Tahap pertama

Persamaan kuadratik. Panduan yang komprehensif (2019)

Dalam istilah " persamaan kuadratik"Kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak boleh ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.

Contoh 1.

Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan

Mari kita pindahkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa x

Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah kuadratik!

Contoh 2.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!

Contoh 3.

Mari kita darabkan semuanya dengan:

menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:

Contoh 4.

Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:

Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Contoh:

Jawapan:

1. segi empat sama;
2. segi empat sama;
3. bukan persegi;
4. bukan persegi;
5. bukan persegi;
6. segi empat sama;
7. bukan persegi;
8. segi empat sama.

Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:

• Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)

• Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

  Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.

Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!

Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
2. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
3. , dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

1. i. Kerana kita tahu cara mengekstrak Punca kuasa dua, maka mari kita ungkapkan daripada persamaan ini

Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaan

Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 7:

Selesaikan persamaan

Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar!

Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:

Jawapan:

Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:

Selesaikan persamaan

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Oleh itu,

Persamaan ini mempunyai dua punca.

Jawapan:

Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Kami akan mengetepikan contoh di sini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.

ingat, Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.

1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. Perhatian istimewa ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
• Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaan

Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.

Langkah 3.

Jawapan:

Contoh 10:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.

Jawapan:

Contoh 11:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.

Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawapan: tiada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaan

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .

Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Jawapan: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 14:

Selesaikan persamaan

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jawapan:

PERSAMAAN KUADRATIK. TAHAP PURATA

Apakah persamaan kuadratik?

Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.

kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.

Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.

Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:

Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.

Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.

III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.

Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:

jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita mempunyai dua akar

Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar.

Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.

Jawapan:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.

Jawapan:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:

Jawapan:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:

1. Diskriminasi

Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa nak buat? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
• Jika, maka persamaan mempunyai punca yang sama, dan sebenarnya, satu punca:

  Akar sedemikian dipanggil akar berganda.

• Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Kenapa boleh kuantiti yang berbeza akar? Mari kita beralih kepada makna geometri bagi persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:

Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jawapan: .

Jawapan:

Ini bermakna tiada penyelesaian.

Jawapan: .

2. Teorem Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().

Mari lihat beberapa contoh:

Contoh #1:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .

Jumlah punca-punca persamaan ialah:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.

Jawapan: ; .

Contoh #2:

Penyelesaian:

Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara keseluruhan.

dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.

Jawapan:

Contoh #3:

Penyelesaian:

Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar-akarnya ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.

Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:

Jawapan:

Contoh #4:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:

Jawapan:

Contoh #5:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.

Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.

Jawapan:

Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.

Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:

Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorem Vieta:

Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: jumlah adalah apa yang anda perlukan.

Jawapan: ; .

Tugasan 2.

Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.

Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).

Jawapan: ; .

Tugasan 3.

Hmm... Mana tu?

Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.

Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:

Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.

Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf atas tautologi).

Jawapan: ; .

Tugasan 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.

Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.

Jawapan: ; .

Tugasan 5.

Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:

Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.

Jawapan: ; .

Biar saya ringkaskan:

1. Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
2. Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

DALAM Pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ini bermakna: .

Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.

PERSAMAAN KUADRATIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.

Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

• jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
• jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
• jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Semak tanda ungkapan:

• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
• jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,

2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:

1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:

Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk piawai: ,

2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:

3) Cari punca-punca persamaan:

• jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
• jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.

2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap

2.5 Formula Vieta untuk polinomial (persamaan) darjah yang lebih tinggi

Formula yang diperolehi oleh Viète untuk persamaan kuadratik juga benar untuk polinomial darjah yang lebih tinggi.

Biarkan polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Mempunyai n punca berbeza x 1, x 2..., x n.

Dalam kes ini, ia mempunyai pemfaktoran bentuk:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan ini dengan 0 ≠ 0 dan buka kurungan di bahagian pertama. Kami mendapat persamaan:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Tetapi dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika pekali kuasa yang sama adalah sama. Ia berikutan bahawa kesaksamaan

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Contohnya, untuk polinomial darjah ketiga

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kami mempunyai identiti

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Bagi persamaan kuadratik, formula ini dipanggil formula Vieta. Sisi kiri formula ini ialah polinomial simetri daripada punca x 1, x 2 ..., x n persamaan ini, dan sisi kanan dinyatakan melalui pekali polinomial.

2.6 Persamaan boleh dikurangkan kepada kuadratik (biquadratik)

Persamaan darjah keempat dikurangkan kepada persamaan kuadratik:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

dipanggil biquadratic, dan ≠ 0.

