Eksponen digunakan untuk memudahkan tatatanda operasi mendarab nombor dengan sendirinya. Sebagai contoh, daripada menulis, anda boleh menulis 4 5 (\gaya paparan 4^(5))(Penjelasan untuk peralihan ini diberikan dalam bahagian pertama artikel ini). Darjah memudahkan untuk menulis ungkapan atau persamaan yang panjang atau kompleks; kuasa juga mudah ditambah dan ditolak, menghasilkan ungkapan atau persamaan yang dipermudahkan (contohnya, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\gaya paparan 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika anda perlu menyelesaikan persamaan eksponen (dalam persamaan sedemikian yang tidak diketahui adalah dalam eksponen), baca.

Langkah-langkah

Menyelesaikan masalah mudah dengan darjah

Darabkan asas eksponen dengan sendirinya beberapa kali sama dengan eksponen. Jika anda perlu menyelesaikan masalah kuasa dengan tangan, tulis semula kuasa sebagai operasi pendaraban, di mana asas kuasa didarab dengan sendirinya. Contohnya, diberi ijazah 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Dalam kes ini, asas kuasa 3 mesti didarab dengan sendirinya 4 kali: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\gaya paparan 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lain:

Pertama, darab dua nombor pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4*4*4*4*4). Jangan risau - proses pengiraan tidaklah begitu rumit seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Mula-mula darab dua empat yang pertama dan kemudian gantikannya dengan hasilnya. seperti ini:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\gaya paparan 4*4=16)

1. Darabkan hasil (16 dalam contoh kita) dengan nombor seterusnya. Setiap keputusan seterusnya akan meningkat secara berkadar. Dalam contoh kami, darab 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\gaya paparan 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruskan mendarab hasil dua nombor pertama dengan nombor seterusnya sehingga anda mendapat jawapan akhir anda. Untuk melakukan ini, darab dua nombor pertama, dan kemudian darabkan hasil yang terhasil dengan nombor seterusnya dalam urutan. Kaedah ini sah untuk mana-mana ijazah. Dalam contoh kami, anda sepatutnya mendapat: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Semak jawapan anda menggunakan kalkulator.

   • 8 2 (\gaya paparan 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pada kalkulator anda, cari kunci berlabel "exp" atau " x n (\displaystyle x^(n))", atau "^". Menggunakan kekunci ini anda akan menaikkan nombor kepada kuasa. Hampir mustahil untuk mengira ijazah dengan penunjuk besar secara manual (contohnya, ijazah 9 15 (\gaya paparan 9^(15))), tetapi kalkulator boleh mengatasi tugas ini dengan mudah. Dalam Windows 7, kalkulator standard boleh ditukar kepada mod kejuruteraan; Untuk melakukan ini, klik "Lihat" -> "Kejuruteraan". Untuk bertukar kepada mod biasa, klik "Lihat" -> "Biasa".

   • Semak jawapan yang diterima menggunakan enjin carian (Google atau Yandex). Menggunakan kekunci "^" pada papan kekunci komputer anda, masukkan ungkapan ke dalam enjin carian, yang akan memaparkan jawapan yang betul serta-merta (dan mungkin mencadangkan ungkapan yang serupa untuk dikaji).

   Penambahan, penolakan, pendaraban kuasa

   1. Anda boleh menambah dan menolak darjah hanya jika mereka mempunyai asas yang sama. Jika anda perlu menambah kuasa dengan asas dan eksponen yang sama, maka anda boleh menggantikan operasi tambah dengan operasi pendaraban. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 5 + 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)). Ingat bahawa ijazah 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) boleh diwakili dalam bentuk 1 ∗ 4 5 (\gaya paparan 1*4^(5)); Oleh itu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(di mana 1 +1 =2). Iaitu, hitung bilangan darjah yang serupa, dan kemudian darabkan darjah itu dan nombor ini. Dalam contoh kami, naikkan 4 kepada kuasa kelima, dan kemudian darabkan hasil yang terhasil dengan 2. Ingat bahawa operasi tambah boleh digantikan dengan operasi pendaraban, contohnya, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lain:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\gaya paparan 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\gaya paparan 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen mereka ditambah (asas tidak berubah). Sebagai contoh, diberikan ungkapan x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam kes ini, anda hanya perlu menambah penunjuk, meninggalkan asas tidak berubah. Oleh itu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut ialah penjelasan visual tentang peraturan ini:

      Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan. Sebagai contoh, ijazah diberikan. Oleh kerana eksponen didarab, maka (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\gaya paparan (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Maksud peraturan ini ialah anda mendarab dengan kuasa (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Oleh kerana asasnya adalah sama, eksponen hanya menambah: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Kuasa dengan eksponen negatif harus ditukar kepada pecahan (kuasa songsang). Tidak mengapa jika anda tidak tahu apa itu ijazah timbal balik. Jika anda diberi ijazah dengan eksponen negatif, mis. 3 − 2 (\gaya paparan 3^(-2)), tulis darjah ini dalam penyebut pecahan (letak 1 dalam pengangka), dan jadikan eksponen positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Berikut adalah contoh lain:

      Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak (asas tidak berubah). Operasi bahagi adalah bertentangan dengan operasi darab. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangkan eksponen dalam penyebut daripada eksponen dalam pengangka (jangan ubah asas). Oleh itu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\gaya paparan (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Kuasa dalam penyebut boleh ditulis seperti berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\gaya paparan 4^(-2)). Ingat bahawa pecahan ialah nombor (kuasa, ungkapan) dengan eksponen negatif.

   4. Di bawah ialah beberapa ungkapan yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan masalah dengan eksponen. Ungkapan yang diberikan meliputi bahan yang dibentangkan dalam bahagian ini. Untuk melihat jawapan, hanya pilih ruang kosong selepas tanda sama.

   Menyelesaikan masalah dengan eksponen pecahan

   Kuasa dengan eksponen pecahan (contohnya, ) ditukar kepada operasi punca. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Di sini tidak kira apa nombor dalam penyebut eksponen pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ialah punca keempat bagi “x”, iaitu x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jika eksponen ialah pecahan tak wajar, maka eksponen boleh diuraikan kepada dua kuasa untuk memudahkan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - hanya ingat peraturan kuasa penggandaan. Sebagai contoh, ijazah diberikan. Tukarkan kuasa sedemikian kepada punca yang kuasanya sama dengan penyebut eksponen pecahan, dan kemudian naikkan punca ini kepada kuasa yang sama dengan pengangka bagi eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingat itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Sesetengah kalkulator mempunyai butang untuk mengira eksponen (anda mesti terlebih dahulu memasuki pangkalan, kemudian tekan butang, dan kemudian masukkan eksponen). Ia dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
   3. Ingat bahawa sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri, sebagai contoh, 4 1 = 4. (\gaya paparan 4^(1)=4.) Selain itu, sebarang nombor yang didarab atau dibahagi dengan satu adalah sama dengan nombor itu sendiri, mis. 5 ∗ 1 = 5 (\gaya paparan 5*1=5) Dan 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Ketahui bahawa kuasa 0 0 tidak wujud (kuasa sedemikian tidak mempunyai penyelesaian). Jika anda cuba menyelesaikan ijazah sedemikian pada kalkulator atau pada komputer, anda akan menerima ralat. Tetapi ingat bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar ialah 1, sebagai contoh, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Dalam matematik yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan nombor khayalan: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=kosax+isinax), Di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ialah pemalar lebih kurang sama dengan 2.7; a ialah pemalar arbitrari. Bukti kesamarataan ini boleh didapati dalam mana-mana buku teks mengenai matematik yang lebih tinggi.

   Amaran

   • Apabila eksponen meningkat, nilainya meningkat dengan banyak. Jadi jika jawapan itu kelihatan salah kepada anda, ia sebenarnya betul. Anda boleh menyemak ini dengan merancang mana-mana fungsi eksponen cth 2 x .

