diekstrak, contohnya, 25 atau 9).
2. Kemudian anda perlu mengambil punca nombor kuasa dua dan tulis nilai yang terhasil sebelum tanda akar. Sila ambil perhatian bahawa faktor kedua dimasukkan di bawah tanda akar.
3. Selepas proses penyederhanaan, adalah perlu untuk menekankan akar dengan ungkapan radikal yang sama - hanya mereka boleh ditambah dan ditolak.
4. Untuk akar dengan ungkapan radikal yang sama, adalah perlu untuk menambah atau menolak faktor yang muncul sebelum tanda akar. Ungkapan radikal kekal tidak berubah. Anda tidak boleh menambah atau menolak nombor radikal!

Petua 1

Jika anda mempunyai contoh dengan jumlah yang besar ungkapan radikal yang sama, kemudian gariskan ungkapan tersebut dengan garis tunggal, dua dan tiga untuk memudahkan proses pengiraan.

Contoh 3

Mari cuba selesaikan contoh ini:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Mula-mula anda perlu menguraikan 50 kepada 2 faktor 25 dan 2, kemudian ambil punca 25, yang sama dengan 5, dan keluarkan 5 dari bawah akar. Selepas ini, anda perlu mendarab 5 dengan 6 (faktor pada punca) dan mendapat 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Mula-mula anda perlu menguraikan 8 kepada 2 faktor: 4 dan 2. Kemudian ambil akar dari 4, yang sama dengan 2, dan keluarkan 2 dari bawah akar. Selepas ini, anda perlu mendarabkan 2 dengan 2 (faktor di punca) dan mendapatkan 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Mula-mula anda perlu menguraikan 12 kepada 2 faktor: 4 dan 3. Kemudian ekstrak akar 4, yang sama dengan 2, dan keluarkan dari bawah akar. Selepas ini, anda perlu mendarab 2 dengan 5 (faktor pada punca) dan mendapatkan 10 3.

Keputusan penyederhanaan: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Hasilnya, kami melihat berapa banyak ungkapan radikal yang sama terkandung di dalamnya dalam contoh ini. Sekarang mari kita berlatih dengan contoh lain.

Contoh 4

• Mari kita permudahkan (45) . Faktor 45: (45) = (9 × 5) ;
• Kami mengambil 3 dari bawah akar (9 = 3): 45 = 3 5 ;
• Tambahkan faktor di punca: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Contoh 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Mari kita sederhanakan 6 40 . Kita faktorkan 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Kami mengeluarkan 2 dari bawah akar (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Kami mendarabkan faktor yang muncul di hadapan akar: 12 10 ;
• Kami menulis ungkapan dalam bentuk yang dipermudahkan: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Oleh kerana dua sebutan pertama mempunyai nombor radikal yang sama, kita boleh menolaknya: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Contoh 6

Seperti yang kita lihat, tidak mungkin untuk memudahkan nombor radikal, jadi kita mencari istilah dengan nombor radikal yang sama dalam contoh, menjalankan operasi matematik (tambah, tolak, dll.) dan tulis hasilnya:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Nasihat:

• Sebelum menambah atau menolak, adalah perlu untuk memudahkan (jika boleh) ungkapan radikal.
• Menambah dan mengurangkan akar dengan ungkapan radikal yang berbeza adalah dilarang sama sekali.
• Anda tidak boleh menambah atau menolak nombor bulat atau punca: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Apabila melakukan operasi dengan pecahan, anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan setiap penyebut, kemudian mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kemudian tambahkan pengangka dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Cara paling mudah untuk menolak punca daripada nombor ialah dengan kalkulator. Tetapi, jika anda tidak mempunyai kalkulator, maka anda perlu mengetahui algoritma untuk mengira punca kuasa dua. Hakikatnya ialah di bawah akar terdapat nombor kuasa dua. Sebagai contoh, 4 kuasa dua ialah 16. Iaitu, punca kuasa dua bagi 16 akan bersamaan dengan empat. Juga, 5 kuasa dua ialah 25. Oleh itu, punca 25 akan menjadi 5. Dan seterusnya.

Jika nombor itu kecil, maka ia boleh dikurangkan dengan mudah secara lisan, contohnya, punca 25 akan sama dengan 5, dan punca 144-12. Anda juga boleh mengira pada kalkulator terdapat ikon akar khas anda perlu memasukkan nombor dan klik pada ikon.

Jadual punca kuasa dua juga akan membantu:

Terdapat juga kaedah yang lebih kompleks, tetapi sangat berkesan:

Punca sebarang nombor boleh ditolak menggunakan kalkulator, terutamanya kerana ia tersedia dalam setiap telefon hari ini.