Cukuplah untuk meletakkan x 2 = y dalam persamaan ini, oleh itu,

ay² + by + c = 0

mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik yang terhasil

y 1,2 =

Untuk segera mencari punca x 1, x 2, x 3, x 4, gantikan y dengan x dan dapatkan

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jika persamaan darjah keempat mempunyai x 1, maka ia juga mempunyai punca x 2 = -x 1,

Jika mempunyai x 3, maka x 4 = - x 3. Jumlah punca bagi persamaan tersebut ialah sifar.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Mari kita gantikan persamaan ke dalam formula untuk punca-punca persamaan biquadratik:

x 1,2,3,4 = ,

mengetahui bahawa x 1 = -x 2, dan x 3 = -x 4, maka:

x 3.4 =

Jawapan: x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 Kajian persamaan biquadratik

Mari kita ambil persamaan biquadratik

ax 4 + bx 2 + c = 0,

di mana a, b, c ialah nombor nyata, dan a > 0. Dengan memperkenalkan tambahan tidak diketahui y = x², kita meneliti punca-punca persamaan ini dan memasukkan keputusan ke dalam jadual (lihat Lampiran No. 1)

2.8 Formula Cardano

Jika kita menggunakan simbolisme moden, terbitan formula Cardano boleh kelihatan seperti ini:

x =

Formula ini menentukan akar persamaan am ijazah ketiga:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Formula ini sangat rumit dan kompleks (ia mengandungi beberapa radikal kompleks). Ia tidak akan selalu berlaku, kerana... sangat sukar untuk diisi.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Senaraikan atau pilih tempat yang paling menarik daripada 2-3 teks. Oleh itu, kami telah meneliti peruntukan am untuk mencipta dan menjalankan kursus elektif, yang akan diambil kira apabila membangunkan kursus elektif dalam algebra untuk gred 9 "Persamaan kuadratik dan ketaksamaan dengan parameter." Bab II. Metodologi untuk menjalankan kursus elektif “Persamaan kuadratik dan ketaksamaan dengan parameter” 1.1. Adalah biasa...

Penyelesaian daripada kaedah pengiraan berangka. Untuk menentukan punca persamaan, pengetahuan tentang teori kumpulan Abel, Galois, Lie, dsb. dan penggunaan istilah matematik khas: cincin, medan, ideal, isomorfisme, dll. tidak diperlukan. Untuk menyelesaikan persamaan algebra darjah ke-n, anda hanya memerlukan keupayaan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan mengeluarkan punca daripada nombor kompleks. Akar boleh ditentukan dengan...

Dengan unit ukuran kuantiti fizik dalam sistem MathCAD? 11. Terangkan secara terperinci teks, grafik dan blok matematik. Kuliah Bil 2. Masalah algebra linear dan menyelesaikan persamaan pembezaan dalam persekitaran MathCAD Dalam masalah algebra linear, hampir selalu terdapat keperluan untuk melaksanakan pelbagai operasi dengan matriks. Panel operator dengan matriks terletak pada panel Matematik. ...

Perumusan dan pembuktian teorem Vieta untuk persamaan kuadratik. Teorem terbalik Vieta. Teorem Vieta untuk persamaan padu dan persamaan susunan arbitrari.

Persamaan kuadratik

Teorem Vieta

Biarkan dan nyatakan punca-punca persamaan kuadratik terkurang
(1) .
Kemudian hasil tambah akar adalah sama dengan pekali , diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas:
;
.

Nota tentang pelbagai akar

Jika diskriminasi persamaan (1) ialah sifar, maka persamaan ini mempunyai satu punca. Tetapi, untuk mengelakkan rumusan yang rumit, diterima umum bahawa dalam kes ini, persamaan (1) mempunyai dua punca berganda, atau sama:
.

Bukti satu

Mari kita cari punca-punca persamaan (1). Untuk melakukan ini, gunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
;
;
.

Cari hasil tambah akar:
.

Untuk mencari produk, gunakan formula:
.
Kemudian

.

Teorem telah terbukti.

Bukti dua

Jika nombor adalah punca-punca persamaan kuadratik (1), maka
.
Membuka kurungan.

.
Oleh itu, persamaan (1) akan mengambil bentuk:
.
Membandingkan dengan (1) kita dapati:
;
.

Teorem telah terbukti.

Teorem terbalik Vieta

Biar ada nombor sewenang-wenangnya. Kemudian dan ialah punca-punca persamaan kuadratik
,
di mana
(2) ;
(3) .