Meningkatkan kuasa negatif adalah salah satu elemen asas matematik dan sering ditemui dalam menyelesaikan masalah algebra. Di bawah adalah arahan terperinci.

Bagaimana untuk meningkatkan kuasa negatif - teori

Apabila kita menaikkan nombor kepada kuasa biasa, kita mendarabkan nilainya beberapa kali. Contohnya, 3 3 = 3×3×3 = 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Borang am mengikut formula ia akan kelihatan seperti ini: a -n = 1/a n. Oleh itu, untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan satu dengan nombor yang diberikan, tetapi kepada kuasa positif.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - contoh pada nombor biasa

Dengan mengingati peraturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawapan: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawapan -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua adalah sama? Hakikatnya ialah apabila membina nombor negatif kepada kuasa genap (2, 4, 6, dsb.), tanda itu menjadi positif. Jika darjah adalah genap, maka tolak akan kekal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - nombor dari 0 hingga 1

Ingat bahawa apabila nombor antara 0 dan 1 dinaikkan kepada kuasa positif, nilainya berkurangan apabila kuasa meningkat. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Contoh 3: Kira 0.5 -2
Penyelesaian: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawapan: 0.5 -2 = 4

Analisis (urutan tindakan):

• Kami menterjemah perpuluhan 0.5 kepada pecahan 1/2. Ia lebih mudah dengan cara itu.
  Naikkan 1/2 kepada kuasa negatif. 1/(2) -2 . Bahagi 1 dengan 1/(2) 2, kita dapat 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Kira 0.5 -3
Penyelesaian: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Kira -0.5 -3
Penyelesaian: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawapan: -0.5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kita boleh membuat beberapa kesimpulan:

• Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 4), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi positif. Lebih-lebih lagi, semakin tinggi darjah, semakin besar nilainya.
• Untuk nombor negatif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 5), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi negatif. Dalam kes ini, semakin tinggi darjah, semakin rendah nilainya.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - kuasa dalam bentuk nombor pecahan

Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk berikut: a -m/n, dengan a ialah nombor biasa, m ialah pengangka darjah, n ialah penyebut darjah.

Mari lihat contoh:
Kira: 8 -1/3

Penyelesaian (urutan tindakan):

• Mari kita ingat peraturan untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Kami mendapat: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Perhatikan bahawa penyebut ialah nombor 8 kepada kuasa pecahan. Bentuk umum pengiraan kuasa pecahan adalah seperti berikut: a m/n = n √8 m.
• Oleh itu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Kita mendapatkan akar kubus daripada lapan, yang bersamaan dengan 2. Dari sini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawapan: 8 -1/3 = 2

Dari sekolah, kita semua tahu peraturan tentang eksponen: sebarang nombor dengan eksponen N adalah sama dengan hasil pendaraban nombor ini dengan sendirinya N bilangan kali. Dalam erti kata lain, 7 kepada kuasa 3 ialah 7 didarab dengan dirinya sendiri tiga kali, iaitu, 343. Peraturan lain ialah menaikkan sebarang kuantiti kepada kuasa 0 memberikan satu, dan menaikkan kuantiti negatif adalah hasil daripada menaikkan biasa kepada kuasa jika ia genap, dan hasil yang sama dengan tanda tolak jika ia ganjil.

Peraturan juga memberi jawapan kepada cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Untuk melakukan ini, anda perlu menaikkan nilai yang diperlukan oleh modulus penunjuk dengan cara biasa, dan kemudian bahagikan unit dengan hasilnya.

Daripada peraturan ini menjadi jelas bahawa melaksanakan tugas sebenar yang melibatkan kuantiti yang banyak akan memerlukan kehadiran cara teknikal. Secara manual anda boleh mendarab sendiri julat maksimum nombor sehingga dua puluh hingga tiga puluh, dan kemudian tidak lebih daripada tiga atau empat kali. Ini belum lagi kemudian membahagikan satu dengan hasilnya. Oleh itu, bagi mereka yang tidak mempunyai kalkulator kejuruteraan khas, kami akan memberitahu anda cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif dalam Excel.