Anda boleh cuba menganggarkan secara kasar bagaimana nombor tertentu boleh bertukar dengan mendarab satu nombor dengan sendirinya.



Mengira punca kuasa dua nombor tidak sukar, terutamanya jika anda mempunyai jadual khas. Jadual terkenal dari pelajaran algebra. Operasi ini dipanggil mengambil punca kuasa dua nombor, dengan kata lain menyelesaikan persamaan. Hampir semua kalkulator pada telefon pintar mempunyai fungsi untuk menentukan punca kuasa dua.



Hasil daripada mengambil punca kuasa dua nombor yang diketahui akan menjadi nombor lain, yang, apabila dinaikkan kepada kuasa kedua (persegi), akan memberikan nombor yang sama yang kita tahu. Mari kita lihat salah satu huraian pengiraan, yang kelihatan ringkas dan jelas:







Berikut ialah video mengenai topik tersebut:

Terdapat beberapa cara untuk mengira punca kuasa dua nombor.

Cara yang paling popular ialah menggunakan jadual akar khas (lihat di bawah).

Selain itu, setiap kalkulator mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengetahui puncanya.

Atau menggunakan formula khas.



Terdapat beberapa cara untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor. Salah satunya adalah yang terpantas, menggunakan kalkulator.

Tetapi jika anda tidak mempunyai kalkulator, anda boleh melakukannya secara manual.

Hasilnya akan tepat.

Prinsipnya hampir sama dengan membahagi dengan lajur:



















Mari cuba cari punca kuasa dua nombor tanpa kalkulator, contohnya, 190969.







Oleh itu, semuanya sangat mudah. Dalam pengiraan, perkara utama adalah mematuhi tertentu peraturan mudah dan berfikir secara logik.

Untuk ini, anda memerlukan jadual segi empat sama



Sebagai contoh, punca 100 = 10, daripada 20 = 400 daripada 43 = 1849

Kini hampir semua kalkulator, termasuk yang terdapat pada telefon pintar, boleh mengira punca kuasa dua nombor. TETAPI jika anda tidak mempunyai kalkulator, maka anda boleh mencari punca nombor dalam beberapa cara mudah:

Penguraian menjadi faktor utama



Faktorkan nombor radikal kepada faktor yang merupakan nombor kuasa dua. Bergantung pada nombor radikal, anda akan mendapat jawapan anggaran atau tepat. Nombor kuasa dua ialah nombor dari mana keseluruhan punca kuasa dua boleh diambil. Faktor nombor yang, apabila didarab, memberikan nombor asal. Sebagai contoh, faktor nombor 8 ialah 2 dan 4, kerana 2 x 4 = 8, nombor 25, 36, 49 ialah nombor kuasa dua, kerana 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Faktor kuasa dua ialah faktor yang ialah nombor segi empat sama . Pertama, cuba faktorkan nombor radikal ke dalam faktor kuasa dua.

Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua bagi 400 (dengan tangan). Mula-mula cuba pemfaktoran 400 ke dalam faktor kuasa dua. 400 ialah gandaan 100, iaitu, boleh dibahagi dengan 25 ialah nombor kuasa dua. Membahagikan 400 dengan 25 memberi anda 16, yang juga merupakan nombor segi empat sama. Oleh itu, 400 boleh difaktorkan ke dalam faktor kuasa dua 25 dan 16, iaitu, 25 x 16 = 400.

Tuliskannya sebagai: 400 = (25 x 16).



Punca kuasa dua hasil darab beberapa sebutan adalah sama dengan hasil darab punca kuasa dua bagi setiap sebutan, iaitu (a x b) = a x b. Dengan menggunakan peraturan ini, ambil punca kuasa dua bagi setiap faktor kuasa dua dan darabkan hasilnya untuk mencari jawapannya.

Dalam contoh kami, ambil punca 25 dan 16.



Jika nombor radikal tidak terurai kepada dua faktor kuasa dua(dan ini berlaku dalam kebanyakan kes), anda tidak akan dapat mencari jawapan yang tepat dalam bentuk integer. Tetapi anda boleh memudahkan masalah dengan menguraikan nombor radikal kepada faktor kuasa dua dan faktor biasa (nombor yang tidak boleh diambil keseluruhan punca kuasa dua). Kemudian anda akan mengambil punca kuasa dua faktor kuasa dua dan akan mengambil punca faktor sepunya.

Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua nombor 147. Nombor 147 tidak boleh difaktorkan kepada dua faktor kuasa dua, tetapi ia boleh difaktorkan kepada faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan masalah seperti berikut:



Kini anda boleh menganggarkan nilai punca (cari nilai anggaran) dengan membandingkannya dengan nilai punca nombor kuasa dua yang paling hampir (di kedua-dua belah garis nombor) dengan nombor radikal. Anda akan menerima nilai akar sebagai pecahan perpuluhan, yang mesti didarab dengan nombor di belakang tanda akar.

Mari kita kembali kepada contoh kita. Nombor radikal ialah 3. Nombor kuasa dua yang paling hampir dengannya ialah nombor 1 (1 = 1) dan 4 (4 = 2). Oleh itu, nilai 3 terletak di antara 1 dan 2. Oleh kerana nilai 3 mungkin lebih hampir kepada 2 daripada 1, anggaran kami ialah: 3 = 1.7. Kami mendarabkan nilai ini dengan nombor pada tanda akar: 7 x 1.7 = 11.9. Jika anda membuat pengiraan pada kalkulator, anda akan mendapat 12.13, yang hampir sama dengan jawapan kami.

Kaedah ini juga berfungsi dengan bilangan yang besar. Sebagai contoh, pertimbangkan 35. Nombor radikal ialah 35. Nombor kuasa dua yang paling hampir dengannya ialah nombor 25 (25 = 5) dan 36 (36 = 6). Oleh itu, nilai 35 terletak di antara 5 dan 6. Oleh kerana nilai 35 lebih hampir kepada 6 daripada 5 (kerana 35 hanya 1 kurang daripada 36), kita boleh mengatakan bahawa 35 adalah kurang sedikit daripada 6. Memeriksa pada kalkulator memberi kami jawapan 5.92 - kami betul.



Cara lain ialah memfaktorkan nombor radikal ke dalam faktor perdana. Faktor perdana bagi nombor yang hanya boleh dibahagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Tulis faktor perdana dalam satu siri dan cari pasangan faktor yang sama. Faktor sedemikian boleh diambil dari tanda akar.

Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua bagi 45. Kami memfaktorkan nombor radikal ke dalam faktor perdana: 45 = 9 x 5, dan 9 = 3 x 3. Oleh itu, 45 = (3 x 3 x 5). 3 boleh dikeluarkan sebagai tanda akar: 45 = 35. Sekarang kita boleh menilai 5.

Mari lihat contoh lain: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Anda menerima tiga pendaraban 2; ambil beberapa daripadanya dan gerakkannya melepasi tanda akar.

2(2 x 11) = 22 x 11. Sekarang anda boleh menilai 2 dan 11 dan mencari jawapan anggaran.

Video latihan ini juga mungkin berguna:

Untuk mengekstrak punca nombor, anda harus menggunakan kalkulator, atau jika anda tidak mempunyai nombor yang sesuai, saya menasihati anda untuk pergi ke laman web ini dan menyelesaikan masalah menggunakan kalkulator dalam talian, yang akan memberikan nilai yang betul dalam beberapa saat.

Penambahan dan penolakan akar- salah satu "halangan" yang paling biasa bagi mereka yang mengambil kursus matematik (algebra) di sekolah menengah. Walau bagaimanapun, belajar untuk menambah dan menolaknya dengan betul adalah sangat penting, kerana contoh tentang jumlah atau perbezaan akar dimasukkan dalam program Peperiksaan Negeri Bersatu asas dalam disiplin "matematik".

Untuk menguasai penyelesaian contoh sedemikian, anda memerlukan dua perkara - untuk memahami peraturan, dan juga untuk mendapatkan latihan. Setelah menyelesaikan satu atau dua dozen contoh biasa, pelajar akan membawa kemahiran ini kepada automatisme, dan kemudian dia tidak lagi perlu takut pada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Adalah disyorkan untuk mula menguasai operasi aritmetik dengan penambahan, kerana menambahnya sedikit lebih mudah daripada menolaknya.

Cara paling mudah untuk menerangkan perkara ini ialah menggunakan punca kuasa dua sebagai contoh. Dalam matematik terdapat istilah yang mantap "mengkuadratkan". “Memperduakan” bermaksud mendarab nombor tertentu dengan sendirinya sekali.. Sebagai contoh, jika anda kuasa dua 2, anda mendapat 4. Jika anda kuasa dua 7, anda mendapat 49. Kuasa dua bagi 9 ialah 81. Jadi punca kuasa dua bagi 4 ialah 2, daripada 49 ialah 7, dan daripada 81 ialah 9.

Sebagai peraturan, mengajar topik ini dalam matematik bermula dengan punca kuasa dua. Untuk segera menentukannya, pelajar sekolah Menengah mesti tahu jadual darab mengikut hati. Mereka yang tidak mengetahui jadual ini dengan tegas perlu menggunakan petunjuk. Biasanya proses mengekstrak kuasa dua punca nombor diberikan dalam bentuk jadual pada kulit banyak buku nota matematik sekolah.