Bukti teorem terbalik Vieta

Pertimbangkan persamaan kuadratik
(1) .
Kita perlu membuktikan bahawa jika dan , maka dan ialah punca-punca persamaan (1).

Mari kita gantikan (2) dan (3) kepada (1):
.
Kami mengumpulkan istilah di sebelah kiri persamaan:
;
;
(4) .

Mari kita gantikan dalam (4):
;
.

Mari kita gantikan dalam (4):
;
.
Persamaan berlaku. Iaitu, nombor adalah punca persamaan (1).

Teorem telah terbukti.

Teorem Vieta untuk persamaan kuadratik lengkap

Sekarang pertimbangkan persamaan kuadratik lengkap
(5) ,
di mana , dan ialah beberapa nombor. Lebih-lebih lagi.

Mari bahagikan persamaan (5) dengan:
.
Iaitu, kita mendapat persamaan yang diberikan
,
Di mana; .

Kemudian teorem Vieta untuk persamaan kuadratik lengkap mempunyai bentuk berikut.

Biarkan dan nyatakan punca-punca persamaan kuadratik lengkap
.
Kemudian hasil tambah dan hasil akar ditentukan oleh rumus:
;
.

Teorem Vieta untuk persamaan padu

Dengan cara yang sama, kita boleh mewujudkan hubungan antara punca-punca persamaan padu. Pertimbangkan persamaan kubik
(6) ,
di mana , , , ialah beberapa nombor. Lebih-lebih lagi.
Mari bahagikan persamaan ini dengan:
(7) ,
Di mana , , .
Biarkan , , menjadi punca bagi persamaan (7) (dan persamaan (6)). Kemudian

.

Membandingkan dengan persamaan (7) kita dapati:
;
;
.

Teorem Vieta untuk persamaan darjah ke-n

Dengan cara yang sama, anda boleh mencari sambungan antara punca , , ... , , untuk persamaan darjah ke
.

Teorem Vieta untuk persamaan darjah ke-n mempunyai bentuk berikut:
;
;
;

.

Untuk mendapatkan formula ini, kami menulis persamaan seperti berikut:
.
Kemudian kita samakan pekali untuk , , , ... , dan bandingkan istilah bebas.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: buku teks untuk gred 8 di institusi pendidikan am, Moscow, Pendidikan, 2006.

Dalam matematik, terdapat teknik khas yang dengannya banyak persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan cepat dan tanpa sebarang diskriminasi. Selain itu, dengan latihan yang betul, ramai yang mula menyelesaikan persamaan kuadratik secara lisan, secara literal "pada pandangan pertama."

Malangnya, dalam kursus moden matematik sekolah, teknologi sedemikian hampir tidak dipelajari. Tetapi anda perlu tahu! Dan hari ini kita akan melihat salah satu teknik ini - teorem Vieta. Mula-mula, mari kita perkenalkan definisi baharu.

Persamaan kuadratik dalam bentuk x 2 + bx + c = 0 dipanggil terkurang. Sila ambil perhatian bahawa pekali untuk x 2 ialah 1. Tiada sekatan lain pada pekali.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ialah persamaan kuadratik terkurang;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - juga dikurangkan;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - tetapi ini tidak diberikan sama sekali, kerana pekali x 2 adalah sama dengan 2.

Sudah tentu, sebarang persamaan kuadratik dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0 boleh dikurangkan - hanya bahagikan semua pekali dengan nombor a. Kita sentiasa boleh melakukan ini, kerana takrifan persamaan kuadratik membayangkan bahawa ≠ 0.

Benar, transformasi ini tidak akan sentiasa berguna untuk mencari akar. Di bawah ini kita akan memastikan bahawa ini perlu dilakukan hanya apabila dalam persamaan akhir yang diberikan oleh kuasa dua semua pekali adalah integer. Buat masa ini, mari kita lihat contoh paling mudah:

Tugasan. Tukarkan persamaan kuadratik kepada persamaan terkurang:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Mari bahagikan setiap persamaan dengan pekali pembolehubah x 2. Kita mendapatkan:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - bahagikan semuanya dengan 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dibahagikan dengan −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dibahagikan dengan 1.5, semua pekali menjadi integer;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - dibahagikan dengan 2. Dalam kes ini, pekali pecahan muncul.

Seperti yang anda lihat, persamaan kuadratik di atas boleh mempunyai pekali integer walaupun persamaan asal mengandungi pecahan.