Menyelesaikan masalah dalam Excel

Untuk menyelesaikan masalah dengan pembinaan di Ijazah Excel membolehkan anda menggunakan salah satu daripada dua pilihan.

Yang pertama ialah penggunaan formula dengan tanda "penutup" standard. Masukkan data berikut ke dalam sel lembaran kerja:

Dengan cara yang sama, anda boleh menaikkan nilai yang dikehendaki kepada mana-mana kuasa - negatif, pecahan. Mari lakukannya tindakan berikut dan jawab soalan bagaimana untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Contoh:

Anda boleh membetulkan =B2^-C2 terus dalam formula.

Pilihan kedua ialah menggunakan fungsi "Ijazah" siap pakai, yang mengambil dua hujah yang diperlukan - nombor dan eksponen. Untuk mula menggunakannya, hanya letakkan tanda sama (=) dalam mana-mana sel bebas, menunjukkan permulaan formula, dan masukkan perkataan di atas. Apa yang tinggal ialah memilih dua sel yang akan mengambil bahagian dalam operasi (atau nyatakan nombor tertentu secara manual) dan tekan kekunci Enter. Mari lihat beberapa contoh mudah.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit tentang cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif dan kepada kuasa biasa menggunakan Excel. Lagipun, untuk menyelesaikan masalah ini, anda boleh menggunakan kedua-dua simbol "tudung" yang biasa dan fungsi terbina dalam program, yang mudah diingati. Ini adalah kelebihan yang pasti!

Mari kita beralih kepada contoh yang lebih kompleks. Mari kita ingat peraturan tentang cara menaikkan nombor kepada kuasa pecahan negatif, dan kita akan melihat bahawa masalah ini sangat mudah diselesaikan dalam Excel.

Penunjuk pecahan

Ringkasnya, algoritma untuk mengira nombor dengan eksponen pecahan adalah seperti berikut.

1. Menukarkan pecahan kepada pecahan wajar atau tidak wajar.
2. Naikkan nombor kita kepada pengangka pecahan tertukar yang terhasil.
3. Daripada nombor yang diperolehi dalam perenggan sebelumnya, hitung punca, dengan syarat eksponen punca akan menjadi penyebut pecahan yang diperoleh pada peringkat pertama.

Setuju bahawa walaupun beroperasi dengan nombor kecil dan pecahan yang betul Pengiraan sedemikian boleh mengambil banyak masa. Adalah baik bahawa pemproses hamparan Excel tidak mengambil kira nombor yang dinaikkan kepada kuasa apa. Cuba selesaikan contoh berikut pada lembaran kerja Excel:

Menggunakan peraturan di atas, anda boleh menyemak dan memastikan pengiraan telah dilakukan dengan betul.

Pada akhir artikel kami, kami akan membentangkan dalam bentuk jadual dengan formula dan keputusan beberapa contoh cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif, serta beberapa contoh operasi dengan nombor pecahan dan kuasa.

Contoh jadual

Lihat contoh berikut dalam lembaran kerja Excel anda. Untuk semuanya berfungsi dengan betul, anda perlu menggunakan rujukan bercampur semasa menyalin formula. Betulkan nombor lajur yang mengandungi nombor yang dinaikkan dan nombor baris yang mengandungi penunjuk. Formula anda sepatutnya kelihatan seperti ini: "=$B4^C$3."

Sila ambil perhatian bahawa nombor positif (walaupun bukan integer) boleh dikira tanpa masalah untuk mana-mana eksponen. Tiada masalah dengan menaikkan sebarang nombor kepada integer. Tetapi menaikkan nombor negatif kepada kuasa pecahan akan menjadi satu kesilapan untuk anda, kerana adalah mustahil untuk mengikuti peraturan yang ditunjukkan pada permulaan artikel kami tentang menaikkan nombor negatif, kerana pariti adalah ciri eksklusif bagi nombor SELURUH.