Akar adalah daripada jenis berikut:

• segi empat sama;
• padu (atau dipanggil darjah ketiga);
• darjah keempat;
• darjah kelima.

Peraturan tambahan

Untuk berjaya menyelesaikan contoh tipikal, perlu diingat bahawa tidak semua nombor akar boleh disusun antara satu sama lain. Agar mereka boleh dilipat, mereka mesti dibawa ke model seragam. Jika ini mustahil, maka masalah itu tidak mempunyai penyelesaian. Masalah sebegini juga sering ditemui dalam buku teks matematik sebagai sejenis perangkap kepada pelajar.

Penambahan tidak dibenarkan dalam tugas apabila ungkapan radikal berbeza antara satu sama lain. Ini boleh digambarkan dengan contoh yang jelas:

• Pelajar dihadapkan dengan tugasan: tambah punca kuasa dua bagi 4 dan 9;
• pelajar yang tidak berpengalaman yang tidak mengetahui peraturan biasanya menulis: "akar 4 + punca 9 = punca 13."
• Sangat mudah untuk membuktikan bahawa penyelesaian ini tidak betul. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari punca kuasa dua 13 dan semak sama ada contoh diselesaikan dengan betul;
• menggunakan kalkulator mikro anda boleh menentukan bahawa ia adalah lebih kurang 3.6. Sekarang yang tinggal hanyalah menyemak penyelesaiannya;
• punca 4=2, dan punca 9=3;
• Jumlah nombor "dua" dan "tiga" sama dengan lima. Oleh itu, algoritma penyelesaian ini boleh dianggap tidak betul.

Jika akar mempunyai darjah yang sama tetapi berbeza ungkapan angka, ia dikeluarkan dari kurungan, dan dimasukkan ke dalam kurungan jumlah dua ungkapan radikal. Oleh itu, ia sudah diekstrak daripada jumlah ini.

Algoritma penambahan

Untuk membuat keputusan dengan betul tugas paling mudah, perlu:

1. Tentukan apa sebenarnya yang memerlukan penambahan.
2. Ketahui sama ada mungkin untuk menambah nilai antara satu sama lain, berpandukan peraturan sedia ada dalam matematik.
3. Jika ia tidak boleh dilipat, anda perlu mengubahnya supaya ia boleh dilipat.
4. Setelah melakukan semua transformasi yang diperlukan, anda perlu melakukan penambahan dan tuliskan jawapan yang telah siap. Anda boleh melakukan penambahan di kepala anda atau menggunakan kalkulator mikro, bergantung pada kerumitan contoh.

Apakah akar yang serupa

Untuk menyelesaikan contoh penambahan dengan betul, anda mesti terlebih dahulu memikirkan cara anda boleh memudahkannya. Untuk melakukan ini, anda perlu mempunyai pengetahuan asas tentang persamaan itu.

Keupayaan untuk mengenal pasti yang serupa membantu menyelesaikan contoh penambahan yang serupa dengan cepat, membawanya ke dalam bentuk yang dipermudahkan. Untuk memudahkan contoh tambahan biasa, anda perlu:

1. Cari yang serupa dan pisahkan mereka kepada satu kumpulan (atau beberapa kumpulan).
2. Tulis semula contoh sedia ada sedemikian rupa sehingga akar yang mempunyai penunjuk yang sama mengikuti satu sama lain dengan jelas (ini dipanggil "kumpulan").
3. Seterusnya, anda harus sekali lagi menulis ungkapan itu sekali lagi, kali ini dengan cara yang serupa (yang mempunyai penunjuk yang sama dan angka radikal yang sama) juga mengikuti satu sama lain.

Setelah ini dilakukan, contoh yang dipermudahkan biasanya mudah untuk diselesaikan.

Untuk menyelesaikan sebarang contoh penambahan dengan betul, anda perlu memahami dengan jelas peraturan asas penambahan, serta mengetahui apa itu akar dan apa yang boleh.

Kadang-kadang masalah sedemikian kelihatan sangat sukar pada pandangan pertama, tetapi biasanya ia mudah diselesaikan dengan mengelompokkan yang serupa. Perkara yang paling penting ialah latihan, dan kemudian pelajar akan mula "memecahkan masalah seperti kacang." Menambah akar adalah salah satu bahagian yang paling penting dalam matematik, jadi guru harus meluangkan masa yang cukup untuk mempelajarinya.

Video

Video ini akan membantu anda memahami persamaan dengan punca kuasa dua.