Sekarang mari kita rumuskan teorem utama, yang sebenarnya, konsep persamaan kuadratik terkurang telah diperkenalkan:

Teorem Vieta. Pertimbangkan persamaan kuadratik terkurang bagi bentuk x 2 + bx + c = 0. Andaikan persamaan ini mempunyai punca sebenar x 1 dan x 2. Dalam kes ini, pernyataan berikut adalah benar:

1. x 1 + x 2 = −b. Dalam erti kata lain, jumlah punca persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali pembolehubah x, diambil dengan tanda bertentangan;
2. x 1 x 2 = c. Hasil darab punca-punca persamaan kuadratik adalah sama dengan pekali bebas.

Contoh. Untuk kesederhanaan, kami akan mempertimbangkan hanya persamaan kuadratik di atas yang tidak memerlukan transformasi tambahan:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; punca: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; punca: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; punca: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorem Vieta memberi kita maklumat tambahan tentang punca-punca persamaan kuadratik. Pada pandangan pertama, ini mungkin kelihatan sukar, tetapi walaupun dengan latihan yang minimum, anda akan belajar untuk "melihat" akar dan secara literal menekanya dalam beberapa saat.

Tugasan. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Mari kita cuba menulis pekali menggunakan teorem Vieta dan "teka" akarnya:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 ialah persamaan kuadratik terkurang.
   Dengan teorem Vieta kita ada: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Adalah mudah untuk melihat bahawa punca adalah nombor 2 dan 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - juga dikurangkan.
   Mengikut teorem Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Oleh itu punca: 3 dan 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - persamaan ini tidak dikurangkan. Tetapi kita akan membetulkannya sekarang dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pekali a = 3. Kita dapat: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Kami menyelesaikan menggunakan teorem Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ punca: −10 dan −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - sekali lagi pekali untuk x 2 tidak sama dengan 1, i.e. persamaan tidak diberikan. Kami membahagikan semuanya dengan nombor a = −7. Kami dapat: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Mengikut teorem Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Daripada persamaan ini adalah mudah untuk meneka punca: 5 dan 6.

Daripada penaakulan di atas adalah jelas bagaimana teorem Vieta memudahkan penyelesaian persamaan kuadratik. Tiada pengiraan yang rumit, tiada punca aritmetik atau pecahan. Dan kami tidak memerlukan diskriminasi pun (lihat pelajaran "Menyelesaikan persamaan kuadratik").

Sudah tentu, dalam semua refleksi kami, kami meneruskan dari dua andaian penting, yang, secara umumnya, tidak selalu dipenuhi dalam masalah sebenar:

1. Persamaan kuadratik dikurangkan, i.e. pekali untuk x 2 ialah 1;
2. Persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Dari sudut pandangan algebra, dalam kes ini diskriminasi ialah D > 0 - sebenarnya, kita pada mulanya menganggap bahawa ketaksamaan ini adalah benar.

Walau bagaimanapun, dalam masalah matematik biasa syarat ini dipenuhi. Jika pengiraan menghasilkan persamaan kuadratik "buruk" (pekali x 2 berbeza daripada 1), ini boleh diperbetulkan dengan mudah - lihat contoh di awal pelajaran. Saya secara amnya diam tentang akar: apakah jenis masalah ini yang tidak mempunyai jawapan? Sudah tentu akan ada akarnya.

Oleh itu, skim umum menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta kelihatan seperti ini:

1. Kurangkan persamaan kuadratik kepada yang diberikan, jika ini belum dilakukan dalam pernyataan masalah;
2. Jika pekali dalam persamaan kuadratik di atas adalah pecahan, kita selesaikan menggunakan diskriminasi. Anda juga boleh kembali ke persamaan asal untuk bekerja dengan lebih banyak nombor "berguna";
3. Dalam kes pekali integer, kami menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Vieta;
4. Jika anda tidak dapat meneka punca dalam beberapa saat, lupakan teorem Vieta dan selesaikan menggunakan diskriminasi.

Tugasan. Selesaikan persamaan: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Jadi, kita ada sebelum kita persamaan yang tidak dikurangkan, kerana pekali a = 5. Bahagikan semuanya dengan 5, kita dapat: x 2 − 7x + 10 = 0.

Semua pekali persamaan kuadratik adalah integer - mari kita cuba menyelesaikannya menggunakan teorem Vieta. Kami ada: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10.V dalam kes ini akarnya mudah diteka - 2 dan 5. Tidak perlu mengira menggunakan diskriminasi.