Nombor dinaikkan kepada kuasa Mereka memanggil nombor yang didarab dengan sendirinya beberapa kali.

Kuasa nombor dengan nilai negatif (a - n) boleh ditentukan dengan cara yang sama seperti bagaimana kuasa nombor yang sama dengan eksponen positif ditentukan (a n) . Walau bagaimanapun, ia juga memerlukan definisi tambahan. Formula ditakrifkan sebagai:

a-n = (1/a n)

Sifat kuasa negatif nombor adalah serupa dengan kuasa dengan eksponen positif. Persamaan yang dibentangkan a m/a n= a m-n mungkin adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematik, kejelasan dan ketepatan kesimpulan membolehkan seseorang tergelincir daripada jawapan dengan bercakap mengenai soalan».

A. D. Alexandrov

di n lebih m , dan dengan m lebih n . Mari lihat contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Mula-mula anda perlu menentukan nombor yang bertindak sebagai definisi darjah. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n ialah eksponen b - nilai berangka yang dikehendaki, a - asas darjah dalam bentuk semula jadi nilai berangka. Kemudian tentukan modul, iaitu, nilai mutlak nombor negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Kira kuasa nombor relatif yang diberikan nombor mutlak, sebagai penunjuk. Nilai darjah didapati dengan membahagikan satu dengan nombor yang terhasil.

nasi. 1

Pertimbangkan kuasa nombor dengan eksponen pecahan negatif. Mari kita bayangkan bahawa nombor a ialah sebarang nombor positif, nombor n Dan m - integer. Mengikut definisi a , yang dinaikkan kepada kuasa - sama dengan satu dibahagikan dengan nombor yang sama dengan kuasa positif (Rajah 1). Apabila kuasa nombor adalah pecahan, maka dalam kes sedemikian hanya nombor dengan eksponen positif digunakan.

Patut diingati sifar itu tidak boleh menjadi eksponen bagi suatu nombor (peraturan pembahagian dengan sifar).

Penyebaran konsep seperti nombor menjadi manipulasi seperti pengiraan ukuran, serta perkembangan matematik sebagai sains. Pengenalan nilai negatif adalah disebabkan oleh perkembangan algebra, yang memberi penyelesaian umum masalah aritmetik, tanpa mengira makna khusus dan data berangka awal. Di India, pada abad ke-6-11, nombor negatif digunakan secara sistematik semasa menyelesaikan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti hari ini. Dalam sains Eropah, nombor negatif mula digunakan secara meluas terima kasih kepada R. Descartes, yang memberikan tafsiran geometri nombor negatif sebagai arah segmen. Descarteslah yang mencadangkan penetapan nombor yang dinaikkan kepada kuasa untuk dipaparkan sebagai formula dua tingkat a n .

boleh didapati menggunakan pendaraban. Contohnya: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ungkapan sedemikian dikatakan bahawa jumlah sebutan yang sama dilipat menjadi produk. Dan sebaliknya, jika kita membaca kesamaan ini dari kanan ke kiri, kita dapati bahawa kita telah mengembangkan jumlah sebutan yang sama. Begitu juga, anda boleh meruntuhkan hasil darab beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5=5 6.

Iaitu, daripada mendarabkan enam faktor yang sama 5x5x5x5x5x5, mereka menulis 5 6 dan menyebut "lima kepada kuasa keenam."

Ungkapan 5 6 ialah kuasa nombor, di mana:

5 - asas ijazah;

6 - eksponen.

Tindakan yang hasil darab faktor yang sama dikurangkan kepada kuasa dipanggil menaikkan kuasa.