Tugasan. Selesaikan persamaan: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

Mari kita lihat: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - persamaan ini tidak dikurangkan, mari kita bahagikan kedua-dua belah dengan pekali a = −5. Kami mendapat: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - persamaan dengan pekali pecahan.

Adalah lebih baik untuk kembali kepada persamaan asal dan mengira melalui diskriminasi: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

Tugasan. Selesaikan persamaan: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Mula-mula, mari kita bahagikan semuanya dengan pekali a = 2. Kita dapat persamaan x 2 + 5x − 300 = 0.

Ini adalah persamaan yang dikurangkan, mengikut teorem Vieta yang kita ada: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Sukar untuk meneka punca persamaan kuadratik dalam kes ini - secara peribadi, saya serius terperangkap semasa menyelesaikan masalah ini.

Anda perlu mencari punca melalui diskriminasi: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Jika anda tidak ingat punca diskriminasi, saya hanya akan ambil perhatian bahawa 1225: 25 = 49. Oleh itu, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sekarang bahawa punca diskriminasi diketahui, menyelesaikan persamaan tidak sukar. Kami dapat: x 1 = 15; x 2 = −20.

Teorem Vieta (lebih tepat, songsang teorem kepada teorem Vieta) membolehkan anda mengurangkan masa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Anda hanya perlu tahu cara menggunakannya. Bagaimana untuk belajar menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta? Tak susah pun kalau difikirkan sedikit.

Sekarang kita hanya akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang menggunakan teorem Vieta. Persamaan kuadratik terkurang ialah persamaan di mana a, iaitu, pekali x², adalah sama dengan satu. Ia juga mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak diberikan menggunakan teorem Vieta, tetapi sekurang-kurangnya satu punca bukan integer. Mereka lebih sukar untuk meneka.

Teorem songsang kepada teorem Vieta menyatakan: jika nombor x1 dan x2 adalah sedemikian

maka x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan kuadratik

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta, hanya 4 pilihan yang mungkin. Jika anda mengingati garis penaakulan, anda boleh belajar mencari akar keseluruhan dengan cepat.

I. Jika q ialah nombor positif,

ini bermakna punca x1 dan x2 ialah nombor dengan tanda yang sama (kerana hanya mendarab nombor dengan tanda yang sama menghasilkan nombor positif).

I.a. Jika -p ialah nombor positif, (masing-masing, ms<0), то оба корня x1 и x2 — nombor positif(kerana kami menambah nombor tanda yang sama dan mendapat nombor positif).

I.b. Jika -p ialah nombor negatif, (masing-masing, p>0), maka kedua-dua punca adalah nombor negatif (kami menambah nombor tanda yang sama dan mendapat nombor negatif).

II. Jika q ialah nombor negatif,

ini bermakna punca x1 dan x2 mempunyai tanda yang berbeza (apabila mendarab nombor, nombor negatif diperoleh hanya apabila tanda faktor berbeza). Dalam kes ini, x1+x2 bukan lagi jumlah, tetapi perbezaan (lagipun, apabila menambah nombor dengan tanda yang berbeza kita tolak yang kecil daripada yang lebih besar). Oleh itu, x1+x2 menunjukkan berapa banyak punca x1 dan x2 berbeza, iaitu berapa banyak satu punca lebih besar daripada yang lain (dalam nilai mutlak).

II.a. Jika -p ialah nombor positif, (iaitu, ms<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jika -p ialah nombor negatif, (p>0), maka punca (modulo) yang lebih besar ialah nombor negatif.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta menggunakan contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik yang diberikan menggunakan teorem Vieta:

Di sini q=12>0, jadi punca x1 dan x2 ialah nombor dengan tanda yang sama. Jumlahnya ialah -p=7>0, jadi kedua-dua punca ialah nombor positif. Kami memilih integer yang hasil darabnya bersamaan dengan 12. Ini ialah 1 dan 12, 2 dan 6, 3 dan 4. Jumlahnya ialah 7 untuk pasangan 3 dan 4. Ini bermakna 3 dan 4 ialah punca-punca persamaan.

DALAM dalam contoh ini q=16>0, yang bermaksud bahawa punca-punca x1 dan x2 ialah nombor yang mempunyai tanda yang sama. Jumlahnya ialah -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Di sini q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, maka bilangan yang lebih besar adalah positif. Jadi puncanya ialah 5 dan -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.