Secara umum, ijazah dengan asas "a" dan eksponen "n" ditulis seperti berikut

Menaikkan nombor a kepada kuasa n bermakna mencari hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a

Jika asas darjah “a” bersamaan dengan 1, maka nilai darjah bagi sebarang nombor asli n akan sama dengan 1. Contohnya, 1 5 =1, 1 256 =1

Jika anda menaikkan nombor "a" kepada ijazah pertama, maka kita mendapat nombor a itu sendiri: a 1 = a

Jika anda menaikkan sebarang nombor ke darjah sifar, maka sebagai hasil pengiraan kita mendapat satu. a 0 = 1

Kuasa kedua dan ketiga nombor dianggap istimewa. Mereka datang dengan nama untuk mereka: ijazah kedua dipanggil kuasa dua nombor itu, ketiga - kiub nombor ini.

Sebarang nombor boleh dinaikkan kepada kuasa - positif, negatif atau sifar. Dalam kes ini, peraturan berikut tidak terpakai:

Apabila mencari kuasa nombor positif, hasilnya ialah nombor positif.

Apabila mengira sifar kepada kuasa semula jadi, kita mendapat sifar.

x m · x n = x m + n

contohnya: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Kepada membahagikan kuasa dengan asas yang sama Kami tidak menukar asas, tetapi menolak eksponen:

x m / x n = x m - n , Di mana, m > n,

contohnya: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Apabila mengira meningkatkan kuasa kepada kuasa Kami tidak menukar asas, tetapi mendarabkan eksponen dengan satu sama lain.

(pada m ) n = y m n

contohnya: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

contohnya:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Apabila melakukan pengiraan mengikut menaikkan pecahan kepada kuasa kita naikkan pengangka dan penyebut pecahan kepada kuasa yang diberikan

(x/y)n = x n / y n

sebagai contoh: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Urutan pengiraan apabila bekerja dengan ungkapan yang mengandungi darjah.

Apabila melakukan pengiraan ungkapan tanpa kurungan, tetapi mengandungi kuasa, pertama sekali, mereka melakukan eksponen, kemudian pendaraban dan pembahagian, dan hanya operasi penambahan dan penolakan.

Jika anda perlu mengira ungkapan yang mengandungi kurungan, mula-mula lakukan pengiraan dalam kurungan dalam susunan yang ditunjukkan di atas, dan kemudian tindakan yang selebihnya dalam susunan yang sama dari kiri ke kanan.

Sangat meluas dalam pengiraan praktikal, jadual kuasa sedia digunakan untuk memudahkan pengiraan.

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Eksponen dengan eksponen negatif. Definisi dan contoh penyelesaian masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Manual untuk buku teks Muravin G.K.    Manual untuk buku teks oleh Alimov Sh.A.

Penentuan darjah dengan eksponen negatif

Kami tahu betul bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. $a^0=1$, $a≠0$.
Timbul persoalan, apa yang berlaku jika anda menaikkan nombor kepada kuasa negatif? Sebagai contoh, apakah nombor $2^(-2)$ sama dengan?
Ahli matematik pertama yang bertanya soalan ini memutuskan bahawa ia tidak berbaloi untuk mencipta semula roda, dan adalah baik bahawa semua sifat darjah kekal sama. Iaitu, apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen menambah.
Mari kita pertimbangkan kes ini: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Kami mendapati bahawa hasil darab nombor tersebut harus memberikan satu. Unit dalam hasil darab diperoleh dengan mendarab nombor salingan, iaitu $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Penaakulan sedemikian membawa kepada definisi berikut.
Definisi. Jika $n$ – nombor asli dan $a≠0$, maka kesamaan itu dipegang: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Identiti penting yang sering digunakan ialah: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Khususnya, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Contoh penyelesaian

Penyelesaian.
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara berasingan.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Ia kekal untuk melaksanakan operasi tambah dan tolak: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Jawapan: $6\frac(1)(4)$.

Contoh 2.
Mewakili nombor yang diberikan sebagai kuasa nombor perdana$\frac(1)(729)$.

Penyelesaian.
Jelas sekali, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tetapi 729 bukanlah nombor perdana yang berakhir dengan 9. Boleh diandaikan bahawa nombor ini ialah kuasa tiga. Bahagikan 729 dengan 3 secara konsisten.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Enam operasi telah dilakukan dan ini bermakna: $729=3^6$.
Untuk tugas kami:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jawapan: $3^(-6)$.

Contoh 3. Nyatakan ungkapan sebagai kuasa: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Penyelesaian. Tindakan pertama sentiasa dilakukan di dalam kurungan, kemudian pendaraban $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jawapan: $a$.

Contoh 4. Buktikan identiti:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Penyelesaian.
Di sebelah kiri, kami mempertimbangkan setiap faktor dalam kurungan secara berasingan.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Mari kita beralih kepada pecahan yang kita bahagikan.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Mari buat pembahagian.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kami memperoleh identiti yang betul, itulah yang kami perlu buktikan.

Pada akhir pelajaran, kami sekali lagi akan menulis peraturan untuk bekerja dengan kuasa, di sini eksponen ialah integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

Meningkatkan kuasa negatif adalah salah satu elemen asas matematik dan sering ditemui dalam menyelesaikan masalah algebra. Di bawah adalah arahan terperinci.

Bagaimana untuk meningkatkan kuasa negatif - teori

Apabila kita menaikkan nombor kepada kuasa biasa, kita mendarabkan nilainya beberapa kali. Contohnya, 3 3 = 3×3×3 = 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Bentuk umum formula adalah seperti berikut: a -n = 1/a n. Oleh itu, untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan satu dengan nombor yang diberikan, tetapi kepada kuasa positif.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - contoh pada nombor biasa

Dengan mengingati peraturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawapan: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawapan -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua adalah sama? Hakikatnya ialah apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa genap (2, 4, 6, dsb.), tanda itu menjadi positif. Jika darjah adalah genap, maka tolak akan kekal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Bagaimana untuk menaikkan nombor dari 0 kepada 1 kepada kuasa negatif

Ingat bahawa apabila nombor antara 0 dan 1 dinaikkan kepada kuasa positif, nilainya berkurangan apabila kuasa meningkat. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Contoh 3: Kira 0.5 -2
Penyelesaian: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawapan: 0.5 -2 = 4

Analisis (urutan tindakan):

• Tukarkan pecahan perpuluhan 0.5 kepada pecahan pecahan 1/2. Ia lebih mudah dengan cara itu.
  Naikkan 1/2 kepada kuasa negatif. 1/(2) -2 . Bahagi 1 dengan 1/(2) 2, kita dapat 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Kira 0.5 -3
Penyelesaian: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Kira -0.5 -3
Penyelesaian: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawapan: -0.5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kita boleh membuat beberapa kesimpulan:

• Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 4), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi positif. Lebih-lebih lagi, semakin tinggi darjah, semakin besar nilainya.
• Untuk nombor negatif dalam julat dari 0 hingga 1 (contoh 5), dinaikkan kepada kuasa negatif, sama ada kuasa genap atau ganjil tidak penting, nilai ungkapan akan menjadi negatif. Dalam kes ini, semakin tinggi darjah, semakin rendah nilainya.

Bagaimana untuk menaikkan kepada kuasa negatif - kuasa dalam bentuk nombor pecahan

Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk berikut: a -m/n, dengan a ialah nombor biasa, m ialah pengangka darjah, n ialah penyebut darjah.

Mari lihat contoh:
Kira: 8 -1/3

Penyelesaian (urutan tindakan):

• Mari kita ingat peraturan untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Kami mendapat: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Perhatikan bahawa penyebut ialah nombor 8 kepada kuasa pecahan. Bentuk umum pengiraan kuasa pecahan adalah seperti berikut: a m/n = n √8 m.
• Oleh itu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Kami mendapat punca kubus lapan, yang sama dengan 2. Dari sini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawapan: 8 -1/3 = 2